1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计
三角函数教案
三角函数教案【篇一：三角函数教学设计】4.1、任意角的正弦函数、余弦函数的定义一、教学内容分析直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。
三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.二、学生学习情况分析三、设计思想教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、教学目标1．掌握任意角的正弦、余弦的定义（包括这二种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数.4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。
5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。
通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。
五、教学重点和难点重点: 任意角的正弦、余弦的定义（包括这二种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦的定义（包括这二种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；六、教学过程设计教学过程一、复习引入、回想再认（情景1）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦等二个三角函数. 请回想：这二个三角函数分别是怎样规定的？学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：设计意图：学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）.温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少. 二、引伸铺垫、创设情景（情景2）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.设计意图：从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程.教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！对边斜边邻边斜边，（图1）师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：y斜边r对边=x斜边r邻边=，?=设计意图：rr?=xy此处做法简单，思想重要. 为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形. 由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意角的三角函数. 初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义. 这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识,能够形成迁移能力,为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础.显然，我们可以将点取在使线段op的长r=1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：mpom的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释确定的，不会随p在终边上的移动而变化.三、探究新知显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点o为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?设计意图：初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键. 这样做能够使学生有效地增强函数观念.四、探索定义域引导学生自主探索：设计意图：定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域. 指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握. 五、符号判断、形象识记（情景5）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键. 六、练习巩固、理解记忆5的正弦、余弦值。
任意角的正弦余弦正切教学设计
任意角的正弦函数、余弦函数的定义肖亚一、教学目标1、知识与技能（1）熟练运用锐角正、余弦函数的性质；（2）理解通过单位圆引入任意角的正、余弦函数的意义；（3）掌握任意角的正、余弦函数的定义；（4）掌握这两种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号；2、过程与方法初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数周期、诱导公式及图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，再由任意角的正弦函数类比到任意角的余弦函数，体会特殊与一般、迁移的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重、难点重点：任意角的正弦、余弦的定义；正弦、余弦函数值的符号。
难点：任意角的正、余弦函数概念的建构过程及其应用。
