c讲义8-3
2023学年苏教版数学五年级上学期章节考点精讲精练讲义第二单元《多边形的面积》(解析)

章节复习考点讲义(苏教版)苏教版数学五年级上册章节考点精讲精练第二单元《多边形的面积》知识点一:平行四边形的面积1.运用转化法计算图形的面积 一转化:通过切割、平移等方法把不规则图形转化成规则的长方形、正方形等图形。
二计算:计算规则图形的面积,也就是原来不规则图形的面积。
2.把平行四边形转化成长方形的方法知识导航知识互联网沿着平行四边形的任意一条边上的任意一条高剪成两个图形后,通过平移都可以把平行四边形转化成一个长方形。
3.平行四边形的面积计算公式平行四边形的面积=底×高,用字母表示为S=a×h。
知识点二:三角形的面积1.三角形和平行四边形之间的关系两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,每个三角形的面积是两个完全一样的三角形所拼成的平行四边形的面积的一半,即三角形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=三角形的面积×2。
2.三角形的面积计算公式三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。
三角形的面积=底×高÷2,用字母表示为S=a×h÷2。
知识点三:梯形的面积1.梯形面积计算中的“转化”两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,梯形的面积是两个完全一样的梯形所拼成的平行四边形的面积的一半,也就是:梯形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=梯形的面积×2。
2. 梯形的面积梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。
用字母表示:S=(a+b)×h÷2。
知识点四:认识公顷和平方千米1.公顷的认识测量或计量土地面积,通常用公顷作单位,公顷可以写成hm²。
边长100米的正方形土地,面积是1公顷。
公顷和平方米之间的进率是10000,1公顷=10000平方米。
2. 平方千米的认识测量或计量大面积的土地,通常用平方千米作单位。
平方千米可以写成km²。
第8课就英法联军远征中国给巴特勒上尉的信九年级语文上册讲义

第8课 就英法联军远征中国给巴特勒上尉的信 学习目标重点难点 知识与能力1.理解积累“珐琅、眼花缭乱、瞥见、箱箧、制裁、荡然无存”等词语。
2.了解相关的历史与艺术知识点。
3.反语嘲讽的语言效果。
过程与方法1.培养速读能力、捕获筛选信息能力及思维能力。
2.透过或热情赞美或冷静嘲讽的语言,深挖文章的意蕴,感受悲剧的效果。
情感态度与价值观1.朴素爱国情感及雨果伟大人格魅力的渗透。
2.教育学生要有广阔的胸怀和伟大的人格。
要站在人类的角度考虑问题。
教学重点 1.了解雨果的伟大情操。
2.辨别本文中赞美的语言和反讽语言的细微差别。
教学难点 透过或赞或讽的语言,深挖文章的意蕴,感受悲剧的效果。
1、作者简介维克多·雨果(Victor Hugo ,1802年2月26日—1885年5月22日),法国作家,19世纪前期积极浪漫主义文学的代表作家,人道主义的代表人物,法国文学史上卓越的资产阶级民主作家,被人们称为“法兰西的莎士比亚”。
一生写过多部诗歌、小说、剧本、各种散文和文艺评论及政论文章,在法国及世界有着广泛的影响力。
雨果的创作历程超过60年,其作品包括26卷诗歌、20卷小说、12卷剧本、21卷哲理论著,合计79卷。
其代表作有长篇小说《巴黎圣母院》《九三年》和《悲惨世界》,短篇小说《“诺曼底”号遇难记》。
2.知识链接圆明园是一座供清朝皇帝游乐的花园,也是中国劳动人民智慧和血汗的结晶。
在北京海淀附近,始建于康熙48年(1709年)。
这座花园方圆十多公里,在这儿可以观赏到国内外四十个地方的有名风景。
园内还珍藏着许多无价的珍宝,罕见的图书,珍贵的历史文物,因此它又是一座闻名世界的艺术馆、图书馆、博物馆。
1856年,英、法帝国主义发动了侵略我国的第二次鸦片战争。
1860年10月6日,侵略军闯进圆明园,知识精讲目标导航大肆抢掠。
他们把园里凡能搬动的金银珠宝和珍贵文物统统抢走。
来不及拿的或者拿不动的,就任意打碎、践踏。
人教新目标英语八年级下册讲义—Unit 9 Have you ever been to a ……

新目标八年级下册Unit 9 Have you ever been to a museum ?讲义一、重点单词1. amusement n. 娱乐; 游戏2. somewhere adv. 在某处; 到某处3. camera n. 照相机; 摄影机; 摄像机4. invention n. 发明物5. invent v. 发明; 创造1. unbelievable adj. 难以置信的; 不真实的2. progress n. 进步; 进展3. rapid adj. 迅速的; 快速的4. unusual adj. 特别的; 不寻常的5. toilet n. 坐便器; 厕所6. encourage v. 鼓励7. social adj. 社会的8. peaceful adj. 和平的; 安宁的9. performance n. 表演; 演出10. perfect adj. 完美的; 完全的11. itself pron.(it的反身代词) 它自己12. collect v. 收集; 采集13. German adj. 德国的; 德语的; 德国人的n. 德语; 德国人14. theme n. 主题15. ride n. 供乘骑的游乐设施; 短途旅程16. province n. 省份17. simply adv. 仅仅; 只; 不过18. fear v. & n. 害怕; 惧怕19. whether conj. 不管......;还是); 或者......(或者); 是否20. Indian adj.印度的 n. 印度人21. Japanese adj.;日本的; 日本人的; 日语的n. 日本人; 日语22. equator n. 赤道23. whenever conj. 在任何......时候; 无论何时24. spring n. 春天25. mostly adv. 主要地; 通常26. location n. 地点; 位置二、短语归纳1.at night在夜晚2.in a more natural environment在一个更加自然的环境中3.all year round 全年4.be far from 离……远5.in the dark 在黑暗中6.in the past 在过去7.have been to sp. 去过某地8.science museum 科学博物馆9.history museum 历史博物馆10.amusement park 游乐园11.go somewhere different 去不同的地方12.go skating 去滑冰13.take the subway 坐地铁14.a great way to spend a Saturday afternoon一个过周六下午的好方法15.all the old movie cameras所有的古老的电影摄影机16.learn about sth.解有关……的情况17.on the weekend 在周末18.camp in the mountains 在大山里露营19.put up a tent搭帐篷20.in such a rapid way 以如此迅猛的方式21.different kinds of各种各样的22.development of toilets 厕所的发展23.social groups 社会团体24.the tea art performances茶艺表演25.make a perfect cup of tea with beautiful tea sets用漂亮的茶具沏一杯完美的茶26.a nice place to enjoy tea 一个品茶的好地方27.thousands of 数以千计的28.International Museum of Toilets国际厕所博物馆29.the Terracotta Army 兵马俑30.Southeast Asia东南亚31.Night Safari 夜间动物园32.three quarters 四分之三33.an English-speaking country一个讲英语的国家34.have problem doing sth. 做某事很困难35.during the daytime在白天36.a couple of times 好几次37.right now 现在;目前38.an amusement park with a special theme一个有特别的主题的游乐园39.walk around the park 在公园里到处走40.hear of 听说41.take a ride兜风42.another province另一个省43.the Bird’s Nest鸟巢44.encourage sb. to do sth.鼓励某人做某事45.on the one hand... on the other hand.一方面,另一方面三、句型集萃1.a great way to do sth一个做某事的好办法2.It’s unbelievable that很难相信……3.watch sb do sth.看某人做了某事4.encourage sb to do sth鼓励某人做某事5.as..as和。
QC小组讲义2-3 第二部分(5-6)Revised

[要点解读]
