耦合电感和变压器电路分析解读
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第6章-耦合电感和理想变压器
i
L1 u
R1
i1
M L2
R2 i2
(a) 同侧并联
i i1 i2
u
R1i1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u
R2i2
L2
di2 dt
M
di1 dt
(6 10)
整顿方程，得出u旳体现式
i M
L1 M L2 M
u
R1
R2
i1
i2
i
L1 u
R1
i1
M L2
R2 i2
(b) 异侧并联
i M
L1 M
反接时
Le L1 L2 2M 1 4 21 3H
Z Re jLe 3000 j314 3 3144.418 17.432
I U 220 30
69.965 12.568 mA
Z 3144.418 17.432
i 69.965 2 cos(314t 12.568) mA
2.并联 (分为同侧并联和异侧并联)
u23
R2i2
L2
di2 dt
M
di1 dt
整顿方程得
u13
R1i1
(L1
M
)
di1 dt
M
di dt
u23
R2i2
(L2
M
)
di1 dt
M
di dt
(6 16)
1 i1 R1
u13
L1
M
)
di1 dt
M
di dt
u
R2i2
(L2
M)
di1 dt
M
di dt
(6 13)
耦合电感并联旳去耦等效电路与各电压电流旳 参照方向无关，只与其同侧或异侧连接有关。
电路分析基础课件第8章耦合电感和变压器电路分析
耦合电感在电路中的应用
信号传输
耦合电感在电路中可以用于传输信号，由于其电磁耦 合的特性，信号可以在不同的电路之间传递。
滤波器
耦合电感可以组成各种滤波器，如高通、低通、带通 等，用于对信号进行筛选和过滤。
振荡器
在振荡电路中，耦合电感与电容配合使用，可以形成 振荡信号。
变压器在电路中的应用
电压转换
01
电路分析基础课件第8章耦合电感 和变压器电路分析
目 录
• 耦合电感电路分析 • 变压器电路分析 • 耦合电感和变压器在电路中的应用 • 习题与思考
01 耦合电感电路分析
耦合电感基本概念
耦合电感定义
由两个或多个线圈通过磁场相互耦合而构成的电路元件。
耦合系数
描述耦合电感线圈之间耦合程度的一个参数，其值在0到1之间 。
习题2
计算变压器初级和次级线圈的电压和电流， 以及变压器的变比。
习题3
分析一个具有变压器和耦合电感的电路，计 算各元件的电压和电流。
习题4
设计一个变压器，满足特定的电压和电流要 求，并计算所需的匝数和线径。
思考题
思考题1
如何理解耦合电感和变压器在 电路中的作用？
思考题2
如何分析具有耦合电感和变压 器的电路？
02
变压器在电力系统、电子设备和 工业自动化等领域有着广泛的应 用，是电力传输和分配的关键设 备之一。
变压器的工作原理
当交流电通过变压器的一次绕组时， 会在铁芯中产生交变磁场，这个磁场 会感应出电动势，从而在二次绕组中 产生电压和电流。
变压器的工作原理基于电磁感应定律 和全电流定律，通过改变绕组匝数实 现电压和电流的变换。
根据耦合系数和线圈的匝数比，可以确定电压和电流的幅值关系。
第8章 耦合电感和变压器电路分析
( R1 jL1 ) I 1 jMI 2 U S ( R jL Z ) I 0 jMI 1 2 2 L 2
令 Z11 R1 jL1 解得：
Z 22 R2 jL2 Z L
US I1 (M ) 2 Z 11 Z 22
第8章 耦合电感和变压器电路分析
8.1 耦合电感
如果两个线圈的磁场存在相互作用，就称这两线圈具 有磁耦合。具有磁耦合的两个或两个以上的线圈，称为耦 合线圈。如果假定各线圈的位置是固定的，并且忽略线圈 本身所具有的电阻和匝间分布电容，得到的耦合线圈的理
想化模型就称为耦合电感。
耦合电感Байду номын сангаас伏安关系
图8-1(a)所示为两个相互有磁耦合关系的线圈。第一个线圈中电流i1
1 11 12 L1i1 M 12i2 2 21 22 M 21i1 L2 i2
