数阵问题 整理版
经典奥数数阵图问题例题
1．把1至6分别填入图18-1的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．[分析与解]记横行的中间一个数为a，则有1+2+3+…+6+a＝21+a＝2倍对应和，所以a 可以填奇数，即1，3，5，对应和为11，12，13，下面给出几种填法：其中的每个图形的横行左右可调换位置，每个竖列的后三个数字位置任意排列．2．把l0至20这11个数分别填入图18-2．的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可能的填法．[分析与解]设中间圆圈内的数为a，有a被加了5次，而其他位置圆圈内的数字在计算5次和是都只被加了1次，所以有5个和＝(10+11+…+19+20)+4a＝165+4a，因为5个和，165都是5的倍数，所以4a也应该是5的倍数，则a应是5的倍数，所以a可取10，15，20．当a为10时，有5个和＝165+4×10＝205，所以每条线段上的和为205÷5＝41，如下左图；当a＝15时，有5个和＝165+4×15＝225，所以每条线段上的和为225÷5＝45，如下中图；当a＝20时，有5个和＝165+4×20＝245，所以每条线段上的和为245÷5＝49，如下右图．3．请分别将l，2，4，6这4个数填在图18-3的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．[分析与解]在计算3个圆圈内的数字和时，已经填出的3个数字各计算了2次，中间的数字计算了3次，另外3个位置只计算了1次，中间的数字较另外3个位置多计算了2次．设中间那个数为a，有2a+2×(5+7+3)+(1+2+4+6)＝15+15+15，即2a+43＝45，有a＝1．于是得到下图：4．在图18-4的7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数．那么标有*的圆内填的数是多少?[分析与解]我们知道在计算图中所有线段两端数字的和时，每个圆圈内的数字都被加了2次，于是有这7个连续自然数和的2倍为10+6+9+12+8+11+14＝70，即这7个连续自然数的和为35，则中间数为35÷7＝5，于是这7个数为2，3，4，5，6，7，8．能得到14的只有6+8，如果*填8那么和为14的线段另一端为6，则和为11的线段另一端为5，和为8的另一端为3，则和为12的线段另一端无法填出；所以，*只能填6，可以如上分析得到填完的下图：5．图18-5的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填入圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．[分析与解]当六条线上的数分别相加时，数6只加了1次，其余各数分别加了两次．又已知每条对角线上各数之和都等于23，所以这九个连续自然数之和应是(6×23+6)÷2＝72．于是九个数的中间数是72÷9＝8，由此可知这九个连续自然数是4，5，6，7，8，9，10，11，12．其中显然只有11+12＝23，故x＝11，y＝12和x=12，y＝11．首先考虑x＝11，y＝12的情况．注意7若不与x或y在一条线上，则23－7＝16，只能表示成10+6，而过7的线段却有两条，所以必须f＝7，于是c ＝4，d＝5，再由a+b＝23－6＝17，可知a、b均不为10，e＝10，a＝8，b ＝9，于是得到下图：当x＝12，y＝11时，同理可得：6．将1，2，3，…，9，10这10个数分别填入图18-6中的圆圈内，使得每条线段两端的数相乘的积，除以13都余2．问这5个商数的和是多少?[分析与解]在2～90中被13除余2的数有2，15，28，41，54，67，80．其中可以被分解成1～10中两数乘积的有：2＝1×2，15＝3×5，28＝4×7，54＝6×9，80＝8×10，正好1～10中每个数字出现了一次，因此可得如下的结果，当然将下图对称变换，旋转变换得到的图形仍然符合题意．有2×1÷13＝0……2；3×5÷13＝1……2；4×7÷13＝2……2；6×9÷13＝4……2；8×10÷13＝6……2．这些商的和为0+1+2+4+6＝13．7．在图18-7的中间圆圈内填一个数，计算每一线段两端的两数之差(大减小)，然后算出这3个差数之和．那么这个差数之和的最小值是多少?[分析与解]中间数只要在19与65之间，19和65与它的差数(大数减小数)之和都是65－19＝46，所以中间的数填48，三个差数之和最小．那么差数之和为65－48+48－48+48－19＝65－19＝46．8．请在图18-8中的7个小圆圈内各填入一个自然数，使得图中给出的每个数都是相邻两个圆圈中所填数的差(大数减小数)，并且所填的7个数之和是1997．[分析与解]设1左边圈内的数为a，则从a开始顺时针依次对给出的七个差做加法或减法运算，最后结果仍等于a，也就是说，加上的数的和应等于减去的和．又1+2+3+4+5+6+7+8＝28，于是给出的七个数应当分成和为14的两组．经分析可知仅有4种不同的分法：①7+6+1＝2+3+4+5，②7+5+2＝1+3+4+6，③7+4+3＝1+2+5+6，④7+4+2+1=3+5+6．其中①又可以分为两种情况：☆加上2、3、4、5，减去7、6、1，这时七个数的总和时7a+32，★加上7、6、1，减去2、3、4、5，这时七个数的总和时7a－32．同样②③④也都分两种情况．②的第一种情况就是加上1、3、4、6，减去7、5、2，七个数的和时7a+16．因为1994＝7×285+2，所以①的两种情况都无法使总和为1994，这是因为32－2与32+2都不是7的倍数，而②的第一种情况满足，此时a＝283(1994＝7×283+16)，具体填法如下：9．图18-9是奥林匹克的五环标志，其中a，b，c，d，e，f，g，J，h，i 处分别填入整数l至9．如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少？