数学基础训练45 数列的极限及四则运算
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
高考数学极限的四则运算
n
我们可以根据已知的几个简单
函数的极限，求出较复杂的函
数的极限.
( x 3x). 例1、求 lim x 2
2
解: lim ( x 3 x ) lim x 2 lim 3 x
2 x2
x2
x2
(lim x ) 3 lim x
2 x2 x2
2 3 2 10
0
2）当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数 f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的 左极限，记作 lim f ( x) a.
x x 0
3）如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时， 函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处 f ( x) a . 的右极限，记作 xlim x
x
0.9
0.99 0.999 1
1.4995 1.5
1.001
1.50050
1.01
1.1
2x2 1 1.45556 1.49505 2x
1.50505 1.55455
观察该极限与上题极限之间存在关系吗?
2x 1 1 lim lim x lim x 1 x 1 x 1 2 x 2x
2
x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x)
x x0 x x0
x x0
lim x x0
n
n
x x0
lim [Cf ( x)] C lim f ( x)
x x0
2 x2 x 1 例2、求 lim 3 . 2 x 1 x 2 x 1
极限四则运算公式
极限四则运算公式好的，以下是为您生成的关于“极限四则运算公式”的文章：咱们来聊聊极限四则运算公式，这可是数学里挺重要的一块儿呢！先说说加法吧，极限的加法公式就像是搭积木，把两个趋近的数值加在一起。
比如说，当 x 趋近于某个数 a 时，f(x)的极限是 A，g(x)的极限是 B，那么 f(x) + g(x) 的极限就是 A + B。
这就好比你有一堆苹果，左边这堆有 A 个，右边那堆有 B 个，加起来就是总的个数。
我记得有一次，我在课堂上给学生们讲这个知识点。
有个调皮的小家伙一直坐不住，眼睛到处乱瞟。
我就故意叫他起来回答问题，问他如果一个函数当 x 趋近于 3 时极限是 5，另一个函数当 x 趋近于 3 时极限是 7，那它们相加的极限是多少。
这小家伙一开始还懵懵的，后来抓耳挠腮想了会儿，居然答对了！从那以后，他上课认真多了，对极限的四则运算也更上心了。
再说说减法，其实和加法差不多，就是把趋向的数值相减。
还是那个例子，当 x 趋近于 a 时，f(x)的极限是 A，g(x)的极限是 B，那么 f(x) - g(x) 的极限就是 A - B。
这就像你有两堆钱，一堆有 A 元，另一堆有B 元，算一下多出来多少，就是 A - B 元呗。
乘法的极限运算公式呢，就像是面积的计算。
如果当 x 趋近于 a 时，f(x)的极限是 A，g(x)的极限是 B，那么 f(x)×g(x) 的极限就是 A×B。
比如说，一个长方形的长随着某个变量趋近于一个值时极限是 A，宽趋近于的值极限是 B，那这个长方形面积的极限就是 A×B。
除法的极限运算相对复杂点儿，但也不难理解。
当 x 趋近于 a 时，f(x)的极限是A，g(x)的极限是B（B 不能为0 哦，不然就没意义啦），那么 f(x)÷g(x) 的极限就是 A÷B。
这就好比你有 A 个苹果要分给 B 个人，每个人能分到的苹果数的极限就是 A÷B 个。
高中数学优质课 课题：数列极限的四则运算
n
n2
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim n 1 1 n 2n 2
思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因
注： 极限的运算法则只能推广到有限多项， 当项
数无限时，要先求和（或积）再求极限
巩固练习:
求下列极限
2 4 6 2n
(1) lim n
n
an
)
lim
n
C
lim
n
an
Ca
应用举例：
例1 求下列极限
(1)
1
lim (
n
n
2
2) n
3n 2 (2) lim
n n
(3)
lim
n
2n2 3n2
n 2
(4)
lim
n
3n3 2n4
n n2
((43①是次21))数若分分高子nlnlinimim子于与m一分分分223般(33nn母子nn母n地1n24232的的中，2次次n最2n当nn22数数高分)相，3ln次nl子iinlmmnli同这inl项m分mi0lnmi2(，个3m的母32nl22n3这分in3系是m2n个n式1关数2n12nln2nlni2n1ni1m分在1)nlm于之2i3mn式n比lnn21ninl的ln3在minnli;1mimm3的nlnlniimm(n2②00多3(的322((若项0极2n30nl3分n0式的限i21nm20母时极是n))n11203，限n的220))0
课题：数列极限的四则运算
复习 回顾
函数极限的四则运算法则：
如果 lim f (x) a, lim g(x) b,那么
关于数列极限 练习