对于图8－l(b)所示的情况有：
1 11 12 L1i1 M 12i2 2 21 22 M 21i1 L2 i2
图8-1(a) 同名端
每个线圈的电压均由自感磁链 产生的自感电压和互感磁链产 生的互感电压两部分组成。
与此相似，对于图(b)情况可以得到：
d 1 d 11 d 12 di1 di2 u1 L1 M dt dt dt dt dt d 2 d 21 d 22 di1 di2 u2 M L2 dt dt dt dt dt
同名端
每个线圈的电压均由自感磁链 产生的自感电压和互感磁链产 生的互感电压两部分组成。
为了在看不见线圈相对位置和绕法的情况下，确定互感电压取正号 或负号，人们在耦合线圈的两个端钮上标注一对特殊的符号，称为同名
电路分析基础-耦合电感与变压器
若i1,i2以及u1,u2的参考方向对同名端不一致，则前表达 式中符号取反。
例：
+
–
例：
+
–
1:n
+ *
* –
2:1
*
* +
对同名端不 一致，取“ －” 对同名端不 一致，取“ ＋”
对同名端一 致，取“＋ ”对同名端一 致，取“－ ”
2. 理想变压器的功率性质：
理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。
当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有
12
22
N1
i2
N2
+ u12 – + u22 –
可以证明：M12= M21= M。
互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互 位置和周围的介质磁导率有关。
耦合系数 k： (coupling coefficient) 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。 可以证明， 0 k1
Z11 + –
初级等效电路
关于反映阻抗：
1. 次级在初级中的反映阻抗：
2. 与同名端无关。
3. 当Z22为容性 →Zref1为感性。
当Z22为感性 →Zref1为容性 。
1.
当Z22为电阻 →Zref1为电阻 。
4. 同理，初级在次级中的反映阻抗：
次级等效之一： + –
另： 也可以利用戴文南等效作次级等效。
RL
uS
–
n2RL
当 n2RL=RS时匹配，即 10n2=1000
n2=100， n=10 .
例:
1 1 : 10
+
+**
+
50
–
例：
+
–
例：
+
–
1:n
+ *
* –
2:1
*
* +
对同名端不 一致，取“ －” 对同名端不 一致，取“ ＋”
对同名端一 致，取“＋ ”对同名端一 致，取“－ ”
2. 理想变压器的功率性质：
理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。
当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有
12
22
N1
i2
N2
+ u12 – + u22 –
可以证明：M12= M21= M。
互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互 位置和周围的介质磁导率有关。
耦合系数 k： (coupling coefficient) 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。 可以证明， 0 k1
Z11 + –
初级等效电路
关于反映阻抗：
1. 次级在初级中的反映阻抗：
2. 与同名端无关。
3. 当Z22为容性 →Zref1为感性。
当Z22为感性 →Zref1为容性 。
1.
当Z22为电阻 →Zref1为电阻 。
4. 同理，初级在次级中的反映阻抗：
次级等效之一： + –
另： 也可以利用戴文南等效作次级等效。
RL
uS
–
n2RL
当 n2RL=RS时匹配，即 10n2=1000
n2=100， n=10 .
