九年级数学上册全一册同步练习（打包52套350页）（新版）北师大版
九年级数学上册全一册同步练习(打包52套350页)(新版)北师大版
九年级数学上册全一册同步练习（打包52套350页）（新版）北师大版1 第1课时菱形的概念及其性质知识点 1 菱形的定义及对称性1．如图1－1－1，在?ABCD中，若添加下列条件：①AB＝CD；②AB＝BC；③∠1＝∠2.其中能使?ABCD成为菱形的有( )图1－1－1A．0个B．1个C．2个D．3个2．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图1－1－2所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是( )A．(3，1) B．(3，－1)C．(1，－3) D．(1，3)1－1－2 1－1－33．如图1－1－3，P是菱形ABCD对角线BD上的一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是________cm.知识点 2 菱形的边的性质4．如图1－1－4，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD 的周长是( )A．25 B．20C．15 D．101－1－4 1－1－5 5．如图1－1－5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OH的长为________．6．如图1－1－6，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形．求证：BE＝CE.图1－1－6知识点 3 菱形的对角线的性质7．教材习题1.1第2题变式题如图1－1－7，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的边长为( )A．5 B．10 C．6 D．88．已知菱形的边长是2 cm，一条对角线长是2 cm，则另一条对角线长是( )A．4 cm B．2 3 cmC. 3 cm D．3 cm1－1－7 1－1－89．如图1－1－8，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠CBO＝________°.10．如图1－1－9，四边形ABCD是菱形，A(3，0)，B(0，4)，则点C的坐标为( )图1－1－9A．(－5，4) B．(－5，5)C．(－4，4) D．(－4，3)11．一个菱形的边长为4 cm，且有一个内角为60°，则这个菱形的面积是________．12．如图1－1－10，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，对角线AC，BD相交于点O，点E 在AB上，且BE＝BO，则∠EOA＝________°.1－1－10 1－1－1113．如图1－1－11，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH 的长为________．14．如图1－1－12所示，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是________．图1－1－1215．如图1－1－13，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．图1－1－1316.如图1－1－14所示，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD 交AD的延长线于点F，请你猜想CE与CF在数量上有什么关系，并证明你的猜想．图1－1－1417．如图1－1－15，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝CE；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的度数．图1－1－15第2课时菱形的判定知识点 1 由菱形的定义作判定1．如图1－1－16，要使?ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( )图1－1－16A．AC＝AD B．BA＝BCC．∠ABC＝90° D．AC＝BD2．如图1－1－17，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形．图1－1－17知识点 2 根据菱形的对角线作判定3．下列命题中，正确的是( )A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形图1－1－184．如图1－1－18，在?ABCD中，AB＝13，AC＝10，当BD＝________时，四边形ABCD 是菱形．5．教材例2变式题如图1－1－19，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB ＝5，AC＝6，BD＝8.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－19知识点 3 根据菱形的边作判定6．用直尺和圆规作一个菱形，如图1－1－20，能判定四边形ABCD是菱形的依据是( )图1－1－20A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形7．如图1－1－21，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC，∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－218．如图1－1－22所示，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线．添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是( )A．AE＝AF B．EF⊥ACC．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线1－1－22 1－1－239．如图1－1－23，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是( )A．AB⊥AC B．AB＝ACC．AB＝BC D．AC＝BC10．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是________．图1－1－2411．如图1－1－24，E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA 的中点，当四边形ABCD的边满足条件____________时，四边形EFGH是菱形．12．如图1－1－25，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，作边AC的垂直平分线l 交AB于点D，过点C作AB的平行线交l于点E，判断四边形DBCE的形状，并说明理由．图1－1－2513．如图1－1－26，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC 的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．图1－1－2614．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同且含60°角的三角板ABC 与三角板AEF按如图1－1－27①所示方式放置，现将三角板AEF绕点A按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF 交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，判断四边形ABPF的形状，并说明理由．图1－1－27第3课时菱形的性质与判定的综合应用知识点 1 菱形的面积1．已知菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的面积是( )A．192 B．96 C．48 D．40图1－1－282．如图1－1－28，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD ＝6，则菱形ABCD的面积是( )A．6 B．12C．24 D．483．如图1－1－29，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4，周长为40 cm，求菱形的面积及高．图1－1－29知识点 2 菱形的性质与判定的应用4．如图1－1－30，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则四边形ABCD的周长为( )A．4 B．6 C．8 D．121－1－30 1－1－315．如图1－1－31，剪两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是( )A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB＋∠BCD＝180°6．如图1－1－32，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．41－1－3 1－1－337．如图1－1－33，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D 的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．8．如图1－1－34所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，AE＝2，则AB＝________．1－1－3 1－1－359．如图1－1－35，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF＝________°.10．如图1－1－36，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝6，∠BEF＝120°，求四边形BCFE的周长．图1－1－36图1－1－3711．如图1－1－37，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为( )A．52 cm B．40 cmC．39 cm D．26 cm12．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：图1－1－38甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于点M ，O ，N ，连接AN ，CM ，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接EF ，则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断( )A ．甲正确，乙错误B ．甲错误，乙正确C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误图1－1－3913．如图1－1－39，菱形ABCD 的边长为8 cm ，∠A ＝60°，D E ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，则四边形BEDF 的面积为________ cm 2.14．如图1－1－40，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，连接DP 交对角线AC 于点E ，连接BE .(1)求证：∠APD ＝∠CBE ；(2)试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的14，为什么？图1－1－4015．2017·贺州如图1－1－41，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC ，AC ⊥BD ，垂足为O .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若CD＝3，BD＝2 5，求四边形ABCD的面积．图1－1－4116．教材“做一做”变式题明明将两张长为8 cm，宽为2 cm的长方形纸条交叉叠放，如图1－1－42①所示，他发现重叠部分可能是一个菱形．(1)请你帮助明明证明四边形ABCD是菱形；(2)明明又发现：如图②所示，当菱形的一条对角线与长方形纸条的一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．图1－1－422 第1课时矩形的概念及其性质知识点 1 矩形边、角的性质1．若矩形ABCD的两邻边长分别是1，2，则其对角线BD的长是( )A. 3 B．3 C. 5 D．2 52．如图1－2－1所示，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE ＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．51－2－1 1－2－23．如图1－2－2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC 的度数是( )A．30° B．22.5° C．15° D．10°4．如图1－2－3，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO ＝BO.图1－2－3知识点 2 矩形对角线的性质5．如图1－2－4，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的度数为( )A．30° B．60° C．90° D．120°1－2－4 1－2－56．教材例1变式题如图1－2－5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB ＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是( )A ．3 cmB ．6 cmC ．10 cmD ．12 cm图1－2－67．如图1－2－6，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AO ，AD 的中点，若AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，则EF ＝________ cm.8．如图1－2－7，在矩形ABCD 中，过点B 作BE ∥AC 交DA 的延长线于点E .求证：BE ＝BD .图1－2－7知识点 3 直角三角形斜边上的中线的性质9．若直角三角形两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线的长是( ) A ．5 B ．10 C.245 D.125图1－2－810．如图1－2－8，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝55°，D 是斜边AB 的中点，那么∠ACD 的度数为( )A．15° B．25°C．35° D．45°11．如图1－2－9，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E 为AB的中点．求证：CE＝DE.图1－2－912．如图1－2－10，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( )A．3 B．4 C．5 D．61－2－10 1－2－1113．如图1－2－11，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．2014．如图1－2－12，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，折叠矩形，使顶点D与对角线交点O重合，折痕为CE，已知△CDE的周长是10 cm，则矩形ABCD的周长为( )A．15 cm B．18 cm C．19 cm D．20 cm1－2－121－2－1315．如图1－2－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，BC，CA 的中点，若CD＝6 cm，则EF＝________ cm.16．2017·荆州如图1－2－14，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC 方向平移，使点B移到点C，得到△DC E.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．图1－2－1417．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1－2－15①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD 是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD.应用：如图1－2－15②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F 在BC上，。
