411-2微分方程的基本概念11

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经济数学知识点总结

经济数学知识点总结一、函数与极限1、函数11 函数的概念：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个数x∈D，按照一定的法则f，变量y 总有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。

111 函数的定义域：使函数有意义的自变量取值的集合。

112 函数的值域：函数值的集合。

113 函数的性质：有单调性、奇偶性、周期性、有界性等。

114 基本初等函数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

115 复合函数：设 y ＝ f(u)，u ＝φ(x)，则称 y ＝fφ(x)为复合函数。

116 反函数：设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。

对于y∈R，在 D 中存在唯一确定的 x 与之对应，这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f^（－1)（y)。

2、极限21 数列的极限：对于数列{xn}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜xn A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列{xn}的极限，记作lim(n→∞） xn ＝ A。

211 函数的极限：当自变量 x 趋于某个值 x0 （或趋于无穷大）时，函数 f(x) 无限接近于某个确定的常数 A，则称 A 为函数 f(x) 当 x 趋于x0 （或趋于无穷大）时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A 或lim(x→∞）f(x) ＝ A 。

212 极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性。

213 极限的运算法则：包括四则运算、复合函数的极限法则。

二、导数与微分1、导数11 导数的定义：设函数 y ＝ f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量Δx （点 x0 ＋Δx 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy ＝ f(x0 ＋Δx) f(x0) ；如果Δy 与Δx 之比当Δx→0时的极限存在，则称函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处的导数，记作 f'（x0) 。

常微分方程(1,2章)

强迫微小振动若单摆还受到一个始终与运动方向相同的力F ( t )，则单摆的运动微分方程为
d2kdgF(t) (1.19)
dt2 mdt l lm
初始状态要确定摆的某一特定运动时，还应该给出摆的初始状态，即当 t = 0 时，
0,
d
dt
0
它们分别代表摆的初始位置和初始角速度.
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( 1 .2 8 )
此模型称为SIS模型，σ 称为称为每个病人的有效接触人数 .
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如一些有很强免疫性的传染病，病人治愈后不会再被感染 . 设在时刻 t 时的愈后免疫人数为 r ( t ) (称为移出人数）, 而治愈率 l 为常数，即
dr(t) lx(t) dt
则
x ( t) y ( t) r ( t) n ( 1 .2 9 )
常微分方程
第一章绪论
§1.1 微分方程过程的数学模型 §1.2 微分方程的基本概念
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§1.1 微分方程 – 变化过程的数学模型
函数是反映事物变化过程中的量与量之间的关系，但是现实中稍微复杂一点的关系，一般都是很难直接找到的，而却比较容易找到这些量和这些量与量之间的导数（变化率）的关系式 . 这种联系着自变量、未知函数和它的导数（微分）的关系式称为微分方程 .
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例5 传染病模型设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数 n，开始
时染病人数为x0，在时刻 t 时健康人数为 y ( t )，染病人数为x ( t ) .
基本假设: 单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比
例常数为 k，称为传染系数 .由此假设可得以下微分方程

常微分方程的基本概念

常微分方程的基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中的一个重要分支，用来研究包含未知函数及其导数的方程。

它在物理学、工程学、经济学等学科中有着广泛的应用。

本文将介绍常微分方程的基本概念，包括一阶和二阶微分方程、初值问题以及常见的解析解方法。

一、一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的导数只出现一阶的微分方程。

一般形式可以表示为：\[\frac{{dy}}{{dx}} = f(x, y)\]其中，y是未知函数，f(x, y)是已知的函数。

一阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。

为了求解一阶微分方程，我们可以使用分离变量法、恰当方程法或者线性方程法等解析解方法。

分离变量法要求将未知函数y与自变量x 的项分开，并进行适当变换，使得两边可以分别积分得到解。

恰当方程法要求将一阶微分方程化为全微分形式，然后积分求解。

线性方程法则适用于具有形如\(\frac{{dy}}{{dx}} + p(x)y = q(x)\)的方程，通过乘以合适的因子，将其转化为恰当方程求解。

二、二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的导数出现在方程中的最高阶为二阶的微分方程。

一般形式可以表示为：\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = f(x, y, \frac{{dy}}{{dx}})\]其中，y是未知函数，f(x, y, \(\frac{{dy}}{{dx}}\))是已知的多元函数。

二阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。

与一阶微分方程类似，二阶微分方程的求解也可以通过解析解方法进行。

其中，常见的解法包括常系数线性齐次方程法、特殊非齐次方程法和变量分离法等。

常系数线性齐次方程法适用于形如\(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} + a\frac{{dy}}{{dx}} + by = 0\)的方程，通过猜测解的形式，将其代入方程并化简求解。