4、分析原因需展示问题的全貌,从各种角度 把有影响的原因都找出来,主要从“5M1E”:人 员、机具、材料、方法、环境、测量等方面展开分 析,如果某一方面原因类别不存在,则无需分析该 类别的问题,应根据实际情况客观分析。
5
20个 m
未采用 ≤2
2
专用模 m 具20个 m
20 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 5 2 1 2 2
1
5
制表人:XXX 制表时间:2016年4月21日
对症结影响程度判断: 结论:采用专用模具生产的梯子筋尺寸不合格率为5%
,未采用专用模具生产的梯子筋尺寸不合格率为5%;两组 相比,没有差别,故未采用专用模具对保护层厚度影响程度 小,因此为非要因。
抽查位置处保护层尺寸偏差(mm)
规定 合格 点数
不合 格数
不合 格率
%
第 一 组
使用 混堆 砼垫 块
±3 mm
10
6
使用
第 二 组
混分 类堆 放砼
±3 mm
10
2
垫块
-2 5 4 2 -4 3 -1 2 4 2 -3 3
制表人:XXX
-2 5 3
5 54.35
9.2 2 1 -2
1 10.87
制表时间:2016年4月22日
日期
3月11日 3月13日 3月15日 3月18日 3月20日 3月22日 3月26日 3月27日 3月28日 3月29日 3月30日 3月31日
逻辑资 源采集 合格率
48.51% 47.58% 47.78% 47.30% 49.05% 48.85% 48.82% 48.60% 48.39% 47.49% 47.11% 46.72%
2018江苏B+C类-数资 田鹏 (讲义+笔记)

2018 江苏B+C 类-数资(讲义)数字推理1.40,8,24,16,20,(A.18 )B.24C.28D.322.1,2,3/2,5/6,11/30A.17/90B.23/180C.37/240D.41/3303.-16/15,1.6,-12/5,3.6,-27/5A.5.6 C.32/15B.8.1 D.-36/54.1,3,6,11,18,( A.25 )B.27C.29D.335.3.2,8.6,15.12,24.20,35.30,()A.42.42B.48.42C.42.56D.48.56资料分析(一)2013—2016 年中国在世界各洲承包工程完成营业额及当年派出人数1.2013—2016 年中国在欧洲和北美洲承包工程完成营业额最接近的年份是:A.2013 年B.2014 年C.2015 年D.2016 年2.2014—2016 年中国在非洲承包工程完成营业额的年平均增量是:A.–75723 万美元B.–50482 万美元C.89241 万美元D.118988 万美元3.2013—2016 年中国在亚洲承包工程当年派出人数超过其余 5 个洲派出总人数的年份个数有:A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个4.下列各洲中,2015 年中国在其承包工程派出人数占当年派出总人数的比重与上年相差最大的是:A.亚洲B.北美洲C.欧洲D.拉丁美洲5.下列判断不正确的是:A.2014—2016 年中国在世界各洲承包工程完成营业额之和逐年增加B.2016 年中国在大洋洲承包工程派出人数不足当年派出总人数的 1%C.2016 年中国在世界各洲承包工程派出总人数比 2015 年少 2 万人以上D.2013—2016 年中国在拉丁美洲承包工程完成营业额均不足当年完成营业总额的 10%(二)2016 年江苏农业生产经营人员 1270.87 万人。
其中女性 645.40 万人,苏南、苏中、苏北地区分别有 186.16 万人、321.29 万人、763.42 万人;年龄 35 岁及以下的有 127 万人。
人教版小学数学三年级上册易错专项练【易错题精析】第8讲倍的认识(讲义)(含答案)

第8讲倍的认识(讲义)小学数学三年级上册易错专项练(知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练)1. 倍的意义。
一个数里面有几个另一个数,就说一个数是另一个数的几倍。
2. 求一个数是另一个数的几倍的解题方法。
求一个数是另一个数的几倍就是想这个数里面有几个另一个数,用除法计算,即一个数÷另一个数=倍数。
3. 求一个数的几倍是多少的解题方法。
求一个数的几倍是多少,用这个数乘几。
1.求一个数是另一个数的几倍,得数后面不加单位名称。
2.求一个数是另一个数的几倍,就是求一个数里面有几个另一个数。
3.求一个数的几倍是多少,就是求几个相同加数的和是多少,用乘法计算。
【易错一】小红和小强同住一栋楼,小红住二楼,小强住六楼,那么小强走的楼梯是小红的()倍。
A.3 B.4 C.5【解题思路】小强住六楼,他回家要走6-1=5层楼梯;小红住二楼,她回家要走2-1=1层楼梯;用除法计算可求出小强走的楼梯是小红的几倍,以此解答。
【完整解答】根据分析,小强回家要走5层楼梯;小红回家要走1层楼梯;5÷1=5,小强走的楼梯是小红的5倍。
故答案为:C【易错点】解答本题的关键是要先求出两人分别走了几层楼,再用除法计算。
【易错二】想一想,填一填。
8里面有( )个4,的数量是的( )倍。
【解题思路】计算8里面含4的个数,用除法计算;计算一个数是另一个数的几倍,用除法计算。
【完整解答】8÷4=2(个),即8里面有2个4;8÷4=2,即的数量是的2倍,【易错点】熟练掌握对倍的认识是解答此题的关键。
【易错三】(1)买3个羽毛球要多少元?答:买3个羽毛球要()元。
(2)篮球的价格是跳绳的几倍?答:篮球的价格是跳绳的()倍。
【解题思路】由题可知,一个羽毛球的价格是6元,3个羽毛球的价格用乘法求得即可;篮球价格是56元,跳绳价格是7元,用除法求得倍数。
【完整解答】(1)3×6=18(元)答:买3个羽毛球要18元。
《用字母表示数》 讲义
《用字母表示数》讲义一、引言在数学的学习中,我们常常会遇到需要用简洁、通用的方式来表达数量关系和规律的情况。
这时候,用字母表示数就成为了一种非常有力的工具。
它不仅能够帮助我们更清晰地理解数学概念,还能简化运算和解决复杂的问题。
接下来,让我们一起深入探索用字母表示数的奇妙世界。
二、用字母表示数的意义用字母表示数,就是用字母来代替具体的数字,从而使数学表达式更具有一般性和普遍性。
例如,假设我们要表示一个任意的整数,我们可以用字母“n”来表示。
这样,“n”就可以代表 1、2、3、4……等等任何一个整数。
再比如,如果一个正方形的边长是“a”,那么它的周长就是 4a,面积就是 a²。
通过用字母表示边长,我们可以很方便地得到周长和面积的表达式,而不需要每次都针对具体的边长数值去计算。
用字母表示数的意义在于它能够让我们从具体的数值中抽象出一般性的规律,从而更好地理解和研究数学问题。
三、用字母表示数的规则1、字母的选择通常,我们会选择常见的英文字母,如 a、b、c、x、y、z 等,但也可以根据具体情况选择其他字母。
不过,为了避免混淆,一般会避免使用容易与数字混淆的字母,如“l”和“1”。
2、字母的含义字母所代表的数可以是任意实数,包括正数、负数、零、有理数、无理数等。
3、运算规则当用字母表示数进行运算时,要遵循与数字运算相同的规则。
例如,a +b = b + a(加法交换律),a × b = b × a(乘法交换律)等。
4、书写规范字母与数字相乘时,数字通常写在字母前面,中间的乘号可以省略,如 5 × a 可以写成 5a。
当数字是 1 时,1 通常省略不写,如 1 × a 写成 a。
四、用字母表示数的应用1、表示数量关系比如,一辆汽车每小时行驶 v 千米,t 小时行驶的路程就是 vt 千米。
2、表示公式常见的数学公式,如长方形的面积公式 S = ab(a 表示长,b 表示宽),三角形的面积公式 S = 1/2 ah(a 表示底,h 表示高)等。
人教版八年级物理上学期第三章《 《物态变化》单元探究实验类问题精炼》同步学讲练测大讲义及解析
(1)小雪先给 A 管加热,A 管中的水吸收热量,当温度达到______时沸腾,产生的水蒸气
通过导管 C 流到 B 管中,B 管中水面会升高,这是因为水蒸气遇冷______成水。同时,发现 温度计示数升高了,这表明 B 管中的水_____热量; (2)小雪每隔 1min 记录 B 管中水的温度,持续加热到第 10min,B 管中产生大量的气泡, 且温度计示数保持不变,此时的示数如图乙所示,为______℃,这表明 B 管中的水______; (3)供暖系统就是利用水蒸气______放热供暖的。 8. (2022 湖北荆州)实验小组按照如图甲所示的装置进行“探究水的沸腾”实验。当水温 上升到 90℃时,每隔 1min 记录一次温度。
(5)观察到烧杯中的水已沸腾,且 A、B 两温度计示数相同,此时试管中的水______沸腾(选 填“会”或“不会”)。 4. (2022 湖北武汉)在探究水沸腾时温度变化特点的实验中,某组同学用如图甲所示的实 验装置进行了两次实验,两次实验所用水的质量相同。
(1)实验中可以看到,水沸腾时形成大量的气泡不断上升、______(填“变大”“变小”或 “不变”),到水面破裂开来,里面的水蒸气散发到空气中。水蒸气遇冷_______(填“汽化” “液化”“升华”或“凝华”),在烧杯口周围形成“白气”; (2)通过两次实验发现,水在沸腾过程中,虽然水的温度保持不变,但必须______; (3)图乙是该组同学第二次实验绘制的图像。第一次实验中同学们发现,水沸腾前每加热 2min 温度升高 5oC,则图乙中 t0=______oC。 5. (2022 北京)小京为探究水沸腾前后温度随吸收热量变化的特点,进行了如下实验:用 如图甲所示的装置给一定质量的水加热,当水温为 90°C 时,每隔一分钟记录一次水的温度, 从计时开始,经 5min 水沸腾。水沸腾后持续加热一段时间,并记录水的温度。根据实验数 据得到了水的温度随加热时间变化的关系图像,如图乙所示。