复习几个与极限知识相关的初等数学知识1.数轴上两点间距离如图，AB=AO ＋OB=1＋2=1－（-2）=1)2(--=)2(1--=A 、B 点对应的数的差的绝对值； DC=3－2=32-=23-=C 、D 点对应的数的差的绝对值；…………在数轴上，设点A 、B 对应的数为a 、b ，则A 与B 的距离d=b a -，d=b a -反映了a 、b 两个数接近的情况。
练习：如图，求A 和B 的距离，求C 和A 的距离。
解答：AB =22--=4; AC =32--=5. 2. 当a ≥0时，a =a ；当a ≤0时，a =－a 。
若a ≤m ，则－m ≤a ≤m. 练习：（1）化简：a a +-3（a ＜3）； 解答：a a +-3=－（a －3）＋a=3. （2）已知a ≤5，a 为整数，求a 的值。
解答：－5≤a ≤5，a 的值为－5到5的整数。
3.数列及通项公式与求和公式数列1，3，5，7，9，……，2n －1中，每个数都是数列的一项；第n 项用x n 表示，n 表示x n 着项所在的序号，叫项数；x 1=1，x ,2=3，x 3=5……，x n =2n －1，x n 代表数列的任何一项，“x n =2n －1”该是数列的通项公式。
数列通项公式“x n =2n －1”其实是一个函数关系式，这里正整数n 是自变量，x n 是自变量n 的函数。
因此，数列是定义在正整数集上的函数。
设等比数列x 1，x 2，x 3，……，x n ,……公比为q ，则x 2=x 1q ，x 3=x 1q 2，x 4=x 1q 3,……，x n =x 1q n-1x n =x 1q n-1为通项公式。
设等比数列前n 项的和为S n ，则S n =x 1＋x 1q ＋x 1q 2＋x 1q 3＋……＋x 1q n-1①两边同乘公比q ，则qS n =x 1q ＋x 1q 2＋x 1q 3＋x 1q 4＋……＋x 1q n②①－②得S n （1—q ）= x 1—x 1q n对于q ≠1，有S n =qq x n--1)(11.我们一般用{}x n代表一个数列，xn为该数列的第n 项。
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25 a 0 b 2 5 a
解得： a=25,b=20。
例5、求下列数列的极限：
1 2 3 n 1 lim 2 n n 1 3 7 2n 1 2 lim ( n ) n 2n 4n 8n 2 n
1 1 1 1 3 lim [ ] n 2 5 3n 13n 2 5 8 8 11
n
(5n an2 bn c )(5n an2 bn c ) 5n an2 bn c
5n an2 bn c c （25 a)n b n 2 lim n b c 5 a 2 n n
n
lim
25n 2 (an2 bn c)
x x
lim （f(x) · g(x)）=a· b；
f(x) a lim = x g(x) b (b≠0) 注：1）可推广到有限个数列的极限运算; 2)由此可得：
x
n=an。 lim lim [C · f (x)] =Ca (C 为常数）； ( f(x) )
x
（2）、当xxo时，函数f(x)极限的运算法则：
≠
x
lim
x2 3
3
x3 1
∴
lim
x2 3 x3 1
x 3
不存在。
例2、求极限：
x x 1 1) lim 4 x 2 x x 2
3
2) lim( x 1 x 1)
2 2 x
x x 3) lim( 2 ) x 2 x 1 2x 1
lim f(x) =a, 如果 x x
o
x
lim g(x) =b, x
o
极限四则运算
(3n 2)(3n 1)
1/3
例4： 已知lim x2 ax 3 b， 求常数a,b的值
x1
x 1
a=－2;b=－4
例5： 在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距， n
p 是周长，S 是面积
n
n
1） S 与p 有什么关系
n
n
2）
求 lim
rn与lim
p n
n
n
3） 利用1),2)的结果， 说明圆面积公式S R2
例6：1） 已知首项为a , 公比 1
为q(0 | q | 1)的无穷递缩等
比数列的前n项和为S ， n
求 lim
S n
n
R O rn
2)如图， 在直角坐标平面内， 动点P由原点O出发，
沿x轴正方向前进a个单位， 到达P点， 接着沿y轴 1
的正方向前进a 个单位， 到达P点， 而后又沿x轴
2
2
的负方向前进个 a 单位， 到达P点， 再沿y轴的负
22
3
方向前进 a 个单位到达P点，
23
4
y
以后将以上述方式运动无限继续
下去， 试求点P的极限位置。
P3
P2
P4 P5
作业：练习：P91 4a , 2a O 5 5
P1 x
极限的 四则运算
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f ( x) lim f (x) a lim f ( x) a
x
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a
数列极限的四则运算
问题2：如果不能看出函数值的变化趋势， 那么怎样才能把问题转化为已知能求的函数 极限？转化的数学方法与依据是什么？
为了解决这些问题，我们有必要给出 函数极限的运算法则：（证明从略）
函数极限的四则运算： 如果
那么
注意：使用极限
运算法则的前提
是各部分极限存
次数相同，这个分式在
的极限是分子与分母中最高次项的系数之
比; ②若分母的次数高于分子的次数，这个分式在
的极限是0
（2） 求
的函数极限问题转化为求
的数列极限问题
（3） 当项数无限时，要先求和（或积）再求极限
Thank you!