例:
1 1 : 10
+
+**
+
50
–
第07章耦合电感与变压器-PPT课件
耦合系数 (coupling coefficient)k：
k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。
def
k
M
L1 L2
可以证明， 0 k1
全耦合（perfect coupling）： K=1
紧耦合
K≈1
无耦合（孤立电感）
K=0
M L1L2 M m ax L1L2
(K 1， 即 全 耦 合 时 ）
即：
I1
US
(M)2
Z11 Z22
其中： Z11=R1+j L1 ——初级回路的自阻抗
Z22=R2+ZL+j L2 ——次级回路的自阻抗
Z inU I1SZ 11(Z M 22)2 — — 电 源 两 端 输 入 阻 抗
( M )2
Z ref1
Z 22
——次级在初级回路中的反映阻抗， 或称为引入阻抗。
L2
di2 dt
u2
Mdi1 dt
L2ddit2
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
I1
j M
I2
+
*
U1
j L1
+
*
j L2
U2
_
_
U 1jω L 1I 1jω M I 2 U 2jω M I 1jω L 2I 2
L 1— — 自 感 抗 （ ） M — — 互 感 抗 （ ） j L 1 — — 自 感 阻 抗 （ ） j M — — 互 感 阻 抗 （ ）
第7章 耦合电感与变压器
7. 1 互感和互感电压 7. 2 耦合电感电路的分析 7. 3 空芯变压器电路分析 7. 4 理想变压器和全耦合变压器 7. 5 变压器的电路模型
电路学：第10章 耦合电感和变压器电路分析-1
同名端用标志‘.’或‘*’等表示。注意：同 名端不一定满足递推性，故当多个线圈时有 时必需两两标出。 在要V根C据R电中流u参M1 考 方M向ddi和t2 同到名底端取来正确还定是：取负，
当自磁链与互磁链的参考方向一致时取正号， 不一致时取负号。或者说，根据同名端，电 流在本线圈中产生的自感电压与该电流在另 一个线圈中产生的互感电压极性是相同的。
用符号 k表示，即 由于:
k 12 21 11 22
11 L1i1, 21 Mi1, 22 L2i2 , 12 Mi2
得:
k M
L1L2
k 1
当k＝1时称为全耦合，此时一个线圈中电流 产生的磁通全部与另一线圈铰链，互感达到 最大值，即；
若线圈电流变化，则自磁链，互磁链也随之变 化。由电磁感应定律，线圈两端会产生感应电 压，若电压与电流采取关联参考方向，则：
耦合电感伏安关系(VCR)表达式：
u1
d1
dt
d11
dt
d12
dt
uL1
uM1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
d2
dt
d22
dt
d21
dt
uL2
uM 2
L2
di2 dt
M
di1 dt
第二步：按要求(消去假设的变量)改变相 应互感电压的符号。
例 列写伏安关系式，电路模型如下图。
a-
i1
M
i2
-c
u1
uL1
uM1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u1
b+
L*1
L *2
i u2
+d
电感耦合和变压器部分
电感耦合和变压器部分电感耦合是指通过电感的作用，将两个或多个电路的电磁场相互连接的一种方式。
它常用于电路的耦合、滤波、谐振等。
1.耦合电感：耦合电感是指将两个电路通过电感连接在一起的一种元件。
它可以让信号从一个电路传递到另一个电路，同时也可以限制高频噪声的传播。
耦合电感通常由线圈组成，其匝数和绕制方式会影响其特性。
2.电感滤波：电感滤波是一种利用电感元件对电路进行滤波的方法。
它可以通过电感的自感效应，对电路中的高频噪声进行抑制，从而提高电路的信噪比。
电感滤波器通常由电感和负载组成，其电感值和负载值的选择会影响滤波效果。
3.电感谐振：电感谐振是指在电感元件和电容元件组成的电路中，当电感元件和电容元件的共振频率相等时，电路的阻抗达到最小值，电流达到最大值的现象。
电感谐振常用于电路的选频、放大等。
变压器是一种利用电磁感应原理，实现电压和电流的变换的装置。
它由两个或多个绕组组成，绕组之间通过铁芯连接。
1.变压器的基本原理：变压器的工作原理是利用电磁感应现象。
