13年力学竞赛辅导理论力学4
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aBx a aC 150 3 mm / s
Be 2
n aBy aBe ar 25 150 175 mm / s 2
2 2 a B a Bx a By 313.25mm / s 2
5
A 0
C
180º - -
B
本题, 还可以用 ‘ 函数法’ 求汽缸的角速度和角加速度
a cos45 a aC 4 l
AC
t a BA 4 2 AB
(顺时针)
12
例17. 图示平行四边形机构中, O1A = O2B = l/2 , O1O2 = AB = l .已知O1A杆以匀 角速度 转动, 并通过AB杆上的套筒C带动CD杆在铅直槽内运动. 如果以套筒 上C为动点, O1A杆为动参考系, 则求: C点的牵连速度、 相对速度、牵连加速度、 相对加速度及科氏加速度的大小.(第二届题)
V A VG V AG
VC VG V CG
VD
A
VB
B
V AG V CG
VA VC 2VG
同理可得
V AG
VA
上两式相加得:
1 VG VA VB VC VD 4
VB VD 2VG
8
例 15 半径为r 的圆柱形滚子沿半径为R 的圆弧槽作纯滚动. 在图示瞬时, 滚子 中心C 的速度为VC , 切向 加速度为 aC . 求 A , B 两点的加速度. O y 解: 先求圆柱的角速度 ω 和角加速度 α .
VC
a By a a BC
n C n
VC2 VC2 (R r) r
R 2r 2 VC r( R r )
10
例16 . 图示机构中, 杆AC可在套筒中滑动, 杆OB = l , 杆OA = √2 l , OO = 2l . 在图示瞬时, OOA = 450, OOB = 900. 杆OA的角速度OA = , 逆时
D C
60º
V Cx 和 V Cy .
并设D 点的速度如图示. 由速度投影定理:
VD
CB方向: CA方向:
V Cx VB cos 300
3 V 2
V Cy30º
60º
V Cx
30º
1 V Cy V A cos600 V 2
VA A
B
VB
而在DC方向:
VCy cos 300 VCx cos600 VD cos600
VC2 a n 2 r AC r r aC
将
n a A aC aC a n a AC AC
分别沿x ,y 轴投影:
n
a Ax 0
a Ay a a AC
n C
VC2 VC2 R VC2 Rr r r( R r )
9
以C 为基点, 分析B 的加速度如图示 O y
2
取活塞杆的B点 为动点, 汽缸CO1 为动系加速度分析如图示
aBe O1 B 50 3 mm / s 2 2 n aBe 2 O1 B 25mm / s 2 aC 2 Vr 100 3 mm / s
将 aB aBe ar aC 分别沿 x, y 方向投影
1
将 900 300 0 2rad / s 代入1 得 :
1 rad / s 2 1 rad / s 2
将( 1 ) 式的两边再对时间求一次导数:
2 3 sin 2 3 cos sin cos
n aa 2 l
n n n t aa ar aC a A a BA a BA 3
n a A 2l
aC 2eVr 4 2l
n 2 aBA AC AB 2l
将(3)式沿铅垂方向投影:
a
t BA n A 0 n a
n n t aa (aC ) a A cos450 aBA 2
VC2 a Rr
n C
a BC
o
R
VC2 a BC r r r aC
n 2
x
将
B
acn
n a B aC a C a n a BC BC
a c
aC
r
acn a n C BC
A
a BC
分别沿x ,y 轴投影:
a Bx aC a 2aC BC
O
AB
解:
A
0.5m
AB杆速度瞬心如图示
AB
VA 1.0rad / s OA
D
C
Vr V A
0.5m
(顺时针方向) 以套筒上的C点为动点, AB 杆为动系, 速度分析如图.
