一元二次方程根的判别式学案
22.2.4 一元二次方程根的判别式 华师大版数学九年级上册教案
4.一元二次方程根的判别式※教学目标※【知识与技能】理解并掌握一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式判断方程是否有实数根和两个根是否相等.【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的探究过程，使学生能归纳出一元二次方程根的判别式.2.能运用一元二次方程根的判别式的知识在不解方程的情况下判断出一元二次方程根的情况，并能根据方程根的情况，探究所需的条件.【情感态度】学生通过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步增强自主探究以及与他人交流的能力.【教学重点】理解并掌握一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式判断方程是否有实数根和两个根是否相等.【教学难点】一元二次方程根的判别式的探究与归纳.※教学过程※一、复习引入1.用公式法解下列方程：答案：(3)无解.2.探究一元二次方程的根.（1）当时，方程有两个不相等的实数根：(2)当时，方程有两个相等的实数根:;(3)当时，方程没有实数根.二、探索新知这里的叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程的实数根的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根.【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：解：（1）原方程可变形为因为所以方程有两个不相等的实数根.（2）因为所以方程有两个相等的实数根.（3）原方程可变形为因为所以方程没有实数根.三、巩固练习不解方程，判断下列方程的根的情况：答案：（1）方程有两个不相等的实数根（2）方程没有实数根（3）方程有两个相等的实数根（4）方程没有实数根四、应用拓展【例2】已知关于x的方程(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？(3)当k取何值时，方程没有实数根？分析：已知一元二次方程的根的情况，反过来可以确定根的判别式的值的符号：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，当一元二次方程有两个相等的实数根时，当一元二次方程没有实数根时，解：因为所以(1)若方程有两个不相等的实数根，则Δ>0,即(2)若方程有两个相等的实数根，则Δ=0,即(3)若方程没有实数根，则Δ<0,即综上所述：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.五、归纳小结利用一元二次方程的根的判别式来解题的一般步骤:1.将方程化成的形式；2.判断a的值是否为零；3.若a≠0,则再考虑的取值.※课后作业※教材第36页习题22.2的第7、8、9题.。
一元二次方程的根的判别式(一)教案人教版
五、总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的根的判别式的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对判别式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
七、课后拓展
1. 拓展内容：
- 阅读材料：《一元二次方程的应用案例解析》、《复数根在实际问题中的应用》等文章，帮助学生了解一元二次方程在实际生活中的应用和复数根的实用价值。
- 视频资源：《一元二次方程的根的判别式讲解》、《一元二次方程解法演示》等视频，为学生提供直观的教学演示和实ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分析。
2. 拓展要求：
五、教学流程
一、导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根的判别式（一）》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一元二次方程根的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根的判别式的奥秘。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根的判别式的基本概念。判别式是……（详细解释概念）。它能帮助我们判断一元二次方程的根的情况，即判断方程有几个实数根、几个虚数根或者无实数根。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了判别式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
- 鼓励学生进行小组合作学习，共同探讨一元二次方程的应用案例和实际问题解决方案。学生可以分享自己的思路和方法，互相学习和借鉴。
一元二次方程根的判别式教学案例及反思
学生认知障碍点：学生形成本节课知识时最主要的障碍点，可能是知识基础不足、旧的概念或者能力方法不够、思维方式 变化等。
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对 b2 4ac 的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究 b2 4ac 作用，它是
前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、 动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
教学环节
教师活动
预设学生行为 设计意图
同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现
这样设计，能马上激发学
在章老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方会 争先 恐后 地编生的学习兴趣和求知欲， 设置悬念，引发兴趣
程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情题考老师
为后面发现结论创造一个
是：它能决定方程生明白：b2 4ac 的值的
（1）由此可见：在解
是否可解。
符号在解一元二次方程中
一元二次方程ax2 bx c 0a 0时，代数式b2 4ac
所起的重要作用，从而很
起着重要的作用，显然我们可以根据 b2 4ac 的值的符号来判
断 一元二次方程ax2 bx c 0a 0 的根的情况，因此，
况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我。
最佳的心理状态。
你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同
这样设计，使学生亲身感
学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的
