九年级上学期第一次月考数学试卷
重庆市商务学校(重庆市第九十四初级中学校)2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题
重庆市商务学校（重庆市第九十四初级中学校）2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．在实数 13-， 0，中，无理数是（ ）A ．13-B ．0C D 2．下列美丽的图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（ ） A ．233a a a += B ．222()a b a b +=+ C ．()3251a a ÷=D ．22(2)4a a -=4．下列说法正确的是（ ） A ．四条边相等的四边形是正方形 B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形52的结果在（ ） A ．7和8之间B ．8和9之间C ．9和10之间D ．10和11之间6．下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑬中共有n 个小三角形，这里的n =（ ）A ．110B ．112C ．114D ．1167．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=8．如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，过B 作BG AE ⊥于点G ，延长BG 至点F ，使得AG GF =，连接CF AF ，．若DAF α∠=，则DCF ∠一定等于（ ）A ．αB ．602α︒-C ．2αD ．45α︒-9．如图，菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒，M ，N 分别是AD ，AC 上的两个动点，则DN MN +的最小值为（ ）A ．1BC D ．210．有依次排列的两个整式1A x =-，1B x =+，用后一个整式B 与前一个整式A 作差后得到新的整式记为1C ，用整式1C 与前一个整式B 求和操作得到新的整式2C ，用整式2C 与前一个整式1C 作差后得到新的整式3C ，用整式3C 与前一个整式2C 求和操作得到新的整式4C ，……，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①整式31C x =+；②整式53C x =+；③整式2C 、整式5C 和整式8C 相同；④20242021202320232C C C C =+．正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．计算：)2122-=⎛⎫- ⎪⎝⎭．12．若一个多边形的内角和是 1980°，则这个多边形的边数为．13．已知关于x 的一元二次方程2(21)20ax a x a +++-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是．14．如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点D ，E ，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．15．如图，长方形纸片53ABCD AB BC ==，，，点E 在边AD 上，将ABE V 沿BE 折叠，点A 恰巧落在边CD 上的点F 处；点G 在CD 上，将BCG V 沿BG 折叠，点C 恰好落在线段BF 上的点H 处，那么HF 的长度是．16．如图，在正方形ABCD 中，AD =BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线段BP ，连接AP 并延长交CD 于点E ，则线段PE 的长为 ．17．已知关于x 的分式方程13122++=--ax x x 有整数解，且关于y 的不等式组()432122y y y y a ⎧≥-⎪⎨--<⎪⎩有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为．18．一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m ，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为()F m ，则()2136F =；若“倍和数”m 千位上的数字与个位上的数字之和为8，且()2411F m +能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值与最小值的和为．三、解答题 19．计算： (1)2230x x --=(2)2241244-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x 20．某市开展茶文化论坛，为了解A B 、两种绿茶的亩产量，工作人员从两种类型的绿茶产区中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x 表示，共分为三个等级：合格5055x ≤<，良好5560x ≤<，优秀60x ≥），下面给出了部分信息：10亩A 型绿茶的亩产量：50545555555757585960，，，，，，，，，． 10亩B 型绿茶中“良好”等级包含的所有数据为：57575759，，，． 抽取的A B 、型绿茶亩产量统计表：根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a =_________，b =__________，m =__________；(2)根据以上数据，你认为哪款绿茶更好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)若该市今年种植B 型绿茶3000亩，估计今年B 型绿茶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？21．学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用无刻度直尺和圆规，过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为点D ，点P 在BC 边上．（只保留作图痕迹，不写作法）已知：如图，在ABC V 中，AB AC =，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ． 求证：PE PF CD +=．证明：如图，连接AP ．PE AB ⊥Q ，PF AC ⊥，CD AB ⊥，12APB S AB PE ∴=⋅△，12APC S AC PF =⋅△，12ABC S AB CD =⋅△．APB APC ABC S S S +=Q △△△， ∴①______12AB CD =⋅，即AB PE AC PF AB CD ⋅+⋅=⋅． Q ②______，()AB PE PF AB CD ∴⋅+=⋅，∴③______．再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④______．22．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，64AC BD ==，，动点P 从点A 出发，沿着折线A →O →B 运动，速度为每秒1个单位长度，到达B 点停止运动，设点P 的运动时间为t 秒，PAD △的面积为y ．(1)直接写出y 关于t 的函数表达式，并注明自变量t 的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y 与t 的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当4y ≤时t 的取值范围．23．龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？24．金秋十一月，阳光大草坪ABCD 正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B 在入口A 的正西方向，入口C 在入口B 的正北方向，入口D 在入口C 的北偏东60︒方向400m 处，入口D 在入口A 的北偏西45︒方向1000m 处．（ 1.73≈≈）(1)求AB 的长度；（结果精确到1米）(2)小明从入口D 处进入前往M 处赏花，点M 在AB 上，距离入口B 的500m 处．小明可以选择鹅卵石步道①D C B M ---，步行速度为50m/min ，也可以选择人工步道②D A M --，步行速度为60m/min ，请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到0.1min ） 25．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+分别交x 轴、y 轴于点A 、点B ，点C 在x 轴正半轴且2OB OC =．(1)求直线BC 的解析式；(2)如图2，过点A 的直线交线段BC 于点M ，且满足ABM V 与ACM △的面积比为1:2，点()5,1N -在线段AB 上，点E 和点F 是x 轴上的两个动点（点E 在点F 左边）且满足2EF =，连接,NE MF ，求NE EF MF ++的最小值．(3)如图3，在(2)的条件下，将点M 沿着射线AB 方向平移M '，若点P 是直线BC 上的一个动点，当45BM P '∠=︒时，请直接写出所有满足条件点P 的坐标，并写出其中一个点P 的求解过程． 26．在ABC V 中，AB AC =．(1)如图1，当90A ∠=︒时，取AC 上一点D ，取BC 上一点E ，连接BD ，DE ．若BD 平分ADE ∠，2AD DE ==，求AC 的长；(2)如图2，当60BAC ∠=︒时，取AB 上一点F ，取BC 上一点G ，连接FG ，AG ，延长BC 至点H ，连接AH ．已知60GAH ∠=︒，AH AG FG =+，求证：CH BF =；(3)当60BAC ∠=︒，点P 在ABC V 内部时，连接AP ，BP ，CP．当2AP BP +的值最小时，请直接写出BPC ABCS S V V 的值．。
辽宁省沈阳市铁西区2024-—2025学年上学期九年级第一次月考数学试题
辽宁省沈阳市铁西区2024-—2025学年上学期九年级第一次月考数学试题一、单选题1．方程2514x x -=的二次项系数和一次项系数分别为（ ）A ．5和4B ．5和4-C ．5和1-D ．5和1 2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）A ．4cm ，2cm ，1cm ，3cmB ．1cm 、2cm 、3cm 、5cmC ．3cm ，4cm ，5cm ，6cmD ．1cm 、2cm ，2cm ，4cm3．用配方法解方程2620x x --=的过程中，应将此方程化为（ ）A ．()23=11x -B ．()2=73x -C ．()26=38x -D ．()26=34x - 4．已知43a c eb d f ===，若9b d f ++=，则ac e ++=（ ） A ．12 B ．15 C ．16 D ．185．关于x 的一元二次方程()22210m x x -++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．3m ≤B ．m <3且m ≠2C ．3m ≤且m ≠2D ．m <36．如图，正方形ABCD 的面积为50，则AC 的长为（ ）A ．B ．5C ．D ．107．如图，AD BE CF ∥∥，直线12l l ，与这三条平行线分别交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，23=AB BC ，6DE =，则EF 的值为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．128．李师傅从市场上买了一块长100cm 、宽60cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将铁皮的四个角各剪掉一个边长x cm 的正方形后，剩余部分刚好能焊接成一个底面积为23200cm 的无盖工具箱，根据题意可列方程为（ ）A ．21006043200x ⨯-=B ．2100604(10060)3200x x ⨯--+=C ．(100)(60)3200x x --=D ．(1002)(602)3200x x --=9．淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a =（ ）A ．1B 1C 1D ．11 10．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。
黑龙江省绥棱县第二中学2024-—2025学年上学期九年级(五三学制)第一次月考数学试卷