由
Ve
45
0
Va
B
Va Ve Vr 沿OC方向投影:
Va cos450 0
Va 0 CD 0
针向, 角加速度OA = 0 ; 杆OB的角速度OB = , 顺时针向, 角加速度
OB = 0 .求该瞬时AC杆的角速度、角加速度及其方向. ( 第五届题) 解: 速度分析
O
AC
VA 2l OA 2l V AC A ( 顺时针) OA
B
以套筒上B点为动点, AC杆为动系,
VD VCy 3 VCx
3 3 V V 0 2 2
7
例14. 图示矩形ABCD 作平面运动, G 为形心. 某瞬时, A , B , C , D 速度分别为
VA , VB , VC , VD .
求: 此瞬时 VG ? 解: 由图示, 可设矩形的转向逆时针
V CG
D G
C
VC
取G 点为基点,
CD Ve BC 2 VD CD DC 3 r 2
30º
ae
n CD ae 60º C
n a
加速度分析如图
a r
2
B
2 r a r 4
n e 2 CD
ak 2CD Vr
3 2 r 2
Ve
30º
Vr
Va
由
n n aa ae ae ar ak 沿 a k 方向投影:
n ae
y
ar
a
Be
n 2 aa 0 OA 400mm / s 2
n ae 2 O1 A 50mm / s 2
C x B an
Be
60º
0 O
aC
aC 2 Vr 100 3 mm / s 2
将 aa ae ar aC 沿 aC 方向投影
将 900 300 0 2rad / s 1 rad / s 2
2
代 入 2 得 :
3 rad / s 2 2
3 rad / s 2 2
6
例13. 图示运动机构中, VA = VB = V , 其方向如图示.
求图示的运动瞬时D 点的速度. 解: 将C 点的速度正分解成
A
C
Ve
Va Vr
VB Va oBOB l
O
VA
450
VB1 Ve oBOB l
由
O
Va Ve Vr
沿CA方向投影
Va Ve Vr
Vr 2 l
11
Biblioteka Baidu
加速度分析:
AC AC n BB1 a BA
C
t a BA
记 与B点重合在AC杆上的点为B1 . 以A为基点,分析B1点的加速度
A 点与B 点相对于CO1 的速度相等 ( 平动 )
VBr Vr 100 3 mm / s
而 VBe O1 B 50mm / s
2 2 VB VBe VBr 180.28 mm / s
4
取活塞杆的A点 为动点, 汽缸CO1 为动系加速度分析如图示
ar
ae
A
n aa
n aa cos300 ae ak
ae 32 BC
a a cos30 ak 3 r
n a 0 2
a D CD DC 3 3 2 r
e
CD
n 2 a D CD DC
3 2 r 4
2
例11. 在图示系统中, 滑块A以匀速度VA = 1m/s 向下运动, 杆长CD = 1m , 当 = 450 且杆CD 水平时, 求AB、CD 杆的角速度. (第三届题)
D
aC 2 2 2l
分别沿x、y 方向投影
aa
由
a aen ar aC
2 n 2 ae arx aC 2 2
ar
tg
aen
C
0 aa
arx 2l
a ry a rx
A C
Va V
V Br
B
30º
0 O
e
Va 0 OA 200mm / s
V Be
O1
Ve Va si n300 100mm / s Vr V A cos 300 100 3 mm / s
AB 杆及汽缸CO1 的角速度为
Ve 0.5rad / s AO1
O
O1
机构在任意位置, 由正弦定理:
OO1 OA si n 1800 si n
100 3 100 si n si n
3 sin sin
两边对时间求导数： cos cos 3
3
例12. 机构如图示 , OA 杆长100 mm , 以匀角速度0 = 2 rad/s 转动, 活塞杆AB 杆 长亦为100mm , 汽缸CO1 可绕O1 转动. OO1 = 1003 mm . 求: 图示瞬时, 活塞上B 点的速度和加速度.