当交流电流通过 primary winding（一次绕组）时，会在铁芯中产生变化的磁通量，进而在 secondary winding（二次绕组）中感应出电动势，从而实现电压的变换。
2.变压器的种类：变压器可以按照其工作原理、结构、用途等方面进行分类。
例如，按照工作原理可以分为交流变压器和直流变压器；按照结构可以分为壳式变压器和芯式变压器；按照用途可以分为电力变压器和电子变压器等。
3.变压器的主要参数：变压器的主要参数包括变压比、匝数比、效率、短路阻抗等。
变压比是指变压器的输入电压和输出电压之间的比值；匝数比是指变压器的输入绕组和输出绕组之间的匝数比值；效率是指变压器输出功率与输入功率之间的比值；短路阻抗是指变压器在短路条件下的阻抗值。
4.变压器的应用：变压器在电力系统中具有重要的作用，它可以将高压电能转换为低压电能，以满足不同用电场合的需求。
此外，变压器还可以用于电子设备中，例如电源适配器、音频放大器等。
含耦合电感和理想变压器的电路分析
•
•
jωL2 I 2 ± jωM I1
这
里在
•
U
和
•
I
参考方向关联下
•
I１
•
I２
同流入(出)同名端时
反之取
(ωM = X M 称为互感抗)
M 前取
六 互感线圈的串并联
1 串联 1) 顺接
u1 u2
= =
L1
di1 dt
+
M
di2 dt
L2
di2 dt
+
M
di1 dt
u
=
u1
+ u2
=
(L1
+
•
− jωM I1
即
(
R1
+
− ( R2
•
R2 + jωL1 ) I1 − (R2
•
− jωM ) I1 + (R2 +
− R3
•
jωM ) I2 + jωL2 )
•
=U
•
I2 =
s
0
这与前面方法的结果完全一样
三 耦合电感的去耦等效电路(互感消去法)
＋ i1
M
u1
L1
－
i2
＋
L2
k = M ≤ 1
L1L2
当 k = 1 时 称为全耦合 当 k = 0 时 称为无耦合
一般地 传输功率或信号(或变压器) K 值越大越好 磁场干扰 K 值越小越好 必要时要加以屏蔽 四 互感电压
仪表间的
对于两个相耦合的线圈 一个线圈的电流发生变化 将在另一线
R2 + jωL1 ) I 1 − ( R2 −
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u2 dt dt dt uL2 uM 2 L2 dt M dt
式中， uL1 uL2 为自感电压， uM1 uM 2 互感电压， 取正号或负号；可见，耦合电感是一种动态、 有记忆的四端元件。(与电感有类似的特性) 耦合电感的VCR中有三个参数：L1、L2和M。
8－1－2.耦合电感的同名端
规则：法1：若耦合电感线圈电压与电流的参 考方向为关联参考方向时，自感电压前取正号， 否则取负号；若耦合电感线圈的电压正极性端 与另一线圈的电流流入端为同名端时，则该线 圈的互感电压前取正号，否则取负号。
或：法2：第一步：总认为电压、电流方向 关联(假设电压或电流的参考方向)，这时， 自感电压总是正的,互感电压总是同一符号； 第二步：按要求(消去假设的变量)改变相 应互感电压的符号。
例1 列写伏安关系式，电路模型如下图。
a-
i1
* L1
M
i2
L2 *
- c
u1
b +
u2
+ d
di1 di2 u1 uL1 uM 1 L1 M dt dt
di2 di1 u2 uL 2 uM 2 L2 M dt dt
a-
i1
M
i2
L 2
di1 M dt
+c
u1
b -
u2
-
u1
d b -
u2
d
耦合电感的相量(模型)形式为
jL I jMI U 1 1 1 2 jL I jMI U
2 2 2
1
jL1, jL2 称为自
感阻抗 jM 称为互感阻抗
据此可画出相应的相量模型图
8-1-3 耦合电感的储能
w (t )
di di ( L1 L2 2 M ) Leq dt dt
i
Leq + u 串联等效 Leq L1 L2 2M Leq L1 L2 2M
顺串等效: 反串等效:
由耦合电感为储能公式
1 1 2 2 w(t ) ( L1 L2 2 M ) i Leq i 0 2 2
+ u
i
-
* L1 i1
M
+ L2 u
i
L1 L2 M 2 Leq L1 L2 2 M
* i2
-
异侧并联
图示电压，电流参考方向下，由耦合电 感的伏安关系：
di1 di2 u L1 M dt dt di1 di2 u M L2 dt dt