常微分方程的基本概念

esin x esin xesin xdx C
esin x x C .
例2. 解方程 (x 1) dy y ex (x 1)1, (为常数)
dx
解：dy y ex (x 1)
dx x 1 利用求解公式
y
e
(
)dx x1
[
ex (x
1)
e
(
)dx x1
dx
C]
e [ ln(x1) e x (x 1) e ln(x1)dx C]
代入上式后化简,
k
得特解
v
m
g
(1
e
k m
t
)
v
mg k
k
5.2.2 可化为可分离变量的方程
形如y' f ( y )的微分方程称为齐次微分方程. x
解齐次方程时,通常用变量替换法,即设u y ,
x
将齐次方程化为可变量分离的方程.
由y ux, dy u x du , 代入原方程 ,得u x du f (u)
[解] 令 u y , y ux , y' u xu'
x
则 u xu' 1 u 1u
即 xu' 1 2u u2 1u
两端积分
1u 1 2u
u2
du
1 x
dx
凑微分
1 2
d(u2 1 2u
2u 1) u2
1 x
dx
得
1 2
ln(u2
2u
1)
ln
x
ln
C1
u2
2u 1
C x2
B.质点自由下落
一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求质点下落距离S与时间t的函数关系。

微分方程在实际中的应用

微分方程在实际中的应用【摘要】本文通过举例，说明了微分方程在生物、经济、物理等交叉学科中的作用，进一步揭示了掌握微分方程理论知识的重要性。

【关键词】竞争种群;供求均衡;混沌一、微分方程的基本概念：表示自变量、函数、导函数关系的等式称为微分方程，如果函数只有一个自变量，那么称其为常微分方程（ODEs），若函数有多个自变量，称其为偏微分方程（PDEs）。

只含一阶导数的微分方程称为一阶微分方程，含有阶导数的方程称为阶微分方程，阶微分方程通过变换可以化成由个一阶微分方程构成的方程组;如果函数和它的导函数都是一次的微分方程称为线性微分方程，否则称非线性微分方程。

二、在生物种群模型中的应用：两个竞争种群A、B在时刻密度分别为和，和是关于时间的连续可微函数。

种群A、B不断繁殖导致密度变化，而由于A、B之间相互竞争，导致它们各自作为对方的食饵而相互抵消，这样影响它们各自密度变化率的有两个因素：一是自身的增长消亡，二是相互竞争导致的消亡。

由此有了下面著名的V olterra模型：这里，和分别表示了在时刻种群A、B的密度变化，分别为A、B的自然增长率，表示它们自身的消亡。

而、表示A、B的内禀增长率，表示在B的影响下，种群A的减少程度;表示在A的影响下，种群B的减少程度，且要求系数均是大于0的常数。

这是一个一阶非线性常微分方程组，它的平衡点为A、B、C、P，当时，平衡点P具有生态意义，即它是渐进稳定的正平衡点，当时，，说明在一定条件下经过长期竞争后，可以使种群A、B 密度（数量）趋于稳定。

三、在数量经济中的应用：在完全市场竞争条件下，商品价格由供求关系决定，即商品在时刻的供给量及需求量与时刻的商品价格有关，假设供给函数与需求函数分别为，其中，均为常数，且。

则供求均衡的静态模型为，此时均衡价格为。

假设初始价格为，而时刻价格变化率与供求量的差值成正比，即有这是一个一阶线性常微分方程的初值问题，其中为比例常数，，这个方程的解为由于，则，即最终供求平衡使得商品价格达到一个稳态。

微分方程基本概念(2)

布莱克—舒尔斯期权定价模型
• 假设条件： 1）市场的无摩擦性 2）从时刻t=0到t=T，都可以以一相同不变的
利率借贷，利率按连续复利r计算 3）从时刻t=0到t=T股票不分红 4）标的物股票价格的变化遵循对数正态分布
的随机过程
伊藤过程
• 在以上假设条件下，股票价格的运动遵循一种称之为带漂移的几何布朗运动的规律，在数学上则表现为称作伊藤过程的一种随机过程
dt
(t2x)dtxdx0,
z x y, x
微分方程的实质: 体现自变量,函数以及函数的某些导数(或微分)之间关系的等式
2.微分方程的分类:
分类(1): 根据未知函数是一元或多元来分
常微分方程, 偏微分方程.
dY Y yxy, y2y3yex,
dt
(t2x)dtxdx0,
z x y, x
ftrfS S f 1 2 S 2f22S2rf f
既然可以认为资产收益率服从正态分布，那么通过考察资产价格与收益率之间的关系，便可探求资产价格的变化规律
lo g
~
S (T
)
~
N
( T ,
2T
)
S (0)
E
~
S (T
)
T
S (0)
Var
~
S
(T
)
2T
S (0)
~E (S (T来自)) S (0) exp( T
1
2T
)
2
利用连续计息方式计息的连续复
利
rt 365
log1
~
Rt
365
log
~
St
~
St1
r
log1

