北交大激光原理第4章高斯光束部分-final
激光原理MOOC答案4
激光原理MOOC答案44.1-4.4测验已完成成绩：100.0分下列说法不正确的是：a、对于等距共焦腔，其共汪参数f=l/2，l为腔短b、基模高斯光束在横截面内的场振幅原产按高斯函数所叙述的规律从中心向外光滑地迫降c、高斯光束的等增益面就是以rz为半径的球面d、对于通常平衡球面腔，其共汪参数f=l/2，l为腔短正确答案：d我的答案：d得分：10.0分当透镜的焦距等同于高斯光束入射光在透镜表面上的波面曲率半径的几倍时，透镜对该高斯光束野扇重现转换？a、1/4b、4c、2d、1/2恰当答案：d我的答案：d罚球：10.0分后在何种条件下，可将高斯光束近似处理为几何光学情况？a、物高斯光束须弥座处于透镜物方焦面上b、物高斯光束须弥座处于透镜表面上c、物高斯光束须弥座与透镜距离足够多离正确答案：c我的答案：c得分：10.0分以下观点错误的就是：a、当透镜对高斯光束作自再现变换时，像方腰斑与物方腰斑关于透镜是对称的b、对任意稳定腔，只要适当选择高斯光束的束腰位置及腰斑大小，就可使它成为该腔的本征模c、当反射镜对高斯光束作自再现变换时，此反射镜与高斯光束的波前相匹配d、某腔内存在着高斯光束型的本征模，该腔不一定是稳定腔恰当答案：d我的答案：d罚球：10.0分后关于高斯光束的准直，下列说法正确的是：a、用单个透镜可以将高斯光束转换成平面波b、使用单个透镜，l=f时，像是方收敛角达至极小值c、在l=f的条件下，像是高斯光束的方向性只与f的大小有关d、一个取值的望远镜对高斯光束的电子束倍率仅与望远镜本身的结构参数有关正确答案：b我的答案：b得分：10.0分用单透镜对高斯光束著眼，以下观点不恰当的就是：a、用短焦距透镜可对高斯光束进行聚焦b、取l=0不一定有聚焦作用c、f小于f，任取l值可实现聚焦d、l取无穷大一定有聚焦作用恰当答案：b我的答案：b罚球：10.0分后下列说法不正确的是：a、高斯球面波的为丛藓科扭口藓曲率半径q相等于普通球面波的曲率半径rb、物高斯光束须弥座距透镜足够多离时，可以把高斯光束看作几何光束c、q参数在自由空间的传输满足用户q2=q1+ld、l=f时，也可以把高斯光束看作几何光束正确答案：d我的答案：d得分：10.0分以下观点不恰当的就是：a、用参数w(z)和r(z)可以表征高斯光束b、用q参数来研究高斯光束的传输规律将非常方便c、方形孔径的稳定球面腔中存在拉盖尔-高斯光束d、包含在远场发散角内的功率占高斯基模光束总功率的86.5%恰当答案：c我的答案：c罚球：10.0分后下列说法正确的是：a、高斯光束在其传输轴线附近可以对数看做就是一种光滑球面波b、高斯光束的等增益面的曲率中心随z相同而维持不变c、d、离束腰无限远的等相位面是平面，其曲率中心在无限远处恰当答案：c我的答案：c罚球：10.0分后高斯光束的聚焦和准直中，在f一定时，像方腰斑随l变化的情况正确的说法是：a、当l大于f时，像是方腰斑随l的增大而减小b、当l大于f时，像是方腰斑随l的增大而增大c、当l大于f时，像是方腰斑随l的减小而单调地减小正确答案：b我的答案：b第四章作业已完成成绩：100.0分后高斯光束的等相位面是以r为半径的球面，下面判断不正确的是当z=0时，r(z)，说明须弥座所在处的等增益为平面当z＝f时，r(z)=2f，且r(z)达到极大值当z→∞时，r(z)→∞，说明距须弥座无穷远处的等增益面亦为平面d、等相位面的球心是不断变化的恰当答案：b我的答案：b罚球：12.5分后下列哪种说法更科学？a、b、m2因子越大，表明激光束空域质量越好c、远场收敛角越大，表明激光束空域质量越不好正确答案：b我的答案：b得分：12.5分用单透镜对高斯光束涌入时，在物高斯光束的腰斑距透镜甚远的情况下，以下观点恰当的就是？a、l愈小，f愈小，聚焦效果愈好b、l愈小，f愈大，聚焦效果愈好c、l愈大，f 愈大，聚焦效果愈好d、l愈大，f愈小，聚焦效果愈好恰当答案：d我的答案：d罚球：12.5分后关于基模高斯光束的说法中不正确的是？