正弦函数和和余弦函数的定义与诱导公式题目与答案
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
正弦函数和余弦函数的定义
【要点链接】
1．单位圆的定义：
注意两点：以原点为圆心，以单位长为半径． 2．任意角的正弦函数和余弦函数的定义：
对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合： ①终边与单位圆交于点),(v u P ，过P 作PM 与x 轴垂直，垂足为M ，
那么v =αsin ，u =αcos ；线段MP 为角α的正弦线，线段OM 为角α的余弦线． ②可设终边上不同于原点的任意一点为),(y x P ，r OP =， 那么r y =
αsin ，r
x =αcos ． 注意②是正弦函数和余弦函数的定义的推广，可直接应用．
3．周期与最小正周期：
记住正弦函数和余弦函数的最小正周期都为π2，可直接用． 会判断一个数是否是一个函数的周期． 【随堂练习】 一、选择题
1．单位圆是指（ ）
A ．半径为1的圆
B ．圆心为坐标原点且半径为1的圆
C ．半径为整数的圆
D ．圆心为坐标原点且半径为整数的圆 2．若sin cos 0αα>且cos 0α<，则α的终边所在象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．已知角α的终边过点(1,2)P -，则cos α的值为（ ）
A ．25
B ．
C ．552
D ．5
-4．设0a <，角α的终边经过点(3,4)P a a -，那么sin 2cos αα+的值等于（ ）
A ．52
B ．－52
C ．51
D ．－5
1
二、填空题
5．0
sin(60)-=_______．
6．若角α的终边在直线2y x =上，且sin 0α<，那么cos α=_______． 7．角α的终边上有一点(,5)P m ，且)0(,13
cos ≠=m m
α，则m =______．
三、解答题
8．已知单位圆上一点()P a ，设以射线OP 为终边的角(02)θθπ<<，求角θ 的正弦值，并作出角θ的正弦线．
9．已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4（且均不为零）， 求2sin cos αα+的值．
答案
1．B 由单位圆的定义可知．
2．C 知cos 0α<且sin 0α>，那么α在第三象限．
3．D
知OP =，设角α的终边与单位圆的交点为(,)x y ，由相似比知
1cos x OP α-===． 4．A 知射线OP 方程为4(0)3y x x =-≥，它与单位圆的交点为34
(,)55
-，
则4sin 5α=-，3cos 5α=，所以2
sin 2cos 5
αα+=．
5
．-画出0
60-
角的终边，它与单位圆的交点为1(,2
，则0sin(60)-=．
6
．5-直线2y x =
与单位圆的交点为
或(，而sin 0α<，
则cos 5
α=-
． 7．12±
由相似比知cos 13m α==12m =±．
8．解：因为点P
在单位圆上，则22(1a +=，解得1
2a =±
当12a =时，点P 坐标为1()22-，则1sin 2
θ=； 当12a =-时，点P 坐标为1()2-，则1sin 2
θ=-． 角θ的正弦线即为图中的MP 与MP '．
9．解：设0a >，点P 的情况有四种：(4,3)a a 、(4,3)a a -、(4,3)a a --、(4,3)a a -．
若角α终边过点(4,3)P a a ，则25
4
532cos sin 2=+?=+αα；
若角α终边过点(4,3)P a a -，则52
54532cos sin 2=-+?=+αα；
若角α终边过点(4,3)P a a --，则254
532cos sin 2-=-+-?=+αα；
若角α终边过点(4,3)P a a -，则5
2
54532cos sin 2-=+-?=+αα．
备选题
1．若(sin )sin 2f x x =，则0
(sin 30)f 的值等于（ ）
A ．
2
1 B ．－
2
1 C ．－
2
3 D ．
2
3 1．D 0
(sin 30)sin(230)sin 602
f =?==．
2．已知角θ
的终边在直线3
y x =上，则sin θ= ． 2．12±
直线3y x =
与单位圆的交点为1,)22
、1(,)22--，则1sin 2
θ=±．
正弦函数和余弦函数的诱导公式
【要点链接】
1．会通过单位圆中的正弦线和余弦线得出角α与角α-，角α与角πα±， 角α与角απ-，角α与角
απ
+2
的正弦值与余弦值之间的关系；
2．会记住以上公式并灵活运用；
3．诱导公式的一个统一的记法：奇变偶不变，符号看象限．
介绍如下：比如对))(2
sin(Z k k
∈±απ，首先把α看作第一象限的角，当k 为奇数时， 名称sin 要变成cos ，当k 为偶数时，名称sin 不变；正负号要由
απ±2
k
的象限而确定．
要熟练掌握上述方法，可以不必再去记忆那么多公式，而且可以很快很准确去做出． 【随堂练习】 一、选择题
1．化简5cos()2
πα+为（ ） A ．cos α B ．cos α- C ．sin α D ．sin α-
2．已知1cos 2α=，且3
22παπ<<，则sin(2)πα-等于（ ）
A
．- B
C ．1
2
D
．3．下列各式不正确的是（ ）
A ．0
sin(180)sin αα+=- B ．cos()cos()αβαβ-+=-- C ．0sin(360)sin αα--=- D ．cos()cos()αβαβ--=+ 4．2
2
2
sin 150sin 1352sin 210sin 225+++的值是（ ）
A ．
4
1 B ．
4
3 C ．
4
11 D ．
4
9
二、填空题
5．若3cos()5απ+=，则7
sin()2
απ--=_______． 6．已知sin y x =的最小正周期为2π，请写出()sin 2f x x =的比2π小的一个周期
为_______．
7．设角356
απ=-，则2
23
2sin()sin()cos()
21sin sin()cos ()παπαπααπαπα+--+=++--+_______．
三、解答题
8．已知sin()2cos(2)απαπ-=-，求sin()5cos(2)
33sin()cos()
22
παπαπ
παα++---+的值．
9．若2
cos 3
α=，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．
答案
1．D 5
cos()cos()sin 2
2
π
πααα+=+=-．
2．B 由1cos 2α=
，且322παπ<<，则5
3
απ=
，则sin(2)sin 3ππα-==．
3．B cos()cos[()]cos()αβαβαβ-+=--=-，则选B ．
4．A
原式2
22111()2()(2