AMC10美国数学竞赛讲义全
AMC10美国数学竞赛讲义全AMC 中的数论问题1:Remember the prime between 1 to 100:2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 91 2:Perfect number:Let is the prime number.if21p - is also the prime number. then1(21)2p p --is the perfect number. For example:6,28,496.3: Let ,0n abc a =≠ is three digital integer .if 333n a b c =++Then the number n is called Daffodils number . There are only four numbers: 153 370 371 407 Let ,0n abcd a =≠ is four digital integer .if 4444d n a b c +=++Then the number n is called Roses number . There are only three numbers: 1634 8208 94744:The Fundamental Theorem of ArithmeticEvery natural number can be written as a product of primes uniquely up to order.5:Suppose that a and b are integers with b =0. Then there exists unique integers q a d such that 0 ≤ < |b| a d a = bq + .6:(1)G eatest Commo D v so : Let gcd (a, b) = max {d ∈ Z: d | a a d d | b}. For any integers a and b, we havegcd(a, b) = gcd(b, a) = gcd(±a, ±b) = gcd(a, b ? a) = gcd(a, b + a). For example: gcd(150, 60) = gcd(60, 30) = gcd(30, 0) = 30 (2)Least commo mult le:Let lcm(a,b)=m {d∈Z: a | d a d b | d }. (3)We have that: ab= gcd(a, b) lcm(a,b) 7:Congruence modulo nIf ,0a b mq m -=≠,then we call a congruence b modulo m and we rewritemod a b m ≡.(1)Assume a b c d m Z 0 m 0 .If a b mod m c d mod m then we havemod a c b d m ±≡± , mod ac bd m ≡ , mod k k a b m ≡(2) The equat o ax ≡ b (mod m) has a solut o f a d o ly f gcd(a, m) d v des b.8:How to find the unit digit of some special integers (1)How many zero at the end of !nFor example, when 100n =, Let N be the number zero at the end of 100!then10010010020424525125N=++=+=(2) ,,a n Z ∈Find the unit digit n a . For example, when 100,3n a ==9:Palindrome, such as 83438, is a number that remains the same when its digits are reversed.There are some number not only palindrome but 2 2 ,222 , (1)Some special palindrome n that 2n is also palindrome. For example :222221111121111123211111123432111111111112345678987654321=====(2)How to create a palindrome? Almost integer plus the number of its reverseddigits and repeat it again and again. Then we get a palindrome. For example: 87781651655617267266271353135335314884+=+=+=+=But whether any integer has this Property has yet to prove(3) The palindrome equation means that equation from left to right and right to left it all set up. For example :1242242112231132211121241388888831421211====Let ab and cde are two digital and three digital integers. If the digits satisfy the,,9a c b e d c e d ?=?=+≤, then ab cde edc ba ?=?.10: Features of an integer divisible by some prime number If n is even ,then 2|n⼀个整数n 的所有位数上的数字之和是3(或者9)的倍数,则n 被3(或者9)整除⼀个整数n 的尾数是零,则n 被5整除⼀个整数n 的后三位与截取后三位的数值的差被7、11、13整除,则n 被7、11、13整除⼀个整数n 的最后两位数被4整除,则n 被4整除⼀个整数n 的最后三位数被8整除,则n 被8整除⼀个整数n 的奇数位之和与偶数位之和的差被11整除,则n 被11整除 11. The number Theoretic functions If 312123t rr rrt n p p p p =(1) {}12()#0:|(1)(1)(1)t n a a n r r r χ=>=+++(2) 12222111222|()(1)(1)(1)t r r r t t t a nn a p pp p p p p p p δ==+++++++++∑(3) {}11221111122()#:,gcd(,)1()()()t t r r rr rr t t n a N a n a n p p p p p p φ---=∈≤==---For example: 2(12)(23)(21)(11)6χχ=?=++= 22(12)(23)(122)(13)28δδ=?=+++= 22(12)(23)(22)(31)4φφ=?=--= Exercise1. The sums of three whole numbers taken in pairs are 12, 17, and 19. What is the middle number?(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7(E) 83. For the positive integer n, let denote the sum of all the positive divisors of n with the exception of n itself. For example,<4>=1+2=3 and <12>=1+2+3+4+6=16. What is <<<6>>>?(A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 32 (E) 36 8. What is the sum of all integer solutions to 21<(x-2)<25? (A) 10 (B) 12(C) 15(D) 19(E) 5(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(E) 515.The figures 123,,F F F and 4F shown are the first in a sequence of figures. For3n ≥, n F is constructed from -1n F by surrounding it with a square and placing one more diamond on each side of the new square than -1n F had on each side of its outside square. For example, figure 3F has 13 diamonds. How many diamonds are there in figure 20F ?18. Positive integers a, b, and c are randomly and independently selected with replacement from the set {1, 2, 3,…, 2010}. What is the probability that abc ab a ++ is divisible by 3? (A)13(B)2981(C)3181(D)1127(E)132724. Let ,a b and c be positive integers with >>a b c such that 222-b -c +=2011a ab and222+3b +3c -3-2-2=-1997a ab ac bc . What is a ?