a、其曲率中心和曲率随其传输过程不断变化b、其振幅在横截面内维持高斯分布c、高斯光束在其传输轴线附近可以对数看做就是一种光滑球面波d、其强度在横截面内维持高斯分布正确答案：c我的答案：c得分：12.5分以下观点恰当的就是：当入射在球面镜上的高斯光束波前曲率半径等于球面镜的曲率半径2倍时，像高斯光束与物高斯光束完全重合当入射光在球面镜上的高斯光束波前曲率半径刚好等同于球面镜的曲率半径时，像是高斯光束与物高斯光束全然重合当入射在球面镜上的高斯光束波前曲率半径等于球面镜的曲率半径一半时，像是高斯光束与物高斯光束全然重合d、圆形孔径的稳定球面腔中存在着厄米特-高斯光束恰当答案：b我的答案：b罚球：12.5分后以下说法错误的是？a、方形孔径平衡球面腔中存有的高阶高斯光束为厄米特－高斯光束b、基模高斯光束具备最轻的m2值c、用单个透镜可以将高斯光束转换成平面波d、基模高斯光束在横截面内的场振幅原产按高斯函数所叙述的规律从中心向外光滑地迫降正确答案：c我的答案：c得分：12.5分某二氧化碳激光器，波长10.6m，使用平-凹腔，凹面镜的r=2m，腔短l=1m。
北交大激光原理第4章高斯光束部分-final
第四章高斯光束理论一、学习要求与重点难点学习要求1．掌握高斯光束的描述参数以及传输特性；2．理解q 参数的引入，掌握q 参数的ABCD 定律；3．掌握薄透镜对高斯光束的变换；4．了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导；5．理解高斯光束的聚焦和准直条件；6．了解谐振腔的模式匹配方法。
重点1.高斯光束的传输特性；2. q 参数的引入；3. q 参数的ABCD 定律；4.薄透镜对高斯光束的变换；5.高斯光束的聚焦和准直条件；6.谐振腔的模式匹配方法。
难点1. q 参数，及其ABCD 定律；2.薄透镜对高斯光束的变换；3.谐振腔的模式匹配。
1等相位面：以R 为半径的球面，R(z) =z [ 莘 -2点的远场发散角， m = lim 2w(z) _2 --- =e zY ： z 二 W oW o(或f )及束腰位置―；将两个参数W(z)和R(Z)统一在一个表达式中，便于研究 z、知识点总结振幅分布：按高斯函数从中心向外平滑降落。
光斑半径 w(z)二w 0.:高斯光束特征参数 光斑半径w(z)和等相位面曲率半径:/% =w(z) 1 +⑷(z)丿 R(z)、 -'I :( z = R(z) 1十卜 j 匚 辽w(z)丿.二 W 2(z) 2咼斯光束基本性质远场发散角： 1 1. 九iq 参数，q (z) R(z)兀 w(z)2 q (z )=if+z =q +z =i 孚1高斯光束通过光学系统的传输规律2傍轴光线L 的变换规律器 士C ； D』傍轴球面波的曲率半径R 的变换规律R AR^B .遵从相同的变换规律 CR +D高斯光束q 参数的变换规律q^Aq^B Cq i +DABCD 公式高斯光束q 参数的变换规律 高斯光束的聚焦：只讨论单透镜 高斯光束的准直：一般为双透镜ABCD 公式云誓T 高斯光束的模式匹配：实质是透镜变换，分两种情况已知w 0，w 0，确定透镜焦距F 及透镜距离I ，I' 已知两腔相对位置固定l^ I I '及W o ，W o 确定，F 如何选择高斯光束的自再现变换 )W’o =W o or I'=I高斯光束的自再现变换和稳定球面腔q(I')=q(O )T 2透镜F J U 1+徳J]-丿」I 球面镜R(I)=I 1+@曲[] . 4丿」二w 0即F E R(I)=稳定球面腔、典型问题的分析思路2高斯光束的q 参数在自由空间中的传输规律 q(z) = i —些亠z = q 0亠z1)高斯光束通过单个透镜的变换。
《电动力学第三版》chapter4_7高斯光束
距腰部远处, 当 z k02 时, /2,因此在讨论
远处等相面时可略去 项. 远处等相面方程为
z x2 y2 常数 2z
