数学基础训练45 数列的极限及四则运算

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极限的四则运算(数列极限、函数极限)

a
k
，lim（C n

an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1

x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）

3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2

3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn

3 5
[ 1
1
2

5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an

bn
)

185（3an

2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)

高考数学极限的四则运算

利用函数极限的运算法则，
n
我们可以根据已知的几个简单
函数的极限，求出较复杂的函
数的极限.
( x 3x). 例1、求 lim x 2
2
解: lim ( x 3 x ) lim x 2 lim 3 x
2 x2
x2
x2
(lim x ) 3 lim x
2 x2 x2
2 3 2 10
0
2）当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数 f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作 lim f ( x) a.
x x 0
3）如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处 f ( x) a . 的右极限，记作 xlim x
x
0.9
0.99 0.999 1
1.4995 1.5
1.001
1.50050
1.01
1.1
2x2 1 1.45556 1.49505 2x
1.50505 1.55455
观察该极限与上题极限之间存在关系吗?
2x 1 1 lim lim x lim x 1 x 1 x 1 2 x 2x
2
x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x)
x x0 x x0
x x0
lim x x0
n
n
x x0
lim [Cf ( x)] C lim f ( x)
x x0
2 x2 x 1 例2、求 lim 3 . 2 x 1 x 2 x 1

极限四则运算公式

极限四则运算公式好的，以下是为您生成的关于“极限四则运算公式”的文章：咱们来聊聊极限四则运算公式，这可是数学里挺重要的一块儿呢！先说说加法吧，极限的加法公式就像是搭积木，把两个趋近的数值加在一起。

比如说，当 x 趋近于某个数 a 时，f(x)的极限是 A，g(x)的极限是 B，那么 f(x) + g(x) 的极限就是 A + B。

这就好比你有一堆苹果，左边这堆有 A 个，右边那堆有 B 个，加起来就是总的个数。

我记得有一次，我在课堂上给学生们讲这个知识点。

有个调皮的小家伙一直坐不住，眼睛到处乱瞟。

我就故意叫他起来回答问题，问他如果一个函数当 x 趋近于 3 时极限是 5，另一个函数当 x 趋近于 3 时极限是 7，那它们相加的极限是多少。

这小家伙一开始还懵懵的，后来抓耳挠腮想了会儿，居然答对了！从那以后，他上课认真多了，对极限的四则运算也更上心了。

再说说减法，其实和加法差不多，就是把趋向的数值相减。

还是那个例子，当 x 趋近于 a 时，f(x)的极限是 A，g(x)的极限是 B，那么 f(x) - g(x) 的极限就是 A - B。

这就像你有两堆钱，一堆有 A 元，另一堆有B 元，算一下多出来多少，就是 A - B 元呗。

乘法的极限运算公式呢，就像是面积的计算。

如果当 x 趋近于 a 时，f(x)的极限是 A，g(x)的极限是 B，那么 f(x)×g(x) 的极限就是 A×B。

比如说，一个长方形的长随着某个变量趋近于一个值时极限是 A，宽趋近于的值极限是 B，那这个长方形面积的极限就是 A×B。

除法的极限运算相对复杂点儿，但也不难理解。

当 x 趋近于 a 时，f(x)的极限是A，g(x)的极限是B（B 不能为0 哦，不然就没意义啦），那么 f(x)÷g(x) 的极限就是 A÷B。

这就好比你有 A 个苹果要分给 B 个人，每个人能分到的苹果数的极限就是 A÷B 个。

高中数学优质课课题：数列极限的四则运算

n
n2
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim n 1 1 n 2n 2
思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因
注：极限的运算法则只能推广到有限多项，当项
数无限时，要先求和（或积）再求极限
巩固练习:
求下列极限
2 4 6 2n
(1) lim n
n

an
)

lim
n
C

lim
n
an
Ca
应用举例：
例1 求下列极限
(1)
1
lim (
n
n
2

2) n
3n 2 (2) lim
n n
(3)
lim
n
2n2 3n2

n 2
(4)
lim
n
3n3 2n4
n n2
((43①是次21))数若分分高子nlnlinimim子于与m一分分分223般(33nn母子nn母n地1n24232的的中，2次次n最2n当nn22数数高分)相，3ln次nl子iinlmmnli同这inl项m分mi0lnmi2(，个3m的母32nl22n3这分in3系是m2n个n式1关数2n12nln2nlni2n1ni1m分在1)nlm于之2i3mn式n比lnn21ninl的ln3在minnli;1mimm3的nlnlniimm(n2②00多3(的322((若项0极2n30nl3分n0式的限i21nm20母时极是n))n11203，限n的220))0
课题：数列极限的四则运算
复习回顾
函数极限的四则运算法则：
如果 lim f (x) a, lim g(x) b,那么

