2007年高考理科数学试题及参考答案(上海卷)
（3） 《2000 年国际贸易术语解释通则》 （2） DAF 术语
3、装运港交货的贸易术语(P79)
(3 ) DES 术语
（1） FAS 术语
(4 ) DEQ 术语
（2） FOB 术语
(5 ) DDU 术语
（3） CFR 术语
(6 ) DDP 术语
（4） CIF 术语
6、熟悉表 2—5（P95）
重点内容： 1、海上货物运输保险承保的风险与损失 （P96） （1） 海上货物运输风险 （2） 海上货物保险保障的费用 （3） 海上货物运输损失:重点是共同海损 和单独海损 2、我国海运货物保险条款(P99) （1）我国海运货物保险的基本险别
·海运单的作用 ·海运单与提单的区别
·海运单的优点 ·海运单的使用
1 运价与运价本 ·运价与运费 ·运价本 2 班轮定价原理 ·班轮定价特点
·影响运价 3 运费计算 ·运费结构 ·计费标准 ·运费计算方法
第一节 无船承运业务市场营销 1 无船承运人船期表 257 2 无船承运拼箱业务流程【重点】
263 练习书有
（3）无船承运人 （4）海上货运代理人 （5）托运人 2、船期表
1、班轮货运程序 （1）货物出运 （2）装船与卸船 （3）提取货物 （4）杂货班轮货运 209~213[ ]
流转程序
1、整箱货货运流程、整箱货出口货运代理
与单证
（1）委托代理
（2）定舱
（3）提取货物
（4）货物装箱
（5）整箱货交接签证
（6）换取提单
1 、提单定义 2、提单作用 （1）提单是海上货物运输合同的证明（evidence of the contract of carriage） （2）提单是证明货物已由承运人接管或已装船的货物收据 ( receipt for the goods
shipped ) （3）提单是承运人保证凭以交付的物权凭证( document of title )
]
·提示提单(order B/L) 【经过记名背书或者空白背书转让。 “To order “凭指示或者
（to the order of ***的字样） 】
（3）按对货物外表状况有无批注为标准
·清洁提单 clean B/L
·不清洁提单 unclean B/L 或者 foul B/: + [承运人凭保函签发清洁提单的风险] *(4)
国际货运代理考试复习资料
重点内容： 1、国际货物买卖合同概述（P45） （1） 国际货物买卖合同的含义 （2） 国际货物买卖合同的特点 （3） 合同的形式 （4） 合同的内容 2、国际货物买卖合同的磋商(P47) （1） 邀请发盘 （2） 发盘 （3） 还盘 （4） 接受 3、国际货物买卖合同的成立(P51) （1） 合同有效成立的条件
3、汉堡规则
·1 推行完全过失责任制 ·2 承运人的责任期间 ·3 关于延迟交付货物的责任 ·4 关于火灾造成的货物损失 ·5 关于赔偿责任限额 ·6 关于舱面货 ·7 关于承运人和实际承运人之间的关系 ·8 关于保险问题 ·9 关于诉讼时效问题 ·10 关于管辖权，《海牙规则》和《维斯比 规则》均无规定 ·11 公约适用范围，《汉堡规则》除保留原 有规定的缔约国内签发的提单和提单上载有 适用《汉堡规则》条款时适用外，还加了一 下适用范围：241 ·12 允许使用其他单证 4、中国海商法 242 第六节 海运单 海运单的概况
（7）装船
2 、整箱货主要出口货运单证 214
（1）货代卸货地订舱业务（基本单证、特
殊单证；以及出口货运代理委托书的
有关问题）
（2）集装箱货物托运单（
联单、）
（3）集装箱预配清单
（4）集装箱发货/
（5）集装箱装箱单（其主要作用） 3、整箱货出口你代理业务流程图 218 4、退关处理 5、整箱货进口你代理业务流程与单证
还有其他非政府间组织：
[国际航运公会 International Chamber of Shipping,ICS ] ；
（3）班轮工会与联营体
（4）班轮公会 Liner conference
又称班轮航运公会、运价协会、水脚公会，是指在同一航线上或相关航线上经营班轮
运输的两家以上运输企业，为了避免互相之间的激烈竞争，通过制定统一的费率或最
第四节 提单的使用 1 、提单的签发 （1）提单的签发与签署 （2）提单记载内容 （3）提单的份数和签发日期 2 提单的更正 （1）提单的更正 （2）提单的补发 3、提单的背书【重点】 （1）记名背书 （2）指示提单 （3）不记名提单 4、提单的缴还
一《海牙规则》 1、海牙规则 Hugue Rules
D 运输的可靠性
E 经营状况和所会承担的责任
（1） 货物分类
（2）货物的计量和积载因素
1、集装箱运输的优越性 （1） 提高装卸效率，减少劳动强度 （2） 减少货损货差，提高货物运输的安全 与质量 （3） 缩短货物的在途时间，加快车船的周 转 （4） 节省货物运输的包装，简化理货手续 （5） 减少货物运输费用 （6） 推动包装的标准化 （7） 有利于组织多种运输方式的联合运输 2、集装箱运输的发展方向 189 页
1、集装箱的含义 2、集装箱标准化
3、集装箱的类型 4、集装箱标志
1、集装箱的选择与检查 2、集装箱的一般要求 3、特殊货物的装箱要求
1、整箱货与拼箱货 2、集装箱货物的交接地点与方式 3、海运集装箱货物交接的主要方式 [P198 页]
1、集装箱的租赁方式 2、租赁合同的主要条款
1 、班轮运输主要关系人（熟记） （1）班轮承运人 （2）船舶代理人
理报检管理规定 （4） 报检范围 （5） 入境货物报检应提供的单据 （6） 出境货物报检应提供的单据 3、电子报检(P146) 4、电子转单与电子通关(P147) 5、《出境货物报检单》填制规范(P148)
重点内容： 1、进出口货物报关概述(P151) （1） 报关的概念 （2） 报关单位与报关业务 （3） 报关员 2、报关注册登记制度(P155) （1） 报关单位的注册等级制度 （2） 报关员注册登记与考核管理制度
按不同的运输方式可以分为
·直达提单 direct B/L
·转船提单 transhipment B/L or through B/L ·多式联运提单 combined transport B/L or intermobel transport B/L, multimodal transport B/L)
国际海上货物运输的特点 （1）水陆货物运输方式的特点 P176 （2）海上危险的特点
【海上危险的特点遭遇海上危险的可能性大；海上危险造成的损失巨大；为适应海上 危险而建立了特殊制度】
（3）国际性的特点 [ 船公司的业务经营对国际海运市场的依存性；主要货运单证的国际通
用性；适用法规的国际统一性]
（1）国际海事组织【是在海事方面的技术咨询和海运立法机构；政府Байду номын сангаас组织】1959 年正式
（1）按货物是否已装船为标准
·已装船提单（on board B/L）
·收货待运提单（received for shipment B/L）
(2)按提單收货人一栏的记载为标准 {重点} 226 页
·记名提单（straight B/L） [
]
·不记名提单（open B/L; BlankB/L; bearer B/L） [
： （1）货运代理人接受委托 （2）卸货地订舱 （3）接运工作 （4）报检报关 （5）监管转运 （6）提取货物
（1）货主委托货代办理进口货运业务单证 （2）“交货记录”联单 （3）集装箱发放/设备交接单
2 货代卸货地订舱业务 ·订舱联系单内容及填写注意问题 ·订舱选择权的行使 （1）运输形式的选择 （2）承运人的选择 （3）订舱时一种契约行为 （4）订舱的途径和方法 （5）装船
（5）按提单签发人不同为标准 ·班轮公司所签提单 liner B/L ·无船承运人所签提单 nvocc B/L
(1)按签发提单时间为标准 （重点） ·预借提单 advanced B/L ·倒签提单 anti-date B/L ·顺签提单 post-date B/L
·舱面提单 ·并提单 ·分提单 ·交换提单 ·交接提单 ·过期提单 *
成立；【International Maritime Organization,IMO】
（2）波罗的海国际海事协会与国际海事委员会
【波罗的海国际海事协会 Baltic and International Maritime Council, BIMCO 非
政府间的国际组织】
【国际海事委员会 Committee Maritime International,CMI】
第二节 舱单 24 小时预申报规则与无船承运业务 1 舱单 24 小时预申报规则 P265 2 预申报规则对无船承运人的影响
1 租船货运业务基本概念 （1）租船货运业务概念 ·租船运输：是相对于班轮运输的另一种海上运输方式，其没有固定的船舶班期，也没有固 定的航线和挂靠港，而是按照货源的要求和货主/承租人对货物运输的要求，安排船舶航行 计划，组织货物运输。 （2）租船合同的当事人 ·船舶出租人 ·船舶承租人 （3）租船经纪人 ·租船经纪人概念 ·租船经纪人的身份【船舶出租人经纪人；船舶承租人经纪人；双方当事人经人】
4、货交承运人的贸易术语(P85)
（1） 贸易术语的含义
（1） FCA 术语
（2） 贸易术语的产生及发展
（2） CPT 术语
2、有关贸易术语的国际贸易惯例(P76)
（3） CIP 术语
（1） 《1932 年华沙——牛津规则》
5、其他贸易术语(P90)
（2） 《1941 年美国对外贸易定义修订本》 （1） EXW 术语
（2） 我国海运货物保险的附加险别 （3） 被保险人的义务 （4） 索赔期限 3、伦敦保险协会海运保险货物保险条款 (P104) （1） 协会货物保险条款的主要险别 （2） 主要险别的承包风险与除外责任
5.2 上海数学(理)