1
由于当 z2>>x2＋y2时,
1x2z2y2
2
1x2 y2 2z2
等相面方程可写为
1
z1
x2 y2 z2
2
常数
或
r x2y2z2 常数
因此,在远处波阵面变为以腰部中点为球心的球面. 波 阵面从腰部的平面逐渐过渡到远处的球面形状 .
在远处(z >>k02)
z 2z
k0
波束的发散角由tan=/z
确定, 由上式得
2 k 0
注意当0愈小时,发散角愈大. 因此如果要求有良好 的聚焦(0小) ,则发散角必须足够大; 如果要求有良好的 定向(小) ,则宽度0不能太小.
例：0=1000时 , =(103/) rad.
偏离轴向的波矢横向分量为 kk ,满足 k =(1). 这
表示波的空间分布宽度与波矢横向宽度之间的关系 ,是波动现象 的一个普遍关系. 只有无限宽度的平面波才具有完全确定的波矢 , 任何有限宽度的射束都没有完全确定的波矢 .
以上我们分析了一种最简单的波模. 射束还可以有其他波模. 有些波模的径向分布不是简单高斯函数 ,另一些波模不具有轴 对称性. 这些波模的特点都是在横截面上含有一些波节(场强为 零之点) ,因而在横截面上光强显示出明暗相间的图样. 正如在 波导中的一般波动诗歌中波模的叠加一样,一般射束也可以分解 为各种波模的叠加. 具体情况系下产生的射束的形状由激发条 件决定.
g u0
1
2i kA
z
【精品】课件---04-高斯光束
r2
w2 z
exp
i
kz
arctan( z w02
)
exp[i
r2 ] 2R(z)
2.基模高斯光束的相移和等相位面分布
基模高斯光束的相移特性由相位因子决定
x,
y,
z
k
z
r2 2R(z)
arctan
z w02
它描述高斯光束在点(r,z)处相对于原点(0,0)处的相位滞后
R(z) 符号意义为：如果R>0，则球面轴线上的半径方向为z正方向； 如果R<0，则为z负方向。
3
u0
x,
y, z
w0
wz
exp
r2
w2 z
exp i
kz
z arctan( w02
) exp[i
r2 ]
2R(z)
式中：
wz w0
1
z w02
2
w0
1
z z0
2
与轴线交于z点 的等相位面上 的光斑半径
11
二、高阶高斯光束
一）在直角坐标系下的场分布(方形孔径)
高阶高斯光束场的形式：由厄米多项式与高斯函数乘积描述
umn
x,
y,
z
Cmn
w0
wz
Hm
2x
w(
z)
Hn
2y
w(z)
exp
r2
w2
z
exp
i
kz
(1
m
n)
arctan
z w02
exp
i
r2 2R(z)
w0
2
1
z zR
4. 远场发散角
激光原理 高斯光束
| R(z) | 逐渐增加，曲率中心在 (− πω02 , πω02 ) λλ
Z=± ∞
|R(z)|≈|z|→ ∞ (无限远处等相面为平面）
光波面
ω(z)
F
ω0
z
−ω0
F
高斯光束 强度：
共焦腔心处：高斯分布平面波 其他：高斯分布球面波
非均匀球面波 变曲率中心球面波
2014/5/7
高斯光束的基本性质
NJUPT
高斯光束的基本性质
振幅分布及光斑半径
A(r)
A0
A0 e
0 r =ω(z) r
ω(z) =ω0
1+
z f
2
=ω0
λz 2
1
+
πω02
P67
=f π= ω02 1 L 共焦腔反射镜的焦距 λ2
NJUPT
高斯光束的基本性质
振幅分布及光斑半径
ω(z)
F
ω0
y, z)
=
A0 exp[−
ω(z)
(x2 + y2)
ω2(z) ]×
exp−
ik[
x2 + y2 2R(z)
+
z] +
iϕ ( z )
振幅因子
相位因子
NJUPT
高斯光束的基本性质
ω0 ——基模高斯光束的腰斑半径（束腰）
ω(z) ——高斯光束在z处的光斑半径 R(z) ——高斯光束在z处的波面曲率半径
1 =
q 2
C+ D q
=1 A+ B
q 1
(C + D ) − iλ D
北交大激光原理 第4章 Suggests for solving problems概要
