北师大版 九年级数学下册 全一册 课时同步练习 习题合集(含答案解析)
九年级下册数学北师大版同步课时作业 2.2二次函数的图像与性质(有答案)
九年级下册数学北师大版同步课时作业2.2二次函数的图像与性质一、单选题 1.已知一次函数by x c a=+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++在平面直角坐标系中的图象可能是( )A. B . C. D.2.将二次函数221y x x =+-的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是( )A.()232y x =+- B. 23()2y x =++ C.()212y x =-+D.()212y x =--3.下列关于函数212y x =的图象说法： ①图象是一条抛物线； ②开口向下； ③对称轴是y 轴； ④顶点(0)0，， 其中正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个4.抛物线231352y x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的顶点坐标是（ ）A.1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.1,32⎛⎫⎪⎝⎭D.1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭5.二次函数2y x ax b =-+的图象如图所示,对称轴为直线2x =,下列结论不正确的是( )A.4a =B.当4b =-时,顶点的坐标为(2,8)-C.当1x =-时,5b >-D.当3x >时,y 随x 的增大而增大6.关于二次函数228y x x =+-,下列说法正确的是( ) A.图象的对称轴在y 轴的右侧 B.图象与y 轴的交点坐标为()0,8C.图象与x 轴的交点坐标为()2 ,0-和()4,0D. y 的最小值为9-7.若点123(2,),(1,),(3,)A y B y C y -在二次函数2241y x x =+-的图象上,则123,,y y y 的大小关系是( ) A.123y y y <<B.231y y y <<C.321y y y <<D.213y y y <<8.抛物线267y x x =++可由抛物线2y x =如何平移得到( ) A.先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B.先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D.先向右平移3个单位，再向上平移2个单位9.对于二次函数223y x mx =--，下列结论错误的是( ) A.它的图象与x 轴有两个交点 B.方程223x mx -=的两根之积为-3 C.它的图象的对称轴在y 轴的右侧 D.当x m <时，y 随x 的增大而减小二、填空题10.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴是过点(1,0)且平行于y 轴的直线，若点(4,0)P 在该抛物线上，则42a b c -+的值为 .11.在二次函数224(0)y ax ax a =++<的图象上有两点12(2,),(1,)y y -,则12y y -_______0(填“ >”“ <”或“=”)12.已知二次函数223y x =-，当x 取12,x x 12()x x ≠时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为 .三、解答题13.如图，顶点为M 的抛物线2(1)4y a x =+-分别与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的右侧），与y 轴相交于点(0,3)C -.（1）求抛物线的解析式；（2）判断BCM 是否为直角三角形，并说明理由；（3）抛物线上是否存在点N （点N 与点M 不重合），使得以点A ，B ，C ，N 为顶点的四边形的面积与四边形ABMC 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1.答案：A解析：本题考查一次函数的图象以及二次函数的图象.观察一次函数图象可知0,0,bc a<>∴二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴02bx a=->，与y 轴的交点在y 轴正半轴，结合选项知A 选项正确，故选A. 2.答案：D 解析：221y x x =+-()212x =+-，∴将图象沿x 轴向右平移2个单位长度后得到的图象所对应的解析式为()2212y x =-+-()212x =--.3.答案：C解析：①二次函数212y x =的图象是抛物线,正确; ②因为102a =>,抛物线开口向上,错误; ③因为0b =,对称轴是y 轴,正确; ④顶点(0,0)也正确. 故选:C. 4.答案：B解析：231352y x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是抛物线的顶点式，根据顶点式的特点可知，顶点坐标为1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭.5.答案：C解析：∵二次函数为2y x ax b =-+，∴对称轴为直线22ax ==， ∴4a =,故A 选项正确；当4b =-时，2244(2)8y x x x =--=--，∴顶点的坐标为(2,8)-，故B 选项正确；当1x =-时，由图象知0y <，即140b ++<， ∴5b <-,故C 选项不正确；∵对称轴为直线2x =且图象开口向上，∴当3x >时，y 随x 的增大而增大，故D 选项正确，故选C. 6.答案：D 解析： 7.答案：A解析：对称轴为直线4122x =-=-⨯，∵20a =>，∴二次函数的图象开口向上， ∴当1x <-时，y 随x 的增大而减小，当1x >-时，y 随x 的增大而增大， ∵点1(2,)A y -关于对称轴1x =-的对称点为1(0,)y ，且013<<，∴123y y y <<。
北师大版九年级数学下册全册同步练习含答案最新版
北师大版初中数学九年级下册全册同步练习1.1锐角三角函数一、选择题1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=3，则下列结论正确的是( ) A． sin A= B．cos A=C．sin A= D．tan A=2．如图l－2l所示的是一水库大坝横截面的一部分，坝高h＝6 m，迎水坡AB＝10 m，斜坡的坡角为a，则tan a的值为 ( )A． B． C． D．3．如图1－22所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且cos a＝，AB＝4，则AD的长为 ( )A．3 B．C. D．二、填空题4．如图1－23所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC＝，则梯子AB的长度为米．5．若a是锐角，且sin2 a+cos2 48°＝1，则a= .6．如图l－24所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，求∠A的三角函数值．三、计算与解答题7．如图1－25所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BD＝3，AD =，求sin A，cos A，tan A的值．8．如图1－26所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝．(1)求点B的坐标；(2)求cos∠BAO的值．9．请你画出一个以BC为底边的等腰三角形ABC，使底边上的高AD＝BC(1)求tan∠ABC和sin∠ABC的值；(2)在你所画的等腰三角形ABC中，假设底边BC＝5米，求腰上的高BE．参考答案1．C[提示：sinA=．]2．D[提示：过A点作垂线交底部于C点，则△ACB为直角三角形，∴BC＝＝8(m)，∴tan a＝＝．故选D．]3．B[提示：∠ADE和∠EDC互余，∴cos a＝sin∠EDC＝，sin∠EDC＝∴EC=.由勾股定理，得DE＝．在Rt△AED中，cos a＝,∴AD＝．故选B．]4．4[提示：在Rt△BCA中，AC＝3米，cos∠BAC＝，所以AB＝4米，即梯子的长度为4米．]5．48°[提示：∵sin2a＋cos2 a＝l，∴a＝48°．]6．提示：sin A＝，cos A＝，tan A=.7．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴CD2＝AD·DB＝16，∴CD=4，∴AC=．∴sin A==，cos A＝，tan A=. 8．解：(1)如图l－27所示，作BH⊥OA，垂足为H．在Rt△OHB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝，∴BH=3，∴OH＝4，∴点B的坐标为(4，3)． (2)∵OA＝10，OH＝4，∴AH＝6．在Rt△AHB中，∵BH=3，∴AB＝，∴cos∠BAO== ．9．解：(1)根据题意画出图形，如图1－28所示，∵AB＝AC，AD⊥BC，AD＝BC，∴BD＝B C= AD，即AD＝2BD，∴AB＝BD，∴tan∠ABC==2,sin∠ABC== (2)作BE⊥AC于E，在Rt△BEC中，sinC=sin∠ABC=.又∵sin C=∴故BE=（米）.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值一．选择题：1.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且 sin A＝，cos B＝，则△ABC三个角的大小关系是（）A．∠C＞∠A＞∠B B．∠B＞∠C＞∠AC．∠A＞∠B＞∠C D．∠C＞∠B＞∠A2.若0°＜＜90°，且|sin－|＋，则tan的值等于（）A． B． C． D．3．如图1—37所示，在△ABC中，∠A=30°，tan B＝，AC＝，则AB的长是 ( ) A．3＋ B．2＋C. 5 D．4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是( ) A．a B．a C.a D．a或a二、选择题5．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝，AB＝2，则tan= ．6．若a为锐角，且sin a=,则cos a= ．7．在Rt△ACB中，若∠C＝90°，sin A＝,b＋c＝6，则b= ．8．(1)在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则 cos B＝________；(2)已知为锐角，且cos(90°－)＝，则＝________；(3)若，则锐角＝________．三、计算与解答9．计算（1）sin 60°·cos 30°－.(2) 2 cos230°－2 sin 60°·cos 45°；(3) 2 sin30°－3 tan 45°＋4 cos 60°；10．如图1—38所示，在Rt△ACB中，∠BCA＝90°，CD是斜边上的高，∠ACD＝30°，AD ＝1，求AC，CD，BC，BD，AB的长．11．如图1—39所示，在相距100米的A，B两处观测工厂C，测得∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，则A，B两处到工厂C的距离分别是多少?12．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(－b)=0有两个相等的实数根，方程2x2－(10sin A)x＋5sin A＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．参考答案1． D； 2 。
九年级下册数学北师大版同步课时作业 2.1二次函数(有答案)