北师大版九年级数学上册_53全练《正方形的性质与判定》知识过关练
3正方形的性质与判定知识点一正方形的定义和性质1.下列条件可以利用定义说明平行四边形ABCD是正方形的是( )A.AB=CD，∠A=90°B.AB=AD，∠A=90°C.AB∥CD，∠A=90°D.以上均错2.（2020广东实验中学南海学校月考）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A.对角线垂直B.对边相等C.对角相等D.对边平行3.如下图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF，相交于点G，则下列结论不正确的是（）A.BE=AFB.∠DAF=∠BECC.∠AFB+∠BEC=90°D.AG⊥BE4. 如下图所示，正方形ABCD的边长为8，M在CD上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）A.6B.8C.10D.825.将五个边长都为2cm的正方形按如下图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为（）A.22cmB.42cmC. 62cmD. 82cm6.（2019江苏扬州中考）如下图所示，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE 为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB=7，BE=5，则MN=_____.7.（2018西川广安中考）如下图所示，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.求证：AB=EF.8. 如下图所示，在正方形ABCD中，E是AB边上一点，F是AD延长线上一点，BE=DF.（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD边上，且∠GCE=45°，BE=3，DG=5，求GE的长.9. 如下图所示①，四边形ABCD是正方形，G是累CD边上的一个动点（点G与点C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG、DE.我们探究如下图所示中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）猜想如下图所示①中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；（2）将如下图所示①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度 ，得到如下图所示②、③的情形请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取如下图所示②证明你的判断.知识点二正方形的判定10.（2019四川成都金牛月考）下列说法正确的是（）A.对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直且有一组邻边相等的平行四边形是正方形C.四个角都相等的菱形是正方形D.对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形11.（2018福建福州仓山期中）如下图所示，正方形ABCD的边长为6，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=4，则四边形EFCH的面积是( )A.14B.16C.18D.2012.如下图所示，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点延长DE 到点F，使DE=EF，得四边形ADCF.若使四边形ADCF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条件是_____.13.（2019山东青岛平度一模）已知：如下图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF.（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）当DE与BC满足什么数量关系时，四边形BECF是正方形？请说明理由. 14.（2020广东茂名高州期中）如下图所示，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AEB=∠CEB，求证：四边形ABCD是正方形.15.（2020独家原创试题）如下图所示，在矩形ABCD中，BC和CD边上分别存在一点E，F，使得AE=AF，CE=CP.求证：矩形ABCD是正方形参考答案知识点一正方形的定义和性质1. 答案：B解析：正方形定义中需要的条件是一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形，符合这一条件的只有选项B.2. 答案：A解析：正方形和矩形都是特殊的平行四边形，所以具有平行四边形所有的性质，即对边相等，对角相等，对边平行，正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线只是相等不一定垂直.故选A.3.答案：C解析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC，又∵BF=CE，∴△ABF≌△BCE，∴AF=BE，∠BAF=∠CBE，∠AFB=∠BEC，∴A正确，C 错误；∵∠BAF+∠DAF=90°，∠CBE+∠BEC=90°，∠BAF=∠CBE，∴∠DAF=∠BEC，∴B正确；∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠CBE+∠AFB=90°，∴∠BGF=90°，∴AG⊥BE，∴D正确.故选C.4. 答案：C解析：连接BN，正方形的对称性，知DN=BN，则DN+MN的最小值即为BN+MN 的最小值，也就是线段BM的长.连接BM.在Rt△BCM中，222228(82)BM BC CM=+=+-，∴BM=10.故选C.5. 答案：B解析：如图，连接AP、AN，点A是正方形MNPQ的中心，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，∴∠PAF=∠NAE，∴△PAF≌△MAE，∴四边形AENF的面积等于△N MP的面积.∵△NAP的面积是正方形MNPQ的面积的14，正方形MNPQ的面积为42cm，∴四边形AENF的面积为12cm，∴四块阴影面积的和为42cm.故选B.6. 答案：132解析：如图，连接CF，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，AB=7，BE=5，∴GF=GB=BE=5，BC=AB=7，∴GC=GB+BC=5+7=12，∴222251213CF GF GC=++.∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN=12CF=132.7.证明∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B=90°.∴∠AMB=∠EAF.∵EF⊥AM，∴∠B=∠AFE.又AM=EA，∴△AMB≌△EAF（AAS），∴AB=EF.8.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠B=∠ADC=∠FDC=90°.在△CBE和△CDF中，EB FDB FDC BC DC=∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE=CF.（2）由（1）知△CBE≌△CDF，∴BE=DF，∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠B C D=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，在△ECG和△FCG中，CE CFGCE GCF GC GC=∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴GE=GF=DG+DF=DG+BE=5+3=8.9. 解析：（1）BG=DE，BG⊥DE.（2）BG=DE，BC⊥DE仍然成立.证明：设BG与DE相交于点O，因为四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，所以BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°.所以∠BCG=∠DCE，所以△BCG≌△DCE.所以BG=DE，∠CBG=∠CDE.又因为∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，所以∠CDE+∠DHO=90°，所以∠DOH=90°.所以BG⊥DE.知识点二正方形的判定10. 答案：C解析：A.对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不定是正方形，本选项不符合题意；B.对角线相垂直且有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但不定是正方形，本选项不符合题意；C.四个角都相等的菱形是正方形，正确，本选项符合题意；D.对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，本选项不符合题意.故选C.11. 答案：D解析：∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA,∵AE=BF=CG=DH,∴AH=BE=CF=DG.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=CH，∠AEH=∠BFE，∴四边形EFGH是菱形∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFCH是正方形.∵AB= BC=CD=DA=6，AE=BF=CG=DH=4，∴AH=BF=DG=CF=2，∴EH=FE=GF=GH22+4225∴四边形EFCH的面积是2525=20，故选D.12.答案：∠ACB=90°（答案不唯一）解析：（答案不唯一）当∠ACB=90°时，四边形ADCF是正方形. 理由：∵E是AC的中点，∴AE=EC，又∵DE=FF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AD=DB，AE=EC，∴DE=12BC，∴DF=BC，∵CA=CB，∴AC=DF，∴四边形ADCF是矩形，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°，∴矩形ADCF是正方形.13.（1）证明：∵AD是BC边上的中线，AB=AC，∴BD=CD，∵BF∥EC，∴∠DBF=∠DCE，又∵∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE（ASA）.（2）当DE=12BC时，四边形BECF是正方形.理由：∵△BDF≌△CDE，∴BF=CE，DE=DF，∵BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形.∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴四边形BECF是菱形.∵DE=12BC，DE=DF=12EF，∴EF=BC，∴四边形BECF是正方形. 14.证法一：连接AC交BD于O点，如图，在△AEB与△CEB中，BAE BCE AEB CEB EB EB ∠=∠∠=∠⎧⎪⎪⎩=⎨，，， ∴△AEB ≌△CEB （AAS ），∴AE =CE ， ∴△AEC 为等腰三角形， ∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OC ，∴OE ⊥AC ，即AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是正方形. 证法二：在△ABE 和△CBE 中，BAE BCE AEB CEB BE BE ∠=∠∠=∠⎧⎪⎪⎩=⎨，，， ∴△ABE ≌△CBE （AAS ），∴BA =BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 是正方形. 15.证明：如图，连接AC ，在△AEC 和△AFC 中，AE AF CE CF AC AC ===⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△AEC ≌△AFC ，∴∠AEC =∠AFC ，∴∠AEB =∠AFD . 在矩形ABCD 中，∠B =∠D =90° 又∵AE =AF ，∴△ABE ≌△ADF ， ∴AB =AD ，∴矩形ABCD 是正方形.。