第三章光学谐振腔理论一、学习要求与重点难点学习要求1．了解光学谐振腔的构成、分类和模式等基本知识，及其研究方法。
2．理解腔的损耗和无源腔的单模线宽。
3．掌握传播矩阵和光学谐振腔的稳定条件。
4．理解自再现模积分本征方程，了解针对平行平面腔模的数值迭代解法，理解针对球面对称共焦腔模式积分本征方程的近似方法及其解。
5．掌握等价共焦腔方法，掌握谐振腔的模式概念和光束特性。
6．掌握高斯光束的描述参数以及传输特性；7．理解q参数的引入，掌握q参数的ABCD定律；8．掌握薄透镜对高斯光束的变换；9．了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导；10．理解高斯光束的聚焦和准直条件；11．了解谐振腔的模式匹配方法。
12．了解非稳腔的模式理论。
重点1．谐振腔的作用，谐振腔的构成和分类，腔和模的联系；2．传播矩阵分析方法；3．光学谐振腔的稳定条件；4．模自再现概念；5．自再现模积分本征方程的建立，及其近似；6．球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解；7．谐振腔的横纵模式和光束特性；8．稳定谐振腔的等价共焦腔。
9．高斯光束的传输特性；10．q参数的引入；11．q参数的ABCD定律；12．薄透镜对高斯光束的变换；13．高斯光束的聚焦和准直条件；14．谐振腔的模式匹配方法。
难点1．传播矩阵的近似；2．非稳腔；3．模自再现概念；4．自再现模积分本征方程的建立；5．球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解；6．谐振腔的横纵模式和光束特性；7．q参数，及其ABCD定律；8．薄透镜对高斯光束的变换；9．谐振腔的模式匹配。
二、知识点总结,,mnq TEM m n q ⇔⎧⎧⎫→−−−−→⎪⎪→⎪⎨⎬⎪→→→−−−−→⎪⎪⎨⎩⎭⎪⇔--⎪⎩→驻波条件自再现模分立的本征态有限范围的电磁场形成驻波纵模光的频率（振荡频率，空间分布）模式的形成反映腔内光场的分布谐振腔的作用腔和模的联系衍射筛选横模光场横向能量分布腔内存在的电磁场激光模式模式的表示方法：横模指数，纵模指数衍射理论：不同模式按场分布，损耗，谐振频率来区分，理论方法几何光学＋干涉仪理12121212()11)12()10101,1A D A D A D g g or g g L L g g R R ⎧⎨⎩+<+>⇒+±<<==⇒=-=-论：忽略镜边缘引起的衍射效应，不同模式按传输方向和谐振频率区分－粗略但简单明了光腔的损耗－光子的平均寿命－无源腔的Q值－无源腔的线宽1-1<稳定腔2（非稳定腔适用任何形式的腔，只要列出往返矩阵就能判断其稳定与否1共轴球面腔的稳定条件：稳定判据＝临界腔2只使用于简单的共轴球面镜腔⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩（直腔）1． 谐振腔衍射积分方程推导⎧⎧⎫→−−−−−−→−−−−→→⎨⎬⎨⎩⎭⎩自再现模的概念求解方法引进复常数因子解析解：特殊腔（对称共焦腔）本征函数－振幅和相位分布（等相位面）菲涅尔基尔霍夫积分公式推广到谐振腔自再现模积分方程数值求解（数值迭代法）本征值－模的损耗、相移和谐振频率⎧⎧22/0000(1)(1)2(,)N 11[4(,1)(,1)]arg (1)2x y L mn mn om on mn mn mn x y c e NR C R C kL m n λπμδγπφγφ+-⎧⎪=⎪→→⎨⎪⎪⎩=-=-→→∆==-+++∆基模：角向长椭球函数；本征函数振幅和相位高阶横模不是很小时，厄密～高斯函数相位分布：反射镜构成等相位面方形镜：对单程损耗：称本征值径向长椭球函数单程相移：共焦谐振频率：谐振条件2＝-腔的自再现模2/0000[2(1)]4(,)N arg (21)2mnq r L mn mn mn c q m n L x y c e kL m n λππνμπφγφ-⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋅→=+++⎪⎪⎩⎩⎧⎪=⎪→→⎨⎪⎪⎩→∆==-+++∆q 2基模：超椭球函数；本征函数振幅和相位高阶横模不是很小时，拉盖尔～高斯函数相位分布：反射镜构成等相位面圆形镜：单程损耗：只有精确解能够给出。
