开普勒定律和极坐标在天体运动中的应用

开普勒定律和极坐标在天体运动中的应用
肖雷
有关行星和卫星等天体运动的问题是力学课程中最有趣味的课题之一。

可惜许多教科书都把这类问题与牛顿万有引力定律联系起来。

在教学中，为了把轨道概念较早地引入力学课程之中，通常不得不把问题局限为圆周轨道，这样往往会使一些学生误以为只存在圆形轨道，或者至少以为只有圆形轨道才是重要的。

我认为把行星和卫星的椭圆形轨道运动问题，建立在开普勒三个定律的基础上，而不是放在牛顿万有引力定律的基础上，这样会更好一些。

当然，开普勒定律和牛顿万有引力定律是紧密相关的。

但是我认为应当首先在开普勒定律的引导下讨论椭圆运动，这样不仅思路清晰，而且能使问题简化；同时应用其所对应的极坐标方程来解决其中的数学问题，可以避免冗长而繁琐的数学运算。

当然，要应用开普勒定律解决椭圆轨道问题，我们首先得熟悉其所对应的极坐标方程的数学形式： 第一定律：θcos 1e p r +=
， e ＜1 (1) 第二定律：c dt d r =θ2
， (2) 第三定律：k T a =23
， (3)
其中e 是离心率，p 是正焦弦，a 是半长轴， T 是椭圆轨道的周期； c 是因各个行星(卫星)而异的常数，k 是对每个行星(卫星)都相同的常数．
此外，轨道上任一点的速度表达式为：
)1
2
(2a r k v -=。

（4）
由于某些有关椭圆轨道的问题，实际上纯粹是几何问题，显然可用几何方法求解。

例如：
1.已知轨道的某些性质(最远点，最近点，离心率，周期，半长轴，或者在某特定点的速度)，求其它性质；
2.由于速度改变，从一轨道换到另一轨道；
3.在行星之间或者在卫星之间对轨道作霍曼(hohmann)半椭圆变换；
4.同步通讯卫星。

对于这些问题，如果我们应用开普勒定律的极坐标表达的数学形式来解就比使用牛顿运动定律的数学表达式要容易的多。

例1、“下落”的地球
假设地球突然停止其轨道运动。

试证明：它下落到太阳所经历的时间为
/4年（设太阳为质点）。

这是一个简单而古老的问题，为了使用开普勒定律求解，假定地球并没有完全“停止”在其轨道上，而是在某点A 上保留有一非常小的切向速度(图1)．那么地球将进入围绕太阳的椭圆轨道，该轨道的最远点为A ，最近点为P ，地球在这一新轨道上的运行周期T /
3322a a T T '='
(5)
式中a '是新轨道的半长轴．T 和a 是地球原轨道
的周期和半长轴.因此地球从A 点运动到P 点所
需时间为：
3321
21
a a T T '
=' (6)
现在想象地球在A 点的速度越来越小，因此其最近点P 离太阳越来越近(图
2)．当地球在轨道上完全停止的极限情况下，地球便沿直线落向太阳（即2a '→a ）．
因此有： T T 4221→' (7)
即：4221='T 年 。

显然，以上分析过程同样适用于在环绕地球的轨道上运动的卫星．倘若卫 星在h 高处(h 》r ，r 为地球半径)停止轨道运动，取地球为质点，这种模型显然 是一恰当的近似；不过，这一模型不适用于卫星在接近地球的轨道上运动的情 况．
说明：对于这一问题，如果我们应用牛顿运动定律将其转化圆轨道来解决， 不仅会使问题变得非常复杂，而且其数学运算还必须利用高等数学才能解决。

例2．火箭飞离地面的高度
设一枚火箭从地球表面竖直向上发射，到达距离地球中心为h 高处(h 》r ，r 是地球半径)．试求：火箭能达到这个高度所经过的时间和需要的初速度．
图1
分析：设想火箭在地球表面上以偏离竖直线小角度α的方向发射，因此它应进入一椭圆轨道，该轨道的最远点A 在距离地球中心为h 的高处，最近点P 应在地球中心的另一侧，当然这一段轨道只是理论上存在的，实际上这枚火箭将落回到地球的表面(图2)．火箭在这一轨道上的周期t '可由式（3）用半长轴)21
(AP a =表达： e k a t 3224'
='π (8) 式中k e 可由月球绕地轨道的有关参数求得．
①现在设想初速度越来越接近于竖直方向，即a →0 ；
则有 ： 2a '=AP →h
因此： e k h t 23π→' （9）
因此火箭从地球中心运动到其最高位置所需时间为：
e k h T 221
21
3
π=' （10）
因为在理论上取r 《h ，火箭从地心到地面经历的时间比起火箭飞行的总时间来是非常小的，所以以上结果也非常近似于地面上发射火箭的情况．
②为了求出火箭在地面上发射的初速度v ，将2α'= h 代入式(4)，即得:
)1
1(22h r k v e -= （11）
例3．轨道贴近地面的卫星
一卫星在恰绕地面的圆形轨道上运动．试求：其水平初速度需要多大？ 此解可由式(4)直接求得：r k v e =
其中r 是地球半径，k e 可由月球的轨道参数求
出．
例4．逃逸速度
假设沿着轨道切线速度方向突然给地球以推动力．试证明：只要速度增大为地 球原速度的（1/2）1/2倍，地球就会脱离绕太阳的轨道。

由式(4)知地球在其圆形轨道上的速度为： 图2
r k v s
= （12）
式中r 是地球轨道的半径． 当地球受到推动而进入新的椭圆轨道时，其新的速度应为：
)1
2(a r k v s '-= （13）
式中α'是这个椭圆轨道的半长轴，设想这一新椭圆轨道逐渐扩展，离太阳越来越远，因此在极限情况下有：
a '→∞ ，
则 ： r k v s
2→
由此即得逃逸速度为：
v v eSC 2=' 。

注意：这个方法说明逃逸速度v esc 与方向无关。

应用地球轨道参数算出常数ks ，即可计算出v esc 的大小。

以上分析同样可用于能使在轨道上的卫星或者从地面发射的卫星逃地球所需要的推动速度．在这种情况下，逃逸速度的表达式为：
r k v e eSC 2= .
其实，通过上面列举的一些问题的分析，我们还不难发现：相比应用牛顿运动定律来解决行星和卫星运动问题而言，在选用开普勒三定律进行分析讨论后，不仅能使我们在看待和分析这些问题时的思路更加清晰而简单，而且能避免冗长而繁琐的数学运算。

所以笔者把行星和卫星的椭圆形轨道运动问题，建立在开普勒三个定律的基础上，而不是放在牛顿万有引力定律的基础上，这样会更好一些。