2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．【答案】 {}34≠<x x x 且【解析】 4030x x ->⎧⎨-≠⎩⇒ {}34≠<x x x 且2．若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m ． 【答案】32- 【解析】 2123113m m =≠⇒=--- 3．函数1)(-=x x x f 的反函数=-)(1x f ．【答案】）（11≠-x x x【解析】由(1)11x yy x y x y =⇒=≠⇒--()111x f x x x -=≠-（） 4．方程 96370x x -∙-=的解是 ． 【答案】3log 7x =【解析】 2(3)63703731x xxx-⋅-=⇒==-或（舍去），3log 7x ∴=。
5．已知x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ∙的最大值是 ． 【答案】161【解析】 211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x =4y=12时取等号. 6．函数⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ． 【答案】π 【解析】sin()sin()(sin cos cos sin )cos 3233y x x x x x ππππ=++=+2111cos 2sin cos cos sin 222422xx x x x +=+=+⋅1sin(2)23x π=++ T π∴=。
7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的 概率是 （结果用数值表示）． 【答案】3.0【解析】 212335310C C C = 8．以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程 是 ． 【答案】)3(122+=x y【解析】双曲线22145x y -=的中心为O （0,0），该双曲线的左焦点为F （－3,0），则抛物线的顶点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是)212(3)y x =+ 9．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 【答案】②④【解析】 对于①：解方程10a a +=得 a =± i ，所以非零复数 a = ± i 使得10a a+=，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C 中，|1|=|i |，则a b = ↵a b =±，所以③不成立；④显然成立。
2007年高考真题试卷(全国卷Ⅰ)数学(理科)参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36（14）3()x x ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯ 240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设ADBC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO 1SO =，SD =．SAB △的面积112S AB ==连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S = ， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C ，(001)S ，，，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥． （Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG = ，0AB OG = ，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =． cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β= 所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x xf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=， 所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+ 21221)32k BD x x k +=-==+ ；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，221132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a -是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -≤，也即430k k b a -< 当1n k =+时，13423k k k b b b ++=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(32)2)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。
2007年高考数学卷(上海.理)含答案
2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．2．若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m ．3．函数1)(-=x xx f 的反函数=-)(1x f ．4．方程 96370x x -•-=的解是 ．5．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y •的最大值是 ． 6．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ．7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．8．以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ． 9．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件： ． 11．已知P 为圆1)1(22=-+y x 上任意 一点（原点O 除外），直线OP 的倾斜角为θ弧度，记||OP d =． 在右侧的坐标系中，画出以()d θ， 为坐标的点的轨迹的大致图形为二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i ,i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是（ ） Ａ．45p q =-=， Ｂ．43p q =-=， Ｃ．45p q ==，Ｄ．43p q ==，13．设a b ，是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（ ） Ａ．22b a < Ｂ．b a ab 22< Ｃ．ba ab 2211< Ｄ．b aa b < 14．直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形 ABC 中，若j k i j i+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．415．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推 出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立CB1C 1B1AAＣ．若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立 Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB．求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，…，1a a n =，即1+-=i n i a a （12i n =，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01m m m m C C C ，，，就是“对称数列”．（1）设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k k c c c +-，，，是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值？并求出12-k S 的最大值；（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得211222m -，，，，依次是该数列中连续的项；当m 1500>时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y轴的交点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）当21A A >21B B 时，求ab的取值范围； （3的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． {}34≠<x x x 且 2． 32-3．）（11≠-x x x4．7log 3 5．161 6． π 7． 3.0 8． )3(122+=x y 9．