岩土工程数值分析
数值分析在岩土工程中的应用课件
数值分析可以模拟土壤的力学行为和地基 工程的地震、渗流等复杂因素，提高地基 工程的可靠性和安全性。
地下水工程与水环境
数值模拟与预测
数值分析可以模拟地下水的流动和污染物 扩散等过程，为水资源开发和环境保护提 供支持。
数值分析可以通过对历史数据的模拟和分 析，预测岩土工程的未来趋势和可能遇到 的问题，为决策提供科学依据。
数值分析在岩土工程中的应用成果已经得到了广泛认可和应用，为工程实践提供了 更为有效的技术支持和解决方案。
数值分析的未来发展趋势
随着计算机技术和数值计算方法的不断发展，数值分析在岩土工程中的 应用将更加广泛和深入。
未来，数值分析将进一步考虑更多的物理和化学效应，建立更为精细和 全面的模型，提高模拟的准确性和精度。
数值分析的重要性
01
随着岩土工程规模的扩大和复杂 性的增加，传统实验方法已经难 以满足实际工程的需求。
02
数值分析可以弥补实验方法的不 足，通过计算机模拟实验过程， 提高分析的精度和效率。
岩土工程中的数值分析应用
岩石力学与岩石稳定性分析
土力学与地基工程
数值分析可以模拟岩石的力学行为和稳定 性，为矿山、隧道等岩石工程的设计提供 依据。
土壤水盐分运移分析 地下水资源保护及利用方案设计
其他工程实例
桩基承载力及沉降分析
边坡支护结构选型及设 计
01
02
03
地基处理方案优化设计
04
工程材料力学性能及参 数确定
05
结论与展望
数值分析在岩土工程中的应用总结
数值分析在岩土工程中得到了广泛应用，为工程设计和施工提供了重要的支持和辅 助。
数值分析能够模拟和预测岩土工程中的各种复杂现象和问题，为工程实践提供了更 为精确和可靠的技术手段。
2021年浅谈各种数据分析方法在岩土工程中的运用比较
浅谈各种数据分析方法在岩土工程中的运用比较1． 1 边界元法的基本原理边界元法，顾名思义，就是只在边界上剖分单元，把边界分方程转变为线性代数方程，从而得出各边界单元处特定的边界值，然后再利用把边界值同域内数值联系起来的解析公式，这样就可以将计算区域内的任何一点的函数值求算出来。
按照边界元法的求算途径可分为两种类型: 直接法和间接法，前者利用具有明确物理意义的变量来建立边界积分方程; 后者却是利用不很明确的变量，一般，边界被加上了虚拟力和虚拟位移，这种虚拟力和虚拟位移是按照一定规律分布的，作为基本数，建立离散化的方程，待求出这些变量后再计算边界域内的位移和应力。
1． 2 边界元法在岩土工程中的应用在深基坑工程支护方式中，土钉墙越来越多得应用于工程中。
一般方法中，人们将主动区视为刚形体，用安全系数数值的大小来判断土钉墙的安全可靠性。
在实际的工作中，土钉墙主动区并非刚性体，它会随着开挖深度等因素的不同而发生大小不同的变形，所以，极限平衡法的应用有一定的局限性。
另外，有限元法也有应用在分析土钉墙稳定性的案例，用位移或应力值的大小来反映它的受力机制和状况。
虽然，在一定程度上，与极限平衡法相比，有限元法要相对合理一些，但是它和在工程中广为应用的安全系数直接联系起来较为困难，加上在计算过程中所需土体参数常规实验不易确定等因素，在工程中的应用也受到了一定程度的限制。
通过分析深基坑工程中土钉墙力学性状和对实际应用的分析，对提出的拥有土钉墙安全系数意义上的弹塑性边界元法的合理性给予了合理性证明。
工程实践证明，边界元法是较为理想的数值分析方法。
2 非线性数值分析在岩土工程中的应用下面本文将以 FLAC 为例对有限元非线性分析法在岩土工程中的应用进行简要分析。
FLAC，即快速拉格郎日差分分析，是力学计算的数值分析方法之一，主要应用于岩体力学中分析计算一般岩石的应力和应变。
它的基本原理类似于离散元的机构，但它使用于多种材料模式与边界条件的非规则区域的连续问题求解。
岩土工程的数值分析
