专题训练(一)平行四边形的证明思路
专题训练(一) 平行四边形的证明思路
班别姓名
【题型1】若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1．如图，在?ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.
求证：四边形BECD是平行四边形．
2．如图，在?ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．
3．如图，在?ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
4．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.
(1)求证：BF＝DC；
(2)求证：四边形ABFD是平行四边形．
【题型2】若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．
【题型3】若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明
6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.求证：四边形ABFC为平行四边形．
7．如图，?ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．
8．如图，?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．求证：四边形AECF是平行四边形．
专题训练(四) 平行四边形的证明思路
类型1 若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1．如图，在?ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即BE∥CD.
又∵EC∥BD，
∴四边形BECD是平行四边形．
2．如图，在?ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵BE＝DF，
∴AB －BE ＝CD －DF ，即AE ＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF 是平行四边形．
3．如图，在?ABCD 中，分别以AD ，BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF，连接BE ，DF.求证：四边形BEDF 是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD.
又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，
∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF＝60°.
∴BF ＝DE ，CF ＝AE ，∠DCF ＝∠BCD－∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB－∠DAE ，即∠DCF＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，
???CD ＝AB ，
∠DCF ＝∠BAE，CF ＝AE ，
∴△DCF ≌△BAE(SAS )．
∴DF ＝BE.
∴四边形BEDF 是平行四边形．
4．(钦州中考)如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接BF.
(1)求证：BF ＝DC ；
(2)求证：四边形ABFD 是平行四边形．
证明：(1)∵DE 是△ABC 的中位线，
∴CE ＝BE.
在△DEC 和△FEB 中，
???CE ＝BE ，
∠CED ＝∠BEF，DE ＝FE ，
∴△DEC≌△FEB.
∴BF＝DC.(SAS)
(2)∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，且DE＝1
2 AB.
又∵EF＝DE，
∴DE＝1
2 DF.
∴DF＝AB.
∴四边形ABFD是平行四边形．
类型2 若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∠C＋∠D＝180°.
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形．
类型3若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明
6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.求证：四边形ABFC为平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE ＝∠CFE.
∵E 是BC 的中点，
∴BE ＝CE.
在△ABE 和△FCE 中，
???∠BAE＝∠CFE，
∠AEB ＝∠FEC，BE ＝CE ，
∴△ABE ≌△FCE(AAS )．
∴AE ＝E F.
又∵BE＝CE ，
∴四边形ABFC 是平行四边形．
7．如图，?ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F.求证：四边形AECF 是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD.
∴∠DFO ＝∠BEO，∠FDO ＝∠EBO.
∴△FDO ≌△EBO.(AAS )
∴OF ＝OE.
∴四边形AECF 是平行四边形．
8．如图，?ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是OB ，OD 的中点．求证：四边形AECF 是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA ＝OC ，OB ＝OD.
∵点E ，F 分别是OB ，OD 的中点，
∴OE＝1
2
OB，OF＝
1
2
OD.
∴OE＝OF.
∴四边形AECF是平行四边形．