知一元二次方程根的情
设 置 练 习 , 创 设 情奥秘。
境。
用公式法解一元二次方程（用投影仪打出）
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系学案
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系习题课 教学目标1 巩固复习一元二次方程根的判别式及根与系数的关系式。
2 熟练运用一元二次方程程根的判别式及根与系数的关系式解决相关问题。
教学重点灵活运用一元二次方程程根的判别式及根与系数的关系式解决问题。
教学过程一 知识点：1 关于x 的一元二次方程的一般式：)0(02≠=++a c bx ax2 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式用符号“△”表示。
△= 。
△>0 ⇔方程有两个 的实数根；△= 。
⇔方程有两个相等的实数根；△<0⇔方程 实数根。
3 设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根1x ，2xa c 2x 1 x ,ab 2x 1x =∙-=+ 二 一元二次方程的根的判别式练习1、不解方程判断下列一元二次方程根的情况。
练习2、若关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值是 。
三 根与系数的关系式应用练习（1）一元二次方程0222=-++m x x 的一个根是3，则它的另一根是______。
（2）求作一个一元二次方程，使它的二次项系数是3，常数项是-4，它的一个根是-1，写出这个方程。
043x x 2=-+065x x 2=+-（3）设βα, 是方程 01322=--x x 的两根，不解方程，求下列各式的值： ①βα11+； ②22βα+ ；（4） 讨论方程04)1(4)1(22=----x m x m 的根的情况并根据下列条件确定m 的值。
（1）两实数根互为倒数，（2）两实数根互为相反数，（3）两实数根中有一根为1。
三 小结一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系的应用类型及解题过程中应注意的问题。
a 计算“△=acb 42-”的前提是一元二次方程。
b 。
一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。
c 一元二次方程的根与系数的关系的前提是△≥0。
根的判别式(导学案)
课题：一元二次方程根的判别式学生学案教师教案学习目标使学生能用⊿=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况让学生经历猜想和推理技能的训练，从而熟练运用根的判别方式学习重点重点：能用⊿=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况难点：判别式的应用预习一、独学1．阅读教材31-33页【问题】用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？⑴2x2-3x=0 ⑵3x2-23x+1=0 ⑶4x2+x+1=0自学检测：完成P33练习题，写在教材上，新课之前组长检查并做好登记独学教材相关内容，掌握基本结构和知识，小组自查、互统计情况二、对学群学【探究】根据问题填写下表：【猜想】请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。
证明你的猜想。
方程b2-4ac的值b2-4ac的符号x1、x2的关系（填相等、不等或不存在）2x2-3x=03x2-23x+1=0通过群学，经历探索、猜想、总结得出根与系数的关系展示三、组内小展示仿照对学结论，不解方程，判定方程根的情况⑴16x2+8x=-3 ⑵9x2+6x+1=0组内交流展示，基本掌握根与系数关系的运用四、班内大展示仿照对学结论，不解方程，判定方程根的情况⑶2x2-9x+8=0 ⑷x2-7x-18=0全体同学相互学习、交流和展示，共同掌握本节知识，从而能够加以运用反馈学生总结，教师点评1、小结：使用一元二次方程根的判别式应注意事项。
2、列举一元二次方程根的判别式的用途。
回忆本节基本知识要点1、若关于x的方程x2-x＋k＝0没有实数根，则（）A.k＜41B.k ＞41C. k≤41D. k≥412、关于x的一元二次方程x2-2x＋2k＝0有实数根，则k得范围是（）A.k＜21B.k ＞21C. k≤21D. k≥213、ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.4、说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.进一步加强知识的运用，及时反馈相关信息，查漏补缺，使得学生获得提示进步！。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对一元二次方程根的判别式的好奇心，培养他们主动学习、乐于探究的良好习惯。
2.引导学生认识数学在现实生活中的广泛应用，增强他们学习数学的信心和责任感。
3.培养学生面对问题时的积极态度，使他们学会在困难面前不退缩，勇于挑战，形成正确的价值观。
4.成果展示：每组选派一名代表展示讨论成果，其他组员进行补充。
（四）课堂练习
1.练习题设计：设计不同难度的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生进行即时巩固。
2.练习过程：学生在规定时间内独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
3.反馈与评价：学生互相批改练习题，教师对共性问题进行讲解，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：对本节课的重点知识点进行回顾，如判别式的定义、性质和应用。
2.方法总结：引导学生总结运用判别式判断一元二次方程根的情况的方法。
3.情感态度与价值观：强调数学在现实生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣和责任感。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的方法。
1.采用问题驱动的教学策略，激发学生的学习兴趣，引导他们主动探究一元二次方程根的判别式的规律。
2.通过举例、练习和讨论，帮助学生掌握判别式的应用方法，培养他们分析问题、解决问题的能力。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解一元二次方程的一般形式，理解判别式的定义及其数学意义。
《 一元二次方程根的判别式教案 (公开课获奖)2022华师大版 》教案