三、教学用具多媒体、三角板、圆规四、教学过程Ⅰ、创设情境,建立数学建模它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2r，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，（那转动一秒转了多少度？）若现在你坐在座舱中，从初始位置出发（如图所示），过了30秒后，你离地面的高度为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？h1=h0+rsin300h2=h0+rsin450h＝h0＋rsint0在锐角范围中，h＝h0＋rsint0这一数学模型能表示座舱的高度，那么，我们能不能随着时间的推移，让h ＝h0＋rsint0这个数学模型从始至终都能起作用呢？若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。
第一章44.1单位圆与任意角的正弦函数余弦函数定义教学设计高中数学新北师大版()
【基础铺垫】1．任意角的正弦、余弦函数的定义（1）单位圆的定义在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．（2）如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点P (u ，v )，那么：正弦函数 余弦函数 定义 点P 的纵坐标v 定义为角α的正弦函数，记作v ＝sin_α 点P 的横坐标u 定义为角α的余弦函数，记作u ＝cos_α正弦、余弦函数定义的推广:设P x ，y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r. 思考1：对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？[提示] 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义．【合作探究】所以⎩⎨⎧ x ＝55，y ＝255，于是sin α＝y ＝255， cos α＝x ＝55. 法二：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(x >0)，则OP ＝x 2＋y 2＝x 2＋4x 2＝5|x |，又因为x >0，所以OP ＝5x .所以sin α＝y 5x ＝255，cos α＝x 5x ＝55. 【规律方法】求任意角的正弦函数、余弦函数值有两种方法：1利用单位圆中的正、余弦函数的定义.即若角α的终边与单位圆交于点P u ，v ，则v ＝sin α，u ＝cos α.2利用正弦、余弦函数定义的推广.根据初中锐角三角函数的定义，设Px ，y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r .。
示范教案(1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象)
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象三维目标1.通过实验演示,让学生经历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识.. 重点难点教学重点:正弦函数、余弦函数的图象.教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系. 课时安排:1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx 与y=cosx 的图象是怎样的呢?回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通过取值,画出当x ∈［0,2π］时,y=sinx 的图象. 推进新课 新知探究 提出问题问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x ∈［0,2π］的精确图象呢? 问题②:如何得到y=sinx,x ∈R 时的图象? 活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在x 轴上标横坐标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x ∈［0,2π］的图象,就很容易得到y=sinx,x ∈R 时的图象了.对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线,就可以得到对应于0、6π、4π、3π、2π、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx 在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.图1对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx 在x ∈[2kπ,2(k+1)π],k ∈Z 且k≠0上的图象与函数y=sinx 在x ∈[0,2π]上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x ∈[0,2π］的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)图2讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x ∈［0,2π］的图象. ②左、右平移,每次2π个长度单位即可.提出问题: 如何画出余弦函数y=cosx,x ∈R 的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?活动:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.讨论结果:把正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象向左平移2个单位长度即可得到余弦函数图象.如图3.图3正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象和余弦函数y=cosx,x ∈R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.提出问题问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点?问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗?