数列收敛性的判别准则
数列与级数的收敛性初步了解数列与级数的收敛性概念及其判定方法
数列与级数的收敛性初步了解数列与级数的收敛性概念及其判定方法数列与级数是数学中重要的概念，对于数学学习的初学者来说，了解数列与级数的收敛性概念及其判定方法是十分重要的。
本文旨在帮助读者初步了解数列与级数的收敛性，并介绍一些判定方法。
一、数列的收敛性数列是按一定规律排列的一组数，常用符号表示为{an}或(an)，其中n为自然数。
数列的收敛性是指数列是否能趋于某个确定的数。
1. 数列的极限数列{an}的极限为数a，即lim(n→∞)an=a。
当数列存在极限时，称该数列收敛；当数列不存在极限时，称该数列发散。
2. 数列收敛的判定方法（1）夹逼准则：若对于数列{an}、{bn}、{cn}，满足an≤bn≤cn，并且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=a，则lim(n→∞)bn=a。
（2）单调有界准则：若数列{an}单调递增（递减）且有上（下）界，则数列收敛。
（3）迭代序列的判定方法：对于形如an+1=f(an)的递推公式，如果数列{an}的初值确定并且递推公式满足一定条件，则数列收敛。
二、级数的收敛性级数是数列的和，常用符号表示为∑(n=1)∞an。
级数的收敛性是指级数的部分和是否能趋于某个确定的数。
1. 正项级数的收敛性对于正项级数∑(n=1)∞an，如果数列{Sn}的部分和有上界，则称该级数收敛。
2. 任意项级数的收敛性对于任意项级数∑(n=1)∞an，如果数列{Sn}的部分和存在有限的极限，则称该级数收敛；如果数列{Sn}的部分和无限趋向于正无穷或负无穷，则称级数发散。
3. 级数收敛的判定方法（1）比较判别法：如果存在一个收敛的正项级数∑(n=1)∞bn，并且满足0≤an≤bn，则正项级数∑(n=1)∞an收敛；如果存在一个发散的正项级数∑(n=1)∞bn，并且满足bn≤an，则正项级数∑(n=1)∞an发散。
（2）比值判别法：如果lim(n→∞)│an+1/an│=L<1，则正项级数∑(n=1)∞an收敛；如果lim(n→∞)│an+1/an│=L>1或lim(n→∞)│an+1/an│=∞，则正项级数∑(n=1)∞an发散。
函数极限柯西收敛准则
函数极限柯西收敛准则柯西收敛准则是数列收敛性的一个重要判别准则，具体描述为：一个数列{a_n}收敛的充分必要条件是对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m,n>N时，有，a_n-a_m，<ε。
换句话说，柯西收敛准则要求当数列索引足够大时，数列中的元素之差可以任意小，即数列中的数逐渐趋向于一个固定的极限。
这个极限值被称为该数列的极限。
柯西收敛准则的一个重要应用是证明数列的收敛性。
我们可以通过柯西收敛准则证明一个数列收敛的方法如下：步骤一：假设数列{a_n}是一个满足柯西收敛准则的数列。
步骤二：根据柯西收敛准则的定义，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m,n>N时，有，a_n-a_m，<ε。
步骤三：根据步骤二中得到的N，选择n=N+1，则有，a_n-a_N，<ε。
步骤四：根据步骤三中所得到的不等式，我们可以推断出子数列{a_n}（n > N）是一个 Cauchy 数列，因为对于任意给定的ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有，a_n - a_N，< ε。
步骤五：由步骤四可知，子数列 {a_n}（n > N）是一个有界数列，即存在常数 M，使得，a_n，≤ M。
这是因为对于任意给定的ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有，a_n - a_N，< ε，因此取 M = max{，a_1，, ，a_2，, ..., ，a_N，+ ε}。
步骤六：根据步骤五可知，在数列{a_n}中，从第N+1项开始的所有项都在一个有界的区间内。
步骤七：由于步骤六中提到的有界性质，我们可以找到一个闭区间[a,b]，使得数列{a_n}（n>N）中所有的项都在该区间内。
