金融工程中的数值方法
金融工程的计算方法
金融工程的计算方法金融工程是指利用金融产品和工具，通过量化分析、计算、模拟等方法，管理金融风险、优化投资组合、实现资产定价等目的的一门学科。
而计算方法，则是金融工程中不可或缺的一个重要组成部分。
本文将探讨金融工程中的计算方法。
一、基础数学方法金融工程是一门应用广泛的学科，各类金融产品的价格、风险等都需要进行计算和评估。
因此，基础数学方法是金融工程计算方法的前提。
其中，概率与统计学、微积分等都是金融工程中不可或缺的数学基础。
使用概率与统计学方法，我们可以对金融市场、金融产品等进行分析，并做出风险评估。
例如，在股票市场中，我们可以使用随机游走模型、波动率模型等方法来预测股票的价格变化。
而微积分方法，则可以用于计算衍生品的价格、风险等。
二、金融模型在金融工程中，许多问题都需要使用金融模型来求解。
金融模型可以用来计算不同金融产品的价格、风险等指标。
常用的金融模型包括：1. 常规模型：例如资本资产定价模型（CAPM）、布莱克-什尔斯模型（Black-Scholes model）等。
2. 离散时间模型：例如科克斯-卢宾斯坦模型（Cox-Ross-Rubinstein model）、二叉树模型（Binomial tree model）等。
3. 连续时间模型：例如几何布朗运动模型（Geometric Brownian motion model）、欧几里得期权模型（Euclidean option pricing model）等。
不同的金融产品和问题所需的模型不同，因此选择合适的金融模型也是金融工程计算方法中至关重要的一环。
三、计算机程序计算机程序在金融工程计算方法中也扮演着重要的角色。
计算机程序可以加快计算速度、提高精度，同时也便于实际操作和使用。
许多金融计算问题都需要进行大量数据处理、精确计算等，而手动计算工作效率低下且易出错。
因此，编写计算机程序是处理金融计算问题的好方法。
例如，我们可以使用Python、Matlab等编写计算程序，快速完成股票价格、期权价格、债券价格等各类金融产品的计算和分析工作。
分析金融工程学的数学模型与方法
分析金融工程学的数学模型与方法金融工程学是将数学、统计学和计算机科学等学科的理论与方法应用于金融领域，通过建立数学模型和运用相应的数学方法来解决金融问题。
金融工程的数学模型通常涉及到金融市场的走势预测、风险管理和金融衍生品的定价等方面。
最为经典且广泛应用的数学模型包括随机过程模型、连续时间模型和离散时间模型。
随机过程模型是指根据概率规律描述随机变量在时间变化中的规律。
随机过程模型被广泛应用于金融市场中，以描述资产价格、收益率或其他金融变量随时间的变化。
著名的随机过程模型包括布朗运动、几何布朗运动和扩散过程等。
连续时间模型是一类基于微分方程的数学模型，常用于解决金融衍生品的定价问题。
布莱克-斯科尔斯模型是最为著名的连续时间模型，通过假设股票价格服从几何布朗运动来推导股票期权的定价公式。
连续时间模型还包括了对风险中性测度和互补性的研究，以及对动态对冲策略和风险管理的分析。
离散时间模型则是以时间的离散点建模，并在每个时间点上进行决策。
离散时间模型的优势在于对时间间隔的控制更加灵活，计算上相对简单。
最为常见的离散时间模型是蒙特卡洛模拟。
蒙特卡洛模拟通过随机数的生成和重复试验，模拟金融问题的可能情况，并计算出相应的数值结果。
在金融工程学的数学方法中，统计学扮演了重要的角色。
统计学通过对金融数据的分析，提供了对金融市场的了解和预测。
统计学方法包括时间序列分析、回归分析、假设检验和方差分析等，这些方法被广泛应用于金融数据的建模和预测。
计算机科学也是金融工程学中不可或缺的一环。
计算机科学为金融工程师提供了强大的计算和模拟能力，使得能够处理大规模的金融数据和复杂的金融模型。
计算机科学的方法包括数值计算、算法设计和程序编写等。
金融工程学的数学模型和方法主要是建立在随机过程模型、连续时间模型和离散时间模型的基础上，结合统计学和计算机科学的方法来解决金融问题。
这些模型和方法的应用，提高了金融市场的效率和风险管理的能力，为金融领域的决策和投资提供了科学的依据。
金融工程学 第六章
394
2.5×(355-350)
355 320
2.5×(320-350)
288 黄金价格可能走势: 上、上、下、上、上、下、下、下、下
2013-7-4
-100
22
价值估计
2.5(437 350)- 200 2.5(395 350) 5 6 1.034 1.034 2.5(355 350) 2.5(320 350) 7 8 1.034 1.034 2.5(288 350)- 100 9 1.034 所有路径下金矿的平均值称为当开业价410和 停业价290时金矿的最优估计值。
0
1月
2月
1.004
55.13
5.13 2.5
52.5
股票 50 47.5 49.88
c
0
0 0
13
45.13
2013-7-4
续
5.13 2.5
c
0 0 0
c
cu cd
cuu cud cdd
