理论力学竞赛辅导2运动学
理论力学竞赛辅导2运动学
问题3：当平面运动刚体的角速度或角加速度分别为零时， 如何确定加速度瞬心的位置？
2020/6/8
5
BUAA
例题与思考题
习题4：点M做平面曲线运动，已知该点速度的大小 v=at (a>0), 速度的方向与 x 轴的夹角θ=0.5bt2(b>0),求任意时刻(t>0) 动点M的加速度在y轴上的投影以及轨迹的曲率半径。
aOn
vO2 R
r
(r)2
3r
12r
3
aPnO 2r
aPn
aOn
aPnO
42r
3
vP2 aPn
( 2r ) 2 42r
3r
2020/6/8 3
an
P PO
r
O
an O R
14
BUAA
例题与思考题
问题14：圆盘上哪点的加速度的模最大（小）?
为
o
常
量
A
aA O
Ca
B D
aB
CV
纯滚动
OA R, AB 2R
vB vA vBA
2、速度投影法
vB
AB
vA
AB
3、速度瞬心法
vM vMCV , vM MCV
思考题1：上述三种方法的内 在联系和区别是什么？
Ax’y’为平移动系，B为动点
y
y' vBA vB B
A
r0
B
A
vA
x'
o
vA x
M
vM
CV
2020/6/8
4
BUAA
二、刚体的平面运动
4、平面图形上各点的加速度
y
et (t t)
理论力学教案-运动学
论力学--运动学运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。
第六章 点的运动学点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。
描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。
§6.1 矢量法一．矢量法表示点的运动方程设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取 某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动 点的矢径r 表示。
当动点M 运动时，矢径r 的大小和方 向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数， 即)(t r r =上式称为用矢量表示的点的运动方程。
动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间 描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。
也称为矢径r 的矢端曲线。
二．矢量法表示点的速度)()(t t t r r r -+=∆∆平均速度tt t t t ∆∆∆∆)()(r r r υ-+== 瞬时速度dtd t t t rr υυ===→→∆∆∆∆00limlim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=∆∆ 平均加速度tt t t t ∆∆∆∆)()(υυυa -+==瞬时加速度2200lim lim dt d dt d t t t rυυa a ====→→∆∆∆∆结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。
§6.2 直角坐标法一．直角坐标表示动点的运动方程由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间 而变化。
即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(321t f z t f y t f x消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。
二．直角坐标表示动点的运动速度由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdtdzdt dy dt dx dt d ++==将动点M 的速度写成投影形式，即k j i υz y x υυυ++=比较以上两式，可得dt dx x =υ，dt dy y =υ，dtdz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度动点M 的速度可表示为k j i r υdtdz dt dy dt dx dt d ++==，其加速度可表示为 k j i υa 222222dtzd dt y d dt x d dt d ++==将动点M 的加速度写成投影形式，即k j i a z y x a a a ++=比较以上两式，可得 22dt x d a x =，22dt y d a y =，22dt z d a z =结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。
07-理论力学-第二部分运动学第七章点的合成运动
运动学/点的合成运动
动 点： AB杆上的A点 动 系： 凸轮 定 系： 地面 绝对运动： 直线 相对运动：曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平移
1616
运动学/点的合成运动
动 点：A(在AB杆上) 动 系：偏心轮C 定 系： 地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（C） 牵连运动： 定轴转动
22
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上 的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和 研究物体的运动。下面先看几个例子。
33
运动学/点的合成运动
44
55
本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题。 66
