材料力学06(第六章弯曲应力)讲义
F
l 4
l 2
M↓ Wz↑ 辅梁
l 4
F
l
8
Fl 4
Fl
3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采 用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工 作拉、压应力分别达到(或接近)材料的许用拉应 力[ t ] 和许用压应力[ c ] 。 y2
O y
y1
z
M max y1 t,max [ t] Iz M max y 2 c,max [ c] Iz
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d
b
D)
截面
D
o
y
zDd
o
y
z
h
o
y
z
Iz
D4 64 D 32
3
D4
64
1
4
1 bh3 12
1 2 bh 6
D3
32
Wz
1 4
* FS S z , max
max O
y
中性轴处 max
Izd
min
2 FS bd d h h d d Izd 22 2
(2) 垂直于y 轴的切应力
d
d
F
* N2
O
b
y
dM * Sz F F d FS Iz * FS S z 1 I zd
Fb/2
M ( x) y 注意到 Iz M max M max 而
20
y 20
y1 y2
因此压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条 件则B、C截面都要考虑。
Fb/4
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/2 考虑截面B ：
t,max
M B y2 F / 2 2 103 mm 86 mm 30 MPa 3 4 Iz 5493 10 mm F 19.2 kN
y1 [ t] y 2 [ c]
若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的 许用应力，则称为等强度梁（鱼腹梁）。
M ( x) ( F / 2) x max 2 [ ] W ( x) bh ( x) / 6
h(x)
F
l 2 l 2
b
3Fx h( x ) b[ ]
3FS 3( F/ 2) [ ] 2 A 2bhmin 3F hmin 4b[ ]
2
2
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
d
d O b
O
y
' A*
y
* FS S z Izd
h
y
dA
2 bd d h * 2 h d d y Sz 2 2 2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS bd h d Izd 2
Ⅲ
梁的正应力强度条件
max
材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max y t,max Iz M max yc,max Iz
[ t] [ c]
min
Ⅱ、梁的切应力强度条件 一般max发生在FS ,max所在截面的中性轴处，该位置 =0。不计挤压，则max所在点处于纯剪切应力状态。
q
E m G mH l/2 C D F E
max
F
max
l
梁的切应力强度条件为
ql/2
max
ql/2
对等直梁，有
* FS,max S z , max
y
FS,max 80kN
FS(kN)
80 20
70
105
x
M max 150kN m
x
M(kN· m)
120
150
320 10
F1
60kN 50kN 40 kN
F2
10
100 9.5
C B E A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
y
最大弯矩为
M max 150kN m
第六章
弯曲应力
弯曲正应力计算公式
M EI z
1
E E
y
My Iz
中性轴 z 为横截面的对称轴时 b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
称为弯曲截面系数
中性轴 z 不是横截面的对称轴时 yt，max yc，max
320
F1
60kN 50kN 40kN
F2
10
100 9.5
C截面弯矩为
M C 120kN m
C B A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
10
y
C ,max
FS(kN)
80
20 30 70 105
MC 120 106 Wz 692.2 103 173.4MPa [ ]
(a) F (b)
max
解：对于矩形和圆形截面， 危险截面均为A （1)矩形截面，危险点分析：
z
A y
F1
l
l
F2
x
在H点，两外力引起的最大拉应力叠加， 在H’点，两外力引起的绝对值最大的 压应力叠加，故为危险点。
max
M z A M y A 6 F1 l 6 2 F2 l 2 [ ] 2 Wz Wy bh bh
Wz 2447cm3 2447103 mm3
与要求的Wz相差不到1%，可以选用。
FA
FB
20
y 20
F 解：1、梁的支反力为 FA 4
7 FB F 4
134
b
180
A
C b
B b
D
C 形心
86
例 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对 中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉 应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试 求梁的许可荷载[F ] 。 120 q=F/b F
y t,max yc,max
c,max
[ t] [ c]
例 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。 钢的许用弯曲正应力[ ]=152 MPa 。试选择工字 钢的号码。 F F F=75kN B A FA 2.5m 2.5m 2.5m 10 m 2.5m
FB
单位： kN· m
解：1、支反力为 作弯矩图如上。
20
y 20
M B y1 mm 134 mm c,max 90 MPa 4 4 Iz 549310 mm F 73.8 kN
3
F / 2 2 10
Fb/4
40 180
120
C 形心 86 z 134
Fb/2
考虑截面C：
t,max
