论积分学中的微元法思想及其应用
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 函数概念的理解：微积分中的函数概念是在中学数学的基础上进一步深化而来的。
通过微积分的学习，可以更好地理解函数概念的本质，掌握函数的应用。
2. 几何应用：微积分中的微元法可以应用于中学数学中的几何问题。
例如，计算曲线的长度、曲率、面积等问题，都可以通过微元法来解决。
3. 方程的求解：中学数学中的方程问题可以通过微积分中的微分方程来解决。
例如，求解函数的导数、积分、微分方程等问题，都可以通过微积分来解决。
4. 数值计算：微积分中的数值计算方法可以应用于中学数学中的数值计算问题。
例如，求解函数的极值、拐点、数值积分等问题，都可以通过微积分来解决。
需要注意的是，微积分在中学数学中的应用主要是一些简单的问题，需要以实际需求为基础，选择合适的方法和技巧来解决。
同时，中学数学中的知识点有限，可能无法提供足够的支撑，需要借助其他工具和方法来辅助解决一些复杂的问题。
谈微积分中的数学思想及其教学
谈微积分中的数学思想及其教学微积分，作为现代数学的重要分支，在科学技术、社会科学、经济学等领域有着广泛的应用。
微积分中的数学思想及其教学，不仅涉及到数学基础知识的学习，还关乎学生数学思维和解决实际问题能力的培养。
本文将详细探讨微积分中的数学思想及其教学，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要数学工具。
微积分中涉及的抽象思想主要包括无穷、极限和连续等概念。
无穷是指一个数列或函数在无限趋近于某个点时的情况，极限则是指数列或函数在某一趋势下的最终状态，而连续则描述了函数在某一点处的平滑过渡。
这些抽象概念的理解对于后续微积分的学习至关重要。
微积分中的计算思想主要包括导数、积分和级数等。
导数反映了函数在某一点处的变化率，可以应用于求解曲线切线、物体运动加速度等实际问题；积分则是微分的逆运算，用于求解面积、体积、长度等实际问题；级数则是由无穷多个数相加而成，可以用来表示函数、解决实际问题。
微积分中的优化思想主要包括方程、建模和实验等。
方程是解决问题的一种重要工具，可以用来求解未知量，如运用微分方程可以解决物理、化学、生物等领域的问题；建模则是指运用数学模型来描述实际问题，通过求解模型来得到实际问题的解；实验则是指通过设计实验来验证数学模型的有效性和精度。
微积分的教学目标应当是培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
具体而言，教学目标应当包括以下几个方面：(1)掌握微积分的基本概念和理论体系，如极限、导数、积分等；(2)学会运用微积分的基本方法和技能，如微分法、积分法、级数法等；(3)能够运用微积分的知识解决实际问题，如物理、工程、经济等领域的问题；(4)培养学生的数学思维和推理能力，提高学生的数学素养。
微积分教学重点和难点主要包括以下几个方面：(1)抽象概念的理解：如无穷、极限、连续等概念较为抽象，学生往往难以理解和掌握；(2)计算方法的掌握：如导数、积分、级数等的计算方法较为复杂，需要学生多次练习才能掌握；(3)优化思想的运用：如方程、建模、实验等优化思想需要学生具备一定的数学基础和实际经验，才能够理解和运用。
定积分微元法及其应用
定积分微元法及其应用摘要：积分学中的定积分在几何、物理、经济管理等方面有着极其广泛的应用。
由于定积分的微元法通常往往能使一些实际问题简单化，因此，定积分的微元法在定积分的应用方面至关重要。
本文首先简介定积分的微元法适用的所求量以及定积分微元法在应用中的步骤，重点介绍积分微元法在几何、物理、经济管理及日常生活等方面的应用。
关键词：定积分：微元法：应用一、定积分的微元法适用的所求量定积分的微元法是将实际问题设法转化为定积分问题的一种方法，通常，如果所求量满足三条：1.关于某一个区间有关；2.在区间上具有可加性，即当把区间分成任意n个小区间时，相应的所求量也分成n个小部分，且所求量等于n个小部分之和，即；3.在上任取一个小区间，所求量的部分量能够近似表示成（即所求量的微分元素），那么所求量就可以用定积分的微元法来求，即。
二.定积分微元法在应用中的步骤定积分微元法就是将所研究的所求量进行无限细分，从中抽取某一微小部分进行探探讨，通过分析，研究找出所求量的整体变化规律的方法。
通常利用定积分微元法解决一些具体问题时，采用将所研究的所求量细分成很多微小的“元素”，而这些微小的“元素”具有相同的几何形态或物理规律，因此，我们仅需要分析和研究其中的一个微小部分，利用所学的数学或物理的理论知识进行处理，以期达到用一个定积分表达式来求所求量的效果。