第七章 点的合成运动
§7-1 §7-2 §7-3
§7-4
r 2
r 2
r2
l2
r2
l 2（
） 3030
运动学/点的合成运动
例4 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e ，R 3e ，（匀角速度），图示瞬时， OCCA，且O，A，B三点共线。求：从动杆AB的速度。
解：选取动点：AB 上的A点
动系：圆盘
绝对运动：直线 相对运动：圆周
由
定系：基座 va
牵连运动：定轴 ve vr
▼动点相对动系、定系必须 有运动，不能和动系在同一 物体上。
▼以上可归结为一点、两系 、三运动。
2020
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
相对和牵连运动之间的关系。
以二维问题为例。设定系 ，
动系
。动点M，如图所示。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
大小 ? OA
高中物理力学竞赛辅导教案完美版(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】选修课程备课本力学竞赛辅导课时编号： 1 时间：年月日A ．g m kl 1μ+ B ．g m m k l )(21++μ C ．g m k l 2μ+ D ．g m m m m k l )(2121++μ 2．如上题中两木块向右作匀加速运动，加速度大小为a ，则两木块之间的距离是：（ ）A ．k a m g m k l 11++μ B ．ka m m g m m k l )()(2121++++μ C ．k m g m k l 22++μ D ．k m m g m m m m k l )()(212121++++μ 3．如图劈形物体M 的各表面光滑，上表面水平，放在固定的斜面上，在M 的水平上表面放一光滑小球m ，现释放M ，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是：（ ）A ．沿斜面向下的直线B ．竖直向下的直线C ．向左侧弯曲的曲线D ．向右侧弯曲的曲线4．质量为M 的木块置于粗糙的水平面上，若用大小为F 的水平恒力拉木块，其加速度为a 。
当水平拉力变为2F 时，木块的加速度为a ′为：（ ）A. a ＇= aB.a < a ＇<2aC. a ＇=2aD. a ＇>2a5．质量为m 的盒子以某初速度在水平面上能滑行的最大距离为x ，现在盒子中放入质量也为m 的物块，以同样的初速度在水平面上能滑行的最大距离为：（ ）A ．x /2B ． xC ．2x ，D ．4x6．在光滑的水平面上，有两个物体并放一起，如图所示。
已知两物体质量M :m =5:1，第一次用水平力F 由左向右推M ，物体间的作用力为N 1，第二次用同样大小的水平力F 由右向左推m ，两物间作用力为N 2，则N 1: N 2为：（ ）A ．1:1B ．1:5C ． 5: 1D ．与F 的大小有关图447．光滑水平面上质量为m 的物体在水平恒力F 作用下，由静止开始在时间t 内运动距离为s ，则同样的恒力作用在质量为2m 的物体上，由静止开始运动2t 时间内的距离是：（ ）A ．sB ．2sC ．4sD ．8s8．如图所示，轻绳的一端系在质量为m 的物体上，另一端系在一个圆环上，圆环套在粗糙水平横杆MN 上，现用水平力F 拉绳上一点，使物体处在图中实线位置，然后改变F 的大小，使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来位置不动，则在这一过程中，水平拉力F 、环与杆的摩擦力f 和环对杆的压力N 的大小变化情况是：（ ）A ．F 逐渐增大，f 保持不变，N 逐渐增大B ．F 逐渐增大，f 逐渐增大，N 保持不变C ．F 逐渐减小，f 逐渐增大，N 逐渐减小D ．F 逐渐减小，f 逐渐减小，N 保持不变9．一人站在体重计上，在突然下蹲过程中，体重计读数如何变化？（ ）A ．增大B ．减小C ． 先增大后减小D ．先减小后增大10．如图所示，在水平面上，质量为10 kg 的物块A 拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧的另一端固定在小车上，小车静止不动，弹簧对物块的拉力大小为5 N 时，物块处于静止状态，若小车以加速度a =1 m/s 2沿水平地面向右加速运动时：（ ）A. 物块A 相对小车仍静止B. 物块A 受到的摩擦力将减小C. 物块A 受到的摩擦力大小不变D. 物块A 受到的拉力将增大11．设雨滴从很高处竖直下落时，所受到的空气阻力f 和其速度v 成正比。
力学竞赛辅导讲解
an a
a
an
a
1.2 曲率半径的物理求法
an
v2
v2 an
y
椭圆的曲率半径：
B
轨道方程：
x2 a2
y2 b2
1
对应运动方程： xy
a b
cos t sin t
b Oa
Ax
A点：v vy,max b,
A
v2 an
b2 a
an ax,max a2
v02 h
sin3
h v0
y
x
例1.8 如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向
以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P
的角位置为 时竖直杆运动的速度和加速度。
vP
P
R
y
v0
O xA
解：y R2 x2
dy dy dx
dy
vP dt dx dt v0 dx v0
反映速度（大小和方向） 变化快慢的物理量
a v
a
t lim
t 0
v t
dv dt
d 2r dt 2
x
a x
dvx dt
d2x dt2
a y
dvy dt
d2y dt 2
z A
vA B
rA
vB
rB
O
y
(a)
vA v
vB (b)
加速度与速度的方向一般不同。
H
ymax
v02 sin2
2g
(优选)大学物理竞赛辅导力学.