北师大版数学九年级上册单元试卷【全册合集】
北师大新版九年级上册<第1章特殊的平行四边形>2021年单元测试卷一、选择题：〔每题3分，共36分〕1．以下判定正确的选项是( )A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形2．以下说法中，错误的选项是( )A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形3．以下命题原命题与逆命题都是真命题的是( )A．矩形的对角线相等B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．矩形有一个内角是直角D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( )A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形5．两条对角线相等的平行四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．矩形或正方形 D．正方形6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，那么OH的长等于( )A．3.5 B．4 C．7 D．147．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形8．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，那么∠FAB=( )A．30°B．45°C．22.5° D．135°9．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，那么∠DCE的度数为( )A．30°B．22.5° C．15°D．45°10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，那么DE长为( )A．4.8 B．5 C．5.8 D．611．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，假设两个小正方形的面积分别为S1、S2，那么S1+S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1912．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，那么这个最小值为( )A．2 B．3 C． D．二、填一填题〔每题3分，共12分〕13．菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，那么较短的对角线长为__________，面积为__________．14．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长BG交CD 于点F，假设CF=1，FD=2，那么BC的长为__________．15．在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，那么PE+PF=__________．16．如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，那么PE﹢PC的最小值是__________．三、解答题：17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．18．，如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，ED=AF．求证：四边形AEDF是菱形．19．：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．20．：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，〔1〕求证：四边形ADCE为矩形；〔2〕当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．21．：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F．〔1〕求证：DE=DF；〔2〕只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．23．，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．〔1〕求证：△BCE≌△DCF；〔2〕求CF的长；〔3〕如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，假设以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？假设存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；假设不存在，说明理由．北师大新版九年级上册<第1章特殊的平行四边形>2021年单元测试卷一、选择题：〔每题3分，共36分〕1．以下判定正确的选项是( )A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形【考点】多边形．【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案．【解答】解：A、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故A错误；B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故B正确；C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故C正确；D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故D错误；应选：B．【点评】此题考查了多边形，熟记平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．2．以下说法中，错误的选项是( )A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，应选：D．【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形根本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．3．以下命题原命题与逆命题都是真命题的是( )A．矩形的对角线相等B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．矩形有一个内角是直角D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形【考点】命题与定理．【分析】分别写出四个命题的逆命题，再判断是否是真命题即可．【解答】解：A、矩形的对角线相等，逆命题是对角线相等的四边形是矩形，错误；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，正确；C、矩形有一个内角是直角，逆命题是有一个内角是直角的四边形是矩形，错误；D、对角线互相垂直且平分的四边形是矩形，错误．应选B．【点评】此题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理．4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( )A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．应选D．【点评】此题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．两条对角线相等的平行四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．矩形或正方形 D．正方形【考点】矩形的判定．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，直接得出答案即可．【解答】解：因为对角线相等的平行四边形是矩形．应选：A．【点评】此题考查了特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点是解题关键．6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，那么OH的长等于( )A．3.5 B．4 C．7 D．14【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=AB．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵H为AD边中点，∴OH是△ABD的中位线，∴OH=AB=×7=3.5．应选：A．【点评】此题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．7．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形【考点】中点四边形．【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【解答】解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．应选B．【点评】此题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．8．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，那么∠FAB=( )A．30°B．45°C．22.5° D．135°【考点】菱形的性质；正方形的性质．【分析】由正方形的性质得对角线AC平分直角，因为菱形的对角线平分所在的角，所以∠FAB为直角的．【解答】解：因为AC为正方形ABCD的对角线，那么∠CAE=45°，又因为菱形的每一条对角线平分一组对角，那么∠FAB=22.5°，应选：C．【点评】此题主要考查了正方形、菱形的对角线的性质．9．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，那么∠DCE的度数为( )A．30°B．22.5° C．15°D．45°【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．【分析】由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，根据BE=BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°，根据∠DCE=∠BCD﹣∠BCE即可求出答案．【解答】解：∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=67.5°，∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCE=90°﹣67.5°=22.5°，应选B．【点评】此题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出∠DCE的度数是解此题的关键，题型较好，难度适中．10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，那么DE长为( )A．4.8 B．5 C．5.8 D．6【考点】翻折变换〔折叠问题〕．【专题】数形结合．【分析】注意发现：在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE即可表示AE，在直角三角形ADE 中，根据勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设DE=xcm，那么BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，在RT△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=〔10﹣x〕2+16．解得：x==5.8〔cm〕．应选C．【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答此题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．11．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，假设两个小正方形的面积分别为S1、S2，那么S1+S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．19【考点】勾股定理．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，∴AC=BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD==2，∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．应选B．【点评】此题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．12．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，那么这个最小值为( )A．2 B．3 C． D．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE 最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为4，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．∴所求最小值为2．应选：A．【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．二、填一填题〔每题3分，共12分〕13．菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，那么较短的对角线长为10cm，面积为50cm2．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．【解答】解：根据可得，菱形的边长AB=BC=CD=AD=10cm，∠ABC=60°，∠BAD=120°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=10cm，AO=CO=5cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO==5，∴BD=2BO=10〔cm〕，=×AC×BD=×10×10 =50〔cm2〕；那么S菱形ABCD故答案为：10cm，50cm2．