用定积分微元法将实际问题中的所求量抽象为定积分的步骤也基本相同，分为3步，1.根据题意，建立适当坐标系，画出草图（使得后面的选积分变量、确定积分区间、寻找所求量的微分元素比较直观）；由于函数关系的建立是由所建立的坐标系来决定的，坐标系的建立是否恰当，往往直接影响到寻找微分元素的难易以及定积分计算的繁简程度。
因此，建立坐标系时，既要考虑到较易寻找所求量的微分元素，还要考虑到后面的定积分的计算要相对较简单。
2.选取积分变量，并确定其变化区间。
积分变量选择的是否恰当，往往直接决定着定积分的计算是简单还是繁琐。
利用微元法将各类积分直接化成定积分
㊀㊀㊀㊀㊀㊀利用微元法将各类积分直接化成定积分利用微元法将各类积分直接化成定积分Һ沙婵娟㊀（山西大学数学科学学院，山西㊀太原㊀０３０００１）㊀㊀ʌ摘要ɔ微元法是分析和解决积分问题的常用方法，它是采用 化零为整 的思想去解决问题．一般的积分都需要化成累次积分来计算，有时计算起来比较复杂，本文利用微元法简化了重积分和曲面积分的运算，即通过微元法寻找相应的微元，直接将二重积分㊁三重积分或者曲面积分化成定积分，而定积分计算相对来说简单，因此，利用此法可以更大地简化计算．ʌ关键词ɔ微元法；重积分；曲面积分；积分微元一㊁引言微元法是积分学中非常重要的一种方法，在数学㊁物理和工程中被广泛应用．它一般要经过四个步骤：分割，取近似，求和，取极限．通常情况下，在使用微元法之前，我们会先对某事件做整体的观察，然后取出该事件的某一微小单元进行分析，通过对微元的数学分析和描述，最终解决整体，得到结果．合理有效地利用微元法的思想可以使原本复杂的问题变得简单易行．在大学的公共基础课 高等数学 中，所有积分概念的提出都是通过微元法实现的．我们所得到的这些积分，包括重积分㊁曲线积分㊁曲面积分，都是基于定积分的概念，对积分区域进行扩展，得到新的一系列积分．对于这些积分的计算，先通过几何意义或物理意义化为二重积分或者三重积分，再化成累次积分的形式，最终得到极限值．实际上，很多问题我们可以根据积分中被积函数和积分区域的特点和相互关系适当地选择微元，将重积分和曲面积分直接化简为定积分，从而进行简单的计算．二㊁各类积分直接转化成定积分（一）重积分直接化成定积分通常情况下，重积分是要根据积分区域的形状化成累次积分进行计算的，但是如果被积函数复杂，或者积分区域形状不规则，那么化成累次积分的过程就比较繁杂，或者化成累次积分后，计算量比较大．如果在重积分中，积分微元容易寻找或者容易表达，那么我们可以利用微元法直接找微元，化成定积分计算要容易得多．下面通过三个例题介绍三种不同的类型．例１㊀同济大学第七版１６０页∬Ｄｆ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝ʏ１－１ｆ（ｕ）ｄｕ，其中闭区域Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１｝．分析㊀这是一个求解二重积分的问题，尽管积分区域的对称性不错，它是关于ｘ轴和ｙ轴对称，但是被积函数是抽象函数，想把它进行化简是比较困难的，所以我们考虑直接找微元去表达面积元素ｄｘｄｙ．分割：选择较为特殊的分割方式，用一族平行的直线ｘ＋ｙ＝ｔ去分割Ｄ区域，如图所示．解㊀令ｘ＋ｙ＝ｔ，ｄσ＝２２㊃２ｄｔ＝ｄｔ，∬Ｄｆ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝ʏ１－１ｆ（ｔ）ｄｔ．例２㊀∬Ｄｆ（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）ｄｘｄｙ＝ʏ１－１２１－ｕ２ｆ（ｕａ２＋ｂ２＋ｃ）ｄｕ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２＋ｙ２ɤ１｝，且ａ２＋ｂ２ʂ０．分析㊀这个例题和例１的分析方式类似，只是在题干中已经给出了所要得到的结果，我们从结果中可以得到一些划分区域的提示，用相同的方法，我们可以很容易地去表达分割后的面积微元ｄｘｄｙ．解㊀令ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝ｕａ２＋ｂ２＋ｃ，ｕ＝ａｘ＋ｂｙａ２＋ｂ２（表示原点到分割直线的距离），ｄσ＝２１－ｕ２ｄｕ，∬Ｄｆ（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）ｄｘｄｙ＝ʏ１－１２１－ｕ２ｆ（ｕａ２＋ｂ２＋ｃ）ｄｕ．用同样的方式可以去处理三重积分，如下例：例３㊀∭Ωｆ（ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ）ｄｖ＝ʏ１－１π（１－ｕ２）㊃ｆ（ｕａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ）ｄｕ，其中Ω＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１｝，且ａ２＋ｂ２＋ｃ２ʂ０．