《全等三角形判定的条件组合(二)》热点专题高分特训(含答案)

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2024年八年级数学上册《全等三角形》及答案解析

第十二章全等三角形(单元重点综合测试)班级_________姓名________学号__________分数__________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的有()①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D．A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列各组图形中，是全等形的是()A. B.C. D.3.如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2cm，BD=5cm，则CE的长度为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.5cm4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，CD⊥BC，BO=OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是()A.SSSB.ASAC.SASD.HL5.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，AC∥DF，AC=DF，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DEB.AE=DBC.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D6.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在( )处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点8.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC=30,DE=4,BC=10，则AC的长是()A.5B.6C.7D.89.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列五个结论：①DE=DF；②BC=2DB；③AD⊥BC；④AB=3BF；⑤S△ADB=2S△BDF；其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个10.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为()A.5m2 B.2m2 C.5m2 D.4m22二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=50°，则∠ABE=．12.如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ．若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A的大小为度．13.如图，D，E是边BC上的两点，BD=CE，∠ADB=∠AEC，现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE，请你再添加一个条件：．14.已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A B C 的位置，使B 和C重合，连接AC 交A C于D，则△C DC的面积为．15.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，△DEB与△BCA全等．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=ED．18.如图，已知AB∥CD，AB=CD．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由．19.如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE=∠NCF．20.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B(1)求证：△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，则△ABE的面积．22.问题提出：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD互补，∠B与∠D互补，AB=AD，∠BAD=x°0<x<180，∠ACB=y°，数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时，经历了如下过程：实验操作：(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：x⋯304050607080β130y757065α555040θ这里α=，β=，θ=．猜想证明：(2)根据表格，猜想：y与x之间的关系式为；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长CB到E，使BE=DC，连接AE，⋯，请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证(1)中结论的正确性．应用拓广：(3)如图3，若x+y=135，AC=10，求四边形ABCD的面积．23.(1)【问题解决】如图①，∠AOB=∠DFE=90°，OC平分∠AOB，点F在OC上，∠DFE的两边分别与OA，OB交于点D，E．当FE⊥OB，FD⊥OA时，则FD与FE的数量关系为；(2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，过点F作两条相互垂直的射线FM，FN，分别交OA，OB于点M，N，判断FM与FN的数量关系，说明理由；(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD，如图③所示，∠DAB=∠DCB=90°，AC是∠DAB的平分线，AB= 50m，AD=30m，直接写出该空地的面积．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在OA、OB上分别取点C、E、D、F，使得OC=OD，OE=OF，连接CF、DE，交点为P，则射线OP为∠AOB的角平分线．【验证】(1)试说明OP平分∠AOB，且PE=PF；【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD，CF⊥OA，DE⊥OB，试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB；【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD，请补全图形，并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系．25.【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．【模型应用】(2)如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．①求证DG=GE；②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．第十二章全等三角形(单元重点综合测试)班级_________姓名________学号__________分数__________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的有()①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断．【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误；全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确；若△ABC≌△DEF，∠A的对应角为∠D，所以∠A=∠D，故④说法正确；说法正确的有③④，共2个．故选：B．【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键．2.下列各组图形中，是全等形的是()A. B.C. D.【答案】B【分析】本题考查全等形，掌握能完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．【详解】观察发现：A，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；B选项中两个图形能完全重合，是全等形，故选B．3.如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2cm，BD=5cm，则CE的长度为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.5cm【答案】C【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键熟练掌握性质的应用．根据全等三角形的对应边相等，再利用线段和差即可求解．【详解】∵△ABC≌△EBD，∴BE=AB=2cm，BC=BD=5cm，∴CE=BC-BE=3cm，故选：C．4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，CD⊥BC，BO=OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是()A.SSSB.ASAC.SASD.HL【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．直接利用全等三角形的判定方法即可得出答案．【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABO=∠DCO=90°，在△ABO和△DCO中，∠ABO=∠DCOBO=OC=CO∠BOA=∠COD，∴△ABO≌△DCO ASA∴证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，故选：B．5.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，AC∥DF，AC=DF，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DEB.AE=DBC.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D【答案】B【分析】本题考查三角形全等的判定，先根据平行线的性质得到∠A=∠D，加上AC=DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL是解题的关键．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠A=∠D，∵AC=DF，A、添加BC=DE，不能判定△ABC≌△DEF；B、添加AE=DB，能判定△ABC≌△DEF；C、添加∠A=∠DEF，不能判定△ABC≌△DEF；D、添加∠ABC=∠D，不能判定△ABC≌△DEF；故选：B．6.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对【答案】C【分析】本题主要考查三角形全等的判定定理，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方程是解题的关键．根据全等三角形的判定分别证明△AOP≌△BOP(SAS)，Rt△P AE≌Rt△PBF HL，△OEP≌△OFP (AAS)，即可得到答案．【详解】解：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP(SAS)；∴AP=BP，∵OP平分∠MON，PE⊥OM,PF⊥ON∴PE=PF，∵PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，∴Rt△P AE≌Rt△PBF HL；∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，又∵∠OEP=∠OFP=90°,OP=OP，∴△OEP≌△OFP(AAS)．∴图中全等三角形有3对故选C．7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在( )处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点【答案】B【分析】本题考查的是三角形的角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【详解】解：要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，则洒水龙头的位置应选在三角形三条角平分线的交点，故选：B8.如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于点E ，S △ABC =30,DE =4,BC =10，则AC 的长是()A.5B.6C.7D.8【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理．过点D 作DF ⊥AC 于点F ，根据角平分线的性质可得DE =DF =4，再由S △ABC =S △DBC +S △DAC ，即可求解．【详解】解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DE =4，∴DE =DF =4，∵S △ABC =S △DBC +S △DAC ，S △ABC =30，BC =10，∴30=12DE ×BC +12DF ×AC ，∴30=12×4×10+12×4×AC ，∴AC =5，故选：A ．9.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE =2BF ，给出下列五个结论：①DE =DF ；②BC =2DB ；③AD ⊥BC ；④AB =3BF ；⑤S △ADB =2S △BDF ；其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ACB=∠ABC，可得AC=AB，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD= BD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，即可求解．【详解】解：∵BC恰好平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∵BF∥AC，∴∠ACB=∠CBF，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，且AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BC=2DB，故②，③正确，符合题意；在△CDE和△BDF中，∠ACB=∠CBF CD=BD∠CDE=∠BDF，∴△CDE≌△BDF ASA，∴S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，故①正确，符合题意；∵AE=2BF，∴AC=3BF=AB，故④正确，符合题意；∵BD=CD，∴S△ADB=S△ACD，∵AE=2BF，∴S△ADB=S△ACD=3S△CDE=3S△BDF，故⑤错误，不符合题意；故选：A．10.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为()A.52m2 B.2m2 C.5m2 D.4m2【答案】A【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作BE⊥直线a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，证明△CDA≌△AEB(AAS)，得出AE=CD=2m,AD=BE=m，CF=DE=AD+AE=m+2m=3m，再根据=S四边形DEFE-S△ACD×2-S△BCF求解即可【详解】解：过点B作BE⊥直线a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，则∠CDA=∠AEB=90°，如图，∵a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，∴BF⊥直线c，CD=2m,BE=BF=m,∵∠CAB=90°,∠CDA=90°∴∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠EAB，在△CDA和△AEB中，∠DCA=∠EAB∠CDA=∠AEBAC=AB，∴△CDA≌△AEB(AAS)，∴AE=CD=2m,AD=BE=m，∴CF=DE=AD+AE=m+2m=3m∴△ABC的面积=S四边形DEFE -S△ACD×2-S△BCF=3m×2m-12×2m×m×2-12×3m×m=52m2故选：A二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=50°，则∠ABE=．【答案】130°/130度【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明△ADC≌△ABE AAS得出∠ADC=∠ABE，根据邻补角即可求解．【详解】解：∵在△ADC和△ABE中，∠C=∠E∠A=∠AAD=AB，∴△ADC≌△ABE AAS，∴∠ADC=∠ABE，∵∠CDE=50°，∴∠ADC=180°-50°=130°，∴∠ABE=130°．故答案为：130°．12.如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ．若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A的大小为度．【答案】105【分析】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质．根据全等的性质求出∠D=∠D ，利用四边形的内角和公式求出∠A的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD≌四边形A B C D ．∴∠D=∠D ，∵∠D =105°，∴∠D=105°，∵∠B=90°,∠C=60°，∴∠A=360°-90°-60°-105°=105°，故答案为：105．13.如图，D，E是边BC上的两点，BD=CE，∠ADB=∠AEC，现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE，请你再添加一个条件：．【答案】∠BAD=∠CAE【分析】在△ABE与△ACD中，已知AE=AD，∠AED=∠ADE，即已知一角及角的一边对应相等，根据“AAS”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：AAS：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【详解】解：可添加一个条件：∠BAD=∠CAE，使△ABD≌△ACE．理由：在△ABD与△ACE中，∠BAD=∠CAE∠AED=∠ADEBD=CE，∴△ABD≌△ACE(AAS)．故答案为∠BAD=∠CAE14.已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A B C 的位置，使B 和C重合，连接AC 交A C于D，则△C DC的面积为．【答案】12【分析】根据平移的性质可得AC=A C ，BC=B C ，AC∥A C ，证明△ADC≌△C DA ，得到AD=C D，则S△C DC =12S△ACC，再推出S△ABC=S△ACC=24，则S△C DC=12S△ACC=12．【详解】解：由平移的性质可得AC=A C ，BC=B C ，AC∥A C ，∴∠DCA=∠DA C ，∠DAC=∠DC A ，∴△ADC≌△C DA ASA，∴AD=C D，∴S△C DC =12S△ACC，∵BC=CC ，△ABC的面积为24，∴S△ABC=S△ACC=24，∴S△C DC =12S△ACC=12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．15.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是．【答案】52°/52度【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB,再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．【详解】解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，∵点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，∴NE=NG,NF=NG，∴NE=NF，∴MN平分∠BMC，∴∠BMN=12∠BMC，∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-66°=114°，∴∠MBC+∠MCB=23∠ABC+∠ACB=76°，在△BMC中，∠BMC=180°-∠MBC+∠MCB=180°-76°=104°∴∠BMN=12∠BMC=52°．故答案为：52°．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，△DEB与△BCA全等．【答案】3或7或10【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是要分情况讨论．分情况，当E在线段AB上，或当E在线段AB延长线上，由HL即可求解．【详解】解：∵CA⊥AB，BM⊥AB，∠CAB=∠DBE=90°，∵ED=CB，当E在线段AB上时，若BE=AC，∴Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，∵AE=3tcm，∴BE=AB-AE=15-3tcm，∴15-3t=6，∴t=3；若BE=AB，∴Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，∴AE=0，∴t=0(舍去)，当E在线段AB延长线上时，若BE=AC，∴Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，∵AE=3t=AB+BE=15+6=21(cm)，∴t=7，若BE=AB，∴Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，∵AE=3t=AB+BE=15+15=30(cm)，∴t=10，∴当t=3或7或10秒时，△DEB与△BCA全等．故答案为：3或7或10．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=ED．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由∠1=∠2可得∠EAD=∠BAC，再根据条件AB=AE，∠C=∠D，可利用AAS证明△ABC≌△AED AAS，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中，∠C=∠D∠BAC=∠EADAB=AE，∴△ABC≌△AED AAS，∴BC=ED．18.如图，已知AB∥CD，AB=CD．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)BC∥AD，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△CDA．(1)利用SAS证明△ABC≌△CDA即可；(2)由△ABC≌△CDA，得∠BCA=∠CAD，进而可以判断BC与AD的位置关系．【详解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，在△ABC与△CDA中，AB=CD∠BAC=∠ACDAC=CA，∴△ABC≌△CDA SAS；(2)解：BC∥AD，理由如下：∵△ABC≌△CDA，∴∠BCA=∠CAD，∴BC∥AD．19.如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE=∠NCF．【答案】(1)4；△ABC≌△CDA，△AMO≌△CNO，△OAE≌△OCF，△AME≌△CNF(2)证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，找出判定三角形全等的条件是解题的关键．(1)结合已知条件，再根据全等三角形的四个判定方法，即可找出所有的全等三角形；(2)先证明△AME≌△CNF SSS，即可证明∠MAE=∠NCF．【详解】(1)解：有4对全等三角形，分别为：△ABC≌△CDA，△AMO≌△CNO，△OAE≌△OCF，△AME≌△CNF，理由如下：∵AB=CD，BC=AD=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA SSS，∴∠BAC=∠DCA，即∠MAO=∠NCO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNO ASA，∴AM=CN，OM=ON，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△OAE≌△OCF SAS，∴AE=CF，∵OE=OF，OM=ON，∴OE-OM=OF-ON，即ME=NF，又∵AM=CN，∴△AME≌△CNF SSS；(2)证明：∵AB=CD，BC=AD=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA SSS，∴∠BAC=∠DCA，即∠MAO=∠NCO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNO ASA，∴AM=CN，OM=ON，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△OAE≌△OCF SAS，∴AE=CF，∵OE=OF，OM=ON，∴OE-OM=OF-ON，即ME=NF，又∵AM=CN，∴△AME≌△CNF SSS，∴∠MAE=∠NCF．20.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B(1)求证：△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数．【答案】(1)详见解析(2)125°【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得△ABC≌△CDE是解题的关键．(1)根据平行线求出∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，再说明∠B=∠CDE，最后结合AC=CE运用AAS即可证明结论；(2)根据全等三角形性质得出∠A=∠E=55°，进而根据平角定义即可解答．【详解】(1)证明∶∵AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，∵∠ACD=∠B，∴∠B=∠CDE，∵AC=CE，∴△ABC≌△CDE AAS．(2)解：∵∠A=55°，∵△ABC≌△CDE，∴∠A=∠ECD=55°，∴∠BCD=180°-∠ECD=180°-55°=125°．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，则△ABE的面积．【答案】(1)∠ACE=37°(2)证明见解析(3)15【分析】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．(1)根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD=74°、∠CHE=90°，进而得到∠ECH=37°，然后根据∠ACE=∠ACD-∠ECH即可解答；(2)如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM=EH、CE平分∠ACD、EN=EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；(3)根据S△ACD=S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM=3，最后运用三角形的面积公式即可解答．【详解】(1)解：∵∠ACB=106°，∴∠ACD=180°-106°=74°，∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°，∵∠CEH=53°，∴∠ECH=90°-53°=37°，∴∠ACE=∠ACD-∠ECH=74°-37°=37°．(2)证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM=EH，∵∠ACE =∠ECH =37°，∴CE 平分∠ACD ，∴EN =EH ，∴EM =EN ，∴AE 平分∠CAF ．(3)解：∵AC +CD =16，S △ACD =24，EM =EN =EH ，∴S △ACD =S △ACE +S △CED =12AC ⋅EN +12CD ⋅EH =12(AC +CD )⋅EM =24，即12×16⋅EM =24，解得EM =3，∵AB =10，∴S △ABE =12AB ⋅EM =15．22.问题提出：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD 与∠BCD 互补，∠B 与∠D 互补，AB =AD ，∠BAD =x °0<x <180 ，∠ACB =y °，数学兴趣小组在探究y 与x 的数量关系时，经历了如下过程：实验操作：(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：x⋯304050607080β130y 757065α555040θ这里α=，β=，θ=．猜想证明：(2)根据表格，猜想：y 与x 之间的关系式为；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ，⋯，请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证(1)中结论的正确性．应用拓广：(3)如图3，若x +y =135，AC =10，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)60，100，15；(2)y =90-12x ，理由见详解；(3)S 四边形ABCD =50【分析】(1)观察表格发现：x 每增加10，y 减小5，由此即可得出α、β、θ的值．(2)根据表格猜想：y =90-12x ．延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ，则可得△ABE ≌△ADE ，进而可得AE =AC ，∠EAB =∠CAD ，则可得∠EAC =x °．在△AEC 中，根据三角形内角和定理即可得出y 于x 之间的关系式．(3)延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ．由(2)得△ABE ≌△ADE ，则S △ABE =S △ADE ，进而可得S 四边形ABCD =S △AEC ．由x +y =135，y =90-12x 可得x =90，y =45．则可得∠EAC =90°，∠AEC =∠ACE =45°，进而可得AE =AC =10，可得S △AEC 的值，即可得S 四边形ABCD 的值．【详解】(1)观察表格发现：x每增加10，y减小5，∴α=65-5=60，β=80+2×10=100，θ=40-3×5=15．故答案为：60，100，15，x．(2)根据表格猜想：y=90-12证明：如图2，延长CB到E，使BE=DC，连接AE，则∠ABC+∠ABE=180°，又∵∠ABC+∠D=180°，∴∠ABE=∠D，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴AE=AC，∠EAB=∠CAD，∴∠E=∠ACB=y°，∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=x°．在△AEC中，∠EAC+∠E+∠ACE=180°，∴x°+2y°=180°，y=90-1x．2(3)如图，延长CB到E，使BE=DC，连接AE．由(2)得△ABE≌△ADE，∴S△ABE=S△ADE，=S△ACD+S△ABC=S△ABE+S△ABC=S△AEC，∴S四边形ABCD∵x+y=135，y=90-1x，2x=135，∴x+90-12解得x=90，y=45，∴∠EAC=90°，∠AEC=∠ACE=45°，∴AE=AC=10，×10×10=50，∴S△AEC=12∴S=50．四边形ABCD【点睛】本题考查了数字类探索规律问题，以及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识，证明出y与x之间的关系式是解题的关键．23.(1)【问题解决】如图①，∠AOB =∠DFE =90°，OC 平分∠AOB ，点F 在OC 上，∠DFE 的两边分别与OA ，OB 交于点D ，E ．当FE ⊥OB ，FD ⊥OA 时，则FD 与FE 的数量关系为；(2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，过点F 作两条相互垂直的射线FM ，FN ，分别交OA ，OB 于点M ，N ，判断FM 与FN 的数量关系，说明理由；(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD ，如图③所示，∠DAB =∠DCB =90°，AC 是∠DAB 的平分线，AB =50m ，AD =30m ，直接写出该空地的面积．【答案】(1)FD =FE ；(2)FM =FN ，理由见详解；(3)1600m 2【分析】(1)根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得FD =FE ；(2)先根据四边形内角和等于360°可得∠DFE =90°，由∠DFE =∠FMN =90°可得∠DFM =∠EFN ，再根据ASA 证明△DFM ≌△EFN ，则可得FM =FN ；(3)过C 点作CE ⊥AB 于E 点，CF ⊥AD 的延长线于F 点．由(2)得△CFD ≌△CEB ，则可得FD =EB ，S △CFD =S △CEB ，进而可得S 四边形ABCD =S 四边形AECF ．证明△ACF ≌△ACE (，则可得AF =AE ，由AE =AB -BE 、AF =AD +DF 可求得BE 的长，进而可得AF 、AE 的长，由此可得S 四边形AECF 的值，即可得S 四边形ABCD 的值．【详解】(1)解：∵OC 平分∠AOB ，点F 在OC 上，且FE ⊥OB ，FD ⊥OA ，∴FD =FE ．(2)解：FD =FE ，理由如下：∵FD ⊥OA ，FE ⊥OB ，∴∠FDO =∠FEO =∠FEN =90°，∵四边形DOEF 中，∠FDO =∠FEO =∠AOB =90°，∴∠DFE =360°-∠FDO -∠FEO -∠AOB =90°，∴∠DMF +∠MFE =90°，又∵FM ⊥FN ，∴∠FMN =90°，∴∠DFM =∠EFN ，在△DFM 和△EFN 中，∠FDM =∠FENFD =FE ∠DFM =∠EFN，∴△DFM ≌△EFN (ASA )，∴FM =FN ．(3)解：如图，过C 点作CE ⊥AB 于E 点，CF ⊥AD 的延长线于F 点，由(2)得△CFD≌△CEB，∴FD=EB，S△CFD=S△CEB，∴S四边形ABCD =S四边形AECF，∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠CAB，又∵∠CFB=∠CEA=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE(AAS)，∴AF=AE，又∵AE=AB-BE,AF=AD+DF，∴AB-BE=AD+DF，∴50-BE=30+BE，解得BE=10，∴AF=AE=40，∴S四边形AECF=40×40=1600m2，∴S四边形ABCD=1600m2，答：该空地的面积为1600m2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在OA、OB上分别取点C、E、D、F，使得OC=OD，OE=OF，连接CF、DE，交点为P，则射线OP为∠AOB的角平分线．【验证】(1)试说明OP平分∠AOB，且PE=PF；【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD，CF⊥OA，DE⊥OB，试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB；【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD，请补全图形，并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)补全图形见解析，∠PCO=∠PDO或∠PCO+∠PDO=180°【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．(1)先证明△DOE≌△COF(SAS)，得∠PEC=∠PFD，再证△CPE≌△DPF(AAS)，得PE=PF，然后证△OPE≌△OPF(SSS)，得∠POE=∠POF，即可得出结论；(2)先证明△OCF≌△ODE(ASA)，可得OF=OE，由(1)可得OP平分∠AOB；(3)过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，分两种情况进行求解即可．【详解】解：(1)∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，∴CE=DF，△DOE≌△COF(SAS)，∴∠PEC=∠PFD，∵∠CPE=∠DPF，CE=DF，∴△CPE≌△DPF(AAS)，∴PE=PF，∵OE=OF，PE=PF，OP=OP，∴△OPE≌△OPF(SSS)，∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，∴射线OP平分∠AOB；(2)∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴∠OCF=∠ODE=90°，∴∠COF=∠DOE，OC=OD，∴△OCF≌△ODE(ASA)，∴OF=OE，由(1)可得OP平分∠AOB；(3)补全图形如下，过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∵OP是∠AOB的平分线，∴PM=PN，∠PMC=∠PND=90°，当PC=PD1时，在Rt△PMC和Rt△PND1中，PC=PD1，PM=PN∴Rt△PMC≌Rt△PND1(HL)，∴∠PCO=∠PD1O；当PC=PD2时，同理得Rt△PMC≌Rt△PND2HL，∴∠PCM=∠PD2N；∵∠PD2N+∠PD2O=180°，∴∠PCO+∠PD2O=180°，综上所述，∠PCO与∠PDO的数量关系为∠PCO=∠PDO或∠PCO+∠PDO=180°；25.【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．【模型应用】(2)如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．①求证DG=GE；②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．【答案】(1)见解析；(2)50；(3)①见解析；63【分析】(1)证明△ABC≌△DAE AAS，即可得证；(2)同(1)法得到△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，分割法求出图形面积即可；(3)①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，易证△AFB≌△DP A，△AFC ≌△EQA，得到DP=AF，EQ=AF，再证明△DPG≌△EQG AAS，即可得出结论；②根据全等三角形的性质，求出AG的长，进而利用面积公式进行求解即可．【详解】解：(1)证明：∵∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAE=90°，∵BC⊥CA，DE⊥AE，∴∠ACB=∠DEA=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠DAE，在△ABC和△DAE中，∠ACB=∠DEA∠ABC=∠DAEBA=AD∴△ABC≌△DAE AAS，∴BC=AE．(2)由模型呈现可知，△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，∴AP=BG=3，AG=EP=6，CG=DH=4，CH=BG=3，则S实线围成的图形=12×4+6×3+6+4+3-12×3×6-12×3×6-12×3×4-12×3×4=50．(3)①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q．图3由【模型呈现】可知，△AFB≌△DP A，△AFC≌△EQA，∴DP=AF，EQ=AF∴DP=EQ，∵DP⊥AG，EQ⊥AG∴∠DPG=∠EQG=90°，在△DPG和△EQG中，∠DPG=∠EQG∠DGP=∠EGQDP=EQ∴△DPG≌△EQG AAS，∴DG=GE．②由①可知，BF=AP，FC=AQ，∴BC=BF+FC=AP+AQ，∵BC=21，∴AP+AQ=21，∴AP+AP+PG+GQ=21，由①△DPG≌△EQG得∴PG=GQ，∴AP+AP+PG+PG=21，∴AP+PG=10.5，∴AG=10.5，∴S△ADG=1×10.5×12=63．2。