[分析与解]设每个圆内的数字之和为k，则五个圆圈内的数字之和时5k，它等于1~9的和即45，再加上两两重叠处的四个数之和．而两两重叠处的四个数之和最小是1+2+3+4＝10，最大是6+7+8+9＝30，所以，有5k在(45+10＝)55～75(＝45+30)之间的，那么k在11～15之间．验证，当k＝11，13，14时对应有如下填法，当时当k＝12，15时无解．所以，这个相等的和最大是14，最小为11．评注：这道题，同学往往只是计算到k在11～15之间，然后说最大为15，最小为11，但是没有进一步去验证是否存在这样的填法，导致错误，所以同学们以后在自己认为已经解决问题时，不妨验证一下，对于有些问题，不妨深究深究．[分析与解]10个连续自然数中，9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．图中三个2×2的正方形中四数之和相等，所以2+3+…+11再加上两个重复的数，和倍3整除．因为2+3+…+11＝65，要使和数最小，两个重复数的和应最小，这两个数可以取2与5，或3与4．这和数是24．和数为24是可能的，如下两图：[分析与解]图中十个数点和为45，除去中心圆圈中的数后是3的倍数，因此中心圆圈只可能为0，3，6，9．当中心为0时，每个阴影三角形三顶点和为15．考虑包括中心圆圈的三个阴影三角形中，除0以外另两个数和为15．而0～9中这样的数组只有(6，9)，(7，8)两组，因此中心为0时没有正确填图；当中心为9时，同理可知也不存在正确的填图；当中心为3时，阴影三角形三顶点和为14，含3的三个阴影三角形中另两个数和为11，这样的数组只有(2，9)，(4，7)，(5，6)．简单尝试可知中心为3时也没有正确的填图；当中心填6时，经尝试有如下的结果：13．如图18-13，大三角形被分成了9个小三角形．试将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等．问这5个数的和最大可能是多少?[分析与解]1~9和为45．设3个只属于一条边的数和为3k，则每条边上五个数字和为(45×2－3k)÷30＝30－k．3k最小时，取3k＝1+2+3＝6，一条边上的和为30－6÷3＝28；3k最大时，取3k＝9+8+7＝24，一条边上的和为30－24÷3＝22．因此这个和最大为28，最小为22．以和为28为例，此时三边中间的小三角形内的数为1，2，3，有上方两个三角形和+1+左边两个三角形和＝28；左边两个三角形和+3+右边两个三角形和＝28；右边两个三角形和+2+上方两个三角形和＝28；于是有2倍(上方两个三角形和+左边两个三角形和+右边两个三角形和)+1+3+2＝28+28+28，即上方两个三角形和+左边两个三角形和+右边两个三角形和＝39．可得上方两个三角形和为14，左边两个三角形和为13，右边两个三角形和为12．下面我们给出一种填法：每边和为22时，同理可得，我们给出一种填法：14．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分别填入图l8-14的8个空格中，使四边正好组成加、减、乘、除4个正确的等式．[分析与解]除式只有4种可能：8÷4＝2，6÷3＝2，8÷2＝4和6÷2＝3，其中后两种情况乘法式子将无法满足，前两种情况对应着如下两种填法：15．图18-15包括6个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使6个算式都成立．那么最右边的圆圈中的数最少是多少?[分析与解]如下图所示，设最左边的四个数为a，b，c，d，则第一组数算式计算结果为a+b，c+d，a+c，b+d．而最右边圆圈内数为，a+b+c+d，也就是四个数的和，因此我们可以重新理解题目为找到四个自然数，使它们两两相加的四个和与它们自身全不相等，求它们和的最小值．最小的四个数(1，2，3，4)易知不符合题意，同样(1，2，3，5)也不成立，当这四个数为(1，2，3，6)时有正确填图如下，因此最右边的数最小为12．。
(完整版)数列数阵数塔练习汇总
2、观察表一寻找规律（表二表三分别是从表一中选取的一部分）。
则a+b=＿＿＿。
表一 表二 表三3、一列自然数0,1,2,3…,2005，… ，2024。
第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2004。
现在将这列自然数排成以下数表：⑴ 第10行第1个数是？⑵ 第1行第20个数是？ ⑶ 2005在第几行第几列？4、有一串真分数：1/2 ,1/3, 2/3, 1/4, 2/4, 3/4,1/5, 2/5 ,3/5, 4/5 …那么第1001个分数是＿＿＿。
5、把5，6，7，8，9填入图中的五个○中，每个○中的数互不相同，且每条直线上的三个○中的数的和相同，则共有多少种不同的填法？数列、数阵练习题1、观察下列各数：1, 1, 5/7, 7/15, 9/31,…按你发现的规律计算这列数的第7个数为＿＿＿。
0 1 2 3 …1 3 5 7 …2 5 8 11 …3 7 11 15 …… … … … …11 14 a 11 1317 b0 3 8 15 … 1 2 7 14 …4 5 6 13 …9 10 11 12 … ……………6、如图是有名的“六角幻方”：将l到19这19个自然数填人图中的圆圈中，使得每一条直线上圆圈中的各数之和相等，美国数学爱好者阿当斯从l910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答．我们给大家填人了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”．7、将1-12这12个数分别填入图中的12个小圆圈里，使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和都相等，这个相等的和是多少？8、把5，6，7，8，9填入图中的五个○中，每个○中的数互不相同，且每条直线上的三个○中的数的和相同，则共有多少种不同的填法？9、观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.（1）1，1，2，3，5，8，（ ），21，34… （2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，（ ） （3）2，1，4，3，6，9，8，27，10，（ ）.（4）下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是： （1， 3，5），（2，6，10），（3，9，15）…问：第100个数组内3个数的和是多少？10、先观察算式，找出规律，然后填数。
