数学归纳法的应用
数学归纳法的应用知识点总结
数学归纳法的应用知识点总结数学归纳法是一种重要的证明方法，常被应用于数学、逻辑以及计算机科学的领域。
它的核心思想是通过建立一个基础情形的真实性，以及在基础情形成立的前提下推导出一个一般情形的真实性，从而得出结论。
本文将对数学归纳法的基本概念和应用进行总结。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法包括三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳证明。
首先，我们需要证明当n取某个特定值时，结论成立，这称为基础步骤。
接下来，我们假设当n=k时，结论成立，这称为归纳假设。
最后，通过归纳证明，我们将证明当n=k+1时，结论也成立。
二、数学归纳法的应用举例1. 求和公式数学归纳法可以用来证明一些求和公式的正确性。
例如，我们要证明正整数n的前n项和公式为：1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
首先，我们可以验证当n=1时，等式左边为1，右边也等于1(1×2/2)，因此基础步骤成立。
然后，我们假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
接下来，我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
我们将等式左边的前k+1项展开，得到1+2+3+...+k+(k+1)。
根据归纳假设，前k项的和为k(k+1)/2，再加上第k+1项(k+1)，则等式左边的和为(k+1)(k+2)/2。
与等式右边相比，我们可以得出结论，即当n=k+1时，等式也成立。
2. 整数性质证明数学归纳法也可以用来证明一些关于整数的性质。
例如，我们要证明任意正整数n的平方是奇数。
首先，我们验证当n=1时，等式成立，因为1的平方是1，是奇数。
然后，假设当n=k时，等式成立，即k的平方是奇数。
接下来，我们通过归纳证明，证明当n=k+1时，等式也成立。
我们将等式左边展开，得到(k+1)的平方。
根据归纳假设，k的平方是奇数，那么k的平方加上2k再加1，仍然是奇数。
因此，当n=k+1时，等式也成立。
三、数学归纳法的注意事项1. 基础步骤的正确性是数学归纳法的基础，必须确保基础步骤成立。
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，通过数学归纳法可以从一个基础情形开始，逐步推导出所有情形成立的结论。
它在许多数学领域中都有广泛的应用，包括代数、数论、组合数学等等。
本文将详细探讨数学归纳法在各个领域中的应用。
一、代数中的数学归纳法应用在代数中，数学归纳法可以用来证明各类等式和不等式的成立。
以证明等差数列的和公式为例，首先我们可以选取一个基础情形，例如当n=1时，等差数列的和为首项本身。
接着我们假设当n=k时，等差数列的和成立，即1+2+...+k=k(k+1)/2。
然后我们通过数学归纳法的步骤，证明当n=k+1时，等差数列的和也成立。
具体的证明步骤可以通过化简等式得到。
这样，我们就可以得出等差数列和公式的普遍成立性。
二、数论中的数学归纳法应用在数论中，数学归纳法常被用来证明自然数的一些性质。
例如，我们可以用数学归纳法证明任意自然数的平方和公式。
首先我们取n=1时，平方和为1。
然后我们假设当n=k时，平方和公式成立，即1²+2²+...+k²=k(k+1)(2k+1)/6。
接着我们通过数学归纳法的步骤，证明当n=k+1时，平方和公式也成立。
具体的证明过程可以通过算术运算得到，最终得到平方和公式的普遍成立性。
三、组合数学中的数学归纳法应用在组合数学中，数学归纳法被广泛应用于证明一些组合恒等式和性质。
以证明组合恒等式的成立为例，我们可以选取一个基础情形，例如当n=1时，组合恒等式左右两边相等。
接着我们假设当n=k时，组合恒等式成立。
然后通过数学归纳法的步骤，证明当n=k+1时，组合恒等式也成立。
具体的证明过程可以通过组合恒等式的性质得到，最终得到组合恒等式的普遍成立性。
综上所述，数学归纳法作为一种重要的数学证明方法，在代数、数论、组合数学等领域中都有广泛的应用。
通过选取基础情形，并假设递推情形成立，再通过数学归纳法的步骤推导出结论，我们可以得出很多数学命题的成立性。
数学归纳法在逻辑证明中的应用与局限性
数学归纳法在逻辑证明中的应用与局限性数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它在逻辑推理中扮演着重要的角色。