一元二次方程根的判别式【知识与技能】1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入，初步认识用公式法解下列一元二次方程（1）x2+5x+6=0（2）9x2-6x+1=0（3）x2-2x+3=0解：（1）x1=-2,x2=-31（2）x1=x2=3（3）无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识.二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c的值，然后求出b2-4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：【归纳结论】（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根:a acbbx24 21-+-=,aacbbx2422---=;（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x1=x2=-ab2; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根.例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况：解：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根；（4）有两个不相等的实数根.例2 当m为何值时，方程（m+1）x2-（2m-3）x+m+1=0, （1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？解：（1）m＜41且m≠-1;（2）m=41;（3）m＞41.【教学说明】注意（1）中的m+1≠0这一条件.三、运用新知，深化理解1.方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【答案】1.B2.证明：∵x2+2x-m+1=0没有实数根，∴4-4（1-m）＜0,∴m＜0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0，Δ=m2-8m+4,∵m＜0,∴Δ＞0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动，课堂小结1.用判别式判定一元二次方程根的情况（1）Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.（3）Δ＜0时，一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力.有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
一元二次方程根的判别式学案
一元二次方程根的判别式学习目标：1、能说出一元二次方程根的判别式及判别式定理2、不解方程，会用根的判别式判断一元二次方程根的存在情况3、会根据根的存在情况确定方程中字母的取值或取值范围一、自主先学，展示点拨1、通过看书自学，思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根，包括哪两种情况？当△≥0时，方程的根有哪两种情况？2、方程x2+Px+q=0，当满足关系式————————时，有两个不相等的实根; 满足关系式————————时，有两个相等的实根; 满足关系式————————时，无实根; 满足关系式————————时，有实根。
二、典例分析：例1、不解方程，利用一元二次方程根的判别式，判断下列方程的根的情况5(x2+1)-7x=0 针对训练：2x2+3x-4=0 16y2+9=24y思考：求△时，应先将方程化成什么形式？然后确定好哪三个数值？例2、K为何值时，（1）方程kx2-（2k+1）x+k=0有两个不相等的实根（2）方程(k-4)x2=（2k-1）x-k有两个相等的实根注意：若一元二次方程二次项系数含有字母，在确定该字母的取值范围时，一定注意考虑什么条件？三、分层练习：A层：1、已知关于X的方程x2+（m+1）x+(m-2)2=0有两个相等的实数根（1）求m的值（2）求出这时方程的根B层：K为何实数时，下列方程有二实根？无实根？（1）x2+（2k-5）x+k2=0 (2) 2kx2 +（8k+1）x=-8k思考：“有二实根”、“有二相等实根”、“有二不等实根”三种说法有何本质区别？C层拓展：1、已知方程x2 +2x =k-1没有实数根，求证方程x2 +kx = 1-2k必定有两个不相等的实根。
2、已知a、b是△ABC的两边，且方程（a2+b2）x2 +2a(a+b)x+b(a+b)=0有相等的实数根求证：△ABC是等腰三角形回扣目标，自评归纳：。
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一元二次方程根的判别式学案
一．探究新知：
填空：
1.关于x 的一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 的求根公式是 ；
当042>-ac b 时，=1x ，=2x ，1x 与2x 的关系是 ；
当042=-ac b 时，=1x ，=2x ，1x 与2x 的关系是 ；
若042<-ac b 呢？
总
结
： 。
二，学以致用
例1.不解方程，判断方程根的情况
1.01322=--x x ， 0442=+-x x 012=++x x
22)1)(1(y y y -=-+ )13(492-=x x 012=-+bx x
0122=-+-k kx x
例2：关于x 的一元二次方程068)6(2
=+--x x a 有实数根，求a 的取值范围。
关于x 的方程068)6(2
=+--x x a 有实数根，求a 的取值范围。
关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有2个不相等的实数根，求k 的取值范围。
若关于x 的方程022)2(22=-++-m x m x 有两个相等实数根，求m 值，并求出这时方程的根
已知：关于x 的一元二次方程01)2(2=---+m x m x ，求证：不论m 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根。
已知c b a ,,为三角形ABC 的三边，且方程
0))(())(())((=--+--+--a x c x c x b x b x a x 有两个相等实数根，
试判断该三角形的形状。
已知等腰三角形ABC 中，,8=BC AC AB ,的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两个根，求m 的值，并求出三角形的周长。
若代数式4)1(2)12(2+++-m x m 是完全平方式，求m 的值。
已知分式
c
x x -+212中，不论x 取何值分式总是有意义，求c 的取值范围。
练习：若关于x 的方程022
=++k x x 有两个不等实数根，求k 的取值范围
若关于x 的方程02)1(2=+--m mx x m 有两个实数根，求m 的取值范围
若关于x 的方程01)6(92=+++-b x b x 有两个相等实数根，求b 值，并求出这时方程的根
若关于x 的方程02)12(22=+-+-x x x x k 有实数根，求k 的取值范围。
关于x 的方程0122=+-x ax 有2个不等实数根，求a 的最大整数值。