五年级奥数数阵问题
课时3 数阵问题（一）【2 】一．数阵填“幻方”是同窗们比较熟习的一种数学游戏,由幻方演化出来的数阵问题,也是一类比较常见的填数问题.这里,重要评论辩论一些数阵的填法.解答数阵问题平日用两种办法：一是待定命法,二是实验法.待定命法就是先用字母（或符号）表示知足前提的数,经由过程剖析.盘算来肯定这些字母（或符号）应具备的前提,为解答数阵问题供给偏向.实验法就是依据题中所给前提选准冲破口,肯定填数的可能规模.把剖析推理和实验法联合起来,再由填数的可能情形,肯定应填的数.二．例题精析例1把5.6.7.8.9五个数分离填入下图的五个方格里,如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21.先把五格方格中的数用字母 A.B.C.D.E来表示,依据题意可知：A＋B＋C＋D＋E=35,A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42.把两式比拟较可知,E=42－35=7,即中央填7.然后再依据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格,如图b.小试牛刀把1——10各数填入“六一”的10个空格里,使在统一向线上的各数的和都是12.2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里,使在统一向线上的各数的和都是13.3.将1——7七个天然数分离填入图中的圆圈里,使每条线上三个数的和相等.例2 将1——10这十个数填入下图小圆中,使每个大圆上六个数的和是30.剖析设中央两个圆中的数为 a.b,则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2.即55＋a＋b=60,a＋b=5.在1——10这十个数中1＋4=5,2＋3=5.当a和b是1和4时,每个大圆上别的四个数分离是（2.6,8,9）和（3.5,7,10）;当a和b是2和3时,每个大圆上别的四个数分离为（1.5,9,10）和（4,6,7,8）.小试牛刀1.把1——8八个数分离填入下图的○内,使每个大圆上五个○内数的和相等.2.把1——10这十个数分离填入下图的○内,使每个四边形极点的○内四个数的和都相等,且和最大.3.将1——8八个数填入下图方格里,使上面四格.下面四格.左四格.右四格.中央四格以及对角线四格内四个数的和都是18.例3将1——6这六个数分离填入下图的圆中,使每条直线上三个圆内数的和相等.且最大.剖析设中央三个圆内的数是a.b.c.因为盘算三条线上的和时,a.b.c都被盘算了两次,依据题意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除以3没有余数.1＋2＋3＋4＋5＋6=21.21÷3=7没有余数,那么a＋b＋c的和除以3也应当没有余数.在1——6六个数中,只有4＋5＋6的和最大,且除以3没有余数,是以a.b.c分离为4.5.6.（1＋2＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6）÷3=12.所以有下面的填法：小试牛刀1.将1——6六个数分离填入下图的○内,使每边上的三个○内数的和相等.2.将1——9九个数分离填入下图○内,使每边上四个○内数的和都是17.3.将1——8八个数分离填入下图的○内,使每条安上三个数的和相等.例4将1——7分离填入下图的7个○内,使每条线段上三个○内数的和相等.剖析起首要肯定中间圆内的数,设中间○内的数是a,那么,三条线段上的总和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a=28＋2a,因为三条线段上的和相等,所以（28＋2a）除以3应当没有余数.因为28÷3=9……1.那么2a除以3应当余2.是以,a可认为1.4或7.当a=1时,（28＋2×1）÷3－1=9,即每条线段上其他两数的和是9,是以,有如许的填法.小试牛刀1.将1——9填入下图的○中,使横.竖行五个数相加的和都等于25.2.将1——11这十一个数分离填进下图的○里,使每条线上3个○内的数的和相等.3.将1——8这八个数分离填入下图○内,使外圆四个数的和,内圆四个数的和以及横行.竖行上四个数的和都等于18.例5如下图(a)四个小三角形的极点处有六个圆圈.假如在这些圆圈平分离填上六个质数,它们的和是20,并且每个小三角形三个极点上的数的和相等.问这六个质数的积是若干？剖析设每个小三角形三个极点处○内数的和为X.因为中央的小三角形极点处的数在乞降时都用了三次,所以,四个小三角形极点处数的总和是4X=20＋2X,解方程得X=10.由此可知,每个小三角形极点处的三个质数的和是10,这三个质数只能是2.3.5.是以这6个质数的积是2×2×3×3×5×5=900.如图（b）.小试牛刀1.将九个不同的天然数填入下面方格中,使每行.每列.每条对角线上三个数的积都相等.2.将1——9九个天然数分离填入下图的九个小三角形中,使接近大三角形每条边上五个数的和相等,并且尽可能大.这五个数之和最大是若干？3.将1——9九个数分离填入下图○内,使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和.。
小学数学 《数阵图》练习题(含答案)