本文将探讨数学归纳法在逻辑证明中的应用以及其局限性。
一、数学归纳法的应用数学归纳法是一种通过证明基本情况成立，再证明若第n个情况成立，则第(n+1)个情况也成立的方法。
它在数学领域中的应用广泛，特别适用于证明一类具有递推性质的命题。
例如，我们可以使用数学归纳法来证明自然数的等差数列的和公式。
首先，我们证明当n=1时，等差数列的和公式成立。
接着，假设当n=k时，等差数列的和公式成立。
然后，我们通过数学归纳法证明当n=k+1时，等差数列的和公式也成立。
通过这种递推的方式，我们可以得出结论：对于任意自然数n，等差数列的和公式都成立。
数学归纳法还可以用于证明一些与自然数相关的性质。
例如，我们可以使用数学归纳法来证明斐波那契数列的性质。
首先，我们证明当n=1和n=2时，斐波那契数列的性质成立。
接着，假设当n=k和n=k+1时，斐波那契数列的性质成立。
然后，我们通过数学归纳法证明当n=k+2时，斐波那契数列的性质也成立。
通过这种递推的方式，我们可以得出结论：对于任意自然数n，斐波那契数列的性质都成立。
二、数学归纳法的局限性尽管数学归纳法在逻辑证明中有着广泛的应用，但它也存在一定的局限性。
首先，数学归纳法只适用于具有递推性质的命题。
对于一些非递推性质的命题，数学归纳法无法进行证明。
例如，如果我们想证明某个数是质数，数学归纳法就无法给出有效的证明方法。
其次，数学归纳法需要明确的基本情况。
如果基本情况没有被正确地证明，那么整个数学归纳法的证明过程就会出错。
因此，在使用数学归纳法时，我们需要特别注意基本情况的证明。
此外，数学归纳法只能证明自然数的性质，无法推广到其他领域。
例如，如果我们想证明某个命题对于实数也成立，数学归纳法就无法进行证明。
最后，数学归纳法的证明过程通常是一种“自上而下”的思维方式，它不能提供直接的构造性证明。
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法，广泛应用于数学和计算机科学等领域。
它通过证明基础情况的成立以及递推关系的正确性，从而得出整个命题的正确性。
以下将以几个实际例子来展示数学归纳法的应用。
一、证明等差数列求和公式考虑等差数列的求和公式，即对于公差为d的等差数列a_1, a_2, ...,a_n，其和Sn可以表示为Sn = (n/2)(a_1 + a_n)。
现在我们使用数学归纳法来证明这个公式的正确性。
首先，我们验证基础情况，即当n=1时，公式成立，因为此时Sn = a_1。
接下来，我们假设当n=k时，公式成立，即对于等差数列a_1,a_2, ..., a_k，有Sk = (k/2)(a_1 + a_k)。
然后，我们需要证明当n=k+1时，公式也成立。
考虑等差数列a_1,a_2, ..., a_k, a_k+1，其和记为Sk+1。
根据归纳假设，Sk = (k/2)(a_1 +a_k)。
我们可以将Sk+1拆分为Sk + a_k+1，代入归纳假设的表达式，得到Sk+1 = (k/2)(a_1 + a_k) + a_k+1。
化简上述表达式，得到Sk+1 = (k/2)(a_1 + a_k) + 2a_k+1/2。
再进一步化简，可得Sk+1 = ((k+1)/2)(a_1 + a_k+1)，即公式对于n=k+1也成立。
由此可见，当基础情况成立且递推关系成立时，等差数列求和公式对于所有自然数n均成立。
二、证明斐波那契数列的性质斐波那契数列是一个递推数列，定义为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = F(2) = 1。
我们使用数学归纳法来证明斐波那契数列的另一个性质：F(n) < 2^n，对于所有n大于等于2的自然数成立。
首先，我们验证基础情况，即当n=2时，F(2) = 1，而2^2 = 4，显然F(2) < 2^2。
接下来，我们假设当n=k时，F(k) < 2^k成立。
归纳法在数学中的应用
归纳法在数学中的应用一、定义与概念1.归纳法：从特殊到一般的推理方法，通过具体实例得出一般性结论。
2.数学归纳法：一种特殊的归纳法，用于证明与自然数有关的数学命题。
二、数学归纳法的基本步骤1.验证基础情况：证明当n取最小自然数时，命题成立。
2.归纳假设：假设当n=k时，命题成立。
3.归纳步骤：证明当n=k+1时，命题也成立。
4.结论：由数学归纳法原理，得出结论：命题对所有自然数n成立。
三、数学归纳法的应用1.求解数列的通项公式：利用数学归纳法证明数列的通项公式。