九年级下册数学北师大版同步课时作业2.1二次函数一、单选题1.下列函数是二次函数的是( )A.23y x =+B.21y x =C.231y x =-D.22(1)y x x =--2.关于函数(50010)(40)y x x =-+，下列说法不正确的是( )A.y 是x 的二次函数B.二次项系数是10-C.一次项是100D.常数项是20 0003.某单车公司第一个月投放a 辆单车，计划第三个月投放y 辆单车，如果该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系式是( )A.2(1)y a x =-B.2(1)y a x =+C.2y ax =D.2y x a =+4.在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x （02x <<）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 与x 之间的函数关系式是( )A.2y x =B.24y x =-C.24y x =-D.42y x =-5.函数2(5)y m x x =-+是二次函数的条件为( )A.m 为常数,且0m ≠B.m 为常数,且5m ≠C.m 为常数,且 0m =D.m 可以为任何数6.如图,正方形ABCD 的边长为5,点E 是AB 上一点,点F 是AD 延长线上一点,且BE DF =.四边形AEGF 是矩形,则矩形AEGF 的面积y 与BE 的长x 之间的函数关系式为( )A.5y x =-B.25y x =-C.25y x =-D.225y x =-7.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放单车a 辆，计划第三个月投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系是（ ）A.2(1)y a x =+B.2(1)y a x =-C.2(1)y x a =-+D.2(1)y x a =-+二、填空题8.已知菱形两条对角线长的和为24cm ，设其中一条对角线的长为cm x ，则菱形的面积()2cm S 与(cm)x 之间的函数关系式为_______，自变量x 的取值范围是______.9.某产品每件成本10元,试销阶段该产品的销售单价:x (元)与日销售量y (件)之间的关系如下表:三、解答题10.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.设每个房间每天的定价增加x （x为10的正整数倍）元.求：（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数解析式；（2）该宾馆每天的房间收费z （元）关于x （元）的函数解析式.参考答案1.答案：C解析：A 项，23y x =+是一次函数；B 项，因为21x 不是整式，所以21y x =不是二次函数；C 项，符合二次函数的概念；D 项，化简，得21y x =-+，是一次函数.故选C.2.答案：C解析：2(50010)(40)1010020000y x x x x =-+=-++，所以y 是x 的二次函数，二次项系数是10-，一次项是100x ，常数项是20 000，所以A ，B ，D 正确，C 不正确.故选C.3.答案：B解析：由题意，得该公司第二个月投放单车的数量为(1 ) a x +辆，第三个月投放单车的数量为2(1)a x +辆，所以2(1)y a x =+.故选B.4.答案：B解析：根据剩余部分的面积=大正方形的面积-挖去的小正方形的面积，得24y x =-.故选B.5.答案：B解析：函数2(5)y m x x =-+是二次函数的条件为m 为常数，且5m ≠.故选B.6.答案：D解析：∵(05)BE x x =<<，∴5,5AE x AF x =-=+，∴2(5)(5)25y AE AF x x x =⋅=-+=-，故选D.7.答案：A解析：依题意得第三个月投放单车2(1)a x +辆，则2(1)y a x =+.8.答案：21122S x x =-+;024x <<解析：其中一条对角线的长为cm x ，∴另一条对角线的长为(24)cm x -，211(24)1222S x x x x ∴=-=-+.0,024240,x x x >⎧∴∴<<⎨->⎩.9.答案：2105004000w x x =-+-解析：由题表中的数据可知y 与x 是一次函数关系.设其解析式为(0)y kx b k =+≠，则1525018220k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10400k b =-⎧⎨=⎩，y ∴与x 之间的函数关系式为10400y x =-+,故日销售利润w （元）与 销售单价x （元）之间的函数关系式为(10)(10400)w x x =--+=2105004000x x -+-。
最新北师版初中九年级数学下册课时同步练习-1.3三角函数的有关计算附答案
北师大版九年级数学下册课时同步练习-1.3三角函数的有关计算（2）附答案1．用计算器计算：sin35°＝________．(结果保留两个有效数字)答案：0.57362．用计算器计算：sin52°18′＝________．(保留三个有效数字)答案：0.79123．计算：tan46°＝________．(精确到0.01)答案：1.03554．学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价30元，学校建这个花园需投资________元．(精确到1元)答案：77944．如图，为了测量某建筑物的高AB，在距离点B 25米的D处安置测倾器，测得点A 的倾角α为71°6′，已知测倾器的高CD＝1.52米，求建筑物的高AB．(结果精确到0.01米，参考数据：sin71°6′＝0.9461，cos71°6′＝0.3239，tan71°7′＝2.921)答案：约为74.55m．同步练习1．计算：(1)2 cos 230°－2 sin 60°·cos 45°； (2)2 sin30°－3 tan 45°＋4 cos 60°；(3);45tan 2160cos 30sin 45cos ︒+︒︒-︒(4)︒-︒︒-+︒-︒45tan 60tan 45sin 22460tan 460tan 2． 2．填空：(1)在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝21，则 cos B ＝________； (2)已知为锐角，且cos(90°－)＝21，则 ＝________；(3)若1)10(tan 3=︒+α，则锐角＝________．3．选择题：(1)在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sin A ＝21，c os B ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是[ ]A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A (2)若0°＜＜90°，且|sin2－41|＋223cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ，则tan 的值等于[ ]A ．3B ．33 C ．21D ．23 4．已知为锐角，当α-tan 11无意义时，求sin(＋15°)＋cos (－15°)的值．5．等腰三角形的底边长为20，面积为33100上，求这个三角形各角的大小． 6．如图，∠C ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝BD ，利用此图求tan 75°的值．7．如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方点P 处，此时飞机离地面的高度PO ＝450 m ，且A ，B ，O 三点在一条直线上，测得∠＝30°，∠＝45°，求大桥AB 的长(结果精确到0.01 m)．思考·探索·交流1．(1)比较sin 30°，sin 45°，sin 60°的大小及cos 30°，cos 45°，cos 60°的大小； (2)你能找出什么规律吗？ 参考答案：1．(1) 263-； (2) 0； (3)212-； (4) 321-．2．(1)21； (2) 30°； (3) 20°． 3．(1) D ； (2) B ． 4．3．5．30°，30°，120°． 6．32+．提示：设k CD 3=，BD ＝3k ．7．桥长约329.42 m．思考·探索·交流参考答案：1．(1) sin 30°＜sin 45°＜sin 60°，cos 60°＜cos 45°＜cos 30°；(2) 当0°＜＜90°时，sin 随的增大而增大，cos 随的增大而减小．我爸爸告诉我，你现在翻的一页书都是将来要数的一张张钞票，所以不让你学习的人，就是在抢你的财富，不想要的都是傻子。
北师大版 九年级数学下册 第2章 二次函数 课时同步练习习题 单元合集(含答案解析)
2.1二次函数一、夯实基础1．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )A．y＝x(x＋1) B．xy＝1C．y＝2x2－2(x＋1)2D．132+=xy2．当路程S一定时，速度υ与时间t之间的函数关系是 ( )A.正比例函数 B．反比例函数 C.一次函数 D．二次函数3．图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式正确的是 ( )A．y＝4n－4 B．y＝4nC．y=4n＋4 D．y＝n24．当m 时，函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数．5．若y＝(m2－3m)x2m-2m-1是二次函数，则m＝．6.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=．二、能力提升7．如果水流的速度为a m/min(定量)，那么每分钟的进水量Q(m3)与所选择的水管直径D(m)之间的函数关系式是什么?8．一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，写出y与x的函数关系式．9．已知函数y＝(m2－4)x2＋(m2－3m＋2)x－m－1．(1)当m为何值时，y是x的二次函数?(2)当m为何值时，y是x的一次函数?三、课外拓展10．如图所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．(1)写出y与x的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?四、中考链接1.（2015·兰州中考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )A.y=3x-1B.y=a+bx+cC.s=2-2t+1D.y=2.（2014·江苏苏州中考）已知二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则代数式1－a－b的值为（A．－3 B．－1 C．2 D．5答案1． CBA2．B[提示：本题考查一次函数(包括正比例函数)、反比例函数以及二次函数的概念．当S一定时，S=υt，υ与t成反比例关系．故选B]3．B[提示：尝试利用代值的方法解决实际问题，如本题分别将第1，2，3层的三角形的个数代入各函数关系式中，只有B 符合．故选B ．]4．≠2[提示：当m －2≠0，即m ≠2时，函数y =(m －2)x 2＋4x －5为二次函数．] 5．－1[提示：需m 2－3m ≠0，m 2－2m －l ＝2同时成立．] 6.a （1+x ）27．解：函数关系式为Q ＝a ·π·(2D )2＝ 24aD .8．解：由题意，得y ＝60(1－x)(1－x)＝60(1－x)2，x 的取值范围为0＜x ＜1． 9．提示：(1)当二次项系数m 2－4≠0时，原函数是二次函数．(2)当二次项系数m 2－4＝0且一次项系数m 2－3m ＋2≠0时，原函数是一次函数，由此确定m 的值．解：(1)由m 2－4≠0，解得m ≠±2．