(A) 249 (B) 250 (C) 251 (D) 252 (E)2535. In multiplying two positive integers a and b, Ron reversed the digits of the two-digit number a. His erroneous product was 161. What is the correct value of the product of a and b?(A) 116 (B) 161 (C) 204 (D) 214 (E) 224 23. What is the hundreds digit of 20112011?(A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 99. A palindrome, such as 83438, is a number that remains the same when its digits are reversed. The numbers x and x+32 are three-digit and four-digit palindromes, respectively. What is the sum of the digits of x?(A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 23 (E) 2421. The polynomial 322010x ax bx -+- has three positive integer zeros. What is the smallest possible value of a?(A) 78 (B) 88 (C) 98 (D) 108 (E) 11824. The number obtained from the last two nonzero digits of 90! Is equal to n. What is n?(A) 12 (B) 32 (C) 48 (D) 52 (E) 6825. Jim starts with a positive integer n and creates a sequence of numbers. Each successive number is obtained by subtracting the largest possible integer square less than or equal to the current number until zero is reached. For example, if Jim starts with n=55, then his sequence contain 5 numbers:55 55-72= 6 6-22= 2 2-12= 1 1-12= 0Let N be the smallest umbe fo wh ch J m’s seque ce has umbe s. What is the units digit of N?(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9 21.What is the remainder when 01220093+3+3++3is divided by 8?(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 65.What is the sum of the digits of the square of 111,111,111? (A) 18 (B) 27(C) 45(D) 63(E) 81ABC 100643a S 2(A) 6 (B) 7(C) 8(D) 9(E) 1024. Let 2200820082k =+. What is the units digit of 222k +? (A) 0 (B) 1(C) 4(D) 6(E) 8AMC about algebraic problems⼀、Linear relations(1) Slope y-intercept form: y kx b =+ (k is the slope, b is the y-intercept) (2)Standard form: 0Ax By C ++= (3)Slope and one point 0000(,),()()P x y k slope y y k x x -=- (4) Two points 1122(,),(,)P x y P x y12121212y y y y y y x x x x x x ---==--- (5)x,y-intercept form: (,0),(0,),(0,0)1x yP a Q b a b a b≠≠+= ⼆、the relations of the two lines 111222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=(1) 1l ∥2l 122112210,0A B A B C B C B ?-=-≠ (1) 1l ⊥2l 12120A A B B ?-=三、Special multiplication rules:222223322332212211222112222()()()2()()()()()()(2)()((1)(1))(1)()n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a b a b a ab b a b a b a a b ab b n a b a b a a b ab b n is odd n a b c ab bc ac a b -----------=-+±=±+-=-+++=+-+-=-++++≥+=+-++-+->++=++?-22()()0b c c a a b c+-+-=?==四、quadratic equations and PolynomialThe quadratic equations 2(0)y ax bx c a =++≠ has two roots 12,x x then we has1212b c x x x x a a+=-=More generally, if the polynomial 121210nn n n n x a x a x a x a ---+++++= has nroots 123,,,,n x x x x ,then we have:1231122312123(1)n n n n n nx x x x a x x x x x x a x x x x a -++++=-++==-开⽅的开⽅、估计开⽅数的⼤⼩绝对值⽅程Arithmetic Sequence123(1)(2)(3)()n m a a n d a n d a n d a n m d =+-=+-=+-==+-121321()()()()2222n n n m n m n n a a n a a n a a n a a s ---+++++=====1(1)2n n n ds na -=+If n=2k, then we have 1()n k k s k a a +=+ If n=2k+1, then we have 1n k s na += Geometric sequence123123n n n n m n m a a q a q a q a q ----=====1(1)1,1n n a q q s q-≠=-Some special sequence , , 2, 3, 5, ,… 9,99,999,9999,… 1,11,111,1111,… Exercise4 .When Ringo places his marbles into bags with 6 marbles per bag, he has 4 marbles left over. When Paul does the same with his marbles, he has 3 marbles left over. Ringo and Paul pool their marbles and place them into as many bags as possible, with 6 marbles per bag. How many marbles will be left over?7 For a science project, Sammy observed a chipmunk and a squirrel stashing acorns in holes. The chipmunk hid 3 acorns in each of the holes it dug. The squirrel hid 4 acorns