②④10． 21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）11．二、选择题（第12题至第15题）题 号 1213 1415答 案ACB D三、解答题（第16题至第21题） 16．解法一： 由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ====△， ∴ 211==CC AA ．连接1BC ．1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角． 52211=+=BC CC BC ，51tan 11111==∠∴BC C A BC A ，则 11BC A ∠＝55arctan ． CB1B1A A1C即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan． 解法二： 由题意，可得 体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆====， 21=∴CC ，如图，建立空间直角坐标系． 得点(010)B ，，， 1(002)C ，，，1(102)A ，，． 则1(112)A B =--，，， 平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． 设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，A 1与n 的夹角为ϕ， 则116cos 6A B n A Bn ϕ==-66arcsin ,66|cos |sin ===∴θϕθ，即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为66arcsin． 17．解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥． 解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61． 19．解：（1）当0=a 时，2)(x x f =， 对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设122x x <≤， 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121， 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立．121204x x x x -<>，，即)(2121x x x x a +<恒成立．又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ． a ∴的取值范围是(16]-∞，．解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数．当0<a 时，反比例函数xa在[2)+∞，为增函数， xax x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数． 当0>a 时，同解法一．20．解：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ，50134)13(42212-⨯+--=-k S k ，∴当13=k 时，12-k S 取得最大值．12-k S 的最大值为626． （3）所有可能的“对称数列”是： ① 22122122222221m m m ---，，，，，，，，，，；② 2211221222222221m m m m ----，，，，，，，，，，，； ③ 122221222212222m m m m ----，，，，，，，，，，； ④ 1222212222112222m m m m ----，，，，，，，，，，，． 对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ． 当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m 1222200921--+=--m m m ．对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ． 当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ．对于③，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ．当15002007m <≤时，2008S 3222009-+=-mm ．对于④，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ．当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-mm ．21． 解：（1） ()()012(0)00F c F F -，，，，，021211F F b F F ∴=====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤． （2）由题意，得 b c a 2>+，即a b b a ->-222．2222)2(a c b b =+> ，222)2(a b b a ->-∴，得54<a b ． 又21,222222>∴-=>a b b a c b ． 45b a ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，． （3）设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥，22221(0)y x x b c+=≤．记平行弦的斜率为k ．当0=k 时，直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22221(0)x y x a b+=≥的交点是梦想不会辜负一个努力的人all`试题11P t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤的交点是Q t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ∴ P Q ，的中点M ()x y ，满足 221,2a ct x b y t ⎧-⎪=-⎨⎪=⎩，得 122222=+⎪⎭⎫⎝⎛-b y c a x ． b a 2<，∴ 22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭． 综上所述，当0=k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当0>k 时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，． 由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x kab y 22-=上，即不在某一椭圆上． 当0<k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．。
2007年上海高考理科数学真题及答案
2007年上海高考理科数学真题及答案考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数的定义域是 ．3)4lg(--=x x y 2．若直线与直线平行，则 ． 1210l x my ++=：231l y x =-：=m 3．函数的反函数 ．1)(-=x xx f =-)(1x f 4．方程 的解是 ．96370x x -∙-=5．若，且，则的最大值是 ． x y ∈+R ，14=+y x x y ∙6．函数的最小正周期 ． ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y =T 7．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 12345，，，， （结果用数值表示）．8．以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是15422=-y x ． 9．对于非零实数，以下四个命题都成立： a b ， ① ； ② ； 01≠+aa 2222)(b ab a b a ++=+ ③ 若，则； ④ 若，则．||||b a =b a ±=ab a =2b a =那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 ． a b ，10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知是两个 αβ， 相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是12l l ，α12s s ，12l l ，β直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异 12t t ，1s 2s 1t 2t 1l 2l 面直线的充分条件：．11．已知为圆上任意 P 1)1(22=-+y x 一点（原点除外），直线 O OP 的倾斜角为弧度，记． θ||OP d = 在右侧的坐标系中，画出以 ()d θ， 为坐标的点的轨迹的大致图形为二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程a b ∈R ，i ,i 2++b a i 的两个根，那么的值分别是（ ） 02=++q px x p q ， Ａ． Ｂ． 