M C y1 F / 4 2 103 mm 134 mm 30 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 24.6 kN
3F 2 bh
y
max 6 Fl 2bh l 4 2 max bh 3 F h
当 l >> h 时，max >> max
§6-4 梁的合理设计
控制强度条件： max
一、合理配置梁的荷载和支座
Q 合理安排加载方式—尽量分散载荷
M max [ ] Wz
max
O
(1) 沿截面高度按二次抛物 线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应 力max在中性轴处( y=0 )；
(3)上下边缘处（y=±h/2)， 切应力为零。
max
z
y
max
FS h FS h 3 FS 3FS 3 8I z 8 bh 12 2 bh 2 A
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 横力弯曲时： 1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲； 2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。 平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都 不再成立。
弹性力学的分析结果：
对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。
F
l
M ( x) y Iz
* N2 * N1
F
* 1 N1
1'
h
1 d d x d FS
FS h d FS 1 1 d h d I z d 2 2 2 I z
d
1max
max O
y
max
FS 1 h d 2I z
3 FA FB F 112 .5 kN 2
281 375
M max 375 kN m
2、根据强度条件确定截面尺寸
Wz
M max
M max Wz 6 375 10 N mm 2460 103 mm3 152 MPa
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
3 100 10 320 10 2 4 I z 11075 .5 10 2[ 10010( ) ] 12 2 2 16522 104 mm4
Iz 16522104 Wz 972103 mm3 ymax (320/ 2) 10
l 4
l 2
M↓ Wz↑ 辅梁
l 4
F
l
8
Fl 4
Fl
3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采 用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工 作拉、压应力分别达到(或接近)材料的许用拉应 力[ t ] 和许用压应力[ c ] 。 y2
O y
y1
z
M max y1 t,max [ t] Iz M max y 2 c,max [ c] Iz
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d
b
D)
截面
D
o
y
zDd
o
y
z
h
o
y
z
Iz
D4 64 D 32
3
D4
64
1
4
1 bh3 12
1 2 bh 6
D3
32
Wz
1 4
* FS S z , max
max O
y
中性轴处 max
Izd
min
2 FS bd d h h d d Izd 22 2
(2) 垂直于y 轴的切应力
d
d
F
* N2
O
b
y
dM * Sz F F d FS Iz * FS S z 1 I zd
Fb/2
M ( x) y 注意到 Iz M max M max 而
20
y 20
y1 y2
因此压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条 件则B、C截面都要考虑。
Fb/4
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/2 考虑截面B ：
t,max
M B y2 F / 2 2 103 mm 86 mm 30 MPa 3 4 Iz 5493 10 mm F 19.2 kN
y1 [ t] y 2 [ c]
若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的 许用应力，则称为等强度梁（鱼腹梁）。
M ( x) ( F / 2) x max 2 [ ] W ( x) bh ( x) / 6
h(x)
F
l 2 l 2
b
3Fx h( x ) b[ ]
3FS 3( F/ 2) [ ] 2 A 2bhmin 3F hmin 4b[ ]
2
2
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
d
d O b
O
y
' A*
y
* FS S z Izd
h
y
dA
2 bd d h * 2 h d d y Sz 2 2 2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS bd h d Izd 2
Ⅲ
梁的正应力强度条件
max
材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max y t,max Iz M max yc,max Iz
[ t] [ c]
min
Ⅱ、梁的切应力强度条件 一般max发生在FS ,max所在截面的中性轴处，该位置 =0。不计挤压，则max所在点处于纯剪切应力状态。
q
E m G mH l/2 C D F E
max
F
max
l
梁的切应力强度条件为
ql/2
max
ql/2
对等直梁，有
* FS,max S z , max
y
FS,max 80kN
FS(kN)
80 20
70
105
x
M max 150kN m
x
M(kN· m)
120
150
320 10
F1
60kN 50kN 40 kN
F2
10
100 9.5
C B E A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
y
最大弯矩为
M max 150kN m
第六章
弯曲应力
弯曲正应力计算公式
M EI z
1
E E
y
My Iz
中性轴 z 为横截面的对称轴时 b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
称为弯曲截面系数
中性轴 z 不是横截面的对称轴时 yt，max yc，max
