小学四年级奥数竞赛班作业第18讲：巧求面积(一)

巧求面积练习题
一．夯实基础：
1. 如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)
2. 一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少
多少平方分米？
3. 一块长方形纸片，在长边剪去5cm ，宽边剪去2cm 后(如图)，得到的正方形面积比原
长方形面积少231cm ．求原长方形纸片的面积．
4. 一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可
得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？
3020
3040
5
2
5. 如图所示，把一个正方形各边中点顺次相连，可得一个新的较小的正方形；把这个小正
方形的各边中点顺次相连，又可以得到一个新的更小一些的正方形……如此依次连下去，一直连到第三个新正方形为止。

如果图中阴影的面积等于1，那么图中最大的正方形面积等于多少？
二． 拓展提高：
6. 甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心
上，丙的一个顶点在乙的中心上．这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？
7. 如图，四边形ABCD 的周长是60厘米，点M 到各边的距离都是4.5厘米，这个四边形
的面积是 平方厘米.
8. 有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长
方形的面积？
10
8
6
丙乙
甲
9. 有大、小两个长方形(如图)，对应边的距离均为1cm ，已知两个长方形之间部分的面积
是216cm ，且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积．
10. 空白处每个方格都是边长为4厘米的正方形，黑条的宽度为2厘米，求阴影部分的面积
和周长。

11. 如图，一块正方形地砖，上面印有四周对称的花纹，正中心红色小正方形面积是8，四
块绿色等腰直角三角形均相同，面积总和是36，那么图中阴影部分的面积是多少？
三．超常挑战：
12. 下图(单位：厘米
)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.
13. 两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.
四．杯赛演练：
14. (2008年第七届”小机灵杯”数学竞赛决赛)如图是由5个大小不同的正方形叠放而成
的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8，那么最大的正方形的边长是 ．
15. (2008年全国小学生”我爱数学夏令营”数学竞赛)如图，边长为 10的正方形中有一等
宽的十字，其面积(阴影部分)为36，则十字中央的小正方形面积为 ．
16. （武汉明心奥数挑战赛）如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.
问
灰色区与黑色区的面积的差是多少？
F
B
A
第6题
第2
题
10
17.（第四届《小数报》数学竞赛决赛试题）有一大一小两个正方形，它们的周长相差20
厘米，面积相差55平方厘米．小正方形的面积是多少平方厘米？
18.(第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形ABCD中，放入六个形状大
小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．
B
答案：
1. 这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条
辅助线，把多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形；
图一 图二 图三
方法一：如图一，3040203040120014002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法二：如图二，203040203060020002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法三：如图三，40302030303035009002600+⨯+-⨯=-=（）（）(平方米)
2. (方法一)如图，铁板面积比原来减少的面积就是阴影部分的面积，阴影部分的面积是用
原长方形 的面积减去空白部分的面积．即: 1512(152)(122)⨯--⨯-180130=-=50(平方分米).
(方法二)也可把阴影部分分割成两个长方形，求两个长方形的面积．
3. 通过对图形进行分割，可以发现C 的长与宽分别是5cm 和2cm ，则它的面积是5210
⨯=(2cm )，那么A B +的面积是311021-=(2cm )，如给B 移到A 的旁边，则知正方形的边长：(cm )，正方形的面积是339⨯=(2cm )，原长方形的面积是31940+=(2cm )．
4. 第一个正方形的面积是2020400⨯=(平方厘米)，第二个正方形的面积如图，实际上是
第一个正方形面积的一半．依次类推，第五个正方形的面积为：
400222225÷÷÷÷=(平方厘米)．
5. 最小的正方形面积等于2，每往外扩一层，面积就会增加一倍。

所以最大正方形面积等
于2×2×2×2=16。

6. 如右图添加辅助线割补，如果甲的面积为4份量，则甲与乙的重合部分是1份量．同理，
如果乙的面积为4份量，则乙与丙的重合部分是1份量．
所以这三个正方形覆盖面积是：10108866664884175⨯+⨯+⨯-⨯÷-⨯÷=(平方厘米)．
3020
3040
30
20
30
40
30
20
30
40
7. 本题考查整体思维.下面中四个三角形的高都是4.5厘米，底的和是60厘米，所求四边
形的面积为60 4.52135⨯÷=平方厘米
8. 长方形宽减少2米，面积减少24平方米．说明长方形长：24212÷=(米)．
长方形长减少3米，面积减少24平方米．说明长方形宽：2438÷=(米)．所以这个长方形的面积为：12896⨯=(平方米)．
9. 由于长方形之间的部分是不规则的，所以可以进行分割，这样分割后，A B +的面积是
1628÷=(2cm )，则知小长方形的长与宽之和是81116÷--=(cm )，小长方形的宽是6212÷+=（）(cm )，长是224⨯=(cm )，那么有大长方形的长是6(cm )，宽是4(cm )，
面积是4624⨯=(2cm )．
10. 阴影部分面积为大正方形面积减去
8
个小正方形面积：
22212884)2234(cm =⨯-⨯+⨯；阴影部分周长利用平移为大正方形周长加上两个
小正方形周长：cm 962444)2234(=⨯⨯+⨯⨯+⨯。

11. 48。

空白部分面积为36＋8＋8＝52。

由边上的三角形面积为2，绿三角形面积为9，可得BC ＝2，BD ＝6，所以正方形面积为100，阴影面积为48。

12. 所求面积等于图中阴影部分的面积，为2052082140-+⨯÷=()(平方厘米)．
B
A
13. 阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接
求出它的面积.因为三角形ABC 与三角形DEF 完全相同，都减去三角形DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC 的面积.直角梯形OEFC 的上底为1037-=(厘米)，面
积为7102217+⨯÷=()(厘米2
).
所以，阴影部分的面积是17平方厘米。

14. 最小正方形的面积是224⨯=(平方厘米)，最大的正方形的面积是4222264
⨯⨯⨯⨯=(平方厘米)，那么最大的正方形的边长是8厘米．
15. 题目中的空白部分可以组成一个如右图的正方形，正方形面积为1003664-=，右图中
的正方形边长为8，四角小等腰直角三角形的直角边长度为（10－8）÷2＝1，中间正方形面积为四角四个小等腰直角三角形的面积和，为21242S =÷⨯=正．
16. 灰色和白色区域形成一边长为11的正方形和一边长为7的正方形，它们的总面积是
22117170+=；类似地，黑色和白色区域组成一边长为9的正方形和一边长为5的正方形，它们的总面积是2295106+=．
由于白色区域在这两种组合中都被计算了，根据差不变原理，可知灰色区域与黑色区域的面积之差就等于17010664-=．
17. 大正方形的边长比小正方形的边长多2045÷=（厘米）．
B 的面积是5×5＝25（平方厘米），A 的面积是（55－25）÷2＝15（平方厘米） 左下角小正方形边长是15÷5＝3（厘米），面积是3×3＝9（平方厘米）
18. 由图中可以看出
小长方形的长3+⨯小长方形的宽14=，小长方形的长-小长方形的宽6=． 第二式乘以3再与第一式相加得 4⨯小长方形的长146332=+⨯=．
所以小长方形的长8=，小长方形的宽2=，
小长方形的面积8216⨯=，大长方形的面积14(622)140=⨯+⨯=， 阴影面积14061644
=-⨯=．。