故当m ≠±2时，y 是x 的二次函数． (2)由m 2－4＝0，解得m=±2．由m 2－3m ＋2≠0，解得m ≠1，m ≠2．所以m ＝－2．因此，当m ＝－2时，y 是x 的一次函数． 10．解：(1)根据长方形的面积公式，得y ＝(5－x )·(4－x)＝x 2－9x ＋20，所以y 与x 的函数关系式为y ＝x 2－9x ＋20． (2)上述函数是二次函数． (3)自变量x 的取值范围是0＜x ＜4． 中考链接：1.解：选项A 是一次函数；选项B 当a =0，b ≠0时是一次函数，当a ≠0时是二次函数，所以选项B 不一定是二次函数；选项C 一定是二次函数；选项D 不是二次函数.故选C2. 解：把点（1，1）的坐标代入，得2.2.1二次函数的图像与性质一、夯实基础1．抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝2x 2＋1共有的性质是( )．A ．开口向上B ．对称轴都是y 轴C ．都有最高点D ．顶点都是原点 6．任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线y ＝x 2＋k ，当k 取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：(1)开口方向都相同；(2)对称轴都相同；(3)形状相同；(4)都有最低点．其中判断正确的是________．(填序号)2．抛物线y ＝ax 2＋b 与x 轴有两个交点，且开口向上，则a 、b 的取值范围是( )． A ．a ＞0，b ＜0 B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜03．在同一直角坐标系中，y ＝ax 2＋b 与y ＝ax ＋b(a ，b 都不为0)的图象的大致位置是( )．4．若二次函数y ＝ax 2＋c ，当x 取x 1、x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为( )．A ．a ＋cB ．a －cC ．－cD ．c7．已知点(－2，y 1)、(－1，y 2)、(3，y 3)在函数y ＝x 2＋c 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是________．二、能力提升5．在同一直角坐标系中，图象不可能由函数y ＝2x 2＋1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是( )．A ．y ＝2x 2－1 B ．y ＝2x 2＋3C ．y ＝－2x 2－1 D ．y ＝212x －1 8．当m ＝_______时，二次函数y ＝(1－m)x 22m 的图象开口向上．9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－2，－8），则抛物线对应的函数关系式为_______．10．说明y ＝213x ＋4是由y ＝213x 怎样平移得到的，并说明：(1)抛物线y ＝213x ＋4的顶点坐标、对称轴及y 随x 的变化情况；(2)函数的最大(小)值．三、课外拓展11．设直线y 1＝x ＋b 与抛物线y 2＝x 2＋c 的交点为A(3,5)和B ． (1)求出b 、c 和点B 的坐标．(2)画出草图，根据图象回答：当x 在什么范围时y 1≤y 2?12．如图所示，小华在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝215x ＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，求他与篮底的距离l.四、中考链接1.（2012广州市，2， 3分）将二次函数y=x 2的图像向下平移1个单位。
九年级下册数学北师大版同步课时作业 1.4解直角三角形(有答案)
九年级下册数学北师大版同步课时作业1.4解直角三角形一、单选题1.在Rt ABC 中，90C B α∠=︒∠=，，若BC m =，则AB 的长为( ) A.cos m α B.cos m α⋅ C.sin m α⋅ D.tan m α⋅2.在Rt ABC 中，90:5:13C BC AB ∠=︒=，，则下列等式正确的是( )A.tan A =125B.sin A =512C.cos A =1213D.tan A =513 3.如图是教学所用的直角三角板，边30cm AC =，90C ∠=︒，3tan BAC ∠=，则边BC 的长为( )A.303cmB.203cmC.103cmD.53cm4.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若10AB =，3sin 5A =，则斜边上的高等于( ) A.5 B.4.8 C.4.6 D.45.在ABC △中，90C ∠=︒，4BC =，2sin 3A =，则边AC 的长是( ) A.B.6C.83D.6.在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，8AC =，3sin 5A =，点D 是AB 中点，则CD 的长为( ) A.4 B.5 C.6 D.77.在三角形纸片ABC 上按如图所示的方式剪出一个正方体的表面展开图(90B ∠=︒)，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角的正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点已知小正方形的边长为2cm ，则纸片剩余部分的面积为( )A.362cmB.402cmC.482cmD.542cm 8.如图，在ABC △中，90C ∠=︒，12AC =，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若5cos 7BDC ∠=，则BC 的长是( )A.10B.8C.43D.26二、填空题 9.在Rt ABC 中，490,sin ,205C A BC ∠===，则ABC 的面积为____________. 10.如图，在ABC △中，30B ∠=︒，2AC =，3cos 5C =，则AB 边的长为 .11.如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，15BC =，15tan 8A =，则AB = .12.如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，若CD AB ⊥于D ，且4BD =，9AD =，则tan A = .三、计算题13.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形. (1)a =b =；(2)45B ∠=︒，14c =.参考答案1.答案：A 解析：如图所示，cos ,cos BC m AB AB αα=∴=.2.答案：C解析：解：设5BC x =，则13AB x =，由勾股定理得，AC =12x =， 则tan A =BC AC =512，A 、D 错误； sinA=BC AB =513，B 错误； cosA=AC AB =1213，C 正确； 故选：C.3.答案：C 解析：直角ABC △中，90C ∠=︒，tan BC BAC AC ∴∠=，又30cm AC =，tan tan BAC AC BAC ∠=⋅∠30==.故选C. 4.答案：B解析：如图所示，作CD AB ⊥，交AB 于点D CD ，即为斜边上的高，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，10AB =，3sin 5A =， 3sin 105BC BC A AB ∴===，6BC =，根据勾股定理得8AC =， 12ABC S AC BC =⋅△12CD AB =⋅，AC BC CD AB ⋅∴=68410⨯==.故选B. 5.答案：A解析：在ABC △中，90C ∠=︒，4BC =，2sin 3A =，6sin BC AB A∴==，根据勾股定理，得AC ===故选A.6.答案：B 解析：依照题意，画出图形，如图所示3sin 5BC A AB ==， ∴可设()30BC x x =>，则5AB x =，4AC x ∴=，48x =，2x ∴=，510AB x ∴==.在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，10AB =，点D 是AB 中点，152CD AB ∴==故选B.7.答案：B解析：如图，延长FE ，交AB 于D ，由题意知2cm EG =，8cm DF =，4cm EF =，1tan 2EG EFG EF ∴∠==. ∴在Rt ADF △中，()tan 4cm AD DF EFG =⋅∠=，()8cm AB ∴=.//DF BC ，EFG C ∴∠=∠，1tan 2EFG ∠=，1tan 2AB C BC ∴==， 8cm AB =，()16cm BC ∴=.∴剩余部分的面积为()2211686240cm 2⨯⨯-⨯=.故选B.8.答案：D解析：90C ∠=︒，5cos 7CD BDC BD ∠==，∴设5CD x =，()70BD x x =>，BC =. AB 的垂直平分线EF 交AC 于点7D AD BD x ==，，12AC x ∴=.12AC =，1x ∴=，BC ∴= D9.答案：150解析：在Rt ABC 中，490,sin 5BC C A AB ∠===42025,15sin 5BC AB AC A ∴==÷=∴==，ABC ∴的面积为11152015022AC BC ⋅=⨯⨯=.10.答案：165解析：如图，作AH BC ⊥于H .在Rt ACH △中，90AHC ∠=︒，3 cos 5C =，35CH AC ∴=，2AC =，65CH ∴=，AH ∴85==， 在Rt ABH △中，90AHB ∠=︒，30B ∠=︒，1625AB AH ∴==.11.答案：17解析：在Rt ABC △中，15tan 8BC A AC ==，15BC =，8AC ∴=，AB ∴17==. 12.答案：23 解析：BCD DCA ∠+∠90DCA A =∠+∠=︒，BCD A ∴∠=∠， 又90BDC CDA ∠=∠=︒，BDC CDA ∴△△，BD CD CD DA ∴= 2CD BD AD ∴=⋅，6CD ∴=，62tan 93CD A AD ∴===.13.答案：(1)85a =，b =90C ∠=︒，c ∴，tan A A B ===，A ∠为锐角， 30A ∴∠=︒，60B ∴∠=︒.(2)45B ∠=︒，14c =，90C ∠=︒，45A ∴∠=︒，a b ∴=，sin b Bc =， sin b c B ∴=14==a b ∴==。
北师大版 九年级数学下册 全一册 课时同步练习 习题合集(含答案解析)