(二次全等)专项高分特训(含解析).doc

(二次全等)专项高分特训(含解析)【一】单项选择题〔共5道，每道20分〕1、：如图，AB＝AC，DB＝DC，F是AD的延长线上的一点、求证：△ABF≌△ACF、证明：如图，在△ADB和△ADC中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴△ADB≌△ADC〔＿＿＿＿＿＿〕∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿在△ABF和△ACF中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴△ABF≌△ACF〔＿＿＿＿＿＿〕请你仔细观察以下序号所代表的内容：①；②；③SSS；④SAS；⑤SSA；⑥∠ABD＝∠ACD〔全等三角形对应角相等〕；⑦∠BAD＝∠CAD〔全等三角形对应角相等〕；⑧；⑨、以上空缺处依次所填正确的选项是〔〕A、②③⑥⑨⑤B、②③⑦⑧④C、①④⑦⑧④D、①④⑥⑨⑤答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质和判定2、：如图，AB＝EF，BC＝FG，AC＝EG，D为BC中点，H为FG中点，求证：AD＝EH、证明：如图，在△ABC与△EFG中∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∵D为BC中点，H为FG中点∵BC＝FG∴BD＝FH在△ABD与△EFH中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴△ABD≌△EFH〔＿＿＿＿＿〕∴AD＝EH、①；②；③；④∠BAD＝∠FEH〔全等三角形对应角相等〕；⑤∠B＝∠F〔全等三角形对应角相等〕；⑥SSS；⑦SAS；⑧△ABC≌△FEG〔SSS〕；⑨△ABC≌△EFG〔SSS〕、以上空缺处依次所填正确的选项是〔〕A、⑨⑤①⑦B、⑨④②⑦C、⑧⑤③⑥D、⑧④①⑦答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形证明过程训练3、：如图，∠E＝∠D，AM＝CN，ME＝ND、求证：△ABE≌△CBD、证明：如图，在△BME和△BND中∴△BME≌△BND〔AAS〕∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∵AM＝CN，ME＝ND∴AM＋ME＝CN＋ND即AE＝CD在△ABE和△CBD中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴△ABE≌△CBD〔＿＿＿＿＿＿〕请你仔细观察以下序号所代表的内容：①BE＝BD〔全等三角形对应边相等〕；②∠BME＝∠BND〔全等三角形对应角相等〕；③BM＝BN〔全等三角形对应边相等〕；④；⑤；⑥；⑦SAS；⑧AAS、以上空缺处依次所填正确的选项是〔〕A、①⑥⑧B、③④⑦C、②⑤⑧D、①④⑦答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质和判定4、：如图，点A，C在直线EF上，BC＝AD，AB＝CD，AE＝CF，求证：∠E＝∠F、证明：如图，在△ABC和△CDA中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴∠ACB＝∠CAD〔全等三角形对应角相等〕∵AE＝CF∴AE＋AC＝CF＋AC即EC＝FA在△ECB和△FAD中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴∠E＝∠F〔全等三角形对应角相等〕请你仔细观察以下序号所代表的内容：①；②；③；④；⑤△ABC≌△CDA〔SSS〕；⑥△ABC≌△CDA〔SAS〕；⑦△ECB≌△FAD〔SAS〕；⑧△EAB≌△FCD〔SAS〕、以上空缺处依次所填正确的选项是〔〕A、①⑤③⑧B、①⑤④⑦C、②⑥③⑧D、②⑥④⑦答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质和判定5、如图，在正方形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD、E为BC边上一点，且AE＝DE，AE与对角线BD交于点F，∠ABF＝∠CBF，连接CF，交ED于点G、求证：DE ⊥CF、证明：如图，在RT△ABE和RT△DCE中∴RT△ABE≌RT△DCE〔HL〕∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿在△ABF与△CBF中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴∠2＝∠3∵∠3＋∠4＝90°∴∠2＋∠4＝90°∴∠DGC＝90°∴DE⊥CF请你仔细观察以下序号所代表的内容：①∠1＝∠2〔全等三角形对应角相等〕；②∠1＝∠3〔全等三角形对应角相等〕；③∠ABE＝∠DEC〔全等三角形对应角相等〕；④；⑤；⑥△ABF≌△CBF〔SAS〕；⑦△ABF≌△CBF〔SSS〕；⑧∠AFB＝∠CFB〔全等三角形对应角相等〕、以上空缺处依次所填正确的选项是〔〕A、①⑤⑦②B、②⑤⑦①C、①④⑥②D、③④⑥⑧答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质和判定。