黑龙江省绥棱县第二中学2024-—2025学年上学期九年级（五三学制）第一次月考数学试卷一、填空题1．2024-的相反数是．2x 的取值范围是．3．如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x 2②y=12x 2③y=x 2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）4．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张相片．若全班有x 名学生，根据题意，列出方程为．5．抛物线()223y x b x b =--+的顶点在y 轴上，则的值为．6．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是．7．若正数a 是一元二次方程x 2-5x +m =0的一个根，-a 是一元二次方程x 2+5x -m =0的一个根，则a 的值是．8．二次函数y =﹣x 2+2x +k 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程﹣x 2+2x +k =0的一个解x 1=3，另一个解x 2=．9．已知一元二次方程2310x x ++=的两根为1x 和2x ，那么()()1211x x ++的值为．10．如图所示，以O 为端点画六条射线后OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，O 后F ，再从射线OA 上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线上．二、单选题11．若()16,A y -，()23,B y -，()31,C y 为二次函数245y x x =+-图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．312y y y <<D ．213y y y <<12．抛物线y=x 2﹣2x +1的顶点坐标是（）A ．（1，0）B ．（﹣1，0）C ．（﹣2，1）D ．（2，﹣1）13．若（2，5）、（4，5）是抛物线2y ax bx c =++上的两个点，则它的对称轴是（）A ．x ＝-baB ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝314．若一元二次方程的两个根为1、5-，则这个一元二次方程是（）A ．2450x x -+=B ．2450x x +-=C ．2450x x --=D ．2450x x ++=15．下列方程中，无实数根的是（）A ．x 2+2x +5=0B ．x 2-x -2=0C ．2x 2+x -10=0D ．2x 2-x -1=016．在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．17．从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是248cm ，则原来的正方形铁皮的面积是（）A ．28cm B ．29cm C ．264cm D ．268cm 18．二次函数y =x 2+bx +c ，若b +c =0，则它的图象一定过点（）A ．（﹣1，﹣1）B ．（1，﹣1）C ．（﹣1，1）D ．（1，1）19．将抛物线()213y m x mx m =-+++向左平移2个单位，再向上平移3个单位后经过()2,3-．则m 的值是（）A ．1-B ．2C ．3-D ．020．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现有下列结论：①240b ac >－；②20a b c ++>；③()22a c b +>；④20a b +=；⑤930a b c ++<，则其中结论正确的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个三、解答题21．解下列方程：(1)2340x x --=；(2)()()3222x x x -=-．22．已知关于x 的方程mx 2－（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β满足1α＋1β＝2，求m 的值．23．小区要用篱笆围成一个四边形花坛、花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆之和恰好为18米．围成的花坛是如图所示的四边形ABCD ，其中∠ABC=∠BCD=90°，且BC=2AB ．设AB 边的长为x 米．四边形ABCD 面积为S 平方米．（1）请直接写出S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．（2）当x 是多少时，四边形ABCD 面积S 最大？最大面积是多少？24．已知一条抛物线的顶点坐标为()1,8--且这条抛物线与x 轴两交点间的距离为4，求这条抛物线的解析式．25．某书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，预这100本图书全部售完的利润不低于1100元，两种图书的进价、售价如表所示：甲种图书乙种图书进价（元/本）1628售价（元/本）2640请回答下列问题：（1）书店有多少种进书方案？（2）在这批图书全部售出的条件下，（1）中的哪种方案利润最大？最大利润是多少？（请你用所学的函数知识来解决）26．如图①正方形ABCD 中，M 是AB 中点，E 是AB 延长线上一点，MN DM ⊥交CBE ∠的平分线于N ，在DA 上截取DF MB =，∴DF FA AM BM ===，连结FM ，易证DFM MBN △≌△，∴DM MN =．(1)如图②当点M 是边AB 上任意一点时图的结论是什么？(2)如图③当点M 在AB 的延长线上时，其他条件不变结论又是什么？选择图②或③的一种情况加以证明．27．抖音直播带货的兴起，越来越多的商家都开启了抖音直播带货的模式．某商家在直播间销售某种商品，每件售价为90元，每周可卖200件．为了促销，商家决定降价销售，据市场大数据显示：销售单价每降价1元，每周可多卖20件，商品成本单价为70元．设商品销售单价为x （元），每周的销售量为y （件）．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少时，每周销售该商品获利最大，最大利润是多少元？(3)若商家在销售该商品时每周想要获得不低于4320元的利润，每周至少要销售多少件？28．如图抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且()1,0A -．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)判断ABC V 的形状，证明你的结论；(3)点M 是x 轴上的一个动点，当DM CM +最小时，求点M 的坐标．。
辽宁省盘锦市大洼区清水中学2024—2025学年上学期第一次月考九年级数学试题
辽宁省盘锦市大洼区清水中学2024—2025学年上学期第一次月考九年级数学试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．220x y -=B ．222x x +=C ．2221x x x +=+D ．220x -=2．用配方法解方程2210x x +-=时，配方结果正确的是（）A ．2(22)x +=B ．2(1)2x +=C ．2(2)3x +=D ．2(1)3x +=3．若x ＝﹣1是方程x 2+x +m ＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．24．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A ．8B ．10C ．7D ．95．将抛物线223y x =--向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为（）A ．()2222y x =-++B ．()2222y x =---C ．()2222y x =-+-D ．()2225y x =---6．2021年，成都已超额完成全年改造老旧小区300个的计划，大力促进了城市宜居品质提升．如图，某小区改造修建一个长32m ，宽18m 的矩形小花园，并在花园内修建一条水平、两条竖直的宽度相同的小路，余下部分种植花草进行绿化（图中阴影部分）．设小路宽为xm ，若绿化面积为448m 2，则可列方程为（）A ．32×18﹣32x ﹣18x ＝448B ．32×18﹣64x ﹣18x ＝448C ．（32﹣x ）（18﹣2x ）＝448D ．（32﹣2x ）（18﹣x ）＝4487．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 中，y 与x 的部分对应值如下：x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6y-1.59-1.16-0.71-0.240.250.76则一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的一个解x 满足条件（）A ．1.2＜x ＜1.3B ．1.3＜x ＜1.4C ．1.4＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜1.68．已知()21y x h =--+的图象过点()10,A y ，()24,B y -，()33,C y ，则123y y y ，，的大小关系是（）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．231y y y >>9．抛物线y=ax²＋bx ＋c(a>0)与直线y=bx ＋c 在同一坐标系中的大致图像可能为()A ．B ．C ．D ．10．如图，Rt AOB 中，AB OB ⊥，且3AB OB ==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的()A ．B ．C ．D ．二、填空题11．已知关于x 的一元二次方程()()222480a x a x ---+=不含一次项，则a =．12．二次函数223y x x =--+的图象的顶点坐标为．13．关于x 的一元二次方程2310x x m -+-=有实数根，则m 的取值范围是．14．抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣4,0），B （3,0）两点，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的解是．15．已知二次函数223y x x =-+-，当22x -<<时，函数值y 的取值范围是．16．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：①abc ＜0；②9a ﹣3b+c ＜0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ＞b ，正确的结论是（只填序号）三、解答题17．已知二次函数221y x bx =+-．(1)求证：无论b 取什么值，二次函数221y x bx =+-图象与x 轴必有两个交点．(2)若两点()3,P m -和()1,Q m 在该函数图象上．①求b m 、的值；②将二次函数图象向上平移多少单位长度后，得到的函数图象与x 轴只有一个公共点？18．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为18m ），另外三边用32m 的篱笆围成．(1)若苗圃园的面积为96m 2，求垂直于墙的一边长为多少米？(2)苗圃园的面积能否达到150m 2请说明理由．19．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？20．如图是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度40AB =米，水面离拱桥的最大高度CD 为16米，现有一艘宽20米，高出水面11米的轮船．(1)求出抛物线解析式；(2)请通过计算说明这艘船能否通过这座拱桥？21．如图，已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交手点C ．(1)求ABC V 的面积．(2)当0y ≤时，求x 的取值范围．(3)点P 为抛物线上一点（不与C 重合），若ABP ABC S S =△△，求点P 的坐标．22．2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．销售单价x （元）304045销售数量y （件）1008070(1)求该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？(3)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w （元）最大？最大利润是多少元？23．已知抛物线26y ax bx =++()0a ≠交x 轴于点()6,0A 和点()1,0B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的动点，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，当PD PE +取最大值时，求点P 的坐标；(3)点P 是抛物线上位于直线AC 上方的动点，PCE 是以PE 为腰的等腰三角形，直接写出P 点坐标．。
江苏省扬州市江都区华君外国语学校2024—2025学年上学期第一次月考九年级数学试卷
江苏省扬州市江都区华君外国语学校2024—2025学年上学期第一次月考九年级数学试卷一、单选题1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．220x y --=B ．10x x -=C ．225x x --D ．24x x =2．若关于x 的一元二次方程2230x x m -+=的一个根是1，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．03．点I 是ABC V 的外心，则点I 是ABC V 的（ ）A ．三条垂直平分线交点B ．三条角平分线交点C ．三条中线交点D ．三条高的交点4．如图，BD 是O e 的直径，30CBD ∠=︒，则A ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒5．根据下列表格的对应值：由此可判断方程212150x x +-=必有一个根满足（ ）A ．1 1.1x <<B ．1.1 1.2x <<C ．1.2 1.3x <<D ． 1.3x >6．如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，»»DCCB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于（ ）A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒7．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴、y 轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C ，与BC 相交于点D ，若⊙P 的半径为5，点A 的坐标是(0,8)，则点D 的坐标是（ ）A ．(9,2)B ．(9,3)C ．(10,2)D ．(10,3)8．如图，AB 是半圆直径，半径OC AB ⊥于点O ，AD 平分CAB ∠交弧BC 于点D ，连接CD 、OD ．下列结论：①AC OD ∥；②CE OE =；③OED AOD ∠=∠；④CD DE =．其中正确的结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．一元二次方程22x x =的根是．10．某测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，各项得分如下表：最后将四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为分． 11．直角三角形的两直角边是12，16，则此三角形的外接圆的半径是．12．圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的侧面积是cm 2．13．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为．