r d p 0.54 ud 1 cu pcuu 1 p cud 2.76 r cd 0
2013-7-4 10
风险中性概率
p
uS
S
1 c pcu 1 p cd r 其中 rd p ud — 风险中性概率
1-p
dS
按风险中性概率，股票到期期望收益为
puS 1 p dS rd r d uS 1 dS ud ud rS
2013-7-4
20
停业决策和开业决策
437 394 355 320 288 259 233
黄金价格二叉树 u=1.11, d=0.90
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金融工程学期权定价的数值方法课件
ud
PPT学习交流12来自同样，在风险中性世界中，股票期权未来 价格的期望值按无风险利率贴现的现值必须等 于该期权当前的价格，即
fe rf(T t) p fu (1 p )fd
其中
erf (T t) d p
ud
PPT学习交流
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例：
假设一种不支付红利股票目前的市价为10 元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11 元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于 10%，则一份3个月期以该股票为标的资产，且 执行价格为10.5元的欧式看涨期权的价值是多少？
ud
fd
E S T p S u 1 p S d S 0 e r fT t
f0p fu 1 pfde r fT t
PPT学习交流
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风险中性定价原理 假定股票的上升概率为p。在风险中性世界 中，股票未来价格的期望值按无风险利率贴现 的现值必须等于该股票目前的价格，因此有
S e r f( T t)u S p d S ( 1 p )
构造无风险组合：
S0 : c :1
因为无风险，则有
u S T c u d S T c d
2 2 1 1 8 0 0.25
S0
c0
uST cu
1rf Tt
c0 0.631068
S 0 c 0 d S T c de rfT t
c0 0.632995
PPT学习交流
2
例：S020;Xc 21;u110%;
7
⒋ 美式期权的两步二叉树定价法
定价的过程从二叉树的末端开始倒推到起 始点，在每个节点上必须检验期权是否会被提 前执行，如果会被提前执行，则以行权收益为 该节点的期权价格，否则按照标准公式计算期 权价格，末端节点的价格均按照欧式期权计算。
金融工程技术的数据分析方法与应用
金融工程技术的数据分析方法与应用一、引言在当今数字化时代，金融行业充斥着大量的数据。
为了更好地应对这些数据，金融工程技术的发展旨在利用数据分析方法提供更准确、可靠的决策依据。
本文将讨论金融工程技术领域中常用的数据分析方法及其应用。
二、数据收集与处理1. 数据收集数据收集是数据分析的基础步骤。
金融工程技术的数据分析方法主要依赖于大量的金融市场数据、经济指标数据以及公司财务数据。
这些数据可以通过各类金融数据库、宏观经济数据库以及专业财务数据提供商获得。
2. 数据清洗与预处理数据清洗与预处理是为了消除数据中的噪音、异常值，确保数据的质量和准确性。
针对金融工程技术的数据分析，我们可以利用数据清洗工具、数据筛选算法等方法来进行数据清洗和预处理的工作。
三、数据分析方法1. 描述性统计分析描述性统计分析是通过对数据的分类、整理、归纳、统计等手段，对数据的性质和特征进行总结和分析。
在金融领域，我们可以利用描述性统计分析方法来计算金融市场的均值、方差、标准差等重要指标，研究金融产品的分布情况，描述金融市场的行情波动等。
2. 时间序列分析时间序列分析是对一系列按时间顺序排列的数据进行建模、分析和预测的方法。
在金融工程技术中，时间序列分析可以帮助我们理解金融市场的历史走势以及未来走势的可能性。
常用的时间序列分析方法包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归条件异方差模型（ARCH）等。
3. 预测模型建立预测模型是建立在历史数据基础上对未来进行预测的模型。
在金融工程技术中，预测模型可以帮助我们预测金融市场的涨跌趋势、货币汇率的波动等。
常用的预测模型包括回归分析模型、时间序列模型、人工神经网络模型等。
4. 风险评估与管理金融行业伴随着各种风险，包括市场风险、信用风险、操作风险等。
数据分析方法在风险评估与管理中发挥着重要作用。
通过对大量的金融数据进行分析，可以帮助金融从业者识别风险、评估损失潜力，并制定相应的风险管理策略。
金融工程技术的金融数据分析方法与实践
金融工程技术的金融数据分析方法与实践随着金融业的快速发展，金融数据分析变得越来越重要。
金融工程技术的出现为金融数据分析提供了全新的方法和工具，为金融业的决策提供了更加准确和可靠的支持。