八年级上册专题02 全等三角形的判定(知识点串讲)(教师版含解析)

专题02 全等三角形的判定知识网络重难突破知识点一全等三角形的概念1. 全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形.2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形3.对应元素：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角.【典例1】下列说法正确的是()A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等【点拨】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解析】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．【变式训练】下列各组的两个图形属于全等图形的是()A．B．C．D．【点拨】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【解析】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；D、两个图形能够完全重合，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．知识点二全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)3.两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

(简写成“角边角”或“ASA”)4.两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)【典例2】(2019秋•瑞安市期中)如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，下列条件无法确定△ABC≌△ADE的是()A．∠C＝∠E B．BC＝DE C．AB＝AD D．∠B＝∠D【点拨】根据全等三角形的判定定理(SAS，ASA，AAS，SSS)判断即可．【解析】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE；A、∵∠C＝∠E，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，∴根据ASA可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；B、根据∠BAC＝∠DAE，AC＝DE，BC＝DE不能推出△ABC≌△ADE，错误，故本选项正确；C、∵AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∴根据SAS可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；D、∵∠BAC＝∠DAE，AC＝DE，∠B＝∠D，∴根据AAS可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【变式训练】1．(2019秋•温州期中)如图，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，已知∠B＝∠C，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABD≌△ACE的是()A．AD＝AE B．AB＝AC C．BD＝CE D．∠ADB＝∠AEC【点拨】已知∠B＝∠C，再加上条件∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定定理可得添加条件必须是边相等，故可得出答案．【解析】解：已知∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE，若添加AD＝AE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故A选项不合题意；若添加AB＝AC，可利用ASA定理证明△ABE≌△ACD，故B选项不合题意；若添加BD＝CE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故C选项不合题意；若添加∠ADB＝∠AEC，没有边的条件，则不能证明△ABE≌△ACD，故D选项合题意．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．(2019秋•诸暨市校级月考)如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，添加下列条件，其中不能判定△ABC≌△DEF的是()A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝DE D．∠ACB＝∠DFE【点拨】运用全等三角形的判定可求解．【解析】解：∵BF＝CE，∴BC＝EF，∵AB∥DE∴∠B＝∠E，当∠A＝∠D时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，当AC＝DF时，不能判定△ABC≌△DEF，当AB＝DE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“SAS”可证△ABC≌△DEF，当∠ACB＝∠DFE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“ASA”可证△ABC≌△DEF，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．3．(2019春•西湖区校级月考)如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B ＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．【点拨】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【解析】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒；②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒；故答案为：3厘米/秒或厘米/秒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．4．(2018•柯桥区模拟)如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．【点拨】先根据AB∥DE，利用两直线平行，同位角相等，可得∠ABC＝∠DEF，再结合∠A＝∠D，BC ＝EF，利用AAS可证△ABC≌△DEF．【解析】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF(AAS)．【点睛】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证三角形全等的三个条件是解此题的关键．5．(2019秋•椒江区校级月考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BAC＝∠D，∠B+∠AEC＝180°，BC＝CE．求证：AC＝DC．【点拨】由∠B+∠AEC＝180°，∠DEC+∠AEC＝180°，推出∠B＝∠DEC，由AAS证得△ABC≌△DEC，即可得出结论．【解析】证明：∵∠B+∠AEC＝180°，∠DEC+∠AEC＝180°，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC(AAS)∴AC＝DC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．知识点三直角三角形全等的判定1.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)2.直角三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL【典例3】1．(2018秋•湛江期末)下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是() A．两个锐角对应相等B．一条边和一个锐角对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和一条斜边对应相等【点拨】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【解析】解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；B、符合判定ASA或AAS，故本选项正确，不符合题意；C、符合判定SAS，故本选项不符合题意；D、符合判定HL，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．(2018•南浔区一模)如图，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，则△ABC≌△DEF的理由是()A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【点拨】根据直角三角形的判定定理进行选择．【解析】解：∵在Rt△ABC与Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．(2018秋•慈溪市期中)如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt △ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC＝4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ＝12cm．【点拨】根据直角三角形的全等的判定解答即可．【解析】解：如图，要使△AFC与△ABQ全等，则应满足，∵AQ：AB＝3：4，AQ＝AP，PC＝4cm，设AQ＝3x，AB＝4x，则有4x﹣3x＝4，∴x＝4，∴AQ＝12(cm)，故答案为：12．【点睛】此题考查直角三角形的全等问题，关键是根据SAS证明三角形的全等．巩固训练1．(2019秋•慈溪市期中)下列条件中，不一定能作出唯一的一个三角形的是()A．已知两边的长和夹角的三角形B．已知两个角及夹边的长的三角形C．已知两边的长及其中一边的对角的三角形D．已知直角边和斜边的直角三角形【点拨】根据三角形全等的判定定理，结合选项进行判定．【解析】解：A、已知两边的长和夹角的两三角形，一定全等，故本选不符合题意；B、已知两个角及夹边的三角形证明两个三角形全等，故本选项不符合题意；C、已知两边的长及其中一边的对角的三角形，因为角的位置没有确定，不一定全等，故本选项符合题意；D、已知直角边和斜边的直角三角形可根据HL判定全等，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．(2018•金华)如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是AC＝BC．【点拨】添加AC＝BC，根据三角形高的定义可得∠ADC＝∠BEC＝90°，再添加AC＝BC可利用AAS 判定△ADC≌△BEC．【解析】解：添加AC＝BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC(AAS)，故答案为：AC＝BC．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．(2018秋•柯桥区期中)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数为70°．【点拨】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠B＝∠C及∠B的度数，结合BD＝CF、BE ＝CD，即可证出△BDE≌△CFD(SAS)，根据全等三角形的性质可得出∠CDF＝∠BED，再根据三角形内角和定理及平角等于180°，即可得出∠EDF＝∠B，此题得解．【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝(180°﹣∠A)＝70°．在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD(SAS)，∴∠CDF＝∠BED．∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，∴∠EDF＝∠B＝70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的判定定理SAS证出△BDE≌△CFD是解题的关键．4．(2019秋•台州期中)已知：如图，A，E，B，D在同一直线上，AE＝DB，∠A＝∠D，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．【点拨】利用等式的性质可得AB＝DE，再利用平行线的性质可得∠ABC＝∠DEF，然后可利用ASA判定△ABC≌△DEF．【解析】证明：∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB，∴AB＝DE，∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(ASA)．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．(2010•十堰)如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB．求证：BD＝CE．【点拨】欲证BD、CE两边相等，只需证明这两边所在的△ABD与△ACE全等，这两个三角形，有一对直角相等，公共角∠A，AB＝AC，所以两三角形全等．【解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE(AAS)．∴BD＝CE．【点睛】本题考查证明两边相等的方法，证明这两边所在的三角形全等．选择要证的三角形时要结合图形及已知条件．6．(2019秋•义乌市校级月考)如图：AB＝AC，AD＝AE，AB⊥AC，AD⊥AE．(1)求证：△EAC≌△DAB；(2)判断线段EC与线段BD的关系，并说明理由．【点拨】(1)根据垂直的定义可得∠BAC＝∠DAE＝90°，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠BFC＝∠BAC＝90°，再根据垂直的定义证明即可．【解析】证明：(1)∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△EAC≌△DAB(SAS)；(2)如图，∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C，又∵∠B+∠BAC＝∠C+∠BFC，∴∠BFC＝∠BAC＝90°，∴BD⊥CE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法，并求出∠BAD＝∠CAE是解题的关键，也是本题的难点．7．(2019秋•台州期中)如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．(1)当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：S△BEC＝2：1，试求点D，E的运动时间t的值；(2)当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．【点拨】(1)作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．由BA平分∠MAN，推出BG＝BH，由S△ADB：S△BEC＝2：1，AD＝t，AE＝2t，可得•t•BG：•(6﹣2t)•BH＝2：1，解方程即可解决问题．(2)存在．由BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，可知当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，列出方程即可解决问题．【解析】解：(1)如图2中，①当E在线段AC上时，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．∵BA平分∠MAN，∴BG＝BH，∵S△ADB：S△BEC＝2：1，AD＝t，AE＝2t，∴•t•BG：•(6﹣2t)•BH＝2：1，∴t＝s．②当点E运动到AC延长线上，同法可得t＝4时，也满足条件，∴当t＝s或4s时，满足S△ADB：S△BEC＝2：1．(2)存在．∵BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，∴当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，∴t＝6﹣2t，∴t＝2s，∴t＝2s时，△ADB≌△CEB．当D在MA延长线上时，2t﹣6＝t，t＝6s，综上所述，满足条件的t的值为2s或6s．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．。

专题02 全等三角形(解析版)