步骤八：由于闭区间[a,b]是一个有界的闭区间，根据闭区间套定理，可以证明在该有界闭区间内存在一个数c，使得数列{a_n}（n>N）的极限等于c。
数列的极限与数列的收敛性的判定总结
数列的极限
PART TWO
定义及性质
定义：数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的项趋于某一固定值。
性质：极限具有唯一性、有界性、局部保序性等性质。
极限的运算性质
极限的四则运算性质：lim(a+b)=lim a + lim b，lim(a-b)=lim a - lim b，lim(a×b)=lim a × lim b，lim(a/b)=lim a / lim b（当lim b≠0）
性质：收敛数列具有唯一确定的极限值；收敛数列的项的绝对值随着项数的增加而趋于无穷小
单调有界定理
定义：如果数列在某个区间内单调递增（或递减），并且存在一个正数M，使得对于该区间内的任意x，都有|a_n|≤M（或-M≤a_n≤M），则称该数列在该区间内有界。
定理：如果数列单调递增（或递减）且有界，则该数列收敛。
定义：如果一个数列从某一项开始，其后续各项都无限接近于某个确定的数，则称该数为该数列的极限。
添加标题
性质：收敛数列的极限是唯一的，即不存在两个不同的数都作为该数列的极限。
添加标题
证明：假设存在两个不同的数 A 和 B 都作为数列 {an} 的极限。由于数列是收敛的，根据定义，对于任意小的正数 ε，存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，|an - A| < ε 和 |an - B| < ε 同时成立。这意味着 |A - B| = |(an - A) - (an - B)| < ε，这与 A 和 B 是两个不同的数相矛盾。因此，收敛数列的极限是唯一的。
不收敛：数列不趋近于任何值，没有极限
关系：无穷大数列和无界数列都不收敛，但无界数列不一定是无穷大
无穷小量与无穷大量在数列中的应用
数列的收敛性
数列的收敛性数列是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在数列的研究中，收敛性是一个核心概念，它描述了数列是否趋向于某个特定的值。
本文将介绍数列的收敛性及其相关性质和定理。
一、数列的概念及基本性质数列是按照一定规则排列的一系列数，通常用{an}表示，其中an表示数列的第n项。
数列的基本性质包括有界性和单调性。
1. 有界性如果存在常数M，对于数列中的所有项an，都有|an| ≤ M，那么称该数列是有界的。
有界性是数列收敛性的一个重要判断条件。
2. 单调性如果对于数列中的每一项an，都有an≤an+1（或者an≥an+1），那么称该数列是递增的（或递减的）。
如果一个数列既不递增也不递减，那么它是不单调的。
二、数列的极限数列的极限是数列收敛性的基本概念，它描述了数列是否趋向于某个特定的值。
1. 数列的收敛如果存在常数L，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε成立，那么称数列{an}收敛于L，并将L称为该数列的极限。
用符号lim（n→∞）an = L表示。
2. 数列的发散如果数列{an}不满足收敛的条件，那么称其为发散的。
有界的数列可以发散。
三、数列收敛性的判定准则确定数列是否收敛，需要使用一些判定准则。
1. 单调有界准则如果一个数列既是单调递增的（或递减的），又是有界的，那么它一定是收敛的。
2. 夹逼准则如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，并且lim（n→∞）an = lim（n→∞）cn = L，那么数列{bn}的极限也是L。
3. 子数列收敛准则如果数列{an}收敛于L，并且存在N，使得当n>N时，有an≤bn≤cn，那么数列{bn}也收敛于L。
四、数列收敛的性质和定理在数列的研究中，有一些重要的性质和定理与数列的收敛性密切相关。
1. 收敛数列的性质如果数列{an}收敛于L，那么它满足以下性质：- 数列的极限是唯一的，即如果数列{an}同时收敛于L1和L2，则L1=L2。