分析㊀三重积分中我们要分割的是空间中的某个区域Ω，要想快速㊁准确㊁简单地找到微元，我们需要选择简单易掌握的分割．在空间中，我们要分割一个区域，最简单的方式就是用一些特殊的平面进行分割，分出来的类似柱体，它的体积容易表达，进而我们的体积微元就容易找到了．如在本题中，我们是用一族平行的平面对球面围成的区域进行分割．解㊀令ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝ｕａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ，ｕ＝ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚａ２＋ｂ２＋ｃ２，ｄｖ＝π（１－ｕ２）２ｄｕ，∭Ωｆ（ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ）ｄｖ＝ʏ１－１π（１－ｕ２）２ｆ（ｕ㊃ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ）ｄｕ．经过上面三个例题的分析，有了最简洁的结果，我们在以后高等数学或者其他科目的学习中，便可以利用这些结论，在具体的题目中可以直接去计算重积分，省去了确定区域形状㊁选择合适坐标㊁化成累次积分这些繁杂的过程，而直接得到一个定积分，计算定积分即可，计算过程变得简单很多．上面的几个例题中，积分区域都是用规则的直线或者平面进行分割的，得到的微元是长方形㊁带弧边的长方形或长方体，这种情况是我们容易碰到和掌握的．实际上，有些特殊问题，我们可以用不规则的曲线或者曲面进行分割．例４㊀设ｆ（ｘ，ｙ）具有一阶连续偏导数，等值线ｆ（ｘ，ｙ）＝ｖ是简单闭曲线，所围区域的面积为Ｆ（ｖ），且其导数是连续函数，Ｄ是由曲线ｆ（ｘ，ｙ）＝ｖ１和ｆ（ｘ，ｙ）＝ｖ２（ｖ１＜ｖ２）所围成的区域，求证：（１）∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝ʏｖ２ｖ１ｖＦᶄ（ｖ）ｄｖ．㊀㊀㊀㊀㊀（２）∬Ｄｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２ｄｘｄｙ，其中Ｄ区域由ａ１ɤｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２ɤａ２所确定．分析㊀首先明确两个概念：（１）我们知道，一般来说，ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在几何上表示一个曲面，这个曲面被平面ｚ＝ｃ所截得的曲线Ｌ的方程为ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ），ｚ＝ｃ，{这条曲线Ｌ在坐标面ｘＯｙ上的投影曲线称为ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）的等值线．随着常数ｃ的变化，将会得到一族曲线．（２）在平面上确定一条连续曲线γ，若对任意的ｔɪ（ａ，ｂ）或者ｔɪ［ａ，ｂ］，只要ｔ１ʂｔ２，就有ｚ（ｔ１）ʂｚ（ｔ２），则称连续曲线γ为简单曲线或若尔当弧．简单来讲，就是连续曲线没有重点，不会打结．在上述区域下，我们遇到复杂的二重积分时，可以用这样的一族等值曲线对积分区域Ｄ进行分割，在此分割下，区域Ｄ被分割成了环状，它的面积微元在表达上是较为简单的，ｄσ＝Ｆ（ｖ＋ｄｖ）－Ｆ（ｖ）＝Ｆᶄ（ｖ）ｄｖ＋ｏ（ｄｖ）．证明㊀（１）用闭曲线族ｆ（ｘ，ｙ）＝ｖ（ｖ１＜ｖ＜ｖ２）分割区域Ｄ，两曲线ｆ（ｘ，ｙ）＝ｖ和ｆ（ｘ，ｙ）＝ｖ＋ｄｖ围成的微元环域面积为ｄσ＝Ｆ（ｖ＋ｄｖ）－Ｆ（ｖ）＝Ｆᶄ（ｖ）ｄｖ＋ｏ（ｄｖ）．由Ｆ（ｖ）的导函数的连续性和定积分的概念可知如下积分存在：∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝ʏｖ２ｖ１ｖＦᶄ（ｖ）ｄｖ．（２）对于ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝ｖ围成的区域的面积Ｆ（ｖ）＝πａｄｖ，∬Ｄｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２ｄｘｄｙ＝ʏａ２ａ１（πａｄｖ）ᶄｖｄｖ＝２３πａｂ(３２ａ２－３２ａ１)．我们看到，（２）的解答是非常简单的，大家可以试一下用我们常用的算法或者常用的分割方式去解决这个二重积分，还是有一定的难度的．而这种做法不仅可以用于二重积分的计算，还可用于三重积分的计算．