di1 L2 M u 2 dt L1 L2 M di2 L1 M u 2 dt L1 L2 M
耦合线圈自磁链和互磁链的参考方向是否 一致，不仅与线圈电流的参考方向有关， 还与线圈的绕向及相对位置有关，后者不 便画出，故引入同名端的概念。
1.顾名思义,指绕法相同的一对端钮；a Nhomakorabeab
a、b是同名端
2.起的作用相同的一对端钮； 当线圈电流同时流入(或流出)该对端钮时， 各线圈中产生的磁通方向一致的这对端钮。 或者说，(1)同名端就是当电流分别流入线 圈时，能使磁场加强的一对端钮； (2)同名端就是当电流分别流入线圈时，能 使电压增加的一对端钮； (3)产生自感电压与互感电压极性相同的 一对端钮。
d w (t ) p(t ) u1i1 u2 i2 dt
8-2 耦合电感的联接及去耦等效
联接方式：串联，并联和三端联接 去耦等效： 耦合电感用无耦合的等效电路去等效。
8-2-1 耦合电感的串联
顺串：异名端相接。反串：同名端相接
* L1 M * L2
L1 * M * L2
i
+ u1 - + u2 -
得：
L1 L2 2 M 0 1 M ( L1 L2 ) 2
算术平均值
8-2-2 耦合电感的并联
同侧并联:(顺并)同名端两两相接。
异侧并联:(反并)异名端两两相接。 + u -
i
* L1 i1
M
* L2 i2
+
u -
i
L1 L2 M Leq L1 L2 2 M
2
同侧并联
8 耦合电感和变压器电路分析
前几章已学过的无源元件有：R、L、C。
R：
耗能、静态、无记忆；
L、C：储能、动态、有记忆；
它们都是二端元件。本章介绍两种四端元件:
1.耦合电感：具有电感的特性；
2.理想变压器：是静态、无记忆,但不耗能。
受控源也是四端元件，它与将要介绍的耦合 电感均属耦合元件。
8－1 耦合电感
8-2-3 耦合电感的三端联接
将耦合电感的两个线圈各取一端联接起来就成 了耦合电感的三端联接电路。(1)同名端相联; (2)异名端相联. + i1
u
-
* L1
M
i2 * L2
i1 + i2
i1 L1 M
+ -
L2 M i 2
M
+ -
u1
u2
(1) 同名端相联
+ i1
u
* L1
M
i2 L2 * i1 + i2
同名端用标志‘.’或‘*’等表示。注意：同 名端不一定满足递推性，故当多个线圈时有 时必需两两标出。 在VCR中 uM 1 到底取正还是取负， 要根据电流参考方向和同名端来确定： 当自磁链与互磁链的参考方向一致时取正号， 不一致时取负号。或者说，根据同名端，电 流在本线圈中产生的自感电压与该电流在另 一个线圈中产生的互感电压极性是相同的。
j ( L1 M )
jM
K
R2
1 jC
jL2
j ( L2 M )
-
R2 1 jC
-
解：这种互感线圈常称自耦变压器。
开关打开时
1 + I Z R1 R2 j ( L1 L2 2 M ) jC j ( L1 M )
R1
12 j16
设两线圈的电压和电流参考方向均各自关联。 由图，磁通方向与电流方向符合右手法则。
12
i1
22
11
21
I
其中 11 表示线圈1电流在 本线圈中产生的磁链，称 i2 为自感磁链；类此有 ； 22
12 表示线圈2的线圈电流 在线圈1中产生的磁链，称 为互感磁链，类此有 21。
图中显示自磁链与互磁链的参考方向一致； 若线圈2改变绕向，如下图所示，则自磁链 与互磁链参考方向将不一致。因此，穿过一 线圈的总磁链有两种可能，分别表示为：
- c
故电路模型也可以用 受控源的形式表示：
u1
b
L1
+
di2 M dt
u2
+
d
当两线圈的电流、电压参考方向关联时， 相应耦合电感的电路模型为：
a+
i1
L1 di2 M dt
M
i2
L2
di1 M dt
a c + +
i1
L1 di2 M dt
M
i2
L 2
M di1 dt
开关闭合时
+ I
j ( L1 M )
R1
jM
K
R2
1 jC
U
U 800 I 2 10 18.4A Z 4 1018.4 -
j ( L2 M )
例：求等效电感Leq。 1 4 ° * * • •° 3 6
Leq
2
8
解：两两去耦
4+3 -1+2
jM
K
R2
1 jC
U
j ( L2 M )
-
800 U 800 I 4 53.1A Z 12 j16 2053.1
1 jM [ R2 j ( L2 M ) ] jC Z R1 j ( L1 2 M ) 1 jM R2 j ( L2 M ) jC
i
-
