理论力学竞赛辅导2运动学

2014-4-3 4
例题与思考题
习题4：点M做平面曲线运动，已知该点速度的大小 v=at (a>0), 速度的方向与 x 轴的夹角θ=0.5bt2(b>0),求任意时刻(t>0) 动点M的加速度在y轴上的投影以及轨迹的曲率半径。
y
et (t t )

M O
et
v
θ e t (t )
vy v sin & & & ay = v = v sin θ + v cos θθ y a sin atbt cos a sin abt 2 cos
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一、点的运动学
1、直角坐标法
ü & ï vx = x ï ï & v y = yï ý ï ï ï & vz = z ï þ
2、自然坐标法
ü & & ï ax = x ï ï ï & ay = & y ý ï ï ï az = & z& ï þ
& v= s et
& & & & a= s et + s e t = at + an
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例题与思考题
为不使自行车在雨天行驶时车轮带起的泥水落到骑车人的身上，在车轮 上方周围设有挡泥板。在设计挡泥板时，从经济角度考虑，应使挡泥板 短一些，以节省材料。为方便设计，假设自行车以最大设计速度v在水 平地面上匀速行驶，车轮作纯滚动，后轮的半径为R，需防护的区域如 图中阴影线表示，该区域左边缘距后轮轴的水平距离为l，下边缘距地 面的高度等于后轮的半径R ，如图所示。不考虑空气阻力。（南京航空 航天大学） （1）本问题于力学中的什么问题有关？ （2）设计自行车后轮的挡泥板后缘的位置（用图示的角表示）应满足 l 的方程。
A
B
u
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例题与思考题
问题29：边长为L的正方形在图示瞬时AB两点连线铅垂，两个 支撑点在边长的中点，已知此时板的角速度和角加速度，如何 求A、B点的速度和加速度。 A
B
h
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例题与思考题
问题30：半径为R的圆盘在水平地面上纯滚动，细杆AB可在圆盘 的直径槽内滑动，A端沿地面运动。已知图示瞬时圆盘的角速度 和角加速度以及杆与水平线的夹角。求A点的速度和加速度。 B
其上哪点的加速度的模最大（小）? 并求其最大值和最小值。

A B
o
O
u
问题17：图示瞬时滑块B的速度为u，加速度为零，求AB杆 中点C的速度的大小在下一个瞬时是增加的，还是减小的? 求图示瞬时C点的曲率半径。AB=2R，OA=R
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例题与思考题
思考题18：半径为 R 的圆盘做平面运动，已知某瞬时圆盘边
(r ) 2
n PO
a
n O
R
10
例题与思考题
问题11：圆盘上哪点的加速度的模最大（小）?

为 常 量

A
o
CV
纯滚动

aA
O D
Ca
B
aB
OA R, AB 2R
问题12：图示瞬时AB杆上哪点的加速度的模最大（小）? 问题13：图示瞬时AB杆中点C的速度的大小在下一个瞬时是 增加的，还是减小的? 能否求图示瞬时C点的曲率半径？
速度与坐在车B上的人观察到车 A的速度大小相等方向相反；
B
uB
A
B: 坐在车A上的人观察到车C的
R
uC
速度与坐在车C上的人观察到车 A的速度大小相等方向相反； C: 坐在车C上的人观察到车B的 速度与坐在车B上的人观察到车 C的速度大小相等方向相反；
o
uA
C
u A uB uC u
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例题与思考题
问题34：四个长度为L的杆用柱铰链连接作平面运动，AB和DE 杆在图示位置的角速度为ω （逆时针转动），角加速度为零。 求该瞬时C点的速度和加速度。
B
C
450
A
D
vC v B vCB
vC v D vCD
E
n t aC a B aCB aCB n t aC a D aCD aCD
力学竞赛辅导 第2讲
• 点的运动学
– 运动方程、速度、加速度
– 矢量法、直角坐标法、自然坐标法
运动学
• 点的复合运动
– 绝对运动、相对运动、牵连运动
– 绝对速度、相对速度、牵连速度 – 绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度
• 刚体的平面运动
– 刚体的平面运动、点的速度和加速度的分析与计算
• 例题与思考题（30个）
5
例题与思考题
问题5：点在运动过程中其速度和加速度始终垂直（大小均不 为零），该点可能作： A：圆周运动；B：平面曲线运动；C：空间曲线运动 问题6：点沿曲线 y=sin2x 匀速率运动，该点运动到下列哪些 点时，其加速度为零。
A: x = 0；
y
C
B: x =π/4；
C: x =π /2;
D:x =3π /4
（c） 0 a A a B ,
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2
（d） a A a B 0,

