教材第2节收敛数列的性质培训课件
收敛数列的性质(经典课件)
.四则运算法则：对于收敛数列，可以进行加法、减法、乘法和除法运算，得到的结果 仍然是收敛的，并且其极限可以通过对应的运算法则得到。
.收敛数列的子数列也收敛：如果一个数列收敛，那么它的任何子数列也收敛，并且收 敛于相同的极限。
收敛数列的性质(经典课 件)
演讲人
收敛数列具有以下几个重要的性质：
.有界性：收敛数列是有界的，即存在一个正数 ，使得数列的所有项都在区间 内。 这是因为收敛数列的极限存在，可以取极限的绝对值加上一个足够大的正数作为界。
.单调性（对于部分数列）：对于部分数列来说，如果数列是单调递增或单调递减的， 则收敛数列的极限与数列的单调性一致。也就是说，如果数列是单调递增的，那么 它的极限是不超过数列的所有项的最大值；如果数列是单调递减的，那么它的极限 是不低于数列的所有项的最小值。
谢谢
Байду номын сангаас
§2 收敛数列的性质
n→ ∞
n 充分大时有 a n > α ; a n < β ;
2 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且 a < b , 那么当
n→ ∞ n→ ∞
n 充分大时有 a n < bn ; 3 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且当 n 充分大时
因此 , an = a + α n , bn = b + β n
并且 lim α
n→∞
n
= lim β n = 0
n→∞
进一步整理
a1bn + a2bn1 + ...... + anb1 n nab + b (α1 +α2 +....αn ) + a ( b1 + b2 + ...... + bn ) + (α1βn + .... +αnβ1 ) = n
例 4 设 a > 0, 求 证 :lim a = 1
n→ ∞
1 n
证明 : 先设 a ≥ 1, 当 n > a 时 , 我们有 1≤ a ≤ n
1 n
1 n 1 n
由于 lim n = 1, 由夹逼定理 , 知
n→ ∞
lim a = 1对 a ≥ 1成立 .
n→ ∞
1 n
再设a ∈ (0, 1), 这时a 1 > 1, 于是
1 lim a = = 1. 1 = n→ ∞ 1 n 1 lim n→ ∞ a
1 n
1
2-2收敛数列的性质
唯一性
有界性
保号性
保不等式性
保不等式性
定理2.5
设 { an }, { bn } 均为收敛数列, 如果存在正数 N0 ,
当 n N0 时, 有 an bn ,
则
lim
n
an
lim
n
bn
.
证
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
若
b
a,
取
ab, 2
由保号性定理,存在 N N0,当 n N 时,
因为 是任意的，所以 a b .
| an a | ;
(1)
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§2 收敛数列的性质
有界性
唯一性
有界性
保号性
保不等式性
定理2.3
若数列 {an } 收敛, 则 {an } 为有界数列 ， 即存在 M 0, 使得 | an | M , n 1, 2,L .
是严格不等式.