有限元法的发展：20世纪60年代初，有限 元法在岩土工程中得到应用。由于它能够较 容易地处理分析域的复杂形状及边界条件、 材料的物理非线性和几何非线性，所以有限 元的应用和发展非常快。它在土体渗流、固 结、稳定和变形分析等各个领域得到广泛应 用。它被应用于浅基础、桩基础及各类深基 础、挡土墙、堤坝、基坑和隧道等各类岩土 工程问题的分析。有限元法不仅用于分析静 力问题、动力问题，还用于分析上部结构、 基础和地基的相互作用等问题。 在有限元 分析中可以采用总应力分析法，也可以采用 有效力分析法。
边界元法的发展： 20世纪20年代，边界元法的理论基 础就已初步形成。到20世纪60年代中期，边界元法在工 程技术问题中的应用逐渐斩露头角。尤其是自70年代末 直至现在，边界元法发展迅速。边界元法的思路是把所 要求解的微分方程转化成相应的边界积分方程，然后采 用边界积分方程的数值法求得原问题的数值解。这种方 法的特点是通过边界上的量来确定区域内部的未知量， 它与有限元法相比，具有信息准备工作少等优点。边界 元法采用类似于有限元法的离散技术来离散边界。离散 化所引起的误差仅来源于边界，提高了计算精度。边界 元法在分析边坡稳定性、地下水渗流等方面取得了良好 的效果。边界元法与有限元法相比，具有降低所求问题 的维数，计算量和计算时间相对减少，计算精度相对高 的特点，应该说比有限元法具有更强的生命力。但事实 上边界元法并没有得到像有限元法那样广泛的应用。其 中原因有，一是边界元法对变系数或非线性问题的适用 性不如有限元法；其次，边界元方程没有较好的前后置 处理技术，计算结果表示也不很直观和形象。
岩土工程：数值分析在岩体力学中的应用和发展.doc
岩土工程：数值分析在岩体力学中的应用和发展（一）数值分析方法的分类在岩石力学有关领域的数值分析方法应用中，主要使用的方法为有限元法，边界单元，离散单元法，拉格朗日单元法及块体理论等（二）有限元法原理及其应用要点原理：通过变分原理（或加权余量法）和分区插值的离散化处理把基本支配方程转化为线性代数方程，把待解域内的连续函数转化为求解有限个离散点（节点）处的场函数值。
应用要点：1.正确划分计算范围与边界条件2.正确输入岩体参数及初始地应力场3.采用特殊单元来考虑岩体的非连续性和边界效应（三）岩石力学问题的其他数值分析方法1.边界单元法有限元法是对问题的微分近似表达式给出了精确解，它实质上属于微分法。
与微分法相对应的是积分法，积分法所涉及的边界可包围整个问题域，而数值分析的离散化仅在边界上近似。
下图表示了在外部问题模拟时微分法与积分法之间的区别。
2.离散单元法离散单元法完全强调岩体的非连续性。
它认为，岩体中的各离散单元，在初始应力作用下各块体保持平衡。
岩体被表面或内部开挖以后，一部分岩体就存在不平衡力，离散单元法对计算域内的每个块体所受的四周作用力及自重进行不平衡计算，并采用牛顿运动定律确定该岩块内不平衡力引起的速度和位移。
反复逐个岩块进行类似计算，最终确定岩体在已知荷载作用下是否将破坏或计算出最终稳定体系的累计位移。
3.块体理论块体理论就是针对个性各异的岩体中具有结构面这一共性，根据集合论柘朴学原理，运用矢量分析和全空间赤平投影图形方法，构造出可能有的一切块体类型，进而将这些块体和开挖面的关系分成可移动块体和不可移动块体，对几何可移动块体在按力学条件分为稳定块体、潜在关键块体、关键块体。
此外，在计算方法上，还有半解析法、加权残余法以及松弛法中的经松弛法以及上述方法的耦合应用。
岩土工程中的数值分析与设计
岩土工程中的数值分析与设计一、引言岩土工程是土木工程的重要分支领域，涵盖了地质、土壤、岩石和地下水等方面的结构和行为以及它们与土木工程结构的相互作用。
岩土工程的数值分析及设计是保障工程安全的重要手段之一。
二、岩土工程的数值分析岩土工程中的数值分析是指通过数值模拟方法对岩土体在应力、应变及变形等方面的特性进行计算和分析。
数值分析可以有效地进行工程设计和评估，为决策提供依据。
（一）数值分析方法目前在岩土工程中常用的数值分析方法包括有限元法、边界元法、有限差分法、离散元法等，其中有限元法在岩土工程领域中被广泛采用。
其基本思路是通过对材料和结构进行离散化，建立数学模型。