小学数学《数阵图》练习题（含答案）数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.（一）封闭型数阵问题【例1】（★★★）小青蛙不小心爬到一个正方形数阵图中，必须把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13才能通过这个数阵图，你能帮它吗？【例2】（★★★）小乌龟被困在五个圆里面（如下图），五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，它必须找出规律，并求出x所代表的数才能脱困，你知道该怎么办吗？24273028262218 1720x【例3】（★★★）1～9分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些?【例4】（★★★）能否将数0，1，2，…，9分别填人下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等?【例5】（★★★），小熊和妈妈去外婆家要过一条河，必须要按照下面的要求填数才可以顺利通过，要求如下：20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已经填好），使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.3（二）辐射型数阵【例6】（★★★）将1～7这七个数字，分别填人图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等．【例7】 （★★★）把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可能的填法．【例8】 （★★★）左图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等.【例9】 （★★★）在下图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x 是多少？（三）其它类型的数阵图【例10】 （★★★）在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得按顺时针循环式成立：【例11】 （★★★★）将1～8这八个自然数填入左下图的空格内，使四边形组成的四个等式都成立：【例12】 （★★★★）下图包括6个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使6个算式都成立．那么最右边的圆圈中的数最少是多少?+=====----===×÷+=-+=+=1.请分别将1，2，4，6这4个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．2.把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等.3.把1至6分别填入下图的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．4.将1～7七个数字填入左下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等.5.将1～8八个数分别填入右上图的八个○内，使得图中的六个等式都成立.△代表几？37 5=== =+++++（一）封闭型数阵问题【例13】 （★★★）小青蛙不小心爬到一个正方形数阵图中，必须把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13才能通过这个数阵图，你能帮它吗？75623841或84362571分析：因为每边上的和为13，那么四条边上的数字之和为13×4=52，而1+2+…+7+8=36，所以四个角上的四个数之和等于52-36=16．在1～8中选四个数，四数之和等于16，且其中相邻两个的和与任意三个的和不等于13的只有：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6．经试验，只有右上图的两种填法．亮点设计：(1)求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的.（2）设计问题：正方形每条边之和是13，13×4=52，但是所有数的和是：1+2+…+7+8=36，为什么会出现结果不同的问题呢？仔细观察这个数阵，四条边上所有数相加的过程中四个角上的数都被重复加了一次，也就是四个角上的数是重复数，52-36=16即为这四个重复数的和. （3）强调分组法与试验法：知道了四个数的和之后，下一步就要先确定这四个数，采用分组法和试验法.分组法是将这个和根据要求拆成四个数，例如本题中要求其中相邻两个的和与任意三个的和不等于13，根据要求将16分成4个数的和：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6，但是未必每一组都是合适的，这就需要采用试验法，将它们一一进行试验.（4）小结：对于封闭型的数阵，重复数基本上都是两条线相交的点，这在后面的例题中有大量体现.[前铺]将1～6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11．614532分析：因为每边上的和为11，那么三条边上的数字之和为11×3=33，而1+2+…+5+6=21，所以三个角的三个数之和等于33-21=12，在1～6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5，经试验，填法见右上图.[拓展]将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出k 的取值范围.654321654321654321654321k=9 k=10 k=11 k=12分析：设三角形三个顶点的数字之和为s.因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍.于是有（1+2+3+4+5+6）+s=3k，化简后为s+21=3k.