24
=++?-+=． 5．35- 3cos()cos 5απα+=-=，则3cos 5α=-，则7sin()sin()22
π
απα--=-
3
cos 5
α==-．
6．π sin y x =的最小正周期为2π，则sin(2)sin x x π+=，则()sin 2()f x x ππ+=+ sin(22)sin 2()x x f x π=+==，说明π是()sin 2f x x =的一个周期．
7．3 35666παππ=-
=-+，则1
sin 2
α=
，cos 2α=，
所求式222sin cos cos 1sin sin cos ααα
ααα
+==++-
8．解：由已知得sin 2cos αα-=，
设角α的终边与单位圆的交点为(,)x y ，则2y x -=，则2y
x
=-．
则原式5
sin 5cos 57
3cos sin 35
3y y x x y x y x
αααα-+-+-+====--+-+-+．
9．解：2
cos 3
α=，α是第四象限角，
则知角α的终边与单位圆的交点为2
(,)(0)3m m <，
那么22
2()13
m +=
，则m =，
所以sin α=．
sin(2)sin(3)cos(3)sin sin(3)cos(3)
cos()cos()cos cos cos()cos απαπαπαπαπαπαπαα
απαα
-+----+-------+=
2
2sin sin cos 33342cos cos 293
ααα
αα
-
+?-=
==--．
备选题
1
．已知sin()4
2π
α+=
，则3
sin()4
πα-=___________． 1．23
3sin()sin[()]sin()4442
πππαπαα-=-+=+=．
2．已知α为第三象限角，且31
cos()25
απ-
=，则cos α=_________． 2
． 331cos()cos()cos()sin 2225παππααα-=-=--=-=，则1sin 5
α=-，
则可设α的终边上一点为(1,)y -，得222
(1)5y -+=，又0y <
，则y =-，
则cos 5
α=-
．
同步测试题
A 组
一、选择题
1．设α为第二象限角，且cos
cos
2
2
α
α
=-，则
2
α
角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．设3sin 5α=-
，4
cos 5
α=，那么下列各点在角α终边上的是（ ） A ．(4,3)- B ．(4,3)- C ．(3,4)- D ．(3,4)-
3．若θ是第三象限角，且02cos <θ，则2
θ
是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
4．角(02)ααπ<<的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为（ ）
A ．4
π
B ．34π
C ．74π
D ．34π或74π
5．已知角α的终边在函数||x y -=的图像上，则sin α的值为（ ）
A ．－
2
2 B ．
2
2 C ．
22或－2
2 D ．
2
1
6．设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin ,5(cos π
π，则α等于（ ）
A ．
5
π
B ．310π
C ．32()10k k Z ππ+∈
D ．2()5
k k Z π
π+∈
二、填空题
7．已知2()2
k k Z π
αβπ+=+
∈，cos 0β≠，则
sin cos α
β
= ． 8．cos y x =的最小正周期为 ．
9．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，写出()f x 的一个周期 为_______．
三、解答题
10．判断函数()sin()f x x x π=+的奇偶性．
11．若k ∈Z ，求]
)1cos[(])1sin[()
cos()sin(απαπαπαπ-++++-k k k k 的值．
12．已知第三象限的角α终边上一点()P m ，且m 4
2
sin =α，求sin α的值．
B 组
一、选择题
1．若θ为第二象限角，那么sin(sin )θ的值为（ ） A ．正值 B ．负值 C ．零 D ．不能确定 2．已知函数()sin 1f x a x x =++，满足(5)7f =，则)5(-f 的值为（ ）
A ．5
B ．－5
C ．6
D ．－6
3．设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin ,5(cos π
π，则α等于（ ）
A ．
5
π
B ．310π
C ．32()10k k Z ππ+∈
D ．2()5
k k Z π
π+∈
4．若α是第一象限角，则αα
α
α2cos ,2
cos ,2sin ,2sin 中能确定为正值的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．2个以上
二、填空题
5．已知
sin 2cos 53sin 5cos αααα-=-+，那么
sin cos α
α
的值为 ． 6．已知cos 23x a =-，x 是第二、三象限的角，则a 的取值范围_____________．
三、解答题
7．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合．
（1）sin 2x ≥； （2）1sin 22
x -<≤．
8．已知角α的终边在直线3y x =-上，求α
α
αcos sin sin 10+的值．
答 案
A 组
1．C α为第二象限角，则2α在一三象限，而cos cos 22αα=-，则cos 02
α
≤， 则
2
α
角属于第三象限． 2．A 角α终边过(4,3)-时，则34
sin ,cos 5
5
αα=-=，其它不满足，选A ． 3．B θ是第三象限角，则2θ是第二、四象限的角，又02cos <θ，则2
θ
是第二象限角．
4．D 角(02)ααπ<<的正、余弦线的长度相等，则可为4
π、34π、54π、74π
，
4
π
的正、余弦符号相同，54π的正、余弦符号相同，另两个是相异的．
5．A 知角α的终边在第三或第四象限，值为负，只有A 满足．
6．D 知点P 在第一象限内，且5
πθ=的终边上有一点的坐标为)5
sin ,5(cos
π
π
， 则α角的终边与5
πθ=的终边相同，则2()5
k k Z π
απ=+
∈
7．1 22
k π
απβ=+
-，则sin sin(2)sin()cos 22
k π
π
απβββ=+
-=-=．
8．π cos()cos x x π+=，则最小正周期为π．
9．4 因为(2)()f x f x +=-，则(4)(2)f x f x +=-+，可得(4)()f x f x +=， 知4为()f x 的一个周期． 10．解： ()sin()sin f x x x x x π=+=-，