14．如图，AB 是圆的直径，1∠、2∠、3∠、4∠的顶点均在AB 上方的圆弧上，1∠、4∠的一边分别经过点A 、B ，则1234∠+∠+∠+∠=︒．15．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，求水面宽AB ＝m ．16．已知P 是O e 内一点点P 不与圆心O 重合，点P 到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x 的一元二次方程212200ax ax --=的两个实数根，则O e 的半径为． 17．如图，以正方形ABCD 的AB 边向外作正六边形ABEFGH ，连接DH ，则∠ADH =°18．如图，已知90ABC ∠=︒，8AB =，5BC =，半径为2的O e 从点A 出发，沿A B C→→方向滚动到点C 时停止，圆心O 运动的路程是．三、解答题19．解方程：(1)()222190x x --=；(2)2260x x --=20．如图，AB ，AC 分别是O e 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD 、BC ，5AB =，4AC =，求BD 的长．21．已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k --+-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为符合条件的最大整数，求此方程的根．22．近来，由于智能聊天机器人ChatGPT 的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A ，B 两款AI 聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x 表示，分为四个等级：不满意70x <，比较满意7080x ≤<，满意8090x ≤<，非常满意90x ≥），下面给出了部分信息：抽取的对A 款AI 聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B 款AI 聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．抽取的对A ，B 款AI 聊天机器人的评分统计表根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中a =______________，b =______________，c =______________．(2)在此次测验中，有200人对A 款AI 聊天机器人进行评分、160人对B 款AI 聊天机器人进行评分，估计此次测验中对AI 聊天机器人不满意的共有多少人？23．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子，为了使每天获利的利润更多，该店决定把零售单价下降()01m m <<元．(1)零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出___________只粽子，利润为__________元．(2)不在考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？24．如图，AB 是圆O 的弦，C 是圆O 外一点，OC OA ⊥，CO 交AB 于点P ，交圆O 于点D ，且CP CB =．（1）判断直线BC 与圆O 的位置关系，并说明理由；（2）若30A ∠=o ，1OP =，求图中阴影部分的面积．25．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，（1）求作⊙P ，使圆心P 在BC 上，且⊙P 与AC 、AB 都相切；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)（2）在（1）的条件下，若AC ＝4，BC ＝3．求⊙P 的半径．26．阅读下面的材料：解方程427120x x -+=这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设2x y =，则42x y =，∴原方程可化为27120y y -+=，解得13y =，24y =，当3y =时，23x =，x =当4y =时，24x =，2x =±．∴原方程有四个根是1x 2x =32x =，42x =-．以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题：(1)解方程：222()5()40x x x x +-++=；(2)已知实数a ，b 满足22222()(310)a b a b +-+=，试求22a b +的值．27．如图1，C ，D 是半圆ACB 上的两点，点P 是直径AB 上一点，且满足APC BPD ∠=∠，则称CPD ∠是»CD的“相望角”，如图，(1)如图2，若弦CE AB ⊥，D 是弧BC 上的一点，连接DE 交AB 于点P ，连接CP ．求证：CPD ∠是»CD的“相望角”； (2)如图3，若直径6AB =，弦CE AB ⊥，»CD的“相望角”为90︒，求CD 的长． 28．如图1所示，等边三角形ABC 内接于圆O ，点P 是劣弧BC 上任意一点（不与C 重合），连接PA 、PB 、PC ，求证：PB PC PA +=．【初步探索】小明同学思考如下：将APC △与点A 顺时针旋转60︒到AQB V ，使点C 与点B 重合，可得P 、B 、Q 三点在同一直线上，进而可以证明APQ △为等边三角形，根据提示，解答下列问题：（1）根据小明的思路，请你完成证明．（2）若圆的半径为8，则PB PC +的最大值为________．【类比迁移】如图2所示，等腰Rt ABC △内接于圆O ，90BAC ∠=︒，点P 是弧BC 上任一点（不与B 、C 重合），连接PA 、PB 、PC ，若圆的半径为8，试求PBC △周长的最大值．【拓展延伸】如图3所示，等腰Rt ABC △，点A 、B 在圆O 上，90BAC ∠=︒，圆O 的半径为8，连接OC ，则OC 的最小值为_________（直接写答案）．。
内蒙古呼和浩特市实验中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题
内蒙古呼和浩特市实验中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列函数关系式中：（1）23(1)1y x =-+；（2）21y x x=-；（3）232S t =-；（4）4221y x x =+-；（5）()23632x y x x x -=+=；（6）28y mx =+；二次函数的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若x m =是方程240x x +-=的根，则22025m m ++的值为（ ）A ．2025B ．2027C ．2029D ．20303．若关于x 的一元二次方程2250bx bx ++=有两个相等的实数根，则b 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．0或4D ．0或5 4．用配方法解方程2830x x ++=，方程变形为()2x p q +=，则p q +=（ ）A ．15B ．17C ．23D ．255．我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等． 问方(面)圆径各若干? ”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少设正方形田的边长为x ，则可列出方程为（ ）A ．22π2522x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．22π252x x +=C ．22π2522x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D ．2222π252x x +=6．下列各图象中有可能是函数()20y ax a a =+≠的图象（ ）A ．B ．C ．D ． 7．如图，四边形ABCD 中，90BAD ACB ∠=∠=o ，AB AD =，4AC BC =，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）A ．2225y x =B ．2425y x =C ．225y x =D ．245y x = 8．对于一元二次方程()200ax bx c a +-=≠，下列说法：①若a c b -=，则240b ac +≥；②若方程20ax c -=有两个不相等的实根，则方程2 0ax bx c +-=必有两个不相等的实根； ③若x c =是方程2 0ax bx c +-=的一个根，则一定有10ac b +-=成立；④若0x x =大是一元二次方程2 0ax bx c +-=的根，则2204(2)b ac ax b +=+其中正确的是（ ） A ．只有①②④ B ．只有①②③ C ．只有②③④ D ．只有①②二、填空题9．已知函数()235y m x x =--+是二次函数，则m 的取值范围是．10．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出个小分支．11．若关于x 的方程ax 2＋2（a ＋2）x ＋a=0有实数解，那么实数a 的取值范围是． 12．设a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且2222()(1)6a b a b ++-=，则这个直角三角形的斜边长为．13．如图，抛物线y=ax 2﹣4和y=﹣ax 2+4都经过x 轴上的A 、B 两点，两条抛物线的顶点分别为C 、D ．当四边形ACBD 的面积为40时，a 的值为．14．下列说法：①方程20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程；②方程234x =的常数项是4；③当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解；④若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根．其中正确的是．15．如图，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，16AB cm =，6BC cm =，动点P 从点A 出发，以3/cm s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2/cm s 的速度向点D 运动，当时间为时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ．16．已知关于x 的一元二次方程22(1)20(0)ax a x a a --+-=>，设方程的两个实数根分别为为1x ，2x （其中12x x >）， 若y 是关于a 的函数， 且12y x ax =-，当0y >时，a 的取值范围为．三、解答题17．解方程：(1)22430x x +-=；（公式法）(2)()()25171x x +=+；（因式分解法）(3)()()22215140x x ---+=．18．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +2m ﹣4＝0有两个实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若方程的两根满足（x 1﹣3）（x 2﹣3）＝m 2﹣1，求m 的值．19．某旅行社有客房120间，每间客房的住宿费60元/日，每天都客满，该旅行社在装修后要提高客户住宿费，经市场调查，如果每间客房的住宿费每增加5元/日，那么每天的客房相应空出6间（不考虑其他因素）（1）旅行社每间客房的住宿费提高到多少元时，客房日总住宿费收入不变？（2）旅行社将每间客房的住宿费提高，客房日总住宿费收入能否达到7710元？说明理由？ 20．一个小球以5m /s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止滚动．（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？（2）小球滚动5m 约用了多少秒（结果保留小数点后一位）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度v （初速度与末速度的算术平均数）与路程s ，时间t 的关系为s vt =．）21．实验中学九年级（8）班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数 2334y x =-的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．(1)函数 2334y x =-的自变量x 的取值范围是； (2)①列表：下表是x y ，的几组对应值，其中m =， n =；②描点：根据表中的数值描点(),x y ， 请补充描出点()1,m -， ()1,n ；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整；(3)下列关于该函数的说法，错误的是（ ）A ． 函数图象是轴对称图形B ． 当x >0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大C ． 函数值y 都是非负数D ． 若函数图象经过点(),m a 与(),m b -， 则a b =．(4)点(),e p 与(),f q 在函数图象上， 且2f e <<， 则p 与q 的大小关系是． 22．已知12x x ，是关于x 的一元二次方程20(22210)()m x m x m ++-++=的两实数根．(1)求m 的取值范围；(2)已知等腰ABC V 的底边4BC =，若12x x ，恰好是ABC V 另外两边的边长，求这个三角形的周长．(3)阅读材料：若ABC V 三边的长分别为a b c ，，，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得：V ABC S 2a b c p ++=，在（2）的条件下，若BAC ∠和ABC ∠的角平分线交于点I ，根据以上信息，求BIC △的面积．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线()30y kx k =-≠与抛物线2y x =-相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 关于y 轴的对称点为B '．(1)当2k =时， 求A ，B 两点的坐标；(2)试探究直线AB '是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标； 若不是，请说明理由．。