北交大激光原理 第4章 高斯光束部分
一、
学习要求
1．掌握高斯光束的描述参数以及传输特性；
2．理解q参数的引入，掌握q参数的ABCD定律；
3．掌握薄透镜对高斯光束的变换；
4．了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导；
5．理解高斯光束的聚焦和准直条件；
6．了解谐振腔的模式匹配方法。
重点
1.高斯光束的传输特性；
2.q参数的引入；
让实部和虚部对应相等得到：
进而得到：
将 代入上式可求出
2.二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的曲率半径 ，腔长 。求出它所产生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦参数 及发散角 。
解：
由 ，可得
由 ，可得
3.某高斯光束光腰大小为 ，波长 。求与腰相距30 ，10 ，1 处光斑的大小及波前曲率半径。
解答：
9. 某高斯光束的 ， ，今用一望远镜将其准直，如图3.4所示，主镜用镀金全反射镜： ，口径为 ；副镜为一锗透镜： ，口径为 ，高斯光束的束腰与副镜相距 ，求以下两种情况望远镜系统对高斯光束的准直倍率：（1）两镜的焦点重合；（2）从副镜出射的光腰刚好落在主镜的焦平面。
3.q参数的ABCD定律；
4.薄透镜对高斯光束的变换；
5.高斯光束的聚焦和准直条件；
6.谐振腔的模式匹配方法。
难点
1.q参数，及其ABCD定律；
2.薄透镜对高斯光束的变换；
3.谐振腔的模式匹配。
二、知识点总结
三、典型问题的分析思路
此类问题只涉及高斯光束在自由空间传输，不通过其它光学系统。解此类问题比较简单，根据已知特征参数，高斯光束的结构完全确定，就可以知道任意位置处的光斑尺寸、等相位面曲率半径、q参数及发散角等。
23、试由自在现变换的定义式（2.12.2）用 参数法来推导出自在现变换条件式（2.12.3）。
高斯光束
ω（ｚ）为ｚ 点处的光斑半径，它是距离ｚ 的函数，即
槡 （ ） ω（ｚ）＝ω０
１＋
λｚ πω２０
２
（４５）
·８３·
ω０ 是ｚ＝０处的ω（ｚ）值，即高斯光束的“束腰”半径。
式（４４）中 Ｒ（ｚ）是在ｚ 点处波阵面的曲率半径，它也是ｚ 的函数，即
［ （ ）］ Ｒ（ｚ）＝ｚ １＋
πω２０ λｚ
２
φ（ｚ）是与ｚ 有关的位相因子，且
当ｚ 趋向无穷大时（ｚ→∞），高斯光束的发散角 即 为 双 曲 线 两 条 渐 近 线 之 间 的 夹 角，将 其
定义为高斯激光束的远场发散角，通常用θ０ 来表示，即
θ０＝ｌｚｉ→ｍ∞２ωｚ（ｚ）＝π２ωλ０
（４１１）
如图４５所示。
图４４ 高斯光束等相位面的分布示意图
图４５ 高斯光束的发散角
理论计算表明，基模高斯光束的发散角具有毫弧度的数量级，因此其方向性相当好。由于
高阶模的发散角是随模阶次而增大，所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。
４ 瑞利长度 若在ｚ＝ｚＲ 处，高斯光束光斑面积为束腰处最小光斑面积的两倍，则从束腰处算起的这个 长度ｚＲ 称为瑞利长度，如图４６所示。
在瑞利长度ｚＲ 位置处，其光斑半径ω（ｚＲ）为腰斑半径ω０ 的槡２倍，即
１ ｑ（ｚ）
因此，ｑ参数也可以用来表征高斯光束。
将式（４４）改写为如下形式
（４１５）