由于s是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出9≤k≤12.s和k有四组取值：通过试验，每组取值都对应一种填数方法（见右上图）.【例14】（★★★）小乌龟被困在五个圆里面（如下图），五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，它必须找出规律，并求出x所代表的数才能脱困，你知道该怎么办吗？242730282622181720x分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如：（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.所以x+18=17×2，x=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.[拓展]找规律求xx24123082616186452分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的差的2倍.比如：（26-18）×2=16.（30-26）×2=8.（30-24）×2=12.因为52÷2=26>24，所以x=26+24=50.经检验，（50--18）×2=64.【例15】（★★★）1～9分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些?分析：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，用s表示靠近大三角形三条边的五个数的和．因为有三个小三角形所填的数在求和时只用了一次(用a，b，c来表示这三个数)，其余均用了两次．于是，45×2-(a+b+c)=3 s．要使s尽可能大，只要a+b+c尽可能小．所以a+b+c=1+2+3=6，于是90-6=3 s，s=28．剩下的六个数分成三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么：4+8=12；6+7=13；5 +9=14．经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之一．[拓展一]如图是奥林匹克的五环标志，其中a，b，c，d，e，f，g，h，i处分别填入整数1至9，如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少?ihgfedcba分析：计算五个圈内各数之和的和，其中b，d，f，h被计算了两遍，所以这个和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+b+d+f+h，而这个和一定能被5整除，所以b，d，f，h中填入大数时能使这个和取得最大值，最大是6、7、8、9，各圆圈内的和也取得15，由于15=6+9=7+8，所以满足条件的所有数无法配成15，当和为14时可以找出满足条件的填法，所以和最大为14，当b，d，f，h取1、2、3、4时这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值11.[拓展二]有10个连续的自然数，9是其中第三大的数．现在把这10个数填到下图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个2×2的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少?分析：9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数是2、3、4、5……9、10、11，计算三个正方形中的和的和，这个和能被3整除，其中a和b被重复计算了两次，所以2+3+……11+a+b=65+a+b=3s，当a+b=1，4，7……时，65+a+b可以被3整除，因为要取最小值，所以a+b的值越小越好，但是不可能取1与4，所以，a+b=7时，这个和取得最小值，每个正方形中的和也取得最小值（65+7）÷3=24.【例16】（★★★）能否将数0，1，2，…，9分别填人下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形5619372481528763049分析：0+…+9=45，45-中心数=3个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所以中心数必须是3的倍数，只能是0，3，6，9.枚举法实验，中心数只能是3，6，答案如右上图.[拓展一]将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值.分析：先确定中间5个重复数，它们的和为（20+16+12+13+10）-（1+2+…+10）=16，所以中间5个重复数只能是1，2，3，4，6的组合.又因为有1个和为20，相应三角形上的三个数只能是4，6，10，逐一试验，答案如右上图.[拓展二]图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上．(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由． (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由．344341222311分析：（1）不能，如果能，则8个三角形顶点和的总和应该是8的倍数，但是这个总和有三组1、2、3、4组成，其中一组数被重复计算三次，一组数被重复计算两次，一组数仅被计算一次，因此该总和的值为6×（1+2+3+4）=60，不是8的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使8个三角形顶点上数字之和都相等. （2）能，见右上图.【例17】 （★★★），小熊和妈妈去外婆家要过一条河，必须要按照下面的要求填数才可以顺利通过，要求如下：20以内共有个○中（其中3已经填好），使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.