Vr
30º
解: AB杆相对汽缸作平动, 故AB 杆与汽 缸CO1 的角速度和角加速度相同. 取活塞杆的A点 为动点, 汽缸CO1 为动 系速度分析如图示
n aa cos300 aC ae
aC
e
30º
O1
ae 3 rad / s 2 a 200 3 100 3 100 3 mm / s O1 A 2 2 n n 将 aa ae ar aC 沿 A B 方向投影 : aa sin300 ae ar ar 50 200 150 mm / s
1
例10. 计算如下两种运动机构在图示位置时CD杆上D点的速度和加速度. 设图 示AB杆的角速度为 , 角加速度为零. AB = r, CD = 3r .
(a)
aD
VD
D
解: 取套筒上的B点为动点, DC杆为动系.
CD
n aD
速度分析如图
A
ar
n aa
Va r
ak
B
1 Ve Va si n300 r 2 3 Vr Va cos 300 r 2
o
R
VC 圆柱上的A 点是速度瞬心, r x
注意上式在这里不仅是瞬时成立!
B
aC
acn V C C
a AC
aC d d VC ( ) dt dt r r
以C 为基点, A 点的加速度分析如图
a AC
rn
A
acn
a c
VC2 n aC Rr a AC
(方向如图示)
13
a
r
加速度分析:
O1
450
a ry
a
n e
O2
l
先以AB杆为动系求C点的绝对加速度
由 aa aen a r
n aa ae 2l
a a a rx
C
45
0
沿铅垂方向投影
A
B
(方向如图示)
aC
l l
以C为动点,O1A杆为动系, 加速度分析如图
n ae 2 2l
A
a
n a
n aC a A
ar
a
n A
n n t a B1 a A a BA a BA
1
450
以套筒上B为动点, AC杆为动系分析B1点的 加速度
O
O
n aa ae a B1 ar aC n 即是 a B1 aa ar aC
2
结合(1)、(2)式可得:
速度分析:
O1
A
Ve
C
O2
l
先以AB杆为动系求C点的绝对速度 由 Va Ve Vr 在铅垂方向投影可得
B
Vr
l l
aC
D
Va 0
若以O1A杆为动系,
由 Va Ve Vr 可得
Ve 2 l
Vr Ve
Va
Vr
C
Vr 2 l
Ve
(方向如图示)
从而可得科氏加速度
aC 2Vr 2 2 2l
Be 2
n aBy aBe ar 25 150 175 mm / s 2
2 2 a B a Bx a By 313.25mm / s 2
5
A 0
C
180º - -
B
本题, 还可以用 ‘ 函数法’ 求汽缸的角速度和角加速度
a cos45 a aC 4 l
AC
t a BA 4 2 AB
(顺时针)
12
例17. 图示平行四边形机构中, O1A = O2B = l/2 , O1O2 = AB = l .已知O1A杆以匀 角速度 转动, 并通过AB杆上的套筒C带动CD杆在铅直槽内运动. 如果以套筒 上C为动点, O1A杆为动参考系, 则求: C点的牵连速度、 相对速度、牵连加速度、 相对加速度及科氏加速度的大小.(第二届题)
V A VG V AG
VC VG V CG
VD
A
VB
B
V AG V CG
VA VC 2VG
同理可得
V AG
VA
上两式相加得:
1 VG VA VB VC VD 4
VB VD 2VG
8
例 15 半径为r 的圆柱形滚子沿半径为R 的圆弧槽作纯滚动. 在图示瞬时, 滚子 中心C 的速度为VC , 切向 加速度为 aC . 求 A , B 两点的加速度. O y 解: 先求圆柱的角速度 ω 和角加速度 α .
VC
a By a a BC
n C n
VC2 VC2 (R r) r
R 2r 2 VC r( R r )
10
例16 . 图示机构中, 杆AC可在套筒中滑动, 杆OB = l , 杆OA = √2 l , OO = 2l . 在图示瞬时, OOA = 450, OOB = 900. 杆OA的角速度OA = , 逆时
D C
60º
V Cx 和 V Cy .