2
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例题与思考题
思考题22：确定图示平面运动刚体AB杆的速度瞬心。
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例题与思考题
思考题23：车A、B、C分别沿各自的 道路匀速行驶，正确的结论是：
A: 坐在车A上的人观察到车B的
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二、刚体的平面运动
1、基点法 Ax’y’为平移动系，B为动点
vB v A vBA
y
vB AB vA AB
3、速度瞬心法
2、速度投影法

y'
vBA vB
B
B r A 0
A
vA vA
x'
vM vMCV , vM MCV
思考题1：上述三种方法的内 在联系和区别是什么？
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例题与思考题
问题35：四个构件的几何尺寸已知，AB和DE杆在图示位置的 角速度为ω （逆时针转动），角加速度为零。求该瞬时F点的速 度和加速度以及圆盘的角速度和角加速度。
vF vB vFB v F a v F e v Fr
n t a F a B a FB a FB
D：上述结论均不成立；
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例题与思考题
问题24：若小圆盘在另一个物体上纯滚动，如何求小圆盘的角 加速度。几何尺寸均为已知。
n aa ae aet ar aK
r
D
ar R
aet e AB
a e r
C B
n ae
ar
O
aB
Байду номын сангаас
A
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aet
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例题与思考题
P
vP
a
u
B: C:
dt D : 不能确定
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例题与思考题
思考题8：已知滑块A匀速直线平移，试确定AB杆角加速度的 转向和杆中点C加速度的方向。
a
t BA
B
a
n BA
aC a A a a
n CA
t CA
|| 0
aB
C
aB a a
n BA
t BA
aC
A
aC a a
反映速度大小的变化
& & at = s et
2 & s an = e n 反映速度方向的变化 ρ
3、复合运动法
va ve v r
aa ae a r aC
• 选取动点和动系（ 动点和动系不能选在同一个物体上， 相对运动轨迹简单） • 当动系有转动时，相对速度（矢量）求导不等于相对加 速度，牵连速度（矢量）求导不等于牵连加速度
y ' 2sin x cos x sin 2 x
D B
x
A
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y " 2cos 2 x
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例题与思考题
问题7： 纯滚动圆盘中心的速度为常量,设P为圆盘左半边上的
任意一点，若 vP 为该点的速率，则下列关系式哪个成立？
A: dv p dt dv p dt dv p 0 0 0
n CA
t CA
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例题与思考题
问题9：半径为r的小圆盘以匀角速度ω 在半径为R(R =2r)的固定的大圆盘上纯 滚动，确定图示瞬时小圆盘上哪点加速 度的模最大，哪点加速度的模最小。
a
n PO P
r
aP a a a
n O t O
n PO
a
t PO
O
aP a a
n O
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例题与思考题
思考题20：平面图形上A、B两点的瞬时加速度分布如图所示， 试判断哪种运动是可能的，哪种运动是不可能的。
（a） a A a B
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(b) a A // a B ,0