分析：3组数都包括左右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等.现在还有1、5、7、11、13、17、19七个数供选择，两两之和相等的有1＋19＝7＋13，只有两组，淘汰这一组；还有1+17=5+13+7+11，于是得到右上图的填法.（二）辐射型数阵【例18】 （★★★）将1～7这七个数字，分别填人图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等．635412762534175243716（1） （2） （3）分析：设中心○内填a ，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中a 一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a 一定是3的倍数．而28÷3—9余1，那么2a ÷3的余数应该是2，因此，a=1，4或7．(1)当a=1时，28+2=30，30÷3=10，10-1=9，除中心外，其他两数的和应是9，只要把2，3，4，5，6，7六个数按“和”是9分成三组填入相应的○内就可以了．填法如图（1） (2)当a=4时，28+8=36，36÷3=12．填法如图（2）(3)当a=7时，28+14=42，42÷3=14．填法如图(3)．亮点设计：（1）建议教师首先让学生进行试做，并让学生尝试多种填法。
数阵问题
我是这样解的
请将14、13、512、12、712、23、34、56、1112这九个分数分别填入图中的九个圆圈内，使每个三角形顶点上的三个数之和都相等。
数阵问题
□吴国和
要将这九个分数填入图中，使每个三角形顶点上的三个数之和都相等并非易事。
我们不妨把题目所给的九个分数分别扩大到原来的12倍，使这九个分数变成3至11这九个连续的自然数，这样的话，要使每个三角形顶点上的三个数之和都相等就容易多了。
从图中可知，外围三个小三角形顶点上九个数之和，正好就是3至11这九个连续自然数的和——63，所以每个三角形顶点上的三个数之和是63÷3＝21。
在3至11这九个连续自然数中，三个数之和为21的可能情形共有八种：3＋7＋11，3＋8＋10，4＋6＋11，4＋7＋10，4＋8＋9，5＋6＋10，5＋7＋9，6＋7＋8。
而处于图形中间小三角形上的每个数，都应在三个三角形中出现，也就是说，填在中间的三个数，必须在上面八组和中至少出现3次。
由上面排出的八种情况不难分析出，填在中间的三个数，只能从4、6、7、8、10这五个数中选取。
又因为这五个数中满足三数之和等于21，所以这三个数要么是4、7、10，要么是6、7、
8。
由此可以得到两个答案，然后把每个自然数缩小到原来的112，还原成原分数。
先放大，后缩小，是解决问题的关键。
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51234231311121271223145123456（作者单位：江苏省海门市德胜小学）
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910。
数阵问题整理版
数阵问题整理版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数阵趣味导读：有些数按照一定的要求排列成各种各样的图形，就叫做数阵图，数阵填数的游戏是非常有趣的，有时也有一定的难度。
不过它能促使我们积极地思考问题，分析问题，拓展我们的能力。
有的同学说：这样的数阵图填写时只能采取试的方法，没有其他捷径好走。
其实这话不对。
填写数阵图时，我们应抓住数阵中的关键位置（例如两种线的交点，长方形和正方形的顶点），再根据题目的要求，进行必要的计算，先填写这些关键位置的数，再填写出其他位置的数。
一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。
【解法总结】：做数阵题目，我们的一般步骤是：①.先观察在图中有哪些格子重复了，重复了几次。
②.根据题中给出的数字以及图形来发现重复的这几个数有什么特点。
③.看看在给出的数中有哪些数符合我们特点，再通过试算，确定每个格子中的数。
【例题1】将1,2,3,4,5这五个数分别填入下图的各正方形中，组成一个“十字数阵图”使图中横行三个数的和与竖行三个数据的和相等。
解析：根据图形的特点，中间那个数是横行与竖行共用的，要使横行与竖行三个数的和相等，可以先确定中间的数，再让左右两数的和与上、下两数的和相等。
①中间填1，则剩下2,3,4,5，而2+5=4+3，共有8种填法。
②中间填2，则剩下1,3,4,5而这四个数无法组成□+□=□+□的形式所以中间不可填？③中间填3，则剩下1,2,4,5，而1+5=2+4，共有8种填法：④中间填4，则剩下1,2,3,5而这四个数无法组成□+□=□+□的形式所以中间可能填4。
小学奥数之数阵图解题方法(完整版)
小学奥数之数阵图解题方法1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】5-1-3-1.数阵图教学目标知识点拨例题精讲【答案】【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数8765432187654321（）（2）h gf ed c ba阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。
数阵问题(一)
数阵问题（一）把一些数按照一定的要求排成各种各样的图形，这类图形称为数阵图，简称数阵，数阵是由幻方演变而来，数阵图种类繁多，这一讲我们就来讨论学习数阵问题。
学习例题：例1．将1~9这九个数填在图中正方形的九个方格中，使得每个横行、竖行和对角线上三个数的和都相等。
例2．请用7、9、11、13、15、17、19、21、23构成一个三阶幻方。
例3．将1~25填入下图的方格内，组成一个五阶幻方。
例4．请将1~16这16个数排成一个四阶幻方。