例如 ,
虽然
1 n
2 n
,
但 lim 1 n n
lim
n
2 n
0.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§2 收敛数列的性质
迫敛性（夹逼原 理）
极限的四则 运算
迫敛性 (夹逼原理)
一些例子
定理2.6
设数列 {an }, {bn }都以 a 为极限, 数列{cn} 满足:
存在N0 ,当 n N0 时, 有 an cn bn , 则
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
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§2 收敛数列的性质
§2.2收敛数列的性质
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
2收敛数列
2收敛数列一、收敛数列的性质定理1 (唯一性) 若数列aₙ收敛，则它的极限是唯一的.证法一：设aₙ有两个极限a和b.若a≠b，则存在a和b和两个不相交的邻域.一方面，当n充分大时，a，后面所有的项全落在a的邻域中：另一方面，当n充分大时，aₙ后面所有的项又全落在b的邻域中，前后矛盾，从而a=b。
证法二：若a和b是aₙ的两个极限,则只要证a=b,即证∀ε>0,有|a-b|<ε.设lim n→∞a n=a n lim n→∞a n=b,则∀ε>0. ∃N₁∈N₊∀n>N₁,有|aₙ−a|< c∃N₂∈N₊,∀n>N₂,有|aₙ−b|<ε当n>N₁且n>N₁时,即取N=max{N₁,N₁},当n>N时,①与②同时成立,从而有|a−b|=|(a−aₓ)+(aₙ−b)|≤|a−aₙ|+|aₙ−b|<c+c=2c,问题得证. (请读者自行完成详细证明过程)定理2 (有界性) 若数列{a₁}收敛，则数列aₙ有界，即3M>0. Vn e N..有|aₙ|<M,证法：由极限定义，从数列的某项a₁起后面所有的项都有界，数列的前N项是有限项，从而可以找到M>0.注：1)定理2等价于：若数列aₙ无界，则数列发散，比如，数列2ⁿ无界，所以它是发散的.2)有界数列不一定收敛，比如，数列(−1)ⁿ有界，但它并不收敛，定理 3 (保序性) 若lim n→∞a n=a lim n→∞b n=b,且a<b , 则∃N∈N₊,∀n>N,有aₙ<bₙ.证法：一方面，由a<b知，存在a和b的两个互不相交的邻域(比如邻域半径可取b−a);另一方面，由数列极限定义知，对任意事先指定的邻域。
3N∈N ,∀n>N, 2有an全落在a的邻域中, 而bₙ全落在b的邻域中.因此，3N∈N ₁,∀n>N,有( aₙ<bₙ.推论1 若 lim n→∞a n =a 与 lim n→∞b n =b,且∃N ∈N ,∀n>N.有 aₙ≤bₙ(aₙ≥bₙ),则 a≤b(a≥b).证法：用反证法。
1-2收敛数列的性质
)
n
n无界 1..
1
由于当n无限增加时，2n 可超过任何正整数。
定理2〔有界性〕如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界.
证 设数列xn收敛于a. 依极限定义，取 1,
则存在正整数 N ,当 n N 时, 有 | xn a |1 成立. 于是，当n > N 时，有 xn xn a a xn a a 1 a . 取 M max{ x1 , x2 ,L , xN ,1 a },
子列中第k 项
定理4 如果数列{xn}收敛于a，那么它任一子数列也收敛, 且极限也是a.
注
如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，
那么{xn}是发散的．
例 (1)n1 : 1, 1, 1, 1, 发散
x2k1 : 1, 1,L , 1, L
1
x2k : 1, 1,L , 1,L
收敛数列的性质
上节课我们学习了收敛数列的定义， 但只掌握定义，对收敛数列的认识还是 远远不够的，为了更好的认识收敛数列， 更好的应用收敛数列去把握未知，这节 课我们进一步学习收敛数列的性质。本 节课我们将学习收敛数列的四个性质。
（一）极限的唯一性
定理1 收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
1
假设
lim
n
xn
a
0，则由定理3可知，存在正整数N,
有
与已知条件矛盾，
所以必有a 0.
数列 xn 从某项起有 xn 的 情0 形， 可以类似地证明.