专题02全等三角形思维导图核心考点聚焦1、全等图形2、全等三角形的性质3、全等三角形的判定方法4、添加条件使三角形全等5、全等三角形的应用6、全等三角形与动点问题7、角平分线的性质与判定8、倍长中线模型9、证明线段和差问题10、常见的辅助线一、全等三角形的定义和基本性质1.基本定义（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2．寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：（1）图形特征法：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角．（2）位置关系法：①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．（3）字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．3．全等三角形的性质及应用①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等；④全等三角形的周长相等，面积相等．二、三角形全等的判定方法及思路1．全等三角形的判定方法：“边边边”定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．“边角边”定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．“角边角”定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．“角角边”定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．“斜边、直角边”定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．2．全等三角形的证明思路：SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找一角的对边ì®ìïï®íïïï®îïï®®ìïï®ìïïííï®íïïïïï®îîïï®ìïí®ïîïî三、角平分线的性质1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等．注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等．2.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线．一、全等的几种模型（1）平移型（2）对称型（3）旋转型二、常见的几种添加辅助线构造全等三角形的方法1．倍长中线法倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长.如图：已知：在三角形ABC 中，O 为BC 边中点，辅助线：延长AO 到点D 使AO ＝DO ，结论：△AOB ≌△DOC.证明：如图，延长AO 到点D 使AO ＝DO ，由中点可知，OB ＝OC ，在△AOB和△DOC 中，OA OD AOB DOC OB OC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AOB ≌△DOC .总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS 的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的．2．截长或补短（含有线段－关系或求证两线间关系时常用）．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．基本图形，如下：在ABC △中，,AB AC AM >平分BACÐ（1）在AB 上截取AD AC =；（2）把AC 延长到点E ，使AB AE =.考点剖析考点一、全等图形例1．如图1，把大小为44´的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把44´的正方形网格分割成两个全等形．【解析】∵要求分成全等的两块，∴每块图形要包含有8个小正方形．考点二、全等三角形的性质例2．如图，A，E，C三点在同一直线上，且ABC DAE△≌△．=+；(1)求证：DE CE BC∥？并证明你的猜想．(2)猜想：当ADEV满足什么条件时DE BC【解析】（1）解：∵ABC DAE△≌△，∴BC AE=，=，AC DE∴DE AC CE AE CE BC ==+=+；（2）解：猜想，90AED Ð=°时，DE BC ∥，∵ABC DAE △≌△，∴AED BCA Ð=Ð，∵DE BC ∥，∴BCE DEC Ð=Ð，∴DEC AED Ð=Ð，又180DEC AED Ð+Ð=°，∴90AED Ð=°，∴当ADE V 是直角三角形，且90AED Ð=°时，DE BC ∥．考点三、全等三角形的判定方法例3．如图，点C ，E ，F ，B在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，AB CD ∥，AE DF =，A D Ð=Ð．(1)请判断AB 和CD 的数量关系，并说明理由；(2)若AB CF =，40B Ð=°，求D Ð的度数．【解析】（1）证明：∵AB CD ∥，∴B C Ð=Ð．在ABE △和DCF △中，∵A D B C AE DF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ABE △≌DCF △，∴AB CD =．（2）解：∵ABE △≌DCF △，∴AB CD =，BE CF =，B C Ð=Ð，∵40B Ð=°，例4．如图，已知,AB ED CD BF =∥.(1)现要从如下条件中再添加一个①AC EF =；②AB DE =；③A E Ð=Ð；④DF CB =得到ABC EDF △≌△．你添加的条件是：________．（填序号）(2)选择（1）中的一种情况进行证明．【解析】（1）解：②或③（任选一个填即可）（2）选择②证明：CD BF =Q ，CD CF BF CF \+=+，DF CB \=，∥AB ED Q ，B D \Ð=Ð，\在ABC △和EDF △中，AB DE B D DF CB =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ABC EDF \△≌△；选择③证明：CD BF =Q ，CD CF BF CF \+=+，DF CB \=，∥AB ED Q ，B D \Ð=Ð，\在ABC △和EDF △中，A E B D DF CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS ABC EDF \△≌△.考点五、全等三角形的应用(1)当D 点在伞柄AP 上滑动时，处于同一平面的两条伞骨BD 和CD 相等吗？请说明理由．例6．如图，已知ABC △中，B C Ð=Ð，8AB =厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上以每秒a 厘米的速度由C 点向A 点运动，设运动时间为(t 秒)(03)t £<．(1)用含t 的代数式表示(2)若点P 、Q 的运动速度相等，经过(3)若点P 、Q 的运动速度不相等，当点【解析】（1）解：由题意得：则62PC t =-；（2）解：CQP △≌(1)将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点别为E、(F如图①)，则PE(2)把三角尺绕着点P旋转(如图②想PE与PF的大小关系，并说明理由．Ð【解析】（1）解：∵OC平分AOB\=，PE PF考点八、倍长中线模型例8．（1）在ABC △中，46AB AC==，，AD 是BC 边上的中线，则中线AD 长范围为___________；（2）如图，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，点E F ，分别在AB AC ，上，且DE DF ^，求证：BE CF EF +>．【解析】（1）如图，延长AD 至G ，使DG AD =，连接BG ，，则2AG AD =，Q AD 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC △和GDB △中，CD BD ADC GDB AD GD =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌ADC GDB \△△，6BG AC \==，BG AB AG BG AB -<<+Q ，6464AG \-<<+，即210AG <<，2210AD \<<，15AD \<<，故答案为：15AD <<；（2）证明：如图，延长ED 至H 使ED DH =，连接CH ，FH ，，在BDE △和CDH △中，CD BD BDE CDH ED HD =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌BDE CDH \△△，BE CH \=，DE DF ^Q ，=ED HD ，EF HF \=，CF CH FH +>Q ，CF BE EF \+>．考点九、证明线段和差问题例9．如图所示，在ABC △，100A Ð=°，40ABC BD Ð=°，平分ABC Ð交AC 于点D ，延长BD 至点E ，使ED AD =，连接CE ．求证：BC AB CE =+．【解析】证明：如图所示，在BC 上取一点F 使得BF AB =，连接DF ，∵100A Ð=°，40ABC Ð=°，∴40ABC ACB Ð=Ð=°，∵BD 是ABC △的角平分线，∴20ABD FBD Ð=Ð=°，在ABD △和FBD △中，AB FB ABD FBD BD BD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ≌ABD FBD △△，∴ADB FDB AD DF ==∠∠，，又∵AD ED ADB EDC ==，∠∠，∴1801002060ADB FDB CDE Ð=Ð=Ð=°-°-°=°，FD ED =，∴18060FDC ADB FDB EDC =°--=°=∠∠∠∠，在CDE △和CDF △中，ED FD CDE CDF CD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS CDE CDF △≌△，∴CE CF =，∴BC BF CF AB CE =+=+.考点十、常见的辅助线例10．如图，△ABC 中，AB =AC ,在AB 上取一点E ，在AC 的延长线上取一点F ，使CF =BE ,连接EF ，交BC 于点D ．求证：DE =DF ．【解析】证明：作FH P AB 交BC 延长线于H ，∵FH P AB ，∴∠FHC =∠B ，∠BED =∠HFD ．又∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ．又∠ACB =∠FCH ，∴∠FHC =∠FCH ．∴CF =HF ．又∵BE =CF ，∴HF =BE ．在△DBE 和△DHF 中，,B FHC BE HFBED HFD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△DBE ≌△DHF （ASA ）．∴DE =DF ．过关检测一、选择题1．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA ¢、BB ¢的中点，只要量出A B¢¢的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（）A ．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等B ．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等C ．三边分别相等的两个三角形全等D ．两点之间线段最短【答案】B【解析】Q 点O 为AA ¢、BB ¢的中点，OA OA \¢=，OB OB ¢=，由对顶角相等得AOB A OB ¢¢Ð=Ð，在AOB △和A OB ¢¢△中，OA OA AOB A OB OB OB ¢¢=ìïÐ=Ð¢¢íï=î，(SAS)≌AOB A OB ¢\¢△△，AB A B ¢\=¢，即只要量出A B ¢¢的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度，故选B ．2．如图，AOB ADC △≌△，90O D Ð=Ð=°，70OAD Ð=°，当AO BC ∥时，则ABO Ð度数为（）A ．35°B ．40°C ．45°D ．55°【答案】A 【解析】∵AOB ADC △≌△，∴AB AC =，BAO CAD Ð=Ð，∴A ABC CB =Ð∠，设ABC ACB x Ð=Ð=，∵BC OA ∥，∴ABC BAO CAD x Ð=Ð=Ð=，180ACB CAO Ð+Ð=°，∴180ACB CAD OAD Ð+Ð+Ð=°，∵70OAD Ð=°，∴70180x x ++°=°，解得：55x =°，∴55BAO Ð=°，∵90AOB Ð=°，∴905535ABO Ð=°-°=°．故选A ．3．如图，点A ，C ，B ，D 在同一条直线上，已知：CE DF =，ACE BDF Ð=Ð，下列条件中不能判定△≌△ACE BDF 的是A ．E FÐ=ÐB ．AC BD =C ．AE BF =D ．∥AE BF【答案】C 【解析】A 、符合全等三角形的判定定理ASA ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意；B 、符合全等三角形的判定定理SAS ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意；C 、不符合全等三角形的判定定理，SSA 不能推出△≌△ACE BDF ，故本选项符合题意；D 、因为∥AE BF ，所以A FBD Ð=Ð，所以符合全等三角形的判定定理AAS ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意．故选C ．4．如图，在△ABC 中，AC BC =，90ACB Ð=°，AD 平分BAC Ð，BE AD ^交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =；其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】,90BC AC ACB =Ð=°Q ，45CAB ABC \Ð=Ð=°，AD Q 平分BAC Ð，22.5BAE EAF \Ð=Ð=°，Q 在Rt ACD △与Rt BFC △中，90,90EAF F FBC F Ð+Ð=°Ð+Ð=°，EAF FBC \Ð=Ð，BC AC EAF FBC BCF ACD =Ð=ÐÐ=ÐQ ，，，∴Rt Rt ≌ADC BFC △△，AD BF \=，故①正确．②Q ①中Rt Rt ≌ADC BFC △△，CF CD \=，故②正确．③Q ①中Rt Rt ≌ADC BFC△△,CF CD AC CD AC CF AF \=+=+=，22.5CBF EAF Ð=Ð=°Q ，\在Rt AEF △中，9067.5F EAF Ð=°-Ð=°，45CAB Ð=°Q ，18018067.54567.5ABF F CAB \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，ABE AFE \≌△△，A ．1个B ．2个【答案】D 【解析】①ABC ÐQ 和ACB Ð的平分线相交于点EBO CBO \Ð=Ð，BCO FCO Ð=Ð∵EF BC ∥，Q 点O 是ABC △的内心，OD 1122AEF S AE OD AF \=×+×△1()2AE AF OD =+×【答案】135【解析】如图，连接AD 、BD由图可知，在DFB △和BEC △90DF BE DFB BEC FB EC =ìïÐ=Ð=°íï=î，【答案】AD AB =或3=Ð【解析】AC Q 平分DAB Ð12\Ð=Ð，又AC AC =Q ，【答案】7【解析】∵EF AB ^，∴90FEB Ð=°，∵BF AC ^，∴90ADB Ð=°，∴90F FBE Ð+Ð=°，A Ð+【答案】15° 6【解析】（1）Q 90AEC Ð=90BED DFC \Ð=Ð=°，在Rt BDE △和Rt CDF △中，【解析】设经过xQ厘米，点==AB AC24\=厘米，12BDQABC ACBÐ=Ð\要使BPD △与CQP V 全等，必须BD CP =或BP CP =，即12164x =-或4164x x =-，解得：1x =或2x =，1x =时，4BP CQ ==，414¸=；2x =时，12BD CQ ==，1226¸=；即点Q 的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒，故答案为：4或6.三、解答题11．如图，在ABC △中，AB AC =，D 为BC 上一点，DE AB ^，DF AC ^，垂足分别为E 、F ，且DE DF =．请选择一对你认为全等的三角形并加以证明．(1)你选择的是：△__________△≌__________；(2) 根据你的选择，请写出证明过程．【解析】（1）解：根据图形和已知条件，选择证明的全等三角形为AED AFD V V ≌，故答案为：AED ，AFD （答案不唯一）；（2）证明：DE AB ∵⊥，DF AC ^，AED \△和AFD △是直角三角形，在Rt AED △和Rt AFD △中，AD AD DE DF =ìí=î，()Rt Rt HL ≌AED AFD \△△．12．如图，点D E 、分别在线段,AB AC 上，AE AD =，不添加新的线段和字母，从下列条件①B C Ð=Ð，②BE CD =，③AB AC =，④ADC AEB Ð=Ð中选择一个使得≌ABE ACD △△．(1)你选择的一个条件是_____________（填写序号）(2)根据你的选择，请写出证明过程．【解析】（1）解：∵AE AD =，A A Ð=Ð，可以利用SAS,AAS,ASA 三种方法证明≌ABE ACD △△；故可以选择的条件可以是：①或③或④（2）选择①：在ABE △和ACD △中，A ABC AE AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS ≌ABE ACD △△；选择③在ABE △和ACD △中，AB AC A A AE AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ≌ABE ACD △△；选择④在ABE △和ACD △中，ADC AEB AE ADA A Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ABE ACD △≌△．13．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AB 的两侧，且AE BF =，A B Ð=Ð，ACE BDF Ð=Ð．(1)求证：ADE BCF △△≌．(2)若8AB =，2AC =，求CD 的长．【解析】（1）证明：在ACE △和BDF V 中，A B ACE BDF AE BF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS ACE BDF \≌△△．AC BD \=．AD BC \=．在ADE V 和BCF △中AE BF A B AD BC =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌ADE BCF \△△．（2）由（1）知ACE BDF V V ≌，2BD AC \==，8AB =Q ，4CD AB AC BD \=--=，故CD 的长为4．14．如图，ABC △的外角DAC Ð的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD AB ^于D ，PE AC ^于E ，连接BP ，CP ．(1)求证：BD CE =；(2)若6cm AB =，10cm AC =，直接写出AD 的长为______．【解析】（1）证明：Q 点P 在BC 的垂直平分线上，BP CP \=，AP Q 是DAC Ð的平分线，DP EP \=，在Rt BDP △和Rt CEP △中，BP CP DP EP =ìí=î，(1)【探究发现】图1中AC 与BM 的数量关系是 (2)【初步应用】如图2，在ABC △中，若12AB =(3)【探究提升】如图3，AD 是ABC △的中线，过点AF AC =，延长DA 交EF 于点P ，判断线段EF 与由（1）可知，(SAS)≌MDB ADC △△，8BM AC \==，在ABM △中，AB BM AM AB BM -<<+，128128AM \-<<+，即4220AD <<，210AD \<<，即BC 边上的中线AD 的取值范围为210AD <<；（3）2EF AD =，EF AD ^，理由如下：如图3，延长AD 到M ，使得DM AD =，连接BM ，由（1）可知，(SAS)BDM CDA △≌△，BM AC \=，AC AF =Q ，BM AF \=，由（2）可知，AC BM ∥，180BAC ABM \Ð+Ð=°，AE AB ^Q 、AF AC ^，90BAE FAC \Ð=Ð=°，180BAC EAF \Ð+Ð=°，ABM EAF \Ð=Ð，在ABM △和EAF △中，AB EA ABM EAF BM AF =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)ABM EAF \△≌△，AM EF \=，BAM E Ð=Ð，AD DM =Q ，2AM AD \=，2EF AD \=，EAM BAM BAE E APE Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，90APE BAE \Ð=Ð=°，EF AD \^．。

2024-2025学年度八年级数学上册探索三角形全等的条件(HL)专项练习[含答案]