2.证明函数的性质：利用数学归纳法证明与自然数有关的函数性质。
3.求解几何问题：利用数学归纳法证明几何命题。
4.解决递推关系问题：利用数学归纳法求解递推关系式的解。
四、数学归纳法的注意事项1.确保基础情况和归纳假设的合理性。
2.归纳步骤的证明要严格，避免出现漏洞。
3.注意数学归纳法只适用于与自然数有关的命题。
五、常见错误与误区1.基础情况未验证或验证不充分。
2.归纳假设错误，导致整个证明过程失效。
3.归纳步骤证明不严谨，无法推出结论。
4.将数学归纳法应用于非自然数的情况。
六、归纳法在数学教学中的应用1.引导学生通过具体实例发现数学规律。
2.培养学生从特殊到一般的思考方式。
3.帮助学生掌握数学证明的方法和技巧。
4.提高学生解决数学问题的能力。
归纳法是数学中一种重要的推理方法，尤其在证明与自然数有关的数学命题时具有广泛应用。
通过掌握数学归纳法的基本步骤和注意事项，学生可以更好地理解和运用归纳法，提高解决数学问题的能力。
同时，教师在教学过程中应注重引导学生运用归纳法，培养学生的逻辑思维和数学素养。
习题及方法：1.习题：证明对于任意自然数n，下列等式成立：1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 = (1 + 2 + 3 + … + n)^2。
答案：使用数学归纳法证明。
解题思路：首先验证基础情况，即n=1时等式成立。
然后假设当n=k时等式成立，即1^3 + 2^3 + 3^3 + … + k^3 = (1 + 2 + 3 + … + k)^2。
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用数学归纳法是一种重要的数学证明方法，通常用于证明关于自然数的命题。
借助数学归纳法，我们可以通过证明命题在第一个自然数上成立，并证明若命题在某个自然数上成立，则它在其后的自然数上也成立。
在本文中，我们将探讨数学归纳法的基本原理及其在数论和组合数学中的应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以归纳为以下三个步骤：1. 第一步（基础步骤）：首先证明命题在第一个自然数上成立。
这个步骤相对简单，通常可以直接验证或用简单的计算来证明。
2. 第二步（归纳假设）：假设命题在某个自然数k上成立，即假设命题P(k)为真。
这一步是数学归纳法的关键，也是证明的关键所在。
3. 第三步（归纳步骤）：基于归纳假设，证明命题在k+1上也成立，即证明P(k+1)为真。
这个步骤通常需要用到归纳假设以及一些合适的数学推理方法，如代入法、化简法等。
通过以上三个步骤，我们可以建立起一个扎实的证明结构，将命题在所有自然数上的成立进行了推演和证明。
二、数学归纳法在数论中的应用数学归纳法在数论中有着广泛的应用，以下是数论中常见的数学归纳法应用场景：1. 等差数列的求和公式：我们可以利用数学归纳法证明等差数列的求和公式。
首先在第一个自然数上验证公式的成立，然后利用归纳假设证明公式在k+1上也成立。
这样我们就可以确信等差数列的求和公式在所有自然数上成立。
2. 数学归纳法证明整数幂的性质：我们可以利用数学归纳法证明整数幂的一些性质，如指数幂相乘、指数幂相除、指数幂的乘方等。
通过归纳假设和适当的数学推理，我们可以确保这些性质在所有自然数上成立。
三、数学归纳法在组合数学中的应用除了数论，数学归纳法在组合数学中也有着广泛的应用。
以下是组合数学中常见的数学归纳法应用场景：1. 证明集合的基本性质：我们可以利用数学归纳法证明集合的基本性质，如幂集的元素个数、集合的包含关系等。
通过基础步骤、归纳假设和归纳步骤，我们可以逐步证明集合的性质在所有情况下都成立。
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用数学归纳法的应用：具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.上述过程主要体现在数学归纳法的过程及注意事项，主要是证明恒等式的一些例子，下面我们看看数学归纳法应用的其他类型.（1）证明恒等式（略）（2）证明不等式. 例题：记()11111,23n S n n N n =+++⋅⋅⋅+>∈，求证：()212,2n n S n n N >+≥∈. 