21.2.1 解 一元二次方程(2)导学案
21.2.1用配方法-解一元二次方程
（１）方程 x 2 0.25的根是 X1=0.5, x2=－0.5
（２）方程 2 x 18 的根是 X1＝3， x2＝—3
2
（3） 方程 (2 x 1)Leabharlann 2 9的根是 X1＝2， x2＝－1
解下列方程：
1、9x2＝9
x1=1, x2=-1
2、 (x+5)2＝9
x1=-2, x2=-8
3、16x2-13=3
x1=1, x2=-1
4、(3x+2)2-49=0
x1=-3, x2=5/3
5、2(3x+2)2=2
x1=-3, x2=-1/3
6、81(2x-5)2-16=0
x1=49/18, x2=41/18
a 2ab b (a b)
2 2
2
4 22 完成填空： 1、x2-4x+___=(x-__)
-4x=2xb
6 2 12x=2xb 2、x2+12x+___=(x+__) 36 4 2 3、y2-8y+___=(y-__) 16 4、x2+1/2x+___ 1/16 =(x+___) 1/4 2
思考：你所填写的b、b2与一次项 的系数有怎样的关系？
(1)x² +10x+
(2)x² -12x+
2
a
这种方 程怎样 解？
的形式．（ａ为非负常数）
把一元二次方程的左边配成一个 完全平方式,然后用开平方法求解,这 种解一元二次方程的方法叫做配方法.
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2 (2)x2－4x＋ 4 =(x－ 2 )2 6 ＋ 9 =(x－ 3 )2 (3)x2－___x
21.2.1配方法解一元二次方程
1
配方法解一元二次方程
学习过程 【自主学习】
（一）复习：知识回顾：完全平方公式： 和 1.解下列方程:
(1)2
430x -= （2）2
693x x -+=
2．填上适当的数，使下列等式成立：
(1) 212x x ++____ = 2
(6)x + (2) 2
4x x -+____ = (x -___)2
(3) 28x x ++____ = (x +____)2 （4）22
____)(_____4
5
+=++
x x x 由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：
（二）探索新知：请阅读教材第3２页，解方程2
450x
x +-=，完成下面框图：
2450x x +-=
归纳总结：
1、通过配成＿＿＿＿＿＿＿形式来解一元二次
方程的方法，叫做配方法。
2、配方是为了降次．．，把一个一元二次方程化为______________方程来解。
三．自学课本例题1: 1.观察方程（1）的解题过程，归纳用配方法
解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是： ①、移项，把＿＿＿＿＿移到方程右边；
②、配方，在方程的两边各加上＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，使左边成为完全平方；
③、利用直接开平方法解之。
2．观察方程（2）（3）的解题过程，归纳：方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项除以____________，将方程的二次项系数化为____。
2。
第21章 一元二次方程全章导学案
x 21．1 一元二次方程（1）学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点：重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．活动1 ：并完成以下内容。
问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程_____________________________ 整理得 _____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。
人教版九年级上册数学 21.2.1 第2课时 配方法 优秀教案
第2课时配方法1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．一、情境导入李老师让学生解一元二次方程x2－6x －5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？二、合作探究探究点：配方法【类型一】配方用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( )A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D.方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【类型二】利用配方法解一元二次方程用配方法解方程：x－4x＋1＝0.解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝± 3.∴x1＝2＋3，x2＝2－ 3.方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．【类型三】用配方解决求值问题已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求x－2yx2＋y2的值．解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2且y＝3，∴原式＝－2－613＝－813.【类型四】用配方解决证明问题(1)用配方法证明2x2－4x＋7的值恒大于零；(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5.∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5，故2x2－4x＋7的值恒大于零．(2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8等．【类型五】配方法与不等式知识的综合应用证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程．解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2－8m＋17的值不等于0.证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1＞0，即m2－8m＋17＞0.∴不论m为何值时，原方程都是一元二次方程．三、板书设计握完全平方式的形式.。