2.1二次函数一、夯实基础1．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )A．y＝x(x＋1) B．xy＝1C．y＝2x2－2(x＋1)2D．132+=xy2．当路程S一定时，速度υ与时间t之间的函数关系是 ( )A.正比例函数 B．反比例函数 C.一次函数 D．二次函数3．图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式正确的是 ( )A．y＝4n－4 B．y＝4nC．y=4n＋4 D．y＝n24．当m 时，函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数．5．若y＝(m2－3m)x2m-2m-1是二次函数，则m＝．6.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=．二、能力提升7．如果水流的速度为a m/min(定量)，那么每分钟的进水量Q(m3)与所选择的水管直径D(m)之间的函数关系式是什么?8．一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，写出y与x的函数关系式．9．已知函数y＝(m2－4)x2＋(m2－3m＋2)x－m－1．(1)当m为何值时，y是x的二次函数?(2)当m为何值时，y是x的一次函数?三、课外拓展10．如图所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．(1)写出y与x的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?四、中考链接1.（2015·兰州中考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )A.y =3x -1B.y =a +bx +cC.s =2-2t +1D.y =2.（2014·江苏苏州中考）已知二次函数y ＝ax 2＋bx －1(a ≠0)的图象经过点(1，1)，则代数式1－a －b 的值为（ A ．－3 B ．－1 C ．2 D ．5答案1． CBA2．B[提示：本题考查一次函数(包括正比例函数)、反比例函数以及二次函数的概念．当S 一定时，S=υt ，υ与t 成反比例关系．故选B]3．B[提示：尝试利用代值的方法解决实际问题，如本题分别将第1，2，3层的三角形的个数代入各函数关系式中，只有B 符合．故选B ．]4．≠2[提示：当m －2≠0，即m ≠2时，函数y =(m －2)x 2＋4x －5为二次函数．] 5．－1[提示：需m 2－3m ≠0，m 2－2m －l ＝2同时成立．] 6.a （1+x ）27．解：函数关系式为Q ＝a ·π·(2D )2＝ 24aD .8．解：由题意，得y ＝60(1－x)(1－x)＝60(1－x)2，x 的取值范围为0＜x ＜1． 9．提示：(1)当二次项系数m 2－4≠0时，原函数是二次函数．(2)当二次项系数m 2－4＝0且一次项系数m 2－3m ＋2≠0时，原函数是一次函数，由此确定m 的值．解：(1)由m 2－4≠0，解得m ≠±2．故当m ≠±2时，y 是x 的二次函数． (2)由m 2－4＝0，解得m=±2．由m 2－3m ＋2≠0，解得m ≠1，m ≠2．所以m ＝－2．因此，当m ＝－2时，y 是x 的一次函数． 10．解：(1)根据长方形的面积公式，得y ＝(5－x )·(4－x)＝x 2－9x ＋20，所以y 与x 的函数关系式为y ＝x 2－9x ＋20． (2)上述函数是二次函数． (3)自变量x 的取值范围是0＜x ＜4． 中考链接：1.解：选项A 是一次函数；选项B 当a =0，b ≠0时是一次函数，当a ≠0时是二次函数，所以选项B 不一定是二次函数；选项C 一定是二次函数；选项D 不是二次函数.故选C 2. 解：把点（1，1）的坐标代入，得2.2.1二次函数的图像与性质一、夯实基础1．抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝2x 2＋1共有的性质是( )．A ．开口向上B ．对称轴都是y 轴C ．都有最高点D ．顶点都是原点 6．任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线y ＝x 2＋k ，当k 取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：(1)开口方向都相同；(2)对称轴都相同；(3)形状相同；(4)都有最低点．其中判断正确的是________．(填序号)2．抛物线y ＝ax 2＋b 与x 轴有两个交点，且开口向上，则a 、b 的取值范围是( )． A ．a ＞0，b ＜0 B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜03．在同一直角坐标系中，y ＝ax 2＋b 与y ＝ax ＋b(a ，b 都不为0)的图象的大致位置是( )．4．若二次函数y ＝ax 2＋c ，当x 取x 1、x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为( )．A ．a ＋cB ．a －cC ．－cD ．c7．已知点(－2，y 1)、(－1，y 2)、(3，y 3)在函数y ＝x 2＋c 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是________．二、能力提升5．在同一直角坐标系中，图象不可能由函数y ＝2x 2＋1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是( )．A ．y ＝2x 2－1 B ．y ＝2x 2＋3C ．y ＝－2x 2－1 D ．y ＝212x －1 8．当m ＝_______时，二次函数y ＝(1－m)x 22m 的图象开口向上．9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－2，－8），则抛物线对应的函数关系式为_______．10．说明y ＝213x ＋4是由y ＝213x 怎样平移得到的，并说明： (1)抛物线y ＝213x ＋4的顶点坐标、对称轴及y 随x 的变化情况； (2)函数的最大(小)值．三、课外拓展11．设直线y 1＝x ＋b 与抛物线y 2＝x 2＋c 的交点为A(3,5)和B ． (1)求出b 、c 和点B 的坐标．(2)画出草图，根据图象回答：当x 在什么范围时y 1≤y 2?12．如图所示，小华在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝215x ＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，求他与篮底的距离l.四、中考链接1.（2012广州市，2， 3分）将二次函数y=x 2的图像向下平移1个单位。
九年级下册数学北师大版同步课时作业 2.5二次函数与一元二次方程(有答案)
九年级下册数学北师大版同步课时作业2.5二次函数与一元二次方程一、单选题1.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则方程=20ax bx c ++=的根是( )A.121,1x x ==-B.120,2x x ==C.121,2x x =-=D.121,0x x ==2.已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根,则抛物线2y ax bc c =++与x 轴的交点个数是( )A.0B.lC.2D.33.若抛物线26y x x m =-+与x 轴没有交点,则m 的取值范围是( )A.9m >B.9m ≥C.9m <-D.9m ≤-4.如图,抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()1,0,-对称轴为: 直线1x =,则下列结论中正确的是:( )A. 0a >B.当1x >时, y 随x 的增大而增大C. 0c <D. 3x =是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个根5.下表给出了二次函数2210y x x =+-中,x y 的一些对应值，则估计一元二次方程22100x x +-=的一个近似解为（ ）6.抛物线23y x bx =++的对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程230x bx t ++-=（t 为实数）在14x -<<的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．211t ≤<B ．2t ≥C ．611t <<D ．26t ≤<7.函数2y ax bx c =++的图象如图所示,那么关于x 的方程240ax bx c ++-=的根的情况是（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个异号的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根8.在平面直角坐标系中,已知a b ≠, 设函数()()y x a x b =++的图象与x 轴有M 个交点,函数(1)(1)y ax bx =++图象与x 轴有N 个交点,则( )A.1M N =-或1M N =+B.1M N =-或2M N =+C.M N =或1M N =+D.M N =或1M N =-9.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,关于x 的方程2(0)ax bx c m m ++=>有两个实数根,()αβαβ<,则下列选项正确的是( )A.31αβ-<<<B.31αβ-<<<C.31αβ<-<<D.3α<-和1β> 二、填空题10.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为_________.11.若二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线2x =,则关于x 的方程25213x bx x +-=-的解为______.12.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,请直接写出不等式20ax bx c ++>的解集为______.三、解答题13.已知二次函数2(3)3y kx k x =-++在0x =和4x =时的函数值相等.（1）求该二次函数的解析式；（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象直接写出当0y <时，自变量x 的取值范围；（3）已知关于x 的一元二次方程2220k x m m +-=，当13m -时，判断此方程根的情况.参考答案1.答案：C解析：由题图可知二次函数的图象与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)-，所以方程20ax bx c ++=的根为121,2x x =-=，故选C. 2.答案：B解析：∵关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实 数根，∴抛物线2y ax bc c =++与x 轴的交点个数是1.故选B. 3.答案：A解析：∵抛物线26y x x m =-+与x 轴没有交点， ∴240b ac ∆=-<，∴2(6)410m --⨯⋅< 解得9m >，∴m 的取值范围是9m >. 4.答案：D解析：图象开口向下, 0a <,故A 错误;对称轴是1x =,当时, y 随x 的增大而减小,故B 错误;图象与y 轴的交点在y 轴正半轴,则0c >,故C 错误;由图象的对称性可得,图象与x 轴的另一个交点的横坐标是3,则3x =是方程20ax bx c ++=的一个根.故选D. 5.答案：B解析：由题表可得，选B. 6.答案：A 解析：23y x bx =++的对称轴为直线1x =，2b ∴=-，223y x x -∴=+，∴一元二次方程230x bx t ++-=的实数根可以看做223y x x -=+与函数y t =的有交点， ∵方程在14x -<<的范围内有实数根， 当1x =-时，6y =； 当4x =时，11y =；函数223y x x -=+在1x =时有最小值2； 211t ∴≤<；故选：A ． 7.答案：A解析：∵2y ax bx c =++图象顷点的纵坐标为4,∴直线4y =与抛物线只有一个交点， ∴方程240ax bx c ++-=有两个相等的实数根. 8.答案：C解析：∵2()()()y x a x b x a b x ab =++=+++， ∴22()4()0a b ab a b ∆=+-=->∴函数()()y x a x b =++的图象与x 轴有2个交点，∴2M =，∴函数2(1)(1)()1y ax bx abx a b x =++=+++，∴当0ab ≠时,22()4()0a b ab a b ∆=+-=->,函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有2个交点，即2N =,此时M N =;当0ab =时,不妨令0a =，∵a b ≠，∴0b ≠，∴函数(1)(1)1y ax bx bx =++=+为一次函数，与x 轴有一个交点即1N =，此时1M N =+，综上可知,M N =或1M N =+. 9.答案：D解析：从题图中可知二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴为直线1x =-与x 轴的一个交点坐标是(1,0)，∴与x 轴的另一 个交点坐标是(3,0)-，∴2ax bx c m ++=的根可以看作二次函 数2y ax bx c =++图象与直线y m =的交点的横坐标，如图，可知3α<-和1β>.10.答案：11x =-或23x = 解析：11.答案：122,4x x ==解析：∵二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线2x =， ∴22b-=得4b =-，则245213x x x --=-可化为2680x x -+=， 解得122,4x x ==. 12.答案：13x <<解析：由题中图象看出，当13x <<时，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象位于x 轴上方，即0y >，所以不等式20ax bx c ++>的解集为13x <<。
