竞赛辅导张翠杰-2

第二讲 ： 导数与微分
♀函数在一点处的可导性
内可导， 例 1 ( 2002 考研 )已知函数 f ( x )在（0,+∞ ）内可导， f ( x ) > 0, lim f ( x ) = 1，且满足
x → +∞
f ( x + hx ) h lim ( ) = e x , 求 f ( x )。 h→ 0 f ( x)
例 5 设f ( x ) = a1 sin x + a 2 sin 2 x + L + a n sin nx ,
f ( x ) ≤ sin x , a1 , a 2 , L , a n为实常数。 为实常数。 a 证明： 证明：1 + 2a 2 + L + na n ≤ 1
思考题
设 a1 , a 2 , L , a n为为数，且
所确定， 所确定，则 y = y ( x )上对应于 x = 0处的切线方程为 .
♀求参数方程所确定的函数的导数
x = cos t 2 dy 2 ( t > 0), 求 , t 例 21 (94考研 )设 1 2 dx cos udu y = t cos(t ) − ∫1 2 u
1 1
e
−
1 x
例 2 (89考研 ) 考研)
设f ( t ) = [tan( t ) − 1][tan( t ) − 2]L[tan( t 100 ) − 100] 4 4 4 99! − π 求f ′(1)。
2
π
π
π
练习 ：
2
( 2002 北京市 )若函数 f ( x )在 x = 1处可导，且 f ′(1) = 1, 处可导， f (1 + x ) + f (1 + 2 sin x ) − 2 f (1 − 3 tan x ) 9 求 lim 。 x→0 x
②三角有理式的高阶导数
设 y = sin x sin 2 x sin 3 x，求 y ( n ) 练习
考研） 内可导， 例 17（98 考研）设周期函数 f ( x )在（ − ∞ ,+∞ ）内可导， f (1) − f (1 − x ) = − 1, 则曲线 y = f ( x ) 周期为 4，又 lim x→0 2x 在点（ 处的切线的斜率为（ 在点（ 5， f ( 5 )）处的切线的斜率为（ D） 1 A. B. 0 C. −1 D. − 2 2
π d2y 的值。 在t = 的值。 2 dx 2
π
2
,−
1 2πΒιβλιοθήκη x = arctan t dy 练习 (97考研 )设y = y( x )由 所确定， 所确定，求 2 t dx 2 y − ty + e = 5
x = e t sin 2t 练习 (05天津市 )设曲线 在点(0,1)处的法线 t y = e cos t . 方程为 2x + y −1 = 0
2、间接法（利用一些高阶求导公式，莱布尼兹公 、间接法（利用一些高阶求导公式， 泰勒公式等） 式，泰勒公式等）
①分式有理函数的高阶导数
x3 练习 设y = 2 , 求y ( n ) x − 3x + 2
( n ≥ 2)
xn 例 25（91年广东省）设 f ( x ) = 2 年广东省） ( n = 1,2,3, LL)求 f ( n ) ( x ) x −1
♀分段函数的可导性 例8
x 2 e n( x −1) + ax + b , 求f ( x ), 讨论f ( x ) 设f ( x ) = lim n ( x −1 ) n→ ∞ 1+ e 的连续性及可导性。 的连续性及可导性。
sin 2 x x>0 2x 设f ( x ) = 4 2 3 (1 − x ) + cos 2 x − 1 x ≤ 0 处是否连续， （1）研究 f ( x )在 x = 0处是否连续，是否可导 ？ （2）求 f ′( x )
♀求复合函数的导数
2x −1 例 18 设y = f ( ), f ′( x) = x 2 , 求dy。 x +1
设 u = f [ϕ ( x ) + y 2 ]，其中 x , y满足方程 y + e y = x， 例 19 du d 2 u 均二阶可导，试求： 且 f ( x ), ϕ ( x )均二阶可导，试求： 及 2 dx dx
B . x = 0, x = 2 D . x = 1, x = 2
（92考研）设 f ( x ) = 3 x 3 + x 2 x , 则使f ( n ) (0)存在的最高 例 13 考研） 阶数n = (C ) A. 0 B . 1 C . 2 D. 3
练习 f ( x ) = cos x + x 2 x 存在的最高阶导数的阶 数等于（ C） 数等于（
1
x=0