（二）曲面积分直接化成定积分在高等数学的学习过程中，大部分学生对于曲面积分的计算掌握起来是有难度的，而我们会在这部分中研究曲面为旋转曲面的类型下，如何快速准确地得到曲面积分的值．假设曲面是由曲线绕着ｚ轴旋转所得，由旋转体的侧面积可知，旋转体的曲面面积微元ｄＳ＝２πｘ１＋ｄｚｄｘ()２ｄｚ，则曲面积分就可以化简成定积分来计算．例５㊀说明球ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝Ｒ２的表面积为４πＲ２．分析㊀这是一个我们熟知的结论，现在我们采用微元法，简单而巧妙地得到结论．想用微元法得到面积，关键是找微元，我们可以假设圆ｘ２＋ｙ２＝Ｒ２绕着ｘ轴旋转得到了球面，在圆上任取一点（ｘ，ｙ），绕着ｘ轴旋转以后所得到的面积微元ｄＡ＝２πｙｄｓ，其中ｄｓ是弧微分．解㊀ｄＡ＝２πｙｄｓ＝２πｙ１＋（ｙᶄ（ｘ））２ｄｘ＝２πｙ１＋－ｘｙ()２ｄｘ＝２πＲｄｘ，Ｓ＝ʏＲ－Ｒ２πＲｄｘ＝４πＲ２．在上述结果中，我们可以看到找到的面积微元和分割了圆柱侧面以后所得到的面积微元是相等的，而且对于旋转体而言，准线上的任意一点绕着轴旋转一周以后，所得到的面积微元是个只和半径相关的固定的值．基于这一点，我们是可以将很多曲面积分转化为定积分的．例６㊀∬Σ（ｘ＋ｙ＋ｚ）ｄＳ，Σ为球面ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２上ｚȡｈ（０＜ｈ＜ａ）的部分．分析㊀题目中给出的曲面是球面，是个全对称的旋转曲面，我们可以先应用对称性进行简化，然后就可以直接使用刚才得到的结果了．解㊀首先用对称性进行简化：ȵΣ关于ｘＯｚ，ｙＯｚ面对称，ʑ∬Σ（ｘ＋ｙ）ｄＳ＝０．利用上题中得到的面积微元得ｄＳ＝２πｘａｘｄｚ＝２πａｄｚ，ʑ∬ΣｚｄＳ＝ʏａｈｚ２πａｄｚ＝πａ（ａ２－ｈ２）．例７㊀∬Σ（ｘ２＋ｙ２）ｄＳ，Σ为锥面ｚ＝ｘ２＋ｙ２被平面ｚ＝１所截下的有限部分．分析㊀题目中给出的圆锥面是个ｙＯｚ上的三角形绕着ｚ轴旋转以后得到的锥面，任取一点后绕着ｚ轴旋转得到的面积微元ｄＡ＝２πｚ㊃２ｄｚ．解㊀利用曲面积分的可代入性转化为关于ｚ的一个曲面积分，再化成定积分得∬Σ（ｘ２＋ｙ２）ｄＳ＝∬Σｚ２ｄＳ＝ʏ１０ｚ２２πｚ２ｄｚ＝２２π．这一部分我们主要对曲面积分直接化成定积分做了相应的分析，如果看到积分区域是旋转体，我们都可以用微元法分析其面积微元．三㊁结束语高等数学中积分的计算是一个重要的内容，不管是教学大纲㊁考研大纲，还是物理课程或者专业课程中，积分的计算必不可少．但是这部分内容对于学生而言又是个难点．在学习的过程中，我们要引导学生去理解积分的本质，清楚积分就是无穷多个无穷小的总和．它的结果我们可以认为是在单一维度下对某一个量的累加．本文中的积分计算抛开教材中循规蹈矩的求解积分的方法，从微元法最本质的一点寻找积分微元，去化解积分，直接得到我们熟悉的㊁便于计算的一元函数的定积分．整个过程对学生对积分概念的理解和积分值的取得是有很大帮助的．这样的方法不仅适用于文中提到的几种积分模式，也适用于很多实际问题的求解．在实际问题中，我们只要可以找到简单的分割方式，顺利找到对应微元，在分割区域上，便可以方便地把它化成我们熟知的定积分，对此大家可以继续进行探讨．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学数学系．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４：１６０－１６１．［２］唐燕贞．重积分㊁曲面积分直接化为定积分的一种方法［Ｊ］．高等数学研究，２００７（２）：１０－１１．［３］费时龙，孙善辉．计算三重积分的一种特殊方法［Ｊ］．安庆师范学院学报（自然科学版），２０１３，１９（１）：１０１－１０２．［４］张天德，蒋晓芸．高等数学习题精选精解［Ｍ］．山东科学技术出版社，２０１７：３４１－３４５．。
第十讲 微元法思想与定积分应用
y
y f2(x)
oa
A
A
y f1( x)
b xoa
bx
b
A a f ( x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
极坐标情形
r ( )
d
r 1( )
r 2( )
o
x
o
x
A 1 [ ( )]2 d 2
A
123
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
133
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
143
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
分、粗、和、精 ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