（四）收敛数列与其子数列间的关系
➢子数列概念
在数列中任意抽取无限多项，并保持这些项在原数列{xn}
中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子
2 收敛数列的性质
§2 收敛数列的性质教学目标：通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求：一级目标：熟练数列极限的主要性质（唯一性、有界性和保号性） 二级目标：掌握数列的四则运算法则教学内容和重、难点：1. 数列极限的唯一性2. 数列存在极限时数列的有界性和保号性3. 数列极限的四则运算重点：数列的极限唯一性和四则运算 难点：数列极限的保号性教学方法和教具使用：讲授法。
教学过程：定理2.2 （唯一性）若数列{}n a 有极限，则极限唯一.证 若数列有极限，但极限不唯一，设,a a '都为其极限，a a '≠，则lim ,lim n n n n a a a a →∞→∞'==.取正数12a a ε'=-，则由lim n n a a →∞=得，存在正整数1N 使得，当1n N >时，1.2n a a a a '-<- 由lim n n a a →∞'=得，存在正整数2N 使得，当2n N >时，1.2n a a a a ''-<- 取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时，()()11.22n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''-=---≤-+-<-+-=- 矛盾.定理2.3 （有界性）若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 有界.证 因数列{}n a 收敛，设其极限为a ，即lim n n a a →∞=.则对于正数1ε=，存在正整数N ，当n N >时，n a a -<1.故当n N >时，1n n n a a a a a a a a =-+≤-+<+，取正数{}12max ,,,,1N M a a a a =+，则,1,2,.n a M n ≤=故数列{}n a 有界.定理2.4 （保号性）若lim 0n n a a →∞=>（或0<），则()0,a a '∀∈（或(),0a a '∈），存在正整数N 使得，当n N >时，n a a '>（或n a a '<）.证 设lim 0n n a a →∞=>，则对于正数a a ε'=-，存在正整数N ，使得当n N >时，,n a a a a '-<-即().n a a a a a a ''--<-<-故当n N >时，().n a a a a a ''>--=推论 设lim ,lim ,n n n n a a b b a b →∞→∞==<，则存在正整数N ，使得当n N >时，.n n a b <证 因为lim ,lim ,n n n n a a b b a b →∞→∞==<，所以()lim 0n n n b a b a →∞-=->.又()0,2b ab a -∈-，所以，由定理2.4得，存在正整数N 使得，当n N >时， 2n n b ab a -->，注意到02b a->，故当n N >时，.n n a b < 另证：取正数2b aε-=，则由lim n n a a →∞=得，存在正整数1N 使得，当1n N >时2n b aa a --<； 由lim n n b b →∞=得，存在正整数2N 使得，当2n N >时，.2n b ab b --<取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时，.222n n b a a b b aa ab b -+-<+==-< 定理2.5 （保不等式性）设{}n a 与{}n b 均为收敛的数列.若存在正整数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则lim lim .n n n n a b →∞→∞≤证 设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==.假设a b >，则由定理2.4的推论得，存在正整数1N 使得，当1n N >时，.n n a b >取{}01max ,N N N =，则当n N >时，.n n a b > 另一方面，由已知条件易得，当n N >时，.n n a b ≤矛盾. 例1 设()01,2,n a n ≥=，证明：若lim n n a a →∞=，则n =证 因()01,2,n a n ≥=，lim n n a a →∞=，故由保不等式性得0.a ≥当0a >时，由lim n n a a →∞=得，∀0ε>，存在正整数N 使得，当n N >时，.n a a -<故当n N >时，.ε==≤<= 故n =当0a =时，由lim 0n n a →∞=得，0ε∀>，相应于正数2ε，存在正整数N 使得，当n N>时，20.n n a a ε=-<故当n N>时，.ε==<故n=定理2.6 （迫（pai）敛性）设数列{}n a，{}n b，{}n c满足：存在正整数0N使得，当0n N>时，n n na c b≤≤，且lim limn nn na b a→∞→∞==，则lim.nnc a→∞=证0ε∀>，由limnna a→∞=得，存在正整数1N使得，当1n N>时，,na aε-<即.na a aεε-<<+由limnnb a→∞=得，存在正整数2N使得，当2n N>时，nb aε-<，即.na b aεε-<<+取正整数{}012max,,N N N N=，则当n N>时，.n n na a cb aεε-<≤≤<+故当n N>时，.nc aε-<于是lim.nnc a→∞=例2求数列的极限.解记1n na h==+，这里()01nh n>>，则有()()211.2nn nn nn h h-=+>由上式得)01nh n<<>，从而有111n na h≤=+≤+.