关于数列极限练习

复习几个与极限知识相关的初等数学知识1.数轴上两点间距离如图，AB=AO ＋OB=1＋2=1－（-2）=1)2(--=)2(1--=A 、B 点对应的数的差的绝对值； DC=3－2=32-=23-=C 、D 点对应的数的差的绝对值；…………在数轴上，设点A 、B 对应的数为a 、b ，则A 与B 的距离d=b a -，d=b a -反映了a 、b 两个数接近的情况。

练习：如图，求A 和B 的距离，求C 和A 的距离。

解答：AB =22--=4; AC =32--=5. 2. 当a ≥0时，a =a ；当a ≤0时，a =－a 。

若a ≤m ，则－m ≤a ≤m. 练习：（1）化简：a a +-3（a ＜3）；解答：a a +-3=－（a －3）＋a=3. （2）已知a ≤5，a 为整数，求a 的值。

解答：－5≤a ≤5，a 的值为－5到5的整数。

3.数列及通项公式与求和公式数列1，3，5，7，9，……，2n －1中，每个数都是数列的一项；第n 项用x n 表示，n 表示x n 着项所在的序号，叫项数；x 1=1，x ,2=3，x 3=5……，x n =2n －1，x n 代表数列的任何一项，“x n =2n －1”该是数列的通项公式。

数列通项公式“x n =2n －1”其实是一个函数关系式，这里正整数n 是自变量，x n 是自变量n 的函数。

因此，数列是定义在正整数集上的函数。

设等比数列x 1，x 2，x 3，……，x n ,……公比为q ，则x 2=x 1q ，x 3=x 1q 2，x 4=x 1q 3,……，x n =x 1q n-1x n =x 1q n-1为通项公式。

设等比数列前n 项的和为S n ，则S n =x 1＋x 1q ＋x 1q 2＋x 1q 3＋……＋x 1q n-1①两边同乘公比q ，则qS n =x 1q ＋x 1q 2＋x 1q 3＋x 1q 4＋……＋x 1q n②①－②得S n （1—q ）= x 1—x 1q n对于q ≠1，有S n =qq x n--1)(11.我们一般用{}x n代表一个数列，xn为该数列的第n 项。

2018年最新极限的四则运算(数列极限、函数极限) 精品

25 a 0 b 2 5 a
解得： a=25,b=20。
例5、求下列数列的极限：
1 2 3 n 1 lim 2 n n 1 3 7 2n 1 2 lim ( n ) n 2n 4n 8n 2 n
1 1 1 1 3 lim [ ] n 2 5 3n 13n 2 5 8 8 11
n
(5n an2 bn c )(5n an2 bn c ) 5n an2 bn c
5n an2 bn c c （25 a)n b n 2 lim n b c 5 a 2 n n
n
lim
25n 2 (an2 bn c)
x x
lim （f(x) · g(x)）=a· b；
f(x) a lim = x g(x) b (b≠0) 注：1）可推广到有限个数列的极限运算; 2)由此可得：
x
n=an。 lim lim [C · f (x)] =Ca (C 为常数）； ( f(x) )
x
（2）、当xxo时，函数f(x)极限的运算法则：
≠
x
lim
x2 3
3
x3 1
∴
lim
x2 3 x3 1
x 3
不存在。
例2、求极限：
x x 1 1) lim 4 x 2 x x 2
3
2) lim( x 1 x 1)
2 2 x
x x 3) lim( 2 ) x 2 x 1 2x 1
lim f(x) =a, 如果 x x
o
x
lim g(x) =b, x
o

