大学数学分析§2收敛数列的性质
收敛数列的性质
lim n n 1
n
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
n 2 n
lim
n n 1
lim
1
1,
由夹逼定理得
6 绝对值收敛性:
lim a n a, lim a n a .
n n
( 注意反之不成立 ).
0.
lim a n 0, lim a n
n n
推论 设数列 { an } 和 {
bn
n
(6), 收敛数列与其子列的关系.
作业 P33: 1, 2, 3, 4, 6.
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
x n1 , x n2 ,, x nk ,
注意： 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，
n
am n a1n a0 例3 求 lim n b n k b1n b0 k
m
例4 求
an lim n n a 1
解： 分 a=1， |a|<1， |a|>1 三种 情况 n ( n 1 n ) 例4 求 lim n 解：（分子有理化）
8、子数列的收敛性
2-2收敛数列的性质
唯一性
有界性
保号性
保不等式性
保不等式性
定理2.5
设 { an }, { bn } 均为收敛数列, 如果存在正数 N0 ,
当 n N0 时, 有 an bn ,
则
lim
n
an
lim
n
bn
.
证
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
若
b
a,
取
ab, 2
由保号性定理,存在 N N0,当 n N 时,
因为 是任意的，所以 a b .
| an a | ;
(1)
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§2 收敛数列的性质
有界性
唯一性
有界性
保号性
保不等式性
定理2.3
若数列 {an } 收敛, 则 {an } 为有界数列 ， 即存在 M 0, 使得 | an | M , n 1, 2,L .
是严格不等式.
例如 ,
虽然
1 n
2 n
,
但 lim 1 n n
lim
n
2 n
0.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§2 收敛数列的性质
迫敛性（夹逼原 理）
极限的四则 运算
迫敛性 (夹逼原理)
一些例子
定理2.6
设数列 {an }, {bn }都以 a 为极限, 数列{cn} 满足:
存在N0 ,当 n N0 时, 有 an cn bn , 则
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
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§2 收敛数列的性质
§2.2收敛数列性质
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
12
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
1 1 1 练习1 求极限: lim n n 1 n 2 n n
1 解： n n n 1
n
lim
n
1 n n
注 有界性是数列收敛的必要条件, 不是充分条件. n 例:数列 {(1) } 是有界的, 但却不收敛. 推论 无界数列必定发散.
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
3
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
a n a , 且b a c, 定理 2.4（保号性） 设 lim n
当n N时, 有 a n bn .
ab 证 由 于a b, 由保号性 2 ab an . N 1 N , 当n N 1时, 2 ab bn . N 2 N , 当n N 2时, 2
取N max{N 1 , N 2 }, 当n N时, a n bn .
二、 极限的四则运算
定理2.7
设 lim an a , lim bn b, 则
n n
n
(1) lim(a n bn ) a b;
( 2) lim(a n bn ) a b;
n
an a ( 3) lim , 其中b 0. n b b n
n
则n n 1 hn ,
2 . n
n( n 1) 2 n (1 hn ) 1 hn n 2 , 则hn 2 n 2 故 1 n 1 hn 1 . 又因 n 2 1 , l im 1 l im 1 n n n
收敛数列的性质
b,
0,
存在
N
,
当 n N 时, 有 | an a | , | bn b | , 所以
| an bn a b | | an a | | bn b | 2 ,
由 旳任意性, 得到
nliman
bn
a
b
lim
n
an
lim
n
bn .
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 {bn } 有界, 设 | bn | M .
例7 设 a1, a2 , , am 为 m 个正数, 证明
n
lim
n
a1n
a2n
amn max { a1, a2 ,
证 设 a max { a1, a2, , am } . 由
, am } .
n
a
a1n a2n
amn n m a,
lim n m a lim a a ,
n
n
n
a1 b1
1
nm1 1
nm1
a0 b0
1
nm 1
nm
am . bm
(2) 当 m < k 时, 有
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lim
n
amnm bk nk
am1nm1 bk1nk1
a1n a0 b1n b0
lim
n
1 nkm
lim n
am am1 bk bk1
1
n 1
n
0 am 0.
lim
n
1
a
n
a
n
lim an
n
1 lim an
0.