活动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx 在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下:(0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0).因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握. 对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象. 讨论结果:关键点也有五个,它们是:(0,1),(2π,0),(π,-1),(23π,0),(2π,1).应用示例例1 画出下列函数的简图(1)y=1+sinx,x ∈[0,2π];(2)y=-cosx,x ∈[0,2π].活动:本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图象的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处. 解:(1)按五个关键点列表:x 0 2π π 23π 2π sinx 0 1 0 -1 0 1+sinx1211描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).图4(2)按五个关键点列表:x 0 2π π 23π 2π cosx 1 0 -1 0 1 -cosx-11-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).图5知能训练:课本本节练习 解答:1.可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象,也可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象.两条曲线形状相同,位置不同,例如函数y=sinx,x ∈[0,2π]的图象,可以通过将函数y=cosx,x ∈[2π,23π]的图象向右平行移动2π个单位长度而得到(图10).图10点评:在同一个直角坐标系中画出两个函数图象,利于对它们进行对比,可以加强正弦函数与余弦函数的联系.通过多种方法画图,渗透数形结合思想,强化学生对数学概念本质的认识. 两个函数的图象相同.课堂小结1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图象扩展到整个定义域的?2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法. 作业1.课本习题1.4 A 组1.2.预习下一节:正弦函数、余弦函数的性质. 板书设计:(略) 课后记:教研组长意见:。
任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数教案设计
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数教学目标：⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；会利用定义求任意角的三角函数值；⑵理解三角函数在各象限的正负号，会判断任意角三角函数的正负号；教学重点：任意角的三角函数的概念；三角函数在各象限的符号。
教学难点：任意角的三角函数值符号的确定．教学设计：（1）在知识回顾中推广得到新知识；（2）数形结合探求三角函数的定义域；（3）利用定义认识各象限角三角函数的正负号。
教学设备：多媒体教学课件。
教学过程：一、复习锐角三角函数的概念，导入新课。
（利用多媒体课件）二、讲授新课：（一）、任意角三角函数的概念：设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为；；．在比值存在的情况下，对角的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．由定义可以看出：当角的终边在轴上时，，终边上任意一点的横坐标的值都等于0，此时无意义．除此以外，对于每一个确定的角，三个函数都有意义．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：三角函数定义域RR｛︱｝当角采用弧度制时，角的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数．例1 已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切值．分析已知角终边上一点P的坐标，求角的某个三角函数值时，首先要根据关系式，求出点P到坐标原点的距离，然后根据三角函数定义进行计算．解因为，，所以，因此，，．（二）、三角函数值的符号：由于，所以任意角三角函数的正负号由终边上点P的坐标来确定限．当角的终边在第一象限时，点P在第一象限，，所以，；当角的终边在第二象限时，点P在第二象限，，所以，；当角的终边在第三象限时，点P在第三象限，，所以，；当角的终边在第四象限时，点P在第四象限，，所以，．任意角三角函数值的正负如下图：例2判定下列角的各三角函数正负号：（1）4327º；（2）．解（1）因为，所以，4327º角为第一象限角，故，，．（2）因为，所以，角为第三象限角，故，，．例3根据条件且，确定是第几象限的角．分析时，是第三象限的角、第四象限的角或的终边在y轴的负半轴上的界限角)；时，是第二或第四象限的角．同时满足两个条件，就是要找出它们的公共范围．解取角的公共范围得为第四象限的角．三、练习：1．判断下列角的各三角函数值的正负号：（1）525º；（2）-235 º；（3）；（4）．2．根据条件且，确定是第几象限的角．3．已知角的终边上的点P的座标如下，分别求出角的正弦、余弦、正切值：⑴；⑵；四、小结：理解任意角的三角函数的定义及定义域；会利用定义求任意角的三角函数值；理解三角函数在各象限的正负号，会判断任意角三角函数的正负号。
《任意角的三角函数》 教学设计
《任意角的三角函数》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
（2）掌握三角函数在各象限的符号。
（3）能根据角的终边上的点的坐标求出三角函数值。