广东省阳江市第一中学实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题
广东省阳江市第一中学实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．213y x =B ．23y x =C ．32y x =-+D ．3x y = 2．方程(3)2(3)x x x -=-的根是（ ）A ．3x =B ．2x =C ．12x =，23x =D ．13x =，22x =- 3．抛物线()2423y x =-+的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()2,3--D ．()2,3- 4．若a 为方程250+-=x x 的解，则21a a ++的值为（ ）A ．4-B ．4C ．9D ．6 5．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，最大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 6．若函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．3k < B ．3k <且0k ≠ C ．3k ≤ D ．3k ≤且0k ≠ 7．将抛物线y =3x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A ．y =3(x +2)2-3 B ．y =3(x +2)2-2 C ．y =3(x -2)2-3 D ．y =3(x -2)2-2 8．如果点(1,3),(,3)A B m 是抛物线2(4)y a x h =-+上两个不同的点，那么m 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．79．已知方程20ax bx c ++=的解是14x =，25x =-，则方程2(1)(1)0a x b x c ++++=的解是（ ）A ．13x =，26x =-B ．15x =，24x =-C ．15x =，26x =D ．13x =-，26x =-10．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，下列结论：①0abc >， ②240b ac ->， ③930a b c ++>， ④80a c +<，其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题11．写出一个经过点()02，，开口向下的抛物线解析式为． 12．已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x ，则可列出方程． 13．如图，二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点(1,4)A -， (6,2)B ，则使12y y <成立的x 的取值范围是．14．设A (－2，y 1)、B (1，y 2)、C (2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋k 上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线213y x =于点B ，C ，则BC 的长为．三、解答题16．对于任意实数a ，b ，定义一种运算：22a b a b *=-，若(1)20x +*=，求x 的值．17．已知二次函数图象经过点()1,3A ，其对称轴为直线2x =，函数的最大值为5.(1)求此函数的解析式；(2)当y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围为____________（请直接写出答案）. 18．将一个正方形的场地扩建，一边加长5m ，一边加长2m 后变成矩形，且矩形的面积是254cm ，求原来正方形的边长．19．如图是二次函数y ＝a (x ＋1)2＋2的图象的一部分，根据图象回答下列问题：(1)抛物线与x 轴的一个交点A 的坐标是，则抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标是；(2)确定a 的值；(3)设抛物线的顶点是P ，试求△P AB 的面积．20．如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上，坐标原点O 在边BC 上，AD ＝6，OA 、OB 的长分别是关于x 的一元二次方程x 2﹣7x +12＝0的两个根．且OA ＞OB ． （1）求点C 、D 的坐标．（2）求证：射线AO 是∠BAC 的平分线．21．某商城在2024年端午节期间促销某品牌冰箱，每台进价为2500元，标价为3000元．(1)商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台2430元的价格卖给中奖者．求每次降价的百分率；(2)经市场调研表明：当每台冰箱的售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降低50元时，平均每天能多售出4台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为5000元，则每台冰箱的售价应定为多少元？22．已知二次函数2y x bx c =++，该函数图象的对称轴为直线1x =，与x 轴相交于点A 和点B （点B 在点A 右侧），与y 轴交于点(0,3)C -．(1)求该二次函数的表达式；(2)如图①，点D 是直线BC 下方抛物线上的动点，过点D 作DE x ∥轴交直线BC 于点E ，求DE 的最大值；(3)如图②，点P 是直线BC 下方抛物线上的动点，PQ BC ⊥于点Q ，当PQ 取最大值时，求点P 的坐标．23．如图，在Rt ABC △中，90B ??，40cm AC =，30C ∠=︒．点D 从点C 出发沿CA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D ，B 运动的时间是()020s t t <≤，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE EF ，．(1)用含t 的代数式表示DA =，DF =．(2)是否存在某一时刻t ，使点F 在线段AC 的中垂线上?若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．是是(3)当t 为时，ADB V 为直角三角形．（直接写答案）(4)是否存在某一时刻t ，使DEF V 的面积是ABC V 面积的625，若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．。
上海市虹口区部分学校2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考试题
上海市虹口区部分学校2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考试题一、单选题1．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点A、B、C都在横线上，如果线段AB的长为4，那么AC的长是（）A．2 B．3 C．6 D．82．下列图形中，一定相似的是（）A．两个圆B．两个矩形C．两个直角梯形D．两个等腰三角形3．如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（）A．1：2 B．1：4C．1：8 D．1：164．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（）A．50.45x=B．550.4xx=+C．0.455xx=-D．50.455x=+5．如图所示，已知直线a b c∥∥，下列结论中，正确的是（）A ．AB BC EF CE = B ．CD BC EF BE = C ．CE AD DF BC = D ．AF AD BE BC= 6．象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”下一步应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）A ．①处B ．②处C ．③处D ．④处二、填空题7．已知():7:2x y y +=，那么-x x y的值是． 8．已知线段 4.9a =厘米，10b =厘米，那么线段a 与b 的比例中项c 是厘米．9．如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB 与它的物像A B ''平行，已知玻璃棒12AB =厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像A B ''的长是厘米．10．已知ABC V 的三边之比是2：3：4，与它相似的DEF V 的最小边长是6，那么DEF V 的最大边长是．11．如图所示，在ABC V 中，DE BC ∥，AQ 平分BAC ∠，交DE 于点P ，如果6,8,12DE BC AQ ===，那么AP 的长是．12．如图所示，已知等边ABC V 的边长为4，点D 在BC 边上且1BD =，点E 在AC 边上，60ADE ∠=︒，那么CE 的长是．13．如图所示，在正方形ABCD 中，BD 为对角线，点F 在边AD 的延长线上，DF DB =，连接BF 交DC 于点E ，那么DE AB的值是．14．如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 、F 分别在AB 、DC 上，且EF AD ∥，如果2AD =，3EF =，23AE EB =，那么BC 的长为．15．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为2米的木杆CG 放在灯杆AB 前，测得其影长CH 为1米，再将木杆CG 沿着射线BC 方向移动到点D 的位置， 3.6CD =米，此时测得影长DF 为3米，那么灯杆AB 的高度为米．16．如图所示，点G 是ABC V 的重心，点D 是边AC 的中点，过点G 作GE AC ∥交BC 于点E ，过点D 作DF BC ∥交EG 的延长线于点F ，如果四边形CDFE 的面积为12，那么ABC V 的面积为．17．定义：有且只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做单邻等对补四边形．如图所示，在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，分别在BC 、AB 上取点M 、N ，如果四边形ACMN 为单邻等对补四边形，那么MN 的长为．18．如图所示，在ABC V 中，已知5AB AC ==，8BC =，点D 为BC 边上一点，点E 在AC 边上，且3AE EC =，将ABD V 沿AD 翻折，使得BD 的对应边FD 经过点E ，当D E E F >时，点C 到点D 的距离是．三、解答题19．已知345a b c ==，32412a b c +-=，求a 、b 、c 的值． 20．如图所示，在ABC V 中，点D 在边AB 上，已知6AB =，2AD =，5AC =，如果在AC上找一点E ，使得ADE V 与ABC V 相似，求CE 的长．21．已知如图所示，在ABC V 中，点D 在边AB 上，点E 、F 在边AC 上，且DE BC ∥，使AE AF AC AE=．(1)求证：DF BE ∥；(2)把FDE V 与EBC V 的周长分别记作FDE C △、EBC C △，如果CF AE =，求FDE EBCC C V V 的值． 22．ABC ∆表示一块直角三角形空地，已知90ACB ∠=o ，边4AC =米，3BC =米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图1、图2所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大．23．如图所示，在四边形ABCD 中，BD 为对角线，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，已知AB AD BE AE=，点F 在BC 边上，且2AB BF BC =⋅．(1)求证：BE BD BF BC ⋅=⋅；(2)连接DF 、CE ，如果点D 在CF 的垂直平分线上，求证：BF BC EF CE=． 24．（1）如图所示，在梯形ABCD 中，BC P AD ，90C ∠=︒，点E 为CD 边上一点，连接BE 、AE ，已知,1,2,6AB BE CE BC CD ⊥===，求AD 的长；（2）①在一场数学设计活动中，老师提出了一个问题： 【问题】已知直线a 、b ，满足a b P ，点C 为直线a 、b 之间一点，试用直尺、圆规在如图所示中作出ACB △，使得90,ACB CA CB ∠=︒=，其中点A 在直线a 上，点B 在直线b 上．【设计】活动成员小明结合作业题中的解题思路，尝试利用尺规完成作图：第一步：利用直尺，过点C 作直线b 的垂线，分别交直线a 、b 于点E 、F ；第二步：在点E 、F 的右边分别取点A 、B ，由于 ∽ ，可以得到CF AE的值是 ； 第三步：利用圆规，分别在直线a 、b 上截出AE 、BF ，连接AB ，即可得到所求的三角形．【操作】请你根据上述思路，完成第二步填空，并在图中作出满足条件的ACB △． ②通过小明同学的思路与作法，请你尝试设计：当直线a 、b 不平行时，利用尺规在如图中作出ACB △，使得90,ACB CA CB ∠=︒=，其中点A 在直线a 上，点B 在直线b 上．（不写作图过程，保留作图痕迹）25．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，点E 为AD 边上一点，且2AE =，1ED =，连接BE 、AC 交于点F ，已知12EF BF =，过点F 作CD 的平行线交BC 于点G ，连接DG 交AC 于点P ．(1)求证：点G 是BC 的中点；(2)如果C FPG FG ∽△△，求DG 的长；(3)如图所示，如果EDP ∠与AFE ∠互补，求PGC V 的面积．。
江苏省宿迁市钟吾初级中学2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考试题(含详解)
