高等数学第2章第2节收敛数列的性质
收敛数列的性质
lim n n 1
n
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
n 2 n
lim
n n 1
lim
1
1,
由夹逼定理得
6 绝对值收敛性:
lim a n a, lim a n a .
n n
( 注意反之不成立 ).
0.
lim a n 0, lim a n
n n
推论 设数列 { an } 和 {
bn
n
(6), 收敛数列与其子列的关系.
作业 P33: 1, 2, 3, 4, 6.
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
x n1 , x n2 ,, x nk ,
注意： 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，
n
am n a1n a0 例3 求 lim n b n k b1n b0 k
m
例4 求
an lim n n a 1
解： 分 a=1， |a|<1， |a|>1 三种 情况 n ( n 1 n ) 例4 求 lim n 解：（分子有理化）
8、子数列的收敛性
收敛数列的性质(经典课件)
.四则运算法则：对于收敛数列，可以进行加法、减法、乘法和除法运算，得到的结果 仍然是收敛的，并且其极限可以通过对应的运算法则得到。
.收敛数列的子数列也收敛：如果一个数列收敛，那么它的任何子数列也收敛，并且收 敛于相同的极限。
收敛数列的性质(经典课 件)
演讲人
收敛数列具有以下几个重要的性质：
.有界性：收敛数列是有界的，即存在一个正数 ，使得数列的所有项都在区间 内。 这是因为收敛数列的极限存在，可以取极限的绝对值加上一个足够大的正数作为界。
.单调性（对于部分数列）：对于部分数列来说，如果数列是单调递增或单调递减的， 则收敛数列的极限与数列的单调性一致。也就是说，如果数列是单调递增的，那么 它的极限是不超过数列的所有项的最大值；如果数列是单调递减的，那么它的极限 是不低于数列的所有项的最小值。
谢谢
Байду номын сангаас
ch2-2 收敛数列的性质
原式 lim
n
am n
mk
am 1n a1n a0 n bk bk 1n 1 b1n1 k b0 n k
m 1 k
1 k
k
am , k m; bm 0, k m.
例4 解
an , 其中 a 1. 求 lim n n a 1
即有 | xn || a | 1.
记 M max{ x1 , , xN ,| a | 1}, 则对一切正整数n,皆有 xn M , 故 xn 有界.
注：有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.例如，
数列{(-1) }有界，但它并不收敛（看上节例6）.
n
推论:无界数列必定发散.
当n N 2时, bn b .
取N max{N1 , N 2 }, 则当n N时上述两不等式同时成立，从而有
1. (an bn ) (a b) an a bn b 2
lim(an bn ) a b.
n
2. anbn ab (an a)bn a(bn b) (an a) bn a bn b .
收敛数列的四则运算法则
定理2.7(四则运算法则)
若{an }与{bn }为收敛数列, 则{an bn },{an bn }也都是收敛数列, 且
lim(an bn ) lim an lim bn
n n n
lim( an bn ) lim an lim bn
n
an 1 证 由于an bn an (1)bn 及 an , bn bn
因此只需证明关于和、积与倒数运算的结论即可.
收敛数列的性质和函数极限的性质
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xnaa 2ba 2b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
同理, 因 limynb, 故存在 N2 ,
n
使当 n > N2 时, 有
从而
ynba 2ba 2b
取 N m N 1 ,N a 2 ,x 则当 n > N 时, 便有
组成的数列：
1 2k
是其子数列. 它的第k 项是 x n kx 2k2 1 k (k1 ,2 ,3 ， )
(2) 收敛数列与其子数列的关系
定理2.4
若nl i m xna, 则 {xn}的任意子 { xnk } 也收敛，且 kl i m xnka.
证设
的任一子数列 .
若
则 0, N,当
时, 有
第二节
第二章
极限的基本性质
一、收敛数列的性质 1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性
4. 收敛数列与其子列的关系
第二章
二、函数极限的性质 1. 唯一性 2. 局部有界性 3. 局部保号性 4. 函数极限与数列极限的关系
一、收敛数列的性质
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
函数 f (x) 有界.