本文将深入探讨金融工程技术在金融数据分析中的应用，重点介绍一些常见的金融数据分析方法和实践案例。
一、金融数据分析方法1. 统计分析方法统计分析方法是金融数据分析中最为基础和常用的方法之一。
通过对金融数据的描述、分布和关系进行统计分析，可以揭示出隐藏在数据背后的规律和趋势，为金融业的决策提供依据。
统计分析方法包括描述统计、回归分析、时间序列分析等，可以帮助分析师更好地理解和解释金融数据。
2. 数据挖掘方法数据挖掘方法是一种通过自动或半自动的方式从大量数据中发现模式和规律的方法。
金融数据分析中，数据挖掘方法可以帮助分析师发现潜在的投资机会、风险因素和市场趋势。
常见的数据挖掘方法包括关联规则挖掘、分类和预测、聚类分析等。
3. 机器学习方法机器学习方法是一种通过计算机系统从数据中自动学习并改进性能的方法。
在金融数据分析中，机器学习方法可以用于建立预测模型、进行风险评估和优化投资组合。
常见的机器学习方法包括神经网络、决策树、支持向量机等。
二、金融数据分析实践1. 市场趋势分析市场趋势分析是金融数据分析中最为常见的实践之一。
通过对金融市场的历史数据进行统计和分析，可以揭示出市场的长期趋势和短期波动，帮助投资者做出更明智的投资决策。
市场趋势分析通常使用统计分析和时间序列分析等方法。
2. 风险评估与管理风险评估与管理是金融数据分析中至关重要的实践环节。
通过对金融市场的风险因素进行分析和评估，可以帮助投资者制定适当的风险控制策略和投资组合。
风险评估与管理通常使用统计分析、数据挖掘和机器学习等方法。
3. 投资组合优化投资组合优化是金融数据分析中的重要应用之一。
通过对不同资产的历史数据进行分析和优化，可以找到最优的投资组合，实现风险与收益的平衡。
分析金融工程学的数学模型与方法
分析金融工程学的数学模型与方法
金融工程学是一门研究应用数学方法和模型来解决金融问题的学科。
它结合了金融学和数学的知识，以及统计学、计算机科学等相关领域的方法，通过建立数学模型来描述金融市场和金融产品的特征，并运用数学方法进行分析和预测。
1. 随机过程：金融市场的价格和利率等变量通常具有随机性，因此随机过程是金融工程学中最基本的数学工具之一。
常见的随机过程包括布朗运动、几何布朗运动、鞅等，用来描述金融市场的价格变动。
2. 衍生品定价模型：衍生品是一种派生自标的资产的金融产品，如期权、期货等。
衍生品的定价需要基于现有的市场数据和数学模型来计算，常用的定价模型包括布莱克-斯科尔斯模型、卡尔曼滤波器、蒙特卡洛模拟等。
3. 风险评估和资产配置：金融工程学的一个重要应用是对投资组合进行风险评估和资产配置。
通过建立风险模型和优化模型，可以评估投资组合的风险水平，并找到最优的资产配置策略。
4. 金融市场模拟：金融工程学可以通过建立模拟模型来模拟金融市场的运行情况。
模拟模型可以通过随机过程模拟金融市场的价格变动，通过蒙特卡洛模拟等方法模拟金融产品的价格和风险等。
5. 统计分析：金融工程学需要利用统计学的方法来处理和分析金融数据。
通过统计分析可以得出金融市场的特征和规律，以及对未来的预测。
数值方法在金融工程中的应用研究
数值方法在金融工程中的应用研究随着金融市场的不断变化，金融工程研究的重点也在不断发生变化，尤其是在风险管理和投资组合优化方面。
为了解决金融领域的复杂数学问题，数值方法在金融工程中逐渐得到广泛应用。
数值方法是一种通过计算机运算来近似求解数学问题的方法。
它能利用高效的算法和计算机处理速度来处理复杂的实际问题，并为决策提供正确的信息。
下面将简要介绍数值方法在金融工程中的几个应用。
1、二元期权定价二元期权是一种数字期权，其支付在到期日时不是连续的，只有两种可能的结果，即全部支付或者不支付。
为了计算二元期权的价格，常见的方法是使用二元期权的Black-Scholes方程或者蒙特卡罗方法。
Black-Scholes方程是一种非线性偏微分方程，用于定价欧式期权。
使用Black-Scholes方程时，假设期权价格满足一个随机游走模型，这一模型被称为Geometric Brownian Motion（几何布朗运动）。
常数sigma表示股票价格的波动率，常数r表示无风险利率。
蒙特卡罗方法是一种实验估计方法，通过随机模拟得到期权价格的近似值。
选择使用何种方法要视具体情况而定。
2、机器学习在金融工程中的应用在金融领域，机器学习的应用十分广泛。
机器学习是一种从数据中学习模型的算法。
最常见的应用包括分类和回归分析，这些算法都可以用来分析金融市场中的各种数据。
正确的机器学习模型可以用来预测股票价格、货币汇率、企业利润等。
机器学习还可以用来根据客户的需求来编制投资组合，从而最大化收益并降低风险。
3、模拟股票价格的蒙特卡罗方法Stock Price Simulation是投资者和交易员必须掌握的工具之一。
蒙特卡罗方法是一种基于随机模拟的数值方法，在股票价格的模拟中被广泛应用。
这种模拟模型能够呈现股票价格未来的统计特性和概率分布，从而减少投资个人面临的风险。
蒙特卡罗方法基于大量的随机数，可以模拟股票价格在未来某个时间点的分布情况。