dx的乘积，就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记作
dU ，即dU f ( x)dx ；
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b ，
即为所求量U ．
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f (x)
y f (x)
y
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
微积分中微元法在专业中的应用案例研究——以医药学专业为例
使学生逐步形成数学意识袁增强学生学习兴趣遥
关键词：高等数学曰 专业结合曰 案例法曰 定积分曰 微元法
中图分类号：O172
文献标识码：A
一尧高等数学与专业需要相结合的必要性 高等数学作为一门重要的基础课，一方面是高 职各专业基础课和专业课必不可少的基础工具,为 学生学习后继课程和解决实际问题提供不可少的数 学基础知识及数学方法；另一方面,通过各个教学环 节培养学生具有比较成熟的运算能力和自学能力、 综合运用所学知识去分析和解决问题的能力[1]。目 前数学教学知识结构单一，数学老师对于专业需要 的数学知识不了解或了解不多，所以授课过程中，与 专业相关的例子很少，没有体现出数学在专业课中 应用，很多学生产生了数学与专业无关和数学无用 的错误思想。 高等数学是为专业的学习服务的，因此将高等 数学课程教学与学生所学专业紧密结合，更能够彰 显该课程的价值和意义[2]。对于与专业课程紧密结 合的教学模式，宿彦莉[3]指出高等数学课程教学要 将基础课程与专业课相结合，并强调注重学生数学 能力的培养；张绍阁[4]介绍了高等数学为专业课程
微积分中微元法在专业中的应用案例研究
要要 要以医药学专业为例
崔 艳， 吴 娟
渊亳州职业技术学院袁 安徽 亳州 236800冤
摘 要: 微积分学中微元法思想是高等数学中的一个重要的思想袁 它在学生的专业学习中有着广泛的
应用袁通过在教学中融入与学生专业相关的案例袁可以帮助学生理解抽象的数学知识袁体现了数学的实用性袁
＊收稿日期：2018原04原13 作者简介：崔 艳（1985-），女，安徽亳州人，助教、硕士，研究方向：数学与数学教育。E-mail: yishuiweizi@. 基金项目: 亳州职业技术学院教研课题“网络环境下高职数学翻转课堂教学模式的探索与实践”（2016bzjyxm03）;2017 年度高校优秀青年人 才支持计划项目“数学建模在高职药学类专业教学改革中的创新应用研究”（gxyq2017216）.
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究
定积分是微积分中的一种重要概念，微元法是求解定积分的一种方法。
微元法的核心思想是将被积函数表示为微元的积分形式，并对微元进行求和，从而得到积分的结果。
微元法的应用广泛，涉及到面积、体积、质量、重心、平均数等多个问题。
本文将对微元法及其应用进行研究。
微元法的基本思想是将被积函数表示为微元的积分形式。
具体而言，对于一元函数
f(x)，可以将其表示为f(x)dx，其中dx表示微元。
以f(x)dx为被积函数，进行定积分，可以得到积分结果。
微元法的实质是将区间[a, b]分割成无穷多个小区间，然后对每个小区间内的微元进行求和。
具体而言，对于[a, b]区间的一个小区间[x, x+dx]，可以得到该小区间内的微元积分结果为f(x)dx。
然后对所有小区间的微元积分进行求和，即可得到整个区间[a, b]的定积分结果。
微元法广泛应用于求解面积、体积、质量、重心、平均数等问题。
以求解面积为例，考虑平面上的曲线y=f(x)与x轴之间的面积。
可以将该面积表示为∫f(x)dx的形式。
将区间[a, b]分割成无穷多个小区间，对每个小区间内的微元面积进行求和，即可得到整个曲线所围成的面积。
22考研复习全书选讲 第五讲 一元函数积分学(3)2021.4.30
2021年4月
第五讲 一元函数积分学(3)
定积分的应用
定积分应用的基本原理——微元法
在用定积分求面积、体积、平均值、表面积、弧长、功、引力、压力等问题时,常常要
利用微元法思想,其基本步骤如下:
（1）所求量 U 是与区间[a, b]以及定义在其上的函数 f (x)有关的量；
其中 (t)、 (t)在[, ]上具有一阶连续导数, 且 (t)、 (t)不同
时为零(极,坐则标曲方线程弧)设长曲为线S弧=由 极坐2(标t)方程2
(t)
r
dt
=
. r
(θ)
(
α
≤
θ
≤
β)
给
出, 其中 r (θ)在[, ]上具有一阶连续导数, 则曲线弧长为
S r2( ) r2( ) d .