3. 局部保号性
定理2.3' (函数极限的局部保号性)
(1) 如果
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f(x)0. (f(x)0)
(2) 如果
据此，可由函极数限在符 该号点推邻得域函内数的在符该号点 推得邻极域限内符的号符号
高等数学 第二节 数列的极限
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
收敛数列的性质
§ 2.2 收敛数列的性质教学内容：第二章数列极限一一§ 2.2 收敛数列的性质教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法•教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用•教学难点：数列极限的计算.教学方法：讲练结合•教学过程：引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lima, a的方法，这是极限较基本n的内容，要求掌握•为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题•还需要对数列的性质作进一步讨论.一、收敛数列的性质性质1 （极限唯一性）若数列｛an｝收敛，则它的极限唯一•证法一假设3与b都是数列｛a n｝的极限，则由极限定义，对0 ，N I,N2¥,当N I时，有an a取N ma* N i, N2），则当n N时有| a b| | (a n b) (a. a) | | a. a| | a.b| 2由的任意性，上式仅当a b时才成立•证法二（反证）假设｛a n｝极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为a，bba lim a n a lim a n bb 0n 11n 11且a b故不妨设a取2a n a a b由定义,N1¥，当n N1时有a n a2 .b a b又N2¥，当n N2时有a n b a n2，a ba ______ a因此，当n ma）（N I，N2）时有n 2 n矛盾，因此极限值必唯性质2（有界性）如果数列｛an｝收敛，则｛an｝必为有界数列.即M0，使对n有|an| M证明设回办a取1，N 0使得当n N时有an a 1即|a n | |a| |a n a| 1 I a n | | a | 1 . 令M max（1 | a |,| & |,|a2 |,」a” |）则有对n l a n l M即数列｛a n｝有界.注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如｛（ Di.②在证明时必须分清何时用取定，何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定，不能用任给，否则N随在变，找到的M也随在变，界M的意义就不明确了•「十，亠…、lim a n a lim a n b性质3 （保序性）设n，n，（1）若a b，则存在N使得当n N时有an bn;（2）若存在N，当n N时有an bn，则a b （不等式性质）.证明（1）取N1时1弘a|0 N2 ，则存在N1，当na n从而又存在N 2，当 n N 2时1bn b|当 n max( N-N ?)时 bna b a n 2（2）（反证）如a b，则由⑴知必bn这与已知矛盾.I ・推论（保号性）若nim anN ，当n N 时anb.特别地，若nlim a nN ，当n N 时an 与a 同号.思考 如把上述定理中的anbn换成anb n能否把结论改成lim na nlim nb n ？例设 an 0（门 1,2，）， 若 n iman a，则lim . a n .. an证明 由保序性定理可得 a 0.若a 0，则N i 时有an即 n im an 0 a 若a 0，则 0， N 2N2时有|a nL, a n a || a n a|| a n a | a数列较为复杂，如何求极限? 性质4 （四则运算法则） 若｛an ｝、｛bn ｝都收敛, 则{a n{a nbn｝、｛a n b n ｝也都收敛,nim(anb n )lim a n lim b nnnlim na nb nlim na n limb nnlim ca n clim a n特别地，nn，C 为常数如再有lim nb na n则E 也收敛，且..a n lim n bnlim a nnlim b nn证明由于an bn an （a n a n 1)b nb n丄bn，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可max( N I ,N 2)，则当 nN时上两式同时成立.IM ab| (M | a |)lim 丄 1 n b n b用数学归纳法，可得有限个序列的四则运算:但将上述N 换成，一般不成立.事实上k 1或k 1本身也是一种极限，两种极限交换次序 是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体 什么条件，到后面我们会系统研究这个问题•性质5 （两边夹定理或迫敛性） 设有三个数列｛a n ｝、｛b n ｝、｛C n ｝，女口 N ，当门N 时有a cb lim a limb l limc l ancnbn^且 n a nnbn丨 则 ncnl* lim设na n a limb n bn0，Ni，当 n N i 时a n a ；N 2 当 nN2时b n b(1)|a n b n ab| | (a . a)ga(b nb)| | a n a ||g ||a||b n b|由收敛数列的有界性,M 0，对n 有1 b n 丨M 故当nN时，有lim a n b由的任意性知n nablim b n b 0(2)n.由保号性，N ° °及k 0，对knN o 有1 b n 丨k （如可令!AI 2取 N max( N °, N 2)，则当n N 时有bn|b n b||b n b|I b n b| _k|b| k|b|，由的任意性得Nlim x n k)n k 1lim x n k) k 1 nN(k)limx nnk 1N(k)lim x nnk 1证明n im a n n im b n l 0，N1, N2,当n N1 时，l a n l .