（二）数值模拟与分析数值模拟可以用于岩土工程中如地质勘探、地震预测、地下水流、土壤侵蚀等许多方面。
对岩土体进行数值模拟可以对其应力、应变、位移等方面的特性进行模拟分析，进而预测其行为及性能。
三、岩土工程的设计岩土工程的设计是基于对工程环境、岩土体及结构的分析，寻求出最佳的技术和经济方案。
岩土工程设计是保证工程安全可行性的重要环节，要求设计人员掌握一定的专业知识与技能。
（一）岩土工程设计原则岩土工程设计的原则包括安全、经济、实用、美观等四方面。
安全是首要的原则，要求工程能够承受日常和突发的各种荷载，经济主要是要尽可能降低工程成本，而实用和美观的原则则涵盖了人性化的设计和环保的要求。
（二）岩土工程设计流程岩土工程设计流程包括工程调查、设计准备、设计方案的确定、设计计算、设计绘图、设计报告等六个阶段。
在岩土工程的设计中，需要进行地质调查、测量和试验等多种工作，以确保设计方案的准确和灵活性。
四、数值分析在岩土工程设计中的应用数值分析在岩土工程的设计中是不可或缺的工具之一。
数学模型的建立和求解可以帮助设计人员更好地把握岩土体的性质和特点，确保工程的安全性和稳定性。
（一）数值分析在地质勘探中的应用数字地质勘探技术是用数字技术对地球物理场进行分析，找出地下结构从而确定矿产资源，这是岩土工程设计前的必要步骤。
数值分析在岩土工程中的应用
精选ppt
7
1、基本 概 念
数值分析的主要求解 方 法
变分法是讨论泛函的极值问题，对上述差分法及有限元法都可起推导 基本公式的作用，而这方法本身，也是数值方法中最古老的方法。
岩土工程中的基本方程包括土体平衡(或运动)方程、物理(或本构)方程、 几何方程、有效应力原理、孔隙流体(水)平衡方程、连续方程等。总控制 方程(即Biot动力固结方程)由这些基本方程组合而成。
总控制方程的推导基于以下假定： (1) 土体是完全饱和的横观各向同性弹性体。 (2) 土体的变形是微小的。 (3) 土颗粒和孔隙水不可压缩。 (4) 孔隙水相对于土骨架的渗流运动服从Darcy定律，其惯性力可不计。 (5) 应力应变的正负号法则与弹性力学相反。
离散单元法与其他数值方法(如有限单元法、边界单元法等)耦合更能发 挥各自方法的优点。例如，用边界单元法考虑远场应力的影响以模拟弹性的 性质，用有限单元法作为中间过渡考虑塑性变形，再用离散单元法考虑近场 不连续变形的情况，从而极大地扩展了数值方法的解题范围。
精选ppt
13
2、几种常见数值分析方法的主要 特 点
正确的剖分
不正确的剖分
精选ppt
10
2、几种常见数值分析方法的主要 特点
2.1 有限元Finite Element Method (FEM)
研究表明，对于大多数岩土工程问题，无论是进行总应力分析还是进 行有效应力分析，均可归结为对Biot动力固结方程的求解。因此，可将Biot 动力固结方程作为岩土工程问题的总控制方程。
图中数值方法列出最常用的五种：差分法、有限无法、边界元法、变 分法和加权余量法。
岩土数值分析1、2、3章
坝上0-271.46
帷幕灌浆 2044.00
应用时注意几个主要环节
（4）模拟荷载及荷载的动态变化； （5）确定计算的收敛评判依据； （6）考察各环节简化的合理性，考题，否
则应调整建模及有关计算模型与参数； （7）确定后处理方法及成果的整理与分析
方案。 （8）应用商业软件之前，要先弄清原理
教材：卢廷浩等，岩土工程数值分析与应用 河海大学出版社，2012.12
论文集（M），西南交通大学出版社，1987.11。 [4] 龚晓南主编，土工计算机分析，中国建筑工业出版社（M），
2000.10。 [5] 廖红建、王铁行，岩土工程数值分析，机械工业出版社（M），
2006.2。 …………更多
岩土工程数值分析 与应用
第二章 滑移线理论与特征线法
河海大学岩土工程研究所 卢廷浩
• 离散单元法(Discrete/Distinct Element Method，DEM)； • 非连续变形分析法(Discontinuous Deformation Analysis ，