【点评】此题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法〔1〕利用底乘以相应底上的高〔2〕利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积．14．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长BG交CD 于点F，假设CF=1，FD=2，那么BC的长为．【考点】翻折变换〔折叠问题〕；矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM〔AAS〕，MN 是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，在△ENG和△BNM中∵，∴△ENG≌△BNM〔AAS〕，∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．故答案为：2．【点评】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15．在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，那么PE+PF=．【考点】矩形的性质．【分析】连接PO，过D作DM⊥AC于M，求出AC、DM，根据三角形面积公式得出PE+PF=DM，即可得出答案．【解答】解：连接PO，过D作DM⊥AC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AB=CD=5，AD=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OD，由勾股定理得：AC=13，∴OA=OD=6.5，∵S△ADC=×12×5=×13×DM，∴DM=，∵S AOD=S△APO+S△DPO，∴AO×PE+OD×PF=×AO×DM，∴PE+PF=DM=，故答案为：．【点评】此题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，关键是求出DM长和得出PE+PF=DM．16．如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，那么PE﹢PC的最小值是3．【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质．【专题】探究型．【分析】先求出菱形各边的长度，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，那么CE′的长即为PE﹢PC的最小值，由菱形的性质可知E′为AB的中点，由直角三角形的判定定理可得出△BCE′是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB=BC==6cm，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，那么CE′的长即为PE﹢PC的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分线，∴E′在AB上，由图形对称的性质可知，BE=BE′=BC=×6=3，∵BE′=BE=BC，∴△BCE′是直角三角形，∴CE′===3，故PE﹢PC的最小值是3．【点评】此题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质、直角三角形的判定定理，根据轴对称的性质作出图形是解答此题的关键．三、解答题：17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．【考点】矩形的判定；菱形的性质．【分析】根据平行四边形的判定推出四边形OBEC是平行四边形，根据菱形性质求出∠AOB=90°，根据矩形的判定推出即可．【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴平行四边形OBEC是矩形．【点评】此题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．18．，如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，ED=AF．求证：四边形AEDF是菱形．【考点】菱形的判定；角平分线的定义；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】由易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，那么可求得AF=DF，故可证明四边形AEDF是菱形．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线∴∠EAD=∠FAD∵DE∥AC，ED=AF∴四边形AEDF是平行四边形∴∠EAD=∠ADF∴∠FAD=∠FDA∴AF=DF∴四边形AEDF是菱形．【点评】此题主要考查菱形的判定、角平分线的定义和平行线的性质．此题运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形〞．19．：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．【解答】证明：∵ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D．又∵EB=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE．【点评】此题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．20．：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，〔1〕求证：四边形ADCE为矩形；〔2〕当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【专题】证明题；开放型．【分析】〔1〕根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．〔2〕根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由可得，DC=BC，由〔1〕的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】〔1〕证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．〔2〕当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【点评】此题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．21．：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F．〔1〕求证：DE=DF；〔2〕只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．【考点】正方形的判定．【分析】〔1〕连接AD，根据等腰三角形的性质可得AD是∠BAC的角平分线，再根据角平分线的性质可得DE=DF；〔2〕添加∠BAC=90°，根据三角形是直角的四边形是矩形可得四边形AFDE是矩形，再由条件DF=DE可得四边形EDFA是正方形．【解答】解：〔1〕连接AD，∵AB=AC，D是的BC边的中点，∴AD是∠BAC的角平分线，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DE；〔2〕添加∠BAC=90°，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AFD=∠AED=90°，∴四边形AFDE是矩形，∵DF=DE，∴四边形EDFA是正方形．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及正方形的判定，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD为等边三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．【解答】解：∵对角线相等且互相平分，∴OA=OD∴△AOD为等边三角形，那么OA=AD，BD=2DO，AB=AD，∴AD=2，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点∴OE=OD=AD=1，答：OE的长度为1．【点评】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，此题中求得E为OD的中点是解题的关键．23．，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．〔1〕求证：△BCE≌△DCF；〔2〕求CF的长；〔3〕如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，假设以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？假设存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；假设不存在，说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】〔1〕利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；〔2〕通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；〔3〕分三种情况分别讨论即可求得．【解答】〔1〕证明：如图1，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF〔SAS〕；〔2〕证明：如图1，∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，∴∠EBC=∠DBC=22.5°，由〔1〕知△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC=22.5°〔全等三角形的对应角相等〕；∴∠BGD=90°〔三角形内角和定理〕，在△DBG和△FBG中，，∴△DBG≌△FBG〔ASA〕，∴BD=BF，DG=FG〔全等三角形的对应边相等〕，∵BD==，∴BF=，∴CF=BF﹣BC=﹣1；〔3〕解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF∴BH=﹣1，①当BH=BP时，那么BP=﹣1，∵∠PBC=45°，设P〔x，x〕，∴2x2=〔﹣1〕2，解得x=2﹣或﹣2+，∴P〔2﹣，2﹣〕或〔﹣2+，﹣2+〕；②当BH=HP时，那么HP=PB=﹣1，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P〔﹣1，﹣1〕；③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P〔，〕，综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为〔2﹣，2﹣〕、〔﹣2+，﹣2+〕、〔﹣1，﹣1〕、〔，〕．【点评】此题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．北师大新版九年级上册<第2章一元二次方程>2021年单元测试卷一、精心选一选，相信自己的判断！〔每题3分，共30分〕1．方程2x2﹣3=0的一次项系数是( )A．﹣3 B．2 C．0 D．32．方程x2=2x的解是( )A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=3．方程x2﹣4=0的根是( )A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=44．假设一元二次方程2x〔kx﹣4〕﹣x2+6=0无实数根，那么k的最小整数值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．25．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的选项是( )A．〔x+2〕2=1 B．〔x﹣2〕2=1 C．〔x+2〕2=9 D．〔x﹣2〕2=96．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如下图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=07．直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是( )A．6 B．8 C．10 D．128．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，那么这个三角形的周长为( ) A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定9．假设关于一元二次方程x2+2x+k+2=0的两个根相等，那么k的取值范围是( ) A．1 B．1或﹣1 C．﹣1 D．210．科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有( )名学生．A．12 B．12或66 C．15 D．33二、耐心填一填：〔把答案填放相应的空格里．每题3分，共15分〕．11．写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2：__________．12．﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，那么b=__________，另一个根是__________．13．方程〔2y+1〕〔2y﹣3〕=0的根是__________．14．一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=__________．15．用换元法解方程+2x=x2﹣3时，如果设y=x2﹣2x，那么原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是__________．三、按要求解一元二次方程：16．按要求解一元二次方程〔1〕4x2﹣8x+1=0〔配方法〕〔2〕7x〔5x+2〕=6〔5x+2〕〔因式分解法〕〔3〕3x2+5〔2x+1〕=0〔公式法〕〔4〕x2﹣2x﹣8=0．四、细心做一做：20．有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙〔墙长18 m〕，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？21．如下图，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计﹣横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？