江苏省宿迁市钟吾初级中学2024-2025学年初中九上数学第一次月考试题一．选择题（共6小题）1．抛物线y＝﹣x2+2x﹣c过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3）三点．则将y1，y2，y3，从小到大顺序排列是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y12．一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（ ）A．4B．﹣4C．3D．﹣33．某厂一月份生产某机器200台，计划第一季度共生产1800台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出得方程是（ ）A．200（1+x）2＝1800B．200（1+x）+200（1+x）2＝1800C．200（1﹣x）2＝1800D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝18004．若关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（ ）A．x1＝﹣6，x2＝﹣1B．x1＝0，x2＝5C．x1＝﹣3，x2＝5D．x1＝﹣6，x2＝25．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）A．100×80﹣100x﹣80x＝7644B．（100﹣x）（80﹣x）+x2＝7644C．（100﹣x）（80﹣x）＝7644D．100x+80x＝3566．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（ ）A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤二．填空题（共11小题）7．如果抛物线y＝2x2+4x+m的顶点在x轴上，则m＝ ．8．若a：b＝3：4，且a+b＝14，则2a﹣b的值是 ．9．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜﹣＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④ax2+bx+c＝0，必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有 ．（填序号）10．对于实数a、b，定义运算“*”；，关于x的方程（2x）*（x﹣1）＝t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．11．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0的一个根为0，则a＝ ．12．已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣2（a2+b2）＝8，则a2+b2的值为 ．13．已知点A（﹣5，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则y1和y2的大小关系是 ．（用“＞”连接）．14．若x1，x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ．15．关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．16．已知二次函数y＝x2+2x﹣n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围时，函数的图象与x 轴有且只有两个公共点，则n的取值范围是 ．17．如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E（0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是 ．三．解答题（共7小题）18．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1．（1）求证：无论m取任何值，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点；（2）若此函数图象的顶点为D点，与y轴的交点于点C，直线CD与x轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，求证：BC⊥AD．19．如图，抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D在y轴正半轴上，直线AD：y＝x+b与抛物线交于点E．（1）求线段BC的长度；（2）如图2，点P是线段AE上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求的最大值；（3）如图3，将抛物线y＝向左平移4个单位长度，将△DCA沿直线BC 平移，平移后的△DCA记为ΔD'C'A'，在新抛物线的对称轴上找一点M，当△A'C'M是以点A'为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长；（1）若a＝b＝c，试求这个一元二次方程的根；（2）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．21．如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？（2）如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为56平方米的花圃，AB的长是多少米？（3）在（1）的条件下，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．22．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象过点A（﹣1，0）、点B（0，3）．（1）该二次函数的顶点是 ；（2）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y＝mx+n经过A、C两点，满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是 ．（3）在对称轴上找一点M，使|MA﹣MC|取得最大值，求出此时M的坐标．23．2022年冬奥会在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式 ．（2）设每月获得的利润为W（元），当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大，最大利润为多少元？（3）该网店的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：方案A：销售单价高于进价且不超过进价20元．方案B：每月销售量不少于220件，且每件文化衫的利润至少为35元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由24．已知：抛物线l1：y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C ，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（6，0），交y轴于点D（0，﹣3）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）如图，N为抛物线l1上一动点，过点N作直线MN∥y轴，交抛物线l2于点M，点N自点A运动至点B的过程中，求线段MN长度的最大值．（3）P为抛物线l1的对称轴上一动点，Q为抛物线l2上一动点，是否存在P、Q两点，使得B、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣c＝﹣（x﹣1）2+1﹣c，∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∵A（﹣1，y1）关于直线x＝1的对称点是（3，y1），且1＜2＜3＜5，∴y2＞y1＞y3，即y3＜y1＜y2．故选：C．2．【解答】解：x1•x2＝﹣3．故选：D．3．【解答】解：二月份的生产量为200×（1+x），三月份的生产量为200×（1+x）（1+x），那么200+200（1+x）+200（1+x）2＝1800．故选：D．4．【解答】解：解方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均为常数，m≠0）得，x＝﹣h±，∵此方程解是x1＝﹣3，x2＝2，∴﹣h﹣＝﹣3，﹣h+＝2，∵方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x＝3﹣h±，∴x1＝3﹣3＝0，x2＝3+2＝5，故选：B．5．【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有（100﹣x）（80﹣x）＝7644，故选：C．6．【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；②由于a＜0，所以﹣2a＞0．又b＞0，所以b﹣2a＞0，故②错误；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③错误；④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝n时，y＝an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故④正确；⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故⑤正确；故④⑤正确．故选：D．二．填空题（共11小题）7．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+4x+m的顶点在x轴上，∴b2﹣4ac＝0，即16﹣8m＝0，解得m＝2，故答案为2．8．【解答】解：设a＝3k，b＝4k，（k≠0），∵a+b＝14，∴3k+4k＝14，解得：k＝2，∴a＝6，b＝8，∴2a﹣b＝2×6﹣8＝4．故答案为：4．9．【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0．∴①的结论不正确；∵函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵1＜m＜2，∴0＜＜．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∴0＜﹣＜．∴②的结论正确；∵点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，A（﹣2，y1）到抛物线的对称轴的距离大于B（2，y2）到抛物线的对称轴的距离，∴y1＞y2，∴③的结论不正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0，必有两个不相等的实数根，∴④的结论正确，结论正确的有：②④，故答案为：②④．10．【解答】解：由新定义的运算可得关于x的方程为：当2x≤x﹣1时，即x≤﹣1时，有（2x）2﹣2x（x﹣1）＝t+3，即：2x2+2x﹣t﹣3＝0（x≤﹣1），其根为：是负数，当2x＞x﹣1时，即x＞﹣1，时，有（x﹣1）2﹣2x（x﹣1）＝t+3，即：x2＝﹣t﹣2（x＞﹣1），要使关于x的方程（2x）*（x﹣1）＝t+3恰好有三个不相等的实数根，则x2＝﹣t﹣2（x＞﹣1）和2x2+2x﹣t﹣3＝0（x≤﹣1）都必须有解，∴，∴，（1）当﹣t﹣2＝0时，即t＝﹣2时，方程x2＝﹣t﹣2（x＞﹣1）只有一个根x＝0，∵当t＝﹣2时，，∴，，∴此时方程2x2+2x﹣t﹣3＝0（x≤﹣1）只有一个根符合题意，∴t＝﹣2不符合题意；（2）当﹣3＜t＜﹣2时，方程x2＝﹣t﹣2（x＞﹣1）的两个根﹣1＜x＜1都符合题意，∵当﹣3＜t＜﹣2时，，∴，，∴方程2x2+2x﹣t﹣3＝0（x≤﹣1）只有一个根符合题意，∴当﹣3＜t＜﹣2时，（2x）*（x﹣1）＝t+3恰好有三个不相等的实数根；（3）∵当时，方程x2＝﹣t﹣2（x＞﹣1）的一个根≥1，另外一个根≤﹣1，∴此时方程x2＝﹣t﹣2（x＞﹣1）只有一个根符合题意，∵，，∴当时，方程2x2+2x﹣t﹣3＝0（x≤﹣1）最多有一个根符合题意，∴当时（2x）*（x﹣1）＝t+3不可能有三个不相等的实根；综上分析可知，t的取值范围是﹣3＜t＜﹣2．故答案为：﹣3＜t＜﹣2．11．【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0的一个根为0，∴a+1≠0且a2﹣1＝0，∴a＝1．故答案为：1．12．【解答】解：设y＝a2+b2，原式化为y2﹣2y﹣8＝0，即（y﹣4）（y+2）＝0，可得y﹣4＝0或y+2＝0，解得：y1＝4，y2＝﹣2，∵a2+b2＞0，∴a2+b2＝4．故答案为：4．13．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+2，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴B（2，y2）关于对称轴的对称点为（﹣4，y2），∵﹣5＜﹣4＜﹣1，∴y1＜y2．故答案为：＜．14．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2021＝0，即x12﹣4x1＝2021，则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2021+2×4＝2021+8＝2029．故答案为：2029．15．【解答】解：当k＝0，方程变形为3x﹣1＝0，此一元一次方程的解为x＝；当k≠0，Δ＝9﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣，即k≥﹣且k≠0时，方程有两个实数根，综上所述实数k的取值范围为k≥﹣．故答案为：k≥﹣．16．【解答】解：依照题意画出图象，如图所示.观察函数图象可知：，解得：﹣1＜n≤0．故答案为：﹣1＜n≤0．17．【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0），∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，∴C点为AB的中点，∵∠DPE＝90°，∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（0，﹣4），AQ＝＝5，⊙Q的半径为2，延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2+5＝7，连接AP，∵M是线段PB的中点，∴CM为△ABP为中位线，∴CM＝AP，∴CM的最大值为．