证明：（1）当2n =时，2211125211234122S =+++=>+，∴当2n =时，命题成立. （2）设n k =时，命题成立，即2111112322k k k S =+++⋅⋅⋅+>+，则当1n k =+时，121111111123221222k k k k k S ++=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++ 11121111112212222222222k k k k k k k k k k k +>++++⋅⋅⋅+>++=++=+++++ 故当1n k =+时，命题也成立.由（1），（2）可知，对n N ∈，2n ≥，212n n S >+. 注意：利用数学归纳法证不等式，经常要用到“放缩”的技巧.（3）证明数或式的整除性例题：求证：()()2111n n a a n N -+++∈能被21a a ++整除证明：（1）当1n =时，()21111211aa a a ⨯-+++=++，命题显然成立. （2）设n k =时，()2111k k a a ⨯-+++能被21a a ++整除.则当1n k =+时，()()()2122121111k k k k a a a a a a +-++++=⋅+++()()()()212212111111k k k k a a a a a a a ---+⎡⎤=+++++-+⎣⎦ ()()()212112111k k k a a a a a a --+⎡⎤=++++++⎣⎦由归纳假设，以上两项均能被21a a ++整除，故1n k =+时，命题成立.由（1），（2）可知，对n N ∈，命题成立注意：利用数学归纳法证明整除性，经常要用到“凑”的技巧.（4）证明数列的通项公式例题：已知数列{}n a 满足1a a =，112n n a a +=- （1）求：2a ，3a ，4a（2）推测通项n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明.【答案】（1）由112n n a a +=-，可得212a a =-，31213222a a a a-==---，4132243232a a a a a-==---- （3）推测()()()121n n n a a n n a---=--，证明如下： ①当1n =时，左边1a a ==，右边()()()1112111a a a ---==--，结论成立 ②设n k =时，有()()()121k k k a a k k a---=-- 则当1n k =+时 ()()()()()()()1112122211221k k k k a a k k a a k k a k k a k k a+--===----------⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦--- ()()11k k a k ka --=+-. 故当1n k =+时，结论成立.由①，②可知，对n N ∈，都有()()()121n n n a a n n a---=-- （5）证明几何命题例：平面内有n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无任何三个圆交于一点，求证：这n 个圆将平面分成22n n -+个部分.略证：设n k =时，k 个圆将平面分成22k k -+个部分，则当1n k =+时，第1k +个圆1k C +交前面k 个圆于2k 个点，这2k 个点将圆1k C +分成2k 段，每段将各自所在区域一分为二，因此增加了2k 个区域，于是这1k +个圆将平面分成222k k k -++个部分，即()()2112k k +-++个部分.。
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用一、引言数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，它的思想是通过证明某个命题在第一个条件下成立，再证明如果第k个条件成立，则第k+1个条件也成立，从而推导出该命题对所有条件都成立。
本文将介绍数学归纳法的基本原理和应用，并通过具体例子加深理解。
二、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以概括为三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
基础步骤：首先证明命题在第一个条件下成立。
这个步骤是数学归纳法的起点，也是保证后续推理正确性的基础。
归纳假设：假设命题在第k个条件下成立，即假设P(k)成立。
这个假设是数学归纳法的关键，通过它我们可以推导出命题在下一个条件下是否成立。