当n N2 时，I b n l,取N o maX：N1，N2，N），则当n N o时以上两式与已知条件中的不等式同时成立，故有n N0时〔a n C n b n l|C n l | 即n im C n 该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法推论若N，当n N 时有a C n b n (或b n c n a)且bn a，则lim c n a n例求证n"mnan! (a 0).证明从而当n k时有n an!k a ak! nlim 由于nkak! k?nim由推论即可得结论.例设a i , a2 ，am是m个正数，证明n m ' a1 a2a m max(d,a2, ,a m) 证明设 A max(a1,a2, a m)，贝y A V a1n n a2 n a m \'mAnim3m1，由迫敛性得结论•例 1 n im^a 1(a 1)在证明中,令hn n.a 0 a (1 h nan，由此推出h n 0由此例也看出由X n Z n y n 和n im X n a limny n 也推出n m Z nI・例2证明n、n 11 h nJn (1 h n)n 1 nh n n(n2%2n(n 1) 2(n 3)两边夹推出h n 0，即；n 1. 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则 .下举几例:lim 求极限n4n 2 6n 1「 4n 2 6n 1 lim 2lim 解 n 3n n 9 nlim (1 a例4 求极限nlim (1 aa ) 解 n23n 例3 n4 6 n 1 4 3丄 n 93n \a )(0 a 1)lim n1 na11 a 1 a .liml n nlimn3n 1 n 1 lim n nlim (3 丄)lim(1 丄)nn(lim 3 lim -)(lim 1 n nn nlim ) n nlimma m nk 1b k 1nam a o dn b 0k ，am0 b k解原式 lim n m k a m・b k1 k ka 〔n a °nb °n 分子分母最高次数相同 amb m 0, m k ，为最高次系数之比即有理式的极限分子最高次低于分母最高次，则为0 .2n 3 4n 25 2 如 nim 3n 3 10n 7 3 . 例7 n im n( n 1 mlimnlim —丄丄n111112例8设a ,b，证明 n n . nlim■- a bmaX a , b)证明max(a ,b) n max(a,b)n n a n b n n 2max(a,b)n max(a,b)二、数列的子列（一）引言极限是个有效的分析工具•但当数列a n的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道a n没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究•那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”.（二）子列的定义定义1设a n为数列，n k为正整数集N的无限子集，且厲n2 n3 L n k L，则数列an1, a n2丄，a n k, L称为数列a n的一个子列，简记为a n k.注1由定义可见，a n的子列a n k的各项都来自a n且保持这些项在a n中的的先后次序.简单地讲，从a n中取出无限多项，按照其在a n中的顺序排成一个数列，就是a n的一个子列（或子列就是从a n 中顺次取出无穷多项组成的数列）.注2子列a n k中的n k表示a n k是a.中的第m项，k表示a n k是a%中的第k项，即a.k 中的第k项就是a n中的第n k项，故总有n k k .特别地，若％ k，则a“k a“，即a n k a n.注3数列a n本身以及a n去掉有限项以后得到的子列，称为a n的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为a n的非平凡子列.女口a2k , a2ki都是a n的非平凡子列.由上节例知：数列可与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限•那么数列a n的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：定理2.8 数列｛a n｝收敛的充要条件是：｛a n｝的任何非平凡子列都收敛.证明必要性：设0an a,｛ank｝是｛a｝的任一子列•任给0，存在正数N,使得当k Na a r i时有ak a .由于n k k ，故当k N 时有n k N ，从而也有n k，这就证明了 ｛an k｝收敛(且与｛a n ｝有相同的极限).充分性:考虑｛an ｝的非平凡子列｛a2k ｝，｛a2k1｝与｛a3k ｝.按假设,它们都收敛.由于｛a6k ｝既是｛a 2k ｝，又是｛a 3k ｝的子列，故由刚才证明的必要性，又｛a 6k 3｝既是｛a 2k 1｝又是｛a 3k ｝的子列，同样可得所以由课本例7可知｛缶｝收敛.由定理2. 8的证明可见，若数列｛a n ｝的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与 ｛a n ｝必 收敛于同一个极限•于是，若数列｛a n ｝有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则 数列｛a n ｝ 一定发散•例如数列｛( 1)n ｝，其偶数项组成的子列｛( 1)2n ｝收敛于1,而奇数项组成的是判断数列发散的有力工具.K2aK6 a mK3aK 3amk 2am K2aK2a2k 1子列｛( 1)｝收敛于1，从而｛( 1)n ｝发散•再如数列n {sin T }它的奇数项组成的子列2k 1 {sin—｝k 1即为｛( 1) ｝，由于这个子列发散，故数列{sinn2 发散.由此可见，定理 2. 81。
高等数学上册 1.2 数列的极限
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
收敛数列的性质
b,
0,
存在
N
,
当 n N 时, 有 | an a | , | bn b | , 所以
| an bn a b | | an a | | bn b | 2 ,
由 旳任意性, 得到
nliman
bn
a
b
lim
n
an
lim
n
bn .