21.2.1解一元二次方程配方法教案
c.根据完全平方公式，将左边分解为两个一次因式的乘积；
d.分别令每个一次因式等于0，求出方程的解。
3.应用配方法解决实际问题，并检验解的正确性。
本节课将结合具体例题，让学生在实际操作中掌握配方法解一元二次方程的方法。
二、核心素养目标
其次，学生在将实际问题抽象成数学模型时遇到了困难。在实践活动和小组讨论中，我鼓励学生积极思考，尝试将生活问题转化为一元二次方程。通过这个过程，我发现学生们在解决问题的过程中逐渐学会了如何建立数学模型。今后，我可以通过提供更多类型的问题，帮助学生进一步掌握这一技能。
在小组讨论环节，我观察到学生们在交流中互相启发，共同解决问题。这种合作学习的方式不仅提高了学生的沟通能力，还让他们在实际应用中加深了对配方法的理解。不过，我也注意到一些学生在讨论中不够积极主动，我需要思考如何更好地调动这部分学生的参与性。
-重点二：详细讲解配方法的四个步骤，特别是如何将方程转化为完全平方公式的过程。
-重点三：通过具体例题，展示如何应用配方法求解一元二次方程，并检验解的正确性。
-重点四：强调配方法在解决实际问题中的重要性，并培养学生的数学建模能力。
举例：在讲解配方法时，重点强调如何将一般的一元二次方程转化为(x + m)^2 = n的形式，以及如何求解出x的两个值。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《解一元二次方程——配方法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如购物时如何分配预算）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程配方法的奥秘。
直接开平方法解一元二次方程导学案
21.2.1 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程知识点梳理 ：解一元二次方程- - -直接开平方法形如x 2＝p 或（nx+m ）2＝p （p ≥0）的一元二次方程可采用 的方法解一元二次方程．◆如果方程化成x 2＝p 的形式，那么可得 ；◆如果方程能化成（nx+m ）2＝p （p ≥0）的形式，那么 ． ◎◎◎注意事项：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ①降次的实质是由一个二次方程转化为 个一元一次方程． ①方法是根据 的意义开平方．知识点训练：知识点1：解形如x 2＝p （p ≥0）的一元二次方程1．方程 12x 2﹣2＝0的根为（ ）A ．x ＝±1B ．x ＝±2C ．x ＝±√2D ．x ＝±2√22．方程9x 2﹣16＝0的根是 ． 3．解下列方程：（1）x 2﹣3＝5； （2）3x 2﹣1＝26； （3）12x 2﹣8＝0．4．已知x ＝3是一元二次方程x 2﹣p ＝0的一个根，求p 的值和方程的另一根．知识点2：解形如（nx+m ）2＝p （p ≥0）的一元二次方程5．一元二次方程（x+1）2＝4的解为 ．6．若关于x 的一元二次方程ax 2+k ＝0的一个根为1，则方程a （x ﹣1）2+k ＝0的解为 ． 7．解下列方程：（1）3（x ﹣1）2＝12； （2）2（x ﹣1）2=18． （3）14（3x+1）2＝64知识点提升训练：【●基础题●】1．如果2是方程x 2﹣c ＝0的一个根，这个方程的其他根是（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．±√22．方程（x ﹣1）2＝0的根是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x 1＝x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣13．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是m+1与2m﹣7，则m的值是．4．已知关于x的方程（x﹣1）2＝5﹣k没有实数根，那么k的取值范围是．5．已知一元二次方程mx2+n＝0（m≠0），若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（）A．n≠0B．m、n异号或n＝0C．n是m的整数倍D．m、n同号6．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的长．【●提升题●】7．若关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则关于x 的一元二次方程a（x﹣h+3）2+k＝0的解是．8．若（x2+y2﹣5）2＝64，则x2+y2等于（）A．13 B．13或﹣3 C．﹣3 D．以上都不对9．解下列方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0；（2）x2−8x+16=510．已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．【●拓展题●】11．对于实数a，b，定义运算“◎”如下；a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．（1）√3◎√2=．（2）若（m+2）◎（m﹣3）＝24，求m的值．。
九年级数学上册 21.1 一元二次方程 精品导学案2 新人教版