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2.1二次函数一、夯实基础1．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )A．y＝x(x＋1) B．xy＝1C．y＝2x2－2(x＋1)2D．132+=xy2．当路程S一定时，速度υ与时间t之间的函数关系是 ( )A.正比例函数 B．反比例函数 C.一次函数 D．二次函数3．图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式正确的是 ( )A．y＝4n－4 B．y＝4nC．y=4n＋4 D．y＝n24．当m 时，函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数．5．若y＝(m2－3m)x2m-2m-1是二次函数，则m＝．6.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=．二、能力提升7．如果水流的速度为a m/min(定量)，那么每分钟的进水量Q(m3)与所选择的水管直径D(m)之间的函数关系式是什么?8．一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，写出y与x的函数关系式．9．已知函数y＝(m2－4)x2＋(m2－3m＋2)x－m－1．(1)当m为何值时，y是x的二次函数?(2)当m为何值时，y是x的一次函数?三、课外拓展10．如图所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．(1)写出y与x的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?四、中考链接1.（2015·兰州中考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )A.y =3x -1B.y =a +bx +cC.s =2-2t +1D.y =2.（2014·江苏苏州中考）已知二次函数y ＝ax 2＋bx －1(a ≠0)的图象经过点(1，1)，则代数式1－a －b 的值为（ A ．－3 B ．－1 C ．2 D ．5答案1． CBA2．B[提示：本题考查一次函数(包括正比例函数)、反比例函数以及二次函数的概念．当S 一定时，S=υt ，υ与t 成反比例关系．故选B]3．B[提示：尝试利用代值的方法解决实际问题，如本题分别将第1，2，3层的三角形的个数代入各函数关系式中，只有B 符合．故选B ．]4．≠2[提示：当m －2≠0，即m ≠2时，函数y =(m －2)x 2＋4x －5为二次函数．] 5．－1[提示：需m 2－3m ≠0，m 2－2m －l ＝2同时成立．] 6.a （1+x ）27．解：函数关系式为Q ＝a ·π·(2D )2＝ 24aD .8．解：由题意，得y ＝60(1－x)(1－x)＝60(1－x)2，x 的取值范围为0＜x ＜1． 9．提示：(1)当二次项系数m 2－4≠0时，原函数是二次函数．(2)当二次项系数m 2－4＝0且一次项系数m 2－3m ＋2≠0时，原函数是一次函数，由此确定m 的值．解：(1)由m 2－4≠0，解得m ≠±2．故当m ≠±2时，y 是x 的二次函数． (2)由m 2－4＝0，解得m=±2．由m 2－3m ＋2≠0，解得m ≠1，m ≠2．所以m ＝－2．因此，当m ＝－2时，y 是x 的一次函数． 10．解：(1)根据长方形的面积公式，得y ＝(5－x )·(4－x)＝x 2－9x ＋20，所以y 与x 的函数关系式为y ＝x 2－9x ＋20． (2)上述函数是二次函数． (3)自变量x 的取值范围是0＜x ＜4． 中考链接：1.解：选项A 是一次函数；选项B 当a =0，b ≠0时是一次函数，当a ≠0时是二次函数，所以选项B 不一定是二次函数；选项C 一定是二次函数；选项D 不是二次函数.故选C 2. 解：把点（1，1）的坐标代入，得2.2.1二次函数的图像与性质一、夯实基础1．抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝2x 2＋1共有的性质是( )．A ．开口向上B ．对称轴都是y 轴C ．都有最高点D ．顶点都是原点 6．任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线y ＝x 2＋k ，当k 取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：(1)开口方向都相同；(2)对称轴都相同；(3)形状相同；(4)都有最低点．其中判断正确的是________．(填序号)2．抛物线y ＝ax 2＋b 与x 轴有两个交点，且开口向上，则a 、b 的取值范围是( )． A ．a ＞0，b ＜0 B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜03．在同一直角坐标系中，y ＝ax 2＋b 与y ＝ax ＋b(a ，b 都不为0)的图象的大致位置是( )．4．若二次函数y ＝ax 2＋c ，当x 取x 1、x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为( )．A ．a ＋cB ．a －cC ．－cD ．c7．已知点(－2，y 1)、(－1，y 2)、(3，y 3)在函数y ＝x 2＋c 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是________．二、能力提升5．在同一直角坐标系中，图象不可能由函数y ＝2x 2＋1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是( )．A ．y ＝2x 2－1 B ．y ＝2x 2＋3C ．y ＝－2x 2－1 D ．y ＝212x －1 8．当m ＝_______时，二次函数y ＝(1－m)x 22m 的图象开口向上．9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－2，－8），则抛物线对应的函数关系式为_______．10．说明y ＝213x ＋4是由y ＝213x 怎样平移得到的，并说明： (1)抛物线y ＝213x ＋4的顶点坐标、对称轴及y 随x 的变化情况； (2)函数的最大(小)值．三、课外拓展11．设直线y 1＝x ＋b 与抛物线y 2＝x 2＋c 的交点为A(3,5)和B ． (1)求出b 、c 和点B 的坐标．(2)画出草图，根据图象回答：当x 在什么范围时y 1≤y 2?12．如图所示，小华在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝215x ＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，求他与篮底的距离l.四、中考链接1.（2012广州市，2， 3分）将二次函数y=x 2的图像向下平移1个单位。
则平移后的二次函数的解析式为（ ）A. y= x 2－1 B. y= x 2+1 C. y= (x －1)2D. y= (x+1)22、（2013江苏）函数42-=x y 的图像与y 轴的交点坐标是（ ）． A 、（2，0） B 、（－2，0） C 、（0，4） D 、（0，－4）参考答案1. 答案：B6. 答案：(1)(2)(3)(4)2. 解析：由抛物线开口向上，可知a ＞0.又抛物线与x 轴有两个交点，可知ax 2＋b ＝0有两个不同的根，故b ＜0.答案：A3. 解析：根据抛物线y ＝ax 2＋b 和一次函数y ＝ax ＋b 的图象与性质可知选D ． 答案：D4. 解析：因为二次函数y ＝ax 2＋c 的对称轴为y 轴，再由抛物线的对称性知x 1和x 2关于y 轴对称，所以x 1＋x 2＝0.故x ＝0时，y ＝c.答案：D7. 解析：对于函数y ＝x 2＋c 的增减性应分x ＞0，x ＜0讨论．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，因为－2＜－1，所以y 1＞y 2；对于对称轴两侧的x 值，应根据它与对称轴的远近来比较函数值的大小．因为|3－0|＞|－2－0|，所以y 3＞y 1.所以y 3＞y 1＞y 2.答案：y 3＞y 1＞y 25. 解析：由y ＝2x 2＋1向下平移2个单位长度可得到y ＝2x 2－1，由y ＝2x 2＋1向上平移2个单位长度可得到y ＝2x 2＋3，由y ＝2x 2＋1关于x 轴对称可得到y ＝－2x 2－1，故选D ．答案：D 8．答案：－2 9．答案：y ＝－2x 210. 解：因为k 值由0变为4，所以y ＝213x ＋4是由y ＝213x 向上平移4个单位得到的．(1)y ＝213x ＋4的图象的顶点坐标为(0,4)，对称轴是y 轴(直线x ＝0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．(2)当x ＝0时，y 有最小值是4.11. 解：(1)∵直线y 1＝x ＋b 与抛物线y 2＝x 2＋c 的交点为A(3,5)，∴35,9 5.b c +=⎧⎨+=⎩∴2,4.b c =⎧⎨=-⎩∴y 1＝x ＋2，y 2＝x 2－4. 由22,4,y x y x =+⎧⎨=-⎩得112,0x y =-⎧⎨=⎩或223,5,x y =⎧⎨=⎩∴B(－2,0)． (2)图象如图所示．由图象可知：当x≤－2或x≥3时，y 1≤y 2. 12. 解：由题意，得当y ＝3.05时，3.05＝215x -＋3.5， 解得x ＝±1.5.∵篮圈中心在第一象限，∴篮圈中心点的坐标是(1. 5,3.05)． ∴他与篮底的距离是l ＝2.5＋1.5＝4(m)． 答：他与篮底的距离l 为4 m. 中考链接：1.【解析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”进行解题． 【答案】解：∵向下平移1个单位∴y=x 2－1．故得到的抛物线的解析式是y= x 2－1．2、答案：D2.2.2二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质一、夯实基础1．已知抛物线的解析式为y=(x－2)2+1，则抛物线的顶点坐标是 ( ) A．(－2，1) B．(2，1)C．(2，－1) D．(1，2)2．在同一坐标系中，关于抛物线y＝13-(x－3)2与抛物线y＝13-(x＋3)2的下列说法错误的是( )．A．对称轴关于y轴对称B．图象关于y轴对称C．顶点关于y轴对称D．形状相同，开口方向相反3．已知y＝x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把y轴向右平移3个单位，那么在新坐标系中抛物线为 ( )．A．y＝(x－3)2B．y＝(x＋3)2 C．y＝x2－3 D．y＝x2＋34．直线y＝ax＋b与抛物线y＝a(x＋b)2在同一坐标系中的图象应是( )．