()sin()sin ()f x x x x x f x π-=--=-=，
所以()f x 为偶函数．
11．解：法一：若k 为偶数，则原式＝)cos )(sin (cos sin )cos()sin(cos )sin(ααα
ααπαπαα---=
-+-＝－1， 若k 为奇数，则原式＝α
ααααααπαπcos sin )
cos (sin )cos(sin )cos()sin(-=-+-＝－1．
法二：()()2k k k παπαπ-++=，[(1)][(1)]2(1)k k k παπαπ++++-=+，
原式＝])1cos[(])1sin[()
cos()sin(απαπαπαπ-+-+---k k k k ＝sin()cos()sin()[cos()]
k k k k παπαπαπα-----＝－1．
12．解：角α是第三象限的角，则0m <，射线OP
方程为y x =， 它与单位圆22
1x y +=
，
则sin α=m 42sin =α
4m =，
则2
5m =
，则m =
sin 4α=
=．
B 组
1．A θ为第二象限角，则0sin 12
π
θ<<<
，则sin(sin )0θ>．
2．B (5)sin5517f a =++=，则sin51a =，
那么(5)sin(5)51sin5515f a a -=--+=--+=-
3．D 知点P 在第一象限内，且5
π
θ=的终边上有一点的坐标为)5
sin ,5(cos
π
π
， 则α角的终边与5π
θ=
的终边相同，则2()5k k Z π
απ=+
∈．
4．B α是第一象限角，则2
α
在一或三象限，2α的终边在x 轴的上方，
则sin 2α一定为正． 5．2316
- 设角α的终边与单位圆的交点为(,)P x y ，则22
1x y +=，
sin y α=，cos x α=，可得2535y x y x
-=-+，则2
535y x y x
-=-?+，
则
2316y x =-，那么sin 23cos 16
αα=-． 6．3
(1,)2
x 是第二、三象限的角，则1cos 0x -<<，则1230a
-<-<，
则312
a <<
． 7．解：（1）作单位圆如图，再作y =
与单位圆有两不同的交点， 这两点与圆心连线把圆分成了两部分，当角x 的终边落在
如图的阴影部分（含边界）时，满足sin 2
x ≥，
则满足条件的x
的集合为0000{36045360135,x k x k k ?+≤≤?+∈（2
）作单位圆如图，再作1
2
y =-、2y = 当角x 的终边落在如图的阴影部分（不含虚线边界）时，
满足1sin 2x -<≤，则满足条件的x 的集合为 0000000{360120360210,36030360
x k x k k x k ?+≤
+或8．解：当角α的终边在第二象限时，取终边上一点(1,3)A -，则r OA =， 则sin α=
10
1cos -=α，那么
0cos sin sin 10=+ααα．
当角α的终边在第四象限时，取终边上一点(1,3)B -，则r OB ==，
则sin α=
10
1cos =α，那么6cos sin sin 10-=+ααα．
备选题
1．下列等式中成立的是( )
A ．00
cos370cos(350)=-
B ．cos(3)cos
4
4
π
π
π+
=
C ．000
sin(236040)sin 40?-= D ．2519cos cos()66
ππ=-
1．A 0000
cos370cos(720350)cos(350)=-=-．
2．若sin()sin()m παα++-=-，则sin(3)2sin(2)παπα++-=_______．
2．32m -
由sin()sin()m παα++-=-，得sin 2
m α=， 则3
sin(3)2sin(2)3sin 2
m παπαα++-=-=-．
3．已知sin α是方程2
5760x x --=的根，
求2sin()sin(2)sin (3)sin()[2sin()sin()]
αππαπαπαπαα--?-?--?++-的值．
3．解：2
5760x x --=的两根为35-或2，则3sin 5
α=-，
22sin()sin(2)sin (3)sin (sin )sin sin()[2sin()sin()]sin (3sin )
αππαπαααα
παπαααα--?-?-?-?=-?++-?-
22sin 133
()33525
α==?-=．
关于正弦函数和余弦函数的计算公式
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)
11知识讲解_正弦函数、余弦函数的性质_基础
正弦函数、余弦函数的性质 【学习目标】 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义； 2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)． 【要点梳理】 要点一：周期函数的定义 函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期. 要点诠释： 1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足 )()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期. 2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. 要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质 （1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求