45p q =-=，43p q =-=， Ｃ．Ｄ．45p q ==，43p q ==，13．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ） a b ，b a < Ａ． Ｂ． Ｃ．Ｄ． 22b a <b a ab 22<ba ab 2211<b a a b <14．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形xOy i j，x y ， 中，若，则的可能值个数是（ ）ABC j k i AC j i AB+=+=3,2k Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．415．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推 )(x f )(x f 2()f k k ≥ 出成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） (1)f k +≥2)1(+k Ａ．若成立，则当时，均有成立 (3)9f ≥1k ≥2()f k k ≥ Ｂ．若成立，则当时，均有成立(5)25f ≥5k ≤2()f k k ≥CB1C 1B 1A AＣ．若成立，则当时，均有成立 49)7(<f 8k ≥2)(k k f < Ｄ．若成立，则当时，均有成立25)4(=f 4k ≥2()f k k ≥三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱中，．求111C B A ABC -1,90===∠BC AC ACB直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． B A 1C C BB 11 17．（本题满分14分）在中，分别是三个内角的对边．若，ABC △a b c ，，A B C ，，4π,2==C a ，求的面积． 5522cos=B ABC △S18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数，常数．0()(2≠+=x xax x f )a ∈R （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；)(x f （2）若函数在上为增函数，求的取值范围． )(x f [2)x ∈+∞，a20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，123n a a a a ，，，，n n a a =112-=n a a ，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的1a a n =1+-=i n i a a 12i n = ，，，数列就是“对称数列”．01mm m m C C C ，，，（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，{}n b 1234b b b b ，，，21=b ．依次写出的每一项；114=b {}n b （2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项{}n c 12-k 1>k 121k k k c c c +- ，，，为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为何值时，取得最大504-{}n c 12-k S k 12-k S 值？并求出的最大值；12-k S （3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得1>m m 2依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前211222m - ，，，，m 1500>2008项的和． 2008S21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作12222=+b y a x (0)x ≥12222=+cx b y (0)x ≤“果圆”，其中，，．222c b a +=0>a 0>>c b 如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，0F 1F 2F 1A 2A 1B 2B x y轴的交点．（1）若是边长为1的等边三角形，求 012F F F △“果圆”的方程；（2）当时，求的取值范围；21A A >21B B ab（3的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”k k 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理k 由．2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． 2． 3．4． {}34≠<x x x 且32-）（11≠-x x x7log 35．6． 7． 8． 9．②④161π3.0)3(122+=x y 10． ，并且与相交（，并且与相交）21//s s 1t 2t //1t 2t 1s 2s 11．二、选择题（第12题至第15题）题 号 1213 1415答 案ACB D三、解答题（第16题至第21题） 16．解法一： 由题意，可得体积，11111122ABC V CC S CC AC BC CC ==== △ ．∴211==CC AA 连接． ，1BC 1111111A C B C A C CC ⊥⊥ ，平面，⊥∴11C A C C BB 11 是直线与平面所成的角． 11BC A ∠∴B A 1C C BB 11 ，52211=+=BC CC BC ，则 ＝． 51tan 11111==∠∴BC C A BC A 11BC A ∠55arctan CB1B 1A A1C即直线与平面所成角的大小为． B A 1C C BB 1155arctan解法二： 由题意，可得体积，11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆==== ，21=∴CC 如图，建立空间直角坐标系． 得点， (010)B ，，，． 则，1(002)C ，，1(102)A ，，1(112)A B =-- ，，平面的法向量为．C C BB 11(100)n =，， 设直线与平面所成的角为，与的夹角为， B A 1C C BB 11θB A 1nϕ 则 ， 11cos A B n A B nϕ==66arcsin,66|cos |sin ===∴θϕθ 即直线与平面所成角的大小为． B A 1C C BB 1166arcsin17．解： 由题意，得为锐角，，3cos 5B B =，54sin =B ， 10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A 由正弦定理得 ， ．710=c ∴111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯= 18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ，，，．%36%38%40%42则2006年全球太阳电池的年生产量为(兆瓦)．8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯ （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则． x 441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥解得．0.615x ≥ 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到． %5.6119．解：（1）当时，，0=a 2)(x x f = 对任意，， 为偶函数．(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，)()()(22x f x x x f ==-=-)(x f ∴当时，， 0≠a 2()(00)af x x a x x=+≠≠， 取，得 ， 1±=x (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠， ，(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠， 函数既不是奇函数，也不是偶函数． ∴)(x f （2）解法一：设， 122x x <≤ ， 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121要使函数在上为增函数，必须恒成立． )(x f [2)x ∈+∞，0)()(21<-x f x f ，即恒成立． 121204x x x x -<> ，)(2121x x x x a +< 又，． 421>+x x 16)(2121>+∴x x x x 的取值范围是．a ∴(16]-∞， 解法二：当时，，显然在为增函数．0=a 2)(x x f =[2)+∞，当时，反比例函数在为增函数， 0<a xa[2)+∞，在为增函数． xax x f +=∴2)([2)+∞， 当时，同解法一．0>a 20．解：（1）设的公差为，则，解得 ， {}n b d 1132314=+=+=d d b b 3=d 数列为．