n
(2) a 1,
an
§2.2收敛数列的性质
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
高等数学第2章第2节收敛数列的性质
§２ 收敛数列的性质引 言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞=的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握．为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题．还需要对数列的性质作进一步讨论．一、收敛数列的性质１ 极限唯一性定理2.2 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限． ２ 有界性定理2.3 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列．注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件．例如数列{}(1)n-有界，但它不收敛．３ 保号性定理2.4 若lim 0n n a a →∞=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得当n N >时有n a a '>（或n a a '<）．注 在应用保号性时，经常取2'aa =． ４ 保不等式性定理 2.5设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则l i m l i m n n n n a b →∞→∞≤．思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞→∞<？保不等式性的一个应用：例1 设0(1,2,3,)n a n ≥= ，证明：若lim n n a a →∞=，则n =思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？５ 迫敛性定理 2.6设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具． 下面是其应用一例：例2 求数列的极限．６ 极限的四则运算法则定理2.7 若{}n a 、{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都收敛，且有lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞±=±=±;lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅.若再做假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也收敛，且有 lim lim lim nn n n n nn a a a b b b →∞→∞→∞==. 特别地，若n b c =，则lim()lim n n n n a c a c →∞→∞+=+，lim lim n n n n ca c a →∞→∞=.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则．下举几例； 例3 求 nn n n n 113lim++∞→例4 求 65214lim 22-++∞→n n n n类似可求 11101110lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++ ，其中,0,0m k m k a b ≤≠≠.例5 求1lim +∞→n nn a a ，其中1a ≠-.例6求n .例7 求222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭ . 二 数列的子列１． 引言极限是个有效的分析工具．但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效．这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究．那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”． ２． 子列的定义定义１ 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<< ，则数列12,,,,k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}k n a .注1 由定义可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序．简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列．注2 子列{}k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{}k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{}{}k n n a a =.注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列．由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理 数列{}n a 收敛⇔{}n a 的任何非平凡子列都收敛．注 若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散．这是判断数列发散的一个很方便的方法．如})1{(n -，})1{(2k -收敛于1，})1{(12+-k 收敛于1-，故})1{(n -发散．例7 证明 }2{sinπn 发散． 作业：P33 1（1）（4）（5），2，4（1）（4）（6），6（1）。
最新02-2 收敛数列的性质
02-2收敛数列的性质仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢0§ 2 收敛数列的性质1. 极限唯一性：若数列«Skip Record If...»收敛，则它只有一个极限。
证 （反证法）若数列«Skip Record If...»有两个极限收敛，«Skip Record If...»，不妨设«Skip Record If...»由«Skip Record If...»，（极限的几何定义）«Skip Record If...»外至多有数列«Skip Record If...»的有限项«Skip Record If...»内最多只有数列«Skip RecordIf...»的有限项，与 «Skip Record If...»矛盾。
2 收敛数列有界性—— 收敛的必要条件若数列«Skip Record If...»收敛，则数列«Skip Record If...»有界，即存在«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»«Skip Record If...» 都有 «Skip Record If...»证明由«Skip Record If...»，存在 «Skip Record If...» 时，«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»记«Skip Record If...»，则对任意«Skip Record If...»都有：«Skip Record If...»3 收敛数列保号性：kip Re cord If...»若 «Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»；若 «Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»；推论若 «Skip Record If...»则对«Skip Record If...»证明«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»例1 设«Skip Record If...»证明：若 «Skip Record If...»则«Skip Record If...»（证）定理2.5 设«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»4迫敛性设«Skip Record If...»，数列«Skip Record If...»满足：存在«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，则数列«Skip Record If...»收敛，且«Skip Record If...»证明 «Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»取 «Skip Record If...»时«Skip Record If...»«Skip Record If...»所以 «Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢1例2 求 «Skip Record If...»解法1） «Skip Record If...»，所以可将 «Skip Record If...»的形式，«Skip Record If...»用牛顿二项式定理«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»由迫敛性 «Skip Record If...»解法2）«Skip Record If...»5绝对值收敛性:«Skip Record If...» ( 注意反之不确 ).«Skip Record If...» ( 证 )推论设数列{«Skip Record If...»}和{«Skip Record If...»}收敛, 则«Skip Record If...»6四则运算性质:设«Skip Record If...»，则数列 «Skip Record If...»也收敛，且«Skip Record If...»， «Skip Record If...»。
收敛数列的性质
§1.2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质：定理1（唯一性）： 数列 n x 不能收敛于两个不同的极限。
即数列收敛，则它只有一个极限。
证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。
由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n (1)当2N n >时，有 ε<-b x n (2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。
现考虑： εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。
定理2 （有界性）： 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。
即存在一个正数M ，使得对一切正整数n 有||n a M ≤。
证明：设lim n n a a →∞=。
取1ε=，则存在正数N ，对一切n N >有||1n a a -<即11n a a a -<<+。
记12max{||,||,,||,|1|,|1|}N M a a a a a =-+ ，则对一切正整数n 有||n a M ≤。
定理3（保不等式性）： 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列。
若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则limlim n n n n a b →∞→∞≤。
证明： 设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==。
0ε∀>，分别存在正数1N 与2N ，使得当1n N >时有n a a ε-<，使得当2n N >时有n b b ε<+。
取012max{,,}N N N N =，则当n N >时有n n a a b b εε-<≤<+。
由此得到2a b ε<+。
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1 n n!
0.
证 对任意正数 , 因为 lim (1 )n 0 ,
n n!
所以由
定理 2.4, N 0, 当 n N 时,
1 n
1, n!
即
1 n n!
.
这就证明了
lim
n
1 n n!
0.
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四、保不等式性
定理 2.5 设 { an }, { bn } 均为收敛数列, 如果存在正
a
n
lim 1 n 1 1
an
1
1 lim(1
an) 1.
n
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例7 设 a1, a2 , L , am 为 m 个正数, 证明
n
lim
n
a1n
a2n
L
amn
max { a1, a2,L
, am
}.
证 设 a max { a1, a2 ,L , am } . 由
根据极限的保号性, 3a , 即
2
存在
n
a 2
n an
n
3a 2
.