高中数学中的数列与级数的收敛性判定方法
高中数学中的数列与级数的收敛性判定方法数列与级数是高中数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中具有广泛的应用。
在数学中，我们经常需要判断一个数列或级数是否收敛，以便进一步研究其性质和应用。
本文将介绍几种常见的数列与级数收敛性判定方法。
一、数列的收敛性判定方法1. 有界性判定法数列的有界性是判断其收敛性的基本条件。
如果一个数列有上界和下界，即存在常数M和N，使得对于数列中的所有项an，都有N≤an≤M，那么这个数列就是有界的。
根据数学中的单调有界原理，如果一个数列是单调递增且有上界的，或者是单调递减且有下界的，那么这个数列就是收敛的。
2. 极限定义法数列的极限定义是判断其收敛性的另一种方法。
对于数列{an}，如果存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，|an-L|<ε成立，那么这个数列就是收敛的，L就是该数列的极限。
3. 夹逼准则夹逼准则是判断数列收敛性的一种常用方法。
如果数列{an}、{bn}和{cn}满足对于所有的n，an≤bn≤cn，并且lim(an)=lim(cn)=L，那么数列{bn}也收敛于L。
二、级数的收敛性判定方法1. 正项级数的收敛性判定法正项级数是指级数中的每一项都是非负数。
对于正项级数∑an，如果其部分和数列{Sn}有界，即存在常数M，使得对于所有的n，Sn≤M，那么这个正项级数就是收敛的。
这是由于部分和数列是递增的，且有界的，根据数列的收敛性判定方法可知。
2. 比较判别法比较判别法是判断级数收敛性的一种常用方法。
对于两个级数∑an和∑bn，如果存在正数C和正整数N，使得当n>N时，an≤Cbn成立，那么如果级数∑bn收敛，那么级数∑an也收敛；如果级数∑bn发散，那么级数∑an也发散。
3. 部分和数列的单调性判定法对于级数∑an，如果其部分和数列{Sn}是单调递增的，并且有上界，即存在常数M，使得对于所有的n，Sn≤M，那么这个级数就是收敛的。
收敛和发散怎么判断
收敛和发散怎么判断
收敛与发散判断方法简单来说就是有极限（极限不为无穷）就是收敛，没有极限（极限为无穷）就是发散。
收敛与发散的判断其实简单来说就是看极限存不存在，当n无穷大时，判断Xn是否是常数,是常数则收敛，加减的时候把高阶的无穷小直接舍去，乘除的时候，用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来代。
对于全部级数都可以通用的一些主要方法有柯西收敛准则。
那么有关本质是把级数来转换成数列，从而这是一个最强的判别法。
柯西收敛准则能成立的时候就有可能是级数收敛的中必要条件，然后就从数项级数的定里中进入。
跟着来挖掘出其中一部分里的数列收敛判别法，然后变为余和判别法，用户一定要熟练掌控项数的特征。
经常研究项级数的收敛办法：接着就是交错级数里的Leibniz辨别法与Dirichlet辨别法，然后就根据其中的来判定数列是否收敛。
收敛是指当n→∞时，数列xn无限接近于一个确定的常数，如果在多个数之间摆动，而回不能趋近于一答个确定的常数就是发散。
27题只有B是收敛的，收敛于1。
28题，当n→∞时，数列在a与b之间摆动，并不能趋向于一个确定的常数，所以发散。
高等数学数列收敛的判别
由 lim an lim b n a ， 易知
n x
对 0, N N 0 ，当 n N 0 时，
an a 与 bn a 同时成立．
再由 n N 0 时，an cn bn， 有 n N 时，
a an cn bn a ， 所以， 当 n N 时，
n1 1 n 1
1 1 1 1 1 n 1 ! n 1 n 1
n 1 n 1
an1 的展开 an , an1 展开式前n项中除前2项相等外，
an1 展开式第 n 2 项大于0， 项比 an 对应的展开项大，
N 0 Z , n N 0 时， an cn bn
lim an lim b n a ， （ a 为常数）
n
n
则 lim cn a ．
n
cn a , 只需证 0, N , 当 n N 时， 证明 要证 lim n
有| cn a | ，即 a cn a + .
