收敛数列的性质
收敛数列的性质
lim n n 1
n
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
n 2 n
lim
n n 1
lim
1
1,
由夹逼定理得
6 绝对值收敛性:
lim a n a, lim a n a .
n n
( 注意反之不成立 ).
0.
lim a n 0, lim a n
n n
推论 设数列 { an } 和 {
bn
n
(6), 收敛数列与其子列的关系.
作业 P33: 1, 2, 3, 4, 6.
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
x n1 , x n2 ,, x nk ,
注意： 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，
n
am n a1n a0 例3 求 lim n b n k b1n b0 k
m
例4 求
an lim n n a 1
解： 分 a=1， |a|<1， |a|>1 三种 情况 n ( n 1 n ) 例4 求 lim n 解：（分子有理化）
8、子数列的收敛性
§2 收敛数列的性质
n→ ∞
n 充分大时有 a n > α ; a n < β ;
2 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且 a < b , 那么当
n→ ∞ n→ ∞
n 充分大时有 a n < bn ; 3 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且当 n 充分大时
因此 , an = a + α n , bn = b + β n
并且 lim α
n→∞
n
= lim β n = 0
n→∞
进一步整理
a1bn + a2bn1 + ...... + anb1 n nab + b (α1 +α2 +....αn ) + a ( b1 + b2 + ...... + bn ) + (α1βn + .... +αnβ1 ) = n
例 4 设 a > 0, 求 证 :lim a = 1
n→ ∞
1 n
证明 : 先设 a ≥ 1, 当 n > a 时 , 我们有 1≤ a ≤ n
1 n
1 n 1 n
由于 lim n = 1, 由夹逼定理 , 知
n→ ∞
lim a = 1对 a ≥ 1成立 .
n→ ∞
1 n
再设a ∈ (0, 1), 这时a 1 > 1, 于是
1 lim a = = 1. 1 = n→ ∞ 1 n 1 lim n→ ∞ a
1 n
1
2-2收敛数列的性质
唯一性
有界性
保号性
保不等式性
保不等式性
定理2.5
设 { an }, { bn } 均为收敛数列, 如果存在正数 N0 ,
当 n N0 时, 有 an bn ,
则
lim
n
an
lim
n
bn
.
证
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
若
b
a,
取
ab, 2
由保号性定理,存在 N N0,当 n N 时,
因为 是任意的，所以 a b .
| an a | ;
(1)
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§2 收敛数列的性质
有界性
唯一性
有界性
保号性
保不等式性
定理2.3
若数列 {an } 收敛, 则 {an } 为有界数列 ， 即存在 M 0, 使得 | an | M , n 1, 2,L .
是严格不等式.
例如 ,
虽然
1 n
2 n
,
但 lim 1 n n
lim
n
2 n
0.
数学分析 第二章 数列极限
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§2 收敛数列的性质
迫敛性（夹逼原 理）
极限的四则 运算
迫敛性 (夹逼原理)
一些例子
定理2.6
设数列 {an }, {bn }都以 a 为极限, 数列{cn} 满足:
存在N0 ,当 n N0 时, 有 an cn bn , 则
数学分析 第二章 数列极限
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后退 前进 目录 退出
§2 收敛数列的性质
收敛数列的性质和函数极限的性质
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xnaa 2ba 2b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
同理, 因 limynb, 故存在 N2 ,
n
使当 n > N2 时, 有
从而
ynba 2ba 2b
取 N m N 1 ,N a 2 ,x 则当 n > N 时, 便有
组成的数列：
1 2k
是其子数列. 它的第k 项是 x n kx 2k2 1 k (k1 ,2 ,3 ， )
(2) 收敛数列与其子数列的关系
定理2.4
若nl i m xna, 则 {xn}的任意子 { xnk } 也收敛，且 kl i m xnka.
证设
的任一子数列 .
若
则 0, N,当
时, 有
第二节
第二章
极限的基本性质
一、收敛数列的性质 1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性
4. 收敛数列与其子列的关系
第二章
二、函数极限的性质 1. 唯一性 2. 局部有界性 3. 局部保号性 4. 函数极限与数列极限的关系
一、收敛数列的性质
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
函数 f (x) 有界.