又因为 lim n a lim n 3a 1 , 所以由极限的迫 n 2 n 2
敛性, 证得
lim n
n
an
1.
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例6
求极限
an
lim
n
1
a
n
( a 1).
解 (1) | a | 1 , 因为 lim an 0, 所以由极限四则
n
运算法则, 得
an
lim
n
1
a
n
lim an
n
1 lim an
0.
n
(2) a 1,
lim
n
1
an an
lim 1 1 . n 2 2
(3) | a | 1, 因 lim (1 an ) 0 , 故得
n
an
lim
n
1
从而有
| a b | | an a | | an b | 2 .
因为 是任意的，所以 a b .
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二、有界性
定理 2.3 若数列 {an } 收敛, 则 {an } 为有界数列 ，
即存在 M 0, 使得 | an | M , n 1, 2,L .
hn )n
n(n 2
1) hn2
n 2 ,
故 1 n n 1 hn 1
2 . 又因 n1
lim 1 lim 1 2 1 ,
n n
n1
所以由迫敛性，求得 lim n n 1 . n
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六、四则运算法则
定理2.7 若 {an }与 {bn } 为收敛数列，则 {an bn}, { an bn }, { an bn } 也都是收敛数列, 且有
证
设
lim
n
an
a, 对于正数
1,
N,
n
N 时,有
| an a | 1, 即 a 1 an a 1 .
若令 M max{ | a1 |,| a2 |,L ,| an |,| a 1 |,| a 1 | },
则对一切正整数 n , 都有| an | M .
lim
k
ank
a.
注 由定理 2.8 可知,若一个数列的两个子列收敛
于不同的值,则此数列必发散.
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例8
求证
lim
n
an
a 的充要条件是
lim
n
a2n1
lim
n
a2n
a.
证
(必要性)
设
lim
n
an
a，则
0, N , n N 时,
n
a
a1n a2n L
amn n m a,
lim n m a lim a a ,
n
n
以及极限的迫敛性, 可得
n
lim
n
a1n a2n L
amn
a max { a1, a2, L
, am
}.
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定义1 设 {an} 为数列,{nk }为N+的无限子集,且
则数列
n1 n2 L nk L ,
an1 ,an2 ,L ,ank ,L
称为 {an }的子列, 简记为 { ank }. 注 由定义, {an }的子列 {ank }的各项均选自{an }, 且保持这些项在 {an }中的先后次序.{ ank }中的第 k 项是 {an}中的第 nk 项, 故总有 nk k.
1
lim
n
nkm
lim n
am
am1
1 n
L
bk
bk 1
1 n
L
a1
1 nm1
a0
1 nm
b1
1 nk 1
b0
1 nk
0 am 0.
bk
所以
原式
=
am bm
，m
k,
0, m k.
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例4
设
an 0,
lim
n
§2 收敛数列的性质
本节首先考察收敛数列这个新概念有哪
些优良性质？然后学习怎样运用这些性质.
一、惟一性 二、有界性 三、保号性 四、保不等式性 五、迫敛性(夹逼原理) 六、极限的四则运算 七、一些例子
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一、惟一性
定理 2.2 若 {an } 收敛, 则它只有一个极限. 证 设 a 是 {an} 的一个极限. 下面证明对于任何 定数 b a, b 不能是 {an} 的极限 .
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注 数列 {(1)n} 是有界的, 但却不收敛. 这就说 明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条 件.
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三、保号性
定理 2.4
设
lim
n
an
a
,
对于任意两个实数
b,
c
,
b a c , 则存在 N, 当 n > N 时, b an c.
证 取 min{ a b, c a } 0, N , 当 n N 时,
数
N0,当
n
N0
时,
有
an
bn ,则
lim
n
an
lim
n
bn
.
证
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
若 b a, 取
ab, 2
由保号性定理,存在 N N0,当 n N 时,
an
a
a
2
b
a
2
b
,
bn
b
a
2
b
a
2
b
,
故 an bn , 导致矛盾 . 所以 a b .
由 的任意性, 得到
nliman
bn
a
b
lim
n
an
lim
n
bn
.
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 {bn } 有界, 设 | bn | M .
对于任意 0, 当n N时, 有
| an
a |
,
M 1
| bn
b |
，
| a | 1
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注 若将定理 2.5 中的条件 an bn 改为 an bn ,
也只能得到
lim
n
an
lim
n
bn
.
这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定
是严格不等式.
例如 ,
虽然
1 n
2 n
,
但 lim 1 n n
lim
n
2 n
0.
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五、迫敛性 (夹逼原理)
b a an a c, 故 b an c.
注 若 a 0 (或a 0), 我们可取 b a ( 或 c a ) ,
则 an
a 0 2
( 或 an
a 0). 2
2
2
这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.
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例1
证明
lim
当n
N
时,
2
bn
a .
取
N
max{ N0, N1, N2
},
当 n N 时，a an cn bn a . 这就证得
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lim
n
cn
a.
例2 求数列 { n n }的极限.
解 设 hn n n 1 0, 则有
n
(1
|
an
a | | an a | | an a |
an a
a