所以 an an1 ( n 1,2, )，故 an 是单调递增的．
1 2 1 1 1 an 1 1 1 1 1 n n 2! n 3! 1 1 2 1 1 n! n n
几何解析：设an 是一单调上升的数列， 且 M 0，
使对n ， an M ． 则数列an 通项 a n 随 n 的增大
而不断在数轴上向右平移，不会超过点 M ．因此，
a n 必然无限接近某个实数 a an a M ，a 是极限．
. . . . . a a a
1 2 3
收敛发散知识点总结
收敛发散知识点总结本文将从收敛和发散的定义、性质、判别方法、在数学分析和其他数学领域的应用等多个角度系统地进行分析和总结。
通过本文的阐述，读者将更加深入地理解这些重要的数学概念，并掌握它们在不同数学问题中的运用方法。
一、收敛和发散的定义在数学中，收敛和发散是描述数列、级数、函数序列等数学对象的性质的重要概念。
下面分别对数列、级数、函数序列三个方面的收敛和发散进行定义。
1. 数列的收敛和发散对于一个数列{an}来说，当存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在自然数N，使得当n>N时，|an-L|<ε成立，那么就称数列{an}是收敛的，而L就是该数列的极限，用符号「an→L(n→∞)」表示。
反之，如果对于任意实数L，总存在正数ε，使得对任意的自然数N，总存在n>N，使得|an-L|≥ε成立，那么就称该数列是发散的。
2. 级数的收敛和发散对于一个级数{an}来说，如果其部分和数列{Sn}收敛，则称级数{an}是收敛的，否则称为发散的。
3. 函数序列的收敛和发散对于函数序列{fn(x)}来说，如果对于任意给定的实数x0，函数序列{fn(x0)}收敛，则称函数序列{fn(x)}在点x0处收敛。
反之，如果存在实数x0，使得函数序列{fn(x0)}发散，则称函数序列{fn(x)}在点x0处发散。
以上是收敛和发散的基本定义，它们在数学分析、微积分、级数等分支的理论体系中都扮演着至关重要的角色。
二、收敛和发散的性质1. 收敛数列的性质若数列{an}与数列{bn}收敛，且lim(n→∞)(an)=a、lim(n→∞)(bn)=b，则有lim(n→∞)(an+bn)=a+b。
此外，收敛数列具有唯一极限的性质，即若数列{an}同时收敛于a和b，则a=b。
2. 收敛级数的性质若级数{an}与级数{bn}均收敛，则有级数{an+bn}也收敛，并且有lim(n→∞)(∑n=1∞(an+bn))=lim(n→∞)(∑n=1∞(an))+lim(n→∞)(∑n=1∞(bn))。
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最简单的思想是利用数列本身的性质 证明数列极限的存在性
4
2.3 数列极限存在的判别准则
（1）单调有界准则 （2） 数列极限的归并原理 （3） Weierstrass(维尔斯特拉斯)定理 （4） 柯西(Cauchy)收敛原理
5
（1）单调有界准则
e
(e 2.718281828459045
)
n n
11
EX 求 lim(1 1 )n .
n
n
求 lim( 3 n )2n . n 2 n
解 lim(1 1 )n lim(1 1 )n
n
n
n
n1
lim(1
1 1 )n1(1
1)
1. e
n n 1
n1
解
lim( 3 n )2n lim[(1 1 )n2 ]2(1 1 )4
10
Q
an
(1
1 )n n
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2) (1 n 1).
2! n
n! n n
n
an
1
1
1 2!
L
1 n!
11 1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
{an } 是有界的 ;
{an }
是单调递增的有界数列
lim
n
an
存在.
记为
lim
1
1
n
lim(3
n
an ),
a2 3 a,
解得 a 1 13 , a 1 13Biblioteka 221 13
(舍去)
lim
n
an
2
.
8
例7 证明 lim 1 1 n 存在.
n n
证 用单调有界准则证明.
Q
an
(1
1 )n n
n
Cni
i0
1 ni
n i0
n(n 1)L
[n (n i 1)] 1
则数列
n1 n2 L nk L ,
an1 ,an2 ,L ,ank ,L
称为 {an }的子列, 简记为 { ank }.