in each of the holes it dug. They each hid the same number of acorns, although the squirrel needed 4 fewer holes. How many acorns did the chipmunk hide?21. Four distinct points are arranged on a plane so that the segments connecting them have lengths ,,,,, and . What is the ratio of to ?13. An iterative average of the numbers 1, 2, 3, 4, and 5 is computed the following way. Arrange the five numbers in some order. Find the mean of the first two numbers, and then find the mean of that with the third number, then the mean of that with the fourth number, and finally the mean of that with the fifth number. What is the difference between the largest and smallest possible values that can be obtained using this procedure?16. Three runners start running simultaneously from the same point on a 500-meter circular track. They each run clockwise around the course maintaining constant speeds of 4.4, 4.8, and 5.0 meters per second. The runners stop once they are all together again somewhere on the circular course. How many seconds do the runners run?24. Let ,a b and c be positive integers with >>a b c such that 222-b -c +=2011a ab and222+3b +3c -3-2-2=-1997a ab ac bc . What is a ?(A) 249 (B) 250(C) 251(D) 252(E) 2531. What is246135135246++++-++++? (A) -1 (B) 536(C) 712(D)14760(E)43310. Consider the set of numbers {1, 10, 102, 103(010)}. The ratio of the largest element of the set to the sum of the other ten elements of the set is closest to which integer?(A) 1 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 101=(A) -64 (B) -24 (C) -9 (D) 24 (E) 5764. Let X and Y be the following sums of arithmetic sequences: X= 10 + 12 + + …+ 00. Y= 2 + + + …+ 02. What is the value of Y X -?(A) 92 (B) 98 (C) 100 (D) 102 (E) 1127. Which of the following equations does NOT have a solution?(A) 2(7)0x +=(B) -350x += 20=80= (E) -340x -=(A)(B)(C)2(D) (E) 613. What is the sum of all the solutions of 2602x x x =--?(A) 32 (B) 60 (C) 92 (D) 120 (E) 12414. The average of the numbers 1, 2, 3… 9 , 99, and x is 100x. What is x?(A)49101(B)50101(C)12 (D)51101(E)509911. The length of the interval of solutions of the inequality 23a x b ≤+≤ is 10.What is b-a?(A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 20 (E) 3013. Angelina drove at an average rate of 80 kph and then stopped 20 minutes for gas. After the stop, she drove at an average rate of 100 kph. Altogether she drove 250 km in a total trip time of 3 hours including the stop. Which equation could be used to solve for the time t in hours that she drove before her stop? (A) 880100()2503t t +-=(B) 80250t = (C) 100250t =(D) 90250t =(E) 880()1002503t t -+=21. The polynomial 32-2010x ax bx +- has three positive integer zeros. What is the smallest possible value of a?(A) 78 (B) 88 (C) 98 (D) 108 (E) 118 15.When a bucket is two-thirds full of water, the bucket and water weigh kilograms. When the bucket is one-half full of water the total weight is kilograms. In terms of and , what is the total weight in kilograms when the bucket is full of water?13.Suppose thatand. Which of the following is equal tofor every pair of integers16.Let ,,, and be real numbers with,, and. What is the sum of all possible values of5. Which of the following is equal to the product?81216442008............481242004n n +? (A) 251(B) 502(C) 1004(D) 2008 (E) 40167. The fraction 20082200622007220052(3)(3)(3)(3)-- simplifies to which of the following? (A) 1 (B) 9/4 (C) 3 (D) 9/2 (E) 913. Doug can paint a room in 5 hours. Dave can paint the same room in 7 hours. Doug and Dave paint the room together and take a one-hour break for lunch. Let t be the total time, in hours, required for them to complete the job working together, including lunch. Which of the following equations is satisfied by t ?(A) 11()(1)157t ++=(B) 11()1157t ++= (C) 11()157t +=(D) 11()(1)157t +-=(E) (57)1t +=15. Yesterday Han drove 1 hour longer than Ian at an average speed 5 miles per hour faster than Ian. Jan drove 2 hours longer than Ian at an average speed 10 miles per hour faster than Ian. Han drove 70 miles more than Ian. How many more miles did Jan drive than Ian?(A) 120 (B) 130 (C) 140 (D) 150 (E) 160AMC 中的⼏何问题⼀、三⾓形有关知识点1.三⾓形的简单性质与⼏个⾯积公式①三⾓形任何两边之和⼤于第三边;②三⾓形任何两边之差⼩于第三边;③三⾓形三个内⾓的和等于 0°;④三⾓形三个外⾓的和等于3 0°;⑤三⾓形⼀个外⾓等于和它不相邻的两个内⾓的和;⑥三⾓形⼀个外⾓⼤于任何⼀个和它不相邻的内⾓。