易知lim1lim11n n→∞→∞⎛=+=⎝，故由定理2.6得lim1nna→∞=，即 1.n=注：设1,1,11n n b n =⎧⎪=⎨+>⎪⎩，则lim 1.n n b →∞=这是因为，当1n >时，要使111n b -== 故0ε∀>，取正整数221N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，1n b ε-<，于是lim 1.n n b →∞=另解： 0ε∀>，当1n >时，()()()2211112!2!nn n n n n n εεεεε--+=++++>， 取正整数221N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当nN >时，()()2222221221,1,1,2!2!11.nn n n n n n εεεεεεεε⋅->+->+>>=+><故 1.n =例3 求证：0.n = 证 0ε∀>，有1lim0.!nn n ε→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭=取1,1!nn n a b n ε⎛⎫ ⎪⎝⎭==，则1lim 01lim !nn n n b n ε→∞→∞⎛⎫⎪⎝⎭=<=，故由 极限的保号性定理的推论得，存在正整数N 使得，当n N >时，n n a b <，即11!nn ε<，从而10.!nn εεε<<< 故0.n =定理2.7 （四则运算法则）若数列{}n a 与{}n b 都收敛，则数列{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-也都收敛，且()()lim lim lim ,lim lim lim .n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞→∞±=±⋅=⋅特别当n b 为常数c 时，有()lim lim ,lim lim .n n n n n n n n a c a c ca c a →∞→∞→∞→∞+=+=若再设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也收敛，且 lim lim .lim nn n n nn n a a b b →∞→∞→∞= 证 只证明和、商的情形.因为数列{}n a 与{}n b 都收敛，所以设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==.1.证明：()lim lim lim .n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞+=+0ε∀>，因lim n n a a →∞=，故相应于正数2ε，存在正整数1N 使得，当1n N >时 .2n a a ε-<又因lim n n b b →∞=，故相应于正数2ε，存在正整数2N 使得，当2n N >时， .2n b b ε-<取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时，()()()().22n n n n n n a b a b a b b b a a b b εεε+-+=-+-≤-+-<+=故()lim lim lim .n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞+=+=+2. 证明：lim lim .lim nn n n nn n a a b b →∞→∞→∞= 因为0,lim 0n n n b b b →∞≠=≠，所以lim 0.n n b b →∞=>由数列收敛的保号性得，存在正整数1N 使得，当1n N >时，.2n b b >0ε∀>，因lim n n a a →∞=，故存在正整数2N 使得，当2n N >时，.n a a ε-<因lim n n b b →∞=，故存在正整数3N 使得，当3n N >时，.n b b ε-<取正整数{}123max ,,N N N N =，则当n N >时，()()()22211211222222.n n n n n n n n n n n n a ba ab a b a a a b b b b bb b b a b a a a b b a a b b b b b ba ab b b b εεε--==⋅---<⋅-+-=-+-⎛⎫<+=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 故lim.n n na ab b →∞=注：以上证明用到了如下常见的断言：设对于数列{}n a ，若0ε∀>，存在正整数N 使得，当n N >时，n a a k ε-<，其中k 是一个正常数，则lim .n n a a →∞=这一断言之所以正确是因为，由已知条件易得，0ε'∀>，对于正数1kεε'=，存在正整数N 使得，当n N >时，n a a k εε'-<=，故lim .n n a a →∞=例4 求11101110lim ,m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++ 其中,0,0.m k m k a b ≤≠≠解()()1110110111110110111011110111111lim lim 11111111lim 111lim m m m m m m k k m k m k k n n k k k k k k k k k m m k m k m k k n k k k n a n a n a n a a a a a n n n n n b n b n b n b b b b b n n n na a a a n n n nb b b b n n -----+-→∞→∞-------+-→∞--→∞++++++++=++++++++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭=++++110111*********lim