sin()y x =-的单调递增区间时， 应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相当于求sin y x =的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先 求定义域． 要点三：正弦型函数sin()y A x ω?=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>的性质． 函数sin()y A x ω?=+与函数cos()y A x ω?=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R （2）值域：[],A A - （3）单调区间：求形如sin()y A x ω?=+与函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ω?+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由 )(2 22 2Z k k x k ∈+ ≤+≤- π π?ωπ π解出x 的范围所得区间即为增区间，由 )(2 3222Z k k x k ∈+≤+≤+ππ?ωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ω?=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ω?=+，当()k k z ?π=∈时为奇函数，当()2 k k z π ?π=±∈时为偶函数； 对于函数cos()y A x ω?=+，当()k k z ?π=∈时为偶函数，当()2 k k z π ?π=±∈时为奇函数． 要点诠释： 判断函数sin()y A x ω?=+，cos()y A x ω?=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． （5）周期：函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T π ω = ． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数sin y x =比较可知，当()2 x k k z π ω?π+=± ∈时，函数sin()y A x ω?=+取得最大值（或 最小值），因此函数sin()y A x ω?=+的对称轴由()2 x k k z π ω?π+=± ∈解出，其对称中心的横坐标 ()x k k z ω?π+=∈，即对称中心为,0()k k z π?ω-?? ∈ ??? ．同理，cos()y A x ω?=+的对称轴由
正余弦函数的定义与诱导公式
美博教育一对一讲义 教师： 学生： 日期： 星期： 时段： 课 题 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 学习目标与分析 1、理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念 2、会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性及诱导公式 学习重点 1.正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单位圆求三角函数值； 2.掌握诱导公式，包括推导、记忆、应用（求值、化简等）； 学习方法 理解记忆法 学习内容与过程 教师分析与批改 1、单位圆 在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。 单位长：可以是1cm 、1m 、1km 、1光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。 2、任意角的正、余弦函数定义 在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作v=sin α; 点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数,记作u=cos α. 通常，用x 表示自变量，用x 表示角的大小，用y 表示函数值，因此 定义任意角的三角函数y=sinx 和y=cosx,定义域为R ，值域为[-1，1]。 设点P （a,b ）是角α终边上除原点之外的任意一点，记22r a b =+ 则定义sin ,cos .b a r r αα==更具有一般性。 3、三角函数值的符号 根据定义，三角函数值的符号仅与点P 的纵、横坐标的符号有关。sin α在一、二象限为正，三、四象限为负；cos α在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦函数值也有符号。 4、单位圆与周期性 在单位圆中找到角 ,2,4666 α α α ππ+ + 等与单位圆的交点，说明：（1）终边没变； （2）交点没变；（3）交点的纵、横坐标没变。从而说明正弦函数值没变，余弦函数值没变。即 sin(4)sin(2)sin ,cos(4)cos(2)cos .666666 αααααα ππππ+=+=+=+= 从而说明终边相同的角的正弦函数值相等，终边相同的角的余弦函数值相等。 即sin(2)sin ,.cos(2)cos ,.k x x k Z k x x k Z ππ+=∈+=∈ 说明：对于任意一个角x ，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值 x y P(a,b) α O
正弦函数余弦函数的图像(附答案)
正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？ 答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．
48正弦余弦函数的图像定义域值域(1)讲解
第四章 三角函数 4.8正弦、余弦函数的图像、定义域、值域 选择题 1．α在第三、四象限，sinα＝m m --43 2，则m 的取值范围是 （ ） A ．（－1，0） B ．（－1，21） C ．（－1，23 ） D ．（－1，1） 2．函数f （x ）＝Msin （ωx ＋?）（ω＞0）在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）＝－M ， f （b ）＝M ，则函数g （x ）＝Mcos （ωx ＋?）在［a ，b ］上（ ） A ．是增函数 B ．是减函数 C ．可以取得最大值M D ．可以取得最小值－ M 解答题 3．已知方程sinx ＋cosx ＝k ，在0≤x ≤π上有两解，求k 的取值范围． 4．作出函数y ＝｜sinx ｜＋｜cosx ｜．x ∈［0，π］的图象，并写出函数的值域． 5．设函数f （x ）＝A ＋Bsinx ，若B ＜0时， f （x ）的最大值是23，最小值是－21 ，则A ＝_____，B ＝_____． 6．x ∈（0，2π）且cosx ＜sinx ＜21 ，则x 的取值范围是_____． 7.求函数sin cos y x x =+的值域。 8. 求函数sin y x x =-的值域。