故答案为：．三．解答题（共7小题）18．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m）2﹣4×（﹣1）×1＝4m2+4＞0，∴方程﹣x2+2mx+1＝0有两个不同的实数解，即无论m取任何值，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点．（2）证明：∵二次函数y＝﹣x2+2mx+1，∴对称轴的直线为，顶点D点的坐标为（m，m2+1），点C（0，1），∵对称轴的直线x＝m与x轴相交于点B，∴B（m，0），∴BC2＝m2+12＝m2+1，BD2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，CD2＝m2+（m2+1﹣1）2＝m4+m2，∵BC2+CD2＝m2+1+m4+m2＝m4+2m2+1，∴BC2+CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，∴BC⊥AD．19．【解答】解：（1）令y＝0，则＝0，解得x＝6或x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（6，0），令x＝0，则x＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴BC＝3；（2）将点A（﹣4，0）代入y＝x+b，∴﹣4+b＝0，解得b＝4，∴y＝x+4，∴D（0，4），联立方程组，解得或，∴E（14，18），设P（t，t+4）（﹣4＜t＜14），∵PQ∥y轴，∴Q（t，t2﹣t﹣3），∴PQ＝t+4﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+7，∵CD＝7，∴＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣5）2+，∴当t＝5时，有最大值；（3）∵y＝＝﹣（x﹣1）2﹣，∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2﹣，∴抛物线的对称轴为x＝﹣3，设M（﹣3，m），∵A（﹣4，0），C（0，﹣3），∴AC＝5，∴A'C'＝5，∵△A'C'M是以点A'为直角顶点的等腰直角三角形，∴A'M＝5，设△ACD沿x轴向左平移2a个单位长度，则沿y轴向下平移a个单位长度，∴A'（﹣4﹣2a，﹣a），C'（﹣2a，﹣3﹣a），∴＝5①，C'M＝，∵C'M＝A'C'，∴＝5②，联立①②可得或，∴M（﹣3，3）或（﹣3，﹣2）．20．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴原方程为x2+x＝0，即x（x+1）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1．（2）∵方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝4b2﹣4a2+4c2＝0，∴a2＝b2+c2．∵a、b、c分别为△ABC三边的长，∴△ABC为直角三角形．21．【解答】解：（1）设AB的长为x米，则BC的长为（24﹣3x）米，根据题意得：x（24﹣3x）＝45，解得x1＝3，x2＝5，当x＝3时，BC＝24﹣3x＝15，符合题意，当x＝5时，BC＝24﹣3x＝9，符合题意，∴AB的长是3米或5米；（2）设AB的长为m米，则BC的长为（24﹣3m+1+1）米，根据题意得：m（24﹣3m+1+1）＝56，解得m1＝，m2＝4，当m＝时，BC＝24﹣3m+1+1＝12，符合题意，当m＝4时，BC＝24﹣3m+1+1＝14，符合题意；∴AB的长是米或4米；（3）能围成面积比45平方米更大的花圃，理由如下：设AB的长为x米，围成面积为w平方米，∵墙的最大可用长度为a为15米，∴24﹣3x≤15，解得x≥3，根据题意得w＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，x≥3，∴x＝4时，w取最大值，最大值为48平方米，此时24﹣3x＝24﹣3×4＝12，答：当AB＝4，BC＝12时，能围成面积比45平方米更大的花圃，最大面积是48平方米．22．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴二次函数的顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4），（2）由（1）得，二次函数的对称轴为直线x＝1，B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，∴点C（2，3），由图象可知，不等式ax2+bx+c＞mx的x的取值范围：﹣1＜x＜2．故答案为：﹣1＜x＜2．（3）函数的对称轴为直线x＝1，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，如图所示，|AM1﹣M1C|＝|AM1﹣BM1|≤AB，连接AB与对称轴交于点M，此时|MA﹣MC|＝|MA﹣MB|＝AB，∴|MA﹣MC|的最大值为AB；设AB直线解析式为y＝kx+b的图象经过A，B两点，∴，解得，∴直线AB解析式为y＝3x+3，把x＝1代入得，y＝3×1+3＝6，∴M的坐标为（1，6）．23．【解答】解：（1）由题意：设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），将（40，600），（80，200）代入得：，解得：，故答案为：y＝﹣10x+1000；（2）由题意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝70时，W有最大值，W最大值＝9000（元）．∴销售单价为70元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为9000元；（3）选择方案B，理由：方案A：由题意，40＜x≤60，方案B：由y≥220，可得x≤78，∴75≤x≤78，∵a＝﹣10＜0，且对称轴为直线x＝70，∵75﹣70＜70﹣60，∴当x＝75时，最大利润最高，∴选择方案B．24．【解答】解：（1）设抛物线l2的函数表达式为y＝ax2+bx+c，当y＝0时，由﹣x2+2x+3＝0得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），把A（﹣1，0）、D（0，﹣3）、E（6，0）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线l2的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3．（2）如图1，设点N的横坐标为x（﹣1＜x≤3），∴N（x，﹣x2+2x+3），M（x，x2﹣x﹣3），∴MN＝（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣x﹣3）＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，∵＜0，且﹣1＜＜3，∴当x＝时，MN的最大值为.（3）存在，如图2，设抛物线l1的顶点为点R，作RQ⊥y轴交抛物线l2于点Q，∵y＝﹣x2+2x+3＝y＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线l1的对称轴为直线x＝1，顶点为R（1，4），过点Q作PQ∥DB交直线x＝1于点P，作四边形PQDB，BD交直线x＝1于点H，抛物线y＝x2﹣x﹣3，当y＝4时，则x2﹣x﹣3＝4，解得x1＝﹣2，x2＝7，∴Q（﹣2，4），∵∠QPR＝∠BHP＝∠BDO，∠PRQ＝∠DOB＝90°，RQ＝OB＝3，∴△PRQ≌△DOB（AAS），∴PQ＝DB，∴四边形PQDB是平行四边形，∵PR＝DO＝3，∴P（1，7）；如图3，设直线x＝1交抛物线l2于点G，抛物线l2：y＝x2﹣x﹣3，当x＝1时，y＝﹣﹣3＝﹣5，∴G（1，﹣5），设抛物线l2与抛物线l1的另一个交点为点Q，由得，，∴Q（4，﹣5），作QP∥BD交直线x＝1于点P，作四边形PQBD，BD交直线x＝1于点H，连接GQ，则GQ∥x轴，且GQ＝3，∴∠GPQ＝∠RHB＝∠ODB，∠PGQ＝∠DOB＝90°，GQ＝OB＝3，∴△PGQ≌△DOB（AAS），∴QP＝BD，∴四边形PQBD是平行四边形，∵GP＝OD＝3，∴P（1，﹣8）；如图4，平行四边形PBQD以BD为对角线，设点F是BD的中点，则F（，﹣），∴点Q与点P关于BD的中点F成中心对称，在（2）的条件下，直线MN为x＝，∵B（3，0），∴直线x＝平分OB，∴直线x＝也平分BD，∴直线x＝经过点F（，﹣），∴点Q与点P到直线MN的距离相等，∴点Q的横坐标为+（﹣1）＝2，抛物线y＝x2﹣x﹣3，当x＝2时，y＝×4﹣×2﹣3＝﹣6，∴Q（2，﹣6），作DK∥x轴，作QK⊥DK交DK于点K，设DQ交直线x＝1于点J，直线x＝1交x轴于点I，则K（2，﹣3），∵∠DQK＝∠DJI＝∠BPI，∠K＝∠PIB＝90°，KD＝IB＝2，∴△PDK≌△PBI（AAS），∴QK＝PI＝3，∴P（1，3），综上所述，P（1，7），Q（﹣2，4）或P（1，﹣8），Q（4，﹣5）或P（1，3），Q（2，﹣6）．。
2023-2024学年九年级(上)第一次月考数学试卷-(含答案)
2023-2024学年九年级(上)第一次月考数学试卷一．选择题（共10小题，共30分）1．（3分）用配方法解一元二次方程2x 2﹣3x ﹣1＝0，配方正确的是（）A ．（x ﹣）2＝B ．（x ﹣）2＝C ．（x ﹣）2＝D ．（x ﹣）2＝2．（3分）下列说法不正确的是（）A ．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B ．一组邻边相等的菱形是正方形C ．有三个角是直角的四边形是矩形D ．对角线相等的菱形是正方形3．（3分）若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +kb +1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx +b 的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．（3分）如图，在菱形ABCD 中，CE ⊥AB 于点E ，E 点恰好为AB 的中点，则菱形ABCD 的较大内角度数为（）A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°5．（3分）某市“菜篮子工程”蔬菜基地2022年产量为100吨，预计到2024年产量可达121吨．设该基地蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（）A．100（1+x）2＝121B．121（1﹣x）2＝100C．100（1+2x）＝121D．100（1+x2）＝1216．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF ＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）A．逐渐增加B．逐渐减小C．保持不变且与EF的长度相等D．保持不变且与AB的长度相等7．（3分）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的是（）A．AO＝CO，BO＝OD B．AB＝BC，AO＝COC．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥DB D．AO＝CO＝BO＝DO8．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件：（1）∠1+∠DBC＝90°；（2）OA＝OB；（3）∠1＝∠2，其中能判定平行四边形ABCD是菱形的条件有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE ⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AG平分∠BAC交BD于G，DE⊥AG于点H．下列结论：①AD＝2AE：②FD＝AG；③CF＝CD：④四边形FGEA是菱形；⑤OF＝BE，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共5小题，共15分）11．（3分）一元二次方程x2＝5x的根．12．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH 的长为．13．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是．14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．三．解答题（共8小题，共75分）16．（16分）用恰当的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣2＝0；（2）4x2﹣25＝0；（3）（2x+1）2+4（2x+1）+4＝0；（4）（x﹣1）（x﹣3）＝8．17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．18．（8分）关于x的一元二次方程2﹣3+＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（﹣1）2++﹣3＝0与方程2﹣3+＝0有一个相同的根，求此时m的值．19．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．20．（8分）某旅行社的一则广告如下：甲公司想分批组织员工到延安红色旅游学习．（1）如果第一批组织40人去学习，则公司应向旅行社交费元；（2）如果公司计划用29250元组织第一批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？21．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M 是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．22．（8分）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？23．（11分）四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．