lim lim lim 111lim lim lim lim 11lim lim k m m k m k m k k n n n n k k k k n n n n m m k m k m n n n a a a a n n n n b b b a n n n a a n n ---+-→∞→∞→∞→∞--→∞→∞→∞→∞---+→∞→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝=101110111lim lim 111lim lim lim lim ,,0,.k k n n k k k k n n n n mma a n nb b b a n n n a k m b k m -→∞→∞--→∞→∞→∞→∞⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧=⎪=⎨⎪>⎩例5 求lim 1nn n a a →∞+，其中 1.a ≠-解 当1a <时，()lim lim 0lim 0.1lim lim101lim 1n nn nn n n n n nn n a aa a a a →∞→∞→∞→∞→∞→∞====++++ 当1a =时，由1a ≠-得 1.a =从而111lim lim lim .11122n n n n n n n a a →∞→∞→∞===++ 当1a >时，lim1111lim lim 1.1101111lim1lim lim 1n n nnn n n n n n n a a a a a →∞→∞→∞→∞→∞→∞=====++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦例6 求.n解limlim11.2n nn n n→∞=======注：这里用到了例1的结果，即：设()1,2,nan≥=，且limnna a→∞=，则l imn=定义1 设{}n a是一个数列，12,,,,kn n n是一个每一项都为正整数的无限数列，且12,kn n n<<<<则称{}k n a是数列{}n a的一个子列.如：取()211,2,,kn k k=-=可得的{}n a的子列{}211321:,,,,k ka a a a--取()21,2,kn k k==，可得到{}n a的子列{}2222:,,,,k ka a a a取()21,2,kn k k==，可得到{}n a的子列{}2214:,,,,k ka a a a取()1,2,kn k k==，可得到{}n a的子列{}12:,,,,k ka a a a定理2.8 （ⅰ）数列{}n a收敛的充要条件是：{}n a的任意子列都收敛.（ⅱ）若数列{}n a收敛于a，则数列{}n a的任意子列{}k n a也收敛于.a证（ⅰ）充分性显然（因为数列{}n a是其自身的一个子列）.下证必要性.设数列{}n a收敛，而{}k n a是它的任意一个子列.再设数列{}n a收敛于a，即limnna a→∞=，则由数列极限的定义得，0ε∀>，存在正整数N使得，当k N>时，.ka aε-<易知()1,2,kn k k≥=（这可用反证法证明：若存在某个正整数k，则由121kn n n k≤<<<<得，小于k的正整数至少有k个，矛盾）使得kn k<)，故当k N>时，kn N>，.kna aε-<于是，lim.knka a→∞=（ⅱ）可由（ⅰ）证明过程看出.由定理2.8可知，若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛，都是没有收敛于同一数值，则数列{}n a 也发散.数列(){}1n-是发散的，因为它的子列(){}211k --收敛于1-，另一个子列(){}21k-收敛于1，11≠-.数列sin2n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭是发散的，因为它的子列21sin 2k π-⎧⎫⎨⎬⎩⎭即(){}11k --是发散的. 习题选解1.求下列极限：（1）32331lim 423n n n n n →∞++++； （2）212lim n n n →∞+；（3）()()1123lim 23nn n n n ++→∞-+-+； （4）)lim n n →∞；（5）)lim10n n →∞+；（6）22111222lim .111333n n n →∞++++++ 解：（1）()()32333331313111lim lim .12344234n n n n n n n n n n n n →∞→∞++++==++++ （2）222121212lim lim lim lim 000.n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭（3）()()()()11111111123233limlim 1232331211211lim lim 013333333lim .013221lim lim133n n nn n n n n n n n n nnn n n n n n n +++→∞→∞+++→∞→∞++→∞→∞→∞⎡⎤-+-+⎣⎦=-+⎡⎤-+⎣⎦⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）)lim 1.2n n n n nnn →∞=====（5）)lim10lim 1lim 2lim 1011110.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+=+++=+++=（6）2311121111121122222lim lim lim 2 2.11111113331331313nn n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭==⋅=⎛⎫⎛⎫+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅-3.