22．某企业2006年盈利1500万元，2021年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2021年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：〔1〕该企业2007年盈利多少万元？〔2〕假设该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2021年盈利多少万元？23．中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场方案每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？24．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．〔1〕经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？〔2〕经过几秒，△PCQ与△ACB相似？〔3〕如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？假设有可能，求出运动的时间；假设没有可能，请说明理由．北师大新版九年级上册<第2章一元二次方程>2021年单元测试卷一、精心选一选，相信自己的判断！〔每题3分，共30分〕1．方程2x2﹣3=0的一次项系数是( )A．﹣3 B．2 C．0 D．3【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0〔a，b，c是常数且a≠0〕特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易无视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：方程2x2﹣3=0没有一次项，所以一次项系数是0．应选C．【点评】要特别注意不含有一次项，因而一次项系数是0，注意不要说是没有．2．方程x2=2x的解是( )A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法．【专题】因式分解．【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的两个根．【解答】解：x2﹣2x=0x〔x﹣2〕=0∴x1=0，x2=2．应选C．【点评】此题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的根．3．方程x2﹣4=0的根是( )A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】先移项，然后利用数的开方解答．【解答】解：移项得x2=4，开方得x=±2，∴x1=2，x2=﹣2．应选C．【点评】〔1〕用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a〔a≥0〕，ax2=b〔a，b同号且a≠0〕，〔x+a〕2=b〔b≥0〕，a〔x+b〕2=c〔a，c同号且a≠0〕．法那么：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解〞；〔2〕运用整体思想，会把被开方数看成整体；〔3〕用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．4．假设一元二次方程2x〔kx﹣4〕﹣x2+6=0无实数根，那么k的最小整数值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．2。
2019届九年级数学上册全一册 练习(打包39套)(新版)北师大版
第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定菱形的性质1．如图，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是()A．6 3 m B．6 m C．3 3 m D．3 m第1题图第2题图2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF.若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为()A．4 B．4 6 C．47 D．283．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，AB＝6.(1)求∠ABC的度数；(2)求AC的长．4．[2017·河北模拟]如图，四边形ABCD为菱形，点D，C落在以B为圆心的弧EF上，则∠A的度数为__ °_．，第4题图),第5题图) 5．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8 cm，DB＝6 cm，DH⊥AB于点H，则DH＝_ _cm．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD，BC分别交于点M和点N.(1)请你判断OM与O N的数量关系，并说明理由；(2)过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求△BDE的周长．7．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且点E，F不与点B，C，D重合．(1)证明：不论点E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE＝CF.(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化．如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值．参考答案【分层作业】1． B2． C3．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，∴∠BCD＝2∠ACD＝60°，∴∠ABC ＝180°－60°＝120°. (2)连接BD 交AC 于点O ， 则∠AOB ＝90°，AO ＝CO ， 又∵∠ACD ＝∠BAC ＝30°， ∴在Rt △AOB 中，OB ＝12AB ＝3，∴OA ＝AB 2－OB 2＝62－32＝33，∴AC ＝6 3.4． 60 5． 245cm ．6. 解：(1)OM ＝ON ，理由：∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD ∥BC ，AO ＝CO ，∴∠MAO ＝∠NCO . 在△AOM 与△CON 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MAO ＝∠NCO ，AO ＝CO ，∠AOM ＝∠CON ，∴△AOM ≌△CON (ASA )，∴OM ＝ON . (2)∵DE ∥AC ，AC ⊥BD ，AD ∥BC ， ∴四边形ACED 为平行四边形，DE ⊥BD ， ∴CE ＝AD ＝AB ＝BC ＝6，DE ＝AC ＝8， ∴在Rt △BDE 中，BD ＝BE 2－DE 2＝45，∴△BDE 的周长为BD ＋BE ＋DE ＝45＋20. 7．答图解：(1)证明：连接AC，如答图．∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是正三角形，∴AB＝A C．又∵△AEF为正三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，而∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF(SAS)，∴BE＝CF.(2)由(1)知，S△ABE＝S△ACF，∴S四边形AECF＝S△ABC＝34×42＝4 3.∵S△CEF＝S四边形AECF－S△AEF＝43－34×AE2，∴当AE⊥BC时，AE的长最小，最小值为AE＝4×32＝23，∴△CEF的最大值为43－34×(23)2＝ 3.当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4 3.而△CEF 的面积发生变化，其最大值为 3.菱形的判定1．如图，要使ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是()A．AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD第1题图第2题图2．如图，下列条件能判定四边形ABCD为菱形的有()①AB＝BC＝CD＝DA；②AC，BD互相垂直平分；③平行四边形ABCD中，AC⊥BD；④平行四边形ABCD中，AC＝BD．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝8，DB＝6.求证：四边形ABCD是菱形．4．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.(1)证明：AE＝DF.(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．5．[2017·铜山区二模]如图，用完全相同的两个矩形纸片交叉叠合得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是__ __．6．[2017·柯桥区期中]已知在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标依次为(－1，0)，(m，n)，(－1，10)，(－9，p)，且p≤n.若以A，B，C，D四个点为顶点的四边形是菱形，则n的值是__ __．7．如图1，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H.(1)求证：CF＝CH.(2)如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM的形状，并证明你的结论．图1 图2参考答案【分层作业】1． B2．C3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.∵AB＝5，∴AB2＝OA2＋OB2，∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．4．解：(1)证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF.(2)四边形AEDF是菱形．理由：∵DF∥AB，AD平分∠BAC，∴∠DAF＝∠DAE＝∠FDA，∴AF＝DF.由(1)知四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF为菱形．5．菱形．6． 4或5或16．答图【解析】如答图所示：当以AC为对角线时，n＝5；当以AC为一边，且点D在x轴下方时，n ＝4；当以AC 为一边，且点D 在x 轴上方时，n ＝16.综上所述，n ＝4或5或16.7． 解：(1)证明：∵AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°， ∴∠A ＝∠B ＝∠D ＝∠E ＝45°. 在△BCF 和△ECH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EC ，∠BCF ＝∠ECH ，∴△BCF ≌△ECH (ASA)，∴CF ＝CH . (2)四边形ACDM 是菱形．证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠BCE ＝45°， ∴∠1＝∠2＝45°.∵∠E ＝45°，∴∠1＝∠E ，∴AC ∥DE ， ∴∠AMH ＝180°－∠A ＝135°＝∠ACD ． 又∵∠D ＝45°，∴AM ∥CD ， ∴四边形ACDM 是平行四边形． ∵AC ＝CD ，∴四边形ACDM 是菱形．关闭Word 文档返回原板块。
九年级数学上册 第一章同步测试 北师大版
勾股定理一、判断题1.如果一个命题正确，那么它的逆命题也正确3.在直角三角形中，任意给出两条边的长可以求第三边的长二、填空题△ABC中，∠C=90°，如图（1），若b=5，c=13，则a=__________；若a=8，b=6，则c=__________.△ABC，AD为它的高线，如图（2）所示，若它的边长为2，则它的周长为__________，AD=__________，BD∶AD∶AB=__________∶__________∶__________.（1）（2）（3）3.如图（3），正方形ABCD，AC为它的一条对角线，若AB=2，则AC=__________；若AC=2，则AB=__________；AC∶AB=__________∶__________.4.如右图，△ABC中，∠A+∠C=2∠B，∠A=30°，则∠C=__________；若AB=6，则BC=__________.5.若直角三角形的三条边长分别是6，8，a则（1）当6,8均为直角边时，a=__________；（2）当8为斜边，6为直角边时，a=__________.三、选择题1.如右图，等腰直角△ABC，AB=2，则S△ABC等于D.2a ,b ,c ，则下面四种情况中，构成直角三角形的是 A.a =2,b =3,c =4B.a =12,b =5,c =13 C.a =4,b =5,c =6D.a =7,b =18,c =173.如左下图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BD =5，DC =1，AC =5，那么AB 的长度是A.27B.27C.104.如右上图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE =∠DE C=60°，AB =3，CE =4，则AD 等于8四、解答题1.已知，如下图，等边三角形ABC ，AD 为BC 边上的高线，若AB =2，求△ABC 的面积.2.已知：如下图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC =4，BC =3，DB =59.（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：△ABC是直角三角形.3.如右图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=5km,BC=4 km，若每天凿隧道0.3 km，问几天才能把隧道凿通？§直角三角形全等的判定一、填空题1.如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（5）若AC=DF，CB=F E，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.2.如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.3.已知：如图（1），AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）.