9.求函数234sin 4y x cos x =--的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值。 10.求函数sin cos sin cos y x x x x =++?的值域。 11.（2003年高考·北京）已知函数f （x ）＝cos 4x －2sinxcosx －sin 4x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）若x ∈［0，2 π］，求f （x ）的最大值、最小值． · 答案解析 · 1.【解析】应－1＜m m --43 2＜0得：? ?? ??-<->-<-324040 32m m m m ① 或? ?? ??-<-<->-43204032m m m m ② 解①得－1＜m ＜23 解②得?．【答案】C 2.【解析】由题意可知－M ＜M ，∴M ＞0 又由f （x ）｜min ＝f （a ）＝－M ； f （x ）｜max ＝f （b ）＝M ． 知a ≤x ≤b 时，－1≤sin （ωx ＋?）≤1 故2kπ－2π≤ωx ＋?≤2k π＋2 π ，得0≤cos （ωx ＋?）≤1， ∴ｇ（x ）＝Mcos （ωx ＋?）在［a ，b ］上可取得最大值M ．【答案】C 3.【解】原方程sinx ＋cosx ＝k 2?sin （x ＋4 π）＝k 在同一坐标系内作函数y 1＝ 2sin
正弦函数余弦函数的性质
正弦函数余弦函数的性质 教学目标 1．掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点) 2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点) 3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的周期性 阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题． 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． (2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________．
解：函数y ＝2cos x ＋5的最小正周期为T ＝2π. 【答案】 2π 教材整理2 正、余弦函数的奇偶性 阅读教材P 37“思考”以下至P 37第14行以上内容，完成下列问题． 1．对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． 2．对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称． 判断函数f (x )＝sin ? ?? ?? 2x ＋ 3π2的奇偶性． 解：因为f (x )＝sin ? ???? 2x ＋3π2＝－cos 2x . 且f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质 阅读教材P 37～P 38“例3”以上内容，完成下列问题．
正弦余弦函数的性质定义值域
正弦函数、余弦函数的性质 ——定义域与值域 目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性 求函数的最值和值域。 过程： 一、复习：正弦和余弦函数图象的作法 二、研究性质： 1．定义域：y=sinx, y=cosx 的定义域为R 2．值域： 1?引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论 ∴y=sinx, y=cosx 的值域为[-1，1] 2?对于y=sinx 当且仅当x=2k π+ 2 π k ∈Z 时 y max =1 当且仅当时x=2k π-2 π k ∈Z 时 y min =-1 对于y=cosx 当且仅当x=2k π k ∈Z 时 y max =1 当且仅当x=2k π+π k ∈Z 时 y min =-1 3．观察R 上的y=sinx,和y=cosx 的图象可知 当2k π 正弦余弦公式总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] tan(a-b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-1/2* [cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2* [cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2* [sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)=1/2* [sin(a+b)-sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式 2sin2(a/2)=1-cos(a) 2cos2(a/2)=1+cos(a) tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sina/[1+cos(a)] tan2(a/2)= [1-cos(a)]/[1+cos(a)] 7.万能公式 sin(a)=2tan(a/2)/[1+tan2(a/2)] cos(a)=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(a/2)] tan(a)=2tan(a/2)/[1-tan2(a/2)] 8.其它公式(推导出来的) a*sin(a)+b*cos(a)=2+b2其中 tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)= √a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=a/b 正、余弦函数图象和性质 一、知识点梳理： 1．正、余弦函数图象和性质表 函数 正弦函数R x x y ∈=,sin 余弦函数R x x y ∈=,cos 图象 定义域 ),(+∞-∞ ),(+∞-∞ 值域 ]1,1[- 当= x 时，1max =y 当= x 时，1min -=y ]1,1[- 当=x 时，1max =y 当= x 时，1min -=y 周期 性 是周期函数，最小正周期=T 是周期函数，最小正周期=T 奇偶性 奇函数，图象关于 对称 偶函数，图象关于 对称 单调性 在)(], [Z k ∈上是增函数 在)(],[Z k ∈上是减函 数 在)(], [Z k ∈上是增函数 在)(], [Z k ∈上是减函数 对称轴 )(,Z k x ∈= )(,Z k x ∈= 对称 中心 )( ), ( Z k ∈ )( ), ( Z k ∈ 2．利用“五点法”作函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的简图，是将?ω+x 看着一个整体，先令ππ ππ ?ω2,2 3, ,2 ,0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象. 3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将 ?ω+x 看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出.