归纳步骤：证明命题在第k+1个条件下也成立，即证明P(k+1)成立。
通过利用归纳假设和数学推理，我们可以得出结论。
三、数学归纳法的应用举例下面通过两个具体的例子来说明数学归纳法的应用。
例1：证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2基础步骤：当n=1时，左边等于1，右边等于1(1+1)/2，显然相等。
归纳假设：假设1+2+3+...+k = k(k+1)/2成立，即假设P(k)成立。
归纳步骤：我们需要证明1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2成立，即证明P(k+1)成立。
根据归纳假设，我们知道1+2+3+...+k = k(k+1)/2，所以1+2+3+...+k+(k+1) = k(k+1)/2+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
由此可见，当P(k)成立时，P(k+1)也成立。
因此，根据数学归纳法的原理，我们可以得出1+2+3+...+n = n(n+1)/2对所有正整数n 成立。
例2：证明2的n次方大于n，对所有大于等于4的正整数n成立。
基础步骤：当n=4时，左边等于16，右边等于4，显然2的n次方大于n。
归纳假设：假设2的k次方大于k成立，即假设P(k)成立。
归纳步骤：我们需要证明2的(k+1)次方大于(k+1)成立，即证明P(k+1)成立。
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数学归纳法的应用姓名甘国优指导教师赵慧炜中文摘要:数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法,其应用极为广泛。
本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想,体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力。
关键词：数学归纳法;步骤；证明方法.Ａbstｒact：Maｔhｅmatical inｄuｃtioｎ is a ｃommon evidencｅｍｅt ｈod iｎ mathematics， it is have very broａd appliｃation。
In this pａｐｅr，aｕｔhor researｃh ｉntｏ the ｓtep oｆｔhｅ Mathematica ｌ indｕctiｏn , it includes sｕmmaｒiz，ｅvideｎce ａnｄｇuess embod ｙ thｅ idea oｆtｈe eｖidｅnce oｆmatｈｅmatｉcaｌｉndｕctiｏn． Aｌso at herｅ ,we summaｒiz tｈｅmethoｄoｆ the mａthｅmat ｉcal induｃtioｎapplicaｔion iｎsolvｅａlgebra iｄenｔities ， g ｅoｍetric ,ordｅr anｄ porｔfolio ，and so on .ａlso analyze the c ｏmmoｎerrorｓ on ａｐpｌｉcation and into duct sｋｉｌl of tｈe ｐroof ,ｐroｏf ｏｆskills iｎtｒｏｄuceｄ. Iｔ is ｈelp to inｃr ｅａsed tｈe leｖeｌ of the Mathematiｃal indｕction’s appｌicａtion．Key woｒｄs：Maｔｈematical induction; Steps ; Proｏf．引言演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法,他有着其他方法所不能代替的作用,也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法。
我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件：①当1n =时，这个命题为正确的（奠基），②当n k =时，这个命题也为正确的.推出当+1n k =时，这个命题也为正确的（递推）．通过“递推”链接,实现从特殊到一般的转化,抽象的进行数学归纳．首先我们要了解归纳法与数学归纳法的思想，由思想转换为思路来解决实际问题.当然我们在中学所学习的比较浅显,因此需要进行整理疏通总结，并学以致用其思想，在应用数学归纳法时所需的一些问题进行整理,了解数学归纳法在中学代数及几何问题方面的应用更深刻总结数学归纳法的重难点及解题技巧，选取典型例题来体现这一思想,抓住其最基本的步骤并掌握数学归纳法的证明方法.1 数学归纳法的概论１。