设{}n a 为无穷小数列，{}n b 为有界数列，证明：{}n n a b 为无穷小数列.证 因{}n a 为无穷小数列，故lim 0.n n a →∞=又{}n b 为有界数列，故故存在正数M 使得，对任意正整数n ，.n b M ≤0ε∀>，由lim 0n n a →∞=得，相应于正数M ε，存在正整数N 使得，当n N >时，.n a Mε<故当n N >时，.n n n n a b a b M Mεε=<⋅=故lim 0n n n a b →∞=，于是{}n n a b 为无穷小数列.4.求下列极限： （1）()111lim 12231n n n →∞⎛⎫+++⎪ ⎪⋅⋅+⎝⎭； （2）)2lim2nn →∞；（3）21321lim 222nn n →∞-⎛⎫+++⎪⎝⎭； （4）n （5）()()222111lim12n n n n→∞⎛⎫+++ ⎪ ⎪+⎝⎭； （6）2lim n n →∞⎛⎫+++. 解 （1）因()111111111122311223111,1n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+故()11111lim lim 1lim1lim 10 1.1223111n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫+++=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅+++⎝⎭⎝⎭ （2）因1112111111111121122488242222222222222,nnn ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅++++--=⋅⋅⋅⋅===故)1122lim2lim 22.nnn n -→∞→∞==注1：证明112lim 22.n -→∞=证法一：因11212222n-=，而()1121221nnn <<→→∞，所以111221222lim 21,lim 2lim2.12nnnn n n -→∞→∞→∞==== 证法二：0ε∀>（不妨设01ε<<），要使111122222nε---=-<，只需11222.nε->-即()()()()2222211111log 2,1log 2,2,log 221log 21log 2nn n n εεεε⎡⎤->-<-->>⎢⎥----⎣⎦故取正整数()221max log ,11log 2N ε⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，11222.nε--<从而112lim 22.nn -→∞=注2：注1中的证法2，用到了以下常用到的断言：设{}n a 是一个数列，a 是一个常数，k 是一个正常数，若()0,k ε∀∈，存在正整数N 使得，当n N >时，n a a ε-<，则lim .n n a a →∞=证 取02kε=，则()00,k ε∈，由已知条件得，存在正整数0N 使得，当0n N >时，0n a a ε-<.0ε∀>，若()0,k ε∈，则由已知条件得，存在正整数N 使得，当n N >时，.n a a ε-<若[),k ε∈+∞，则0.εε<取0N N =，则当n N >时，0.n a a εε-<< 故0ε∀>，存在正整数N 式得，当n N >时，n a a ε-<.于是，lim .n n a a →∞=（3）设21321222n n n S -=+++， 则23111321.2222n n n S +-=+++ 于是，231121111122221,22222211112212,122221212131213.2222n n n n n n n n n n n n n S S n S n n S +-+----=++++---=+⋅---⎛⎫=+--=-- ⎪⎝⎭所以，21113213lim lim 3222223lim3lim lim 300 3.22n n n n n n n n n n n n n-→∞→∞-→∞→∞→∞-⎛⎫⎛⎫+++=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--=--=注：可以证明lim0.2n n n →∞=从而1lim lim 22lim 200.222n nn n n n n n n-→∞→∞→∞=⋅==⋅= 下面证明，lim 0.2n n n→∞=首先证明，当4n ≥时，22.n n ≥用数学归纳法证明：当4n =时，命题显然成立.假设当n k=（4k ≥）时，命题成立，即22.k k ≥则当1n k =+时，由归纳假设得， ()()()2122122210k k kk k k +⎡⎤-+=-+-+≥⎣⎦.故()2121k k +≥+，即当1n k =+时命题也成立.其次证明，lim 0.2nn n→∞=当4n ≥时，21022nn n n n n n-=≤=. 故0ε∀>，取1max ,4N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，02n n ε-<，于是lim 0.2n n n→∞=（4）解法一：当2n ≥≤≤由1n =知 1.n =由迫敛性得1. n=()111nnnn-===.当1n>时，()1111nnn n≤-<.又1lim1lim1nn nn→∞→∞==，故()1lim1 1.nnn→∞-=于是，()()1111lim111lim 1.1limnnnn nn nnnnn n→∞→∞→∞--====（5）因()()()()()222222222 11111111111 422212nnn n n n n n n n n n n=+++≤+++≤+++=+项项，而11lim lim04n nn n→∞→∞==，从而，()()222111lim0.12n nn n→∞⎛⎫+++=⎪⎪+⎝⎭（6）在n2,n n+最小.因而2n≤++≤+，而lim1,lim1n n n n→∞→∞====，所以2lim 1.n n→∞⎛⎫+=+5.