例5．下图是一个九宫图，第一行第三列上的数是6，第二行第一列上的数是7，请你在其他位置上填上适当的数，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和为30。
67例6．请将下面的三阶幻方填写完整。
155319例7．请将下面的三阶幻方填写完整。
201118思考与练习：1．我们将奇数阶幻方正中央的数称为“中心数”，请通过罗伯法观察三阶幻方、五阶幻方、七阶幻方，回答下面的问题：（1）三阶幻方的幻和是中心数的倍。
（2）五阶幻方的幻和是中心数的倍。
（3）七阶幻方的幻和是中心数的倍。
2．按三个填数步骤把4~12这9个数填在图中3×3的格内，制成三阶幻方。
3．用一组互不相等的9个自然数构造一个三阶幻方，使幻方和为48。
4．将3、4、5、6、…、18这16个数编制成四阶幻方。
5．用将1~49填入下图的方格中，组成一个七阶幻方。
6．在图中空格内填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为27。
12137．将图中的数重新排列，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和相等。
14 14 1424 24 241919198．在图中空格里，填上适当的数，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和相等。
133179．在图中空格里，填上适当的数，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和相等。
1814610．将九个不同的非零自然数填入九宫图中，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都相等。
课后作业：1．将9~17这9个数制成三阶幻方。
小学奥数：数阵图(二).专项练习及答案解析
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。
如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。
小学数学解题方法、思路归纳14：小学数学数阵问题
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书”。
而这种“河图”和“洛书”的形象最早是宋人根据郑玄的《乾凿度》中的“载九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”造出来的。
如下图所示，我们填写的方阵图正好与这种“河图”、“洛书”的形象完全一致。
“洛书”作为数字方阵，也就是我们所说的三阶幻方。
直到现在，仍然是许多数学家和数学爱好者感兴趣的问题。
其实，在三阶方阵里填写的数不一定是从1开始的自然数，可以从任何一个数开始，这一列数可以是任何一个等差数列。
二、五阶幻方
我们继续用上面的调整法来制作五阶幻方。
将数1到25按自然排列排成一个5阶方阵，如图（6）所示。
按照幻方的要求，五行、五列、两条对角线上的5个数的和应该相等。
我们首先计算这个和应该等于多少。
由于1＋2＋3＋……＋24＋25=65，而65÷5=13，这说明5阶幻方与3阶幻方一样，中心位置的数应该是13。
在图（5）中，两条对角线、第三行、第三列的5个数的和已经都等于65：1＋7＋13＋19＋25=65；5＋9＋13＋17＋21=65
像三阶幻方那样，我们仍然采用下面的“对角线”法则对图（6）的元素作下列调整：（1）将两条对角线上的元素绕中心旋转45度得图（7）或图（8）：
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109。
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数阵
趣味导读：
有些数按照一定的要求排列成各种各样的图形，就叫做数阵图，数阵填数的游戏是非常有趣的，有时也有一定的难度。
不过它能促使我们积极地思考问题，分析问题，拓展我们的能力。
有的同学说：这样的数阵图填写时只能采取试的方法，没有其他捷径好走。
其实这话不对。
填写数阵图时，我们应抓住数阵中的关键位置（例如两种线的交点，长方形和正方形的顶点），再根据题目的要求，进行必要的计算，先填写这些关键位置的数，再填写出其他位置的数。
一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。
【解法总结】：
做数阵题目，我们的一般步骤是：
①.先观察在图中有哪些格子重复了，重复了几次。
②.根据题中给出的数字以及图形来发现重复的这几个数有什么特点。
③.看看在给出的数中有哪些数符合我们特点，再通过试算，确定每个格子中的数。
【例题1】将1,2,3,4,5这五个数分别填入下图的各正方形中，组成一个“十字数阵图”
使图中横行三个数的和与竖行三个数据的和相等。
解析：根据图形的特点，中间那个数是横行与竖行共用的，要使横行与竖行三个数的和相等，可以先确定中间的数，再让左右两数的和与上、下两数的和相等。
①中间填1，则剩下2,3,4,5，而2+5=4+3，共有8种填法。
②中间填2，则剩下1,3,4,5而这四个数无法组成□+□=□+□的形式所以中间不可填？
③中间填3，则剩下1,2,4,5，而1+5=2+4，共有8种填法：
④中间填4，则剩下1,2,3,5而这四个数无法组成□+□=□+□的形式所以中间可能填4。
⑤中间填5，则剩下1,2,3,4，1+4=2+3共有8种填法。
提示：可以令中间数为一个字母A，根据求和与倍数的关系填数阵图。
练习：
1、将1,3,5,7,9这五个数分别填入下图的各正方形中，组成一个“十字型数阵图”使图中横行三个数的和与竖行三个数的和相等。
2、将数字1-8分别填入下图中的□内，使每一横行每一竖行相邻3个□的数字和相等。
3、将数字1-5分别填在下图中的○内，使每条线段上3个○内的数字之和相等。
4、将数字1-9分别填在图中的○内使每条线上五个○内数的和相等。
其中一个和为23.
