自动控制理论第17次作业.

第一次作业
2—1 设机械系统如图2—1 所示，其中x i 为输入位移，x0 为输出位移。

试分别列写各系统的微分方程式及传递函数。

图2—1 机械系统
解①图2—57(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得
2 1
f 1 ( x &i x &0 ) f 2 x &0 = m &x
&0
整理得
m d x 0
+ ( f + f ) dx 0 = f dx i dt 2 1 2 dt 1 dt
将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得
[ms 2
+ ( f + f 2
)s ]X 0
(s ) = f 1
sX i
(s )
于是传递函数为
X 0 (s ) =
X i (s ) f 1
ms + f 1 + f 2
②图 2—57(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点 A ，并设 A 点位移为 x ，方向朝下；而在其下半部工。

引出点处取为辅助点 B 。

则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从 A 和 B 两点可以分别列出如下原始方程：
K 1 ( x i x ) =
f ( x & x &0 )
K 2 x 0 = f ( x
& x &0 )
消去中间变量 x ，可得系统微分方程
f (K + K ) dx 0 + K K x
= K f dx i 1 2 dt 1 2 0 1 dt
对上式取拉氏变换，并计及初始条件为零，得系统传递函数为
X 0 (s ) =
X i (s ) fK 1 s f (K 1 + K 2 )s + K 1 K 2
③图 2—57(c)：以 x 0 的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：
K 1 ( x i x ) + f ( x
&i x &0 ) = K 2 x 0
移项整理得系统微分方程
f dx 0
+ (K dt 1 + K
2 ) x 0 = f dx i dt
+ K 1 x i
对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即
x i (0) = x 0 (0) = 0
则系统传递函数为
X 0 (s ) =
X i (s ) fs + K 1
fs + (K 1 + K 2 )
⎨ 0 ⎭ R 1
2—2 试分别列写图中个无源网络的微分方程式。

解：（a ） :列写电压平衡方程：
du C
u C
u i u 0 = u C
i C = C
⎩
dt
du C
u C ⎤ i R 1 =
R 1
⎩
d (u i u 0 )
u i u 0 ⎤ u 0 = (i C + i R 1 )R 2 = ⎪C + ⎥ R 2 = ⎪C + ⎥ R 2
整理得：
⎣
dt
⎫
R 1 ⎦
dt R 1 ⎦ CR du 0 + ⎧ C R 2
+ 1⎪u
= CR du i
+ C R 2 u 2 dt ⎧ R 1
⎪ 2 dt i
(b) :列写电压平衡方程：
du C 1
u i u 0 = u C 1 （1） i C 1 = C 1
dt
（2）
i C 2 = u C 1 + i C 1 R R + i C 1 = u C 1 R + 2i C 1 = C 2 du C 2 dt = C 2 d (u 0 i C 1 R )
dt
（3）
2
2
2 即： u C 1 R
+ 2i C 1 = C 2
d (u 0 i C 1 R ) dt
（4）
将（1）（2）代入（4）得：
u i u 0
+ 2C d (u i u 0 ) = C du 0 C C R
d u C 1
R 1 dt 2 dt 1 2
dt 2
u
u du du du d 2 u d 2 u
即： i 0 + 2C
i 2C 0 = C 0 C C R i + C C R 0
R R 整理得：
1 dt 1 dt
2 dt 1 2 dt 2 1 2
dt 2
C C R
d u 0
C
C du 0 u 0
C C R d u i u i C
du i
1 2
dt 2
+ ( 2 + 2 1 ) dt + R
= 1 2 dt 2 + + 2 R
1
dt
第二次作业
2-3 已知控制系统结构图如图所示。

试通过结构图等效变换求系统传递函数C(s)/R(s)。

2-4 试简化图中的系统结构图，并求N 0时的传递函数C(s)/R(s)。

第三次作业
1、系统信号流图如下，试用梅森公式求系统传递函数C(s)/R(s)
2、系统信号流图如下，试用梅森公式求系统传递函数0()Q s /()i Q s
第四次作业
1、 设单位反馈系统的开环传递函数为(1)
()(1)(5)
K S G S S S S +=
-+ , 确定K 的取值范围是闭环系统稳定。

2、 设潜艇潜水深度控制系统如图所示，问放大器增益K1如何取值可保证系统稳定？
第五次作业
1、 某控制系统如图所示，如果1()G S =，2210
()1G S S =+，()H S S =，试求()1()
n t t =时，系统的稳态误差()ss e ∞。

2、 设控制系统结构图如图所示。

（1） 分析说明内反馈f k S 的存在对系统稳定性的影响
（2） 计算静态位置误差系数，静态速度误差系数和静态加速度误差系数，并说明内反馈f k S 的存在对
系统静态误差的影响
第六次作业
1、设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试画出闭环根轨迹。

1)
2)
第七次作业
1、设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试画出闭环根轨迹。

1)
2)。