１ 数学常用证明方法数学是门极其注重学习方法的学科,数学恒等式的证明使这些方法体现的完美无缺，而常用的数学证明方法有以下几种；１.1.１ 演绎推理由一般推理到特殊的推理方法称为演绎推理,又叫演绎法．1.１.2 归纳推理由特殊到一般的推理方法称为归纳推理法，又叫归纳法．其中归纳法又分为完全归纳法与不完全归纳法．1.1．3 完全归纳法探讨事物的全部特殊情况后得出一般结论的推理方法称为完全归纳法，又叫枚举法．1。
１．4 不完全归纳法由某类事物中一部分事物所具有的某种属性,推出此类事物全部都具有这种属性的归纳推理方法称为不完全归纳法．1。
1。
5 数学归纳法数学归纳法证明是与自然数N 有关的命题的一种特殊方法。
(在高中数学中常用来证明不等式成立和数列通项公式成立)1.２数学归纳法的定义数学归纳法定义：是一种先得出首个例子的正确性,再通过递推的方式证明命题是否正确的一种方法。
它是以考察特殊、个别的情况后作出的判断作为基础。
再从这些个别情况的判断归纳出一般的结论，也可以说，它是从特殊到一般的推理方法．即当n=1正确时,若在n=ｋ正确的情况下，n=k+ｌ也是正确的,便可递推下去.虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证，但事实上,这种递推就已经把所有自然数都验证了，这种方法就是数学归纳法.2 数学归纳法的背景与原理２.１背景数学归纳法最早的痕迹可以在古希腊时代和印度的著作中找到丝缕痕迹，如欧几里德素数无限的证明中和印度婆什迦罗的“循环方法”都可以找到这种痕迹。
有资料和数据表明,在中世纪伊斯兰数学中就已经比较清晰、广泛地使用了数学归纳法中归纳推理。
而数学归纳法真正明确使用的是意大利数学家、天文学家和工程师莫洛里科斯，而他也尚未对数学归纳法证明中的归纳奠基和归纳推理两个步骤进行清楚的阐述．真正清楚数学归纳法证明这两步的应是17世纪的数学家帕斯卡，最早是他将数学归纳法的证明用两步确定下来.而“数学归纳法”名称是英国数学家提出的, 并由英国教科书作者普遍使用并推广.数学归纳法的严格建立,是对无穷概念有较深刻的认识和数的理论充分发展后才得以完成.十七世纪后，数学归纳法有了明晰的框架,后来发展出了最小数原理、第一和第二数学归纳法、递减归纳法、螺旋归纳法、倒推纳法、跳跃归纳法、双重甚至多重归纳法等多种形式的数学归纳法．至1889年意大利数学家皮亚诺发表《算术原理新方法》，给出自然数的公理体系,使数学归纳法有了一个合理、准确的理论基础。
归纳法的逻辑是指从有限的特殊事例推出一般性结论的推理方法,从肯定全体对象中的有限的个别事物到肯定全体对象。
但数学归纳法并不具备这些特性．演绎法是由一般到具体结论的推理方法，演绎推进的前提必然蕴涵结论。
从数学归纳法的推理过程来考察,还是从它的理论根据来考察，数学归纳法本质上都是一种演绎法.现代美国数学家波利亚有这样评论“数学归纳法”:“归纳法是通过对特例进行观察和综合后以发现一般规律的过程．它仅在数学中用以证明某类定理．从名称上看，二者有联系，但二者在逻辑方面的联系很少。
而两者之间还有某种实际联系；我们常把两种方法一起使用．”2。
2原理所有数学都始于计数，计数就是把要计数的对象集合与几个起始自然数1,2,3,4,5...一一对应的过程.我们用N表示自然数这个无限集合，自然数N的一个基本性质是良序性,下面将对自然数的良序性进行形式化的论述，并且把它作为一个关于N的公理.对于任何系统,公理是无需证明即为真的命题。
为了对一个系统（这里指自然数）进行推理，首先需要对该系统做一些假设。
尽管这些基本的假设常常不容易一眼就看出,但它应该是“合理的”和“显而易见为真的”.良序原理：自然数集N的每个非空子集都有一个最小元素。
显而易见，自然数N的任何子集都可以通过列出实际元素的方式给定，即使对于不易直接定义的集合,该定理依然有效．例如,当x和y可取任意整数时，考虑1228所表示的所有自然数集合.从定义看该集合的范围并不明显,但是x y根据良序原理,由于该集合非空（注意这很重要），集合中必有一个通过该方式表示的最小自然数.(当然，求具体的最小自然数的值是另外一回事．注意良序原理保证有一个最小数存在，但绝对没说如何去计算它．）从数学归纳法的发现、发展到应用；从数学归纳法理论基础到实际教学；从数学归纳法的逻辑基础到学生学习数学归纳法时遇到的心理问题。