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二叉树模型－基本思想
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Dt=1
单期树
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二期树
n期树
正态 分布
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二叉树模型－基本思想
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1 0.5 0.5
-1 Dt=1
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二叉树模型－基本思想
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假设基础资产价格的运动是由大量的小幅 度二值运动构成，在每个小的时间间隔内 资产的价格只有两种运动的可能：上升或 者下降
p
S0u
S0
1-p
S0d
通过现金流再造技术和无套利原理求解衍 生证券的价格
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上述组合终值恒为￥9 无套利原理：无风险组合的收益率应为无风险利率,
组合的现值为：9e-0.12×0.25=￥8.734(无风险利率=12%) 净现值定价法：资产的价格等于其期望收益的现值
20×0.5-f0 =8.734 => f0=￥1.266
Go
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执行远期和约：ft,i S 0 u t id i K ,t 0 T ,i 0 t 执行看涨期权：f t,i m a x { S 0 u t id i K ,0 } ,t 0 T ,i 0 t 执行看跌期权：f t,i m a x { K S 0 u t id i,0 } ,t 0 T ,i 0 t
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二叉树模型－推广
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fS 0D (S 0 u D fu)e rT ， D S 0 fu u S fd 0 d
f e rT p fu (1 p )fd
其中
p
erT d ud
变量p可以解释为基础证券价格上升的概率，1-p则为
基础证券价格下降的概率
衍生证券未来价值的期望可表示为：pfu＋(1－p)fd
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衍生证券的价格
S0, 1
S0u2, p2
S0u, p S0ud, 2pq
S0d, q S0d2, q2
… … …
… …
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S0uT, pT S0uT-1d , CT1pT-1q
S0udT-1, CTT-1pqT-1
S0dT , qT
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金融工程专题
金融衍生产品定价 的数值方法
李志生
中南财经政法大学 新华金融保险学院
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数值方法分类
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二叉树
Binomial Trees
金融定价中的数值方法
Numerical Methods in Finance
Monte Carlo模拟
Monte Carlo Simulation
在三个月末，看涨期权价值为￥2的概率为0.6523， 价值为￥0的概率为0.3477，因此其期望值为：
0 . 6 5 2 3 2 0 . 3 4 7 7 0 ￥ 1 . 3 0 4 6
按无风险利率贴现得期权现在的价值：
f 0 .6 5 2 3 e -0 .1 2 0 .2 5 ￥ 1 .2 6 6
有效期为3个月的欧式看涨期权的执行价格 K=￥20。如何求上述看涨期权的价格f0？
0.8 ST= ￥22 fT=￥2
S0= ￥20
? f0=
0.2
=> E[fT]=1.6 ST= ￥18 fT=￥0
净现值定价法：资产的价格等于其期望现金流的现值
概率：ST=￥22和ST=￥18的概率分别为0.8和
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二叉树模型－一般方法
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基础证券: S0 衍生证券: f ?
