必修2 第1章 立体几何初步.

第1章 立体几何初步§1.2.2 空间两直线的位置关系重难点：理解异面直线的概念，能计算异面直线所成角；掌握公理4及等角定理．经典例题：如图，直线a,b 是异面直线，A 、B 、C 为直线a 上三点,D 、E 、F 是直线b 上三点，A ' 、B '、 C '、D ' 、E '分别为AD 、DB 、BE 、EC 、CF 的中点． 求证：（1）'''A B C ∠='''C D E ∠； （2）A ' 、B ' 、C '、D ' 、E '共面．当堂练习：1．若a ,b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则a ,c 的位置关系是（ ）A ． 相交、平行或异面B ． 相交或平行C ． 异面D ． 平行或异面 2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）A ．异面B ． 相交C ．平行D ．异面或相交 3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ）A ．3条B ． 4条C ． 6条D ． 8条 4．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ） A ． 一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ． 不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线5．下面命题中，正确结论有（ ）① 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；② 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； ③ 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④ 如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ．4个 6．下列命题中正确命题的个数是（ ）① 两条直线和第三条直线等角，则这两条直线平行；② 平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；③ 过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE, 则∠BAE 是异面直线AB 与CD 所成的角; ④ 四边相等, 且四个角也相等的四边形是正方形.A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 7．已知异面直线a,b 分别在,αβ内，面αβ=c ，则直线c （ ）A ．一定与a,b 中的两条都相交B ．至少与a,b 中的一条都相交C ．至多与a,b 中的一条都相交D ．至少与a,b 中的一条都平行 8．两条异面直线所成的角指的是（ ）①两条相交直线所成的角; ②过空间中任一点与两条异面直线分别平行的两条相交直线所成的锐角或直角; ③过其中一条上的一点作与另一条平行的直线, 这两条相交直线所成的锐角或直角; ④ 两条直线既不平行又不相交, 无法成角．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④9．空间四边形ABCD 中, AB 、BC 、CD 的中点分别是P 、Q 、R , 且PQ=2 , QR=5, PR=3 ,那么异面直线AC 和BD 所成的角是（ ）A ． 900B ． 600C ． 450D ．30010．直线a 与直线b 、c 所成的角都相等, 则b 、c 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ． 异面D ． 以上都可能11．空间四边形ABCD 的两条对角线AC 和BD 的长分别为6和4，它们所成的角为900，则四边形两组对边ABDCNMP中点的距离等于（ ）A ．13B ． 5C ． 5D ． 以上都不对 12．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是所在棱的中点， 则下列结论正确的是（ ）A ．GH 和MN 是平行直线；GH 和EF 是相交直线B ．GH 和MN 是平行直线；MN 和EF 是相交直线C ．GH 和MN 是相交直线；GH 和EF 是异面直线D ．GH 和EF 是异面直线；MN 和EF 也是异面直线13．点A 是等边三角形BCD 所在平面外一点, AB=AC=AD=BC=a, E 、F 分别在AB 、CD 上，且)0(>==λλFDCFEB AE ，设λλβαλ+=)(f ，λα表示EF 与AC 所成的角，λβ表示EF 与BD 所成的角，则（ ）A ． )(λf 在),0(+∞上是增函数B ． )(λf 在),0(+∞上是增函数C ． )(λf 在)1,0(上是增函数，在),1(+∞上是减函数D ． )(λf 在),0(+∞上是常数14．直线a 、b 不在平面α内，a 、b 在平面α内的射影是两条平行直线，则a 、b 的位置关系是_______________________．15．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、CC 1、C 1D 1、D 1A 1的中点，则四边形EFGH 的形状是___________________．16．空间四边形ABCD 中, AD=1 , BC=313232, 且AD BC ⊥, 则异面直线AC 和BD 所成的角为__________________．17．已知a ,b 是一对异面直线，且a ,b 成700角, 则在过P 点的直线中与a ,b 所成的角都为700的直线有____________条．18．已知AC 的长为定值，D ∉平面ABC ，点M 、N 分别是∆DAB 和∆DBC 的重心． 求证: 无论B 、D 如何变换位置, 线段MN 的长必为定值．19．M 、N 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、B 1C 1的中点，(1)求MN 与AD 所成的角；(2)求MN 与CD 1所成的角．20．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线AC=14cm,BD=14cm ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，MN=73cm ，求异面直线AC 与BD 所成的角．21．在共点O 的三条不共面直线a 、b 、c 上，在点O 的同侧分别取点A 的A 1、B 的B 1、C 和C 1，使得OCOC OA OA OB OB OA OA 1111,==. 求证: ABC ∆∽∆A 1B 1C 1 ．ABA 1B 1D 1CD C 1EF H GMBAA B 1LM D 1C 1DCN §1.2.2 空间两直线的位置关系经典例题：证明：⑴⎪⎭⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒''''''''''''''||||||||,,E D C B D C B A a D C a B A DB AD B A 同理同理的中点是⇒ ⇒∠∠的两边平行且方向相同的两边和''''''E D C C B A ''''''E D C C B A ∠=∠．⑵⎪⎭⎪⎬⎫⇒⇒⇒⎭⎬⎫⇒有且只有一个平面过三点不共线异面都经过点共面同理共面''''''''''''''''''''',,,,,,,,,,,,,,||D C B D C B b a D C B E D C B D C B A D C B A βαβα ⇒⇒重合平面βα, A '、B '、C '、D '、E '共面．当堂练习：1.A;2.D;3.C;4.C;5.B;6.B;7.B;8.B;9.A; 10.D; 11.A; 12.B; 13.D; 14. 平行或异面; 15. 等腰梯形; 16. 900; 17. 4;18.如图, 延长DM 交AB 于F, 延长DN 交BC 于E, M 、N 为重心,∴F 、E 分别为AB 、BC 的中点. EF ∴||AC 且EF=.21AC 又在∆DEF 中, DM: MF=DN: NE=2: 1, MN ∴||EF 且MN=EF 32, AC MN ||∴且MN=.31AC 即MN 为与BD 无关的定值. 19. 解（1）：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD||B 1C 1⇒ B 1C 1与MN 所成的锐角（或直角）是AB 、CD 所成的角1110111111,,90NB M N B B B C C B B M B C BB ∠=⇒∆=⎫⎪⎬⎪⎭分别是的中点是等腰直角三角形 ∠⇒B 1NM=450 ⇒MN 与AD 所成的角为450。

解（2）：连接A 1B ，过M 在面A 1B 中作A 1B 的平行线交A 1B 1于点L ， 连接LN ，⇒⎭⎬⎫BA LMB ACD 111||||可以证明LM||D 1C ∠⇒LMN （或其补角）即为MN 与CD 1所成的角．.21,2121||111111111111是等边三角形可以求得同理的中点是的中点是LMN C A B C B A C A LN B C MN B A LM B A L B A LM BB M ∆⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=====⇒⇒⎭⎬⎫⇒∠LMN=600 ⇒MN 与CD 1所成的角为600．20.解: 取BC 的中点P ，连接PM ，PN ，可证∠MPN （或其补角）是异面直线AC 与BD 所成的角， 在∆PMN 中，由3,可得cos ∠MPN=12-,∠MPN=1200．则异面直线AC 与BD 所成的角为600． 21.1111,OA OB OA OC OAOB OA OC ==, ∴111OA OB OC OA OB OC==. 在平面OAB 和平面OAC 中,有A 1B 1||AB , A 1C 1||AC , ∴∠=∠BAC B 1A 1C 1,同理: ∠=∠ABC A 1B 1C 1, ∴ ABC ∆∽∆A 1B 1C 1 .。