（1）问题发现如图1，若点E在CB的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；（2）操作探究将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）解决问题将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转，若BE＝1，AB＝，当E，F，D三点共线时，请直接写出CE的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，共30分）1．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝【分析】化二次项系数为1后，把常数项﹣右移，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故选：A．2．（3分）下列说法不正确的是（）A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B．一组邻边相等的菱形是正方形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形【分析】利用正方形的判定、平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；D、对角线相等的菱形是正方形，正确．故选：B．3．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx+b的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＝0，即kb＝0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＞0，b＞0，即kb＞0，故C不正确；D．k＜0，b＜0，即kb＞0，故D不正确．故选：B．4．（3分）如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD 的较大内角度数为（）A．100°B．120°C．135°D．150°【分析】连接AC，证明△ABC是等边三角形，得出∠B＝60°，则∠D＝60°，∠BAD ＝∠BCD＝120°，即可得出答案．【解答】解：连接AC，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴BC＝AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°；即菱形ABCD的较大内角度数为120°；故选：B．5．（3分）某市“菜篮子工程”蔬菜基地2022年产量为100吨，预计到2024年产量可达121吨．设该基地蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．100（1+x）2＝121B．121（1﹣x）2＝100C．100（1+2x）＝121D．100（1+x2）＝121【分析】利用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从100吨增加到121吨”，即可得出方程．【解答】解：由题意知，设该基地蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2022年产量为100吨，则2023年蔬菜产量为100（1+x）吨，2024年蔬菜产量为100（1+x）（1+x）吨，预计2024年产量可达121吨，即：100（1+x）（1+x）＝121或100（1+x）2＝121．故选：A．6．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF ＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）A．逐渐增加B．逐渐减小C．保持不变且与EF的长度相等D．保持不变且与AB的长度相等【分析】证明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF，根据线段的和可知：AE+CF＝AB，是一定值，可作判断．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°，∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD＝60°，∴∠A＝∠CDB，∵∠EBF＝60°，∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，∴∠ABE＝∠DBF，在△ABE和△DBF中，∵，∴△ABE≌△DBF（AAS），∴AE＝DF，∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB，故选：D．7．（3分）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的是（）A．AO＝CO，BO＝OD B．AB＝BC，AO＝COC．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥DB D．AO＝CO＝BO＝DO【分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定逐个判断即可．【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；B、根据AB＝BC，AO＝CO不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；C、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、∵OA＝OB＝OC＝OD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；故选：D．8．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件：（1）∠1+∠DBC＝90°；（2）OA＝OB；（3）∠1＝∠2，其中能判定平行四边形ABCD是菱形的条件有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠1＝∠BCO，若∠1+∠DBC＝90°时，则∠BCO+∠DBC＝90°，∴∠BOC＝90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；（1）能判定平行四边形ABCD是菱形；若OA＝OB，则AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）不能判定平行四边形ABCD是菱形；若∠1＝∠2，则∠2＝∠BCO，∴AB＝CB，∴四边形ABCD是菱形；（3）能判定平行四边形ABCD是菱形；故选：C．9．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE ⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．＝S△AOE+S△DOE，【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD 即可得到OE+EF的值．【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴S△AOD∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AG平分∠BAC交BD于G，DE⊥AG于点H．下列结论：①AD＝2AE：②FD＝AG；③CF＝CD：④四边形FGEA是菱形；⑤OF＝BE，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①根据正方形的性质和角平分线的定义得：∠BAG＝∠CAG＝22.5°，由垂直的定义计算∠AED＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠EAD＝∠EAD＝22.5°，得ED是AG的垂直平分线，则AE＝EG，△BEG是等腰直角三角形，则AD＝AB＞2AE，可作判断；②证明△DAF≌△ABG（ASA），可作判断；③分别计算∠CDF＝∠CFD＝67.5°，可作判断；④根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可作判断；⑤设BG＝x，则AF＝AE＝x，表示OF和BE的长，可作判断．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAG＝22.5°，∵AG⊥ED，∴∠AHE＝∠EHG＝90°，∴∠AED＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADE＝22.5°，∵∠ADB＝45°，∴∠EDG＝22.5°＝∠ADE，∵∠AHD＝∠GHD＝90°，∴∠DAG＝∠DGA，∴AD＝DG，AH＝GH，∴ED是AG的垂直平分线，∴AE＝EG，∴∠EAG＝∠AGE＝22.5°，∴∠BEG＝45°＝∠ABG，∴∠BGE＝90°，∴AE＝EG＜BE，∴AD＝AB＞2AE，故①不正确；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAF＝∠ABG＝45°，∵∠ADF＝∠BAG＝22.5°，∴△DAF≌△ABG（ASA），∴DF＝AG，故②正确；③∵∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°，∠CFD＝∠AFE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD，故③正确；④∵∠EAH＝∠FAH，∠AHE＝∠AHF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴EH＝FH，∵AH＝GH，AG⊥EF，∴四边形FGEA是菱形；故④正确；⑤设BG＝x，则AF＝AE＝x，由①知△BEG是等腰直角三角形，∴BE＝x，∴AB＝AE+BE＝x+x＝（+1）x，∴AO＝＝，∴OF＝AO﹣AF＝﹣x＝，∴＝＝，∴OF＝BE；故⑤正确；本题正确的结论有：②③④⑤；故选：C．二．填空题（共5小题，共15分）11．（3分）一元二次方程x2＝5x的根x1＝0，x2＝5．【分析】先移项，然后通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解．【解答】解：由原方程，得x2﹣5x＝0，则x（x﹣5）＝0，解得x1＝0，x2＝5．故答案是：x1＝0，x2＝5．12．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为．【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用三角形面积以及勾股定理得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，＝×AC×BD＝120，AO＝12，OD＝5，AC⊥BD，∴S菱形ABCD∴AD＝AB＝＝13，∵DH⊥AB，∴AO×BD＝DH×AB，∴12×10＝13×DH，∴DH＝．故答案为：．13．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是k≤5．【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，其中k﹣1≠0时根据题意列出关于k的不等式求解可得．【解答】解：当k﹣1＝0时，方程为4x+1＝0，显然有实数根；当k﹣1≠0，即k≠1时，△＝42﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤5且k≠1；综上，k≤5．故答案为：k≤5．14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为1．【分析】方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，FD的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∵DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），PD＝CF＝，∴AP＝AD﹣PD＝，∴PE＝＝＝2，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝1；方法二：设DF，CE交于O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，∵点E，F分别是边AB，BC的中点，∴BE＝CF，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠CFD＝90°，∴∠COF＝90°，∴DF⊥CE，∴CE＝DF＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴CG＝FH＝，∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，∴∠FCO＝∠CDO，∵∠DCF＝∠COF＝90°，∴△COF∽△DOC，∴＝，∴CF2＝OF•DF，∴OF＝＝＝，∴OH＝，OD＝，∵∠COF＝∠COD＝90°，∴△COF∽△DOC，∴，∴OC2＝OF•OD，∴OC＝＝，∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，∴HG＝＝＝1，故答案为：1．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为16或4．【分析】根据翻折的性质，可得B′E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．【解答】解：（i）当B′D＝B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE＝90°，当B′C＝B′D时，AG＝DH＝DC＝8，由AE＝3，AB＝16，得BE＝13．由翻折的性质，得B′E＝BE＝13．∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝5，∴B′G＝＝＝12，∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4，∴DB′＝＝＝4（ii）当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．