质点运动学
1、描述质点运动的 基本量：
1)位置矢量 r xi yj zk
r x2 2)位移 3)速度
4)加速度
y2 z2
v
r dr
dt
a
dv
dt
cos x , cos y , cos z
r rrຫໍສະໝຸດ i yj zkvxv
i v
v
yj
一 质心
有n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定
rc
m1r1 m2r2 miri mnrn
m1 m2 mi mn
n mi ri
i 1 n
mi
n
i 1
若取 m' mi 为质点系内各质点的质量总和
i
上式可写为
m' drc
n
dt i1
1m'rc
mi
质点系的动量定理
t2
t1
n i1
Fi外
dt
n i1
mivi2
-
n i1
miv i1
3）质点系的动量守恒定律（惯性系）
n
如 Fi 0
则
mivi 常矢量
i 1
i
n
如 Fix 0 i 1
则
mivi x 常量
i
注意：
1、动量守恒定律
只适用于惯性系。定律中的速度应 是对同一惯性系
求：v,
a
以及 轨迹方程 等。
解法：求导
若已知
r
r (t)
则
v
dr
dt
a
dv dt
d
2
r
dt 2
若已知 s s( t )
理论力学运动学知识点总结
理论力学运动学知识点总结第一篇：理论力学运动学知识点总结运动学重要知识点一、刚体的简单运动知识点总结1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。
2.刚体平行移动。
·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。
·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。
·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。
3.刚体绕定轴转动。
• 刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。
• 刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。
• 角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，以用矢量表示。
，当α与ω。
角速度也可• 角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，同号时，刚体作匀加速转动；当α 与ω异号时，刚体作匀减速转动。
角加速度也可以用矢量表示。
• 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：。
速度、加速度的代数值为。
• 传动比。
一、点的运动合成知识点总结1.点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。
• 绝对运动：动点相对于定参考系的运动；• 相对运动：动点相对于动参考系的运动；• 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。
2.点的速度合成定理。
• 绝对速度：动点相对于定参考系运动的速度；• 相对速度：动点相对于动参考系运动的速度；• 牵连速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的速度。
3.点的加速度合成定理。
• 绝对加速度：动点相对于定参考系运动的加速度；• 相对加速度：动点相对于动参考系运动的加速度；• 牵连加速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的加速度；• 科氏加速度：牵连运动为转动时，牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附加的加速度。
• 当动参考系作平移或 = 0，或与平行时，= 0。
全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题
1
1
2
2
平衡方程的快速练习
如何截断？
§3 空间力系
1. 空间力的投影和分解
O
x
y
F
z
直接投影法
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
y
z
O
x
F
Fxy
二次投影法
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
F1
F2
FR
FR
O
F1
F2
FR=F1+ F2
★ 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
§1 静力学公理
