控制测量学地球椭球的基本几何参数及其相互关系
地球椭球基本参数及其相互关系
辅助函数要记牢。
思考题
• 地球椭球5参数是哪些？ • 关于地球几何参数引入的3个符号和2个
辅助函数的意义是什么？如何定义的？
第三章 知识点总结
9、（1）正常椭球和水准椭球(不加区别)， 总地球椭球（全球范围内与大地体最为密合 ＋重心合＋起始子午面合＋轴合）
与大地体最为密合含义是大地水准面差距平 方和最小 （2）正常椭球（10 总地球椭球的一种，用 陆地资料确定的），用四参数描述＋4合 四个参数：长轴＋扁率＋二阶主球谐系数＋地 球行重力常数 （3）参考椭球（全国或某地区范围内与大地体 最为密合）
第三章 知识点总结
第3章 地球重力场及地球形状 的基本理论
1、地球基本参数：几何参数、物理参数
2、重力＝引力和离心力(5)
特点：
重力位＝引力位和离心力位(10) 1、不同位置重力 位不同
W f
dm 2
x2 y2
r
2
2、无法得到
3、重力位＝正常重力位＋扰动位 (10) 重力＝正常重力＋重力异常 (10)
1 1 e2
e'2
sin 2
B
V W 1 1 e2
W 1 e'2
1 e2 1 e'2 e'2 sin2 B
1 e2 1 e'2 cos2 B
V 1 e2
推导：
e2 2 2
a
a
b
2
(a b)2 a2
a2
2ab b2 a2
2a2 2ab a2
地球椭球上坐标系及其相互关系
p2
x
汇总：
三个量差距很小
tan B 1 e'2 tanu (1 e'2 ) tan tanu 1 e 2 tan B 1 e'2 tan tan (1 e ) tan B 1 e tanu
2 2
B u
小结
• • • • 各种坐标系建立的方法 B，L L， x ， y B，L，H X，Y，Z 大地纬度、归化纬度、地心纬度之间的关系
4.2
椭球面上的常用坐标系及其相互关系
一、各种坐标系的建立 N L P 1. 大地坐标系 以椭球面和法线为基础建立的 G O 大地纬度L：以英国格林尼 E B 治天文台子午 面为起始子午 n 面，P点所在的子午 S 面与它的夹角 大地纬度B：通过P点的椭球法线与赤道面的夹角 大地高H：P点沿法线方向到椭球面的距离 H H正常＋ ——高程异常 H H正 N ——大地水准面差距
上节回顾
• 地球椭球基本参数及其相互关系 1、地球椭球的五参数 2、五参数间的相互关系
本节主要内容
• 椭球面上的常用坐标系及其相互关系
一、各种坐标系的建立 1. 大地坐标系 2. 空间直角坐标系 3. 子午面直角坐标系 4. 地心纬度坐标系和归化纬度坐标系 5. 大地极坐标系
本节主要内容
二、各坐标系间的关系 1、子午面直角坐标系同大地坐标系的关系 2、空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系 3、空间直角坐标系同大地坐标系的关系 4、大地纬度 、归化纬度 、地心纬度 之间的关系
X ( N H ) cos B cos L Y ( N H ) cos B sin L Z 2 [ N ( 1 e ) H ] sin B
第六章地球椭球与椭球计算理论 - PowerPoint 演示文稿精品文档
负，叫南纬(0°～90°)。
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地球椭球与椭球计算理论
昆明冶金高等专科学校
大地坐标系是用大地经度L、大地纬度B和大地高H表示
1
地面点位的。过地面点P的子午面与起始子午面间的夹角叫
2
P点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经
3
（0°-180°），向西为负，叫西经（0°-180°）。过P点的
4
椭球法线与赤道面的夹角叫P点的大地纬度。由赤道面起算，
5
向北为正，叫北纬（0 -90°），向南为负，叫南纬（0°-
6
90°）。从地面点P沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。
7
大地坐标坐标系中，点的位置用,表示。如果点不在椭球面
8
上，表示点的位置除,外，还要附加另一参数——大地高，
9
它同正常高及正高有如下关系
6
7
8 9
[难点]在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。
10
各种常用测量坐标系统的建立与相互转换；
几种常用的椭球计算公式；
地面观测值归算到椭球面的方法与计算。
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地球椭球与椭球计算理论
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6.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系
1 1. 地球椭球的基本几何参数
地球椭球与椭球计算理论
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第六章 地球椭球与椭球计算理论
1
2
3 4 5
[本章提要] 6.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系
6
6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系
7 8
6.3 几种主要的椭球公式
9
6.4 将地面观测值归算至椭球面
椭球基本知识
控制测量计算理论
六、地面观察值归算至椭球面
3、地面观察方向归算至椭球面 归算旳基本要求 地面观察方向归算至椭球面上有3个基本内容： 1) 将测站点铅垂线为基准旳地面观察方向换算成椭球面上以 法线方向为准旳观察方向； 2) 将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间旳 法截线方向； 3) 将椭球面上旳法截线方向换算成大地线方向。
H H正常 (高程异常)
H H正 N (大地水准面差距)
控制测量计算理论
一、常用旳四种坐标系
2、空间直角坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴， 在赤道面上与X轴正交旳方向为Y轴，椭球体旳旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点旳位置 用X、Y、Z表达 。 空间直角坐标系旳坐标原点位于地球 质心（地心坐标系）或参照椭球中心（参 心坐标系），Z 轴指向地球北极，x 轴指 向起始子午面与地球赤道旳交点，y 轴垂 直于XOZ 面并构成右手坐标系。