（iii）当CB′＝CD时，则CB＝CB′，由翻折的性质，得EB＝EB′，∴点E、C在BB ′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠，得EF也是线段BB′的垂直平分线，∴点F与点C重合，这与已知“点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点”不符，故此种情况不存在，应舍去．综上所述，DB′的长为16或4．故答案为：16或4．三．解答题（共8小题，共75分）16．（16分）用恰当的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣2＝0；（2）4x2﹣25＝0；（3）（2x+1）2+4（2x+1）+4＝0；（4）（x﹣1）（x﹣3）＝8．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得；（3）利用换元法求解可得；（4）整理成一般式，再利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝4，c＝﹣2，∴△＝42﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，则x＝＝﹣2±，即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）∵4x2＝25，∴x2＝，解得x1＝，x2＝﹣；（3）令2x+1＝a，则a2+4a+4＝0，∴（a+2）2＝0，解得a＝﹣2，∴2x+1＝﹣2，解得x1＝x2＝﹣1.5；（4）方程整理为一般式，得：x2﹣4x﹣5＝0，解得：（x﹣5）（x+1）＝0，则x﹣5＝0或x+1＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1．17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，由OB＝OD，证出四边形BNDM 是平行四边形，进而得出结论；（2）由菱形的性质得出BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，由勾股定理得BM＝13，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO，∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD，在△MOD和△NOB中，，∴△MOD≌△NOB（AAS），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形，∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形；（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．18．（8分）关于x的一元二次方程2﹣3+＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（﹣1）2++﹣3＝0与方程2﹣3+＝0有一个相同的根，求此时m的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；（2）先确定k＝2，再解方程2﹣3+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，然后分别把x＝1和x＝2代入元二次方程（﹣1）2++﹣3＝0可得到满足条件的m的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤；（2）满足条件的k的最大整数为2，此时方程2﹣3+＝0变形为方程2﹣3+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，当相同的解为x＝1时，把x＝1代入方程（﹣1）2++﹣3＝0得m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；当相同的解为x＝2时，把x＝2代入方程（﹣1）2++﹣3＝0得4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，而m﹣1≠0，不符合题意，舍去，所以m的值为．19．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是25．【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AE＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，∵AD＝EF＝10，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×10×10＝50，故答案为：50．20．（8分）某旅行社的一则广告如下：甲公司想分批组织员工到延安红色旅游学习．（1）如果第一批组织40人去学习，则公司应向旅行社交费28000元；（2）如果公司计划用29250元组织第一批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？【分析】（1）首先表示出40人是平均每人的费用，进而得出总费用；（2）表示出每人平均费用为：800﹣10（x﹣30），进而得出等式求出答案．【解答】解：（1）∵人数多于30人，那么每增加1人，人均收费降低10元，∴第一批组织40人去学习，则公司应向旅行社交费：40×[800﹣（40﹣30）×10]＝28000（元）；故答案为：28000；（2）设这次旅游应安排x人参加，∵30×800＝24000＜29250，∴x＞30，根据题意得：x[800﹣10（x﹣30）]＝29250，整理得，x2﹣110x+2925＝0，解得：x1＝45，x2＝65∵800﹣10（x﹣30）≥500，∴x≤60．∴x＝45．答：这次旅游应安排45人参加．21．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M 是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为 1.5时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为3时，四边形AMDN是菱形．【分析】（1）求出△DNE≌△AME，根据全等及时向的性质得出NE＝ME，根据平行四边形的判定得出即可；（2）①根据等边三角形的判定得出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出DM⊥AB，根据矩形的判定得出即可；②求出△ABD是等边三角形，求出M和B重合，根据菱形的判定得出即可．．【解答】（1）证明：∵点E是AD边的中点，∴AE＝DE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，∴∠DNE＝∠AME，在△DNE和△AME中，∴△DNE≌△AME（AAS），∴NE＝ME，∵AE＝DE，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）解：①当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，理由是：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝3，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴AD＝BD＝3，∵AM＝1.5，AB＝3，∴AM＝BM，∴DM⊥AB，即∠DMA＝90°，∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是矩形，即当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，故答案为：1.5；②当AM＝3时，四边形AMDN是菱形，理由是，此时AM＝AB＝3，即M和B重合，∵由①知：△ABD是等边三角形，∴AM＝MD，∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是菱形，故答案为：3．22．（8分）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝2，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？【分析】（1）利用求根公式即可求出方程的两根；（2）仿照（1）找准关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣7＜0，可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形B；（3）仿照（1）找准关于x的一元二次方程，由根的判别式△≥0，可找出m、n之间的关系．【解答】解：（1）利用求根公式可知：x1＝＝，x2＝＝2．故答案为：；2．（2）设所求矩形的两边分别是x和y，根据题意得：，消去y化简得：2x2﹣3x+2＝0．∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，∴该方程无解，∴不存在满足要求的矩形B．（3）设所求矩形的两边分别是x和y，根据题意得：，消去y化简得：2x2﹣（m+n）x+mn＝0．∵矩形B存在，∴b2﹣4ac＝[﹣（m+n）]2﹣4×2mn≥0，∴（m﹣n）2≥4mn．故当m、n满足（m﹣n）2≥4mn时，矩形B存在．23．（11分）四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．（1）问题发现如图1，若点E在CB的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；（2）操作探究将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）解决问题将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转，若BE＝1，AB＝，当E，F，D三点共线时，请直接写出CE的长．【分析】（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG＝GC，GH＝（EF+DC）＝（EB+BC），推出GH＝EH＝BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可；（2）延长EG到H，使EG＝GH，连接CH，过E作BC的垂线EQ，证△EFG≌△HDG，推出DH＝EF＝BE，∠FEG＝∠DHG，求出∠EBC＝∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE＝CH，∠BCE＝∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；（3）分两种情况：①CE在BC的上方，如图3，作辅助线，构建等腰直角三角形，求出cos∠DBE＝，推出∠DBE＝60°，证明△GDC≌△EBC（ASA），则EC＝CG，DG＝EB＝1，从而得结论；②CE在BC的下方，如图4，同理可得结论．【解答】解：（1）EG⊥CG，；理由是：如图1，过G作GH⊥EC于H，∵∠FEB＝∠DCB＝90°，∴EF∥GH∥DC，∵G为DF中点，∴H为EC中点，∴EG＝GC，GH＝（EF+DC）＝（EB+BC）＝CE，即GH＝EH＝HC，∴∠EGC＝90°，即△EGC是等腰直角三角形，；（2）结论还成立，理由是：如图2，延长EG到H，使EG＝GH，连接CH，过E作BC的垂线EQ，延长CB交EQ于R，延长CD，交EH于N，在△EFG和△HDG中，，∴△EFG≌△HDG（SAS），∴DH＝EF＝BE，∠FEG＝∠DHG，∴EF∥DH，同理得ER∥CD，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3＝∠4，∴∠EBC＝180°﹣∠4＝180°﹣∠1＝∠HDC，在△EBC和△HDC中，，∴△EBC≌△HDC（SAS）．∴CE＝CH，∠BCE＝∠DCH，∴∠ECH＝∠DCH+∠ECD＝∠BCE+∠ECD＝∠BCD＝90°，∴△ECH是等腰直角三角形，∵G为EH的中点，∴EG⊥GC，，即（1）中的结论仍然成立；（3）分两种情况：①如图3，连接BD，过C作CG⊥EC，交ED的延长线于G，∵AB＝，正方形ABCD，∴BD＝2，Rt△BED中，cos∠DBE＝，∴∠DBE＝60°，∠BDF＝30°∵tan∠BDE＝＝，∴DE＝BE＝，∵∠ABD＝45°，∴∠ABE＝60°﹣45°＝15°，∴∠EBC＝90°+15°＝105°，∵∠EDC＝∠BDE+∠CDB＝30°+45°＝75°，∴∠CDG＝180°﹣75°＝105°，∴∠CDG＝∠CBE，∵∠ECG＝∠BCD＝90°，∴∠DCG＝∠BCE，∵BC＝CD，∴△GDC≌△EBC（ASA），∴EC＝CG，DG＝EB＝1，∴△ECG是等腰直角三角形，∴EG＝CE，∵EG＝ED+DG＝+1，∴CE＝＝；②如图4，连接BD，过C作CH⊥EC，交ED于H，同理得△DHC≌△BEC（ASA），∴EC＝CH，DH＝EB＝1，同理可知：DE＝，∴EH＝DE﹣DH＝﹣1，∵△ECH是等腰直角三角形，∴EH＝CE，∴CE＝＝；综上，CE的长为．。
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2017-2018学年第一学期阶段性调研一、选择题
B. 135°
C. 150°
D. 165°
已知AB=2DE,∠E=16°，求弧AC的度数。
超过30件每多买1件,购买的所有衬衫单价降低0.5元,但单价不得低于30元
25.（7分）已知：如图,在△ABC中,∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。
cm?
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于62
cm?说明理由。
(2)在(1)中,△PQB的面积能否等于82
26.（8分）如图，AB为圆O的直径，CD为弦，AM⊥CD于M，BN⊥CD于N.
(1)求证：CM=DN.
(2)若AB=10，CD=8，求BN−AM的值。
27.（9分）如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A. D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P.
(1)能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由；
(2)再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由。