3. 局部保号性
定理2.3' (函数极限的局部保号性)
(1) 如果
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f(x)0. (f(x)0)
(2) 如果
据此，可由函极数限在符 该号点推邻得域函内数的在符该号点 推得邻极域限内符的号符号
§2.2收敛数列性质
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
12
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
1 1 1 练习1 求极限: lim n n 1 n 2 n n
1 解： n n n 1
n
lim
n
1 n n
注 有界性是数列收敛的必要条件, 不是充分条件. n 例:数列 {(1) } 是有界的, 但却不收敛. 推论 无界数列必定发散.
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3
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
a n a , 且b a c, 定理 2.4（保号性） 设 lim n
当n N时, 有 a n bn .
ab 证 由 于a b, 由保号性 2 ab an . N 1 N , 当n N 1时, 2 ab bn . N 2 N , 当n N 2时, 2
取N max{N 1 , N 2 }, 当n N时, a n bn .
二、 极限的四则运算
定理2.7
设 lim an a , lim bn b, 则
n n
n
(1) lim(a n bn ) a b;
( 2) lim(a n bn ) a b;
n
an a ( 3) lim , 其中b 0. n b b n
n
则n n 1 hn ,
2 . n
n( n 1) 2 n (1 hn ) 1 hn n 2 , 则hn 2 n 2 故 1 n 1 hn 1 . 又因 n 2 1 , l im 1 l im 1 n n n
收敛数列的性质
b,
0,
存在
N
,
当 n N 时, 有 | an a | , | bn b | , 所以
| an bn a b | | an a | | bn b | 2 ,
由 旳任意性, 得到
nliman
bn
a
b
lim
n
an
lim
n
bn .
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 {bn } 有界, 设 | bn | M .
例7 设 a1, a2 , , am 为 m 个正数, 证明
n
lim
n
a1n
a2n
amn max { a1, a2 ,
证 设 a max { a1, a2, , am } . 由
, am } .
n
a
a1n a2n
amn n m a,
lim n m a lim a a ,
n
n
n
a1 b1
1
nm1 1
nm1
a0 b0
1
nm 1
nm
am . bm
(2) 当 m < k 时, 有
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lim
n
amnm bk nk
am1nm1 bk1nk1
a1n a0 b1n b0
lim
n
1 nkm
lim n
am am1 bk bk1
1
n 1
n
0 am 0.
lim
n
1
a
n
a
n
lim an
n
1 lim an
0.
n
(2) a 1,
an
§2.2收敛数列的性质
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
收敛数列的性质
§1.2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质：定理1（唯一性）： 数列 n x 不能收敛于两个不同的极限。
即数列收敛，则它只有一个极限。
证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。
由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n (1)当2N n >时，有 ε<-b x n (2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。
现考虑： εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。
定理2 （有界性）： 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。
即存在一个正数M ，使得对一切正整数n 有||n a M ≤。
证明：设lim n n a a →∞=。
取1ε=，则存在正数N ，对一切n N >有||1n a a -<即11n a a a -<<+。
记12max{||,||,,||,|1|,|1|}N M a a a a a =-+ ，则对一切正整数n 有||n a M ≤。
定理3（保不等式性）： 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列。
若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则limlim n n n n a b →∞→∞≤。
证明： 设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==。
0ε∀>，分别存在正数1N 与2N ，使得当1n N >时有n a a ε-<，使得当2n N >时有n b b ε<+。
取012max{,,}N N N N =，则当n N >时有n n a a b b εε-<≤<+。
由此得到2a b ε<+。