极限四则运算

(3n 2)(3n 1)
1/3
例4：已知lim x2 ax 3 b，求常数a,b的值
x1
x 1
a=－2;b=－4
例5：在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距， n
p 是周长，S 是面积
n
n
1） S 与p 有什么关系
n
n
2）
求 lim
rn与lim
p n
n
n
3）利用1),2)的结果，说明圆面积公式S R2
例6：1）已知首项为a , 公比 1
为q(0 | q | 1)的无穷递缩等
比数列的前n项和为S ， n
求 lim
S n
n
R O rn
2)如图，在直角坐标平面内，动点P由原点O出发，
沿x轴正方向前进a个单位，到达P点，接着沿y轴 1
的正方向前进a 个单位，到达P点，而后又沿x轴
2
2
的负方向前进个 a 单位，到达P点，再沿y轴的负
22
3
方向前进 a 个单位到达P点，
23
4
y
以后将以上述方式运动无限继续
下去，试求点P的极限位置。
P3
P2
P4 P5
作业：练习：P91 4a , 2a O 5 5
P1 x

极限的四则运算
引入 1、当 x
∞时，函数f(x)的极限
lim f ( x) lim f (x) a lim f ( x) a
x
x
x
x x 2 、当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a

数列极限的四则运算

问题1：函数你能否直接看出函数值的变化趋势？
问题2：如果不能看出函数值的变化趋势，那么怎样才能把问题转化为已知能求的函数极限？转化的数学方法与依据是什么？
为了解决这些问题，我们有必要给出函数极限的运算法则：（证明从略）
函数极限的四则运算：如果
那么
注意：使用极限
运算法则的前提
是各部分极限存
次数相同，这个分式在
的极限是分子与分母中最高次项的系数之
比; ②若分母的次数高于分子的次数，这个分式在
的极限是0
（2）求
的函数极限问题转化为求
的数列极限问题
（3）当项数无限时，要先求和（或积）再求极限
Thank you!
数列极限的四则运算：如果
那么
特别地，如果C是常数，那么
注：上述法则可推广到有限个数列的加，减，乘，除。
几个基本数列的极限：
观察
归纳
（k是常数，是正整数）
(c为常数)
c=c (c为常数)
例1 、求下列极限
一般地，当分子分母是关于n的的多项式时，
①若分子分母的次数相同，这个分式在
的极限是分子与分母中最高次项的系数之比;
②若分母的次数高于分子的次数，这个分式
在
的极限是0
变式练习：
（1）已知
=2 , 求a的值 ( 6 )
（2）求
的极限（
）
(3) 若 a=__-_4__b=___2____
,则
注：求
的函数极限问题转化为求
列极限问题
的数
例题2、求下列极限
（1）
（2）
方法：分子，分母同除以绝对值最大的底数的n次方
Hale Waihona Puke 例3 、思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因