练习 ( 09全国竞赛 )设函数 y = y ( x )由方程 xe f ( y ) = e y ln 29
d2y 确定， 具有二阶导数， 确定，其中 f具有二阶导数，且 f ′ ≠ 1，求 2 。 dx 1 =1 练习 ( 08天津市 )设函数 y = y ( x )由方程 sin xy − y− x
A. 0 B. 1 C . 2 D. 3
设 f ( x ) = x 4 x ，则使 f ( n ) ( 0 )存在的最大 n = ? 例 14
4
练习 设f ( x ) = ln x , 求f ′( x )
1 x >1 x 1 − 0< x <1 x f ′( x) = 1 − −1 < x < 0 x 1 x < −1 x
1 a = − , b = 1, c = 0 2
♀含绝对值表达式的函数的可导性 例 11 设 f ( x ) = ( x − 1)( x − 2) 2 ( x − 3) 3 ，则 f ′( x )不存在的点的
个数是（ 个数是（ B） A. 0 B . 1 C . 2 D. 3
处可导， 例 12 ( 06天津市 )设函数 f ( x )在 x = a处可导，则 f ( x ) 在 x = a处不可导的充分条件是 （ B）00考研） ( 考研） A. f ( a ) = 0且 f ′( a ) = 0 C . f ( a ) > 0且 f ′( a ) > 0
可导的点是（ ） 可导的点是（ D A. x = 0 , x = 1 C . x = 0, x = 1, x = 2
B . f ( a ) = 0且 f ′( a ) ≠ 0 D . f ( a ) < 0且 f ′( a ) < 0
练习（00考研）函数 x ( x − 1)( x − 2 ) sin x 在（ − π , π）内不 考研）
x 练习 设f ( ) = sin x , 求f ′[ f ( x )], { f [ f ( x )]}′ , { f [ f ( x )]}′′ , 2 f [ f ′( x )]
练习 (00北京市 )设y = ln 1 + cos x + 2 arctan cos x ,
1 − cos x 则dy =
练习 (03考研 )设函数 f ( x ) = x 3 − 1 ϕ ( x ), 其中 ϕ ( x )在x = 1处
连续， 处可导的（ 连续，则 ϕ (1) = 0是f ( x )在x = 1处可导的（ A ） A. 充分必要条件 C . 充分但非必要条件 B . 必要但非充分条件 D .既非充分也非必要条件
♀求函数在某点的切线方程和法线方程 例 15 已知曲线的极坐标方程 为r = 2 cos θ，求该曲线在极 π
处的切线方程。 坐标点 P ( 3 , )处的切线方程。 6
在原点相切， 例 16 (04年北京市 )曲线 y = f ( x )与y = sin x在原点相切， 2 证明 lim nf ( ) = 2 n→ ∞ n
♀对数求导法 例 22 设y = x
ax
+a
xx
+ x ，求 y ′
xa
x2 2+ x 3 + sin x，求y′ 练习 设y = 2 1 − x (2 − x )
♀反函数求导 例 23 已知 f ′( x ) = ae x ( a为正常数 )，求 f ( x )的反函数的二阶
导数
练习 设函数 y = y ( x )由方程 y 1 + y − ln( y + 1 + y ) = x
例 4 95考研）设 f ( x )可导， F ( x ) = f ( x )(1 + sin x ), 则f (0) = 0 可导， （ 考研） 处可导的（ 是 F ( x )在 x = 0处可导的（ A ）
A. 充分必要条件 C . 必要条件但非充分条件 B . 充分条件但非必要条件 D . 既非充分又非必要条件
二阶可导， f 例 7 设f ( x)在(−∞,+∞)二阶可导， ( x) = − f (− x),且 B f ( x) = f ( x + 1), f ′(1) > 0，则（ ） A. f ′′(−5) ≤ f ′(−5) ≤ f (−5) B. f (−5) = f ′′(−5) < f ′(−5) C . f ′(−5) ≤ f (−5) ≤ f ′′(−5) D. f (−5) < f ′(−5) = f ′′(−5)
练习
例 9 （08天津市）设函数 ϕ ( x ) = ∫ 天津市）
sin x
0
f ( tx 2 )dt，其中
f ( x )是连续函数，且 f ( 0) = 2 是连续函数， （1）求 ϕ ′（ x） ( 2)讨论 ϕ ′（ x）的连续性