DDA)； • 岩土参数反分析法（Back Analysis Method ,BAM）；
• 三个常用软件应用（显式有限差分方法差分的拉格朗日法 FLAC3D，基于非线性有限元的通用分析软件的ABAQUS， 基于离散元方法的PFC ）
Qa4l-sgr-Ⅱ Qa4l-sgr-Ⅰ
4
Qa4l-sgr-Ⅲ Qa4l-sgr-Ⅱ
坝下0+53.60 2
坝下0+106.20 坝下0+160.60
1:2.2
上游护坡 厚1.0m
设计洪水位 2253.81
正常蓄水位 2253.00 校核洪水位 2254.83 死水位 2248.00 2245.00
岩土工程数值分析学习笔记
岩土工程数值分析读书笔记摘要：阅读笔记分为两部分：理论学习和plaxis模拟相关问题。
理论部分0岩土工程数值分析简介岩土工程问题解析分析是以弹塑性力学理论和结构力学作为理论依据，适用于解决连续介质、各向同性材料、未知量少、边界条件简单的工程问题，存在很大的局限性。
岩土工程问题数值分析是借助于计算机的计算能力，适用于解决材料复杂、边界条件复杂、任意荷载、任意几何形状，适用范围广。
岩土工程数值分析发展过程：20世纪40年代，使用差分法解决了土工中的渗流及固结问题，如土坝渗流及浸润线的求法、土坝及地基的固结等。
20世纪60年代，使用有限元法成解决了土石坝的静力问题的求解。
20世纪70年代，使用有限元法解决了土石坝及高楼(包括地基)的抗震分析。
20世纪80年代，边界元法异军突起，解决了半无限域的边界问题；地基的静力及动力问题都使用边界元法得到了有效地解决。
岩土工程数值分析的方法有两类，一类方法是将土视为连续介质，随后又将其离散化，如有限单元法、有限差分法、边界单元法、有限元线法、无单元法以及各种方法的耦合。
另一类计算方法是考虑岩土材料本身的不连续性，如裂缝及不同材料间界面的界面模型和界面单元的使用，离散元法，不连续变形分析，流形元法，颗粒流等数值计算方法。
1数值分析过程中存在的问题及解决措施问题：(1)对岩土工程数值分析方法缺乏系统的知识和深入的理解，出现问题时不知道在什么情况下属于理论问题或数学模型问题；在什么情况下是属于计算方法问题或本构模型问题；在什么情况下是参数的确定问题或计算本身的问题等。
(2)各种本构模型固有的局限性。
具有多相性土的物理力学性质太复杂，难以准确地用数学模型和本构模型描述。
例如邓肯一张模型不能反映剪胀性，不能反映压缩与剪切的交叉影响；(3)现有的试验手段和设备不能提供适当、合理和精确的参数。
靠少数样本点所获得的参数难以准确地描述整个空间场地的物理力学性能；土的参数因土样扰动难以高质量的获取，其精度很差。
探讨岩土工程数值分析的几点思考
探讨岩土工程数值分析的几点思考本课题从我国目前的岩土工程数值分析现状的各种的情况的分析，对岩土本构理论和发展的方向进行研究。
岩土工程分析过程的综合判断的依据之一是岩土工程数值。
对于如何建立岩土的工程实用本构方程。
建立多个工程实用本构方程结合积累大量工程经验才能促使数值方法在岩土工程中由用于定性分析转变到定量分析。
标签：岩石工程数值分析1岩土工程分析中的问题在岩土工程中将物理模型区描述各种的工程问题，再进一步的转换成数学问题，用数学的问题区进行数学的求解。
举一个较为典型的例子，在较为饱和的情况下，这种黏土地基大面积堆载之后，存在的一些作用使得，沉载问题实现简化，Terzaghi是一种一维固结物理模型，这种固结模型经过转化再成为一种Terzaghi 固结方程，从而得到解。
利用连续介质力学模型来求解工程问题主要有一下的几个步骤：（1）运动微分方程式（包括动力和静力分析两大类）；（2）运用几何方程，该几何方程分为两类，一类为小应变分析，一类为大应变分析；（3）構建本构方程，这种方程是属于力学本均方程。
岩土工程问题在很多问题中，都是属于十分复杂的问题，这些问题可以通过两个条件进行选择，一种是边界条件，一种是初始条件。
在数值分析的基础上，对该种方法进行求解和研究，通过连续介质力学模型的建立，使用不同的本构方程，同时对初始条件以及边界条件进行整合，而在其中共同的部分是运动微分方程以及几何方程。