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§ 2.2 收敛数列的性质教学内容：第二章数列极限一一§ 2.2 收敛数列的性质教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法•教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用•教学难点：数列极限的计算.教学方法：讲练结合•教学过程：引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lima, a的方法，这是极限较基本n的内容，要求掌握•为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题•还需要对数列的性质作进一步讨论.一、收敛数列的性质性质1 （极限唯一性）若数列｛an｝收敛，则它的极限唯一•证法一假设3与b都是数列｛a n｝的极限，则由极限定义，对0 ，N I,N2¥,当N I时，有an a取N ma* N i, N2），则当n N时有| a b| | (a n b) (a. a) | | a. a| | a.b| 2由的任意性，上式仅当a b时才成立•证法二（反证）假设｛a n｝极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为a，bba lim a n a lim a n bb 0n 11n 11且a b故不妨设a取2a n a a b由定义,N1¥，当n N1时有a n a2 .b a b又N2¥，当n N2时有a n b a n2，a ba ______ a因此，当n ma）（N I，N2）时有n 2 n矛盾，因此极限值必唯性质2（有界性）如果数列｛an｝收敛，则｛an｝必为有界数列.即M0，使对n有|an| M证明设回办a取1，N 0使得当n N时有an a 1即|a n | |a| |a n a| 1 I a n | | a | 1 . 令M max（1 | a |,| & |,|a2 |,」a” |）则有对n l a n l M即数列｛a n｝有界.注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如｛（ Di.②在证明时必须分清何时用取定，何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定，不能用任给，否则N随在变，找到的M也随在变，界M的意义就不明确了•「十，亠…、lim a n a lim a n b性质3 （保序性）设n，n，（1）若a b，则存在N使得当n N时有an bn;（2）若存在N，当n N时有an bn，则a b （不等式性质）.证明（1）取N1时1弘a|0 N2 ，则存在N1，当na n从而又存在N 2，当 n N 2时1bn b|当 n max( N-N ?)时 bna b a n 2（2）（反证）如a b，则由⑴知必bn这与已知矛盾.I ・推论（保号性）若nim anN ，当n N 时anb.特别地，若nlim a nN ，当n N 时an 与a 同号.思考 如把上述定理中的anbn换成anb n能否把结论改成lim na nlim nb n ？例设 an 0（门 1,2，）， 若 n iman a，则lim . a n .. an证明 由保序性定理可得 a 0.若a 0，则N i 时有an即 n im an 0 a 若a 0，则 0， N 2N2时有|a nL, a n a || a n a|| a n a | a数列较为复杂，如何求极限? 性质4 （四则运算法则） 若｛an ｝、｛bn ｝都收敛, 则{a n{a nbn｝、｛a n b n ｝也都收敛,nim(anb n )lim a n lim b nnnlim na nb nlim na n limb nnlim ca n clim a n特别地，nn，C 为常数如再有lim nb na n则E 也收敛，且..a n lim n bnlim a nnlim b nn证明由于an bn an （a n a n 1)b nb n丄bn，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可max( N I ,N 2)，则当 nN时上两式同时成立.IM ab| (M | a |)lim 丄 1 n b n b用数学归纳法，可得有限个序列的四则运算:但将上述N 换成，一般不成立.事实上k 1或k 1本身也是一种极限，两种极限交换次序 是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体 什么条件，到后面我们会系统研究这个问题•性质5 （两边夹定理或迫敛性） 设有三个数列｛a n ｝、｛b n ｝、｛C n ｝，女口 N ，当门N 时有a cb lim a limb l limc l ancnbn^且 n a nnbn丨 则 ncnl* lim设na n a limb n bn0，Ni，当 n N i 时a n a ；N 2 当 nN2时b n b(1)|a n b n ab| | (a . a)ga(b nb)| | a n a ||g ||a||b n b|由收敛数列的有界性,M 0，对n 有1 b n 丨M 故当nN时，有lim a n b由的任意性知n nablim b n b 0(2)n.由保号性，N ° °及k 0，对knN o 有1 b n 丨k （如可令!AI 2取 N max( N °, N 2)，则当n N 时有bn|b n b||b n b|I b n b| _k|b| k|b|，由的任意性得Nlim x n k)n k 1lim x n k) k 1 nN(k)limx nnk 1N(k)lim x nnk 1证明n im a n n im b n l 0，N1, N2,当n N1 时，l a n l .