人教版-八年级数学讲义--最短路径问题-(含解析)
人教版-八年级数学讲义--最短路径问题-(含解析)本页仅作为文档页封面,使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第6讲最短路径问题知识定位讲解用时:5分钟A、适用范围:人教版初二,基础较好;B、知识点概述:本讲义主要用于人教版初二新课,本节课我们要学习最短路径问题,现实生活中经常涉及到选择最短路径问题,最值问题不仅使学生难以理解,也是中考中的一个高频考点。
本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。
知识梳理讲解用时:20分钟两点之间线段最短C DA BEA地到B地有3条路线A-C-D-B,A-B,A-E-B,那么选哪条路线最近呢?垂线段最短如图,点P是直线L外一点,点P与直课堂精讲精练【例题1】已知点A,点B都在直线l的上方,试用尺规作图在直线l上求作一点P,使得PA+PB的值最小,则下列作法正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】根据作图的方法即可得到结论.解:作B关于直线l的对称点,连接这个对称点和A交直线l于P,则PA+PB 的值最小,∴D的作法正确,故选:D.讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了轴对称﹣最短距离问题,熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.教学建议:学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度: 3 适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习】如图,直线L是一条河,P,Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站,向P,Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是()A. B.C.D.【答案】D【解析】利用对称的性质,通过等线段代换,将所求路线长转化为两定点之间的距离.解:作点P关于直线L的对称点P′,连接QP′交直线L于M.根据两点之间,线段最短,可知选项D铺设的管道,则所需管道最短.故选:D.讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了最短路径的数学问题.这类问题的解答依据是“两点之间,线段最短”.由于所给的条件的不同,解决方法和策略上又有所差别.教学建议:学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度: 3 适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【练习】如图,A、B在直线l的两侧,在直线l上求一点P,使|PA﹣PB|的值最大.【答案】见解析【解析】作点A关于直线l的对称点A′,则PA=PA′,因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|,则当A′,B、P在一条直线上时,|PA﹣PB|的值最大.解:作点A关于直线l的对称点A′,连A′B并延长交直线l于P.讲解用时:3分钟解题思路:本题考查的是作图﹣轴对称变换,熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键.教学建议:学会作对称点,通过“两点之间线段最短”进行解题.难度: 4 适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题2】如图,A、B在直线l的同侧,在直线l上求一点P,使△PAB的周长最小.【答案】【解析】由于△PAB的周长=PA+AB+PB,而AB是定值,故只需在直线l上找一点P,使PA+PB最小.如果设A关于l的对称点为A′,使PA+PB最小就是使PA′+PB最小.解:作法:作A关于l的对称点A′,连接A′B交l于点P.则点P就是所要求作的点;理由:在l上取不同于P的点P′,连接AP′、BP′.∵A和A′关于直线l对称,∴PA=PA′,P′A=P′A′,而A′P+BP<A′P′+BP′∴PA+BP<AP′+BP′∴AB+AP+BP<AB+AP′+BP′即△ABP周长小于△ABP′周长.讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了轴对称﹣最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段,运用三角形三边关系解决.教学建议:把三角形的周长用线段表示出来,通过转化成一条线段利用两点之间线段最短进行解题.难度: 3 适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习】(Ⅰ)如图①,点A、B在直线l两侧,请你在直线l上画出一点P,使得PA+PB的值最小;(Ⅱ)如图②,点E、F在直线l同侧,请你在直线l上画出一点P,使得PE+PF的值最小;(Ⅲ)如图③,点M、N在直线l同侧,请你在直线l上画出两点O、P,使得OP=1cm,且MO+OP+PN的值最小.(保留作图痕迹,不写作法)【答案】见解析【解析】(I)图①,显然根据两点之间,线段最短,连接两点与直线的交点即为所求作的点;(II)图2,作E关于直线的对称点,连接FE′即可;(III)图③,画出图形,作N的对称点N′,作NQ∥直线l,NQ=1cm,连接MQ 得出点O即可.解:(I)如图①,连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点P,这样PA+PB 最小,理由是:两点之间,线段最短;(II)如图②,先作点E关于直线l的对称点E′,再连接E′F交l于点P,则PE+PF=E′P+PF=E′F,由“两点之间,线段最短”可知,点P即为所求的点;(III)如图③,作N关于直线l的对称点N′,过N′作线段N′Q∥直线l,且线段N′Q=1cm,连接MQ,交直线l于O,在直线l上截取OP=1cm,如图,连接NP,则此时MO+OP+PN的值最小.讲解用时:5分钟解题思路:本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用,题目比较典型,第三小题有一定的难度,主要考查学生的理解能力和动手操作能力.教学建议:学会作对称点,通过“两点之间线段最短”进行解题.难度:4 适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题3】如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,求△CDM周长的最小值.【答案】10【解析】连接AD,由于△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,故AD⊥BC,再根据三角形的面积公式求出AD的长,再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知,点C关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为CM+MD的最小值,由此即可得出结论.解:连接AD,∵△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,∴AD⊥BC,∴S=BC•AD=×4×AD=16,解得AD=8,△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线,∴点C关于直线EF的对称点为点A,∴AD的长为CM+MD的最小值,∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10.讲解用时:5分钟解题思路:本题考查的是轴对称﹣最短路线问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.教学建议:想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段,利用垂线段最短进行解题.难度:4 适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习】如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点,AD=5,点F 是AD边上的动点,求BF+EF的最小值.【答案】5【解析】过C作CE⊥AB于E,交AD于F,连接BF,则BF+EF最小,证△ADB ≌△CEB得CE=AD=5,即BF+EF=5.解:过C作CE⊥AB于E,交AD于F,连接BF,则BF+EF最小(根据两点之间线段最短;点到直线垂直距离最短),由于C和B关于AD对称,则BF+EF=CF,∵等边△ABC中,BD=CD,∴AD⊥BC,∴AD是BC的垂直平分线(三线合一),∴C和B关于直线AD对称,∴CF=BF,即BF+EF=CF+EF=CE,∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠ADB=∠CEB=90°,在△ADB和△CEB中,,∴△ADB≌△CEB(AAS),∴CE=AD=5,即BF+EF=5.