5、把1,4,7,10,13,16,19七个数填入图中7朵花里，使每条线上三个数的和相等。
其中一个和为30.
6、将26、2
7、2
8、36、37、38、46、47、48九个数分别填入下图中的圆圈里，使第一个图每条直线上三个数的和是111。
第二个图自由发挥。
7、把1~7填入下图中,使每条线段上三个○内的数的和相等.第一个图中三个数的和是14.
8、把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.
【例题2】请你把1-6这六个数字填在下面三角形的O内，使每条边上的数字之和相等。
你能做到吗？
这是一种封闭型的数阵图，填写时的关键是确定三个顶点上的数。
1+2+3+4+5+6=21，用k表示每边上三个数的和，因为三个顶点上的数在求和时，都用了两次，用a,b,c表示三个顶点的数，使有21+a+b+c=3k因为a+b+c的最小值为6，最大值为15，所以3个k的最小值为27，最大为36，那么k的最小值是9，最大值是12。
①当k=9时，a+b+c=6这时
a=1,b=2,c=3;a=1,b=3,c=2；a=2,b=1,c=3；
a=2,b=3,c=1;a=3,b=1,c=2；a=3,b=2,c=1；
②当k=10、11、12时，可仿照①的方法进行分析。
本题的填法有很多种，这里只列举其中的几种，其他的填法由同学们自己考虑。
能使每边上的三个数的和都是11吗？你能很快判断出来吗？想一想。
【分析】：因为每条边上的和都是11，所以三条边上的数字之和为11333
⨯=，在三角形三个顶点上的数都重复算了两次，而12345621
-=。
在16中，和是12的三个数有+++++=，所以三个角上的三个数之和是332112
可能是156246345
、、时，我们发现在一条边上中点那个数找不到，所以删去。
再通过我、、；，，；，，。
但是当三个数是156
们的计算发现只有246
、、的时候，才能满足条件，所以结果是：
练习：
1在下图12个小圆圈中分别填入1--9这九个数字，规定4个角上的圆圈中必须填入相同的数字，并要使每边上四个数字的和都相等。
有多少种不同的填法，每边上四个数的和可以是几？写出你认为可以的所有结果。
【分析】：根据我们做数阵题目的步骤，我们可以发现只有角上四个数是重复了，所以我们可以设角上的数为x，设每条线上四个数的和为y。
而12348945
++++++=，那么
+=。
这是一个不定方程，我们可以用奇偶分析法。
因为45是奇数，4y是偶数，所以3x一定为奇数，4534
x y
那么x只可能是13579
、、三种情况。
、、、、。
我们通过试算发现x只可能是159
2、将1-9这九个数分别填入下面数阵的9个○内，使三角形每条边上4个○内数的和相等。
试着写一写。
3、在图中填入2-9，使每边3个数的和等于15。
4、把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.
5、把1~8,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.
【例题3】将1,2,3,5,6,7这六个数字填入下表中，使每行中三个数的和相等，同时使每列两个数的和也相等。
解析：因为表中有2行、3列，这样六个数可分成（7,3,2）和（6,5,1）每列两个数的和为24÷3=8，同样这六个数也可分为（7,1）、（6,2）和（5,3）三组。
根据题意，我们同时考虑使每行中的数和每列中数的和分别相等。
你能想出其他11种填法吗？试试看.
练习：
1、将1,3,5,7,9,11这六个数字填入下表中，使每行中三个数的和相等，同时使每列两个数的和也相等。
2、将1--8这八个个数字填入下表中，使每行中四个数的和相等，同时使每列两个数的和也相等。
想一想，你还能写出多少个？
【例题4】将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20
解析:中间两个数是重叠数，重叠的次数都是1，所以两个重叠数为：
20×2-（1+2+3+4+5+6+7+8）=4
在已知的八个数中，两个数之和是6的只有1和3.两个大圆上的其他三个数之和为20-4=16.那么剩下的6个数为2、4、5、6、7、8，把这6个数平分为两组，每组三数之和为16的有2+6+8=16和4+5+7=16。
即如下图所示：
练习：
1、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为21、24。
和为21和为24
2、将1、2、
3、
4、
5、6六个数字填入图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和是16。