力学竞赛辅导(2)(2013)

2 A cost A A: 1 2 2 h A si nt gt 2m 2 1 2 1 2 B : h 2 1t gt C : h gt 2 2
2m B 2m 2m
6
C
第28届（2011）考题
例3: 如图所示,小球从竖直平面的O点的斜上方 抛出, 抛射角为θ, 速度为υ0, 在此竖直平面内作 OM射线与小球抛射方向垂直,小球到达OM射线 时的速度分解为图示中与OM射线垂直方向的分 0∥= ____。 20tg 量υ⊥和平行分量υ∥,则υ⊥= ____,υ
1 P0 12 P0 gH 1 2
因瓶子竖直上抛, 瓶中的水受到一个向 上的惯性力, 故瓶中的水不会流出。
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H
第23届（2006）考题
例12：在水平地面上的一个桶内盛有高度为 h1+h2的水，同侧面有一小孔，孔与水面相距h1， 2 gh1 水从小孔流出时的速度为υ1=______，对应水 的射程为S1，如图所示。如果小孔的位置改取 在水面下方h2处，对应的水平射程记为S2，则 S2-S1=______。 0 1 h1 2 P0 1 P0 gh1 ν1 2 2 h2 12 2 gh1 同理 2 2 gh2 1 2 h2 gt S1 1t S1 2 S1 2 h1h2 同理 S2 2 h1h2 16
1 W J 2 0 根据能量守恒： P3点的ω3max最大 2 1 1 且 Eq( R cos45 R) ( mR2 mR2 ) 32max 2 2
P3 O3 : W 3 Eq( Rcos45 R ) ( 减 少)
轴提供的支持力为： F Eq m
2 3max
d2x T x 任一位置 - T - F0 m 2 o dt x0 ma0 k d2x d2x k 2 A x0 - k ( x - x0 ) - ma0 m 2 x0 2 m k dt dt m - A sin 0 0 x 0 A cos 12 x A cos(t ) x
y y z z
vx u v x u 1 2 vx c vy u2 v y 1 2 u c 1 2 vx c 2 vz u v 1 2 z u c 1 2 vx c 2
力学主要公式
（7）长度收缩和时间延缓
u2 动 长 原 长 1 2 c
t t u2 1 2 c
厢具有水平朝右的加速度a0，则a0的取值范围为_____ 时，能使物块B相对车厢不动。 mB A (1)F0 ma0 竖直向下 a ( g a0 ) m A mB
mB g (2)F0 ma0 水平向左 a 0 m A mB
B
5
第24届（2007）考题
[例2]: 在一个竖直的平面内有三个质点A、B、 C，某一时刻它们恰好位于每边长为2米的正方 形三个顶点上，方位如图所示。设此时C无初速 地自由下落， B以1m/s的速度竖直向下运动，A 则以初速度 A开始自由运动。不计空气阻力， 如果A恰好在C落地时刻同时击中 B、C，则C初始离地 19.6 2 面的高度为 _______m ， A的大小为_______m/s.
重力势能 E p mgh
Mm 万有引力势能 E p G r （5）保守力的特点 F dr 0 作功与路径无关
L
1 2 E p kx 2
1
力学主要公式
（6）洛伦兹时空坐标变换和速度变换
x x ut u2 1 c2
u t 2 x c t u2 1 2 c
R 1 2 F t mR Ft mR 2 2 I mR I / mR
I
9
第28届（2011）考题
例6：如图所示，由三根相同的均匀细杆连成等 边三角形刚体框架的每边长a，总质量M。将框 架相对于过框架上任意一点P且垂直于框架平面 的转轴的转动惯量记为Ip，所有Ip 中最小者所对
例13：如图，光滑绝缘水平桌面上有场强为 E
第27届（2010）考题
的均匀电场，质量为m、半径为R的匀质簿圆板 均匀带电，电量q>0。可以过圆周上的P1或P2或 P3点设置一个竖直、光滑、绝缘转轴，P1、P2、 P3的方位已经在图中标出。设置转轴后，从静 止释放的圆板便会作定轴转动，转动角速度的 最大值依次记为ω1max、ω2max、ω3max，三个中最 3max 大者为_______ 。 E P3 当角速度达到此值时， 45 q 转轴提供的支持力大 m P 1 小为_____________ 。 1 (7 2 2 ) Eq
d 1 J1 fr1 阻力矩 dt d1 fr1 dt J1 fr1 d1 dt J1
10
o1
N1
N2
f
r1
o2
r2
f
m1 g
m2 21 g
力学主要内容
t fr2 r2 d 2 dt 两边积分 d 2 fdt J2 J 2 0 0 t J1 J2 r2 于是有： (10 1 ) 2 2 fdt r1 r2 J2 0 N1 N2 不打滑条件：r11 r22
上式表明压强、动能体密度、 势能密度三项之和在流线上 各点处处相等。
4
第25届（2008）考题
例1：在一车厢内，由图示的水平桌面、质量分 别为mA和 mB的物块A和B、轻绳和质量可忽略 的滑轮装置。（1）系统无摩擦，车厢具有竖直 向上的加速度a0，则物块B相对车厢竖直向下的 加速度a_____。（2）设与水平桌子侧面的间的 摩擦因素μ≥ mA/mB，系统其余部位无摩擦，今使车
各边中点， 所有 Ip 中最大者Imax 应的P点必定在 ________
1 与Imin之间的差值 ________ Ma 2 。 4
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第23届（2006）考题
例7：如图所示，长为l、质量为M的匀质重梯上 端A靠在光滑的竖直墙上，下端B落在水平地面 上，梯子与地面的夹角为60℃。一个质量也为 M的胖男子从B端缓慢爬梯，到达梯子中点时， 梯子尚未滑动，据此可知梯子与地面间的摩擦 3 / 6 。令质量为2M/3的瘦男子替换胖男 因数μ= _____ 子从B端缓慢爬梯，为使梯子不会滑动，他可到 A l/2 。 达的最高位置与B端相距_____ 对梯：未滑动时 合外力为0 合外力矩为0
1 2 E k mc m0 c m c V c 0 0 0 2 4 1 c
2
m0 c 2