当n N2 时，I b n l,取N o maX：N1，N2，N），则当n N o时以上两式与已知条件中的不等式同时成立，故有n N0时〔a n C n b n l|C n l | 即n im C n 该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法推论若N，当n N 时有a C n b n (或b n c n a)且bn a，则lim c n a n例求证n"mnan! (a 0).证明从而当n k时有n an!k a ak! nlim 由于nkak! k?nim由推论即可得结论.例设a i , a2 ，am是m个正数，证明n m ' a1 a2a m max(d,a2, ,a m) 证明设 A max(a1,a2, a m)，贝y A V a1n n a2 n a m \'mAnim3m1，由迫敛性得结论•例 1 n im^a 1(a 1)在证明中,令hn n.a 0 a (1 h nan，由此推出h n 0由此例也看出由X n Z n y n 和n im X n a limny n 也推出n m Z nI・例2证明n、n 11 h nJn (1 h n)n 1 nh n n(n2%2n(n 1) 2(n 3)两边夹推出h n 0，即；n 1. 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则 .下举几例:lim 求极限n4n 2 6n 1「 4n 2 6n 1 lim 2lim 解 n 3n n 9 nlim (1 a例4 求极限nlim (1 aa ) 解 n23n 例3 n4 6 n 1 4 3丄 n 93n \a )(0 a 1)lim n1 na11 a 1 a .liml n nlimn3n 1 n 1 lim n nlim (3 丄)lim(1 丄)nn(lim 3 lim -)(lim 1 n nn nlim ) n nlimma m nk 1b k 1nam a o dn b 0k ，am0 b k解原式 lim n m k a m・b k1 k ka 〔n a °nb °n 分子分母最高次数相同 amb m 0, m k ，为最高次系数之比即有理式的极限分子最高次低于分母最高次，则为0 .2n 3 4n 25 2 如 nim 3n 3 10n 7 3 . 例7 n im n( n 1 mlimnlim —丄丄n111112例8设a ,b，证明 n n . nlim■- a bmaX a , b)证明max(a ,b) n max(a,b)n n a n b n n 2max(a,b)n max(a,b)二、数列的子列（一）引言极限是个有效的分析工具•但当数列a n的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道a n没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究•那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”.（二）子列的定义定义1设a n为数列，n k为正整数集N的无限子集，且厲n2 n3 L n k L，则数列an1, a n2丄，a n k, L称为数列a n的一个子列，简记为a n k.注1由定义可见，a n的子列a n k的各项都来自a n且保持这些项在a n中的的先后次序.简单地讲，从a n中取出无限多项，按照其在a n中的顺序排成一个数列，就是a n的一个子列（或子列就是从a n 中顺次取出无穷多项组成的数列）.注2子列a n k中的n k表示a n k是a.中的第m项，k表示a n k是a%中的第k项，即a.k 中的第k项就是a n中的第n k项，故总有n k k .特别地，若％ k，则a“k a“，即a n k a n.注3数列a n本身以及a n去掉有限项以后得到的子列，称为a n的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为a n的非平凡子列.女口a2k , a2ki都是a n的非平凡子列.由上节例知：数列可与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限•那么数列a n的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：定理2.8 数列｛a n｝收敛的充要条件是：｛a n｝的任何非平凡子列都收敛.证明必要性：设0an a,｛ank｝是｛a｝的任一子列•任给0，存在正数N,使得当k Na a r i时有ak a .由于n k k ，故当k N 时有n k N ，从而也有n k，这就证明了 ｛an k｝收敛(且与｛a n ｝有相同的极限).充分性:考虑｛an ｝的非平凡子列｛a2k ｝，｛a2k1｝与｛a3k ｝.按假设,它们都收敛.由于｛a6k ｝既是｛a 2k ｝，又是｛a 3k ｝的子列，故由刚才证明的必要性，又｛a 6k 3｝既是｛a 2k 1｝又是｛a 3k ｝的子列，同样可得所以由课本例7可知｛缶｝收敛.由定理2. 8的证明可见，若数列｛a n ｝的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与 ｛a n ｝必 收敛于同一个极限•于是，若数列｛a n ｝有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则 数列｛a n ｝ 一定发散•例如数列｛( 1)n ｝，其偶数项组成的子列｛( 1)2n ｝收敛于1,而奇数项组成的是判断数列发散的有力工具.K2aK6 a mK3aK 3amk 2am K2aK2a2k 1子列｛( 1)｝收敛于1，从而｛( 1)n ｝发散•再如数列n {sin T }它的奇数项组成的子列2k 1 {sin—｝k 1即为｛( 1) ｝，由于这个子列发散，故数列{sinn2 发散.由此可见，定理 2. 81。