第二章极限习题及答案：极限的四则运算

自变量趋向无穷时函数的极限例求下列极限：（1）42242115lim x x x x x --+-∞→（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x 分析：第（1）题中，当∞→x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“∞∞”型，变形的一般方法是分子、分母同除以x 的最高次幂，再应用极限的运算法则．第（2）题中，当∞→x 时，分式1223-x x 与122+x x 都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”型，变形的一般方法是先通分，变成“∞∞”型或“00”型，再求极限．解：（1）211151lim 2115lim 24424224--+-=--+-∞→∞→xx x x x x x x x x .212000012lim 1lim 1lim 1lim 5lim 1lim 2442-=--+-=--+-=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x xx（2）)12)(12()12()12(lim 1212lim 2223223+---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→∞→x x x x x x x x x x x x )12)(12(11lim)12)(12(lim2223xx xx x xx x x +-+=+-+=∞→∞→ 41)02)(02(01)12(lim )12(lim )11(lim 2=+-+=+-+=∞→∞→∞→xx x x x x说明：“∞∞”型的式子求极限类似于数列极限的求法．无穷减无穷型极限求解例求极限：（1）)11(lim 22x x x x x +--++-∞→（2）)11(lim 22x x x x x +--+++∞→分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限．解：（1）原式22112limxx x x xx +-+++=-∞→222112limxx x x x x +-+++-=-∞→.11111112lim22-=+-+++-=-∞→x xx xx（2）原式22112limxx x x xx +-+++=+∞→.11111112lim22=+-+++=+∞→x xx xx说明：当<x 时，2x x ≠，因此211111121122222→+-+++≠+-+++x xx xxx x x x．利用运算法则求极限例计算下列极限：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+-+++++++∞→123171411lim 2222n n n n n n ；（2）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++--∞→n n n 3112719131lim 1 . （1992年全国高考试题，文科难度0.63）解：（1）原式()11321lim 2+-=∞→n n n n()232213lim 123lim 222=+-=+-=∞→∞→nn n n n n n . （2）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→31131131limnn[]41014131141lim =-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--=∞→nn .说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的：（1）原式123lim14lim 11lim 222+-+++++=∞→∞→∞→n n n n n n n （2）原式()4131131027********lim 271lim 91lim 31lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+++-=-+++-=-∞→∞→∞→∞→ n n n n n n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例设*N p ∈，求nn p n 1111lim1-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→．分析：把111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．解：111221111)1()1(1111++++++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p p p p p nC n C n C n pp p p p p p nC C n C n C nn )1()1(111111131221111++++++++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴11111lim 111+==-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴++∞→p C nn p p n或：逆用等比数列求和公式：原式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→pn n n n 1111111lim 211111+=+++=+p p个说明：要注意p 是与n 无关的正整数，111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n 不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等．零乘无穷型转化为无穷除无穷型例求.)1(lim n n n n -+∞→分析：当∞→n 时，所求极限相当于∞⋅0型，需要设法化为我们熟悉的∞∞型．解： n n n n )1(lim -+∞→.211111lim 1lim)1()1)(1(lim =++=++=++++-+=∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n n n说明：对于这种含有根号的∞⋅0型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现．如本题是通过分子有理化，从而化为nn n++1，即为∞∞型，也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即n ，完成极限的计算．根据极限确定字母的范围例已知161)2(44lim 2=+++∞→n n n n m ，求实数m 的取值范围．分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决．解：16142161lim )2(44lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛++=++∞→+∞→nn n n nn m m 于是142<+m ，即26,424<<-<+<-m m ．说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由16142161lim =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→n n m 可知，nm ⎪⎭⎫⎝⎛+42的极限必为0，而0→nq 的充要条件是1<q ，于是解不等式142<+m ．零比零型的极限例求xx x 11lim10-+→．分析：这是一个00型的极限，显然当0→x 时，直接从函数x x 1110-+分子、分母中约去x 有困难，但是1110-+x 当0→x 时也趋近于0，此时x 化为1)1(1010-+x ，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设101x y +=，则110-=y x ．解：设101x y +=，则110-=y x ，于是，当0→x 时，1→y ．原式10111lim 11lim891101=++++=--=→→y y y y y y y 说明：本题采用的换元法是把0→x 化为01→-y ，这是一种变量代换．灵活地运用这种代换，可以解决一些型的极限问题．例如对于11lim 21--→x x x ，我们一般采用因式分解，然后约去1-x ，得到2)1(lim 1=+→x x ．其实也可以采用这种代换，即设1-=x t ，则当1→x 时，0→t ，这样就有.2)2(lim 1)1(lim 11lim 02021=+=-+=--→→→t tt x x t t x 组合与极限的综合题例 ) (lim 1222=++∞→n n nn n C CA ．0B ．2C ．21 D ．41 分析：将组合项展开后化简再求极限．解： 1222lim ++∞→n n nn n C C.4126412lim )22)(12()1(lim)!22()!1()!1(!!)!2(lim 222=++++=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅+⋅=∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n 故应选D ．说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念．高考填空题1．计算.________)2(lim =+∞→nn n n 2．若数列{}n a 的通项公式是)N ()1(1*∈+=n n n a n ，则.________)(lim 21=+∞→n n a n a3．计算：.________)13(lim =++∞→nn n n1．解析 22222221221lim 2lim -+--+-∞→∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e n n n n n n n nn n n说明：利用数列极限公式e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim ，把原题的代数式稍加变形即可获解．本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力．2．