直线 x=1 所成的旋转体体积 V1.(3) 求 D 绕 x 轴旋转一周所得
旋转体的体积 V2. (3) D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积
V2
1 (e x )2 dx
1 (ex)2 dx e2 .
0
6
V2 2
e y( y ln y)dy e2 .
0e
6
全书一，P123[例2]；全书二，P119[例2]；
0
2
a2( 1 cos )2 ( a sin )2 d
0
2 2a c osd
0
2
a8
si
2
n0
=
8a|
.
全书三，P114[例5]；
例 8(2010 数 3) 设位于曲线 y
1
( e x<+ )下方, x 轴上方的
第3节 微元法
第3节微元法微元法又称微分法，是数学分析中的一种重要方法。
它通过对函数的微小增量进行分割，将函数在任意一点上的性质转化为在该点附近的一个局部性质。
在物理学中，微元法常常被用于处理微小的物理量，求解微小的变化量和微分方程等问题。
下面介绍微元法的几个主要应用。
1.微分的几何意义微元法的基础是微积分学中的微分，微分的几何意义是函数在某一点上的斜率。
假设函数y=f(x)在某点处的斜率为k，则k可以表示为：k=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{dy}{dx}其中，$\Delta x$表示自变量x的增量，$\Delta y$表示函数值y的增量。
当$\Delta x$趋近于0时，$\Delta y$也趋近于0，此时称$\Delta y$是y的微小变化量，$\Deltax$是x的微小变化量。
因此，当$\Delta x$趋近于0时，$\Delta y/\Delta x$的极限就表示函数y=f(x)在点(x,f(x))处的斜率k，这就是微分的几何意义。
微元法在应用中利用了微分的几何意义，将函数的微小性质转化为斜率或变化率，从而进行计算和分析。
2.微分方程微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
微元法是解微分方程的重要方法之一。
假设某一物理量的变化量可以表示为函数y=f(x)，则其微小变化量就是dy=f'(x)dx。
如果已知微小变化量dy和dx，就可以根据微分方程求出函数的具体形式。
例如，当dy/dx=-ky时，可以得到y=Ae^{-kx}，其中A为常数。
3.微积分的应用微元法还常常用于微积分的应用，例如求曲线的面积、弧长、体积等。
对于曲线的面积问题，可以将曲线分割成若干微小的线段，然后利用微分求出每个小线段的面积，再将其相加即可得到整个曲线的面积。
同理，对于曲线的弧长问题，可以将曲线分割成若干微小的线段，然后利用微分求出每个小线段的弧长，再将其相加即可得到整个曲线的弧长。
请阐述定积分的元素法的思想和原理
请阐述定积分的元素法的思想和原理
定积分的元素法是在应用定积分的理论来分析和解决一些几何，物理中的问题时，需要将一个量表达成为定积分的分析方法。
原理是采用的微元法以及无限逼近原理
微元法是指在处理问题时，从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体目的的方法。
它在解决物理学问题时很常用，思想就是“化整为零”，先分析“微元”，再通过“微元”分析整体。
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。
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目录摘要 (2)关键字 (2)Abstract (2)Key Words (2)绪论1、微积分学中微元法思想的起源与发展 (3)1.1微元法思想的起源 (3)1.2 微积分的现代发展 (5)1.3中国古代数学对微积分创立的贡献 (6)2、微元法的基本思想2. 1 微元法的概念及理论2.2 微元法使用的一般条件2.3 微元法的解题步骤3、几何学中微元法思想及其应用3.1 定积分中平面图形微元法的思想及几何应用3.2 二重积分中微元法的思想及几何应用4、微元法在其他学科中的应用总结参考文献答谢论积分学中的微元法思想及其应用专业：数学与应用数学摘要:积分学中微元法思想是这一学科的非常重要的思想，它的合理运用可以使原本复杂的问题变得更为简单易行,并且在实际生活中此理论也得到了非常广泛的应用，本论文将重点论述微元法的思想和它的几何应用,使读者对微元法有更深刻的理解,然后介绍微元法在物理学，经济学上的应用,解决一些具体的实际问题关键词：微元法，定积分，几何应用，面积，基本思想ABSTRACTIntegral micro-element method is a very important