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 {bn } 有界, 设 | bn | M .
例7 设 a1, a2 , , am 为 m 个正数, 证明
n
lim
n
a1n
a2n
amn max { a1, a2 ,
证 设 a max { a1, a2, , am } . 由
, am } .
n
a
a1n a2n
amn n m a,
lim n m a lim a a ,
n
n
n
a1 b1
1
nm1 1
nm1
a0 b0
1
nm 1
nm
am . bm
(2) 当 m < k 时, 有
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lim
n
amnm bk nk
am1nm1 bk1nk1
a1n a0 b1n b0
lim
n
1 nkm
lim n
am am1 bk bk1
1
n 1
n
0 am 0.
lim
n
1
a
n
a
n
lim an
n
1 lim an
0.
n
(2) a 1,
an
2收敛数列
2收敛数列一、收敛数列的性质定理1 (唯一性) 若数列aₙ收敛，则它的极限是唯一的.证法一：设aₙ有两个极限a和b.若a≠b，则存在a和b和两个不相交的邻域.一方面，当n充分大时，a，后面所有的项全落在a的邻域中：另一方面，当n充分大时，aₙ后面所有的项又全落在b的邻域中，前后矛盾，从而a=b。
证法二：若a和b是aₙ的两个极限,则只要证a=b,即证∀ε>0,有|a-b|<ε.设lim n→∞a n=a n lim n→∞a n=b,则∀ε>0. ∃N₁∈N₊∀n>N₁,有|aₙ−a|< c∃N₂∈N₊,∀n>N₂,有|aₙ−b|<ε当n>N₁且n>N₁时,即取N=max{N₁,N₁},当n>N时,①与②同时成立,从而有|a−b|=|(a−aₓ)+(aₙ−b)|≤|a−aₙ|+|aₙ−b|<c+c=2c,问题得证. (请读者自行完成详细证明过程)定理2 (有界性) 若数列{a₁}收敛，则数列aₙ有界，即3M>0. Vn e N..有|aₙ|<M,证法：由极限定义，从数列的某项a₁起后面所有的项都有界，数列的前N项是有限项，从而可以找到M>0.注：1)定理2等价于：若数列aₙ无界，则数列发散，比如，数列2ⁿ无界，所以它是发散的.2)有界数列不一定收敛，比如，数列(−1)ⁿ有界，但它并不收敛，定理 3 (保序性) 若lim n→∞a n=a lim n→∞b n=b,且a<b , 则∃N∈N₊,∀n>N,有aₙ<bₙ.证法：一方面，由a<b知，存在a和b的两个互不相交的邻域(比如邻域半径可取b−a);另一方面，由数列极限定义知，对任意事先指定的邻域。
3N∈N ,∀n>N, 2有an全落在a的邻域中, 而bₙ全落在b的邻域中.因此，3N∈N ₁,∀n>N,有( aₙ<bₙ.推论1 若 lim n→∞a n =a 与 lim n→∞b n =b,且∃N ∈N ,∀n>N.有 aₙ≤bₙ(aₙ≥bₙ),则 a≤b(a≥b).证法：用反证法。
高等数学第2章第2节收敛数列的性质
§２ 收敛数列的性质引 言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞=的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握．为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题．还需要对数列的性质作进一步讨论．一、收敛数列的性质１ 极限唯一性定理2.2 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限． ２ 有界性定理2.3 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列．注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件．例如数列{}(1)n-有界，但它不收敛．３ 保号性定理2.4 若lim 0n n a a →∞=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得当n N >时有n a a '>（或n a a '<）．注 在应用保号性时，经常取2'aa =． ４ 保不等式性定理 2.5设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则l i m l i m n n n n a b →∞→∞≤．思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞→∞<？保不等式性的一个应用：例1 设0(1,2,3,)n a n ≥= ，证明：若lim n n a a →∞=，则n =思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？５ 迫敛性定理 2.6设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具． 下面是其应用一例：例2 求数列的极限．６ 极限的四则运算法则定理2.7 若{}n a 、{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都收敛，且有lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞±=±=±;lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅.若再做假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也收敛，且有 lim lim lim nn n n n nn a a a b b b →∞→∞→∞==. 特别地，若n b c =，则lim()lim n n n n a c a c →∞→∞+=+，lim lim n n n n ca c a →∞→∞=.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则．下举几例； 例3 求 nn n n n 113lim++∞→例4 求 65214lim 22-++∞→n n n n类似可求 11101110lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++ ，其中,0,0m k m k a b ≤≠≠.例5 求1lim +∞→n nn a a ，其中1a ≠-.例6求n .例7 求222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭ . 二 数列的子列１． 引言极限是个有效的分析工具．但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效．这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究．那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”． ２． 子列的定义定义１ 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<< ，则数列12,,,,k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}k n a .注1 由定义可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序．简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列．注2 子列{}k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{}k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{}{}k n n a a =.注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列．由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理 数列{}n a 收敛⇔{}n a 的任何非平凡子列都收敛．注 若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散．这是判断数列发散的一个很方便的方法．如})1{(n -，})1{(2k -收敛于1，})1{(12+-k 收敛于1-，故})1{(n -发散．例7 证明 }2{sinπn 发散． 作业：P33 1（1）（4）（5），2，4（1）（4）（6），6（1）。