m V
m0 1 c
2
25 V0 1 0 16 c
14
2
第26届（2009）考题
例11：如右图所示，底部开有小孔的瓶内盛水 2 gH 。 高度为H，静止直立时，小孔流速υ1=______ 若改为用右手拇指堵住底部小孔，其余四指捏 住瓶体，使其仍处于静止直立状态，而后右手 将瓶子竖直上抛，略去空气阻力，此时小孔流 0 速υ2=______ 。
c2
m静 m 1
2
c
2
m0 1
2
c2
13
第20届（2003）考题
例10:飞船静止时体积为V0,平均密度为ρ0， 3 相对地面以 5 c 高速飞行时，地面参
1 V0 0 c 2 考系测得它的动能为Ek 4 ，平均 25 0 密度为ρ 16 。
2 2
解： m0 V0 0
以O1点为参考点 计算系统的外力矩：
10
o1 O
N1
N2
f
r1
o O22
r2
f
M ( N 2 m2 g )(r1 r2 )
m1 g
m2 g
20
f (r1 r2 ) 0
力学主要内容
作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。 只能用转动定律做此题。
对于盘1：以O1为轴
第22届（2005）考题
例9：静质量为2m0的物块，从静止状态自发的 分裂成两个相同的小物块，以一样的高速率v 朝着相反的方向运动。若与外界无能量交换， 那么每一小块的质量为 m0 ，每一小块 的静质量为
m0 1
2
c 2。
2m0 c 2 2mc2 m m0
m m静 1
2

3
P2
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分析：
因为带电体处在外电场中，所 E O3 以具有初始的电势能。处在三 P3 45 个位置时的电势能分别为：0 q O F电 经过一段时间后，其电势能的 m 改变分别为： P1 P 1 O1 : W 1 EqR ( 减 少) P2 P 2 O2 : W 2 EqR ( 减 少)
（8）相对论的质量和动量
m
m0 v 1 2 c
2
2
m0
P mv
（9）相对论能量
E mc
mc 2 = Ek + m0 c 2
3
力学主要公式
(10) 连续性方程
无粘滞性且不 可压缩的流体
S1 1 S 2 2 —连续性定理
(11) 伯努利方程
1 2 P gh 常量 2
d x a x g sin dt d y a y - g cos dt
y υ0
x g sin t y - g cos t 0 x g sin t 2 / 2 2 y g cos t / 2 0t
O

水平线
当y 0时 2 0 t g cos
υ⊥
M x
7
υ∥
第24届（2007）考题
例4：金属丝绕着铅垂轴弯成等距螺旋线，螺距 h=2cm，旋转半径R=3cm，在金属丝上穿பைடு நூலகம்小 珠，小珠-由无初速度开始下滑，不计摩擦。小 珠在第一圈螺旋末端处的水平方向速度的大小 0.62 12 94 m/s2。 为_____m/s ，总的加速度大小为_____ 2 m / 2 mgh 2gh 2πR A B 水平 2gh sin 0.62m / s