一元二次方程学习目标：1、知识和技能：了解一元二次方程根的概念；根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。
2、过程和方法：经历探究方程的解的过程，增进对方程的解的认识，发展估算的意识与能力。
3、情感、态度、价值观：培养学生积极参与活动的意识。
学习重点：判定一个数是否是方程的根；学习难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。
导学方法：课时：导学过程一、课前预习：阅读课本P25——28的有关内容，完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。
二、课堂导学：1、导入通过上节课的学习，我们认识了一元二次方程，并感受到一元二次方程在解决实际问题时的重要性，列出方程时，怎样求出方程中的未知数的值呢？2、出示任务自主学习阅读课本P27—28的有关内容，完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。
什么是方程的解？你能从表格中发现方程的解吗？什么是一元二次方程的根？该方程只有一个根吗？对于排球邀请赛问题来说，答案是什么？由此你有什么思考?3、合作探究《导学》难点探究和展题设计.三、展示与反馈：检查自学情况，解决学生疑问。
四、学习小结：1、一元二次方程根的概念；2、会判断一个数是否是一元二次方程的根；3、要会用一些方法求一元二次方程的根．五、达标检测1．方程x（x-1）=2的两根为（）．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=22．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．3、若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2009(a+b+c)的值课后作业：习题21.1《导学》板书设计：21.1一元二次方程（2）1、一元二次方程根的概念；2、会判断一个数是否是一元二次方程的根；教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
21.2.1+解一元二次方程(配方法)-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件
新知探究
怎样解方程: x2+6x+4=0 (1) 问题 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解： x2+6x+4=0
移项
x2+6x=-4
两边都加上9
x2+6x+9=-4+9
二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方.
归纳小结
通过配成完全平方形式来解决一元二次方程的方法，叫做
定义
通过配成完全平方形式解 一元二次方程的方法.
配 方 法
步骤
特别提醒：
一移常数项； 二配方[配上 （二次项系数）2 ]；
2
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
一元二次方程
谢谢观看
21.2.1 配方法 第2课时
课堂练习
(3) 2x2＋x＋1＝6x－1. 解：移项、合并同类项，得 2x2－5x＝－2. 二次项系数化为 1，得 x2－52x＝－1. 配方，得 x2－52x＋542＝－1＋542，x－542＝196. 由此可得 x－45＝±34，x1＝2，x2＝12.
课堂练习
4.用配方法解方程：2x 2－x －1＝0. 解：移项，得____2_x_2_－__x_＝__1__. 二次项系数化为 1，得____x_2－__12_x_＝__12___.
配方，得_____x_2_－__12_x_＋__14_2_＝__21_＋__14_2_____， (______x_－__41_____)2＝_______1_96______. 由此可得____x_－__41_＝__±_34___，x 1＝____1___，x 2＝___－__12___.
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万全区第三初级中学九年级(上)数学学案
姓名_______ 年级_____ 班级_____教师________
课题 21.2.1 解 一元二次方程（2） 课时 授课时间
月 日 节 主备人
学习 目标 1、熟练掌握完全平方公式，会将一个二次三项式配成一个完全平方 2、理解配方法的根据就是直接开平方。
3、会用配方法解一元二次方程。
注意变形形式的求解
重点
会用配方法解一元二次方程。
难点
变形形式的求解
学习过程及内容
学教记录 自主学习
1、若x 2
=a (a ≥0)，则x =_______.
若（x +1）2
=a (a ≥0)，则x =_______，即 x 1＝_______，x 2＝________.
直接开平方法解一元二次方程要求方程左边是一个含有未知数的 ，右边是一个 。
2、解方程：（1）、2
3270x -= （2）、2
(3)25x +=
3、思考下面方程如何求解，并思考它们之间的联系
（1）、26925x x ++= （2）、2
616x x +=
合作探究：
1、 象上面的方程求解，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法；
配方法是为了 ，把一个一元二次方程转化为两个 来解。
2、配方法是将方程左边变成含有未知数的 ，右边是 ， 再用直接开平方法求解。
3、例1、在空格处填上适当的数字，使式子成为完全平方。
（1）、2
6x x -+ =(x - ）2； （2）、2
x + +25=(x + ）2
（3）、2
36x x -+ =3(x - ）2 （4）、2
23x x -+ =2(x - ）2
代数式
写成22
2x xy y ±+形式
x y 写成2
()x y ±形式
28x x -+ 22244x x -⋅⋅+
x 4
2(4)x -
23b b -+ 25x x ++
23
2m m -+
22
3
y y -+
2x ax ++。