201X八年级数学下册第十八章平行四边形小专题五平行四边形的证明思路练习 新人教版

小专题(五) 平行四边形的证明思路

类型1若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

1．如图，延长▱ABCD的边AD到点F，使DF＝DC，延长CB到点E，使BE＝BA，分别连接点A，E和点C，F.求证：AE＝CF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，AB＝CD.

∴AF∥EC.

又∵DF＝DC，BE＝BA，

∴BE＝DF.∴AF＝EC.

∴四边形AECF是平行四边形．

∴AE＝CF.

2．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F，并且AE＝DF.求证：

(1)BE＝CF；

(2)四边形BECF是平行四边形．

证明：(1)∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠AEB ＝∠DFC ＝90 °.

∵AB∥CD，∴∠A ＝∠D.

在△AEB 和△DFC 中，

⎩⎨⎧∠AEB ＝∠DFC，

AE ＝DF ，

∠A ＝∠D，

∴△AEB≌△DFC (ASA )．

∴BE ＝CF.

(2)∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴BE∥CF.

又∵BE ＝CF ，

∴四边形BECF 是平行四边形．

3．如图，在▱ABCD 中，分别以AD ，BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF，连接BE ，DF.求证：四边形BEDF 是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD.

又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，

∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60 °.

∴BF ＝DE ，CF ＝AE ，∠DCF ＝∠BCD －∠BCF，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE，即∠DCF ＝∠BAE.

在△DCF 和△BAE 中，

⎩⎨⎧CD ＝AB ，

∠DCF ＝∠BAE，CF ＝AE ，

∴△DCF≌△BAE (SAS )．

∴DF ＝BE.

又∵BF ＝DE ，

∴四边形BEDF 是平行四边形．

4．如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF.求证：

(1)BF ＝DC ；

(2)四边形ABFD 是平行四边形．

证明：(1)∵DE 是△ABC 的中位线，

∴CE ＝BE.

在△DEC 和△FEB 中，

⎩⎨⎧CE ＝BE ，

∠CED ＝∠BEF，DE ＝FE ，

∴△DEC≌△FEB (SAS )．

∴BF ＝DC.

(2)∵DE 是△ABC 的中位线，

∴DE∥AB，且DE ＝12

AB. 又∵EF ＝DE ，

∴DE ＝12

DF. ∴DF ＝AB.

又∵DF∥AB，

∴四边形ABFD 是平行四边形．

类型2 若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明

5．如图，现有一六边形铁板ABCDEF ，其中∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，AB ＝10 cm ，BC ＝70 cm ，CD ＝20 cm ，DE ＝40 cm ，求AF 和EF 的长．

解：延长FA，CB交于点M，延长FE，CD交于点N.∵∠FED＝∠CDE＝120 °，

∴∠NED＝∠NDE＝60 °.

∴△END是等边三角形．

∴EN＝DN＝DE＝40 cm.

同理：△AMB是等边三角形．

∴AM＝BM＝AB＝10 cm.

∵∠FMB＝∠END＝60 °，∠F＝∠C＝120 °，

∴四边形FMCN是平行四边形．

∴MC＝FN，MF＝CN.

∵AB＝10 cm，BC＝70 cm，

CD＝20 cm，DE＝40 cm，

∴AF＝MF－AM＝CN－AM＝CD＋DN－AM＝50 cm，EF＝FN－EN＝MC－EN＝BM ＋BC－EN＝40 cm.

类型3若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明

6．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD.

∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.

在△FDO和△EBO中，

⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO，

∠FDO ＝∠EBO，OD ＝OB ，

∴△FDO≌△EBO (AAS )．

∴OF ＝OE.

又∵OA ＝OC ，

∴四边形AECF 是平行四边形．

类型4 平行四边形证明中的“一题多解”

7．如图，已知在四边形ABCD 中，AE⊥BD 于点E ，CF⊥BD 于点F ，AE ＝CF ，BF ＝DE.求证：四边形ABCD 是平行四边形(至少用三种不同的方法证明)．

证明：证法1：∵BF ＝DE ，

∴BF －EF ＝DE －EF ，

即BE ＝DF.

又∵AE⊥BD ，CF⊥BD，

∴∠AEB ＝∠CFD ＝90 °.

在△ABE 和△CDF 中，

⎩⎨⎧BE ＝DF ，

∠AEB ＝∠CFD，AE ＝CF ，

∴△ABE≌△CDF (SAS )．∴AB ＝CD.

在△ADE 和△CBF 中，