并设D 点的速度如图示. 由速度投影定理:
VD
CB方向: CA方向:
V Cx VB cos 300
3 V 2
V Cy30º
60º
V Cx
30º
1 V Cy V A cos600 V 2
VA A
B
VB
而在DC方向:
VCy cos 300 VCx cos600 VD cos600
VC2 a n 2 r AC r r aC
将
n a A aC aC a n a AC AC
分别沿x ,y 轴投影:
n
a Ax 0
a Ay a a AC
n C
VC2 VC2 R VC2 Rr r r( R r )
9
以C 为基点, 分析B 的加速度如图示 O y
2
取活塞杆的B点 为动点, 汽缸CO1 为动系加速度分析如图示
aBe O1 B 50 3 mm / s 2 2 n aBe 2 O1 B 25mm / s 2 aC 2 Vr 100 3 mm / s
将 aB aBe ar aC 分别沿 x, y 方向投影
1
将 900 300 0 2rad / s 代入1 得 :
1 rad / s 2 1 rad / s 2
将( 1 ) 式的两边再对时间求一次导数:
2 3 sin 2 3 cos sin cos
n aa 2 l
n n n t aa ar aC a A a BA a BA 3
n a A 2l
aC 2eVr 4 2l
n 2 aBA AC AB 2l
将(3)式沿铅垂方向投影:
a
t BA n A 0 n a
n n t aa (aC ) a A cos450 aBA 2
VC2 a Rr
n C
a BC
o
R
VC2 a BC r r r aC
n 2
x
将
B
acn
n a B aC a C a n a BC BC
a c
aC
r
acn a n C BC
A
a BC
分别沿x ,y 轴投影:
a Bx aC a 2aC BC
O
AB
解:
A
0.5m
AB杆速度瞬心如图示
AB
VA 1.0rad / s OA
D
C
Vr V A
0.5m
(顺时针方向) 以套筒上的C点为动点, AB 杆为动系, 速度分析如图.
由
Ve
45
0
Va
B
Va Ve Vr 沿OC方向投影:
Va cos450 0
Va 0 CD 0
针向, 角加速度OA = 0 ; 杆OB的角速度OB = , 顺时针向, 角加速度
OB = 0 .求该瞬时AC杆的角速度、角加速度及其方向. ( 第五届题) 解: 速度分析
O
AC
VA 2l OA 2l V AC A ( 顺时针) OA
B
以套筒上B点为动点, AC杆为动系,
VD VCy 3 VCx
3 3 V V 0 2 2
7
例14. 图示矩形ABCD 作平面运动, G 为形心. 某瞬时, A , B , C , D 速度分别为
VA , VB , VC , VD .
求: 此瞬时 VG ? 解: 由图示, 可设矩形的转向逆时针
V CG
D G
C
VC
取G 点为基点,
CD Ve BC 2 VD CD DC 3 r 2
30º
ae
n CD ae 60º C
n a
加速度分析如图
a r
2
B
2 r a r 4
n e 2 CD
ak 2CD Vr
3 2 r 2
Ve
30º
Vr
Va
由
n n aa ae ae ar ak 沿 a k 方向投影:
n ae
y
ar
a
Be
n 2 aa 0 OA 400mm / s 2
n ae 2 O1 A 50mm / s 2
C x B an
Be
60º
0 O
aC
aC 2 Vr 100 3 mm / s 2
将 aa ae ar aC 沿 aC 方向投影
将 900 300 0 2rad / s 1 rad / s 2
2
代 入 2 得 :
3 rad / s 2 2
3 rad / s 2 2
6
例13. 图示运动机构中, VA = VB = V , 其方向如图示.