2024-2025学年度八年级数学上册探索三角形全等的条件（HL ）专项练习一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（八年级下·山西晋中·期中）如图，已知，，若用“”判定和AB AC ⊥CD AC ⊥HL Rt ABC △全等，则需要添加的条件是（）Rt CDA △A ．B ．C ．D ．B D ∠=∠ACB CAD ∠=∠AB CD =AD CB=2．（八年级上·湖北随州·期末）如图，于P ，，添加下列一个条件，能利用“”AC BD ⊥AP CP =HL 判定的条件是（）ABP CDP △≌△A ．B ．与互余C ．D ．AB CD B ∠C ∠BP DP =AB CD =3．（八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在和中，，，ABC CDE 90ACB CED ∠=∠=︒AB CD =，则下列结论不一定成立的是（）BC DE =A ．B ．C ．D ．ABC CDE △△≌CE BE =AB CD ⊥CAB ECD=∠∠4．（八年级上·江西抚州·期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知，AC DF AB DE ==，则这两个滑梯与地面夹角与的度数和是（）ABC ∠DFE ∠A ．B ．C ．D ．60︒90︒120︒150︒5．（八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水AC 平方向的长度相等，若，则（）DF 32CBA ∠=︒EFD ∠=A ．B ．C ．D ．42︒58︒52︒48︒6．（20-21八年级上·天津红桥·期中）如图，△ABC 中，点D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC ，且BD =FC ，BE =DC ，∠AFD =155°，则∠EDF 的度数是（）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°7．（八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为，是上一点，且，EC BD ⊥C A EC AC CD =．若，，则的长为（）AB DE = 3.5AC =9BD =AEA ．2B ．2.5C ．3D ．5.58．（八年级上·河北张家口·期中）如图，，，，，则CD AD ⊥CB AB ⊥CD CB =100BCD ∠=︒（）BAC ∠=A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°9．（14-15八年级上·江苏盐城·课后作业）如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在AB 上，BC =BD ，DE ⊥AB 交AC 于点E ，△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．610．（八年级下·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线ABC BD CE O OD OE =AO 交于点，则图中共有全等的直角三角形（）BC MA ．3对B ．4对C ．5对D ．6对二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，分别是边上的高，已知ABC AD BE 、BC AC 、；若，则的度数为．AE BD =60CAB ∠=︒CBE ∠12．（八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，，点在上，，ABC 90C ∠=︒D AB BC BD =交于点，的周长为，的周长为，则边的长为．DE AB ⊥AC E ABC 12cm ADE 6cm BC cm13．（八年级上·河北保定·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯AC水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的数量关系是．DF ABC ∠DFE ∠14．（八年级上·新疆伊犁·期中）如图，于E ，于F ，若，，则下DE AB ⊥DF AC ⊥BD CD =BE CF =列结论：①；②平分；③；④，中正确的是．DE DF =AD BAC ∠AE AD =2AC AB BE -=15．（八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，E 是的中点，平分，90B C ∠=∠=︒BC DE ADC ∠，则．35CED ∠=︒EAB ∠=16．（八年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，在四边形中，、为对角线，且，ABCD AC BD AC AB =，于点．若，，则的长度为．ACD ABD ∠=∠AE BD ⊥E 3BD =2CD =DE17．（18-19七年级下·黑龙江·期末）如图，为的中线，点在的延长线上，连接，CD ABC E DC BE 且，过点作于点，连接，若，，则的长为．BE AC =B BH CD ⊥H AH CE BH =18ABH S = DH18．（七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，垂足为D ，E 为外一点，连接ABC BD AC ⊥ABC ，且，．若，则的长为．BE CE ，AB BE =180BAD BEC ∠+∠=︒4,3CD CE ==AC三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（八年级上·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，ABC D BC DE AB ⊥E 于点，且．求证：．完成下面的证明过程．DF AC ⊥F BE CF =B C ∠=∠证明：，，DE AB ∵∵DF AC ⊥__________．BED ∴∠=90=︒是的中点，D BC __________，BD ∴=又，BE CF = __________．Rt RtBDE CDF ∴△≌△．B C ∴∠=∠20．（8分）（八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，相交于点O ，，AD BC ，AD BC =．90C D ∠=∠=︒（1）求证：；ACB BDA △≌△（2）若，求的度数．28ABC ∠=︒CAO ∠21．（10分）（八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，，点在边的延长ABC 108ACB ∠=︒D BC 线上，连接，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．AD ABC ∠AD E E EH BD ⊥H 54CEH ∠=︒（1）求的度数；ACE ∠（2）请判断是否平分，并说明理由．AE CAF ∠22．（10分）（八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，在的上方作ABC 90CAB ∠=︒BC ，使，且，与交于点，连接．BDC BD CD ==90BDC ∠︒AC BD E AD （1）若平分，求证：．CA BCD ∠2CE AB =（2）求的度数．DAC ∠23．（10分）（21-22八年级上·山东聊城·期末）如图，在△ABC 中∠ABC =45°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AD 上的一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于点F ，连接FD ．（1）求证：△BED ≌△ACD ；（2）若FC =c ，FB =b ，求的值．(用含a ，b 的式子表示)FCDFBD S S ∆∆24．（12分）（20-21七年级下·辽宁朝阳·期末）已知：两个等腰直角三角板△ACB 和△DCE （AC ＝BC ，DC ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°）如图所示摆放，连接AE 、BD 交于点O ．AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N ．（1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断AE 与BD 有何关系并说明理由；（2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即AC ＝DC ），在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．参考答案：1．D【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，根据垂直定义得出，根据90BAC DCA ∠=∠=︒图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等，能熟记全AC HL 等三角形的判定定理是解题的关键．【详解】解：∵，，AB AC ⊥CD AC ⊥∴，90BAC DCA ∠=∠=︒在和中，Rt ABC △Rt CDA △，AC CA AD CB =⎧⎨=⎩∴，()Rt Rt HL ABC CDA ≌故选：．D 2．D【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“”是解答本题的关键．根据“”所需HL HL 的条件分析即可．【详解】解：∵，AC BD ⊥∴，90APB CPD ∠=∠=︒∵，AP CP =∴要利用“”判定的条件是．HL ABP CDP △≌△AB CD =故选D ．3．B【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．首先证明，推出，，由，推出ABC CDE △△≌,CE AC D B =∠=∠CAB ECD =∠∠90D DCE ∠+∠=︒，推出，即可一一判断．B ∠+90DCE ∠=︒CD AB ⊥【详解】解：在和中，Rt ABC Rt CDE AB CD BC DE=⎧⎨=⎩,ABC CDE ∴ ≌，,,CE AC D B ∴=∠=∠CAB ECD =∠∠90,D DCE ∠+∠=︒ 90,B DCE ∴∠+∠=︒,CD AB ∴⊥故A 、C 、D 正确，故选：B ．4．B【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用证明HL 得到，由可得．Rt Rt ABC ADEF △≌△2314∠=∠∠=∠，3490∠+∠=°90∠+∠=︒ABC DFE 【详解】解：由题意得，，90BAC EDF ∠=∠=︒∵，BC EF AC DF ==，∴，()Rt Rt HL ABC ADEF △≌△∴，2314∠=∠∠=∠，∵，3490∠+∠=°∴，即．2490∠+∠=︒90∠+∠=︒ABC DFE 故选：B．5．B【分析】先根据证明，再根据全等三角形的性质得出，最HL Rt Rt ABC DEF △≌△32CBA DEF ∠=∠=︒后根据直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：在和中，Rt ABC △Rt DEF △，BC EF AC DF =⎧⎨=⎩∴，()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△∴，32CBA DEF ∠=∠=︒∴，9058EFD DEF ∠=︒-∠=︒故选：B ．【点拨】本题主要考查了用证明三角形全等，解题的关键掌握有一条直角和斜边相等的两个直角三角HL 形全等．6．D【分析】证明Rt △FDC ≌Rt △DEB （HL ），由全等三角形的性质得出∠DFC ＝∠EDB ＝25°，即可得出答案．【详解】解：∵∠AFD ＝155°，∴∠DFC ＝25°，∵DF ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠FDC ＝∠DEB ＝90°，在Rt △FDC 和Rt △DEB 中，，CF BD CD BE =⎧⎨=⎩∴Rt △FDC ≌Rt △DEB （HL ），∴∠DFC ＝∠EDB ＝25°，∴∠EDF ＝180°−∠BDE −∠FDC ＝180°−25°−90°＝65°．故选：D ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．7．A【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意，利用直角三角形全等的判定定理得到，求出相关线段长度，由图中线段关系表示出，代值求()Rt Rt HL EDC BAC ≌EA EC AC BC AC =-=-解即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．【详解】解：，3.5AC = ，∴ 3.5CD AC ==，EC BD ⊥，ECD BCA ∴∠=∠在和中，Rt EDC Rt BAC AC CD AB ED=⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EDC BAC ≌，EC BC ∴=，9 3.5 5.5BC BD CD BD AC =-=-=-= ，5.5 3.52EA EC AC BC AC ∴=-=-=-=故选：A ．8．B【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形中两个锐角互余，根据条件证明出两个直角三角形全等是解题的关键．【详解】解：，，CD AD ⊥ CB AB ⊥，90ADC ABC ∴∠=∠=︒在和中，Rt ADC Rt ABC ，CD CB AC AC =⎧⎨=⎩，()Rt ADC Rt ABC HL ∴ ≌，ACD ACB ∴∠=∠，100BCD ∠=︒ ，111005022ACB BCD ∴∠=∠=⨯︒=︒．90905040BAC ACB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故选：B ．9．A【分析】先根据角平分线的性质得到ED ＝EC ，再证明Rt △BED ≌Rt △BEC 得到DE ＝CE ，接着利用三角形周长和等线段代换得到AD ＋AC ＋2BC ＝12和AD ＋AC ＝6，所以6＋2BC ＝12，从而得到BC 的长．【详解】解：连接BE，∵DE ⊥AB∴∠BDE =90°，在Rt △BED 和Rt △BEC 中，，BE BE BD BC =⎧⎨=⎩∴Rt △BED ≌Rt △BEC （HL ），∴DE ＝CE ，∵△ABC 的周长为12，∴AB ＋AC ＋BC ＝12，即AD ＋AC ＋2BC ＝12，∵△ADE 的周长为6，∴AD ＋DE ＋AE ＝6，即AD ＋EC ＋AE ＝6，∴AD ＋AC ＝6，∴6＋2BC ＝12，∴BC ＝3．故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握HL 证明全等是解答此题的关键．10．D【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键．SSS SAS ASA AAS HL 、、、、，，利用全等ADO AEO ≌,,,,DOC EOB COM BOM ACM ABM ADB AEC BCE CBD ≌≌≌≌≌三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【详解】解：，ADO AEO ≌．理由如下：,,,,DOC EOB COM BOM ACM ABM ADB AEC BCE CBD ≌≌≌≌≌在与中，，ADO AEO 90ADO AEO ∠∠==︒，OA OA OD OE =⎧⎨=⎩∴，()ADO AEO HL ≌∴，,DAO EAO AD AE ∠∠==在与中，DOC EOB90ODC OEB OD OE DOC EOB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴，()DOC EOB ASA ≌∴，,DC EB OC OB ==∴，即，DC AD EB AE +=+AC AB =∵，DAO EAO ∠∠=∴．AM BC CM BM ⊥=，在与中，，COM BOM 90OMC OMB ∠∠==︒，OC OB OM OM =⎧⎨=⎩∴．()COM BOM HL ≌在与中，，ACM ABM 90AMC AMB ∠∠==︒，AC AB AM AM =⎧⎨=⎩∴．()ACM ABM HL ≌在与中，ADB AEC ，AD AE DAB EACAB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴．()ADB AEC SAS ≌在与中，，BCE CBD 90BEC CDB ∠∠==︒BC CB BE CD=⎧⎨=⎩∴．()BCE CBD HL ≌故选：D11．/度30︒30【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解．AEB BDA ≌△△【详解】解：∵分别是边上的高，AD BE 、BC AC 、∴90AEB BDA ∠=∠=︒∵，60CAB ∠=︒∴30EBA ∠=︒∵，AE BD =AB BA=∴()Rt AEB Rt BDA HL ≌∴，60DBA EAB ∠=∠=︒∴30CBE DBA EBA ∠=∠-∠=︒故答案为：30︒12．3【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，连接，利用证明BE HL 得到，根据三角形周长公式推出，再由Rt Rt EBC EBD △≌△CE DE =6cm AD AC +=，可得．12cm BC BD AD AC +++=3cm BC =【详解】解：如图所示，连接，BE ∵，，DE AB ⊥90C ∠=︒∴，90C BDE ∠=∠=︒在和中，Rt EBC Rt EBD △，BC BD BE BE =⎧⎨=⎩∴，()Rt Rt HL EBC EBD △≌△∴，CE DE =∵的周长为，的周长为，ABC 12cm ADE 6cm ∴，12cm 6cm AB AC BC AD DE AE ++=++=，∴，即，6cm AD AE CE ++=6cm AD AC +=∵，12cm BC BD AD AC +++=∴，26cm 12cm BC +=∴，3cm BC =故答案为：3．13．90∠+∠=︒ABC DFE 【分析】由条件信息可得，与均是直角三角形，由已知可根据判定两三角形全等，再根ABC DEF HL 据全等三角形的对应角相等，不难求解．【详解】解：，证明如下：90∠+∠=︒ABC DFE 由题意可得：与均是直角三角形，且．ABC DEF BC EF AC DF ==，在和中，Rt ABC △Rt DEF △ ，BC EF AC DF =⎧⎨=⎩∴，()Rt Rt HL ABC DEF ≌ ∴，ABC DEF ∠=∠∵，90DEF DFE ∠+∠=︒∴．90∠+∠=︒ABC DFE 故答案为：90∠+∠=︒ABC DFE 【点拨】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．14．①②④【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明全等，根据全等三角形HL Rt Rt BED CFD △≌△对应边相等可得，再证明，判断出平分，可得，DE DF =()Rt Rt HL AED AFD ≌△△AD BAC ∠AE AF =再根据图形即可得到．2AC AB BE -=【详解】解：∵，DE AB ⊥DF AC⊥∴，90E DFC ∠=∠=︒又∵，，BD CD =BE CF =∴，()Rt Rt HL BED CFD ≌∴，①正确，符合题意；DE DF =又∵，，90E DFC ∠=∠=︒AD AD =∴，()Rt Rt HL AED AFD ≌△△∴，，即平分，②正确，符合题意；AE AF =∠∠E A D FA D =AD BAC ∠∴，④正确，符合题意；2AC AB BE CF BE -=+=在中，，∴，③错误，不符合题意；Rt ADE △90E ∠=︒AD AE >综上所述，正确的是①②④．故答案为：①②④．15．35︒【分析】过点E 作，垂足为F ．由三角形的内角和定理求得，由角平分线的定义可EF AD ⊥55CDE ∠=︒知，由平行线的判定定理可知，由平行线的性质可求得，由角平分线110CDA ∠=︒AB CD ∥70DAB ∠=︒的性质可知，则，根据可证明，从而得到EF EC =EF BE =HL Rt Rt AEF AEB ≌ ．1352EAB DAB ∠=∠=︒【详解】解：过点E 作，垂足为F ．EF AD ⊥∵，9035C CED ∠=︒∠=︒，∴．55CDE ∠=︒∵平分，DE ADC ∠∴．55EDF ∠=︒∴．110CDA ∠=︒∵，90B C ∠=∠=︒∴．AB CD ∥∴．180CDA DAB ∠+∠=︒∴．70DAB ∠=︒∵平分，，DE CDA ∠EF AD EC DC ⊥⊥，∴．EF EC =∵E 是的中点，BC∴．EF BE =在和中，Rt AEF Rt AEB ，EF BE AE AE =⎧⎨=⎩∴．Rt Rt AEF AEB ≌ ∴．EAF EAB ∠=∠∴．11703522EAB DAB ∠=∠=⨯︒=︒故选答案为．35︒【点拨】本题主要考查的是角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，由角平分线的性质证得是解题的关键．EF EC =16．12【分析】过点A 作交的延长线于点F ，根据证明，得到，AF CD ⊥CD AAS AFC AEB ≌△△AF AE =，再根据证明，得到，最后根据线段的和差即可求解．CF BE =HL Rt Rt AFD AED ≌ DF DE =【详解】解：过点A 作交的延长线于点F ，AF CD ⊥CD，90AFC ∴∠=︒，AE BD ⊥ ，90AFC AED AEB ∴∠=∠=∠=︒在和中，AFC △AEB ∵，90AFC AEB ABE ACDAC AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS AFC AEB ∴≌ ∴，，AF AE =CF BE =在和中，Rt AFD △Rt AED △，AF AE AD AD =⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL AFD AED ∴≌ ，DF DE ∴=，，，CF CD DF =+ BE BD DE =-CF BE =，CD DF BD DE ∴+=-，2DE BD CD ∴=-，，3BD = 2CD =，21DE ∴=，12DE ∴=故答案为：．12【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．17．3【分析】过点作于点，证明，，得出，A AF EF ⊥F ()AAS ADF BDH ≌Rt Rt (HL)CAF EBH ≌2BH HD DF DH =+=再由为的中线及，根据的面积列出关于的方程，求解即可．CD ABC BH CD ⊥BHD S HD 【详解】解：如图，过点作于点A AFEF ⊥F为的中线，CD ABC BH CD⊥，AD BD ∴=90AFD BHD ∠=∠=︒又ADF BDH∠=∠()AAS ADF BDH ∴ ≌，AF BH ∴=FD HD=在和中Rt CAF △Rt EBH △AF BH AC BE=⎧⎨=⎩Rt Rt (HL)CAF EBH ∴ ≌EH CF∴=，即EH CH CF CH ∴-=-EC HF=，，BH EC = EC HF HD DF ==+HD DF=2BH HD DF DH∴=+=为的中线，CD ABC BH CD ⊥1118922BHD ABH S S ∴==⨯= 又11222BHD S HD HB HD HD ==⨯ ∴1292HD HD ⨯=解得：3HD =故答案为：3．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等底同高三角形的面积关系及直角三角形的面积公式，属于中档题．18．5【分析】如图，过作的延长线于，证明，则，，证B BF CE ⊥F ()AAS ABD EBF ≌AD EF =BD BF =明，则，，，根据，计算求()Rt Rt HL BCD BCF ≌4CF CD ==1EF CF CE =-=1AD =AC AD CD =+解即可．【详解】解：如图，过作的延长线于，B BF CE ⊥F∵，，180BAD BEC ∠+∠=︒180BEF BEC ∠+∠=︒∴，BAD BEF ∠=∠∵，，，BAD BEF ∠=∠90ADB EFB ∠=∠=︒AB BE =∴，()AAS ABD EBF ≌∴，，AD EF =BD BF =∵，，BD BF =BC BC =∴，()Rt Rt HL BCD BCF ≌∴，4CF CD ==∴，，1EF CF CE =-=1AD =∴，5AC AD CD =+=故答案为：5．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．19．，，CFD ∠CD ()HL 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明，得出即()Rt Rt HL BDE CDF △≌△B C ∠=∠可．证明三角形全等是解题的关键．【详解】解：，，DE AB ∵∵DF AC ⊥90BED CFD ∴∠=∠=︒是的中点，D BC BD CD∴=又，BE CF = ()Rt Rt HL BDE CDF ∴ ≌．B C ∴∠=∠20．(1)见详解(2)34CAO ∠=︒【分析】（1）由“”可证；HL Rt ACB Rt BDA ≌（2）由全等三角形的性质可得，即可求解．BAD ABC ∠=∠=28︒【详解】（1）证明：∵，90C D ∠=∠=︒∴和都是直角三角形，ACB △BDA △在和中，Rt ACB Rt BDA ，,AD BC AB BA ==AD BC AB BA=⎧⎨=⎩∴；()Rt ACB Rt BDA HL ≌（2）在中，Rt ACB ∵，28ABC ∠=︒902862,CAB ∴∠=︒-︒=︒由（1）可知，ACB BDA △≌△28,BAD ABC ∴∠=∠=︒622834.CAO CAB BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键．ACB BDA △≌△21．(1)36ACE ∠=︒(2)平分，理由见解析AE CAF ∠【分析】（1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进ACD ∠36ECH ∠=︒而可求解；（2）过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质可证得E EM BF ⊥M EN AC ⊥N ，进而可证明结论．EM EN =【详解】（1），108ACB ∠=︒ ．18010872ACD ∴∠=︒-︒=︒，EH BD ⊥ ．90CHE ∴∠=︒，54CEH ∠=︒，905436ECH ∴∠=︒-︒=︒；723636ACE ∴∠=︒-︒=︒（2）平分AE CAF∠理由：如图，过点分别作于点，于点E EM BF ⊥M EN AC ⊥N平分BE ABC∠FBE DBE∴∠=∠,,EM BF EH BD EN AC⊥⊥⊥ 90CHE ENA EMB ∴∠=∠=∠=︒在和中EMB EHB 90CHE EMB BE EBFBE DBE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（AAS ）EMB EHB ∴ ≌EM EH∴=36ACE ECH ∠=∠=︒同理可得：∴EN EH=EM EN∴=在和中，NAE MAE 90EM EN EMA ENA AE EA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩（HL ）NAE MAE ∴ ≌AEN AEM∴∠=∠平分．AE ∴CAF∠【点拨】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．22．(1)见解析(2)45︒【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质，（1）延长，交于点，由题意得，有，由垂直得，证得BA CD F CAB CAF ≌AB AF =DBF DCE ∠=∠，有即可证明结论；BDF CDE ≌BF CE =（2）过点分别作于点，于点，有，得到，可得D DN BF ⊥N DM AC ⊥M DBNDCM △≌△DN DM =，即可求得角度．≌D A N D A M 【详解】（1）证明：延长，交于点，如图，BA CD F，，，BCA FCA ∠=∠ CA CA =90CAB CAF ∠=∠=︒，()ASA CAB CAF ∴ ≌，AB AF ∴=．2BF AB ∴=，，90DBF F ∠+∠=︒ 90DCE F ∠+∠=︒．DBF DCE ∴∠=∠，，90BDF CDE ∠=∠=︒ BD CD =，()ASA BDF CDE ∴ ≌，BF CE ∴=．2CE AB ∴=（2）解：过点分别作于点，于点，如图，D DN BF ⊥N DM AC ⊥M．90DNB DMC ∴∠=∠=︒，，DBN DCM ∠=∠ BD CD =，()AAS DBN DCM ∴ ≌，DN DM ∴=∵，DA DA =∴，()HL DAN DAM ≌．1452DAC DAF FAC ∴∠=∠=∠=︒23．(1)见解析(2)FCD FBD S c S b∆∆=【分析】（1）利用得，又BE =AC ，，因此可以通过HL45BAD ABC ==︒∠∠BD AD =90ADB ADC ∠=∠=︒定理证明；Rt Rt BED ACD ∆≅∆（2）作于点，作于点，由可得，利用DG BE ⊥G DH AC ⊥H BED ACD S S ∆∆=DG DH =即可求解．1212FCDFBD FC DH S S FB DG ∆∆⋅=⋅【详解】（1）证明：在△ABC 中∠ABC =45°，AD ⊥BC ，，，90ADB ADC ∴∠=∠=︒45BAD ABC ==︒∠∠，BD AD ∴=在和中，Rt BED ∆Rt ACD ∆，BD AD BE AC =⎧⎨=⎩，Rt ΔRt Δ()BED ACD HL ∴≅即．BED ACD ∆≅∆（2）解：如图所示，作DG ⊥BE 于点G ，作DH ⊥AC 于点H，由（1）知BED ACD∆≅∆，BED ACD S S ∆∆∴=，1122BE DG AC DH ∴⋅=⋅，BE AC = ，DG DH ∴=．1212FCDFBD FC DH S FC c S FB b FB DG ∆∆⋅∴===⋅【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是正确作出辅助线，由可得．BED ACD S S ∆∆=DG DH =24．（1）AE ＝BD 且AE ⊥BD ．理由见解析；（2）△ACB ≌△DCE ，△EMC ≌△BCN ，△AON ≌△DOM ，△AOB ≌△DOE【分析】（1）证明△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ，∠CEA ＝∠BDC ，由∠CME ＝∠DMO ，根据三角形内角和定理即可得∠DOM ＝∠ECM ＝90°，进而可证AE ⊥BD ．（2）根据三角形全等的判定找出相等边和角，进而找出全等三角形．【详解】解：（1）结论；AE ＝BD 且AE ⊥BD ．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ，∴∠ACB +∠DCA ＝∠DCE +∠DCA ，即∠DCB ＝∠ACE ，∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，在△ACE 与△BCD 中，，AC BC ACE DCBCD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ，∠CEA ＝∠BDC ，∵∠CME ＝∠DMO ，，∴180()180()CEA CME DMO BDC ︒-∠+∠=︒-∠+∠即∠DOM ＝∠ECM ＝90°，∴AE ⊥BD ，∴AE ＝BD 且AE ⊥BD ；（2）∵AC ＝DC ，∴AC ＝CD ＝EC ＝CB ，在△ACB 与△DCE 中，，AC DC ACB DCECB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACB ≌△DCE （SAS ）；由（1）可知：∠AEC ＝∠BDC ，∠EAC ＝∠DBC ，∴∠DOM ＝90°，∵∠AEC ＝∠CAE ＝∠CBD ，∴△EMC ≌△BCN （ASA ），∴CM ＝CN ，∴DM ＝AN ，∴△AON ≌△DOM （AAS ），∵DE ＝AB ，AO ＝DO ，∴△AOB ≌△DOE （HL ）．【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．。