A
★ 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是： 这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。
1. 力对点的矩
O
A(x,y,z)
B
r
F
h
y
x
z
MO(F)
空间的力对O点之矩取决于：
（1）力矩的大小；
（2）力矩的转向；
（3）力矩作用面方位。
★ 须用一矢量表征
MO(F) =Fh=2△OAB
O
A(x,y,z)
B
r
F
h
y
x
z
MO(F)
MO(F)
定位矢量
2. 力对轴的矩
B
A
F
O
x
y
z
C
B
O
A
F3
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一、点的运动学
1、直角坐标法
ü & ï vx = x ï ï & v y = yï ý ï ï ï & vz = z ï þ
2、自然坐标法
ü & & ï ax = x ï ï ï & ay = & y ý ï ï ï az = & z& ï þ
& v= s et
& & & & a= s et + s e t = at + an
5
例题与思考题
问题5：点在运动过程中其速度和加速度始终垂直（大小均不 为零），该点可能作： A：圆周运动；B：平面曲线运动；C：空间曲线运动 问题6：点沿曲线 y=sin2x 匀速率运动，该点运动到下列哪些 点时，其加速度为零。
A: x = 0；
y
C
B: x =π/Βιβλιοθήκη ；C: x =π /2;D:x =3π /4
2014-4-3
26
例题与思考题
问题35：四个构件的几何尺寸已知，AB和DE杆在图示位置的 角速度为ω （逆时针转动），角加速度为零。求该瞬时F点的速 度和加速度以及圆盘的角速度和角加速度。
vF vB vFB v F a v F e v Fr
n t a F a B a FB a FB
其上哪点的加速度的模最大（小）? 并求其最大值和最小值。
A B
o
O
u
问题17：图示瞬时滑块B的速度为u，加速度为零，求AB杆 中点C的速度的大小在下一个瞬时是增加的，还是减小的? 求图示瞬时C点的曲率半径。AB=2R，OA=R
2014-4-3 13
例题与思考题
思考题18：半径为 R 的圆盘做平面运动，已知某瞬时圆盘边
B
问题27：边长为L的正方形在图示瞬时AB两点连线铅垂，两个 支撑点为边长的中点，已知此时板的角速度和角加速度，如何 求A、B点的速度和加速度。
2014-4-3 21
例题与思考题
问题28：边长为L的正方形在图示瞬时AB两点连线铅垂，两个 支撑点为边长的中点，已知此时板的角速度和角加速度，滑块 的速度为u其加速度为零，如何求A、B点的速度和加速度。
缘上两点A、B的加速度a （大小、方向如图所示），试 判断出下列结论哪些是正确的： A：这种运动不存在；
n t a B a A a BA a BA
vB v A vBA
B：能求出圆盘的角速度（大小和方向） C：能求出圆盘上任一点的加速度； D：能求出圆盘的角加速度（大小和方向） 问题19：若求圆盘上任意一点的速度（大小和方向），还需 要知道哪些已知条件？
& & & & a= s et + s e t = at + an
x
& an s & en
et 1 & en = θ e t lim lim en t 0 t t 0 t
2014-4-3
& = atbt = abt 2 & an = s θ
v2 a an b
A：2r；B：3r； C：4r；D：2.5r； P O
a
n PO
r
aP a a
n O
n aO 2 O
v 1 n 2r 2 r aPO Rr 3r 3 4 2 n n n aP aO aPO r 3 2 vP ( 2r ) 2 n 3r 4 2 aP r 2014-4-3 3
A
B
u
2014-4-3
22
例题与思考题
问题29：边长为L的正方形在图示瞬时AB两点连线铅垂，两个 支撑点在边长的中点，已知此时板的角速度和角加速度，如何 求A、B点的速度和加速度。 A
B
h
2014-4-3
23
例题与思考题
问题30：半径为R的圆盘在水平地面上纯滚动，细杆AB可在圆盘 的直径槽内滑动，A端沿地面运动。已知图示瞬时圆盘的角速度 和角加速度以及杆与水平线的夹角。求A点的速度和加速度。 B
速度与坐在车B上的人观察到车 A的速度大小相等方向相反；
B
uB
A
B: 坐在车A上的人观察到车C的
R
uC
速度与坐在车C上的人观察到车 A的速度大小相等方向相反； C: 坐在车C上的人观察到车B的 速度与坐在车B上的人观察到车 C的速度大小相等方向相反；
o
uA
C
u A uB uC u
2014-4-3
(r ) 2
n PO
a
n O
R
10
例题与思考题
问题11：圆盘上哪点的加速度的模最大（小）?