｛ ［ （ ）］ ｝ Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ωＡ（ｚ０）ｅｘｐ －ｉｋ ｚ＋ｘ２２＋ｙ２ Ｒ１（ｚ）－ｋω２２ｉ（ｚ） ＋ｉφ（ｚ）
将式（４１４）代入上式得
｛ ［ ］ ｝ Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ωＡ（ｚ０）ｅｘｐ －ｉｋ ｚ＋ｘ２ｑ２＋（ｚｙ）２ ＋ｉφ（ｚ）
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第四章高斯光束理论一、学习要求与重点难点学习要求1．掌握高斯光束的描述参数以及传输特性；2．理解q参数的引入，掌握q参数的ABCD定律；3．掌握薄透镜对高斯光束的变换；4．了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导；5．理解高斯光束的聚焦和准直条件；6．了解谐振腔的模式匹配方法。
重点1.高斯光束的传输特性；2.q参数的引入；3.q参数的ABCD定律；4.薄透镜对高斯光束的变换；5.高斯光束的聚焦和准直条件；6.谐振腔的模式匹配方法。
难点1.q参数，及其ABCD定律；2.薄透镜对高斯光束的变换；3.谐振腔的模式匹配。
二、知识点总结22()220020()()112()lim 2r w z z e w z w w R R z z z w z e z w πλλθπ-→∞⎧⎪=⎪⎪⎡⎤⎪⎛⎫⎪⎢⎥=+⎨ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎪⎪===⎪⎪⎩振幅分布：按高斯函数从中心向外平滑降落。
光斑半径高斯光束基本性质等相位面：以为半径的球面，远场发散角：基模高斯光束强度的点的远场发散角， ()01/2221222200()()1()()()1()11()()()()()w f w z w z R z R z z R z w z i q z R z w z W z R Z w q z if z q z i z πλλπλππλ--⎧⎡⎤⎛⎫⎪=+⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦→⎨⎪⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩=-→=+=+=+0（或）及束腰位置w 高斯光束特征参数光斑半径w(z)和等相位面曲率半径R(z)，q 参数，将两个参数和统一在一个表达式中，便于研究⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩高斯光束通过光学系统的传输规律121121121A B C D AR B R R ABCD CR D Aq B q q Cq D θθθθ⎧⎫+⎪⎪⎪⎪=⎪⎪+⎪⎪⎪⎪+⎪⎪=→⎨⎬+⎪⎪⎪⎪+=⎪⎪+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭121r r r傍轴光线的变换规律r 傍轴球面波的曲率半径的变换规律遵从相同的变换规律公式高斯光束参数的变换规律 121'00'000''ABCD Aq B q Cq D q w w F l l l l l w w F +=+⎧⎪⎪⎪⎧−−−−→⎨⎪⎨⎪=+⎪⎩⎪⎪⎩公式高斯光束的聚焦:只讨论单透镜高斯光束的准直：一般为双透镜高斯光束参数的变换规律已知，，确定透镜焦距及透镜距离，高斯光束的模式匹配：实质是透镜变换，分两种情况已知两腔相对位置固定及，确定，如何选择高斯光束的自再现变换和稳定球面腔 220220112'1(')(0)()'2()1w F l l w w or q l q F R l l lw R l l l πλπλ⎧⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭=⎧⎪⎣⎦→=→=⇔⎨⎨=⎡⎤⎩⎪⎛⎫⎢⎥=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩透镜高斯光束的自再现变换即稳定球面腔球面镜三、典型问题的分析思路()w