基础证券: S0u 衍生证券: fu 基础证券: S0d 衍生证券: fd
组合：买入Δ份基础证券同时卖出1份衍生证券
(1) 如基础证券价格上升，组合终值为：S0uΔ-fu
(2) 如基础证券价格下降，组合终值为：S0dΔ-fd
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衍生证券的价格－期权
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看涨期权（欧式、美式）
f0 ,0 e rT T i 0p T ,im a x {fT ,i K ,0 )
欧式看跌期权
f0 ,0 e rT T i 0p T ,im a x {K fT ,i,0 )
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二叉树模型－基本思想
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0.5
1 把时间区间
1
1
0.5
2
0.5 2
╋
分成两段 0.5 - 1
0.5 1
2
0.5 1
2
时间跨度=1
时间跨度=1/2 时间跨度=1/2
继续细分 时间区分
1
1
1
0.5 n
0.5 n
0.5
n
0.5
-1
╋
1
0.5 -
╋…╋
0.5 - 1
n
n
n
时间跨度=1/n 时间跨度=1/n
1-p S0d
＝ S0erT
基础证券的价格以无风险利率增长
设定基础证券价格上升的概率等于p就等价于假设基础 证券的收益率等于无风险利率
？ 风险中性世界
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二叉树模型－风险中性定价
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风险中性世界（risk-neutral world）
投资者对风险采取无所谓的态度 所有资产的期望收益率都是无风险利率 资产的价格可以用其期望值按无风险利率贴现
风险中性定价与无套利均衡
无套利均衡分析的过程和结果与投资者的风险偏好程 度无关
如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好程度 无关，则可以将问题放到一个假设的风险中性的世界 里进行分析，所得的结果在真实的世界里也应当成立
0.2
?f0=1.6e-0.012×0.25
贴现率：无风险年Cop利yrigh率t ©为20071Z2. Li％？
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二叉树模型－实例
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S0= ￥20 f0=？
ST= ￥22 fT= ￥2 ST= ￥18 fT= ￥0
思路：构造一个由股票和看涨期权组成的投资组 合，使该组合在3个月末的价值是确定的，这样 该组合就复制了无风险资产的现金流！
S0u2d, 3p2q S0ud, 2pq
S0ud2 , 3pq2 S0d2, q2
S0d3 , q3
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S0u4, p4 S0u3d , 4p3q S0u2d2 , 6p2q2 S0ud3 , 4pq3
S0d4 , q4
S t,i S 0 u t id i,t 0 T ,i 0 t pt,i Cti ptiqi
(1) u 1 perD td,ueD t,deD t
d
ud
1
(2) p
u e ( r 2 /2 ) D tD t,d e ( r 2 /2 ) D tD t
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多期二叉树
S0, 1
S0u, p S0d, q
S0u3, p3 S0u2, p2
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二叉树模型－风险中性定价
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例子：
S0= ￥20
ST= ￥22 fT= ￥2 ST= ￥18 fT= ￥0
在风险中性世界，股票的预期收益率等于无风险利
率12％：2 2 p 1 8 (1 -p ) 2 0 e0 .1 2 0 .2 5p0.6523
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二叉树模型－实例
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问题：某不支付红利的股票当前价格S0=￥20，3
个月后的价格可能为ST=￥22或ST = ￥18
执行价格K=￥20、有效期T=3个月欧的式欧看式涨看期涨权期
权的当前价格f0是多少？
赋予投资者在
ST= ￥22 fT=￥2 到期日T按照
有限差分
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二叉树模型－简介
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John C. Cox，Stephen Ross and Mark Rubinstein. Option Pricing: a Simplified Approach. Journal of Financial Economics, 1979（7）：229-263
当(1)、(2)价值相等时
S0uΔ-fu =S0dΔ-fd
D fu fd S0u S0d
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二叉树模型－一般方法
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若无风险收益率为r，上述组合终值对应的现值为
(S0uDfu)erT(或(S0dDfd)erT)
组合的成本应该等于其现值
S0D f (S0uDfu)erT
f S 0 D (S 0 u D fu )e r T
D
fu S0u
fd S0d
衍生证券价格的决定因素：标的资产的当前价格和 未来价格、衍生证券的类型和期限、无风险利率