设{}n a与{}n b中一个是收敛数列，另一个是发散数列.证明{}n na b±是发散数列.又问{}n na b和()0nnnabb⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭是否必为发散数列？证 先证明{}n n a b +是发散数列.假设{}n n a b +收敛.因{}n a 与{}n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，不妨设{}n a 收敛，{}n b 发散.由{}n n a b +与{}n a 都收敛得，(){}nn n ab a +-即{}n b 收敛，这与{}n b 发散矛盾.其次证明{}n n a b -是发散数列.假设{}n n a b -收敛.因{}n a 与{}n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，故{}n a 收敛且{}n b 发散，或{}n a 发散且{}n b 收敛.若{}n a 收敛且{}n b 发散，则由{}n a 和{}n n a b -都收敛得，(){}n n n a a b --即{}n b 收敛，这与{}n b 发散矛盾.若{}n a 发散且{}n b 收敛，则由{}n b 和{}n n a b -都收敛得，(){}nn n ab b -+即{}n a 收敛，这与{}n a 发散矛盾.{}n n a b 和()0n n n a b b ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭是不一定发散.如取{}{}{}1,nn a b n n ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则{}{}211,n n n n a a b b n ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭都收敛.6.证明以下数列发散：（1）()11n n n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭；（2）(){}1nn -；（3）cos .4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭证 （1）令()11n n a n =-+，则221l im 1,l im 1n n n n a a -→∞→∞==-，由定理2.8知，()11n n n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭发散.（2）因为(){}1nn-为无界数列，由定理2.3知，(){}1nn -发散.（3）令cos4n n a π=，则 ()884lim lim cos 21,lim lim cos 211k k k k k k a k a k ππ+→∞→∞→∞→∞===+=-，由定理2.8知cos 4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭发散.。
2.2收敛数列的性质华师大版数学分析第二章数列的极限ppt
2.收敛数列的性质
2.2(唯一性)：收敛数列{ an } 只有一个极限.
证：设a=
，对任何b≠a，取ε0=
>0，
则在(a;ε0)之外有{ an }的有限个项，
从而，在(b;ε0)之内至多只有{ an }的有限个项，
即b不是{ an }的极限，∴收敛数列只有一个极限.
2.3(有界性)：收敛数列{an}有界，即
=a.
ห้องสมุดไป่ตู้原命题得证.
2、求数列{ }的极限.
解：记an= =1+hn，hn>0(n>1)，则有
n=(1+hn)n>
hn2，
∴0<hn<
，从而有1<an<1+
；
∵
=1；∴
=1.
2、设a1,a2,…,am为m个正数，证明： =max{a1,a2,…,am}.
证：记max{a1,a2,…,am}=aj, 1≤j≤m. 则
2.4(保号性)：若
=a>0(或<0)，则
对任何a’∈(0,a)(或a’∈(a,0))，存在正数N，使得
当n>N时，有an>a’(或an<a’).
证：当a>0时，取ε=a-a’>0，则存在正数N，
使得当n>N时，有an>a-ε=a’； 当a<0时，取ε=a’-a>0，则存在正数N，
使得n>N时，有an<ε+a=a’.
{anbn}和 不一定发散. 若取{an}= ，{bn}={n}，
则{an}收敛，{bn}发散，但{anbn}和 都收敛.
8、证明下列数列发散：
证：(1)令an= 则
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注 (3 )中即 a n b n ,使 也a 有 可 b . 有
二、 极限的四则运算
定理2.4 设 ln ia m n a ,ln ib m n b ,则 (1 )l n i[a m n b n ] a b ;
取 N m N 1 ,a N 2 ,x 则n 当 N时有
a b ( x n b ) ( x n a ) x n b x n a 2.
上式a仅 b时 当才能 . 故成 极限立 唯一.
教材P7 反证法
,
定义2.1 (数列有界的定义) 对数{a列 n}，
若存在一个实数M，对数列所有的项都满足 a n M ,n 1 ,2 ,3 ,
2 推广到有限项 .
lni mn12 n22
nn2
例1: 求ln i m 25n n22 34n n 14.
解
原式
lim
n
2 5
3
n 4
n
4
n2 1
n2
lim2
n
lim5
n
lim3 n n
4 lim n n
lnim n42 1
lnim n2
2 5
例2 设 |q | 1 ,计算 li( 1 m q 极 q 2 . .q 限 .n 1 ) n
§1.2 收敛数列的性质
一、 收敛数列的基本性质
定理2.1 (唯一性) 若数列收敛, 则其极限唯一.