z w w ==等相位面曲率半径 220()1w R z z z πλ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦高斯光束的q 参数在自由空间中的传输规律20()w q z i z q z πλ=+=+ 2211Re ()()11()()()11Im ()()R z q z i q z R z w z w z q z λππλ⎧⎧⎫=⎨⎬⎪⎪⎩⎭=-⇒⎨⎧⎫⎪=-⎨⎬⎪⎩⎭⎩基模高斯光束强度的1/e 2点的远场发散角002()lim 2z w z zw λθπ→∞===的实质是，通过任意光学系统追踪高斯光束的q 参数值。
首先要计算傍轴光线通过该系统的变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A →求出某位置处的q(z)→光束的曲率半径R(z)和光斑大小w(z)。
1）高斯光束通过单个透镜的变换。
已知入射高斯光束的腰斑半径和位置，求出射高斯光束的腰斑半径和位置。
求解这类问题的方法是根据傍轴光线通过该系统（透镜）的变换矩阵1011A B C D F ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，在透镜左端入射高斯光束的q 参数A q if l =+，求出经过此光学系统变换后的q 参数，然后得到出射高斯光束的腰斑半径和位置。
高斯光束通过双透镜的变换。
高斯光束通过第一个透镜后，出射高斯光束的腰斑半径和位置，然后将第一个透镜的出射光束看成是第二个透镜的入射光束，再重复利用公式 3）高斯光束的聚焦()()()222002222220w F w F l f l F F l F l F fw f πλ'=-+-'=+-+=(1) F < f 透镜焦距足够小 无论 l 为何值, 均可使00w w '<若 F > f 要使 00w w '<要求()222F F l f <-+即l F l F ><才能聚焦如果F l F <<不能聚焦(2). F 一定时00'l F w F w l F λπ'=⇒== 0l F l w '>⇒↑→↓00l w l F ''=∞⇒→→良好的聚焦效果：使用短焦距透镜；光腰远离透镜；双透镜聚焦 4）高斯光束的准直a. 单透镜对高斯光束发散角的影响物高斯光束的发散角为 002w λθπ=像高斯光束的发散角为 00'2'w λθπ=()2220022w Fw F l f'=-+0'θ=当l F =时，'0w 达到极大值00'w F w λπ=00'22'w w Fλθπ==在l F =时， F 越大， 0w 越小，像高斯光束的方向性越好。
b. 利用望远镜将高斯光束准直方法：先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，获得极小的腰斑，然后用一个长焦距的透镜来改善其方向性，可得到很好的准直效果。
w 0l F 1F 2sw (l)w '0w "0经过第二个透镜后高斯光束的发散角02w λθπ''=''可以看出0w θ''''↑→↓，所以要使 0w ''增大 当 2l F '= 时, 020w F w λπ'''=最大。
所以第二个透镜的焦距2F 要尽可能的大,而且'0w 要尽可能的小，这就要求1l F >>，这时光腰几乎落在焦平面上, 12S F F ≈+组成一倒装望远镜。
准直倍率(发散角压缩比) ()222210111w l F F F l M F w F f F θθ⎛⎫'==⋅=+> ⎪''⎝⎭5）高斯光束的模式匹配模式匹配是使一个谐振腔的振荡模式经透镜变换后能在另一个谐振腔激发出相同的模式。
问题实质是透镜变换。
分两种情况：一种是已知w 0 ，w’0 ，确定透镜焦距（F ）及透镜的距离 l ， l’（即两腔的相对位置）。