专题02 全等三角形(专题详解)(解析版)

专题02 全等三角形专题详解专题02 全等三角形专题详解 (1)12.1 全等三角形 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 全等形的概念及性质 (2)知识点2 全等形的定义和表示方法 (2)知识点3 全等三角形的性质与拓展 (2)知识点4 全等变换的保形性 (2)12.2三角形全等的判定 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 全等三角形判定条件 (3)二、典型题型 (4)题型1 全等三角形的判定 (4)三、添加辅助线方法 (5)方法1 关于中点的辅助线 (5)方法2 作垂线构造全等求点的坐标 (12)方法3 截长补短法（往往需证2次全等） (14)12.3角平分线的性质 (17)知识框架 (17)一、基础知识点 (17)知识点1 角平分线的性质 (17)知识点2 角平分线的判定 (17)知识点3 三角形的内心和旁心 (17)二、典型题型 (17)题型1 角平分线的性质和定义的应用 (17)题型2 三角形内心的应用 (18)三、添加辅助线方法 (20)方法1 角平分线上的点向两边作垂线 (20)方法2 过边上的点向两边作垂线 (22)方法3 过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形 (24)方法4 利用角平分线的性质，在角两边截长补短 (25)12.1 全等三角形知识框架一、基础知识点知识点1 全等形的概念及性质1）全等形：能够完全重合的两个图形2）全等形的性质：①形状相同；②大小相同注：①全等图形与其所在的位置无关（只要通过平移、旋转、翻折后能够使两个图形完成重合即可）。

对称图形要求更苛刻些。

②因两图形完全相等，故图形所有对应条件都相同（例：周长、面积、对应角角度等皆相等）知识点2 全等形的定义和表示方法1）全等三角形：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形）2）表示方法：①△ABC≌△DEF（读作：三角形ABC全等于三角形DEF）②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位）③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得：a.点A与点D为对应顶点，点B与点E为对应顶点，点C与点F为对应顶点；b.∠A与∠D为对应角，∠B与∠E为对应角，∠C与∠F为对应角；c.AB与DE为对应边，AC与DF为对应边，BC与EF为对应边。

人教八上：专题二--全等三角形的性质与判定(含解析)