320
F1
60kN 50kN 40kN
F2
10
100 9.5
C截面弯矩为
M C 120kN m
C B A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
10
y
C ,max
FS(kN)
80
20 30 70 105
MC 120 106 Wz 692.2 103 173.4MPa [ ]
(a) F (b)
max
解：对于矩形和圆形截面， 危险截面均为A （1)矩形截面，危险点分析：
z
A y
F1
l
l
F2
x
在H点，两外力引起的最大拉应力叠加， 在H’点，两外力引起的绝对值最大的 压应力叠加，故为危险点。
max
M z A M y A 6 F1 l 6 2 F2 l 2 [ ] 2 Wz Wy bh bh
Wz 2447cm3 2447103 mm3
与要求的Wz相差不到1%，可以选用。
FA
FB
20
y 20
F 解：1、梁的支反力为 FA 4
7 FB F 4
134
b
180
A
C b
B b
D
C 形心
86
例 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对 中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉 应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试 求梁的许可荷载[F ] 。 120 q=F/b F
y t,max yc,max
c,max
[ t] [ c]
例 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。 钢的许用弯曲正应力[ ]=152 MPa 。试选择工字 钢的号码。 F F F=75kN B A FA 2.5m 2.5m 2.5m 10 m 2.5m
FB
单位： kN· m
解：1、支反力为 作弯矩图如上。
20
y 20
M B y1 mm 134 mm c,max 90 MPa 4 4 Iz 549310 mm F 73.8 kN
3
F / 2 2 10
Fb/4
40 180
120
C 形心 86 z 134
Fb/2
考虑截面C：
t,max
M C y1 F / 4 2 103 mm 134 mm 30 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 24.6 kN
3F 2 bh
y
max 6 Fl 2bh l 4 2 max bh 3 F h
当 l >> h 时，max >> max
§6-4 梁的合理设计
控制强度条件： max
一、合理配置梁的荷载和支座
Q 合理安排加载方式—尽量分散载荷
M max [ ] Wz
max
O
(1) 沿截面高度按二次抛物 线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应 力max在中性轴处( y=0 )；
(3)上下边缘处（y=±h/2)， 切应力为零。
max
z
y
max
FS h FS h 3 FS 3FS 3 8I z 8 bh 12 2 bh 2 A
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 横力弯曲时： 1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲； 2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。 平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都 不再成立。
弹性力学的分析结果：
对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。
F
l
M ( x) y Iz
* N2 * N1
F
* 1 N1
1'
h
1 d d x d FS
FS h d FS 1 1 d h d I z d 2 2 2 I z
d
1max
max O
y
max
FS 1 h d 2I z
3 FA FB F 112 .5 kN 2
281 375
M max 375 kN m
2、根据强度条件确定截面尺寸
Wz
M max
M max Wz 6 375 10 N mm 2460 103 mm3 152 MPa
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
3 100 10 320 10 2 4 I z 11075 .5 10 2[ 10010( ) ] 12 2 2 16522 104 mm4
Iz 16522104 Wz 972103 mm3 ymax (320/ 2) 10
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材料力学第6章3-讲义-斜弯曲
料 弯曲时，中性轴与载荷平面不垂直，也即“斜弯曲”的含义。
力
学
(2) 横截面上的中性轴
B 把横截面划分为拉应力区 第 和压应力区。从这两个区
最大拉应力 的危险点
受拉区
6 的截面周边上分别作平行 章 于中性轴的切线（或与截
D1 F
中性轴
面只有一个交点的直线），
组 所得两个切点（或交点）
合 变 形
距中性轴的距离最远，这 两点的正应力为最大弯曲
F
My
合
截面形心的一根直线
(y0 , z0)
变
z
形 设中性轴与 z 轴正向的夹角为，
讲 义
tan y0 Iz tan (6.27) 中性轴
z0 I y
C z
y A
Mz
y
5
斜弯曲中性轴的位置的相关结论：
BRY
(6.27)
tan
y0
Iz
tan
z0 I y
材
(1) 当 I y I z 时， ，说明这种横截面形式的梁斜
wz
Fzl 3 3EI y
Fl3 sin
3EI y
(2) 两个方向的挠度叠加：
组
总挠度为
F
中性轴
合
变 形
w wy2 wz2 (6.31)
z
C wz
总挠度 w 与 y 轴的夹角为
讲 义
力
学
梁的正应力强度条件为
[ ] max
(6.28)
B
(3) 某些形状的截面，如
第 圆形、正方形及其他正多边形，
6 章
由于 Iy = Iz ，由式 (6.27) 可
得 ，即中性轴与载荷平
材料力学06(第六章 弯曲应力)分析
F / 4 2 103 mm 134 mm
30 MPa 5493104 mm4
F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