证
设 l n ix n m a ,又 l n ix n m b ,
由定义, 0,N 1,N 2.使得
当 n N 1 时x 恒 n a 有 ; 当 n N 2 时x 恒 n b 有 ;
则对一切 n,皆 自有 xn然 M 数 , 故 xn有.界
注：有界未必一定收敛。（有界性是收敛的必要条件）
比如 数x ： 列 n(1)n1是发 . 散的
推论 无界数列必定发散.
定理2.3 (数列极限的保序性）
1o设ln i m ana, 且a,则N当 , nN时,有an;
2o 设 ln i m ana,ln i m bnb,且 ab,则 N 当 nN时 ,有anbn;
nN 2时 ,有 | bnb|b 22.
因n 此 mN 1 当 a ,N 2 } x 时 ,便 { 有
| b 1 n1 b|b 2 2|bnb|.
即证, 得 lim1 1.
b n n
b
再由(2)易见结论成. 立
说明 数学分析巩固与指导
1 有+无=无， 无+无=不定；
有 无 不 , 无 定 无 不 ; 定
取 N m N 1 , N 2 } 当 a n , N , x a n { .
(2)令ba,则
2
N 1 ,当 n N 1 时 ,|a n a | , 即 a n a a 2 b . N 2 ,当 n N 2 时 ,|b n b | ,即 b n b a 2 b .
由 a n ， b n 收 敛 ， 可 得 b n 有 界 , 即 |b n | M
0 , N 1 ,n N 1 ,|a n a | 2 (M 1 ),
N 2,nN 2,|bnb|2(a1),
取 N m N 1 , N 2 } 当 a n , N , 得 x | a n b n a { | .b
证 设 ln i a m nln i c m na ,则
0 , N 1 0 ,N 2 0 ,使得
当 n N 1 时a 恒 n a 有 , 当 n N 2 时c 恒 n a 有 ,
取 N mN a 1 ,N x 2 }{ , 上两式同时成立,
即 a a n a , a c n a ,
(3) 先证 lim11
b n n
b
对 |b 2 | 0 ,于 N 1 ,s .t当 n N 1 时 ,
|b| | bn b| 2 ,
|bn||b||bnb|
且此 |bn时 ||b 2|0.
所n 以 N 1 时 当 ,有
| 11||bnb| bn b |bnb|
2 b2
|
bn
b|
.
由 l n i b n 于 m b ,对 0 N 2 ,,s .t当
当nN时 , 恒有
a a n b n c n a ,
即 bna成,立lnimbn a.
例3-1 求 li(m 1 1 1)
解 li(1 m q q 2 .. .q n 1) n lim1 qn n 1 q lim1 limqn n1q n1q
1 1 lim qn 1 . 1q 1qn 1 q
三、 夹逼定理
定理2.5 若数 {an}列 {,bn}{,cn}满足： a n b n c n , n 1 , 2 , 3 , , 且 l n a i n m l n c i n , 则 m ln i a m nln i b m nln i c m n .
则M 称 是 {an}的上 . 界
相应的, 可以给出有下界的定义
定理2.2 收敛的数列必定有界. 证 设 ln i m xna, 由定义,
取1, 则 N ,使 n 得 N 时 当 x n 恒 a 1 ,有 即 a 1 有 x n a 1 . 记 M m x 1 , , x N a , a 1 , a x 1 }{ ,
(2 ) ln i[a m n b n ] a b ;
(3) lim ana, 其b中 0.
b n n
b
ห้องสมุดไป่ตู้
证 由 绝 对 值 的 三 角 不 等 式 可 得 ;
|a n b n a b | |a n b n a b n a b n a b |
|a n a |b n || |a |b n | b |.
3 o设 ln i a m na ,ln i b m nb ,若 N 当 n ,N 时 , 有 a nb n,则 a 有 b .
见教材P8图形
证明
( 1 ) 取 a 2, N 1 ,当 n N 1 ,|a n a |
即 anaa 2;
同理 2 a , ， N 2 ,当 n 取 N 2 ,a n ,