故答案为:5.讲解用时:4分钟解题思路:本题考查的是轴对称﹣最短路线问题,涉及到等边三角形的性质,轴对称的性质,等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用.教学建议:想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段,利用垂线段最短进行解题.难度:4 适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题4】如图所示,在一条河的两岸有两个村庄,现要在河上建一座小桥,桥的方向与河流垂直,设河的宽度不变,试问:桥架在何处,才能使从A到B的距离最短?【答案】见解析【解析】虽然A、B两点在河两侧,但连接AB的线段不垂直于河岸.关键在于使AP+BD最短,但AP与BD未连起来,要用线段公理就要想办法使P与D重合起来,利用平行四边形的特征可以实现这一目的.解:如图,作BB'垂直于河岸GH,使BB′等于河宽,连接AB′,与河岸EF相交于P,作PD⊥GH,则PD∥BB′且PD=BB′,于是PDBB′为平行四边形,故PB′=BD.根据“两点之间线段最短”,AB′最短,即AP+BD最短.故桥建立在PD处符合题意.讲解用时:4分钟解题思路:此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题,要利用“两点之间线段最短”,但许多实际问题没这么简单,需要我们将一些线段进行转化,即用与它相等的线段替代,从而转化成两点之间线段最短的问题.目前,往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化,以后还会学习一些线段转化的方法.教学建议:将3条线段进行转化成一条线段.难度:4 适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习】作图题(1)如图1,一个牧童从P点出发,赶着羊群去河边喝水,则应当怎样选择饮水路线,才能使羊群走的路程最短?请在图中画出最短路线.(2)如图2,在一条河的两岸有A,B 两个村庄,现在要在河上建一座小桥,桥的方向与河岸方向垂直,桥在图中用一条线段CD表示.试问:桥CD建在何处,才能使A到B的路程最短呢?请在图中画出桥CD的位置.【答案】见解析【解析】(1)把河岸看做一条直线,利用点到直线的所有连接线段中,垂直线段最短的性质即可解决问题.(2)先确定AA′=CD,且AA′∥CD,连接BA′,与河岸的交点就是点C,过点C作CD垂直河岸,交另一河岸于点D,CD就是所求的桥的位置.解:(1)根据垂直线段最短的性质,即可画出这条从草地到河边最近的线路,如图1所示:(2)先确定AA′=CD,且AA′∥CD,连接BA′,与河岸的交点就是点C,过点C作CD垂直河岸,交另一河岸于点D,CD就是所求的桥的位置.如图2,讲解用时:4分钟解题思路:此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用,解题的关键是灵活运用垂直线段最短的性质作图.教学建议:掌握求最短路径的几种基本题型和方法.难度: 3 适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题5】如图,MN是等边三角形ABC的一条对称轴,D为AC的中点,点P是直线MN上的一个动点,当PC+PD最小时,∠PCD的度数是多少?【答案】30°【解析】由于点C关于直线MN的对称点是B,所以当B、P、D三点在同一直线上时,PC+PD的值最小解:连接PB.由题意知,∵B、C关于直线MN对称,∴PB=PC,∴PC+PD=PB+PD,当B、P、D三点位于同一直线时,PC+PD取最小值,连接BD交MN于P,∵△ABC是等边三角形,D为AC的中点,∴BD⊥AC,∴PA=PC,∴∠PCD=∠PAD=30°讲解用时:3分钟解题思路:此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识,解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.教学建议:学会转移对称线段,利用垂线段最短进行解题.难度: 3 适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习】已知,如图△ABC为等边三角形,高AH=10cm,P为AH上一动点,D为AB的中点,则PD+PB的最小值为多少?【答案】10cm【解析】连接PC,根据等边三角形三线合一的性质,可得PC=BP,PD+PB要取最小值,应使D、P、C三点一线.解:连接PC,∵△ABC为等边三角形,D为AB的中点,∴PD+PB的最小值为:PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm.解题思路:此题主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题,注意灵活应用等边三角形的性质.教学建议:学会转移对称线段,利用垂线段最短进行解题.难度: 3 适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题6】如图,∠AOB的内部有一点P,在射线OA,OB边上各取一点P1,P2,使得△PP1P2的周长最小,作出点P1,P2,叙述作图过程(作法),保留作图痕迹.【答案】见解析【解析】作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F,连接EF交OA于P1,交OB于P2,连接PP1,PP2,△PP1P2即为所求.解:如图,作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F,连接EF交OA于P1,交OB于P2,连接PP1,PP2,△PP1P2即为所求.理由:∵P1P=P1E,P2P=P2F,∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+p1p2+p2F=EF,根据两点之间线段最短,可知此时△PP1P2的周长最短.解题思路:本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识,解题的关键是学会利用对称解决最短问题,属于中考常考题型.教学建议:此类问题的解题技巧是做对称点,做定点关于动点所在直线的对称点.难度:4 适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习】知识拓展:如图2,点P在∠AOB内部,试在OA、OB上分别找出两点E、F,使△PEF周长最短(保留作图痕迹不写作法)【答案】见解析【解析】作P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD角OA、OB于E、F.此时△PEF周长有最小值;作图如下:讲解用时:3分钟解题思路:题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识,根据已知得出对称点的位置是解题关键.教学建议:此类问题的解题技巧是做对称点,做定点关于动点所在直线的对称点.难度: 4 适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题7】如图,∠AOB=30°,点P是∠AOB内一点,PO=8,在∠AOB的两边分别有点R、Q(均不同于O),求△PQR周长的最小值.【答案】【解析】根据轴对称图形的性质,作出P关于OA、OB的对称点M、N,连接MN,根据两点之间线段最短得到最小值线段,根据等边三角形的性质解答即可.解:分别作P关于OA、OB的对称点M、N.连接MN交OA、OB交于Q、R,则△PQR符合条件.连接OM、ON,由轴对称的性质可知,OM=ON=OP=8,∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×30°=60°,则△MON为等边三角形,∴MN=8,∵QP=QM,RN=RP,∴△PQR周长=MN=8,讲解用时:5分钟解题思路:本题考查了轴对称﹣最短路径问题,根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键,掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用.教学建议:对称之后,角度也是相同的,做定点关于动点所在直线的对称点. 难度: 4 适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习】如图,∠AOB=30°,∠AOB内有一定点P,且OP=10,OA上有一点Q,OB上有一定点R.若△PQR周长最小,求它的最小值.【答案】10【解析】先画出图形,作PM⊥OA与OA相交于M,并将PM延长一倍到E,即ME=PM.作PN⊥OB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN.连接EF 与OA相交于Q,与OB相交于R,再连接PQ,PR,则△PQR即为周长最短的三角形.再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF,再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解.解:设∠POA=θ,则∠POB=30°﹣θ,作PM⊥OA与OA相交于M,并将PM延长一倍到E,即ME=PM.