§6-3 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力
分离体的平衡
横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
h
d
y
d
O
y b
O
' A*
y dA
FS
S
* z
Izd
S
* z
bd
2
h
d
d 2
h 2
d
2
y2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS Izd
bd
h d
max O
中性轴处
max
FS
S
* z,m
ax
Izd
y
min
FS
bd
h
d
d
h
d
2
I z d 2
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max 材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
b
材料力学弯曲应力知识点总结
材料力学弯曲应力知识点总结弯曲应力是材料力学中重要的概念之一，它描述了材料在受到弯曲力作用时所承受的内部力状态。
了解和掌握弯曲应力的知识对于工程领域的设计和分析具有重要意义。
本文将对材料力学中弯曲应力的相关知识点进行总结。
一、弯曲应力的基本概念弯曲应力是指在材料受到弯曲作用时，在横截面上单位面积所承受的力的大小，通常用σ表示。
弯曲应力的大小与施加在材料上的弯曲力以及截面形状和尺寸有关。
二、弯矩和截面性质1. 弯矩：在弯曲过程中，作用在材料上的弯曲力会产生一个力矩。
弯矩的大小等于力矩除以截面法线距离。
弯矩的单位通常是N·m。
2. 惯性矩和截面模量：惯性矩描述了截面抵抗变形的能力，通常用I表示。
截面模量描述了材料在弯曲过程中的刚度，通常用W表示。
惯性矩和截面模量与截面的形状和尺寸有关。
三、材料的截面形状对弯曲应力的影响材料的截面形状对弯曲应力有着重要的影响，以下是几种常见截面形状的弯曲应力分析：1. 矩形截面：矩形截面的弯曲应力呈线性分布，最大弯曲应力出现在截面内边缘。
2. 圆形截面：圆形截面的弯曲应力均匀分布，在截面上的任意一点的弯曲应力都相同。
3. T型截面：T型截面的弯曲应力最大出现在截面顶部和底部的交接处。
4. I型截面：I型截面的弯曲应力主要集中在截面中轴线部分。
四、弯曲应力与应变的关系弯曲应力和应变之间的关系可以通过杨氏模量进行描述。
弯曲应力和应变的关系可以用以下公式表示：σ=M*y/I，其中M为弯矩，y为截面的纵向距离，I为截面的惯性矩。
五、弯曲应力的计算方法根据弯曲应力的定义和性质，可以采用以下方法来计算弯曲应力：1. 等效应力法：将弯矩和弯曲力矩转化为等效应力，然后根据截面形状计算弯曲应力。
2. 梁理论：基于材料的截面形状和尺寸，使用梁理论来计算弯曲应力。
通过计算截面的惯性矩和截面模量来获得弯曲应力。
六、弯曲应力的影响因素弯曲应力受到以下因素的影响：1. 弯曲力的大小和方向2. 材料的弹性模量3. 材料的截面形状和尺寸4. 材料的力学性质和力学行为5. 材料的应变率和应变历史七、弯曲应力的应用弯曲应力在工程设计和分析中具有广泛的应用，例如：1. 结构设计：通过对材料的弯曲应力进行分析，可以确定结构的合理尺寸和截面形状，以满足设计要求。
材料力学——弯曲应力
公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
2、物理关系
当σ<σP时 虎克定律
E
E
y
y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比； 沿截面高度 线性分布； b、沿截面宽度 均匀分布； c、正弯矩作用下， 上压下拉； d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
M max ymax IZ
x
67.5 103 90 103 5.832 105
104.17MPa
6、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ q=60KN/m A FAY B 1m C 3m FBY
M C 60kN m
I z 5.832 105 m 4
M EI
4 103 88 103 46.1MPa 6 7.64 10
9KN
4KN
C截面应力计算
A FA
M 1m
C 1m
B
1m FB
C截面应力分布 应用公式
t ,max
My Iz
2.5KNm
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
Fb Fa
C截面： max M C Fb3 62.5 160 32 46.4MPa d W 3
zC
2
0.13
32
（5）结论 轮轴满足强度条件
一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa ，空心圆截面 的内外径之比 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？ q=0.5KN/m A B
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
Gg06-弯曲应力
max 1 故 max 2
L
P
分析和讨论
横截面上应力是如何分布的？ 两梁固结 两梁间光滑接触
为什么两梁间无摩擦时， 横截面上的弯矩由两梁均分？
如果梁由 n 层叠合而成，情况又怎样？
例
欲把直径为 d 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩形截面
梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b 应成什么 比例？
2. 最大正应力计算 （中性轴是对称轴的情况 ）
max
M max ymax [ ] Iz
Mmax：在梁的所有横截面中，选择弯矩为最大值的截面 ymax： 在弯矩最大的横截面上，选择离中性轴最远的点
M x
max
M max ymax M max M max [ ] Iz I z ymax Wz
W 1 0 b h 6
2b h
2
2
h 2 b
力学家与材料力学史
Galileo（1564-1642）
Galileo 在 1638 年出版的 Two New Sciences 一书中首次 对梁的弯曲进行了研究。
Hale Waihona Puke 力学家与材料力学史在其后的一百多年中，
经 Mariotte, J. Bernoulli 等
3M max b 44.7 mm 2[ ]
故取 b = 45 mm