（1）（2）（3）4.已知：如图（2），BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________.5.已知：如图（3），AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=（__________）°.二、选择题1.如下图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO 的依据是A.HLB.AASC.SSSD.ASA△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如下图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°三、证明题1.如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB.2.已知：如下图，CD、C′D′分别是Rt△ABC，Rt△A′B′C′斜边上的高，且CB= C′B′，CD=C′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.3.如下图，已知∠ABC=∠AD C=90°，E是AC上一点，AB=AD，求证：EB=ED.§等角对等边一、填空题1.如右图，已知等腰△ABC，AB=AC，若AB＞BC，则△ABC为__________角三角形.△ABC，如右图所示，其中∠B=∠C，则_______=________.3.等腰三角形底边上的__________，底边上的__________，顶角__________，均把它分成两个全等三角形.4.如左下图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AC，则∠C=（__________）°;CE∶EA=__________.5.如右上图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，且AD ∥BC ，则∠1__________∠B ， ∠2__________∠C ，△ABC 是__________三角形.△ABC 中，∠A =∠B =21∠C ，则△ABC 是__________三角形. 二、选择题°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是2.如右图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =2∠A ，BD 是∠ABC 的平分线，则图中共有等腰三角形3.如左下图，△BD C ′是将矩形ABCD ，沿对角线BD 折起得到的，图中（包括实线、虚线图形），共有全等三角形4.如右上图，在△ABC 中，∠B =∠C =40°，D ，E 是BC 上两点，且∠ADE =∠AED =80°，则图中共有等腰三角形5.如右图，已知△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，又DE∥BC，交AC于E，若DE=4 cm，AE=5 cm，则AC等于A.5 cmB.4 cmC.9 cmD.1 cm三、解答题1.已知，如左下图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB 交AC于F，AE=6，求四边形AFDE的周长.2.如右上图，DE∥BC，CG=GB，∠1=∠2，求证：△DGE是等腰三角形.3.如右图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.§等边三角形的判定一、填空题1.已知，如右图，等腰△ABC，AB=AC：（1）若AB=BC，则△ABC为__________三角形；（2）若∠A=60°，则△ABC为__________三角形；（3）若∠B=60°，则△ABC为__________三角形.2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△ABC，等边△DEF的对称轴.(1) (2)4.如图（2），已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为D、E为AC的中点，AD=DE=6 cm则∠ACD=（__________）°,AC=__________cm,∠DAC=(__________)°，△ADE是__________三角形.5.如左下图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB= 8 cm，则BD=__________cm，∠BDE=（__________）°,BE=__________cm.6.如右上图，Rt△ABC中，∠A=30°,AB+BC=12 cm，则AB=__________cm.二、选择题AB只有一条对称轴C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形°的直角三角形可以拼成一个等边三角形△ABC中，如右图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8 cm，则BC等于cm B.7.6 cmC.11.4 cmD.11.2 cm三、解答与证明1.如下图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.2.如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.3.如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.角平分线一、判断题二、填空题1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.（1）（2）（3）4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.5.如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.（4）（5）三、选择题PC.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是①②①和② D.①，②与③四、解答题1.试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.2.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.作业导航角平分线定义、性质及作法一、填空题1.到一个角的两边距离相等的点都在_________.2.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.3.如图1，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.图1 图24.如图2，在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_________ cm.5.如图3，已知AB、CD相交于点E，过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.图3二、选择题6.给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题7.下列结论正确的有（）①如果(x－1)(x－2)=0，那么x=1；②在△ABC中，若∠B是钝角，则∠A、∠C一定是锐角；③如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；④如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上8.已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（）9.两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）C.如果还有一角相等，两三角形就全等D.如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等10.如图4，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为（）图4α－β B.α－βC.α+βα三、解答题11.如图5，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数.图512.如图6，设相邻两个角∠AOB、∠BOC的平分线分别为OM、ON，且OM⊥ON，求证：OA、OC成一条直线.图613.如图7，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DA B.图7§三角形三条内角平分线交于一点一、判断题二、填空题1.如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.2.如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB 的关系是__________.3.如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.（1）（2）（3）4.如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC∴NF__________NH，NH__________NK∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB∴__________=__________，__________=__________∴__________=__________∴M在∠A的__________上∴M、N都在∠A的__________上∴A、M、N在一条直线上三、作图题1.利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.△ABC所在平面中，找到距三边所在直线．．距离相等的点.3.如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.四、解答题已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.单元测试班级：__________________某某：___________________得分：_____________________一、填空题°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.如图1，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20 cm，则点M到AB的距离是_________.图1 图24.如图2，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE∶EC=_________.5.如图3，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10 cm，AC=6 cm，则△ACD的周长为_________.图3 图46.如图4，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3 cm，则AD=_________ cm.7.如图5，B 在AC 上，D 在CE 上，AD =BD =BC ，∠ACE =25°，∠ADE =_________.图5图68.等腰直角三角形一条边长是1 cm ，那么它斜边上的高是_________ cm.9.如图6，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取OQ =OP ，OT =OS ，PT 和QS 相交于点C ，则图中共有_________对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形. 二、选择题3，则它的边长为（ ）n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 nB.90－2nC.2n °－n ° a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A.a =3，b =4，c =5B.a =1，b =34，c =35 C.a =9，b =12，c =15D.a =3，b =2，c =515.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ）16.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm17.如图7，△ABC 中，AB =AC ，BC =BD ，AD =DE =EB ，则∠A 的度数为（ ）图7°°°°△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ）B.12C.15或1219.直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是（ ） A.13 cm B.1330 cmC.1360 cmD.9 cm20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ）a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ） A.23a B.33 a C.63a D.21a 22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ）ABC 中，∠A =120°，BC 中点为D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，AE =4 cm ，则AD 等于（ ） A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.4 cm24.下列说法中，正确的是（ ）25.如图8，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，那么AC 长为（）图8A.8B.5C.3D.34°的直角三角形拼成下图9，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）图9A.4B.3C.2D.127.下列定理中逆定理不存在的是（）B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行*28.已知一个直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（）A.5B.2C.45 三、解答题29.已知：如图10，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.图1030.已知：如图11，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB .图11n 2+n ，n +21和n 2+n +21(n ＞0)，求证：这个三角形是直角三角形. 32.如图12，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BA C.图1233.如图13，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 与边面内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 当边作等边△DCE ，B 、E 在C 、D 的同侧，若AB =2，求BE 的长.图13*34.①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M，∠A=30°，求∠NMB的大小.②如果将①中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）④将①中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？作业导航1.等腰、等边、直角三角形的性质一、填空题°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________.“等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_________，大角对_________.3.等腰三角形的两边分别是7 cm和3 cm，则周长为_________.4.一个等边三角形的角平分线、高、中线的总条数为_________.3，周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________.6.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为_________.7.如图1，D在AC上，且AB=BD=DC，∠C=40°，则∠A=_________，∠ABD=_________.图1图28.如图2，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AB 上，且AD =AC ，若∠A =40°，则∠ACD =_________，∠DCB =_________，若∠A =α，则∠BCD =_________，由此我们可得出∠BCD 与∠A 的关系是∠BCD =_________.9.△ABC 中，若∠A =∠B =21∠C ，则此三角形为_________三角形. △ABC 中，∠C =90°，∠CAB =60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离是3.8 cm ，则BC =_________ cm.11.△ABC 中，∠BAC =90°，∠B =60°，AD ⊥BC 于D ，AE 是斜边上的中线，若DB =4，则AB =_________，BC =_________.二、选择题12.给出下列命题，正确的有（ ）①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B =α，则α的取值X 围是（ ）A.α＜45°B.α＜90°°＜α＜90°°＜α＜180°14.下列命题，正确的有（ ）①三角形的一条中线必平分该三角形的面积；②直角三角形中30°角所对的边等于另一边的一半；③有一边相等的两个等边三角形全等；④等腰三角形底边上的高把原三角形分成两个全等的三角形15.若三角形的一边等于另一边的一半，那么这边所对的角度为（ ）°°°16.如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（ ）17.△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线， 延长BA 到E 使DE =DC ， 连结EC ， 若 ∠E =51°，则∠B 等于（ ）°°°°△ABC 中∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，CD ⊥AB 于D 点，AB =a ，则BD 的长为（ ）A.2aB.3aC.4a 19.在直角三角形中，一条边长为a ，另一条边长为2a ，那么它的三个内角的比为（ ） ∶2∶3∶2∶1∶1∶2三、解答题20.如图3，在AB =AC 的△ABC 中，D 点在AC 边上，使BD =BC ，E 点在AB 边上，使AD =DE =EB ，求∠ED B.图321.如图4，AB =CD ，AD =BC ，EF 经过AC 的中点O ，分别交AB 和CD 于E 、F ，求证：OE =OF .图422.如图5，在△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC ，E 是垂足，ED 的延长线交CA 的延长线于点F ，求证：AD =AF .图5。
第一学期北师大版九年级数学上册_2.6_应用一元二次方程_同步训练
第1页/共3页2019-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册 2.4 应用一元二次方程 同步训练 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1.某厂前年缴税30万元||，今年缴税36.3万元||，若该厂缴税的年平均增长率为x ||，则可列方程是（ ）A.30x 2=36.3B.30(1−x )2=36.3C.30+30(1+x )+30(1+x )2=36.3D.30(1+x )2=36.32.某地区高效节能灯的年销售量2010年为10万只||，预计2012年将达到14.4万只．则该地区2010年到2012年高效节能灯销售量的年平均增长率为（ ）A.10%B.20%C.30%D.40% 3.下列说法错误的是（ ）A.{x +x 2=2x =−2是二元二次方程组 B.x 4+2=0既是二项方程又是双二次方程C.(x −1)(x +1)=0是二元二次方程D.√x x =1既是分式方程又是无理方程 4.如果一个数的平方与这个数的和等于零||，则这个数（ ）A.只能是0||，−1B.一定是负数C.只能是零D.不能是负数 5.方程(x +2)√x −3=0的根是________．6.在一块长35米||，宽26米的矩形绿地上有宽度相同为x 的两条小路||，如图||，其中绿地面积为850x 2||，则可列出方程为________．7.小军同学家开了一个商店||，今年一月份的利润是1000元||，3月份的利润是1960元||，请你帮助小军算一算||，他家这个商店这两个月的利润的平均每月增长率是________．8.如图所示||，在一块长为30米||，宽为20米的矩形场地中间要设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路||，其余种草．若要使小路总面积为68平方米||，设小路的宽为x 米||，则可列方程为________．9.解关于x ||，x 的方程组{2x +x −1=0x 2−2x −3−x =0． 10.如图||，点x 为x 轴负半轴上一点||，点x 为x 轴正半轴上一点||，xx 、xx (xx <0x )的长分别是关于x 的一元二次方程x 2−4xx +x 2+2=0的两根||，x (0||， 3)||，且△xxx 的面积为6||，求xxxx 的度数．11.解方程：(1)x 2+3x +√x 2+3x =6(2)√3x +16−√13−3x =312.某学校为美化校园||，准备在长35米||，宽20米的长方形场地上||，修建若干条宽度相同的道路||，余下部分作草坪||，并请全校学生参与方案设计||，现有3位同学各设计了一种方案||，图纸分别如图x 、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．请你根据这一问题||，在每种方案中都只列出方程不解． ①甲方案设计图纸为图x ||，设计草坪的总面积为600平方米． ②乙方案设计图纸为图2||，设计草坪的总面积为600平方米． ③丙方案设计图纸为图3||，设计草坪的总面积为540平方米． 答案1.D2.B3.D4.A5.x =36.35×26−35x −26x +x 2=8507.40%8.(30−2x )(20−x )=30×20−689.解：{2x +x −1=0x 2−2x −3−x =0由①||，得x =1−2x ③．把③代入②||，得x 2−2x −3−(1−2x )=0即x 2=4．解得：x 1=2||，x 2=−2||，当x 1=2时||，x 1=−3||，当x 2=−2时||，x 2=5||，∴原方程组的解��：{x 1=2x 1=−3||，{x 2=−2x 2=5 10.xxxx =45∘．11.解：(1)设x =√x 2+3x ||，则原方程为x 2+x =6||， 整理||，得x 2+x −6=0||，解得x =−3或2．当x =−3时||，√x 2+3x =−3||，此方程无解； 当x =2时||，√x 2+3x =2||，解得x =−4或1． 经检验||，它们都是原方程的解． 故原方程的解是x =1或−4．(2)移项得：√3x +16=3+√13−3x 两边平方得：3x +16=9+6√13−3x +13−3x 即x −1=√13−3x ||，再两边平方||，得x 2+x −12=0||， 解得x 1=3||，x 2=−4检验||，把x=−4代入原方程||，左边≠右边||，为增根舍去．把x=3代入原方程||，左边=右边||，是原方程的解．12.解：①设道路的宽为x米．依题意得：(35−2x)(20−2x)=600；②设道路的宽为x米．依题意得：(35−x)(20−x)=600；③设道路的宽为x米．依题意得：(35−2x)(20−x)=540．第3页/共3页。
第1章 特殊的平行四边形 同步训练 2022-2023学年北师大版九年级数学上册
第1章特殊的平行四边形（同步训练）-北师大版九年级上册一．选择题1．如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC 拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的平行四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形2．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在边BC上，连接AE，OE．若∠CAE＝∠OBE，OE＝2，CE＝，则边AB的长为（）A．B．C．D．53．如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（）A．48B．60C．76D．804．如图，在正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE＝40°，则∠ANM＝（）A．40°B．45°C．50°D．55°5．四边形当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（）A．1B．C．D．6．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，若∠ACB＝30°，AB＝10，则MN的长为（）A．5B．5C．5D．47．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD＝2，则四边形CODE的周长为（）A．4B．8C．10D．128．如图，一个三角形与一个正方形有一条公共边，正方形面积为5cm2，三角形的另两条边（非公共边）长分别为2cm，1cm，则三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定其形状9．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝8cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中正方形对角线AC的长为（）A．8cm B．16cm C．24cm D．8cm10．如图，正方形ABCD的边长为10，E为AD的中点，连接CE，过点B作BF⊥CE交CD于点F，垂足为G，连接AG、DG，下列结论：①BF＝CE；②AG＝CD；③∠CDG＝∠AGE；④EG＝2；⑤DG＝CG．其中正确结论有（）A．①②④B．②③⑤C．①②⑤D．①④⑤二．填空题11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AC的长等于．12．如图，坐标原点O为菱形ABCD的中心，AD∥x轴，A点坐标为（﹣4，3），则B点坐标为．13．如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，FG⊥AE交AB于点F，交CD于点G，垂足为O，连接OD，若BE＝1，FG＝，∠ODA＝2∠BAE，则OD的长为．14．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF⊥AD，垂足为点F．若AF＝6，EC＝10，则正方形ABCD的面积为．15．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON 分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为.（将正确的序号都填入）三．解答题16．已知：如图，在△ABC中，E、F、M分别是各边的中点，CD是高．求证：（1）∠EDM＝∠EFM；（2）若四边形CEFM是菱形，△ABC应满足什么条件（直接写出答案）．17．如图，是一座矩形的展览馆地基，东边墙AB长45米，南边墙AD长35米，东墙点E 和南墙点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB垂足为点E，FH⊥AD垂足为点H，EG＝75米，GH经过点A，求FH的长度．18．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：BD＝BE；（2）若∠DBC＝30°，CD＝4，求四边形ABED的面积．19．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的两个端点均在格点（正方形的顶点）上．（1）线段AB的长为；（2）若△ABC是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有个；（3）在网格中以AB为边所作格点菱形（菱形的四个顶点都在格点上）的面积最小值为．20．如图，在正方形ABCD中，E是直线CD上一点，连接AE，交射线BD于点F，点G 与点F关于直线CD对称，连接CG，EG，FG．（1）当点E在边CD上时，如图①，求证：EG+CG＝AE；（2）当点E在DC的延长线上时，如图②；当点E在CD的延长线上时，如图③，线段EG，CG，AE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：由AB＝AC，将△ABC沿BC边翻折可得AB＝BD＝CD＝AC，所以根据“四边相等的四边形是菱形”可得四边形ABDC是菱形．故选：B．