作PN⊥OB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN.连接EF与OA相交于Q,与OB相交于R,再连接PQ,PR,则△PQR即为周长最短的三角形.∵OA是PE的垂直平分线,∴EQ=QP;同理,OB是PF的垂直平分线,∴FR=RP,∴△PQR的周长=EF.∵OE=OF=OP=10,且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2(30°﹣θ)=60°,∴△EOF是正三角形,∴EF=10,即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10.故答案为:10.讲解用时:4分钟解题思路:本题考查的是最短距离问题,解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点,即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答.教学建议:做定点关于动点所在直线的对称点,利用轴对称的性质进行解题.难度:4 适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018课后作业【作业1】如图,在铁路l的同侧有A、B两个工厂,要在铁路边建一个货场C,货场应建在什么地方,才能使A、B两厂到货场C的距离之和最短?【答案】见解析【解析】作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′,交l于点C,则点C即为所求点.解:如图所示:讲解用时:3分钟难度: 3 适应场景:练习题例题来源:无年份:2018【作业2】用三角板和直尺作图.(不写作法,保留痕迹)如图,点A,B在直线l的同侧.(1)试在直线l上取一点M,使MA+MB的值最小.(2)试在直线l上取一点N,使NB﹣NA最大.【答案】见解析【解析】(1)作点A关于直线l的对称点,再连接解答即可;(2)连接BA,延长BA交直线l于N,当N即为所求;解:(1)如图所示:(2)如图所示;理由:∵NB﹣NA≤AB,∴当A、B、N共线时,BN﹣NA的值最大.讲解用时:3分钟难度: 3 适应场景:练习题例题来源:无年份:2018【作业3】如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点,AD=6,点F 是AD边上的动点,求BF+EF的最小值.【答案】6【解析】过C作CE⊥AB于E,交AD于F,连接BF,则BF+EF最小,证△ADB ≌△CEB得CE=AD=6,即BF+EF=6.解:过C作CE⊥AB于E,交AD于F,连接BF,则BF+EF最小(根据两点之间线段最短;点到直线垂直距离最短),由于C和B关于AD对称,则BF+EF=CF,∵等边△ABC中,BD=CD,∴AD⊥BC,∴AD是BC的垂直平分线(三线合一),∴C和B关于直线AD对称,∴CF=BF,即BF+EF=CF+EF=CE,∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠ADB=∠CEB=90°,在△ADB和△CEB中,∵,∴△ADB≌△CEB(AAS),∴CE=AD=6,即BF+EF=6.讲解用时:3分钟难度: 3 适应场景:练习题例题来源:无年份:2018【作业4】如图,点P是∠AOB内部的一点,∠AOB=30°,OP=8cm,M,N是OA,OB上的两个动点,则求△MPN周长的最小值【答案】8【解析】设点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,当点M、N在CD上时,△PMN的周长最小.解:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OP、OC、OD、PM、PN.∵点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;∵点P关于OB的对称点为D,∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,∴OC=OD=OP=8cm,∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°,∴△COD是等边三角形,∴CD=OC=OD=8cm.∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8cm.故答案为:8.讲解用时:3分钟难度:4 适应场景:练习题例题来源:无年份:2018。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
8.7数组作为函数参数(值传递与地址传递)1、数组元素作函数实参
n:a大于b的个数
m:a等于b的个数
k: a小于b的个数
2、数组名作函数参数(地址传递)
1、数组名作参数,实参与形参都必须定义
2、实参与形参类型必须一致,大小可以不一致,并且形参可以不指定大小。
C编译不对形参大小作检查,只将实参首地址传给形参。
例8.11可以改为:
地址传递实例:
错误
void sort2(float a[2])
{float x;
if (a[0]<a[1])
{x=a[0];a[0]=a[1];a[1]=x;}
return;}
main()
{float b[2];
scanf("%f,%f",&b[0],&b[1]);
sort2(b);
printf("max=%f,min=%f\n",b[0],b[1]); }
3、用多维数组名作函数参数
①形参可以省略第一维大小的说明。
②实参数组必须大于等于形参数组个数。
8.8局部变量与全局变量
1、局部变量:函数内定义的变量。
(内部变量,如参数)
2、全局变量:函数外定义的变量。
(外部变量,习惯上第一个字母大写)
作用域:有效的范围
局部:函数内
全局:从定义——程序结束全局变量实例:
全局变量缺点:破坏封闭性、清晰性。
建议少用。
**8局部变量与全部变量重名
8.9变量的存储类别
1、分类
静态存储类:程序运行时分配固定的存储空间
动态存储类:程序运行时根据需要动态分配存储空间 具体分为: ①自动型变量 auto
②静态型变量 static ③寄存器型变量 register
④外部变量声明 extern
①自动型变量 auto :在动态存储区分配存储空间
未定义存储类别的变量均为auto 型
存储类别 数据类别 变量1,变量2,……
变量n;
auto int b,c=3;
只能取其一
②用static 声明局部变量:只能赋一次初值,函数结束后仍保留原
值,但在函数外不能用。
下次调用时已
有初值。
作用域不等于生存期。
7 8 9
static——不赋初值为0(数值型)或为空(字符型)。
auto-------不赋初值为一个不确定值。
③register变量:节省到内存的存取时间
不能定义太多的寄存器型变量
优化的编译系统能自动识别、自动设register型。
static型变量不能设为register 型。
④用extern 声明外部变量:如果在外部变量定义之前,使用该变量
则必须在引用该变量之前,用extern来
声明该变量。
**在一文件中使用另一个文件中定义的变量,必须用extern 来对该变量进行声明。
⑥用static 声明外部变量:
用static 声明外部变量不能再被其它文件使用,只限于定义的文件使用。
**文件2不能使用文件1中的外部变量
定义性声明:定义引用性声明:声明
8。
10 内部函数与外部函数
内部函数:只能被本文件中的其它函数调用的函数。
格式为:
外部函数:可以被其它文件调用的函数。
(1)、定义格式为: extern 类型标识符函数名(形参表)
*****定义外部函数时extern 可省略
(2)、其它文件调用该函数时,要事先用extern 声明。
**main()原有的extern声明可以不要
1、C语言中,若未说明函数的类型,则系统默认该函数的类型为______。
A.float B.char C.int D.double
2、#include <stdio.h>
main()
{int a=1,b=2;
printf(〞%d,〞,f(a,b));
printf(〞%d,〞,f(a,b));}
f(int x,int y )
{static int a=3,b=4;
a + =
b * 2 ;
b = a + x + y ;
return (b) ;}结果为:______.
3、如果要使一个变量只能为本函数所使用,必须通过——来实现。
(A)外部变量说明(B)静态内部变量
(C)静态外部变量(D)局部变量说明
4、以下正确的函数定义形式是-————。
(A)int max(int x,int y); (B) int max(int x;int y);
(C) int max(int x,int y) (D) int max(int x, y);
5、int test()
{int x=0;
static int y=2;
y+=++x;
return(x+y);
}
main()
{ printf(“%d\n”,(test(),test()));
}
该程序的运行结果为:———————————
6、main()
{int n=1,a[2]={1,2},c;
c=f(n,a);
printf(“%d,%d,%d%d\n”,c,n,a[0],a[1]);
}
f(int n,int b[2])
{int y;
if(n= =1)y=b[n--];
else y=b[n];
return(y);}
该程序的运行结果为:——————————。