求图示的运动瞬时D 点的速度. 解: 将C 点的速度正分解成
A
C
Ve
Va Vr
VB Va oBOB l
O
VA
450
VB1 Ve oBOB l
由
O
Va Ve Vr
沿CA方向投影
Va Ve Vr
Vr 2 l
11
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加速度分析:
AC AC n BB1 a BA
C
t a BA
记 与B点重合在AC杆上的点为B1 . 以A为基点,分析B1点的加速度
A 点与B 点相对于CO1 的速度相等 ( 平动 )
VBr Vr 100 3 mm / s
而 VBe O1 B 50mm / s
2 2 VB VBe VBr 180.28 mm / s
4
取活塞杆的A点 为动点, 汽缸CO1 为动系加速度分析如图示
ar
ae
A
n aa
n aa cos300 ae ak
ae 32 BC
a a cos30 ak 3 r
n a 0 2
a D CD DC 3 3 2 r
e
CD
n 2 a D CD DC
3 2 r 4
2
例11. 在图示系统中, 滑块A以匀速度VA = 1m/s 向下运动, 杆长CD = 1m , 当 = 450 且杆CD 水平时, 求AB、CD 杆的角速度. (第三届题)
D
aC 2 2 2l
分别沿x、y 方向投影
aa
由
a aen ar aC
2 n 2 ae arx aC 2 2
ar
tg
aen
C
0 aa
arx 2l
a ry a rx
A C
Va V
V Br
B
30º
0 O
e
Va 0 OA 200mm / s
V Be
O1
Ve Va si n300 100mm / s Vr V A cos 300 100 3 mm / s
AB 杆及汽缸CO1 的角速度为
Ve 0.5rad / s AO1
O
O1
机构在任意位置, 由正弦定理:
OO1 OA si n 1800 si n
100 3 100 si n si n
3 sin sin
两边对时间求导数： cos cos 3
3
例12. 机构如图示 , OA 杆长100 mm , 以匀角速度0 = 2 rad/s 转动, 活塞杆AB 杆 长亦为100mm , 汽缸CO1 可绕O1 转动. OO1 = 1003 mm . 求: 图示瞬时, 活塞上B 点的速度和加速度.
Vr
30º
解: AB杆相对汽缸作平动, 故AB 杆与汽 缸CO1 的角速度和角加速度相同. 取活塞杆的A点 为动点, 汽缸CO1 为动 系速度分析如图示
n aa cos300 aC ae
aC
e
30º
O1
ae 3 rad / s 2 a 200 3 100 3 100 3 mm / s O1 A 2 2 n n 将 aa ae ar aC 沿 A B 方向投影 : aa sin300 ae ar ar 50 200 150 mm / s
1
例10. 计算如下两种运动机构在图示位置时CD杆上D点的速度和加速度. 设图 示AB杆的角速度为 , 角加速度为零. AB = r, CD = 3r .
(a)
aD
VD
D
解: 取套筒上的B点为动点, DC杆为动系.
CD
n aD
速度分析如图
A
ar
n aa
Va r
ak
B
1 Ve Va si n300 r 2 3 Vr Va cos 300 r 2
o
R
VC 圆柱上的A 点是速度瞬心, r x
注意上式在这里不仅是瞬时成立!
B
aC
acn V C C
a AC
aC d d VC ( ) dt dt r r
以C 为基点, A 点的加速度分析如图
a AC
rn
A
acn
a c
VC2 n aC Rr a AC
(方向如图示)
13
a
r
加速度分析:
O1
450
a ry
a
n e
O2
l
先以AB杆为动系求C点的绝对加速度
由 aa aen a r
n aa ae 2l
a a a rx
C
45
0
沿铅垂方向投影
A
B
(方向如图示)
aC
l l
以C为动点,O1A杆为动系, 加速度分析如图
n ae 2 2l
A
a
n a
n aC a A
ar
a
n A
n n t a B1 a A a BA a BA
1
450
以套筒上B为动点, AC杆为动系分析B1点的 加速度
O
O
n aa ae a B1 ar aC n 即是 a B1 aa ar aC
2
结合(1)、(2)式可得:
速度分析:
O1
A
Ve
C
O2
l
先以AB杆为动系求C点的绝对速度 由 Va Ve Vr 在铅垂方向投影可得
B
Vr
l l
aC
D
Va 0
若以O1A杆为动系,
由 Va Ve Vr 可得
Ve 2 l
Vr Ve
Va
Vr
C
Vr 2 l
Ve
(方向如图示)
从而可得科氏加速度
aC 2Vr 2 2 2l