在不同的材料使用中，本构方程并不一致。
此时，材料属于线性弹性体，这种方程属于广义上的虎克定律。
此时岩土材料可以被当做多相体。
在一种连续介质力学，进行模型分析之后，可以对岩土工程问题进行如下介绍，有以下三个方程，第一，运动微分方程式，使用的是动力与静力两种方式；第二，总应力是有效应力加上孔隙压力，又称之为有效应力原理；第三，运用连续方程，总体积变化，是各相体积变化的和；第四，几何方程，属于小应变分析与大应变分析两种类别；第五，同时还使用本构方程，这种方程式力学和渗流本构方程。
岩土工程数值分析
土的本构模型
有效应力（也称应力强度、或广义剪应力）
3J2
1 2
(1 2 )2 ( 2 3)2 ( 3 1)2
在简单拉伸时，应力强度还原为简单拉应力
1
1 2 0 故
有效剪应力（也称剪应力强度）
T
J2
1 6
(1 2 )2 ( 2 3)2 ( 3 1)2
土的本构模型
应变不变量
II12''
x y z 1 2 2
x
y
y z
z
x
2 xy
V
2 yz
2 zx
1 2
23
31
I
' 3
1 2 3
偏应变不变量
JJ12''
6(
2 xy
2 yz
2 zx
)
1 6
(1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1)2
2 3
(12
2 2
2 3
)
J
3
SxSySz
2 xy
yz zx
S
x
2 yz
S
y
2 zx
S
z
2 xy
S1S 2 S3
弹塑性本构关系中，J 2 J 3 反映切应力大小及方向。
破坏比：
R
(1 3 ) f (1 3 )ult
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a
4
土的本构模型
应力不变量
II121(12232331) I3123
I1xyz
I2
xy
yz
zx
x2y
y2z
2 zx
I3xyz 2xyyzzxxy2zyz2xzx2y
a
5
土的本构模型
主应力方程： N 3I1N 2I2NI30
平均应力： m 1 3(x y z)1 3(1 2 3)1 3I1
a
1
绪论
岩土工程数值分析方法发展过程
20世纪40年代：差分法，用差分网格离散求解域，用 差分公式将控制方程转化为差分方程。 20世纪60年代：有限元法 20世纪70年代：边界元法，离散元法
a
2
第一章 土的本构模型
岩土工程问题数值分析的精度很大程度上取决于 所采用本构模型的实用性和合理性。 本构模型：土的应力应变关系的数学表达式，也称本 构方程。 主要有：弹性模型、弹塑性模型、粘弹塑性模型、内 蕴时间塑性模型、损伤模型等。
P
r
O
tan x y1 32 2 1 1 331 3 3
1
2 2 1 1 33a 321 的模与方位角（罗德角）
x
15
土的本构模型
三、应变分析
x
ij
1
2
yx
1 2
xy
y
1
2 1
2
xz yz
1 2
zx
1 2
zy
z
m 0
0
m
0 0
ex e yx
e xy ey
应力张量可分解为： ij Pij Sij
球应力张量：
m 0 0
Pij 0 m
0
mij
0 0 m
a
6
土的本构模型
偏应力张量：
Sij xyx m
xy y m
xz yz
S1 1 S2 1
S1 2 S2 2
S1 3
S2
3
zx
zy z m S31 S32 S33
ij mij
应力球张量也称为静水压力张量，对于金属材料，一般 认为，静水压力只产生材料的体积变形，不引起形状改 变。对于金属材料，描述其塑性变形时一般与静水压力 无关。偏应力张量只引起形状a 改变，不引起体积变化。 7
e xz e yz
0
0
m
e
zx
e zy
ez
a
16
土的本构模型
应变不变量
II1 2'' x xyy yz z 1 zx2 x 22y V y 2zz2x122331
I3' 123
偏应变不变量