它的最小正周期| |2ωπ= T 4．图象变换 (1)振幅变换 R x x y ∈=,sin ??????????????→?<<>倍 到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A (2)周期变换 R x x y ∈=,sin ??????????????→?<<>倍 到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω1 1)(01)(R x x y ∈=,sin ω (3)相位变换 R x x y ∈=,sin ????????????→?<>个单位长度 平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(sin ? (4)复合变换 R x x y ∈=,sin ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(sin ? ??????????????→?<<>倍 到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω1 1)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω 二、习题训练 1、要得到函数x x y 2cos 2sin -=的图象，只要将函数x x y 2cos 2sin +=的图象沿x 轴( )个单位 A ．向右平移 4 π B ．向左平移 4 π C ．向右平移 2 π D ．向左平移 2 π 2、已知的定义域是函数x x y o x cos sin ),2,(-+=∈π ( ) A.][0,π B.]23, 2 [π π C. ],2[ππ D. ],22 3[ππ 3、若x x f sin )(是周期为π的奇函数，则)(x f 可以是 ( ) A ．x sin B ．x cos C. x 2sin D ．x 2cos 4.设函数()sin()()3 f x x x R π =+∈，则下列结论正确的是（ ）. A 、()f x 的图像关于点(,0)3 π对称 B 、()f x 的图像关于直线3x π =对称 C 、把()f x 的图像向右平移3 π 个单位，得到一个奇函数的图像 D 、()f x 的最小正周期为2π，且在[0,]3π 上为增函数 5、对于函数)0,(A, )sin(的常数均为不等于， ?ω?ω+=x A y ，有下列说法： 高一同步之每日一题【B402】 正弦函数与余弦函数的定义 B4021.若点(P -在角α的终边上,则角α的最小正值为______. 解:由点在(P -在第二象限可知角α的终边在第二象限. 由于||4OP ==,因此21cos cos12042 α-==-=?. 所以,角α的最小正值为120?. B4022.已知角θ的终边经过点(,3)P x ,其中0x ≠,且cos x θ=,求sin θ与cos θ的值. 解:由||OP = cos 10 x θ==. 解得1x =-,或1x =. 当1x =-时,sin 10θ==,cos θ=； 当1x =时,sin θ= =,cos θ= B4023.已知角θ的终边上的点均在直线3y x =上,点(,)P m n 在角θ的 终边上,且||OP =,求sin θ与cos θ的值. 解:由题意可知3n m =,且||OP == 解得m n ==-或m n = = 当m n ==-, sin 10θ= =-cos 10θ==-； 当m n ==, sin 10θ==,cos 10 θ==. B4024.若角α的终边上一点的坐标为(sin135,cos135)P ??,则角α的最小正值为______. 解:由于点(sin135,cos135)P ??即为点P , 因为角α的终边在第四象限的角平分线上. 所以角α的最小正值为315?. B4025.若角α的终边上一点的坐标为22(cos ,sin )33P ππ-,则角α的最小正值为______. 解:由于点22(cos ,sin )33 P ππ-即为点1(,22P --, 因为角α的终边在第三象限,且1cos240,sin 2402?=- ?=所以角α的最小正值为240?. B4026.若角α的终边上一点的坐标为22(cos ,sin )55P ππ-,则角α的最小正值为______. 解:因为22cos cos(2)55πππ=-,22sin sin(2)55 πππ-=-, 且2802255 ππππ<-=<. 所以角α的最小正值为85 π. B4027.若角α的终边上一点的坐标为22(sin ,cos )55P ππ,则角α的最小正值为______. 解:因为22sin cos()525πππ=-,22cos sin()525 πππ=-, 且2022510 ππππ<-=<. 所以角α的最小正值为10 π. 正弦、余弦的诱导公式 基础练习 1．求下列三角函数值： （1）sin （－120°）； （2）cos （－240°）； （3）tan （－135°）； （4）)4π7sin(-； （5）)6π11cos(- （6）)3 π4tan(-． 2．求下列三角函数值： （1）sin （－2460°）； （2）cos840°； （3）tan （－2025°） （4）)3π17sin(-； （5）)3 π50cos(-； （6）)6π415tan(-． 3．将下列各值化为锐角的三角函数值： （1）sin4321°； （2）)π9368cos(- ； （3）)π7117sin(； （4）cos2001°． 4．下列各式的值等于－sin A 的是（ ）． A ．sin （－A ） B ．sin （k ·360°－A ），k ∈Z C ．sin （k ·360°＋A ），k ∈Z D ．－sin （－A ） 5．如果＋＝180°，那么下列等式中成立的是（ ）． A ．sin ＝－sin B ．＝ C ．sin ＝sin D ．cos （＋）＝1 6．函数式)1-πcos()1-πsin(21-化简的结果是（ ） ． A ．sin1－cos1 B ．sin1＋cos1 C ．±（sin1－cos1） D ．cos1－sin1 7．已知31)πsin(= +x ，求) π(cos 1)-πsin(2x x ++的值． 8．若（－4，3）是角 终边上一点，则)π(sin )2π-tan( ) π3cos(2αα-?-a 的值为_______． 综合练习 1．求下列三角函数值： （1）)π6 65cos(- ； （2）sin （－1590°）； （3）cos （－1260°）； （4）π331sin ； （5）sin （－542°）； （6）)π724cos(-． 2．设A 、B 、C 是某三角形的三个内角，给出下列四个命题： （1）sin （A ＋B ）＝sin C ； （2）cos （B ＋C ）＝cos A ； （3）tan （A ＋C ）＝tan B ； （4）A ＋B ＋C ＝． 