5．根据函数y＝2x2，y＝2(x＋1)2，y＝2(x－1)2的图象回答下列问题：它们的对称轴分别为______，______，______；顶点坐标分别是______，______，______；函数y＝2(x －1)2是由y＝2(x＋1)2经过__________得到的．6．抛物线y＝2x2＋5可以看做是由抛物线y＝_______沿y轴向_______平移_______个单位长度得到的．二、能力提升7．若把函数y＝x的图象用E(x，x)记，函数y＝2x＋1的图象用E(x,2x＋1)记，……，则E(x，x2－2x＋1)可以由E(x，x2)( )得到．A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位8．若点A(2，－3)在函数y＝－a(x＋2)2的图象上，则点A关于这个函数的对称轴对称的点B的坐标为_______．9．在同一直角坐标系中．下列函数：①y＝2(x＋1)2；②y＝2x2＋3；③y＝－2x2－1④y＝12x2－1．其中，图象不可能是由函数y＝2x2＋1的图象通过平移、轴对称变换得到的是_______（填序号）．10．二次函数y＝a(x－h)2的图象如图所示．已知a＝12，OA＝OC，试求该抛物线的解析式．三、课外拓展11．将抛物线y＝34(x+5)2－6向右平移4个单位，再向上平移5个单位，求此时抛物线的解析式．12．已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B坐标为(3，m)(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D．(1)求点A的坐标(用m表示)；(2)求抛物线的解析式．四、中考链接1．(2011年浙江宁波)将抛物线y＝x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为____________．2．（2016•天津）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x 的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或33．（2016•舟山）二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y 的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．参考答案1．B［提示：由顶点坐标公式可以得到顶点坐标为(2，1)．]2.答案：D3.解析：抛物线不动，把y轴向右平移3个单位，相当于y轴不动，抛物线y＝x2向左平移3个单位，故所得抛物线为y＝(x＋3)2.答案：B4.解析：对B，y＝a(x＋b)2中a＞0，而y＝ax＋b中a＜0，矛盾，故B错；对C，y ＝a(x＋b)2中a＜0，而y＝ax＋b中a＞0，矛盾，故C错；对D，y＝a(x＋b)2中a＞0，而y＝ax＋b中a＜0，矛盾，故D错，所以选A．答案：A5.答案：y轴(或x＝0) x＝－1 x＝1 (0,0) (－1,0) (1,0) 向右平移2个单位6．答案：－2x2 上 57.解析：由题意可得E(x，x2)表示二次函数y＝x2的图象，E(x，x2－2x＋1)表示二次函数y ＝x 2－2x ＋1的图象，即y ＝(x －1)2的图象，它可以看作是由函数y ＝x 2的图象向右平移1个单位得到．答案：D8．答案：（－6，－3） 9．答案：④10. 解：∵OA＝OC ，二次函数y ＝a (x －h )2的顶点坐标是(h ,0)，∴点A 的坐标是A(0，h )．将a ＝12及A(0，h )代入y ＝a (x －h )2中， ∴h ＝12(0－h )2. 又h ≠0，解得h ＝2， ∴y ＝12(x －2)2. 11．提示：解析式为y=34(x+1)2－1． 12. 解：(1)由B(3，m )可知OC ＝3，BC ＝m . 又△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC＝BC ＝m ，OA ＝m －3. ∴点A 的坐标是(3－m ,0)． (2)∵∠ODA＝∠OAD＝45°，∴OD＝OA ＝m －3，则点D 的坐标是(0，m －3)． 又抛物线顶点为P (1,0)，且过点B 、D ， ∴可设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2，得22(31),(01)3,a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩解得1,4.a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为y ＝(x －1)2. 中考链接： 1．y ＝x 2＋12．解：∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，∴①若h ＜1≤x≤3，x=1时，y 取得最小值5， 可得：（1﹣h ）2+1=5， 解得：h=﹣1或h=3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1=5，解得：h=5或h=1（舍）．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．3．解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；②当当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=，所以m+n=﹣2+=．故选：D．2.2.3二次函数的图像与性质一、夯实基础1．若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b，k的值分别为( )．A．0,5 B．0,1 C．－4,5 D．－4,12．将函数y＝x2＋x的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数y＝x2－3x＋2的图象，则a的值为( )．A．1 B．2 C．3 D．43．将抛物线y＝2x2－12x＋16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )．A．y＝－2x2－12x＋16 B．y＝－2x2＋12x－16C．y＝－2x2＋12x－19 D．y＝－2x2＋12x－204．将抛物线：y＝x2－2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是________．5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)、(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1__________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)6.将抛物线y=ax2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________.二、能力提升7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )．A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a＋b＋c＞08．函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象可能是( )．9.若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m 的取值范围是_____.10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(-2,3),且过A(-3,0), 则抛物线的关系式为___________.三、课外拓展11．如图所示，抛物线y ＝212x ＋mx ＋n 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点P 是它的顶点，点A 的横坐标是－3，点B 的横坐标是1.(1)求m ，n 的值； (2)求直线PC 的解析式．12．如图，抛物线y ＝ax 2－5x ＋4a 与x 轴相交于点A 、B ，且过点C (5,4)．(1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；(2)请你设计一种．．平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．四、中考链接1. （2016·四川眉山·3分）若抛物线y=x 2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ）A ．y=（x ﹣2）2+3 B ．y=（x ﹣2）2+5 C ．y=x 2﹣1 D ．y=x 2+4 2.（2016·四川南充）抛物线y=x 2+2x+3的对称轴是（ ）A ．直线x=1B ．直线x=﹣1C ．直线x=﹣2D ．直线x=23．（2016河南）已知A （0，3），B （2，3）是抛物线y=﹣x 2+bx+c 上两点，该抛物线的顶点坐标是 ．答案1. 解析：由题可知2b-＝2，b ＝－4， ∴二次函数为y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1， ∴k ＝1.(或由y ＝(x －2)2＋k ＝x 2－4x ＋4＋k ， 可知b ＝－4,4＋k ＝5， 解得b ＝－4，k ＝1.) 答案：D2. 解析：将函数y ＝x 2－3x ＋2化为顶点式为y ＝23124x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以顶点坐标为31,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.而函数y ＝x 2＋x 的顶点坐标为11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为将函数y ＝x 2＋x 的图象向右平移a (a ＞0)个单位，得到函数y ＝x 2－3x ＋2的图象，所以1322a -+=. 解得a ＝2. 答案：B3. 解析：将y ＝2x 2－12x ＋16配方得y ＝2(x －3)2－2.此抛物线开口向上，顶点为(3，－2)，绕y ＝2x 2－12x ＋16的顶点旋转180°后，新抛物线开口大小，形状不变，开口向下，顶点为(3，－2)，故新抛物线的解析式为y ＝－2(x －3)2－2，即y ＝－2x 2＋12x －20.答案：D4. 解析：先将抛物线的解析式化为顶点式，y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，然后根据平移规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是：y ＝(x －5)2＋2，将顶点式展开得y ＝x 2－10x ＋27.答案：y ＝x 2－10x ＋275. 解析：可以画出草图，借助图象找到y 1和y 2，然后比较大小． 答案：＞6. 解析：y=-4x 2+16x-137. 解析：根据抛物线的开口方向判断a 的正负；根据对称轴在y 轴的右侧，得到a ，b异号，可判断b 的正负；根据抛物线与y 轴的交点为(0，c )，判断c 的正负；由自变量x ＝1得到对应的函数值为正，判断a ＋b ＋c 的正负．答案：D8. 解析：本题考查函数的图象与性质，当a ＞0时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，B 错；当a ＜0时，直线从左向右是下降的，抛物线开口向下，D 错；函数y ＝ax ＋1与y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图象必过(0,1)，所以C 正确．答案：C9. 解析：m>1310. 解析：y=-3x 2-12x-911. 