J J1 2'' exe xeeyy eeyzez e1 e zeex2eex 23y e02 yzez2xe1e2e2e3e3e1
S22
S32)
1 6
(x
y)2
(y
z)2
(z
x)2
6(x2y y2z
z2x)
1 6
(1 2)2 (2 3)2 (3 1)2
2 3
(1xSxy2z Syz2xSzx2y S1S2S3
弹塑性本构关系中，J 2 J反3 映切应力大小及方向。
a
9
土的本构模型
J3' e1e2e3
a
17
土的本构模型
1.2 土的变形特性
一、土的应力应变关系
应用土的三轴试验，可以测得土的应力应变曲线。 通常有两种方法：(1) r 不2变3的三向压缩固结
试验，土体先在等压条件下固结，
然后增加轴压 直至破坏；1
(2)试验时，保持
不变，1增23
加 ，减小 1 。 r(23)
有效应力（也称应力强度、或广义剪应力）
3 J 21 2(1 2 )2 (2 3 )2 (3 1 )2
在简单拉伸时，应力强度还原为简单拉应力
1 1 2 0 故
有效剪应力（也称剪应力强度）
T J21 6(12 )2 (23 )2 (31 )2
在纯剪时剪应力强度还原为简单剪应力
1 0 2 0 3 0故 T ＝
a
10
土的本构模型
等斜面与八面体
3
2
1
l mn 1
a
3
11
土的本构模型
八面体上正应力
8 N 1 l 2 2 m 2 3 n 2 1 3 ( 1 2 3 ) m I 1 3
八面体上剪应力
8N1 3 (12)2(23)2(31)2
2 3
J2
2
3
82 94(122232)
a
12
土的本构模型
a
18
土的本构模型
f(破坏点) 1/a
正常固结粘土与松砂应力－应变双曲线 a
q1
3
1 ab1
19
土的本构模型
上图中，1/a为双曲线初始切线斜率，1/b为双曲 线渐近线值(极限值 qul t (13)ul)t 。
破坏比： R (1 3) f
(1 3)ult
加工硬化曲线：土体在加载时，主应力差 (13) 随着应变的增加而不断增加。
1.1 应力应变分析 一、应力张量
a
3
土的本构模型
x
x
z
z
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy
x z x xy xz
ij yx
y
yz
yz
zx zy z
zx zy z
xy
yx
yy
11 12 13
21
22
23
31 32 33
岩土工程数值分析
岩土工程问题解析分析
基于弹塑性理论和结构力学，适用于连续介质、未知 量少、边界条件简单，有局限性。
岩土工程问题数值分析
借助于计算机，材料复杂（非线性、非连续、非均质、 各向异性等）、边界条件复杂、任意荷载、任意几何 形状，适用范围广。 包括：有限差分法、有限单元法、边界单元法、离散单 元法等。
O Q ON
ON 3mI1 3
OQ S12 S22 S32
1 3
(12)2 (2 3)2 (31)2
2J2 a 2T 38
14
土的本构模型
在平面内取坐标系oxy, 其中y轴方向与 在2 平 面上的投影一致。主应
力向量OP在平面上的
投影O为P ，OP与 x轴的夹 角为 ，称为罗德角。
y
2
r
二、应力空间、罗德参数
主应力空间与平面
平面
2
应力点
N
O
3
Q
a
P 1
三个主应力构成的 三维应力空间 平面总是过原点 O的 平面的方程：
1230
13
土的本构模型
在主应力空间内，某点的主应力可用向量OP描述，
它可分解为两部分：垂直于平面上的球应力张量
ON、位于平面上的偏应力张量OQ
O P 1 i 2j 3 k(s1 is2js3 k )(m i m j m k )
土的本构模型
应力张量
球应力张量
偏应力张量
a
8
土的本构模型
应力偏量不变量
s3J1s2J2sJ30
J1 (x m)(y m)(z m)Sx Sy Sz 0
J2
(SxSy
SySz
SzSx)Sx2y
Sy2z
Sz2x
S1S2
S2S3
S3S1
1 2
(Sx2
Sy2
Sz2)Sx2y
Sy2z
Sz2x
1 2
(S12