其中正确的命题是（ ）． A ．（1）（2） B ．（2）（3） C ．（3）（4） D ．（1）（4） 3．是第三象限的角，则下列各式中其值恒正的是（ ）． A ．sin －cos （－） B ．－tan －cos （＋） C ．tan （－2）＋sin （－） D ．－tan （＋）＋sin 4．)4 π3tan(6π25cos 3π4sin -??的值是（ ）． A ．43- B ．43 C ．43- D ．43 6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标; 第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 A 组 1．若cos α＝－35，α∈(π2 ，π)，则tan α＝________. 解析：cos α＝－35，α∈(π2，π)，所以sin α＝45，∴tan α＝sinαcosα＝－43 . 答案：－43 2．(2009年高考北京卷)若sin θ＝－45 ，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由sin θ＝－45<0，tan θ>0知，θ是第三象限角，故cos θ＝－35 . 答案：－35 3．若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3 －α)＝________. 解析：cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35.答案：35 4．(2010年合肥质检)已知sin x ＝2cos x ，则5sinx －cosx 2sinx ＋cosx ＝______. 解析：∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2，∴5sinx －cosx 2sinx ＋cosx ＝5tanx －12tanx ＋1＝95 . 答案：95 5．(原创题)若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ＝________. 解析：由cos2θ＋cos θ＝0，得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或cos θ＝12 ，当cos θ＝－1时，有sin θ＝0，当cos θ＝12时，有sin θ＝±32 .于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3.答案：0或3或－ 3 6．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝60169，且α∈(π4，π2 )，求cos α，sin α的值． 解：由题意，得2sin αcos α＝120169 .①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，② ①＋②得：(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得：(sin α－cos α)2＝49169 . 又∵α∈(π4，π2 )，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713.③sin α－cos α＝713 ，④ ③＋④得：sin α＝1213.③－④得：cos α＝513 . B 组 1．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝________. 解析：由已知，得tan x ＝2，所以sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x ＝2sin2x ＋cos2x sin2x ＋cos2x ＝2tan2x ＋1tan2x ＋1＝95 .答案：95 2．(2010年南京调研)cos 10π3 ＝________. 解析：cos 10π3＝cos 4π3＝－cos π3＝－12.答案：－12 3．(2010年西安调研)已知sin α＝35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos2α 的值等于________． 《任意角正弦、余弦函数的定义》公开课后的教学反思2017年4月12日，在数学组备课组长、教研组长及所有组内同事的共同指导与帮助下，我有幸在高一1605班上了一节《任意角正弦、余弦函数的定义》的公开课。本节内容是北师大版高一数学必修四第一章第三节的内容，该节内容是对推广后任意角的正弦、余弦函数的重新定义，理论性较强，虽然学生在初中有学习过相应的函数知识，但由于任意角的推广，学生对于任意角的正弦、余弦函数就不那么容易理解了。整节课讲授之后，我才发现学生的学习情况并没有自己想象中的那么理想与完美，因此，对于这节课，我做出以下几点教学反思： 1.对“数学概念”的反思——学会数学的思考 对一名高中数学教师而言教学反思首先是对数学概念的反思。 对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思想，用数学的眼光去看世界去了解世界：用数学的精神来学习。而对于数学教师来说，他还要从“教”的角度去看数学去挖掘数学，他不仅要能“做”、“会理解”，还应当能够教会别人去“做”、去“理解”，去挖掘、发现新的问题，解决新的问题。因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系、辨证等方面去展开。 2.对“备学生”的反思---学会课前多“备学生” 教师在教学生是不能把他们看着“空的容器”，按照自己的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。要想多“制造”一些供课后反思的数学学习素材，一个比较有效的方式就是在教学过程中尽可能多的把学生头脑中问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来，这样我们才能更充分了解学生的思想，掌握他们的学习情况。因此，课前充分去“备学生”—--备学生的思想，备学生的差异，备学生的基础都是很有必要的。 3.对“备教材”的反思----学会课前多听课 由于我是今年开学初才接任的高中数学科教学任务，教学时间短，经验不是很足，因此，在备教材的时候，感觉自己也有点力不从心。整节课的内容，虽然我花了很长的时间去备课，但到了真正的课堂，在和学生一起探究正弦、余弦函数定义的环节时，我发现自己仍存在一定的问题，比如：如何引导学生通过构造 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 正弦函数和余弦函数的定义 【要点链接】 1．单位圆的定义： 注意两点：以原点为圆心，以单位长为半径． 