ideological thinking of the discipline ，It can make rational use of the original problem becomes more complicated simple,And in real life, this theory has also been a very wide range of applications,This thesis focuses on the ideas of micro element method and its geometric applications,Micro-element method for the reader a deeper understanding ，Then describes the application of micro-element method in physics, economics ，Solve some specific practical problemsKey Words:Micro-element method，Definite integral，Geometry ，Area，The basic idea绪论微元法的使用使原本复杂的积分问题变得容易处理。
本论文将给出微元法的思想、使用条件及几何应用,使对微元法有更深刻的认识,然后介绍微元法在其他上的应用,解决一些具体的实际问题,并研究如何使用微元法更加简单、高效.现阶段微元法思想已经被广泛的使用在微积分学理论及其他学科中，解决了定积分方面和生活中数学问题等问题，显示出微元法的方便之处，但对于微元法思想及其应用各个书籍都介绍的较少，尽管微元法思想既是极限思想较为简单，但通过对微元法的思想的深入研究可以使这种思想深入到人们思想中，更好的把微元法思想使用到实际生活中。
1、微积分学中微元法思想的起源与发展1.1微元法思想的起源微积分是微分学和积分学的统称，而微元法思想则是微分学的主要思想，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。
公元前300年左右，希腊的数学家、物理学家阿基米德在解决抛物弧形的面积、球行面积和双曲旋转体的体积等问题时就已经有了关于微分再积分的初步想法，但后来的数学们都没能对这种微积分思想进行突破和发展，直到到1800年前后，由于社会的发展、工业革命的进行出现了火松制造，矿山的开发，开普勒发现行星运动规律和航海的需要等一系列的力学和有关数学的问题，迫切的需要运用数学工具去解决这些问题，于是微积分学就开始得到了发展。
总的来说，可有四个种类的问题：1.研究运动的时候直接出现的，也就是求瞬时速度的问题。
2.求切线的问题。
3.求函数的最值问题。
4.求不规则曲线弧长、不规则图形的面积、不规则物体的体积、以及物理学中的万有引力等问题。
在十七世纪的许多著名科学家都对微积分的创立做出重要贡献如，而牛顿和莱布尼茨是这些科学家中对微积分的创立做出的贡献最为突出：1.牛顿牛顿研究的微积分是从物理学的角度进行的，他为了解决其中的运动问题，创造了“流数术”的理论，这其实即是后来的微积分理论。
牛顿还创作了许多关于微积分著作这些理论是力的数学反映，牛顿一切变量都看作是流量。
牛顿给出的“流数术”大致上包含三个方面的内容：1.已知的流量关系，求流数之间的关系，为积分的内容。
2.已知流数的关系，求相应的流量之间的关系。
为微分学的内容。
3.流技术的应用包括计算极值曲线，需求曲线的切线和曲率，需求曲线并计算曲边图形区面积。
最终牛顿建立了积分与微分的互逆关系的理论，即微积分的最后一步。
2.莱布尼茨德国数学家莱布尼茨则是通过在几何方面的研究的微积分。
与牛顿创立的微积分不同，莱布尼茨是经过研究不规则曲线的切线和不规则曲线所围的面积，同时还引入了一种沿用到至今的简洁的数学符号，运用分析学的方法引进了微积分概念，得出运算法则的，使得微积分更具有可读性和运用性。
而牛顿在微积分的研究上更多地结合了物理学，从理论上看牛顿的研究更加先进，但莱布尼茨所采用的表达方式及运算符号更加简洁，方便，从而使得微积分更容易被读者理解和接受。
尽管牛顿与莱布尼茨各自都创立了微积分且较为完整，但在某些方便仍存在缺点，如对于无穷小量的说明没有解释清楚，甚至说是混乱，这也使得起初的微积分理论被很多数学家质疑和批判，这也使得第二次数学危机的产生。
直到19世纪早期，科学家对微积分的基础工作重新研究并使其根基完善，其中法国科学家柯西就是对微积分研究的一个代表，他建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的完善与补充，最终运用极限理论来巩固了微积分这座大厦的根基，才使微积分进一步的发展开来。