+ u1 - + u2 -
+
u 顺串
+
u 反串
-
* L1 M * L2
i
+ u1 - + u2 + u 顺串 -
在图示参考方向下，耦合电感的伏安关系为： (下面推导中，顺串取+，反串取－)
di di di di u u1 u2 L1 M L2 M dt dt dt dt
di 2 M dt
耦合电感的电路符号： i M i 2 a+ 1 a+ c + * * u1 u1 L1 u2 L2 b - d b
i1
* L1
M
i2
L2 *
+c
u2
d
VCR中互感电压取+
VCR中互感电压取－
(当各线圈的电压、电流方向关联时只有这两 种可能。)
在绕法无法知道的情况下，同名端的测定： (1)直流法
12
i1
22
11
21
i2 1 11 12 L1i1 M12i2
I
2 22 21 L2i2 M 21i1
11 22 , L2 式中 L1 称为自感系数， i1 i2
单位亨(利)H
12
式中 M 1 i , M 2 i 2 1 单位亨(利)H
L1 L2 M 0 L1 L2 2 M
2
L1 L2 M 2
M L1 L2
几何平均值
1 L1 L2 ( L1 L2 ) 2
式中， uL1 uL2 为自感电压， uM1 uM 2 互感电压， 取正号或负号；可见，耦合电感是一种动态、 有记忆的四端元件。(与电感有类似的特性) 耦合电感的VCR中有三个参数：L1、L2和M。
8－1－2.耦合电感的同名端
规则：法1：若耦合电感线圈电压与电流的参 考方向为关联参考方向时，自感电压前取正号， 否则取负号；若耦合电感线圈的电压正极性端 与另一线圈的电流流入端为同名端时，则该线 圈的互感电压前取正号，否则取负号。
或：法2：第一步：总认为电压、电流方向 关联(假设电压或电流的参考方向)，这时， 自感电压总是正的,互感电压总是同一符号； 第二步：按要求(消去假设的变量)改变相 应互感电压的符号。
例1 列写伏安关系式，电路模型如下图。
a-
i1
* L1
M
i2
L2 *
- c
u1
b +
u2
+ d
di1 di2 u1 uL1 uM 1 L1 M dt dt
di2 di1 u2 uL 2 uM 2 L2 M dt dt
a-
i1
M
i2
L 2
di1 M dt
+c
u1
b -
u2
-
u1
d b -
u2
d
耦合电感的相量(模型)形式为
jL I jMI U 1 1 1 2 jL I jMI U
2 2 2
1
jL1, jL2 称为自
感阻抗 jM 称为互感阻抗
据此可画出相应的相量模型图
8-1-3 耦合电感的储能
w (t )
di di ( L1 L2 2 M ) Leq dt dt
i
Leq + u 串联等效 Leq L1 L2 2M Leq L1 L2 2M
顺串等效: 反串等效:
由耦合电感为储能公式
1 1 2 2 w(t ) ( L1 L2 2 M ) i Leq i 0 2 2
+ u
i
-
* L1 i1
M
+ L2 u
i
L1 L2 M 2 Leq L1 L2 2 M
* i2
-
异侧并联
图示电压，电流参考方向下，由耦合电 感的伏安关系：
di1 di2 u L1 M dt dt di1 di2 u M L2 dt dt
di1 L2 M u 2 dt L1 L2 M di2 L1 M u 2 dt L1 L2 M
耦合线圈自磁链和互磁链的参考方向是否 一致，不仅与线圈电流的参考方向有关， 还与线圈的绕向及相对位置有关，后者不 便画出，故引入同名端的概念。
1.顾名思义,指绕法相同的一对端钮；a Nhomakorabeab
a、b是同名端
2.起的作用相同的一对端钮； 当线圈电流同时流入(或流出)该对端钮时， 各线圈中产生的磁通方向一致的这对端钮。 或者说，(1)同名端就是当电流分别流入线 圈时，能使磁场加强的一对端钮； (2)同名端就是当电流分别流入线圈时，能 使电压增加的一对端钮； (3)产生自感电压与互感电压极性相同的 一对端钮。
d w (t ) p(t ) u1i1 u2 i2 dt
8-2 耦合电感的联接及去耦等效
联接方式：串联，并联和三端联接 去耦等效： 耦合电感用无耦合的等效电路去等效。
8-2-1 耦合电感的串联
顺串：异名端相接。反串：同名端相接
* L1 M * L2
L1 * M * L2
i
+ u1 - + u2 -
得：
L1 L2 2 M 0 1 M ( L1 L2 ) 2
算术平均值
8-2-2 耦合电感的并联