解析 .21,)1(11=∴+=a n n a n.23121)11121(lim )1(121lim 2=+=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+∴∞→∞→nn n n n n说明：本题的思考障碍点是如何求1a ？——只要懂得在通项公式中令1=n ，可立得1a 的具体值，本题考查数列极限的基本知识．3．解析 nn n n )13(lim ++∞→ 21221)121(lim e n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++∞→说明：本题考查数列极限公式的应用．根据已知极限和四则运算求其它极限例若12lim =∞→n n na ，且n n a ∞→lim 存在，则.________)1(lim =-∞→n n a nA ．0B ．21 C ．21- D ．不存在分析：根据题设知n na 和n a 均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论．解：,lim ,12lim 存在n n n n na na ∞→∞→=0lim 021lim2lim lim =∴==∴∞→∞→∞→∞→n n n nn nn a n na a又21lim ,12lim ==∞→∞→n n n n na na ∴21210lim lim )(lim )1(lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n na a na a a n 即.21)1(lim -=-∞→n n a n选C ．说明：n n a ∞→lim 是关键，不能错误地认为0lim =∞→n n a ，0)1(lim =-∞→n n a n ．两个数列{}n a 、{}n b 的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 的极限不一定存在．化简表达式再求数列的极限例求下列极限（1）⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→112171513lim 2222n n n n n n （2）nnn 21412113191311lim ++++++++∞→ （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→211511411311lim n n n 分析：先运用等差数列、等比数列的前n 项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算．解：（1）原式1)12(753lim2++++++=∞→n n n11121lim 1)2(lim 22=++=++=∞→∞→nn n n n n n （2）原式nn n n nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→211311lim 34211231123lim4301013421lim 1lim 31lim 1lim 34=--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→∞→∞→∞→n n n nn n （3）原式.222lim21544332lim =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n 说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为0112lim ,,015lim ,013lim 222=++=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→n n n n n n n 而得到（1）的结果是0．无穷比无穷和字母讨论的数列极限例求下列极限：（1）n n n n n 3423352lim 11⋅+⋅⋅-++∞→ （2）)0(11lim>+-∞→a a a nnn 分析：第（1）题属“∞∞”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子．第（2）题中当a 的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论．解：（1）原式432315322lim 342331522lim +⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅+⋅⋅-⋅=∞→∞→n nn n n nn n .41540315024lim 32lim 315lim 32lim 2-=+⨯-⨯=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→∞→∞→n nn n nn （2）当10<<a 时，01111lim 11lim=+-=+-∞→∞→n n n n a a ，当1>a 时，.110101lim 1lim 1lim 1lim 1111lim 11lim -=+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n nn n n n n n n a a a a a a说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为0lim =∞→n n a ．根据极限确定等比数列首项的取值范围例已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且有211lim 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→n n q q a ，求1a 的取值范围．分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知nn q ∞→lim 存在，因此可得q 的取值范围，从而确定出1a 的取值范围．解：由211lim 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→n n q q a ，得nn q ∞→lim 存在． ∴1<q 且0≠q 或1=q ．．当1<q 时，有2111=+q a ， ∴121-=a q ，∴112<-a 解得101<<a ，又0≠q ，因此211≠a ．当1=q 时，这时有2112lim 1=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→a n ， ∴31=a ．综上可得：101<<a ，且211≠a 或31=a ．说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出发来考虑q 的特点，容易将0≠q 这一条件忽视，从而导致错误．求函数在某一点处的极限例求下列极限：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++→22423lim 3322x x x x x （2）401335172lim 225++++→x x x x x（3）xxx 320cos 1sin lim -→（4）⎪⎭⎫⎝⎛---→9631lim 23x x x分析：第（1）题中，2=x 在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；（2）、（3）两个极限分子、分母都趋近于0，属“”型，必须先对函数变形，然后施行四则运算；（4）为“∞-∞”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算．解：（1）22lim 423lim 22423lim 332223322++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++→→→x x x x x x x x x x x)2(lim 2lim )4(lim )23(lim 3232222++++=→→→→x x x x x x x x2lim lim lim 24lim lim 2lim lim 32323223222→→→→→→→++++=x x x x x x x x x x x.513581222242223322=+=+⨯+++⨯= （2）.18)5(7)5(2872lim )8)(5()72)(5(lim 401335172lim 55225-=+-+-⨯=++=++++=++++→→→x x x x x x x x x x x x x （3）xx x x x x x x x x x 20220320cos cos 1cos 1lim )cos cos 1)(cos 1(cos 1lim cos 1sin lim +++=++--=-→→→ .3211111=+++= （4）.6133131lim 96)3(lim 9631lim 32323=+=+=--+=⎪⎭⎫⎝⎛---→→→x x x x x x x x 说明：不能错误地认为，由于31lim3-→x x 不存在，96lim 23-→x x 也不存在，因此（4）式的极限不存在．（4）属于“∞-∞”型，一般要先对函数式进行变形，变为“00”型或“∞∞”型，再求极限．函数在某一点处零比零型的极限例求下列极限：（1）3111lim x x x --→ （2）xx x x 32sin sin tan lim -→π 分析：第（1）题中，当1→x 时，分子、分母的极限都是0，不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，常用的变换方法有：①对多项式进行因式分解；②对无理式分子或分母有理化；③对三角函数式（如第（2）题，先进行三角恒等变换，再约分．解：（1）原式)1)(1)((1()1)(1)(1(lim 32333231x x x x x x x x x +++-+++-=→.23111111)1(lim )1)(1()1)(1(lim 32313231=+++=+++=+-++-=→→xx x x x x x x x x（2）原式xx x x x x xx x x cos sin cos sin sin lim sin sin cos sin lim 3232⋅-=-=→→ππ .211)11(1cos )cos 1(1lim cos sin cos 1lim222=⨯+=⋅+=⋅-=→→x x x x x ππ 说明：如果分子、分母同乘以31x +，对（1）式进行变形，思维就会受阻，正确的方法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是)1(323x x ++．。