解：(1)根据题意，得930,210,2m n m n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩解得1,3.2m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩(2)∵y ＝212x ＋mx ＋n ＝212x ＋x －3122=(x ＋1)2－2，∴P (－1，－2)，C 30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.设直线PC 的解析式为y ＝kx ＋b ，得2,3,2k b b -+=-⎧⎪⎨=-⎪⎩解得1,23,2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴y ＝1322x -. 12. 解：(1)把点C (5,4)代入抛物线y ＝ax 2－5x ＋4a ， 得25a －25＋4a ＝4. 解得a ＝1.∴该二次函数的解析式为y ＝x 2－5x ＋4.∵y ＝x 2－5x ＋4＝25924x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴顶点坐标为59,24P ⎛⎫-⎪⎝⎭. (2)(答案不唯一，合理即正确)如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数解析式为y ＝225917342424x x ⎛⎫⎛⎫-+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即y＝x2＋x＋2.中考链接：1.解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，∵y=（x﹣1）2+2，∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1，故答案为C．2.解：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1．故选B．3．解：∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，∴代入得：，解得：b=2，c=3，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．2.2.4二次函数的图像与性质一、夯实基础1．与x轴有唯一的交点(2,0)，且经过(－1,9)的抛物线的解析式为( )．A．y＝(x＋2)2 B．y＝(x－2)2 C．y＝－(x＋2)2D．y＝－(x－2)22．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是 ( )．A ．y ＝x 2－x －2 B ．y ＝21122x x -+ C ．y ＝211122x x --+D ．y ＝－x 2＋x ＋2 3．已知抛物线过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于C 点，且BC=32，则这条抛物线的解析式为 ( )A ．y=－x 2+2x+3 B ．y ＝x 2－2x －3C ．y=x 2+2x ―3或y ＝－x 2+2x+3 D ．y=－x 2+2x+3或y ＝x 2－2x －34．如果点(－2，－3)和(5，－3)都是抛物线y=ax 2+bx+c 上的点，那么抛物线的对称轴是 ( )A ．x=3B ．x=－3C ．x=32 D ．x=－325.（16·四川泸州）已知二次函数y=ax 2﹣bx ﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ）A ．或1 B ．或1 C ．或D ．或6．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－2,7)、(6,7)、(3，－8)，则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是________．7．将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后的抛物线经过点(3，－1)，那么平移后的抛物线的关系式为__________．二、能力提升8．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m ，距地高均为1 m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m ，2．5 m 处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m ，则学生丁的身高为 ( )A ．1.5 mB ．1.625 mC ．1.66 mD ．1.67 m9．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1,0)、(1，－2)，当y 随x 的增大而增大时，x的取值范围是________．10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点p的横坐标是4，图象与x轴交于点A(m，0)和点B，且点A在点B的左侧，那么线段AB的长是．(用含字母m的代数式表示)三、课外拓展11．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式．12．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、P的坐标分别为(0,2)、(3,2)、(2,3)、(1,1)．(1)请在图中画出△A′B′C′，使得△A′B′C′与△ABC关于点P成中心对称；(2)若一个二次函数的图象经过(1)中△A′B′C′的三个顶点，求此二次函数的关系式．13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝－x2＋(k－1)x＋4的图象与y 轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△OAB＝6.(1)求点A与点B的坐标；(2)求此二次函数的解析式．14．如图，ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0,8)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过x轴上的点A、B．(1)求点A，B，C的坐标；(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．15．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(－1,0)、(3,0)、(0,3)．过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)求当AD＋CD最小时点D的坐标．四、中考链接1．（2016·陕西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．2.（2016·广西百色·12分）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L 经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．（1）建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O、P、A三点坐标；②求抛物线L的解析式；（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．3.（2016·贵州安顺·14分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案1. 解析：由题意可设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2(a≠0)，将点(－1,9)代入解析式可得9＝9a，所以a＝1，所以抛物线的解析式为y＝(x－2)2.答案：B2. 解析：将(－1,0)，(2,0)代入各选项验证，结合开口方向可知选D．答案：D3．D[提示：注意由条件不能确定抛物线的开口方向，所以此题不要漏解．]4．C [提示：点(－2，－3)与(5，－3)关于直线x ＝32对称．]5. A[知a＞0，＞0，a+b﹣2=0，故b＞0，且b=2﹣a，a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，于是0＜a＜2，∴﹣2＜2a﹣2＜2，又a﹣b为整数，∴2a ﹣2=﹣1，0，1，故a=，1，，b=，1，，∴ab=或1，故选A.6. 解析：由题意可知4273667938a b ca b ca b c⎧⎪⎨⎪⎩－＋＝，＋＋＝，＋＋＝－，解得145abc⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝－，＝－，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x－5.由x2－4x－5＝－8，即x2－4x＋3＝0，解得x＝3或x＝1.故另一点为(1，－8)．答案：(1，－8)7. 答案：y＝－4x2＋16x－138．B[提示：建立如图2－82所示的平面直角坐标系，由图象可知三点坐标(－1，1)，(0，1.5)，(3，1)，则抛物线的解析式为y＝－16x2＋13x＋32，又当x＝1.5时，代入求出y＝1.625．故选B．]9. 解析：将点(－1,0)，(1，－2)代入y＝x2＋bx＋c，可得b＝－1，c＝－2，因此二次函数的对称轴为x＝12.答案：x＞1210．答案：8－2m 【提示：点A 到抛物线对称轴的距离为4－m ，所以线段AB 的长为2(4－m)＝8－2m ．】11. 解：(1)M(12,0)，P(6,6)．(2)设抛物线的解析式为y ＝a(x －6)2＋6(a≠0)． ∵抛物线y ＝a(x －6)2＋6经过点(0,0)， ∴0＝a(0－6)2＋6，即a ＝16-. ∴抛物线的解析式为y ＝16-(x －6)2＋6. 12. 解：(1)画出△A′B′C′如图所示．(2)由(1)知，点A′，B′，C′的坐标分别为(2,0)，(－1,0)，(0，－1)．因为二次函数图象与y 轴的交点C′的坐标为(0，－1)，故可设所求二次函数关系式为y ＝ax 2＋bx －1(a≠0)．将A′(2,0)，B′(－1,0)的坐标代入，得421010a b a b ⎧⎨⎩＋－＝，－－＝， 解得1,21.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故所求二次函数关系式为y ＝21122x x -－1. 13. 解：(1)由解析式可知，当x ＝0时，y ＝4， ∴点A 的坐标为(0,4)． ∵S △OAB ＝12×BO×4＝6，∴BO＝3. ∴点B 的坐标为(－3,0)．(2)把点B 的坐标(－3,0)代入y ＝－x 2＋(k －1)x ＋4，得－(－3)2＋(k －1)×(－3)＋4＝0.解得k －1＝53-.∴所求二次函数的解析式为y ＝－x 2－53x ＋4.14. 解：(1)在ABCD中，CD∥AB且CD＝AB＝4，∴点C的坐标为(4,8)．设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，则AH＝BH＝2.∴点A、B的坐标分别为A(2,0)、B(6,0)．(2)由抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为C(4,8)，设抛物线的解析式为y＝a(x－4)2＋8(a≠0)，把A(2,0)代入上式，并解得a＝－2.∴y＝－2(x－4)2＋8.设平移后抛物线的解析式为y＝－2(x－4)2＋8＋k，把(0,8)代入上式，并解得k＝32.∴平移后抛物线的解析式为y＝－2(x－4)2＋40，即y＝－2x2＋16x＋8.15. 解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．