同侧并联:(顺并)同名端两两相接。
异侧并联:(反并)异名端两两相接。 + u -
i
* L1 i1
M
* L2 i2
+
u -
i
L1 L2 M Leq L1 L2 2 M
2
同侧并联
8 耦合电感和变压器电路分析
前几章已学过的无源元件有：R、L、C。
R：
耗能、静态、无记忆；
L、C：储能、动态、有记忆；
它们都是二端元件。本章介绍两种四端元件:
1.耦合电感：具有电感的特性；
2.理想变压器：是静态、无记忆,但不耗能。
受控源也是四端元件，它与将要介绍的耦合 电感均属耦合元件。
8－1 耦合电感
8-2-3 耦合电感的三端联接
将耦合电感的两个线圈各取一端联接起来就成 了耦合电感的三端联接电路。(1)同名端相联; (2)异名端相联. + i1
u
-
* L1
M
i2 * L2
i1 + i2
i1 L1 M
+ -
L2 M i 2
M
+ -
u1
u2
(1) 同名端相联
+ i1
u
* L1
M
i2 L2 * i1 + i2
同名端用标志‘.’或‘*’等表示。注意：同 名端不一定满足递推性，故当多个线圈时有 时必需两两标出。 在VCR中 uM 1 到底取正还是取负， 要根据电流参考方向和同名端来确定： 当自磁链与互磁链的参考方向一致时取正号， 不一致时取负号。或者说，根据同名端，电 流在本线圈中产生的自感电压与该电流在另 一个线圈中产生的互感电压极性是相同的。
j ( L1 M )
jM
K
R2
1 jC
jL2
j ( L2 M )
-
R2 1 jC
-
解：这种互感线圈常称自耦变压器。
开关打开时
1 + I Z R1 R2 j ( L1 L2 2 M ) jC j ( L1 M )
R1
12 j16
设两线圈的电压和电流参考方向均各自关联。 由图，磁通方向与电流方向符合右手法则。
12
i1
22
11
21
I
其中 11 表示线圈1电流在 本线圈中产生的磁链，称 i2 为自感磁链；类此有 ； 22
12 表示线圈2的线圈电流 在线圈1中产生的磁链，称 为互感磁链，类此有 21。
图中显示自磁链与互磁链的参考方向一致； 若线圈2改变绕向，如下图所示，则自磁链 与互磁链参考方向将不一致。因此，穿过一 线圈的总磁链有两种可能，分别表示为：
- c
故电路模型也可以用 受控源的形式表示：
u1
b
L1
+
di2 M dt
u2
+
d
当两线圈的电流、电压参考方向关联时， 相应耦合电感的电路模型为：
a+
i1
L1 di2 M dt
M
i2
L2
di1 M dt
a c + +
i1
L1 di2 M dt
M
i2
L 2
M di1 dt
开关闭合时
+ I
j ( L1 M )
R1
jM
K
R2
1 jC
U
U 800 I 2 10 18.4A Z 4 1018.4 -
j ( L2 M )
例：求等效电感Leq。 1 4 ° * * • •° 3 6
Leq
2
8
解：两两去耦
4+3 -1+2
jM
K
R2
1 jC
U
j ( L2 M )
-
800 U 800 I 4 53.1A Z 12 j16 2053.1
1 jM [ R2 j ( L2 M ) ] jC Z R1 j ( L1 2 M ) 1 jM R2 j ( L2 M ) jC
i
-
+ u1 - + u2 -
+
u 顺串
+
u 反串
-
* L1 M * L2
i
+ u1 - + u2 + u 顺串 -
在图示参考方向下，耦合电感的伏安关系为： (下面推导中，顺串取+，反串取－)
di di di di u u1 u2 L1 M L2 M dt dt dt dt
di 2 M dt
耦合电感的电路符号： i M i 2 a+ 1 a+ c + * * u1 u1 L1 u2 L2 b - d b
i1
* L1
M
i2
L2 *
+c
u2
d
VCR中互感电压取+
VCR中互感电压取－
(当各线圈的电压、电流方向关联时只有这两 种可能。)
在绕法无法知道的情况下，同名端的测定： (1)直流法
12
i1
22
11
21
i2 1 11 12 L1i1 M12i2
I
2 22 21 L2i2 M 21i1
11 22 , L2 式中 L1 称为自感系数， i1 i2
单位亨(利)H
12
式中 M 1 i , M 2 i 2 1 单位亨(利)H
L1 L2 M 0 L1 L2 2 M
2
L1 L2 M 2
M L1 L2
几何平均值
1 L1 L2 ( L1 L2 ) 2