数列极限的四则运算： 如果
那么
特别地，如果C是常数，那么
注：上述法则可推广到有限个数列的加，减，乘，除。
几个基本数列的极限：
观察
归纳
（k是常数， 是正整数）
(c为常数)
c=c (c为常数)
例1 、 求下列极限
一般地，当分子分母是关于n的的多项式时，
①若分子分母的次数相同，这个分式在
的极限是分子与分母中最高次项的系数之比;
②若分母的次数高于分子的次数，这个分式
在
的极限是0
变式练习：
（1）已知
=2 , 求a的值 ( 6 )
（2）求
的极限（
）
(3) 若 a=__-_4__b=___2____
,则
注： 求
的函数极限问题转化为求
列极限问题
的数
例题2、求下列极限
（1）
（2）
方法：分子，分母同除以 绝对值 最大的 底数的n次方
Hale Waihona Puke 例3 、思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因
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数学基础训练45 数列的极限及四则运算
●训练指要
数列极限的定义与运算法则，若|a |＜1,则∞→n lim a n
=0. 一、选择题
1.已知等比数列｛a n ｝的前三项分别为a ,
31,21++a a ,其中a ∈R ,则∞→n lim (a 1+a 2+…+a n )等于
A.9
B.6
C.2
9 D.3 2.在数列｛a n ｝中，有∞→n lim ［(2n -1)a n ］=1，∞→n lim a n 存在，则∞
→n lim (na n )的值为 A.0 B.21 C.1 D.-1
3.已知｛a n ｝是等比数列，如果a 1+a 2=12,a 2+a 3=-6,S n =a 1+a 2+…+a n ，那么∞
→n lim S n 的值等于 A.8 B.16 C.32 D.48
二、填空题
4.设无穷等比数列｛a n ｝的a 1=2,S =3,则公比q =_________.
5.已知∞
→n lim (2n -342+-kn n )=1,则k 的值为_________. 三、解答题
6.求下列数列的极限： (1))21(lim 32
3232n
n n n n +++∞→Λ; (2)302050)3()1(1lim --+∞→n n n n 7.求下列数列的极限. (1))1(lim n n n n -+∞→; (2)n
n n n n b a b a -+++∞→1
1lim (|a |≠|b |). 8.正数数列｛a n ｝中，a 1=2,lg a n =lg a n -1+lg t (t 为常数，且t ＞0).
(1)求｛a n ｝的通项公式； (2)求11lim
n -+∞→n
n a a .
数学基础训练45答案
一、1.A 2.B 3.B
二、4.
3
1 5.4 三、6.(1) 31 (2)1 7.(1)原式=.2
11111
lim 11lim =++=++∞→∞→n n n n n n (2)若｜a ｜＞｜b ｜.则原式=a a
b a b b a n
n
n =-+∞→)(1)(lim ;若｜a ｜＜｜b ｜,则原式=－b . 8.(1)a n =2·t n －1,(2)⎪⎩⎪⎨⎧>=<<-=-+∞→)1(1)1(3)10(111lim t t t a a n n n .。