要清楚相关知识又何止这些呢?实际上,只有清楚了解每一个知识点的来龙去脉和每一个知识点的应用范围，以及每一个知识点的所以然，方能更好去解决问题。
3 数学归纳法的步骤数学归纳法的步骤,若把需证明的命题记作p(n ），那么数学归纳法的步骤为:(１） 证明当n ＝１时,p(n=1)成立.（2）假设ｎ=k （*k N ∈且k ≥０)时,命题成立，即p （ｋ）成立．证明当n=k ＋1时命题也成立.（３）根据（1)、（2） 当k ≥0且 *k N ∈ 时 ,即p(ｎ）成立．运用数学归纳法证题时， 以上这三个步骤是必不可少的, 步骤（1)时是正确的奠基步骤,称之为归纳基础, 步骤（2）反应了递推关系,即命题的正确性具有传递性作用．步骤（3）是将步骤(1)与步骤（２)组合完成数学归纳法中递推的全部过程,所以三个步骤必不可少．4 易错分析刚刚接触数学归纳法时容易出现对步骤把握不清的现象,下面针对几种常见错误进行分析。
4.1 弄不清n k =到1n k =+时的式子变化例1：用数学归纳法证明： (1)(2)(n+n)=213(21)n n n n ++⋅⋅-，从“k ”到“1k +”左端需增乘的代数式为:A .2(21)k + B.2(1)k + C.211k k ++ D 。
231k k ++ 错误解法：n k =时，式子左端(1)(2)()(1)(2)(3)2k k k k k k k k +++=+++，1n k =+时，式子左端为(1)(2)(11)k k k k +++++ 故选B 。
分析：1n k =+时，左端第一个因式也有所变化，不能简单地看后面的因式． 正确解法：当n k =时，左端为(1)(2)2k k k ++为从1k +到2k 连续整数的乘积。
4.2 运用数学归纳法时忽略了n k =时的假设条件．例２：用数学归纳法证明:*n N ∈时， 1111335(21)(21)21n n n n +++=⨯⨯-⨯++ 错解：(1）当n=１时，左边=11133=⨯，右边=13，等式成立． （2）假设(1n k k =≥，*k N ∈)时,等式成立.即1111335(21)(21)21k k k k +++=⨯⨯-⨯++ 则当1n k =+时，11111335(21)(21)(21)(23)k k k k ++++⨯⨯-⨯++⨯+ =11111111(1233521212123k k k k -+-++-+--+++) =11(1)223k -+＝12(1)1k k +++． 所以1n k =+时，等式成立综上所述 当*n N ∈时，1111335(21)(21)21n n n n +++=⨯⨯-⨯++成立 分析：在证明1n k =+等式成立时,没有用到归纳假设正解：(１)当1n =时,左边=113⨯=13=右边，等式成立。
(2）假设(1n k k =≥，*k N ∈)时,等式成立，121(21)(23)k k k k ++++＝(23)1(21)(23)k k k k ++++＝2231(21)(23)k k k k ++++=123k k ++=12(1)1k k +++． 所以1n k =+时，等式也成立.综上所述，对一切*n N ∈，1111335(21)(21)21n n n n +++=⨯⨯-⨯++都成立. 数学归纳法要运用“归纳假设”,没有“归纳假设”的证明不是数学归纳法． 5 运用数学归纳法的典型例题例3：用数学归纳法证明:tan tan 2tan 2tan3tan(1)tan()n n αααααα+++-＝*tan()(tann n n N α-∈，2)n ≥ 分析:本题第一步的验证要取2n =,在第二步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的和角公式.证明：(1）当2n =时，右边=tan 22tan αα-=2221tan α--=222tan 1tan αα-=tan tan 2αα=左边 则等式成立.(2)假设当n k =时，等式成立,即tan tan 2tan 2tan3αααα++tan(1)tan()k k αα+-＝tan()tan k k αα-. ＝tan()tan k αα+[]tan(1)tan()(1)tan (1)k k k k k αααα+--++-=tan(1)(1)tan k k αα+-+. 点评：本题在第（２）步的证明过程中使用了正切和差角的变形形式，即１tan(1)tan()k k αα++＝[]tan(1)tan()tan (1)k k k k αααα+-+-.因此在用数学归纳法证明三角命题时，应针对1n k =+时命题的特征，合理地选择和使用三角公式。