4、平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作旳精度要求，在一定范围内，把
椭球面当成具有合适半径旳球面。取过地面某点旳全部方向 RA 旳平均值
来作为这个球体旳半径是合适旳。这个球面旳半径——平均曲率半径R：
R MN 或
R b c N a (1 e2 ) W2 V2 V W2
所以，Ｒ等于该点子午圈曲率半径Ｍ和卯酉圈曲率半径Ｎ旳几何
控制测量计算理论
三、地球椭球及其定位
1、椭球旳几何参数及其关系
e2
a2 b2 a2
e'2
a2 b2 b2
1 e2
b2 a2
1 e2
(整理)地球椭球的基本几何参数及相互关系
§7.1地球椭球的基本几何参数及相互关系7.1.1地球椭球的基本几何参数地球椭球参考椭球 具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。
地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。
有关元素O 为椭球中心；NS 为旋转轴；a 为长半轴；b 为短半轴；子午圈（或径圈或子午椭圆）；平行圈（或纬圈）；赤道。
旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）来决定的，即：椭圆的长半轴： a椭圆的短半轴： b椭圆的扁率： α=-a b a (7-1)椭圆的第一偏心率： ab a e 22-= (7-2) 椭圆的第二偏心率： b b a e 22 -=' (7-3)其中：a 、b 称为长度元素；扁率α反映了椭球体的扁平程度，如α=0时，椭球变为球体；α=1时，则为平面。
e 和e /是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。
五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a 或b ），人们习惯于用a 和α表示椭球的形状和大小，便于级数展开。
引入下列符号：ba c 2= tgB t =B e 222cos '=η (7-4)式中B 为大地纬度，c 为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径）， 两个常用的辅助函数，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数，B e V B e W 2222cos 1sin 1'+=-= (7-5)传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来，200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多，数值各异的椭球参数。
由于卫星大地测量的发展，使推求总地球椭球体参数成为可能，自1970年以后的椭球参数都采用了卫星大地测量资料。
第六章地球椭球与椭球计算理论
2 3
地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。
4 5 6
参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地 水准面的地球椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在 这个面上进行计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究
7 地球形状和地图投影的参考面。
W 1 e2 sin 2 B
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V 1 e2 cos2 B
地球椭球与椭球计算理论
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我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立
1980年国家大地坐标系应用的是1975年国际椭球；而全球定位系
1 统(GPS)应用的是WGS-84系椭球参数。
2
3
几种常见的椭球体参数值
此间随纬度的增大而 增大
在极点上, 等于极点 曲率半径
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2.卯酉圈曲率半径
过椭球面上一点的法线，可 作无限个法截面，其中一个与该 点子午面相垂直的法截面同椭球 面相截形成的闭合的圈称为卯酉 圈。在图中 PEE 即为过Ｐ点的 卯酉圈。卯酉圈的曲率半径用Ｎ 表示。
M dS dB
子午圈曲率半径公式为：
a(1 e2 ) M
W3
M c V3
或
N M
V2
与纬度有关．它随的增大而增大，变化规律如下表所示：
B
B 0
0 B 90 B 90
M
M 0 a(1 e2 )
c (1 e2 )3
a(1 e2 ) M c
M90
a c 1 e2
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论
4.7 大地主题解算
• 4.7.4 高斯平均引数反算公式 • 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:
73
4.7 大地主题解算
74
4.7 大地主题解算
75
4.7 大地主题解算
• 4.7.5 白塞尔大地主题解算方法 白塞尔法解算大地主题的基本思想: 以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅助球 面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭球面 上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面 上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球 面上的计算结果换算到椭球面上。
33
4.4 椭球面上的弧长计算