微分方程的基本概念

微分方程的基本概念第一章常微分方程微分方程是数学理论（尤其是微积分）与实践相结合的重要途径之一。

它是研究许多自然科学、工程技术、生物技术、农业、经济和许多其他问题的有力工具。

因此，微分方程具有重要的应用价值。

本章主要介绍常微分方程的一些基本概念和几种常见微分方程的一些基本解。

下面我们通过两个具体例题来说明微分方程的基本概念。

示例一曲线通过点（1,2），曲线任意点m（x，y）的切线斜率为2x。

求出曲线方程。

解设所求的曲线方程为y=y(x),则根据导数的几何意义可知，未知函数y=y(x)应满足下面的关系：阿迪？2X，（1）DX，当x=1，y=2，也就是说，y（1）=2（2）到（1）dy?2x两端积分，得dx2y=2xdx?x?c(3)其中c是任意常数。

如果y（1）=2代，C=1代（3），即得所求曲线方程y?x?1（4）例2质量为M的粒子只有在重力的作用下才能从静止状态自由下落。

试着找到它的运动方程解在中学阶段就已经知道，从高度为h处下落的自由落体，离地面高度s的变化规律为s=h－程．二百一十二gt，其中g为重力加速度．这个规律是怎么得到的呢？下面我们给出推导过2m?取质点下落的铅垂线为s轴，它与地面的交点为原点，并规定正?h向朝上．设质点在时刻t的位置在s(t)（如图1-1）．因为质点只受方向向下的重s(t)力的作用(空气阻力忽略不计)，由牛顿第二定律f=ma，得D2S（T）M=-mg。

参见图1-11D2S（T），即=G（5）2dt根据质点由静止状态自由下降的假设，初始速度为0，所以s=s(t)还应满足下列条件s|t=0=h，Ds | t=0=0，（6）DT积分方程（6）的两边，和ds(t)=－g?dt=－gt+c1，(7)dt两边再积分，得s（t）=？（？gt？c1）dt=－12gt+c1t+c2，(8)2其中c1，c2均为任意常数．将条件（7）代入方程（8）和（9）中，得到C1=0和C2=h。

然后运动方程为s(t)=－十二gt+h．(9)2上述两个例子中的关系式（1）和（5）中，都含有未知函数的导数，自变量也都只有一个，且方程都附加有一定的条件。

微分方程求解-解微分方程

微分方程求解-解微分方程微分方程求解求解微分方程：简单地说，就是去微分，将方程化成自变量与因变量关系的方程。

近来做毕业设计遇到微分方程问题，搞懂后，特发此文，来帮广大同学，网友。

1.最简单的例子：——————》求微分方程的通解。

dx解方程是可分离变量的，分离变量后得两端积分：得：从而：又因为。

仍是任意常数，可以记作C 。

非齐次线性方程2y 求方程的通解解：非齐次线性方程。

先求对应的齐次方程的通解。

5，，用常数变易法：把C换成u(x)，即令则有，dx12，代入原方程式中得两端积分，得。

33再代入式即得所求方程通解。

3法二：假设待求的微分方程是:我们可以直接应用下式得到方程的通解，其中，2，代入积分同样可得方程通解5，3232.微分方程的相关概念：(看完后你会懂得各类微分方程)一阶微分方程：或可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为的形式，解法：得：称为隐式通解。

，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设，则，，分离变量，积分后将代替u，齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：当时,为齐次方程，当时，为非齐次方程，，全微分方程：如果中左端是某函数的全微分方程，即：应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：时为齐次时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中的系数；2、求出式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：，p,q为常数型，为常数；型3.工程中的解法：四阶定步长Runge-Kutta算法其中h 为计算步长，在实际应用中该步长是一个常数，这样由四阶Runge-Kutta算法可以由当前状态变量Xt 的值求解出下状态变量Xt +1 的值亲们，你们满意吗？一阶微分方程的解一阶微分方程的常数变易法的应用探析The exploration of linear ordinary differential equation of first order with method of leadingvariables作者：刘*专业：数学与应用数学指导老师：杜* *完成时间：2016年9月1号摘要常数变易法是作为求解一阶线性方程的解法给出的。