数列极限的四则运算高品质版

应用举例：
例1 求下列极限
12
(1)
nl im (n2
) n
3n2 (2) lim
n n
2n2 n (3) nl im3n2 2
3n3 n (4) nl im 2n4 n2
解：
((1234①子高))于与若分分分nlnlni imm子母子一的中分223般(33nn次nn最n母地1n24232数高的，2，次n2n次当nn22这项分数)个3lnnl的子相iinlmnlnlmi分i nl系i分m同nlm0lni mii2 (m式m3数m母3，23nl22n3在in3之是m22这nn的1-nl关2比1nn2ln2个nliin 2nln1nm1i m极1)nli 于m;23i分m m限nnlnn221n式②inln的ln23m是1ninli1m2mi 在若的3nlmnl0i i(n2m的0分0m多3(3322(极(母项022n30nl3限0n的0式i21nm200是次时)n)n1102，数分n2332))0
（2）求x的函数极限问题转化为求 n 的数列极限问题
（3）当项数无限时，要先求和（或积）再求极限
再见
随着年岁的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的人，越是谦虚，因为昂头的只是稗子，低头的才是稻子；越是富有的人，越是高贵，因为真正的富裕是灵魂上的高贵以及精神世界的富足；越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。随着沧桑的累积，我们也会慢慢懂得：成功的路，其实并不拥挤，因为能够坚持到底的人实在太少；所有优秀的人，其实就是活得很努力的人，所谓的胜利，其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。这世间，从来没有最好，只有更好。每天，总想要努力醒得比太阳还早，因为总觉得世间万物，太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的日出，心中的太阳随之冉冉腾起，生命之火熊熊燃烧，生活的热情就会光芒四射。我真的难以想象，那些从来不早起的人，一生到底能够看到几回日升？那些从来没有良好习惯的人，活到最后到底该是多么的遗憾与愧疚？曾国藩说：早晨不起，误一天的事；幼时不学，误一生的事。尼采也说：每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。光阴易逝，岂容我待？越是努力的人，越是没有时间抱怨，越是没有工夫颓丧。每当走在黎明的曙光里，看到那些兢兢业业清洁城市的“美容师”，我就会由衷地欣赏并在心底赞叹他们，因为他们活得很努力很认真。每当看见那些奔跑在朝霞绚烂里的晨练者，我就会从心里为他们竖起大拇指，因为他们给自己力量的同时，也赠予他人能量。我总觉得：你可以不优秀，但你必须有认真的态度；你可以不成功，但你必须努力。这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。我也始终认为：一个活得很努力的人，自带光芒万丈；一个人认真的样子，比任何时候都要美好；一个能够自律自控的人，他的人生也就成功了大半。世间每一种的好，从来都只为懂得努力的人盛装而来。有时候，我真的感觉，人生的另一个名字应该叫做努力，努力了就会无悔，努力了就会无愧；生活的另一种说法应该叫做煎熬，熬过了漫漫黑夜，天就亮了，熬过了萧萧冬日，春天就来了。人生不易，越努力越幸运；余生不长，越珍惜越精彩。人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；生命，是一条无名的河，越往前越深邃。愿你不要为已逝的年华叹息，不要为前路的茫茫而裹足不前愿你相信所有的坚持总能奏响黎明的号角，所有的努力总能孕育硕果的盛驾光临。愿你坚信越是成功的人越是不允许自己颓废散漫，越是优秀的人越是努力……生活中很多时候，我们遇到一些复杂的情况，会很容易被眼前的障碍所蒙蔽，找不到解决问题的方法。这时候，如果能从当前的环境脱离出来，从一个新角度去解决问题，也许就会柳暗花明。一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。苦思良久后终得一法：每次出门前把WiFi修改成无密码，然后放心出门每次回来都能看到十几个人捧着手机蹲在自家门口，从此无忧。护院，未必一定要养狗换个角度想问题，结果大不同。一位大爷到菜市场买菜，挑了3个西红柿到到秤盘，摊主秤了下：“一斤半3块 7。”大爷：“做汤不用那么多。”去掉了最大的西红柿。摊主:“一斤二两，3块。”正当身边人想提醒大爷注意秤时，大爷从容的掏出了七毛钱，拿起刚刚去掉的那个大的西红柿，潇洒地换种算法，独辟蹊径，你会发现解决问题的另一个方法。生活中，我们特别容易陷入非A即B的思维死角，但其实，遭遇两难困境时换个角度思考，也许就会明白：路的旁边还有路。一个鱼塘新开张，钓费100块。钓了一整天没钓到鱼，老板说凡是没钓到的就送一只鸡。很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！觉得老板很够意思。后来，钓鱼场看门大爷告诉大家，老板本来就是个养鸡专业户，这鱼塘本来就没鱼。巧妙的去库存，还让顾客心甘情愿买单。新时代，做营销，必须打破传统思维。孩子不愿意做爸爸留的课外作业，于是爸爸灵机一动说：儿子，我来做作业，你来检查如何？孩子高兴的答应了，并且把爸爸的“作业”认真的检查了一遍，还列出算式给爸爸讲解了一遍不过他可能怎么也不明白为什么爸爸所有作业都做错了。巧妙转换角色，后退一步，有时候是另一种前进。一个博士群里有人提问：一滴水从很高很高的地方自由落体下来，砸到人会不会砸伤？或砸死？群里一下就热闹起来，各种公式，各种假设，各种阻力，重力，加速度的计算，足足讨论了近一个小时后来，一个不小心进错群的人默默问了一句：你们没有淋过雨吗人们常常容易被日常思维所禁锢，而忘却了最简单也是最直接的路有两个年轻人，大学毕