∴{}n b 25811852，，，，，， （2） 12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S ， k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ， 50134)13(42212-⨯+--=-k S k 当时，取得最大值．∴13=k 12-k S 的最大值为626． 12-k S （3）所有可能的“对称数列”是：① ； 22122122222221m m m --- ，，，，，，，，，， ② ； 2211221222222221m m m m ---- ，，，，，，，，，，， ③ ； 122221222212222m m m m ---- ，，，，，，，，，， ④ ． 1222212222112222m m m m ---- ，，，，，，，，，，， 对于①，当时，．2008m ≥1222212008200722008-=++++= S 当时，15002007m <≤200922122008222221----+++++++=m m m m S ．2009212212---+-=m m m1222200921--+=--m m m 对于②，当时，．2008m ≥1220082008-=S 当时，．15002007m <≤2008S 122200821--=-+m m 对于③，当时，．2008m ≥2008200822--=m mS 当时，．15002007m <≤2008S 3222009-+=-mm对于④，当时，．2008m ≥2008200822--=m m S 当时，．15002007m <≤2008S 2222008-+=-mm21． 解：（1） ，()()012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴=====， 于是，所求“果圆”方程为22223744c a b c ==+=， ，．2241(0)7x y x +=≥2241(0)3y x x +=≤（2）由题意，得 ，即． b c a 2>+a b b a ->-222 ，，得． 2222)2(a c b b =+> 222)2(a b b a ->-∴54<a b 又． ． 21,222222>∴-=>a b b a c b 45b a ⎫∴∈⎪⎪⎭， （3）设“果圆”的方程为，．C 22221(0)x y x a b +=≥22221(0)y x x b c+=≤ 记平行弦的斜率为．k当时，直线与半椭圆的交点是0=k ()y t b t b =-≤≤22221(0)x y x a b+=≥，与半椭圆的交点是． P t ⎛⎫⎪⎪⎝⎭22221(0)y x x b c +=≤Q t ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭的中点满足∴P Q ，M ()x y ，2a c x y t ⎧-⎪=⎨⎪=⎩，得． 122222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b y c a x ， ． b a 2<∴22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． 0=k 当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是0>k k 1B l 22221(0)x y x a b+=≥． 22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在l k x kab y 22-=某一椭圆上． 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．0<k。
2007年高考数学上海市理科(详细解答)
（3）设“果圆”的方程为，． 记平行弦的斜率为． 当时，直线与半椭圆的交点是 ，与半椭圆的交点是． 的中点满足 得． ，．
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在
某一椭圆上． 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满 分7分．
已知函数，常数． （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满 分6分，第3小题满分9分．
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其 为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．
①；②；
③ 若，则； ④ 若，则．
那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是
．
10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知 是两个
相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是 直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异
面直线的充分条件：
．
11．已 知 为 圆 上 任 意
共轭复数，b=2，a=－1，那么p==－4，q==5，∴ 选A。
13．设是非零实数，若，取a=－2，b=1，则选项A不成立，取a=1，
b=2，则选项B与D不成立，所以选C。实际上已知，则，∴ ，选项C成
立。
14．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形
中，若，若∠A是直角，则，k=－6，若∠B是直角，则，，得k=－1，
2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)数学(理科)试卷参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）数学（理科）试卷参考答案一、选择题： 1．D 2．B 3．A 4．A 5．C 6．C 7．D 8．D9．B10．D11．C12．A二、填空题： 13．3614．3()xx ∈R15．1316．三、解答题： 17．解：（Ⅰ）由a=2bsinA ，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA ，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =。
（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。
由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=。
2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭。
3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cosA+sinC的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，。
18．解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”。
知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=。
（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元。
(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=。
η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯=240（元）。
19．解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD 。
因为SA=SB ，所以AO=BO ，又45ABC=∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥。
2007年上海市高考数学试卷(理科)及解析
2007年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1．（4分）函数的定义域为．2．（4分）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．3．（4分）函数的反函数f﹣1（x）=4．（4分）方程9x﹣6•3x﹣7=0的解是．5．（4分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为．6．（4分）函数的最小正周期是T=7．（4分）有数字1、2、3、4、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为8．（4分）已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为9．（4分）对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：①；②（a+b）2=a2+2ab+b2；③若|a|=|b|，则a=±b；④若a2=ab，则a=b．那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是．10．（4分）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2．试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件．