2．任意角的正弦函数和余弦函数的定义： 对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合： ①终边与单位圆交于点),(v u P ，过P 作PM 与x 轴垂直，垂足为M ， 那么v =αsin ，u =αcos ；线段MP 为角α的正弦线，线段OM 为角α的余弦线． ②可设终边上不同于原点的任意一点为),(y x P ，r OP =， 那么r y = αsin ，r x =αcos ． 注意②是正弦函数和余弦函数的定义的推广，可直接应用． 3．周期与最小正周期： 记住正弦函数和余弦函数的最小正周期都为π2，可直接用． 会判断一个数是否是一个函数的周期． 【随堂练习】 一、选择题 1．单位圆是指（ ） A ．半径为1的圆 B ．圆心为坐标原点且半径为1的圆 C ．半径为整数的圆 D ．圆心为坐标原点且半径为整数的圆 2．若sin cos 0αα>且cos 0α<，则α的终边所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知角α的终边过点(1,2)P -，则cos α的值为（ ） A ．25 B ． C ．552 D ．5 -4．设0a <，角α的终边经过点(3,4)P a a -，那么sin 2cos αα+的值等于（ ） A ．52 B ．－52 C ．51 D ．－5 1 二、填空题 5．0 sin(60)-=_______． 6．若角α的终边在直线2y x =上，且sin 0α<，那么cos α=_______． 7．角α的终边上有一点(,5)P m ，且)0(,13 cos ≠=m m α，则m =______． 三、解答题 8．已知单位圆上一点()P a ，设以射线OP 为终边的角(02)θθπ<<，求角θ 的正弦值，并作出角θ的正弦线． 9．已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4（且均不为零）， 求2sin cos αα+的值． 6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作 ()x f y =，D x ∈。 （2）三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值； 当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin 1 y y y MP r α====； cos 1 x x x OM r α====； tan y MP AT AT x OM OA α= ===； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的 角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 （1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值； 1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计 1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》 江西省铜鼓县铜鼓中学漆赣湘（336200） 教材：北师大版高一数学必修四第一章第四节第一小节 一、教学目标 1．知识与技能目标 （1）了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用； （2）掌握任意角的正弦函数与余弦函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，并能应用． 2.过程与方法目标 （1）通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合理猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想． （2）培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力．3．情感、态度、价值观目标 在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性．感悟数学的本质，培养追求真理的精神．通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力． 二、教学重难点 教学重点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义（包括定义域和函数值在各象限的符号）及其应用. 难点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义及其构建过程的理解. 三、教学方法与教学手段 问题教学法、合作学习法结合多媒体课件 四、教学过程 （一）问题引入【投影展示】 问题１：初中我们学过锐角α的正弦函数与余弦函数，同学们还记得它是怎样表示的吗？ 借助右图直角三角形，复习回顾. sin s r α α==的对边 斜边 ， cos h r α=＝ α的邻边 斜边 ． 问题２：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的 函数，那么该比值会随着三角形的大小而改变吗？为什么？（根据相似三角形的知识可知该比值不会发生改变） （二）新知探究 我们所学角的范围已经扩充到任意角，如果角α为任意角，显然初中正弦函数与余弦函数的定义已经不能满足我们的需求，我们必须重新定义正弦函数、余弦函数．今天，我们将在直角坐标系中，对此作深入探讨． 【投影展示】问题3：如图,在直角坐标系中，我们作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，该圆称为单位圆．设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点(,) P u v，你能求出sinα与cosα的值吗？该值与点P的坐标有什么关系呢？ 由学生自己探究，得出结论，sin v v r α==， cos u u r α==． 归纳总结：一般地，在直角坐标系中，给定 α r x y (,) P u v O α M正弦余弦公式总结
(正弦、余弦函数的定义域、值域)
【B402】正弦函数与余弦函数的定义
正弦、余弦的诱导公式经典练习题
正弦函数和余弦函数图像与性质
第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
正弦余弦函数的定义教学反思
正弦函数和和余弦函数的定义与诱导公式题目与答案
正弦函数和余弦函数的图像与性质
1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计