34
4.4 椭球面上的弧长计算
如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内 的弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个 弧长约为4 0 0 0 8 5 4 9 . 9 9 5 m。即一象限子午线弧 长约为10000km，地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需 按(11.42)式分别算出相应的X１及X２，而后取差：Δ Ｘ＝Ｘ２－Ｘ１，该ΔＸ即为所求的弧长。 当弧长甚短(例如X≤40km，计算精度到0.001m)，可 视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度 点的子午圈的曲率半径Mｍ
47
4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 垂线偏差改正 以测站A为中心 作出单位半径的 辅助球,u是垂线 偏差，它在子午 圈和卯酉圈上的 分量分别以ξ,η表示， M是地面观测目标m在球 面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1)
48
4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 标高差改正
49
4.6 将地面观测值归算至椭球面
20
第四部分地球椭球数学投影的基本理论
6
常用坐标系及其关系 4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系
设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆 中心O为原点建立地心纬度坐标系; 以椭球长半径a为半 径作辅助圆，延长Ｐ２Ｐ与辅助圆相交Ｐ１点，则OP１与 x轴夹角称为P点的归化纬度u。
3 4
e '2 n 2 '
n 6 '
5 6
e '2 n 4 '
n 8 '
7 8
e '2 n 6 '
( n 10 ' )
9 10
e
'2
n
8
'
25
椭球面上几种曲率半径
任意法截弧的曲率半径
1 co2sAsin2 A
RA
M
N
RANco2A sM M Nsi2nA
N V 12
M
R A1N co 2A s1e'2cN o 2B sco 2A s
R A N ( 1 2 c 2 A o 4 c s 4 A o ) s
26
椭球面上几种曲率半径
• 任意法截弧的曲率半径的变化规律:
ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法 截弧的方位角A有关。
当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即 Ｒ０＝Ｍ；
当ＲＡ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝
W
W
V
sinu 1e2 sinB W
cosu 1 cosB W
siB nVsiu n coB sW cous
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地球椭球的基本几何参数及其相互关系
地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。
参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。
地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算。
参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。
地球椭球的几何定义：O 是椭球中心，NS 为旋转
轴，a 为长半轴，b 为短半轴。
子午圈：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭
圆。
纬圈：垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆，
也叫平行圈。
赤道：通过椭球中心的平行圈。
地球椭球的五个基本几何参数：
椭圆的长半轴a 椭圆的短半轴b 椭圆的扁率a
b a -=α 椭圆的第一偏心率a
b a e 2
2-= 椭圆的第二偏心率b b a e 2
2-=
' 其中a 、b 称为长度元素；扁率α反映了椭球体的扁平程度。
偏心率e 和e '是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。
两个常用的辅助函数，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数：
B e V B
e W 2222cos 1sin 1'+=-=
我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立1980年国家大地坐标系应用的是1975年国际椭球；而全球定位系统(GPS)应用的是WGS-84系椭球参数。
几种常见的椭球体参数值
地球椭球参数间的相互关系
其他元素之间的关系式如下：
⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬⎫≈-=-='+=-'='+='-='+=-='+=ααα221,11,11,11,12222222222e e V W e W V e e e e e e e c a e a c e a b e b a
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎪
⎪⎪
⎪⎬⎫
'+=+=-=-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅'+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-=22222222222)1(1)1(sin 111W e V V e B e W W b a W e V V a b V e W η
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。