11．（4分）已知圆的方程x2+（y﹣1）2=1，P为圆上任意一点（不包括原点）．直线OP的倾斜角为θ弧度，|OP|=d，则d=f（θ）的图象大致为．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12．（4分）已知a，b∈R，且2+ai，b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根，那么p，q的值分别是（）A．p=﹣4，q=5 B．p=﹣4，q=3 C．p=4，q=5 D．p=4，q=313．（4分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2b C．D．14．（4分）在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．（4分）已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立，下列命题成立的是（）A．若f（3）≥9成立，则对于任意k≥1，均有f（k）≥k2成立；B．若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）＜k2成立；C．若f（7）≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f（k）＜k2成立；D．若f（4）=25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立三、解答题（共6小题，满分90分）16．（15分）体积为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，求直线AB1与平面BCC1B1所成角．17．（15分）在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S．18．（15分）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%．在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）19．（15分）已知函数f（x）=x2+（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．20．（15分）若有穷数列a1，a2…a n（n是正整数），满足a1=a n，a2=a n﹣1…a n=a1即a i=a n﹣i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．（1）已知数列{b n}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出{b n}的每一项（2）已知{c n}是项数为2k﹣1（k≥1）的对称数列，且c k，c k+1…c2k﹣1构成首项为50，公差为﹣4的等差数列，数列{c n}的前2k﹣1项和为S2k﹣1，则当k为何值时，S2k﹣1取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，22…2m﹣1成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008．21．（15分）已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．2007年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1．（4分）（2007•上海）函数的定义域为{x|x＜4且x≠3} ．【分析】欲求此函数的定义域一定要满足：4﹣x＞0，x﹣3≠0，进而求出x的取值范围，得到答案．【解答】解：由，解得：x＜4且x≠3故答案为：{x|x＜4且x≠3}2．（4分）（2007•上海）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．【分析】两直线平行，则方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，接解出m的值．【解答】解：∵两直线平行，∴，故答案为﹣．3．（4分）（2007•上海）函数的反函数f﹣1（x）=【分析】本题考查反函数相关概念、求反函数的方法等相关知识．将函数的解析式看做方程，解出x，然后利用与函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：由解得：即：∴函数的反函数答案：4．（4分）（2007•上海）方程9x﹣6•3x﹣7=0的解是x=log37．【分析】把3x看做一个整体，得到关于它的一元二次方程求出解，利用对数定义得到x的解．【解答】解：把3x看做一个整体，（3x）2﹣6•3x﹣7=0；可得3x=7或3x=﹣1（舍去），∴x=log37．故答案为x=log375．（4分）（2007•上海）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为．【分析】变形为x与4y的乘积，利用基本不等式求最大值【解答】解：，当且仅当x=4y=时取等号．故应填．6．（4分）（2007•上海）函数的最小正周期是T=π【分析】利用三角函数的和角公式，将原函数式化成y=Asin（ωx+φ）+B的形式，再结合三角函数的周期公式求出周期即可．【解答】解：==∴T=π．故填：π．7．（4分）（2007•上海）有数字1、2、3、4、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为0.3【分析】从五个数字中任取三个数字有C53种取法，剩下的两个数字为奇数有C22C31种取法，两个求比值，得到要求的概率．【解答】解：由题意知，故答案为：0.38．（4分）（2007•上海）已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为y2=12（x+3）【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的中心和焦点，进而求得抛物线中的p，得到抛物线方程．【解答】解：双曲线的中心坐标为（0，0），该双曲线的左焦点为F（﹣3，0）则抛物线的顶点为（﹣3，0），焦点为（0，0），所以p=6，故答案为y2=12（x+3）．9．（4分）（2007•上海）对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：①；②（a+b）2=a2+2ab+b2；③若|a|=|b|，则a=±b；④若a2=ab，则a=b．那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是②④．【分析】要熟悉复数的概念和性质及其基本运算．【解答】解：对于①：解方程得a=i，所以非零复数a=i使得，①不成立；②：显然成立；③：在复数集C中，|1|=|i|，则|a|=|b|，所以当a=i，b=1时，i=1不成立，所以③不成立；④：显然成立．则对于任意非零复数a，b，上述命题仍然成立的所有序号是②④所以应填上②④．10．（4分）（2007•上海）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2．试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件s1∥s2，并且t1与t2相交（t1∥t2，并且s1与s2相交）．【分析】当两直线在一个平面内的射影是两条平行线，在另一个相交面内的射影是两条相交直线时，这两条直线一定是异面直线．【解答】解：两个相交平面α，β，当两直线在平面α内的射影是两条平行线，在平面β内的射影是两条相交直线时，这两直线是异面直线．当两直线在平面α内的射影是两条相交直线，在平面β内的射影是两条平行线时，这两直线也是异面直线．故“能成为l1，l2是异面直线的充分条件”的是“s1∥s2，并且t1与t2相交”或“t1∥t2，并且s1与s2相交”．故答案为：s1∥s2，并且t1与t2相交，或t1∥t2，并且s1与s2相交．11．（4分）（2007•上海）已知圆的方程x2+（y﹣1）2=1，P为圆上任意一点（不包括原点）．直线OP的倾斜角为θ弧度，|OP|=d，则d=f（θ）的图象大致为．【分析】由图形可以看出，可以在OP与直径围成的三角形中通过解三角形求出d与θ的函数关系，再根据函数表达式作出图象即可．【解答】解：在直角三角形中，因直径的长度为2，其所邻的角为故故函数图象为故应填：二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12．（4分）（2007•上海）已知a，b∈R，且2+ai，b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根，那么p，q的值分别是（）A．p=﹣4，q=5 B．p=﹣4，q=3 C．p=4，q=5 D．p=4，q=3【分析】把根代入方程，利用复数相等列出方程组，可解出结果．【解答】解：分别将2+ai，b+i代入方程得：（2+ai）2+p（2+ai）+q=0①（b+i）2+p（b+i）+q=0②对①②整理得：；解得：p=﹣4，q=5．本题也可以用“韦达定理”求解：2+ai+b+i=﹣p③，（2+ai）（b+i）=q④对③④整理得：⇒故选A．13．（4分）（2007•上海）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2b C．D．