动脑又动笔
撑杆跳过程中某时刻跳杆最小
曲率半径为 7.5m，增强玻璃钢跳
杆直径为 40 mm，E = 120 GPa， 求此时杆中的最大正应力。 120 240 320 480 (MPa)
M 由弯曲曲率公式 EI
跳杆中最大正应力
矩形横截面上的弯曲切应力是 如何分布的？
材料力学第六章
§6-1 一、多跨静定梁 3．求解变形：
其它平面弯曲构件的内力与变形
1)宜采用叠加法；
2)先求主梁的变形： 在自身载荷及中间铰处次梁作用力的共同作用 下变形。
3)再求次梁的变形： 主梁变形引起次梁的刚性转动；
简化成简支梁或外伸梁的次梁在自身载荷作用 下的变形；
§6-1
其它平面弯曲构件的内力与变形
a
Fz
B
a
Fy y
10
解：外力沿形心主轴分解： F F y F cosa A点最大拉应力(B点最大压应力) F F sina z F y l | y A | Fz l | z A | sA 60.7 MPa Iz Iy
§6-4
开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心
一、产生平面弯曲的条件
)
F
§6-1
a A
F B
其它平面弯曲构件的内力与变形
y
x Fa A B
b
C
F
C
例6-3 作图示刚架内力图，并求A截面的 转角、水平和铅垂位移(抗弯刚度为EI)。 2)求A点转角、水平和铅垂位移： 再将AB刚化，BC解除刚化，F由 A点简化到B点 Fab q B " ( ) EI 2 在B点产生qB"、 Fab xB"为 x B " ( ) 2 EI BC变形引 q A " q B " Fab ( ) EI 2 起A点刚性 Fab ( ) 转动产生的 x A " x B " 2 EI2 qA"、xA"、 Fa b y A " q B "a ( ) yA " EI
y、z为形心主轴，F平行y轴，通过弯心A； Fx 0 ：FN 2 FN1 t 'tdx 0 * * * * F S M z dMM ( M d M ) S M S d M S z z z z zz z z z z Qy FN 2 y d A s d A y d A t t ' 1 A AA I z I z dx I z t I zII t zz
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
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材料力学
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例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
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引用记号
材料力学第六章弯曲应力
但相应的最大弯矩值变为
Fl ql2
M max
4
8
375 kN m 13 kN m 388 kN m
而危险截面上的最大正应力变为
max
388103 N m 2342106 m3
165.7106
Pa
165.7
MPa
显然，梁的自重引起的最大正应力仅为
165.7 160 MPa 5.7 MPa
<2>. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是
相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和 nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：
平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面， 只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。
力的值max为
max
M ym a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）
(section modulus in bending)，其单位为m3。
b
h d
o
z
o
z
y
y
中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面 上最大拉应力值和最大压应力值为
A
r
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EI z M
A
r
(c)
由于式(a)，(b)中的
E
r
不可能等于零，因而该两式要求：
1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，A y d A 0 ；显
第六章弯曲应力
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径r
3. 静力学关系
statics relation
M
z
FN
A dFN
σdA
A
O
x
M y
A dM y
zσdA
A
y
M z
A dM z
yσdA
A
凹入一侧的受压应力，凸出的一侧受拉应力
应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情况直接
按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件
σmax M max [σ] Wz
一、降低梁的最大弯矩值
1.合理地布置梁的荷载
F
F
l
Fl/4
l/4
l/2 l/4
Fl/8
2.合理地设置支座位置
q
q
l
ql2/2
a
a
l
0.0214ql2
当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时，最大弯矩减小.
二、增大Wz
deformation geometric relationship
physical relationship
static relationship
Examine the deformation， 变
then propose the hypothesis 形
几
何
关
Distribution regularity
z
0.8a2 a2
π D12 4
2a22
0.8 1.6a22 ,a2
1.05D1
Wz4 4.57Wz1
工字形截面与框形截面类似.
2.合理的放置
W1 h W2 b
《材料力学弯曲》课件
定义方式
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。