2基本初等函数

高三知识与能力达标测试题（二）（基本初等函数）一．选择题1．函数y ＝a x －2＋log (1)a x -＋1（a ＞0，a ≠1）的图象必经过点（ ）A ．（0，1）B ．（1，1）C ．（2，1）D ．（2，2） 2．已知221,0,0x y x y +=>>，且1lo g (1),l og ,l1aa a xm n y x+==-则等于（ ）．A ．m n +B ．m n -C ．()12m n + D ．()12m n - 3．函数f （x ）=log a （a －a x ）在其定义域上是（ ）． A ．增函数B ．减函数C ．不是单调函数D ．单调性与a 有关4．已知0＜a ＜1，log log 0a a m n <<，则（ ）．A ．1＜n ＜mB ．1＜m ＜nC ．m ＜n ＜1D ．n ＜m ＜1 5．使不等式123x x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．0x <或1x > B ．0＜x ＜1 C ．x ＞1D ．x ＜16．函数m y x -=--12的图象与x 轴有交点时,则A ．01<≤-mB ．10≤≤mC ．10≤<mD ．0≥m7．函数x y 3log =与()x y 9log 31=的图象( )A.关于直线1=x 对称B.关于直线x y =对称C.关于直线1-=y 对称D.关于直线1=y 对称8．若a 2x=2－1，则xx xx aa a a --++33等于（ ）A ．22－1B ．2－22C ．22+1D ．2+19．已知(3)4,1()log ,1a a x a x f x x x --⎧=⎨≥⎩＜，是（-∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是 （A ）(1，+∞)（B ）(-∞,3) (C)⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,53(D)(1,3)10．如果函数y 2(31)(0x x a a a a =-->且1)a ≠在区间[0,)+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是（A ）2(0,]3 （B） （C） （D ）3[,)2+∞11．已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<12．设()2212(3)2(2),2log (1)2,2x t t x f x x x -+⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为（ ）．A ．（1，+∞）B ．（2，+∞）C ．（1，2） （2，+∞）D ．（1，2] 二．填空题13．设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________.14．已知函数()()b x f x-=2lg (b 为常数),若[)+∞∈,1x 时,()0≥x f 恒成立,则b 的取值范围是___________．15．已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞）上是增函数，且f （21）＝0，则不等式f（l og4x）＞0的解集是______________．16．若log a x＝log b y＝－21log c2，a，b，c均为不等于1的正数，且x＞0，y＞0，c＝ab，则xy＝________________．三．解答题17．如图，ABC∆中，,22,90==︒=∠BCACC一个边长2的正方形由位置Ⅰ沿AB边平行移动到位置Ⅱ，若移动的距离为x，正方形和三角形的公共部分的面积为)(xf，（1）求)(xf的解析式；（2）在坐标系中画出函数)(xfy=的草图；（3）根据图象，指出函数)(xfy=的最大值和单调区间．18．设1x和2x是方程22(3)(9)0x t x t+-+-=的两个实根,定义函数22200612()log()f t x x=+，（1）求函数)(tfy=的解析式及定义域；（2）求函数)(tfy=的单调区间；（3）若()332,2x-∈，试比较()2logf x与()3logf x的大小．19．某型号高脚杯的曲面是由一幂函数在x轴上侧的部分沿着y轴旋转一周得到，高脚杯的高度为9cm，曲面底部的高度为5cm，上缘面所在圆的半径为，如图所示．（1）求该幂函数的方程；（2）有种型号的易拉罐的底面半径为3cm，若使高脚杯能够倒套在这种易拉罐上（如图），A B则应该加长高脚杯的曲面部分．求高脚杯的高度不应小于多少．（精确到小数点后一位数字）20．已知函数()22x ax b f x +=+，且f （1）＝52、f （2）＝174． （1）求a b 、；（2）判断f （x ）的奇偶性；（3）试判断函数在(,0]-∞上的单调性，并证明之； （4）求函数f （x ）的最小值．参考答案1．答案：D 2．答案：D 3．答案：B 4．答案：A5．答案：A 6．