【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项【解答】解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选C．14．（4分）（2007•上海）在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据给的两个向量写出第三条边所对应的向量，分别检验三个角是直角时根据判断向量垂直的充要条件，若数量积为零，能做出对应的值则是，否则不是．【解答】解：∵（1）若A为直角，则；（2）若B为直角，则；（3）若C为直角，则．∴k的可能值个数是2，故选B15．（4分）（2007•上海）已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立，下列命题成立的是（）A．若f（3）≥9成立，则对于任意k≥1，均有f（k）≥k2成立；B．若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）＜k2成立；C．若f（7）≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f（k）＜k2成立；D．若f（4）=25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立【分析】由题意对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立的含义是对前一个数成立，则能推出后一个数成立，反之不成立．【解答】解：对A，当k=1或2时，不一定有f（k）≥k2成立；对B，应有f（k）≥k2成立；对C，只能得出：对于任意的k≥7，均有f（k）≥k2成立，不能得出：任意的k ＜7，均有f（k）＜k2成立；对D，∵f（4）=25≥16，∴对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立．故选D三、解答题（共6小题，满分90分）16．（15分）（2007•上海）体积为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，求直线AB1与平面BCC1B1所成角．【分析】根据体积先求出AA1=CC1的长，连接BC1，易证∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角，在直角三角形A1BC1中求出此角即可．【解答】解：由题意，可得体积，∴AA1=CC1=2．连接BC1．∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．，∴，则∠A1BC1=；即直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为．17．（15分）（2007•上海）在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S．【分析】先根据cosB求出sinB的值，再由两角和与差的正弦公式求出sinA的值，由余弦定理求出c的值，最后根据三角形的面积公式求得最后答案．【解答】解：由题意，得为锐角，，，由正弦定理得，∴．18．（15分）（2007•上海）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%．在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）【分析】（1）根据年增长率可直接算出．（2）设平均增长率为x，根据题意可得安装量和生产量的比值，进而解不等式即可．【解答】解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为36%，38%，40%，42%．则2006年全球太阳电池的年生产量为670×1.36×1.38×1.40×1.42≈2499.8（兆瓦）．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则．解得x≥0.615．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%．19．（15分）（2007•上海）已知函数f（x）=x2+（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）x2为偶函数，欲判函数f（x）=x2+的奇偶性，只需判定的奇偶性，讨论a判定就可．（2）处理函数的单调性问题通常采用定义法好用．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=x2对任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），有f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），∴f（x）为偶函数．当a≠0时，f（x）=x2+（x≠0，常数a∈R），取x=±1，得f（﹣1）+f（1）=2≠0，f（﹣1）﹣f（1）=﹣2a≠0，∴f（﹣1）≠﹣f（1），f（﹣1）≠f（1）．∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（2）设2≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）==[x1x2（x1+x2）﹣a]，要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，必须f（x1）﹣f（x2）＜0恒成立．∵x1﹣x2＜0，x1x2＞4，即a＜x1x2（x1+x2）恒成立．又∵x1+x2＞4，∴x1x2（x1+x2）＞16，∴a的取值范围是（﹣∞，16]．20．（15分）（2007•上海）若有穷数列a1，a2…a n（n是正整数），满足a1=a n，a2=a n …a n=a1即a i=a n﹣i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．﹣1（1）已知数列{b n}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出{b n}的每一项（2）已知{c n}是项数为2k﹣1（k≥1）的对称数列，且c k，c k+1…c2k﹣1构成首项为50，公差为﹣4的等差数列，数列{c n}的前2k﹣1项和为S2k﹣1，则当k为何值时，S2k﹣1取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，22…2m﹣1成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008．【分析】（1）设{b n}的公差为d，由b1，b2，b3，b4成等差数列求解d从而求得数列{b n}，=﹣4（k﹣13）2+4×132﹣50，用二次函数求解，（2）先得到S2k﹣1（3）按照1，2，22…2m﹣1是数列中的连续项按照定义，用组合的方式写出来所有可能的数列，再按其数列的规律求前n项和取符合条件的一组即可．【解答】解：（1）设{b n}的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11，解得d=3，∴数列{b n}为2，5，8，11，8，5，2．=c1+c2+…+c k﹣1+c k+c k+1+…+c2k﹣1=2（c k+c k+1+…+c2k﹣1）﹣c k，（2）S2k﹣1S2k﹣1=﹣4（k﹣13）2+4×132﹣50，取得最大值．S2k﹣1的最大值为626．∴当k=13时，S2k﹣1（3）所有可能的“对称数列”是：①1，2，22，2m﹣2，2m﹣1，2m﹣2，22，2，1；②1，2，22，2m﹣2，2m﹣1，2m﹣1，2m﹣2，22，2，1；③2m﹣1，2m﹣2，22，2，1，2，22，2m﹣2，2m﹣1；④2m﹣1，2m﹣2，22，2，1，1，2，22，2m﹣2，2m﹣1．对于①，当m≥2008时，S2008=1+2+22+…+22007=22008﹣1．当1500＜m≤2007时，S2008=1+2+…+2m﹣2+2m﹣1+2m﹣2+…+22m﹣2009=2m﹣1+2m﹣1﹣22m ﹣2009=2m+2m﹣1﹣22m﹣2009﹣1．对于②，当m≥2008时，S2008=22008﹣1．当1500＜m≤2007时，S2008=2m+1﹣22m﹣2008﹣1．对于③，当m≥2008时，S2008=2m﹣2m﹣2008．当1500＜m≤2007时，S2008=2m+22009﹣m﹣3．对于④，当m≥2008时，S2008=2m﹣2m﹣2008．当1500＜m≤2007时，S2008=2m+22008﹣m﹣2．21．（15分）（2007•上海）已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）因为，所以，由此可知“果圆”方程为，．（2）由题意，得，所以a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．再由可知的取值范围．（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．【解答】解：（1）∵，∴，于是，所求“果圆”方程为，（2）由题意，得a+c＞2b，即．∵（2b）2＞b2+c2=a2，∴a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．又b2＞c2=a2﹣b2，∴．∴．（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，直线y=t（﹣b≤t≤b）与半椭圆的交点是P，与半椭圆的交点是Q．∴P，Q的中点M（x，y）满足得．∵a＜2b，∴．综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点为，轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．。