专题二全等三角形的性质与判定一、单选题1．下面四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（）．．23A．50°B．59°C．69°D．71°4．如图，点E、F在BC上，AB=CD，AF=DE，AF、DE相交于点G，添加下列哪一个条件，可使得△ABF≌△DCE（）A．∠B=∠C B．AG=DG C．∠AFE=∠DEF D．BE=CF5．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（）．A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS6．已知，如图所示的两个三角形全等，则∠1=（）A．72°B．60°C．48°D．50°7．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL8．如图，点E、F在BC上，AB=DC，∠B=∠C．添加一个条件后，不能证明△ABF≌△DCE，这个条件可能是（）A．∠A=∠D B．BE=CF C．BF=CE D．AF=ED9．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．72°B．60°C．58°D．50°10．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD11．如图，已知∠CAB=∠DBA，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△BAD，以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（）A．AC=BD B．CB=DA C．∠C=∠D D．∠ABC=∠BAD12．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB=∠A′O′B′的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS13．如图，AB=4厘米，BC=6厘米，∠B=∠C，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C 点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动．若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t的值是（）A．1B．1.5C．1或1.5D．1或214．已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（）A．50°B．54°C．60°D．76°15．如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A=∠D B．∠AFB=∠DEC C．AB=DC D．AF=DE16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，要使得△ABC≌△DEF，不能添加的条件是（）A．∠A=∠D B．AC=DF C．BE=CF D．AC∥DF17．已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的大小是（）A．64°B．65°C．51°D．55°18．如图，工人师傅设计了一种测量零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．其依据的数学基本据实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．等角对等边D．两点之间线段最短19．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点A(0,a)，B(b,0)，C(−4,4)，其中b<a<0，则a，b之间的数量关系是（）A．a+b=−4B．a−b=4C．a+b=−8D．a−b=820．用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS21．如图，点E、F在BC上，AB=DC，AF=DE，AF、DE相交于点G，要使得△ABF≌△DCE，添加下列哪一个条件（）A．∠B=∠C B．GE=GF C．∠AFE=∠DEF D．BF=CE 22．阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC,OD，使OC=OD；②③23A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 24．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°25．如图，已知∠CAB=∠DAB，则添加下列一个条件不一定能使△ABC≌△ABD的是（）A．BC=BD B．∠C=∠D C．AC=AD D．∠ABC=∠ABD26．已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A+∠D=90°B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠227．如图，已知ΔABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ΔABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题28．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB=AD，AC=AE，BC=DE，若∠1+∠2+∠3=96°，则∠3的度数为．29．如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，△ADE的周长为cm．30313233．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，AF=DE，BE=CF．求证：AB=DC．34．如图，OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB．求证：AB=CD．35．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M是BC边上的一点，且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,求证：(1)BM=MC；(2)AM⊥MD．36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过点P作PF⊥AD 交BC的延长线于点F，PF交AC于点H，求证：(1)△ABP≌△FBP；(2)AH=AB−BD．37．如图，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF，求证：AC＝DF．38．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB=OC．求证：∠1=∠2．39．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE，求证：AD=AE．40．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：△CDE≌△FAE．(2)连接BE，当BE⊥CF时，CD=3，AB=2，求BC的长．41．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE．42．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，AD=CD，AB=CB，对角线AC交BD与点O.(1)请根据你学过的知识直接写出一组全等的三角形______；(2)求证：AC⊥BD.43．如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，若CE=BF．(1)求证：AE=DF；(2)求证：AB∥CD．44．如图，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，AF=DE，∠B=∠C，求证：AB=CD．45．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)延长EB至点F，使得BF=DE，连接AF交CE于点G，若AD=5，BE=3，求DG的长．46．如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：AC=AD．47．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE．求证：∠AFB=2∠ACB．48．（变图形—平移型）如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．求证：△ACD≌△CBE．49．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．50．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过直角顶点A作直线MN,BD⊥MN于点D,CE⊥MN于点E．(1)如图1，当MN与BC边不相交时，判断BD,CE,DE之间的数量关系，并说明理由；(2)当MN与边BC相交时，请在图2中画出图形，并直接写出BD,CE,DE之间的数量关系．51．如图，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC．求证：AB=DE．52．如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．53．如图，点B，E，C，F在同一直线上，相交于点E，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：BE=CF．54．如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE=DF，AB=CD，CE=FB．求证：AE∥DF．55．如图，已知AB=AC，BD=CD，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，求证：DM=DN56．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．(0°<α<90°)得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1 B1C全等除外）；(2)当△BB1D是等腰三角形且BB1=BD时，求α的值．参考答案题号12345678910答案C C B D B C D D C A题号11121314151617181920答案B A C A D B A A D D题号21222324252627答案D A B B A D B1．C【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断．【详解】解：由题可得∠A=180°−60°−54°=66°，∵A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；∵B选项中66°角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；∵C选项中已知两边与其中一边的夹角对应相等，所以能判定全等，故C选项符合题意；∵D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，牢记判定方法以及正确找出对应边或对应角是解决本题的关键．2．C【分析】由作图可知直线MN为边AC的垂直平分线，再由BD=DC得到AD=DC=BD，利用等边对等角以及三角形内角和定理，进而得到∠B+∠C=90°．【详解】解：由作图可知，直线MN为边AC的垂直平分线，∴DC=AD，∴∠C=∠CAD，∵BD=DC，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，∵∠C+∠B+∠CAD+∠BAD=180°，∴∠B+∠C=90°．故选：C．3．B【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案．【详解】∵两个三角形全等，由全等三角形的性质可知，两幅图中边长为a、b的夹角对应相等，∴∠α=180°−50°−71°=59°，故选：B4．D【分析】根据全等三角形的判定条件逐一判断即可．【详解】解：A、由∠B=∠C，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；B、由AG=DG，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；C、由∠AFE=∠DEF，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；D、由BE=CF即可证明BF=CE，AB=CD，AF=DE，可以由SSS证明△ABF≌△DCE，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL．5．B【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解，正确理解题中的作图是解题的关键．【详解】解：根据做法可知：AC=BE，AD=BF，CD=EF，∴△ACD≌△BEF(SSS)，∴∠MBN=∠PAQ，故选：B．6．C【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【详解】解：∵DE=AB=a，DF=AC=c，又∵图中两个三角形全等，∴△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=180°−60°−72°=48°，∴∠1=48°，故选：C．7．D【分析】根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△OPM≌△OPN．【详解】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，∴△OPM≌△OPN所用的判定定理是HL．故选D.【点睛】本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．8．D【分析】本题主要考查三角形全等的判定，根据SSS，ASA，SAS，AAS逐个判断即可得到答案；【详解】解：∵AB=DC，∠B=∠C，当∠A=∠D构成ASA，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当BE=CF得到BF=CE构成SAS，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当BF=CE构成SAS，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当AF=ED不能得到三角形全等的判定，符合题意，故选：D．9．C【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，先根据三角形内角和为180度求出∠2的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出∠1的度数．【详解】解：如图所示，由三角形内角和定理得∠2=180°−50°−72°=58°，由全等三角形的性质可得∠1=∠2=58°，故选：C．10．A【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．【详解】解：∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，条件为边边角，∴不能证明△ABC≌△BAD，故A符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，∠CAB=∠DBA，条件为边角边，∴能证明△ABC≌△BAD，故B不符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，∠C=∠D，条件为角角边，能证明△ABC≌△BAD，故C不符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，BC=AD，条件为边角边，能证明△ABC≌△BAD，故D不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11．B【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵∠CAB=∠DBA，AB=BA，∴添加的条件是：AC=BD，根据SAS可证明△ABC≌△BAD，故选项A不符合题意；添加的条件是：CB=DA，无法判断△ABC≌△BAD，故选项B符合题意；添加的条件是：∠C=∠D，根据AAS可证明△ABC≌△BAD，故选项C不符合题意；添加的条件是：∠ABC=∠BAD，根据ASA可证明△ABC≌△BAD，故选项D不符合题意；故选：B12．A【分析】本题主要考查了基本作图、全等三角形的判定与性质等知识点，明确作图过程成为解答本题的关键．通过分析作图的步骤，发现△OCD与△O′C′D′的三条边分别对应相等，于是利用边边边判定△OCD≌△O′C′D′，根据全等三角形对应角相等得∠AOB=∠A′O′B′．【详解】解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点D′；③以D′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点C′；④过点C′作射线O′A′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角．在△O′C′D′与△OCD中，O′C′=OCO′D′=OD，C′D′=CD∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，∴∠AOB=∠A′O′B′，即运用的判定方法是SSS．故选：A．13．C【分析】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键．由题意知，BP=2t，CP=6−2t，由△ABP与△CQP全等，分△ABP≌△PCQ，△ABP≌△QCP两种情况，列方程求解即可．【详解】解：由题意知，BP=2t，CP=6−2t，∵△ABP与△CQP全等，∴分△ABP≌△PCQ，△ABP≌△QCP两种情况求解；当△ABP≌△PCQ时，PC=AB，即6−2t=4，解得t=1；当△ABP≌△QCP时，BP=CP，即2t=6−2t，解得t=1.5；综上所述，t的值是1或1.5，故选：C．14．A【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等去判定对应关系后计算．熟练掌握对应角的判定方法是解题的关键．【详解】解：∵两个三角形全等，∠1是边a的对角，即边b、c夹角，∴∠1的度数是180°−54°−76°=50°．故选：A．15．D【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．根据BE=CF求出BF=CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠B=∠C，∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE；当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE；当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE；当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE；故选：D．16．B【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；本题根据已有的条件AB=DE，∠B=∠DEF，再逐一分析添加的条件结合ASA，SAS，AAS可得答案.【详解】解：∵AB=DE，∠B=∠DEF，∴补充∠A=∠D，可利用ASA证明△ABC≌△DEF，故A不符合题意；补充AC=DF，不能证明△ABC≌△DEF，故B符合题意；补充BE=CF，∴BC=EF，可利用SAS证明△ABC≌△DEF，故C不符合题意；补充AC∥DF，∴∠ACB=∠F，可利用AAS证明△ABC≌△DEF，故D不符合题意；故选B17．A【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．【详解】解：∵两个三角形全等，∴∠1=64°，故选：A．18．A【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．【详解】解：O为AA′、BB′的中点，∴OA=OA′，OB=OB′，∵∠AOB=∠A′OB′（对顶角相等），∴在△AOB与△A′OB′中，OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′OB=OB∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，∴AB=A′B′，故选：A．19．D【分析】本题考查坐标与图形性质，过点C作坐标轴的垂线，利用AAS证明△BCM≌△ACN，即可求解，解题的关键是构造全等三角形．【详解】解：过点C作x轴和y轴的垂线，垂足分别M和N，∵∠CMO=∠CNO=∠MON=90°，∴四边形CMON是矩形，∴∠MCN=90°，∴∠ACN+∠ACM=90°，∵∠ACB=90°，∠BCM+∠ACM=90°，∴∠BCM=∠ACN,在△BCM和△ACN中，∠BCM=∠ACN∠BMC=∠ANC，BC=AC∴△BCM≌△ACN(AAS)，∴BM=AN，又∵点C坐标为(−4，4)，∴点M坐标为(−4，0)，点N坐标为(0，4)．∴BM=−4−b，AN=4−a∴−4−b=4−a即a−b=8．故选：D．20．D【分析】此题主要考查对尺规作图作一个角等于已知角的理解，利用全等三角形的判定方法判断即【详解】解：由作法得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，在△COD和△C′O′D′中，OD=O′D′OC=O′C′，CD=C′D′∴△COD≌△C′O′D′(SSS)，∴∠A′O′B′=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．故选：D．21．D【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可．【详解】解：A、添加∠B=∠C，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；B、添加GE=GF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；C、添加∠AFE=∠DEF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；D、添加BF=CE，利用SSS，可以使得△ABF≌△DCE，符合题意；故选：D．22．A【分析】由作图过程可得：OD=OC,CM=DM，再结合DM=DM可得△COM≌△DOM(SSS)，由全等三角形的性质可得∠1=∠2即可解答．【详解】解：由作图过程可得：OD=OC,CM=DM，∵DM=DM，∴△COM≌△DOM(SSS)．∴∠1=∠2．∴A选项符合题意；不能确定OC=CM,则∠1=∠3不一定成立，故B选项不符合题意；不能确定OD=DM,故C选项不符合题意，OD∥CM不一定成立，则∠2=∠3不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可．【详解】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．A．在△ADF和△CBE中，{∠A=∠CAF=CE∠AFD=∠CEB，∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意．C．在△ADF和△CBE中，{AF=CE∠AFD=∠CEBDF=BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意．D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法．24．B【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，找准对应角是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等可知∠ACB=∠A′CB′，给等式的两边同时减去∠BCA′，可得到∠ACA′=∠BCB′=30°．【详解】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB，∵∠BCA′+∠BCB′=∠BCA′+∠A′CA，∴∠ACA′=∠BCB′，∵∠BCB′=30°，∴∠ACA′=30°．故选：B．25．A【分析】根据题目中的已知条件AB=AB，∠CAB=∠DAB，再结合题目中所给选项中的条件，利用全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解；由图形可知：AB=AB，∠CAB=∠DAB，A.再加上条件BC=BD，不能证明△ABC≌△ABD，故此选项合题意；B. 再加上条件∠C=∠D，可利用AAS可证明△ABC≌△ABD，故此选项不合题意；C. 再加上条件AC=AD，可利用SAS可证明△ABC≌△ABD，故此选项不符合题意；D. 再加上条件∠ABC=∠ABD，可利用ASA可证明△ABC≌△ABD，故此选项不合题意．故选：A【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．26．D【分析】本题主要考查全等三角形的性质．先根据角角边证明△ABC≌△CED，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．【详解】解：∵AC⊥CD，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∴∠A=∠2，在△ABC和△CED中，∠B=∠E=90°∠A=∠2，AC=CD∴△ABC≌△CED(AAS)，故B、C选项正确，不符合题意；∵∠2+∠D=90°，∴∠A+∠D=90°，故A选项正确，不符合题意；∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∠1+∠2=90°，但∠1不一定等于∠2，故D选项错误，符合题意．故选：D．27．B【分析】根据三角形全等的判定逐个判定即可得到答案．【详解】解：由题意可得，B选项符合边角边判定，故选B．【点睛】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的几个判定．28．48°/48度，∴在∵∴29先长=∴∴【点睛】本题考查了翻折变换的性质，翻折变换保留原有图形的性质，而且可以使得原有的分散条件相对集中，从而有利于问题的解决．30．AB/BA【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△ADC是解题的关键．由AAS判断出△ABC≌△ADC即可得到答案．【详解】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°，在△ABC，△ADC中，∠1=∠2∠B=∠D，AC=AC∴△ABC≌△ADC(AAS)，∴AD=AB．故答案为：AB．31．证明见解析【分析】根据平行得出∠B=∠DEF，然后用“边角边”证明△ABC≌△DEF即可．【详解】证明：∵AB//DE，∴∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC．∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF．∴∠A=∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．32．见解析【分析】利用AAS证明△ACO≌△DBO，即可得到结论．【详解】解：证明：在△ACO和△DBO中∠AOC=∠DOB∠A=∠DAC=DB∴△ACO≌△DBO(AAS)．∴AO=DO,CO=BO．∴AO+BO=DO+CO∴AB=CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．33．详见解析【分析】运用HL定理证明直角三角形全等即可．【详解】∵BE=CF，∴BF=CE在Rt△ABF与Rt△DCE中：{AF=DE BF=CE∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)∴AB =DC【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握HL定理是解题关键．34．见解析【分析】根据已知条件得出∠AOB=∠COD，进而证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵∠AOD=∠COB，∴∠AOD−∠BOD=∠COB−∠BOD,即∠AOB=∠COD．在△AOB和△COD中，OA=OC,∠AOB=∠COD,OB=OD,∴△AOB≌△COD∴AB=CD．【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．35．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM，等量代换得到答案．（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；【详解】（1）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．36．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）根据三角形内角和以及角平分线定义得出∠APB=135°，易得∠DPB=45°，可得∠BPF=135°，即可证明△ABP≌△FBP；（2）由（1）结论可得∠F=∠BAD,AP=PF，AB=BF，即可求得∠F=∠CAD，即可证明△APH≌△FPD，可得AH=DF，即可解题．【详解】（1）∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∠ACB=90°，∴∠PAB+∠PBA=12(∠ABC+∠BAC)=45°,∴∠APB=135°，∴∠DPB=45°,∵PF⊥AD,∴∠BPF=135°,在△ABP和△FBP中，∠BPF=∠APB=135°BP=BP∠ABP=∠FBP∴△ABP≌△FBP(ASA)；（2）∵△ABP≌△FBP，∴∠F=∠BAD,AP=PF,AB=BF，∵∠BAD=∠CAD，∴∠F=∠CAD，在△APH和△FPD中，∠F=∠CADAP=PF∠APH=∠FPD=90°∴△APH≌△FPD(ASA),∴AH=DF,∵BF=DF+BD,∴AB=AH+BD.∴AH=AB−BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABP≌△FBP和△APH≌△FPD是解题的关键．37．见解析【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，即可判定ΔABC≌ΔDEF(SAS)，再利用全等三角形的性质证明即可．【详解】∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，又∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴在ΔABC与ΔDEF中，AB=DE∠B=∠DEF，BC=EF∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)，∴AC＝DF．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决本题的关键. 38．见解析【分析】先证明ΔBDO≌ΔCEO(AAS)，得到OD=OE，再根据角的平行线性质判定即可．【详解】证明：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于点E，∴∠BDO =∠CEO =90∘，在ΔBDO 和ΔCEO 中，∠BDO =∠CEO ∠BOD =∠COE OB =OC，ΔBDO≌ΔCEO (AAS)，∴OD =OE ，∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OA 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定和角的平分线的判定是解题的关键．39．见解析【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B =∠C ，再由SAS 证明△ABD≌△ACE ，从而得AD =AE ．【详解】证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC ∠B =∠C BD =CE，∴△ABD≌△ACE (SAS )，∴AD =AE ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．40．(1)证明见解析(2)5【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，解题关键是根据AAS 证明△CDE 和△FAE 全等．（1）根据 AAS 证明△CDE 和△FAE全等即可；（2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线性质解答即可．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCE =∠F ，∵点E 是AD 中点，∴DE =AE ，在△CDE 和△FAE 中，∠DCE =∠F ∠CED =∠FEA DE =AE，∴△CDE≌△FAE (AAS)；（2）由（1）知△CDE≌△FAE ，∴CE =FE ，CD =AF∵BE ⊥GF ，∴BE 垂直平分CF ，∴BC =BF ，∵CD =3，AB =2，∴AF =CD =3，∴BC =BF =AF +AB =3+2=5．41．证明见解析【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A 作AP ⊥B C 于P ，利用三线合一得到P 为DE 及BC 的中点，再根据线段之间的关系即可得证．【详解】证明：如图，过点A 作AP ⊥B C 于P ．∵AB =AC ，∴BP =PC ；∵AD =AE ，∴DP =PE ，∴BP−DP =PC−PE ，∴BD =CE ．42．(1)△ABD≌△CBD(2)证明见解析【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记等腰三角形的三线合一是解本题的关键.（1）直接利用SSS证明△ABD≌△CBD即可；（2）由△ABD≌△CBD可得∠ADB=∠CDB，再结合等腰三角形的性质可得结论.【详解】（1）解：△ABD≌△CBD，理由如下：在△ABD和△CBD中，AD=CDAB=CB，BD=BD∴△ABD≌△CBD(SSS)；（2）∵△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∵DA=DC，∴AD⊥AC.43．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题主要考查直角三角形的全等判定和性质，（1）根据题意得∠AEB=∠DFC=90°，由CE=BF得BE=CF，则有Rt△CDF≌Rt△BAE，结合全等的性质即可证明；（2）利用Rt△CDF≌Rt△BAE得到对应的角度相等，结合内错角相等两直线平行的判定即可证明；【详解】（1）证明：∵AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵CE=BF，∴CE−EF=BF−EF，∴BE=CF，在Rt△CDF与Rt△BAE中，CD=ABCF=BE，∴Rt△CDF≌Rt△BAE(HL)∴AE=DF，（2）由（1）可知Rt△CDF≌Rt△BAE(HL)，∴∠C=∠B，∴AB∥CD．44．证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，证△AEB≌△DFC(AAS)，即可得出结论．∴∵∴∴在∴∴45(2)（（∴∴∠ACD+∠DAC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB．在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB,∠DAC=∠ECB, AC=CB,∴△ADC≌△CEB (AAS)（2）由（1）得△ADC≌△CEB∴CE =AD =5，CD =BE =3，∴BF =DE =CE−CD =5−3=2，∴EF =BF +BE =2+3=5，∴EF =AD ．∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠FEG =∠ADG =90°在△FEG 和△ADG 中，∠FEG =∠ADG,∠FGE =∠AGD,FE =AD,∴△FEG≌△ADG (AAS)，∴DG =EG =12DE =1．46．证明见解析【分析】本题考查三角形全等的判定，先证明∠BAC =∠EAD ，在用ASA 证明△ABC≌△AED 即可，掌握判定三角形全等是解题的关键．【详解】证明∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC =∠2+∠EAC∴∠BAC =∠EAD ，在△ABC 和△AED 中，∠B =∠AED AB =AE ∠BAC =∠EAD，∴△ABC≌△AED ．∴AC =AD 47．见解析【分析】先根据SSS 定理得出△ABC≌△DEB （SSS ），故∠ACB =∠EBD ，再根据∠AFB 是△BFC 的外角，可知∠AFB =∠ACB +∠EBD ，可得出∠AFB =2∠ACB，故可得出答案．【详解】解：在△ABC和△BDE中，AC=BDAB=EDBC=BE∴△ABC≌△DEB（SSS）∴∠ACB=∠EBD；∵∠AFB=∠ACB+∠EBD，∴∠AFB=2∠ACB【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，同时涉及三角形外角和定理，掌握相关定理知识是解题的关键．48．见解析【分析】根据中点的定义得出AC=CB，即可根据SSS证明△ACD≌△CBE．【详解】证明：∵点C是AB的中点，∴AC=CB．在△ACD和△CBE中，AD=CECD=BE，AC=CB∴△ACD≌△CBE(SSS)．【点睛】本题主要考查了的三角形全等的判定，解题的关键是掌握三边都相等的两个三角形全等．49．见解析【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证．【详解】解∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．在△ABF和△DCE中，AB=DC∠B=∠CBF=CE∴△ABF≌△DCE，∴∠A＝∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质．50．(1)DE=BD+CE，见解析(2)见解析，CE−BD=DE或BD−CE=DE【分析】（1）由BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，得∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，则∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，而AB=CA，即可证明△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则BD+CE=AE+AD=DE；（2）分两种情况讨论，一是MN与边BC相交且∠BAD<45°，同理可证△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则CE−BD=AD−AE=DE；二是MN与边BC相交且∠BAD>45°，同理可证△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则BD−CE=AE−AD=DE．【详解】（1）证明：∵BD⊥MN,CE⊥MN，∴∠ADB=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠CAE+∠ACE=90°，∴∠BAD=∠ACE，在△ABD和△CAE中，∠ADB=∠CEA∠BAD=∠ACEAB=CA,∴△ABD≅△CAE(AAS)；∴AD=CE,BD=AE，∵DE=AD+AE，∴DE=BD+CE；（2）解：CE−BD=DE或BD−CE=DE，理由：如图2，MN与边BC相交且∠BAD<45°，∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，在△DAB和△ECA中，∠DAB=∠ECA∠BDA=∠AEC，AB=CA∴△DAB≌△ECA(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴CE−BD=AD−AE=DE．如图3，MN与边BC相交且∠BAD>45°，∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，在△DAB和△ECA中，∠DAB=∠ECA∠BDA=∠AEC，AB=CA∴△DAB≌△ECA(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴BD−CE=AE−AD=DE．【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△DAB≌△ECA是解题的关键．51．见解析【分析】根据∠1=∠2，可得出∠ACB=∠DCE，然后利用SAS证明△ABC≌△DEC，继而可得出AB=DE．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握SAS证三角形全等是解题的关键．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，即∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，CA=CD∠ACB=∠DCE，BC=EC∴△ABC≌△DEC(SAS)，∴AB=DE．52．证明见解析【分析】先利用A S A证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．【详解】在△AOB与△COD中，∠A＝∠C，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB=OD，∴点O在线段BD的垂直平分线上，∵BE=DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上，∴OE垂直平分BD．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质．53．见解析【分析】根据题意可以证得△ABC≅△DEF，所以BC=EF，即可得到结论．【详解】根据题意，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠A=∠D，AC=DF∴△ABC≅△DEF，∴BC=EF，∴BC−CE=EF−CE，∴BE=CF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．54．见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理和平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD，。