2
, aA 0
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例题与思考题
思考题21：平面图形上A、B两点的瞬时加速度分布如图所示， 试判断哪种运动是可能的，哪种运动是不可能的。
A：2r；B：3r； C：4r；D：2.5r； P O
a
n PO
r
aP a a
n O
n aO 2 O
v 1 n 2r 2 r aPO Rr 3r 3 4 2 n n n aP aO aPO r 3 2 vP ( 2r ) 2 n 3r 4 2 aP r 2014-4-3 3
缘上两点A、B的加速度a （大小、方向如图所示），试 判断出下列结论哪些是正确的： A：这种运动不存在；
n t a B a A a BA a BA
vB v A vBA
B：能求出圆盘的角速度（大小和方向） C：能求出圆盘上任一点的加速度； D：能求出圆盘的角加速度（大小和方向） 问题19：若求圆盘上任意一点的速度（大小和方向），还需 要知道哪些已知条件？
n PO
a
2 2 ( r ) v 1 2 a n 2r n O aO r PO Rr 3r 3 4 2 n n aP (max) aO aPO r 3
n O
R
amin 0
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P在O点下方r/3处
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例题与思考题
问题10：半径为r的小圆盘以匀角速度ω 在半径为R(R =2r)的固定的大圆盘上纯 滚动，确定图示瞬时小圆盘最高点P运 动轨迹的曲率半径。
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例题与思考题
问题14：纯滚动圆盘图示瞬时的角速度为零，角加速度为
α ，其上哪点的加速度的模最大（小）?

A
o

B
O
问题15：图示瞬时OA杆的角速度为零，角加速度为α ，AB杆
的运动具有什么特点（速度、加速度、角速度、角加速度）。
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例题与思考题
问题16：纯滚动圆盘图示瞬时的角速度为ω ，角加速度为ω 2，
& & & & a= s et + s e t = at + an
x
& an s & en
et 1 & en = θ e t lim lim en t 0 t t 0 t
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& = atbt = abt 2 & an = s θ
v2 a an b
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o
x

M
vM
CV
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二、刚体的平面运动
4、平面图形上各点的加速度
n t aB a A aBA aBA
t n aBA AB , aBA AB 2
y

y'
a
t BA

x'
B A
n aBA
问题2：是否有加速度的投影
定理和加速度瞬心法？
o
aA
x
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存 在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。 问题3：当平面运动刚体的角速度或角加速度分别为零时， 如何确定加速度瞬心的位置？
A

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例题与思考题
问题31：能否把该题变 成静力学问题。设杆和 圆盘为均质体，AB在圆 盘的直径上。
B
A

问题32：所有的接触面均是光滑的，系统能否在图示位置平衡 问题33：如果地面光滑，杆与圆盘之间有摩擦，求平衡时的最
小摩擦系数以及杆作用在圆盘上的合力方向和作用点。
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例题25：车轮半径为Ｒ。 左前轮转角为45度。求： １、右前轮转向角； 2、车身的角速度； ３、车轮Ｂ距地面最高点 速度；
θ2 = arctan 2 u ω= 2 2b vB =
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B
b
C
1
2b
A
u
D
L
2
2u
20
例题与思考题
问题26：已知图示瞬时杆的角速度和角加速度，如何求B点的 速度和加速度。几何尺寸已知。 A
B D A
F E
n aFa aF e a Fr a FC
Fr Fr
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vFr R aFr R
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一、长为r的曲柄OA以匀角速度ω绕O轴转动，通过铰接于 A点的套筒C带动摆杆O1B绕O1轴转动。尺寸如图。在图示 瞬时，曲柄转角为 ， 0 摆杆O1B处于铅垂位置。试求该 瞬时摆杆O1B的角速度和角加速度.
B
问题27：边长为L的正方形在图示瞬时AB两点连线铅垂，两个 支撑点为边长的中点，已知此时板的角速度和角加速度，如何 求A、B点的速度和加速度。
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例题与思考题
问题28：边长为L的正方形在图示瞬时AB两点连线铅垂，两个 支撑点为边长的中点，已知此时板的角速度和角加速度，滑块 的速度为u其加速度为零，如何求A、B点的速度和加速度。