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数学基础训练45 数列的极限及四则运算
●训练指要
数列极限的定义与运算法则，若|a |＜1,则∞→n lim a n
=0. 一、选择题
1.已知等比数列｛a n ｝的前三项分别为a ,
31,21++a a ,其中a ∈R ,则∞→n lim (a 1+a 2+…+a n )等于
A.9
B.6
C.2
9 D.3 2.在数列｛a n ｝中，有∞→n lim ［(2n -1)a n ］=1，∞→n lim a n 存在，则∞
→n lim (na n )的值为 A.0 B.21 C.1 D.-1
3.已知｛a n ｝是等比数列，如果a 1+a 2=12,a 2+a 3=-6,S n =a 1+a 2+…+a n ，那么∞
→n lim S n 的值等于 A.8 B.16 C.32 D.48
二、填空题
4.设无穷等比数列｛a n ｝的a 1=2,S =3,则公比q =_________.
5.已知∞
→n lim (2n -342+-kn n )=1,则k 的值为_________. 三、解答题
6.求下列数列的极限： (1))21(lim 32
3232n
n n n n +++∞→Λ; (2)302050)3()1(1lim --+∞→n n n n 7.求下列数列的极限. (1))1(lim n n n n -+∞→; (2)n
n n n n b a b a -+++∞→1
1lim (|a |≠|b |). 8.正数数列｛a n ｝中，a 1=2,lg a n =lg a n -1+lg t (t 为常数，且t ＞0).
(1)求｛a n ｝的通项公式； (2)求11lim
n -+∞→n
n a a .
数学基础训练45答案
一、1.A 2.B 3.B
二、4.
3
1 5.4 三、6.(1) 31 (2)1 7.(1)原式=.2
11111
lim 11lim =++=++∞→∞→n n n n n n (2)若｜a ｜＞｜b ｜.则原式=a a
b a b b a n
n
n =-+∞→)(1)(lim ;若｜a ｜＜｜b ｜,则原式=－b . 8.(1)a n =2·t n －1,(2)⎪⎩⎪⎨⎧>=<<-=-+∞→)1(1)1(3)10(111lim t t t a a n n n .。