2、过程与方法目标（1）通过单位圆的引入，经历从锐角三角函数到任意角三角函数的推广过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
（2）通过对三角函数定义的探究，提高学生的数学抽象和逻辑推理能力。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
（2）让学生体会数学知识之间的内在联系，感受数学的整体性。
二、教学重难点1、教学重点任意角三角函数的定义。
2、教学难点用坐标法定义任意角的三角函数；三角函数在各象限的符号。
三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合四、教学过程1、导入新课通过回顾锐角三角函数的定义，引导学生思考如何将三角函数的概念推广到任意角。
在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切分别定义为：正弦：对边与斜边的比值；余弦：邻边与斜边的比值；正切：对边与邻边的比值。
提出问题：对于任意角，如何定义三角函数呢？2、讲授新课（1）单位圆的概念在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。
（2）任意角三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x,y)，那么：正弦函数：sinα ＝ y余弦函数：cosα ＝ x正切函数：tanα ＝ y/x （x≠0）强调三角函数值是一个比值，与点 P 在终边上的位置无关，只与角α的大小有关。
（3）三角函数在各象限的符号引导学生通过观察单位圆中角的终边所在象限，以及对应的三角函数值的正负，总结出三角函数在各象限的符号规律。
正弦函数在一、二象限为正，三、四象限为负；余弦函数在一、四象限为正，二、三象限为负；正切函数在一、三象限为正，二、四象限为负。
3、例题讲解例 1：已知角α的终边经过点 P(3,－4)，求sinα、cosα、tanα的值。
任意角的正弦函数余弦函数和正切函数的概念教学设计
任意角的正弦函数余弦函数和正切函数的概念教学设计教学目标：1.了解任意角的概念；2.了解正弦函数、余弦函数和正切函数的定义；3.掌握正弦函数、余弦函数和正切函数图像的特点；4.掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的性质；5.能够应用正弦函数、余弦函数和正切函数解决问题。
教学准备：1.教材《高中数学》等教科书；2.教学工具：黑板、彩色粉笔或白板、标尺、计算器；3.准备保存有正弦函数、余弦函数和正切函数图像的PPT课件；4.打印练习题。
教学过程：Step 1：导入新知识（10分钟）教师通过问题导入，例如：“请思考一下，在一个圆中，一点在圆上运动一周，每走一段距离，与圆心连线和圆的切线所夹的角会发生什么变化？”教师引导学生观察并回答，强调所描述的角度是一个“任意角”。
Step 2：正弦函数、余弦函数和正切函数的定义（15分钟）1.教师向学生介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，正弦函数表示角的正弦值与半径之比，余弦函数表示角的余弦值与半径之比，正切函数表示角的正切值与半径之比。
2.将观察到的圆运动图示出来，并告诉学生圆心到运动点的距离为13. 教师给出正弦函数、余弦函数和正切函数的基本公式：sinθ=x,r=1；cosθ=y,r=1；tanθ=x/y。
Step 3：正弦函数、余弦函数和正切函数的图像（15分钟）1.教师以PPT课件的形式展示正弦函数、余弦函数和正切函数的图像，解释图中x轴和y轴的含义，并强调坐标轴上的单位。
2.教师详细讲解几个正弦函数、余弦函数和正切函数图像的特点，如周期性、对称轴、值域等。
Step 4：正弦函数、余弦函数和正切函数的性质（15分钟）1.教师给出正弦函数、余弦函数和正切函数的周期、对称性、增减性、奇偶性和值域等性质，并结合图像进行说明。
2.教师通过举例说明正弦函数、余弦函数和正切函数在不同象限和角度值的取值范围。
Step 5：练习与应用（30分钟）1.学生在教师的指导下，完成练习题，巩固所学的知识。
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数--参考教案
5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》教案授课题目任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数授课课时3课型讲授教学目标1.知识与能力（1）能够运用公式求解任意角的三角函数值；（2）掌握三角函数的表达式；（3）正确判断任意角的三角函数值的符号.2. 过程与方法观察、分析知识形成的过程，归纳、抽象、概括知识的概念，提升寻找数学规律的能力.3. 情感、态度与价值观（1）感知数学知识与实际生活的普遍联系；（2）享受积极交流的课堂气氛，增强学习的兴趣和勇于创新的精神.教学重难点重点：任意角的三角函数值；难点：三角函数值的符号.第1课时教学过程教学活动学生活动设计思路复习引入在初中，我们在直角△ABC中，我们定义了锐角α的正弦、余弦和正切，如图1所示.正弦：asincαα∠==的对边斜边；图1余弦：cos b c αα∠==的邻边斜边；正切：tan a b ααα∠==∠的对边的邻边.现在我们将一个锐角α放入平面直角坐标系中，使得顶点与原点重合， 始边与x 轴的非负半轴重合，如图2所示.已知点(,)P x y 是锐角α终边上的任意一点，点P 与原点O 的距离(0)OP r r =>，你能利用锐角三角函数的定义计算出锐角α所对应的三角函数值吗？分析 过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y .在Rt OMP ∆中，根据勾股定理可得，222r x y =+，即220r x y =+>.MP sin y OP r α==；OM cos xOP r α==； MP tan yOM xα==.一、探究新知在弧度制下，我们已将α的范围扩展到了全体实数.一般地，如图3所示，当α为任意角时，点结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图2(,)P x y 的α终边上异于原点的任意一点，点P 到原点的距离为22r x y =+.