答案：C 7．答案：C8．答案：A 提示：在原式的分子、分母上同时乘以xa ． 9．答案：D 10．答案：B 11．答案：D12．答案：A 提示：此题中()f x 的解析式看起来很复杂，但形式上不过是一个分段函数．由()2f x >可知：()122222x x t -<⎧⎪⎨+>⎪⎩或()()2232log 122t x x +≥⎧⎪⎨-+>⎪⎩ 即：()()10222212x x t t -<⎧⎪⎨+>=+⎪⎩或()()()222332log 10log 1t t x x ++≥⎧⎪⎨->=⎪⎩注意到222131t t +>+>、，函数()22xy t =+和()23log t y x +=在定义域上皆为增函数，210x x <⎧∴⎨->⎩或2x x x ≥⎧⎪⎨><⎪⎩1x >． 作为选择题，此题用特值法更简单，只需验证2x =和3x =即可． 分段函数是高考考察的热点，应重点注意．13．答案：1ln 2111(())(ln )222g g g e ===.14．答案：1≤b . 15．答案：x ＞2或0＜x ＜21提示：因为f （x ）是偶函数，所以f （－21）＝f （21）＝0．又f （x ）在［0，＋∞）上是增函数，所以f （x ）在（－∞，0）上是减函数．所以f （l og 4x ）＞0⇒l og 4x ＞21或l og 4x ＜－21．解得x ＞2或0＜x ＜21．16．答案：2117．解：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<<-+-≤≤=)64(,)6(21)42(,66)20(,21)(222x x x x x x x x f ；（2）由解析式可得图像如下：（3）由图像可知： 3=x 时，函数值最大为3；单调增区间为]3,0[，单调减区间为]6,3[．18．解：（1）首先，()()223490t t ∆=--->，即()()530t t +-<，解得53t -<< ．．．．．．．．．① 再由根与系数的关系可得：123x x t +=-，2129x x t =-所以：()2221212122x x x x x x +=+- ()()22329t t =---2627t t =--+即：22006()log (627)f t t t =--+．由26270t t --+>可解得：93t -<< ．．．．．．．．．② 由①②得定义域为()5,3-．（2）设2627x t t =--+，此函数在(,3]-∞-上为增函数，在[3,)+∞上为减函数，而函数2006log y x =在定义域上为增函数，又因为)(t f y =的定义域为()5,3-，所以)(t f y =的单调递增区间为(5,3]--，单调递减区间为[3,3)-．（3）当()32,1x -∈时，233log log 0x x -<<<，因为()f t 在[3,3)-上为减函数，所以()()23log log f x f x >；当1x =时，23log log 0x x ==，所以()()23log log f x f x =；当()31,2x ∈时，320log log 3x x <<<，因为()f t 在[3,3)-上为减函数，所以()()23log log f x f x <．19．解：（1）设所求幂函数为a y x =，则由已知可得，当x =954y =-=，所以：(4a=，解得32a =， 从而32y x =．（2）当高脚杯上缘面的半径等于3cm 时，曲面部分的高度为323 5.2y =≈cm此时高脚杯的高度为5．2＋5＝10．2cm ，所以高脚杯的高度最小不应小于10．2cm ．20．解：（1）由已知得：2522217424a ba b++⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩． （2）由上知()22x x f x -=+．任取x R ∈，则 ()()()22xxf x f x ----=+=，所以()f x 为偶函数．（3）可知()f x 在(,0]-∞上应为减函数．下面证明： 任取12(,0]x x ∈-∞、，且12x x <，则()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+()12121122()22x x x x =-+- ＝()()1212122222122x x x x x x --，因为12(,0]x x ∈-∞、，且12x x <，所以120221xx <<≤，从而12220x x -<，122210x x -<，12220x x >，故()()120f x f x ->，由此得函数()f x 在(,0]-∞上为减函数 （4）因为()f x 在(,0]-∞上为减函数，且()f x 为偶函数，所以f （x ）在[0，＋∞）上是增函数，所以当0x ≥时，()(0)f x f ≥；又因为()f x 在(,0]-∞上为减函数，所以当0x ≤时，()(0)f x f ≥，从而对于任意的x R ∈，都有：()()000222f x f ≥=+=， 所以()f x 的最小值为2．。