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§２ 收敛数列的性质
引 言
上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞
=的方法，这是极限较基本的内容，要
求掌握．为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题．还需要对数列的性质作进一步讨论．
一、收敛数列的性质
１ 极限唯一性
定理2.2 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限． ２ 有界性
定理2.3 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列．
注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件．例如数列{}
(1)n
-有界，但它不收敛．
３ 保号性
定理2.4 若lim 0n n a a →∞
=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得
当n N >时有n a a '>（或n a a '<）．
注 在应用保号性时，经常取2
'
a
a =． ４ 保不等式性
定理 2.5设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则
l i m l i m n n n n a b →∞
→∞
≤．
思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞
→∞
<？
保不等式性的一个应用：
例1 设0(1,2,3,)n a n ≥= ，证明：若lim n n a a →∞
=，则n =
思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？
５ 迫敛性
定理 2.6设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有
n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞
=.
注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具． 下面是其应用一例：
例2 求数列
的极限．
６ 极限的四则运算法则
定理2.7 若{}n a 、{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都收敛，且有
lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞
→∞
→∞
±=±=±;
lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞
→∞
→∞
⋅=⋅=⋅.
若再做假设0n b ≠及lim 0n n b →∞
≠，则数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
也收敛，且有 lim lim lim n
n n n n n
n a a a b b b →∞→∞→∞
==. 特别地，若n b c =，则lim()lim n n n n a c a c →∞
→∞
+=+，lim lim n n n n ca c a →∞
→∞
=.
在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则．下举几例； 例3 求 n
n n n n 1
13lim
++∞→
例4 求 6
521
4lim 22-++∞→n n n n
类似可求 1110
1110
lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++ ，其中,0,0m k m k a b ≤≠≠.
例5 求1
lim +∞→n n
n a a ，其中1a ≠-.
例6
求n .
例7 求222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫
+++
⎪+⎝
⎭ . 二 数列的子列
１． 引言
极限是个有效的分析工具．但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效．这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究．那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推
断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”． ２． 子列的定义
定义１ 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<< ，则数列
12,,,,k n n n a a a
称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}
k n a .
注1 由定义可见，{}n a 的子列{}
k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序．简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从
{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列．
注2 子列{}
k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{}
k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{}
{}k n n a a =.
注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．
如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列．由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．
那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理 数列{}n a 收敛⇔{}n a 的任何非平凡子列都收敛．
注 若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散．这是判断数列发散的一个很方便的方法．如})1{(n -，})1{(2k -收敛于1，})1{(12+-k 收敛于1-，故})1{(n -发散．
例7 证明 }2
{sin
π
n 发散． 作业：P33 1（1）（4）（5），2，4（1）（4）（6），6（1）。