(全等三角形辅助线)专项高分特训(含解析).doc

(全等三角形辅助线)专项高分特训(含解析)【一】单项选择题〔共5道，每道20分〕1、：如图1，AB＝DC，∠A＝∠D、求证：∠ABC＝∠DCB、小明是这样做的：如图2，连接AC，BD，交于点O，那么小明的证明思路最可能是〔〕A、先证明△ABD≌△DCA，再证明△ABC≌△DCB，得∠ABC＝∠DCBB、先证明△AOB≌△DOC，再证明△ABC≌△DCB，得∠ABC＝∠DCBC、直接证明△ABD≌△DCA，得∠ABC＝∠DCBD、直接证明△ABC≌△DCB，得∠ABC＝∠DCB答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：与三角形全等有关的辅助线2、：如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，F是CD的中点、求证：∠BAF＝∠EAF、下面是小明的几种思路，其中正确的选项是〔〕A、连接AC，AD，先证明△ACF≌△ADF，再证明△ABC≌△AED，得∠BAF＝∠EAFB、连接AC，AD，先证明△ABC≌△AED，再证明△ACF≌△ADF，得∠BAF＝∠EAFC、连接BF，EF，直接证明△ABF≌△AEF，得∠BAF＝∠EAFD、连接BF，EF，先证明△BCF≌△EDF，再证明△ABF≌△AEF，得∠BAF＝∠EAF答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：与三角形全等有关的辅助线3、：如图，AB＝AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别是E，F，ME＝MF、求证：MB＝MC、以下证明思路正确的选项是〔〕A、连接AM，直接证明△ABM≌△ACM，得MB＝MCB、过点A作AM⊥BC于点M，证明△AEM≌△AFM，再证明△BEM≌△CFM，得MB＝MCC、连接AM，证明△AEM≌△AFM，再证明△BEM≌△CFM，得MB＝MCD、过点A作AM⊥BC于点M，直接证明△ABM≌△ACM，得MB＝MC答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：与三角形全等有关的辅助线4、：如图，OP平分∠AOB，C，D分别在OA，OB上，假设∠PCO＋∠PDO＝180°、求证：PC＝PD、以下证明思路正确的选项是〔〕A、过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F，使PE＝PF，然后证明△PCE ≌△PDF，得PC＝PDB、直接证明△PCO≌△PDO，得PC＝PDC、分别在OA，OB上取一点E，F，连接PE，PF，使得PE＝PF，首先证明△POE≌△POF，然后证明△PCE≌△PDF，得PC＝PDD、过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F，首先证明△POE≌△POF，然后证明△PCE≌△PDF，得PC＝PD答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：与三角形全等有关的辅助线5、：如图，在△ABC中，BD＝CD，∠1＝∠2、求证：AD是∠BAC的平分线、①过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；②∴DE＝DF；③∴∠BED＝∠CFD＝∠AED＝∠AFD＝90°；④∴∠DAE＝∠DAF∴AD是∠BAC的平分线；⑤延长CD交AB于E，延长BD交AC于F；⑥在△BDE和△CDF中；⑦在RT△ADE和RT△ADF中；⑧在△ABD和△ACD中、以下证明过程正确的选项是〔〕A、①③⑥②⑦④B、⑧④C、⑤③⑥②⑦④D、⑤②⑦④答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：与三角形全等有关的辅助线。

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全等三角形判定的条件组合（二）(人教版)
一、单选题(共7道，每道14分)
1.已知：如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( )
A.AE=CE；SAS
B.DE=BE；SAS
C.∠D=∠B；AAS
D.∠A=∠C；ASA
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定
2.已知：如图，∠ADB=∠ADC，要使△ABD≌△ACD，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( )
A.BD=CD；SAS
B.AB=AC；SAS
C.∠B=∠C；ASA
D.∠BAD=∠CAD；AAS
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定
3.已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD，需添加一个
条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( )
A.AB=AC；AAS
B.AE=AD；AAS
C.BE=CD；ASA
D.∠AEB=∠ADC；AAS
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定
4.已知：如图，在△ABC和△ADE中，已知∠BAC=∠DAE，要使△ABC≌△ADE，需添加两个条件，则下列添加的条件以及相应的判定定理正确的有( )
①AC=AE，AB=AD，SAS；②AC=AE，BC=DE，SAS；
③∠B=∠D，BC=DE，AAS；④∠C=∠E，AC=AE，ASA；
⑤∠B=∠D，AC=AE，ASA.
A.①②③
B.①③④
C.②③④
D.①②⑤
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定
5.已知：如图，在△ABC和△DEC中，AB=DE，要使△ABC≌△DEC，需添加两个条件，则下列添加的条件以及相应的判定定理正确的有( )
①BC=EC，∠B=∠E，SAS；②BC=EC，AC=DC，SSS；
③∠B=∠E，∠ACB=∠DCE，ASA；④∠A=∠D，∠B=∠E，AAS．
A.①②③
B.②③④
C.③④
D.①②
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定
6.已知：如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，∠A=∠C．求证：△ADF≌△CBE．
证明：如图，
∵AE=CF
∴AE+EF=CF+FE
即AF=CE
在△ADF和△CBE中，
①已知；②已证；③公共边；④SSS；⑤ASA；⑥AAS.
以上空缺处依次所填正确的是( )
A.②①⑤
B.②③⑥
C.②①⑥
D.②③⑤
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定
7.已知：如图，AB=AD，∠BAE=∠DAC，∠C=∠E．求证△ABC≌△ADE．
证明：如图，
∵∠BAE=∠DAC
∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE
即∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中，
①已知；②已证；③公共边；④SSS；⑤ASA；⑥AAS.以上空缺处依次所填正确的是( )
A.②①⑤
B.②③⑥
C.②①⑥
D.②③⑤
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定。