2007年上海市高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】
2007年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1. 函数f(x)=lg(4−x)x−3的定义域为________．2. 已知l1:2x+my+1=0与l2:y=3x−1，若两直线平行，则m的值为________．3. 函数f(x)=xx−1的反函数f−1(x)=________4. 方程9x−6⋅3x−7＝0的解是________．5. 已知x，y∈R+，且x+4y＝1，则xy的最大值为________．6. 函数f(x)=sin(x+π3)sin(x+π2)的最小正周期是T=________7. 有数字1、2、3、4、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为________8. 已知双曲线x 24−y25=1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为________9. 对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：①a+1a≠0；②(a+b)2＝a2+2ab+b2；③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a2＝ab，则a＝b．那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是________．10. 平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2．试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件________．11. 已知圆的方程x2+(y−1)2=1，P为圆上任意一点（不包括原点）．直线OP的倾斜角为θ弧度，|OP|=d，则d=f(θ)的图象大致为________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12. 已知a，b∈R，且2+ai，b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根，那么p，q的值分别是（）A.p=−4，q=5B.p=−4，q=3C.p=4，q=5D.p=4，q=313. 设a，b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是（）A.a2<b2B.ab2<a2bC.1ab2<1a2bD.ba<ab14. 在直角坐标系xOy中，i,→j→分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，AB→=2i→+j→，AC→=3i→+k j→，则k的可能值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个15. 已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k+1)≥(k+1)2成立，下列命题成立的是（）A.若f(3)≥9成立，则对于任意k≥1，均有f(k)≥k2成立；B.若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)<k2成立；C.若f(7)≥49成立，则对于任意的k<7，均有f(k)<k2成立；D.若f(4)=25成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立三、解答题（共6小题，满分90分）16. 体积为1的直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=BC=1，求直线AB1与平面BCC1B1所成角．1 / 6。
2007年高考真题试卷全国卷Ⅰ数学理科参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36（14）3()x x ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯ 240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO 1SO =，SD =．SAB △的面积211122S ABSA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C ，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =． 22cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β= 所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x xf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=， 所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+ 22212221221)(1)()432k BD x x k x x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，221132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a -是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n=2，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -≤， 也即430k k b a -< 当1n k =+时，13423k k k b b b ++=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(32)2)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。
2007年高考理科数学试题及参考答案(上海卷)
2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数 学 (理 科) 全解全析一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1、函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为_____【答案】{}34≠<x x x 且【解析】 4030x x ->⎧⎨-≠⎩⇒ {}34≠<x x x 且2、已知1:210l x m y ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为 _____ 【答案】32-【解析】2123113m m =≠⇒=---3、函数()1x f x x =-的反函数()1_____fx -=【答案】）（11≠-x x x【解析】由(1)11x y y x y x y =⇒=≠⇒--()111xfx x x -=≠-（） 4、方程96370xx-⋅-=的解是_____ 【答案】3log 7x =【解析】 2(3)63703731x x x x-⋅-=⇒==-或（舍去），3log 7x ∴=。
5、已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____ 【答案】161【解析】 211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x =4y=12时取等号. 6、函数()sin sin 32f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是_____T = 【答案】π【解析】sin()sin()(sin coscos sin)cos 3233y x x x x x ππππ=++=+2111cos 2sin cos cos sin 222422xx x x x +=+=+1sin(2)423x π=++T π∴=。
7、有数字12345、、、、，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为_____ 【答案】3.0 【解析】212335310C C C =8、已知双曲线22145xy-=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____【答案】)3(122+=x y【解析】双曲线22145xy-=的中心为O （0,0），该双曲线的左焦点为F （－3,0）则抛物线的顶点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是)212(3)y x =+ 9、若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立： ①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =±④若2a ab =，则a b =。