根据物方高斯光束和像方高斯光束腰斑尺寸和束腰到透镜的距离所满足的公式000w w f πλ'=当0F f >并确定时，可求得 ,'l l 第二种情况是两腔相对位置固定 (即两光腰之间的距离) 'l l l +=0 及w 0, w’0确定，为了实现模匹配, F如何选择。
l F l F -='-=将上面两式相加，根据0'l l l =+，得到000002w w l F w w ⎫'-=+⎪'⎭其中000w w f πλ'=，设0000w w A w w ⎛⎫'=+ ⎪'⎝⎭，上面方程变为()()22222000440A Fl F l A f --++=根据此式可求的焦距F 。
四、思考题1. 高斯光束最多需要几个独立参数来描写2. 认为描述激光束最重要的一个参数是什么，为什么3. 何使单透镜对激光束的聚焦效果最好4. 对激光束聚焦的单透镜应如何选取5. 如何才能使激光束准直效果最好6. 聚焦、打孔及准直是高斯光束常见的应用问题，如何取得最佳工作条件7. 如何加入第二束共线共焦UV 激光(30分)8. 试说明发散角和球面光波束张角的区别。
五、练习题1波长为λ的高斯光束入射到位于1z =（图）处的透镜上，为了使出射高斯光束的光腰刚好落在样品的表面上（样品表面距透镜L ），透镜的焦距f 应为多少画出解的简图。
样品w flL图2. 二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的曲率半径2R m =，腔长1L m =。
求出它所产生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦参数R z 及发散角θ。
3. 某高斯光束光腰大小为0 1.14mm ω=，波长10.6m λμ=。
求与腰相距30cm ，10m ，1km 处光斑的大小及波前曲率半径。
4. 求出上题所给出的个高斯光束的发散角21/e θ。
用计算来回答下述问题：在什么条件下可以将高斯光束近似地看作曲率中心在光腰处的球面波即在什么条件下可以用公式()R z z =和公式21/()()e w z R z θ=⋅来计算高斯光束的光斑大小的波前曲率半径5. 某高斯光束的0 1.2mm ω=，10.6m λμ=。
另用2f cm =的凸透镜来聚焦。
当光腰与透镜距离分别为10m 、1m 、0时，出射高斯光束的光腰大小和位置各为多少分析所得的结果。
6. 已知高斯光束的00.3mm ω=，0.6328m λμ=。
试求：（1）光腰处；（2）与光腰相距30cm 处；（3）无穷远处的复参数q 值。
7. 两支氦氖激光器的结构及相对位置如图所示，求在什么位置插入一焦距为多大的透镜才能实现两个腔之间的模匹配11R m =2R =∞'50R cm='2R =∞30L cm='25L cm=50cm图8. 从腔长为1m ，反射镜曲率半径为2m 的对称腔中输出的高斯光束入射到腔长为5cm ，曲率半径为10cm 的干涉仪中去，两腔长相距50cm ，为得到模匹配，应把焦距为多大的透镜放置在何处9. 某高斯光束的0 1.2w mm =，10.6m λμ=，今用一望远镜将其准直，如图所示，主镜用镀金全反射镜：1R m =，口径为10cm ；副镜为一锗透镜：1 2.5f cm =，口径为1.5cm ，高斯光束的束腰与副镜相距1l m =，求以下两种情况望远镜系统对高斯光束的准直倍率：（1）两镜的焦点重合；（2）从副镜出射的光腰刚好落在主镜的焦平面。
图10. 月球距地球表面53.810km ⨯，使用波长0.5145m λμ=的激光束照射月球表面。
当（1）光束发散角为31.010rad -⨯；（2）光束发散角为61.010rad -⨯时，月球表面被照亮的面积为多少两种情况下，光腰半径各为多少11. 一高斯光束的光腰半径02w cm =，波长1m λμ=，从距离透镜为d 的地方垂直入射到焦距为4F cm =的透镜上。