将(－1,0)，(3,0)，(0,3)代入上式，得9303a b ca b cc⎧⎪⎨⎪⎩－＋＝，＋＋＝，＝，解得a＝－1，b＝2，c＝3.∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋2x＋3. (2)连接BC，交直线l于点D．∵点B与点A关于直线l对称，∴AD＝BD．∴AD＋CD＝BD＋CD＝BC．由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时AD＋CD最小，点D的位置即为所求．设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∵过点B(3,0)，C(0,3)，∴303k bb⎧⎨⎩＋＝，＝，解得k＝－1，b＝3.∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.∵点D在对称轴上，∴点D的纵坐标为y D＝－1＋3＝2.∴点D的坐标为(1,2)．中考链接：1．解：（1）由抛物线过M、N两点，把M、N 坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5，令y=0可得x2﹣3x+5=0，该方程的判别式为△=（﹣3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，∴抛物线与x轴没有交点；（2）∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上，∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2），可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入可得，解得，∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，），∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入可得，解得，∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，），∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．2.【分析】（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系．①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标；②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点E的坐标，结合三角形的面积公式找出S△OAE+S OCE关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论．【解答】解：（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y 轴建立直角坐标系，如图所示．①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，∴点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（2，2）．②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线L经过O、P、A三点，∴有，解得：，∴抛物线L的解析式为y=﹣+2x．（2）∵点E是正方形内的抛物线上的动点，∴设点E的坐标为（m，﹣+2m）（0＜m＜4），∴S△OAE+S OCE=OA•y E+OC•x E=﹣m2+4m+2m=﹣（m﹣3）2+9，∴当m=3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9．3.【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．2.3确定二次函数的表达式一、夯实基础1．将抛物线y=x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，•则此时抛物线的解析式是________．2．（锦州市）已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式________．3．（长春市）函数y=x2+bx-c的图象经过点（1，2），则b-c的值为______．4．已知抛物线过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点，且2，则这条抛物线的解析式为 ( )A．y=－x2+2x+3 B．y＝x2－2x－3C．y=x2+2x―3或y＝－x2+2x+3 D．y=－x2+2x+3或y＝x2－2x－35．如果点(－2，－3)和(5，－3)都是抛物线y=ax2+bx+c上的点，那么抛物线的对称轴是 ( )A．x=3 B．x=－3 C．x=32D．x=－326．二次函数y=ax2+bx+c，b2=ac，且x=0时y=-4则（）A．y最大=-4 B．y最小=-4 C．y最大=-3 D．y最小=3二、能力提升7．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(1，4)和点(5，0)，则该抛物线的解析式为．8．用配方法把二次函数y＝l+2x－x2化为y＝a(x－h)2+k的形式，作出它的草图，回答下列问题．(1)求抛物线的顶点坐标和它与x轴的交点坐标；(2)当x取何值时，y随x的增大而增大?(3)当x取何值时，y的值大于0?三、课外拓展9.把8米长的钢筋，焊成一个如图所示的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形.请你写出钢筋所焊成框架的面积y(平方米)与半圆的半径x(米)之间的函数关系式.10．（南通市）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，•其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y>0．11．已知抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如图2 - 80所示，试确定a，b，c，b2－4ac及a+b+c的符号．12．―抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标．13．如图所示，矩形A′BC′O′是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕点B逆时针旋转得到的．点O′在x轴的正半轴上，点B的坐标为(1，3)．(1)如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0)的图象经过O，O′两点，且图象顶点M的纵坐标为－l，求这个二次函数的解析式；(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右侧，是否存在点P，使得△POM为直角三角形?若存在，求出点P的坐标和△POM的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边C′O′所在直线的解析式．四、中考链接1．（2014•舟山，第10题3分）当﹣2≤x ≤1时，二次函数y =﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）A ﹣2 B或C 2或D 2或﹣或2. （2016·四川眉山·3分）若抛物线y=x 2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ）A ．y=（x ﹣2）2+3 B ．y=（x ﹣2）2+5 C ．y=x 2﹣1 D ．y=x 2+43．（2013山东临沂，26，13分）如图，抛物线经过A （－1，0），B （5，0），C （0，－52）三点．（1）求抛物线的解析式；答案1.分析：根据平移的规律，上加下减，可以得到答案是：y=（x+4）2-2 （y=x 2+8x+14） 2.答案不唯一，符合要求即可.如：y=x 2-23.分析：把点（1.2）代入可以得到b-c 的值为1,所以答案是：14．D[提示：注意由条件不能确定抛物线的开口方向，所以此题不要漏解．] 5. C6．C [提示：点(－2，－3)与(5，－3)关于直线x ＝32对称．] 7．B8．解：y=－(x －1)2＋2，图略．(1)顶点坐标为(1，2)，与x 轴的两个交点坐标分别为(12，0)，(12，0)． (2)当x ＜1时，y 随x 的增大而增大. (3)当l 2＜x ＜12时，y 的值大于0．9.解：半圆面积：21πx 2. 长方形面积：21×2x (8－2x －πx )=8x －(2+π)x 2. ∴y =21πx 2+8x －(2+π)x 2, 即y =－(21π+2)x 2+8x ,10.（1）y=-12x2+32x+2，顶点坐标（32，258）（2）略，（3）当-1<x<4时，y>0．11．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴C ＜0．又∵对称轴在y轴左侧，∴ab＞0．∵a＞0，∴b＞0．∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2－4ac＞0．∵当x=1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0．12．解：(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c．将A(－2，0)，B(1，0)，C(2，8)三点代入，得420,0,428,a b ca b ca b c-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解这个方程组，得2,2,4,abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求抛物线的解析式为y＝2x2＋2x－4． (2)∵y=2x2＋2x－4＝2(x2＋x－2)=2(x＋12)2－92，∴该抛物线的顶点坐标为(－12，－92)．13．解：(1)如图2－83所示，连接BO，BO′，则BO=BO′．∵BA⊥OO′，∴AO＝AO′．∵B(1，3)，∴O′(2，0)，M(1，－1)，∴420,1,0,a b ca b cc++=⎧⎪++=-⎨⎪=⎩解得1,2,0,abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴所求二次函数的解析式为y＝x2－2x．(2)假设存在满足题设条件的点P(x，y)．连接OM，PM，OP，过P作PN⊥x轴于N，则∠POM＝90°．∵M(1，－1)，A(1，0)，AM=OA，∴∠NOA＝45°，∴∠PON=45°，∴ON=NP，即x＝y．∵P(x，y)在二次函数y=x2－2x的图象上，∴x＝x2－2x，解得x＝0或x＝3．∵P(x，y)在对称轴的右侧，∴x＞1，∴x=3，y=3，即P(3，3)是所求的点．连接MO′，显然△OMO′为等腰直角三角形，∴点O′(2，0)也是满足条件的点，∴满足条件的点是P(2，0)或P(3，3)，∴，∴S△POM=12OP·OM=3或S△POM＝12OM·O′M=1．(3)设AB与C′O′的交点为D(1，y)，显然Rt△DAO′≌Rt△DC′B．在Rt△DAO′中，AO′2＋AD2＝O′D2，即1＋y2＝(3－y)2，解得y=43，∴D(1，43)．设边C′O′所在直线的解析式为y＝kx＋b，则4,320,k bk b⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得4,38,3kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求直线的解析式为y=48.33x-+。