注 由定义, {an }的子列 {ank }的各项均选自{an },
且保持这些项在 {an }中的先后次序.{ ank }中的第
k 项是 {an}中的第 nk 项, 故总有 nk k.
11
1
an 1 22 32 ... n2
1 1 1 ... 1
12 23
(n 1) n
1 2 n,n N
13
思考
分别用定义，夹逼性及单调有界准则三种方法
证明
n
lim
n
2n
0
进一步考虑
证明
n
lim
n
a
n
0
(a 1)
14
（2） 数列极限的归并原理
子数列概念及其收敛性
定义 设 {an} 为数列,{nk }为N+的无限子集,且
M
x 证明
6
几点说明：
• 定理中{an}的单调性只要从某一项之后满足即可.
这是因为数列的敛散性与前有限项无关。 • 此定理的条件为充分但非必要条件。
an
(1)n
1 n
,n
1,2,....
• 本定理只是证明了存在性。
7
例6 证明数列 an 3 3 L 3 (n重根
式)的极限存在.
证 (1)显然 a2 a1, 设ak ak1, 则3+ak 3 ak1,
证明 (必要性) 由定理2.7
(充分性)
设
lim
k
a2 k 1
lim
k
a2k
a, 则
0,
K
N,
当 k K 时， | a2k+1 a | ，| a2k a | .
第1章 函数、极限、连续
第1节 集合、映射与函数
第2节 数列的极限
第3节 函数的极限
第4节 无穷小量及无穷大量
第5节 连续函数
20101015
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
第2节 数列的极限
2.1 数列极限的概念 2.2 收敛数列的性质 2.3数列收敛性的判别准则
2
几种证明极限存在的方法：
2! n
n! n n
n
an1
(1
n
1
)n1 1
1
1
1 (1 2!
n
1
) 1
L
1 (1 1 )(1 2 )L (1 n 1)
n! n 1 n 1
n1
1 (1 1 )(1 2 )L (1 n ).
(n 1)! n 1 n 1
n1
正的
显然 an1 an , an 是单调递增的 ;
如果数列 {an }满足条件
a1 a2 L an an1 L , 单调增加
a1 a2 L an an1 L , 单调减少
单调数列
定理 2.6 单调有界数列必有极限.
更细致地，单调增加且有上界的数列必有极限. 单调递减且有下界的数列必有极限.
几何解释:
用确界定理
a1 a2 a3 an an1 a
lim
k
ank
a.
充分性，注意到{an }是其自身的子数列！
18
推论 若数列存在两个子数列分别收敛于不同的 极限，则这个数列必发散。 注意 该推论是证明数列发散的很好的工具。 EX. 证明数列{(1)n1}是发散的.
19
例8
求证
lim
n
an
a 的充要条件是
lim
k
a2 k 1
lim
k
a2k
a.
3+a k 3 ak1 , 所以 ak1 ak , 故 an 是单调递增的;
（2）又Q a1 3 3, 假定 ak 3,
ak1
3 ak
3 3 3, an
是有上界的
;
lim
n
an
存在.
（3）设
lim
n
an
a
.
Q an1
3 an ,
a2 n1
3
an ,
lim
n
a2 n1
n 2 n
x
n2
n2
e2.
EX 设
11
1
an 1 2 3 ... n , n 1,2,...
其中 2，证明 {an }收敛。
12
EX 设
an
1
1 2
1 3
...
1 n
, n 1,2,...
其中 2，证明 {an }收敛。
证明：{an } 递增显然，下面证明有上界，事实上：
i!
ni
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1) (n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2) (1 n 1).
2! n
n! n n
n
9
Q
an
(1
1 )n n
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2) (1 n 1).
17
数列收敛与其子数列收敛的密切联系：
定理 2.7 (数列极限的归并原理)
lim
n
an
a
对于{an
}
的任意子列{ank
}
都有
lim
k
ank
a.
证明：必要性
设
lim
n
an
a. 则
0,
N
N , 当n
N,
an
a
.
设 {ank } 是 {an }的任意一个子列.由于 nk k,因此
k N 时,nk k N , 亦有 ank a . 这就证明了