我们仍然将α的正弦、余弦、正切分别定义如下.sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠ 注意：当的α终边不在y 轴上时，tan α才有意义.对于每一个确定的α，其正弦、余弦及正切都分别对应一个确定的比 值，因此，正弦、余弦及正切都是以α为自变量的函数，分别叫作正弦函 数、余弦函数及正切函数.我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数 y=sin x ，x R ∈； 余弦函数 cos y x =，x R ∈； 正切函数 y=tan x ，()2x k k Z ππ≠+∈.二、例题讲解例 1.如图3所示，已知角α的终边经过点(3,4)P -， 求 sin α，cos α，tan α的值.理解记忆相关概念和结论在理解的基础上熟练写出相关函数表达式和定义域直观展示知识点，让学生在理解的基础上记忆概念图2解 由已知有，x =3,y =-4,则，()234 5.r =+-=２于是4 ,5ysin r α==-3,5x cos r α==43y tan x α==-.三、巩固练习已知角α的终边分别经过以下各点，求sin cos tan .ααα，和.（1）P(-8，6)； （2）P(5，12)； （3）P （-1，2）.认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路认真思考、完成相关题目展示问题解决的基本步骤，培养学生分析解决问题能力加深对定义和公式的理解和记忆图3一般地，α为任意角，(,)P x y 为α终边上异于原点的任意一点，点P 与原点O 的距离OP r =，因为0r >，由定义可知，正弦值的符号与点P 的纵坐标y 的符号相同； 余弦值的符号与点P 的横坐标x 的符号相同； 正切值的符号与点P 的纵坐标与横坐标的比值yx的符号相同. 请同学们将点P 的坐标与各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号列表.为了便于记忆，我们将 ， ， 的正负号标在各象限内，如图4所示.二、例题分析例1确定下列各值的符号.（1）() 210sin -︒； （2）17 12cos π; （3） 760tan ︒. 解 （1）因为-210°是第二象限角，所以() 2100sin -︒>. （2）由1751212πππ=+， 可看出π＜π+5π12＜π+6π12=3π2是第三象限的角， 所以 17012cos π<. （3）因为760402360︒=︒+⨯︒，可知760°的角与400的角终边相同，是第一象限的角，理解并熟记各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号认真读题，积极思考，了解知识运用的一般过程在理解的基础上记忆概念展示问题解决的基本方法，培养学生分析解决问题能力图4第3课时教学过程教学活动学生活动设计思路提出问题如图5所示，两个三角板上有几个特殊的锐角：30°，45°，60°.初中已研究了它们对应的正弦值、余弦值和正切值.现将角的范围进行了推广，已经在平面直角坐标系中研究了各象限角的正弦值、余弦值和正切值的符号分布规律.对于在平面直角坐标系中不属于任何象限的特殊角，如0°，90°，180°，270°等，它们的正弦值、余弦值和正切值又是多少？以180°为例，试求出它的正弦值、余弦值和正切值. 结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图5图6分析 在平面直角坐标系中，180°角的终边正好与x 轴的负半轴重合，如图6所示.以坐标原点为圆心、半径为单位长度的圆(简称单位圆)与x 轴交于点(1,0)P -，于是有1x =-，0y =，1γ=.根据任意角的正弦、余弦和正切的定义可知，sin 1800yr ︒==； cos 1801xr ︒==-；tan 1800yx︒==.一、探究新知一般地，取单位圆与坐标轴的交点就可以得到0°，90°，180°和270°等特殊角的正弦值、余弦值和正切值，如下表所示表中360°角与0°角的终边相同，对应的三角函数值也相同.二、例题讲解例1 求︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5的值.解 ︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5=5×0－4×1＋2×0－7×（－1）=3。
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1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计
1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》
江西省铜鼓县铜鼓中学漆赣湘（336200）
教材：北师大版高一数学必修四第一章第四节第一小节
一、教学目标
1．知识与技能目标
（1）了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用；
（2）掌握任意角的正弦函数与余弦函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，并能应用．
2.过程与方法目标
（1）通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合理猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想．
（2）培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力．3．情感、态度、价值观目标
在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性．感悟数学的本质，培养追求真理的精神．通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力．
二、教学重难点
教学重点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义（包括定义域和函数值在各象限的符号）及其应用.
难点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义及其构建过程的理解.