微积分在发展的过程中与数学的其他的分支结合交融，形成了一个庞大的数学学科。
1.2微积分的现代发展由于19世纪科学家已经将微积分这座大厦的根基巩固了，所以随着后来时代的发展，微积分也得到了不断地发展与完善，下面将举例说明微积分得到不断地发展与完善。
法国数学家柯西在原有微积分基础上进行进一步完善了微积分，他的极数理论使得微积分的根基得到了巩固，而德国数学家黎曼又将柯西的积分理论进行了补充和扩展，后来法国数学家拉格朗日引如了测度理论，同时黎曼积分也得到扩充。
像著名的狄利克雷函数在黎曼积分下不可积，而在拉格朗日积分下便可积。
前苏联数学家所伯列夫给出了广义函数及广义导数的理论，从而他也证明了偏微分方程解的存在性和唯一性定理。
而偏微分方程解的存在性和唯一性这样定理的成功证明使得微分方程得到了空前的补充与完善，更具意义的是，它把现有的数学工具如泛函分析等应用到微分方程里面成为了可能，即而微分方程理论得到了空前的发展。
随着时间的进行只局限于研究欧式空间下的微积分已经满足不了数学本身发展和解决问题的需要，这也促使打破欧式空间下的微积分研究的局限，把欧式空间下的微积分的研究拓展的一般的微积分的研究，即是微分流形上的研究。
对于微分流形上的微积分的研究，外微分式有着重要的地位，从而外微分式的积分和微分流形上的Stokes 公式产生了。
从微积分的发展可以看出，人对事物的认识是从表象到本质的认识，继而产生抽象的认识。
而人们对事物的认识是具有时代性的，不同的时代对事物有着不同的认识，因为科学是不断在发展的，人们对事物的认识也是在不断地深入，不断地完善和全面。
人类对事物的认识和对知识的渴望是没有终点的。
1.3中国古代数学对微积分创立的贡献对于微积分的重要组成部分极限概念和求积的无限小方法的研究古代中国丝毫不落后于西方，甚至在西方之前中国就已经对微积分开始研究了。
公元前7世纪在老子和庄子哲学思想和著作中就已经有无限可分性和极限思想的理论；到了公元前4世纪在《墨经》中已经出现了较为成熟的无穷大（最大无外），无穷，有穷，无限小（最小无内）的定义以及瞬时，极限等概念。
魏晋南北朝数学家刘徽根据自己开创的割圆术求圆面积，已经将圆周率的计算精确到小数点四位，他的极限理论和无穷小方法已经在当时世界是最先进的，而这种微积分思想在17世纪初的西方国家才开始初步的出现和发展。
这种极限理论和无穷小方法理论的研究在古代中国不仅仅只有刘徽在研究，公元5世纪的祖恒在求球的体积时就已经用到了极限理论和无穷小方法。
而对于高阶的等差级数求和问题在古代中国的北宋时期就已经有了研究且得到了较为成熟的发展和运用，其中代表人物是沈括，他创立的“隙积术”，“会圆术”，“棋局都数术”等数学方法就可以体现到当时对高阶等差级数求和理论的深入研究。
到了南宋秦九韶的《数书九章》的问世具有划时代意义，其中的增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解即大衍求一术的方法更是闻名世界。
在十四世纪前后可以说是中国古代数学发展的一个高峰，有被称为贾宪三角形的开方作法本源图，组合数学，大衍求一术，招差术（高次差内差法），大衍总数术（一次同余式组解法），勾股数学，四元术（四元高次方程组解法），垛积术（高阶等差级数求和），珠算，天元术（数字高次方程一般解法），正负开方术，弧矢割圆术，增乘开方法，计算技术改革等数学理论在当时的中国乃至世纪都是非常著名的，这也使得古代数学在世纪有了举足轻重的地位。
总体来说古代中国的微积分理论比西方早了500多年，中国古代数学家出色的完成了创立微积分的前两个阶段即极限概念和求积的无限小方法，也是最关键的阶段，然而对于最后一个阶段积分与微分的互逆关系的理论却由于中国元朝时代的体制而导致了无法圆满的完成这一理论，元朝的八股取士制度在学术发展上产生的极大的阻碍，尤其是数学的研究，古代的中国已经无限的接近微积分理论的完成，可就在微积分创立的关键时刻这一理论被阻碍了，从而导致了微积分发展的停滞，最后使得在微积分方面的研究落伍了。
2、微元法的基本思想2.1微元法的概念及理论微元法的概念从定积分的角度来看，其主要思想是：在微观条件下，对于曲线，曲顶和不均匀物体经过无穷次得微分之后在微小部分都可以看做是直线，平面和均匀的。
简单地说，就是以“直”代“曲”，以“不变”代“变”的思想.从宏观的角度，对于求y=f （x ）在[a , b ]上与x 轴所围的面积S 时，如图2.1所示，在区间[a , b ]上任取一点x ，取宽度为x ∆，当x ∆很小时，可以认为在区间],[x x ∆上f （x ）是一条直线，于是有这个小矩形的面积可表示为：dx x f x x f dS )()(=∆= 此时把dx x f dS )(=称作为“面积微元”。
把所以的小矩形面积dS 全部图2.1 微元法的意义累加求和便得到图形的面积S 值。