为 常 量
A
o
CV
纯滚动
aA
O D
Ca
B
aB
OA R, AB 2R
问题12：图示瞬时AB杆上哪点的加速度的模最大（小）? 问题13：图示瞬时AB杆中点C的速度的大小在下一个瞬时是 增加的，还是减小的? 能否求图示瞬时C点的曲率半径？
D：上述结论均不成立；
18
例题与思考题
问题24：若小圆盘在另一个物体上纯滚动，如何求小圆盘的角 加速度。几何尺寸均为已知。
n aa ae aet ar aK
r
D
ar R
aet e AB
a e r
C B
n ae
ar
O
aB
A
2014-4-3
aet
19
例题与思考题
B D A
F E
n aFa aF e a Fr a FC
Fr Fr
2014-4-3
vFr R aFr R
27
一、长为r的曲柄OA以匀角速度ω绕O轴转动，通过铰接于 A点的套筒C带动摆杆O1B绕O1轴转动。尺寸如图。在图示 瞬时，曲柄转角为 ， 0 摆杆O1B处于铅垂位置。试求该 瞬时摆杆O1B的角速度和角加速度.
反映速度大小的变化
& & at = s et
2 & s an = e n 反映速度方向的变化 ρ
3、复合运动法
va ve v r
aa ae a r aC
• 选取动点和动系（ 动点和动系不能选在同一个物体上， 相对运动轨迹简单） • 当动系有转动时，相对速度（矢量）求导不等于相对加 速度，牵连速度（矢量）求导不等于牵连加速度
例题25：车轮半径为Ｒ。 左前轮转角为45度。求： １、右前轮转向角； 2、车身的角速度； ３、车轮Ｂ距地面最高点 速度；
θ2 = arctan 2 u ω= 2 2b vB =
2014-4-3
B
b
C
1
2b
A
u
D
L
2
2u
20
例题与思考题
问题26：已知图示瞬时杆的角速度和角加速度，如何求B点的 速度和加速度。几何尺寸已知。 A
2014-4-3 11
例题与思考题
问题14：纯滚动圆盘图示瞬时的角速度为零，角加速度为
α ，其上哪点的加速度的模最大（小）?
A
o
B
O
问题15：图示瞬时OA杆的角速度为零，角加速度为α ，AB杆
的运动具有什么特点（速度、加速度、角速度、角加速度）。
2014-4-3 12
例题与思考题
问题16：纯滚动圆盘图示瞬时的角速度为ω ，角加速度为ω 2，
n PO
a
2 2 ( r ) v 1 2 a n 2r n O aO r PO Rr 3r 3 4 2 n n aP (max) aO aPO r 3
n O
R
amin 0
2014-4-3
P在O点下方r/3处
9
例题与思考题
问题10：半径为r的小圆盘以匀角速度ω 在半径为R(R =2r)的固定的大圆盘上纯 滚动，确定图示瞬时小圆盘最高点P运 动轨迹的曲率半径。
y ' 2sin x cos x sin 2 x
D B
x
A
2014-4-3
y " 2cos 2 x
6
例题与思考题
问题7： 纯滚动圆盘中心的速度为常量,设P为圆盘左半边上的
任意一点，若 vP 为该点的速率，则下列关系式哪个成立？
A: dv p dt dv p dt dv p 0 0 0
2014-4-3 14
例题与思考题
思考题20：平面图形上A、B两点的瞬时加速度分布如图所示， 试判断哪种运动是可能的，哪种运动是不可能的。
（a） a A a B
2014-4-3
(b) a A // a B ,0
2
, aA 0
15
例题与思考题
思考题21：平面图形上A、B两点的瞬时加速度分布如图所示， 试判断哪种运动是可能的，哪种运动是不可能的。
2014-4-3
28
例题与思考题
为不使自行车在雨天行驶时车轮带起的泥水落到骑车人的身上，在车轮 上方周围设有挡泥板。在设计挡泥板时，从经济角度考虑，应使挡泥板 短一些，以节省材料。为方便设计，假设自行车以最大设计速度v在水 平地面上匀速行驶，车轮作纯滚动，后轮的半径为R，需防护的区域如 图中阴影线表示，该区域左边缘距后轮轴的水平距离为l，下边缘距地 面的高度等于后轮的半径R ，如图所示。不考虑空气阻力。（南京航空 航天大学） （1）本问题于力学中的什么问题有关？ （2）设计自行车后轮的挡泥板后缘的位置（用图示的角表示）应满足 l 的方程。
A
2014-4-3