三、教学方法与教学手段
问题教学法、合作学习法结合多媒体课件
四、教学过程
（一）问题引入【投影展示】
问题１：初中我们学过锐角α的正弦函数与余弦函数，同学们还记得它是怎样表示的吗？
借助右图直角三角形，复习回顾. sin s
r α
α==的对边
斜边
，
cos
h
r
α=＝
α的邻边
斜边
．
问题２：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的
函数，那么该比值会随着三角形的大小而改变吗？为什么？（根据相似三角形的知识可知该比值不会发生改变）
（二）新知探究
我们所学角的范围已经扩充到任意角，如果角α为任意角，显然初中正弦函数与余弦函数的定义已经不能满足我们的需求，我们必须重新定义正弦函数、余弦函数．今天，我们将在直角坐标系中，对此作深入探讨．
【投影展示】问题3：如图,在直角坐标系中，我们作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，该圆称为单位圆．设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点(,)
P u v，你能求出sinα与cosα的值吗？该值与点P的坐标有什么关系呢？
由学生自己探究，得出结论，sin v v
r
α==，
cos
u
u
r
α==．
归纳总结：一般地，在直角坐标系中，给定
α
r
x
y
(,)
P u v
O
α
M
单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点(,)P u v ，那么点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作sin v α=；点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数，记作cos u α=．通常，我们用x 表示自变量，即x 表示角的大小，用y 表示函数值，则得到任意角的正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =．
【投影展示】问题4：在上述定义中，正、余弦函数的定义域与值域分别是什么？
说明：x 表示角的大小，故可为全体实数，而在单位圆中显然[1,1]y ∈-，故值域为[1,1]-．
【投影展示】问题5 如果知道角终边上一
点P ,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如
何求它的三角函数值呢?（由学生探讨）
说明：三角函数的值与点(,)P x y 在终边上的
位置无关，仅与角的大小有关.根据三角形相似
对应边成比例可知，我们只需计算点(,)P x y 到原点的距离22r x y =+,那么22sin y r x y α==+cos x r α=22x y +．因此任意角的正弦函数
与余弦函数是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故它们也可以看成以实数为自变量的函数.
【投影展示】问题 6 当角α分别在第一、第二、第三、第四象限时，你能确定角α的正弦函数值、余弦函数值的正负吗？完成课本P14页表格． x y (,P x y O αM
象限 第一象限 第二象限 第三象限 第
四象限
sin α
cos α
说明：正弦函数符号与所在象限记忆法则，从函数出发来记，“正弦上为正，余弦右为正，正切一、三正”；也可以从象限出发来记忆，即“一全为正，二正弦正，三正切正，四余弦正”．
（三）新知应用
【投影展示】例1在直角坐标系的单位圆中，4π
α=-，（1）画出角α；（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标；（3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值．（课本P14页例1）
分析：只需求出交点坐标，套用定义即可求解．
变式训练1判断65sin π与6
5cos π的符号，并通过计算进行验证． 【投影展示】例2已知角α终边上一点(3,2)P -，求角α的正弦函数值、余弦函数值．
分析：该点并不是角的终边与单位圆的交点，所以应先计算
||r OP =，再利用sin y r α=，cos x r
α=求解． 解：22(3)213r =-+=
所以2sin 131313y r α===，3cos 131313
x r α=== 【投影展示】变式训练2已知角α终边上一点(2,3)(0)P a a a -≠，求角α的正弦函数值、余弦函数值．
三角
【投影展示】变式训练3已知角α终边与直线1(0)3y x x =≤重合，求角α的正弦函数值、余弦函数值．若去掉“0x ≤”这个条件呢？
说明：变式2中由于未注明a 的正、负，故需分情况讨论，旨在让同学们学会分类讨论思想，而变式3中并没有给出终边上一点的坐标，需要自己任意选取一特殊点的坐标求解，也可以作出单位圆与该射线或直线的交点，借助方程组的思想求出交点坐标，套用定义求解．
（四）反思升华
由学生自己从以下三方面进行反思小结，教师从知识层面和思想方法层面帮助学生整理本节课的小节：
①本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同？
②你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
③正弦函数与余弦函数的定义在应用时应注意什么呢？
（五）作业布置
【投影展示】课本P16页练习3，4，5填书上，P20页A 组1，3，做作业本上．
补充作业：已知角α终边与直线2y x =重合，求sin cos αα+的值．
（六）板书设计
1.41.任意角的正弦函数、余弦函数 例1 例2 定义：
五、教学反思
本节课整体效果是不错的，从熟知的初中的锐角三角函数到高中的任意三角函数，从旧知识到新知的扩展，对学生来讲较容易接受．课堂中的变式训练也使新知识能够以充分的应用，锻炼了学生的思维能力、考虑问题周密性，整节课学生始终处于探索与应用中．。