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（ 1 ）分离变量： d f ( x ) d y ( g ( y ) 0 ) x ； g ( y )
（ 2 ）两边积分： g d ( y ) f y ( x ) d ； x
（ 3 ）求出积分，得通解： G ( y ) F ( x ) C ，其中 G ( y )F ( , x ) 分别是 1 ,f ( x ) 的原函数。 g ( y )
u2 v2
，
代回变量ux3，vy2，得
原方程的通解 e ar x y 2 3 c C ( x t 3 a ) 2 ( y n 2 ) 2 。
再见
例
2.解方程
ytanx y3 y( )0 2
.，4 2 21．齐次微分方程的一般形式：
若当 t 0 时，有 f ( t , t ) f ( x , y ) x y ① 则称方程 d f ( x , y ) 为 y 齐次方程。
dx
在 ① 中令 t 1 ，得 f ( x , y ) f ( 1 , y ) ( y ) ，故
5 .
称附加条件 y(x )y,y(x )y1 ,y(x )y2, ,y(n 1 )(x )yn 1 为 n 阶微分方程 F (x ,y,y,y, ,y(n )) 0的初始条件。称问题 y F ( x ( x ) , y y , ,y y , ( y x ,) , y 1 y , ( n ) ) , 0 y , ( n 1 ) ( x ) y n 1 . 为初值问题。微分方程满足初始条件的解称为特解。
即 d a b ( u u ) ，这 f 是可分离变量方程。 dx
例 4．求方程 ysin(x y) 的通解。
4 ． y f ( a a 2 1 x x b b 1 2 y y c c 1 2 ) a 1 b 2 ( b 1 a 2 ) 型的方程
例 5．解微分方程 y x y5 x y1
中含有两个或三个任意常数，则需求二阶或三阶导数。
§ 4 . 2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为 F ( x , y , y ) 0
4 2 1
可分离变量方程的一般形式为 d f ( x y ) g ( y ) ① dx
x2 y xy4 y3x4 。
4 . 微分方程的解
能使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解。若该函数是显式的，则称为显式解；若是隐式的，则称为隐式解。
若微分方程的解中含有任意常数，而且独立的任意常数的个数与方程的阶数相等，则称这个解为微分方程的通解。
解析几 x 何 u 中 3 坐标 y 平 v 移 2 的思路可解决这个问题。
d d ， d d 。 x u y v
原微分方程就可化为齐次方程型 d d u u u v v 1 1 u v v ， u
arctanv
可得 e
u C
2 .
微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。未知函数的最高阶导数为 n 的微分方程称为 n 阶微分方程。
例3 . 如n ： ddxy xy0 ；
F (x x,ddxy 22y,y xy,2y s,iy nx,； y (n )) 0 .
x
x x
齐次方程的形式为 d ( y ) y dx x
②
2 ．齐次微分方程的解法
在 d ( y ) 中，令 y u y ，则 y x ， d u x d ， u y d x x x d d x
代入原方程得 : u x d ( u ) ， u dx
例 2．验证函数 yC1coskxC2sinkx ①
是微分方程 d d 2 2 y k 2 x y 0 ( k 0 )
②
的通解，并求方程 ② 满足初始条件 y x 0 A ，
d d x 0 x y 0 的特解。
例4．试求以下列函数为通解的微分方程：
即 x d ( u ) u u ，为可分离变量方程。 dx
例 3．求方程 y2dx( x2 xy)dy0 的通解。
3 ． y f ( a b ) 型的方程 x y
令 u a b ， yx 1(uy ax) y 1(ua)
b
b
代入原方程得： u a b ( u ) ， f
（ 4 ）若方程给出初始条件，则根据初始条件确定
常 C ，得方程的数特解。（ 5 ）若有 g ( y ) 0 ，把 y y 代入 ① 式可知， y y 也
是 ① 的一个解，则此解称为常数解。
例1．求微分方程 y1xy2x2y的通解。
解：令 x u h ， y v k ，
分析：则这 x 个方 y 程 5 不 u 是 h 齐次 v 方 k 程 5 ，，它与齐次方程的差别 x y 1 u h v k 1
在一于种令分变子换 h h 与， k k 分使 1 5 母新 0 0 多的了表 k h 常达数式 3 2 项中。，不为出了现消常去数常项数，项借，用通平过面
（ 1 ） y C a x . r e csi
（ 2 ） y C 1 c 3 x C 2 s 3 x 。 o in
例4．试求以下列函数为通解的微分方程：
（ 1 ） y C a x . r e csi
（ 2 ） y C 1 c 3 x C 2 s 3 x 。 o in
注：这类问题的解法是先求导，再消去任意常数，若通解