2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，AB＝BC，∵∠CAE＝∠OBE，∠ACE＝∠OCB，∴△ACE∽△BCO，∴∠AEC＝∠BOC＝90°，，∵AO＝OC，∴AC＝2OE＝4，∴，∴BC＝，∴AB＝，故选：A．3．【解答】解：∵∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，∴AB＝＝＝10，∵四边形ABCD是正方形，∴S正方形ABCD＝AB2＝102＝100，∵S△AEB＝AE•BE＝×6×8＝24，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△AEB＝100﹣24＝76，∴阴影部分的面积是76，故选：C．4．【解答】解：作NF⊥BC于F，又四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠NFM＝90°，AB＝CD，∴四边形ABFN是矩形，∴FN＝BC＝AB．在Rt△BEC和Rt△FMN中，CE＝MN，BC＝FN，∴Rt△BEC≌Rt△FMN（HL），∴∠MNF＝∠MCE＝40°，∴∠ANM＝90°﹣∠MNF＝50°．故选：C．5．【解答】解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD的面积为AB2．∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是．故选：B．6．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC，OB＝OD，∴AO＝BO，∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝30°+30°＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴OB＝AB＝10，∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△BOC的中位线，∴MN＝OB＝5，故选：B．7．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，DO＝BO，AO＝CO，∴OD＝OA，∵∠AOB＝120°，∴∠DOA＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴DO＝AO＝AD＝OC＝2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8，故选：B．8．【解答】解：设三角形的三边长分别为a、b、c，如图所示：根据题意可知，a2＝12＝1，b2＝22＝4，c2＝5，∵a2+b2＝1+4＝5＝c2，∴三角形为直角三角形．故选：C．9．【解答】解：如图1，图2中，连接AC．图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝8cm，在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝8cm；故选：D．10．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∵BF⊥CE，∴∠DCE+∠CFB＝90°，∴∠BFC＝∠DEC，∴△BFC≌△CED（AAS），∴BF＝CE，故①正确；如图，延长GE，BA交于点H，过点D作DN⊥EC于N，∵点E是AD中点，∴AE＝DE＝5，∵AB∥CD，∴∠H＝∠DCE，又∵∠AEH＝∠DEC，∴△DEC≌△AEH（AAS），∴CD＝AH，∴AB＝AH，又∵BF⊥CE，∴AD＝AB＝AH，∴AG＝CD，故②正确；∵△BFC≌△CED，∴DE＝CF＝5，CE＝BF，∴BF＝＝＝5，∴CE＝5，∵S△BFC＝×BC×CF＝×BF×CG，∴10×5＝5CG，∴CG＝2，∴EG＝3，故④错误；∴点G不是EC的中点，∴DG≠CG，∴∠GDC≠∠GCD，∵AG＝AH，∴∠AGE＝∠H，∴∠AGE＝∠H＝∠GCD≠∠GDC，故③错误；∵S△DEC＝×DE×DC＝×CE×DN，∴DN＝2，∴CN＝＝＝4，∴NG＝2，∴DG＝＝＝2，∴DG＝CG，故⑤正确；故选：C．二．填空题11．【解答】解：∵AE垂直平分OB于点E，∴AB＝AO＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2AO＝6，故答案为：6．12．【解答】解：如图，连接OA，OD，∵菱形ABCD的对称中心为坐标原点，∴OA⊥OD，设AD与y轴交点为E，DE＝x，则AD＝4+x，在Rt△ODE中，OD2＝OE2+ED2＝32+x2，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2＝32+42＝25，在Rt△AOD中，OA2+OD2＝AD2，即25+32+x2＝（x+4）2，解得x＝，∴点D（，3），∴点B（﹣，﹣3），故答案为：（﹣，﹣3）．13．【解答】解：如图，作DH⊥AE于点L，交AB于点H，则∠DLO＝∠DLA＝90°，∵FG⊥AE，∴DH∥FG，∵四边形ABCD是正方形，∴DG∥FH，AB＝DA，∴四边形DHFG是平行四边形，∴DH＝FG＝，∵∠B＝∠DAH＝∠DLA＝90°，∴∠BAE＝∠ADH＝90°﹣∠DAE，在△BAE和△ADH中，，∴△BAE≌△ADH（ASA），∴AE＝DH＝，∠BAE＝∠ADL，∵BE＝1，∴AD＝AB＝＝＝3，∵∠ODA＝2∠BAE，∴∠ODA＝2∠ADL，∴∠ODL＝∠ADL，在△ALD和△OLD中，，∴△ALD≌△OLD（ASA），∴OD＝AD＝3，故答案为：3．14．【解答】解：如图，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝∠FDE＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∵EC＝10，∴AE＝10，∵EF⊥AD，AF＝6，∴EF＝＝＝8，∵EF⊥AD，∠FDE＝45°，∴∠FED＝45°，∴DF＝FE＝8，∴AD＝AF+FD＝6+8＝14，∴＝196，故答案为：196．15．【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；②在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，∴△OBE≌△OCF（ASA）；故②正确；③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；④∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DF2+BE2＝EF2，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故选：①②③．三．解答题16．【解答】（1）证明：∵F、M分别是AB、AC边上的中点，∴FM为△ABC的中位线，∴FM∥BC，∴∠MF A＝∠B．同理可得，FE为△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴∠EFB＝∠A．∵∠EFB+∠EFM+∠MF A＝180°，∴∠A+∠EFM+∠B＝180°，即∠EFM＝180°﹣∠A﹣∠B．∵CD是△ABC的高，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，∵E为BC边上的中点，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB．同理，∠CDA＝90°，M为AC边上的中点，∴MD＝MA，∴∠A＝∠MDA．∵∠EFM＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝∠MDA，∠B＝∠EDB，∴∠EFM＝180°﹣∠MDA﹣∠EDB＝∠EDM，故∠EFM＝∠EDM．（2）解：若四边形CEFM是菱形，则△ABC应满足AC＝BC，理由如下：∵E、F、M分别是△ABC各边的中点，∴EF∥AC，FM∥BC，∴四边形CEFM是平行四边形．∵E、F、M分别是△ABC各边的中点，∴，，∵AC＝BC，∴EF＝FM，∵四边形CEFM是平行四边形，∴四边形CEFM是菱形．故当AC＝BC时，四边形CEFM是菱形．故答案为：AC＝BC．17．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，EG⊥AB，FH⊥AD，∴∠HF A＝∠DAB＝∠AEG＝90°，∴F A∥EG．∴∠HAF＝∠G．∴△HF A∽△AEG，∴，∵AD＝35m，AB＝45m，点E、F分别是AB和AD的中点，∴AE＝m，AF＝m，∵EG＝75m，即，解得FH＝，答：FH等于米．18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥CD，又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BE＝AC，∴BD＝BE；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝90°，∵∠DBC＝30°，CD＝4，∴BD＝8，BC＝，∴AB＝DC＝CE＝4，DE＝8，∵AB∥DE，AD与BE不平行，∴四边形ABED是梯形，且BC为梯形的高，∴四边形ABED的面积＝＝＝，∴四边形ABED的面积为．19．【解答】解：（1）如图，AC＝1，BC＝2，∴AB＝＝＝，故答案为：；（2）如图所示，满足条件的格点C共有6个．故答案为：6．（3）如图，四边形ABCD是菱形．S菱形ABCD＝3×3﹣×2×1×4＝5；如图，四边形ABCD是菱形．S菱形ABCD＝＝4；如图，四边形ABCD是菱形．S菱形ABCD＝3×3﹣﹣2＝3．∴格点菱形ABCD的面积最小值为3．故答案为：3．20．【解答】（1）证明：如图①，连接CF，∵点G与点F关于直线CD对称，∴EF＝EG，CF＝CG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF，∴AF＝CG，∴AE＝AF+EF＝CG+EG，即EG+CG＝AE；（2）解：如图②，EG+CG＝AE，理由：∵点G与点F关于直线CD对称，∴EF＝EG，CF＝CG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF，∴AF＝CG，∴AE＝AF+EF＝CG+EG，即EG+CG＝AE；如图③，CG﹣EG＝AE，理由：∵点G与点F关于直线CD对称，∴EF＝EG，CF＝CG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF，∴AF＝CG，∵AE＝AE+EF，∴CG＝AE+EG，即CG﹣EG＝AE．。
2019-2020北师大数学九年级上册同步作业全辑(高清PDF,无答案)
Ｄ������ 用两个全等的等边三角形拼成的四边形
２. 四个点 ＡꎬＢꎬＣꎬＤ 在同一平面内ꎬ①ＡＢ∥ＣＤꎻ②ＡＢ ＝ ＣＤꎻ③ＡＣ⊥ＢＤꎻ④ＡＤ ＝ ＢＣꎻ⑤ＡＤ∥ＢＣ. 从以上 ５
个条件中任选三个ꎬ能使四边形 ＡＢＣＤ 是菱形的选法有( ) .
Ａ������ １ 种
Ｂ������ ２ 种
第 ３ 课时
１. 对角线互相垂直平分的四边形是 . ２. (２０１３ 湖北黄冈) 如图 １ － １ － ５６ꎬ四边形 ＡＢＣＤ 是菱形ꎬＡＣ、ＢＤ 相交于点 ＯꎬＤＨ⊥ＡＢ 于 Ｈꎬ连接 ＯＨꎬ 求证:∠ＤＨＯ ＝ ∠ＤＣＯ.
图 １ － １ － ５６
１. (２０１４ 贵州毕节) 如图 １ － １ － ５７ 所示ꎬ菱形 ＡＢＣＤ 中ꎬ对角线 ＡＣ、ＢＤ 相交于点 ＯꎬＨ 为 ＡＤ 边的中点ꎬ
Ａ������ １
Ｂ������ ３ Ｃ������ ２
图 １ － １ － ５８
Ｄ������ ２ ３ ３. 已知:如图 １ － １ － ５９ꎬ△ＡＢＣ 中ꎬ ∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬＢＥ 平分∠ＡＢＣꎬＣＤ⊥ＡＢ 与 ＤꎬＥＨ⊥ＡＢ 于 ＨꎬＣＤ 交 ＢＥ 于 Ｆ. 求证:四边形 ＣＥＨＦ 为菱形.
图 １ － １ － ６２
１. 菱形的周长为 １２ ｃｍꎬ相邻两角之比为 ５∶ １ꎬ那么菱形对边间的距离是( ) .
Ａ������ ６ ｃ ｍ Ｂ������ １. ５ ｃ ｍ Ｃ������ ３ ｃ ｍ Ｄ������ ０. ７５ ｃｍ
Ｃ������ ３ 种
Ｄ������ ４ 种
３. 如图 １ － １ － ３６ 所示ꎬ已知▱ＡＢＣＤꎬＡＣꎬＢＤ 相交于点 Ｏꎬ添加一个条件使平行四边形为菱形ꎬ添加的条
件为 . (只写出符合要求的一个即可)
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九年级数学上册全一册同步练习（打包52套350页）（新版）北师大版1 第1课时菱形的概念及其性质知识点 1 菱形的定义及对称性1．如图1－1－1，在?ABCD中，若添加下列条件：①AB＝CD；②AB＝BC；③∠1＝∠2.其中能使?ABCD成为菱形的有( )图1－1－1A．0个B．1个C．2个D．3个2．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图1－1－2所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是( ) A．(3，1) B．(3，－1)C．(1，－3) D．(1，3)1－1－2 1－1－33．如图1－1－3，P是菱形ABCD对角线BD上的一点，PE⊥AB 于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是________cm.知识点 2 菱形的边的性质4．如图1－1－4，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD 的周长是( )A．25 B．20C．15 D．101－1－4 1－1－5 5．如图1－1－5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OH的长为________．6．如图1－1－6，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形．求证：BE＝CE.图1－1－6知识点 3 菱形的对角线的性质7．教材习题1.1第2题变式题如图1－1－7，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的边长为( )A．5 B．10 C．6 D．88．已知菱形的边长是2 cm，一条对角线长是2 cm，则另一条对角线长是( )A．4 cm B．2 3 cmC. 3 cm D．3 cm1－1－7 1－1－89．如图1－1－8，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠CBO＝________°.10．如图1－1－9，四边形ABCD是菱形，A(3，0)，B(0，4)，则点C的坐标为( )图1－1－9A．(－5，4) B．(－5，5)C．(－4，4) D．(－4，3)11．一个菱形的边长为4 cm，且有一个内角为60°，则这个菱形的面积是________．12．如图1－1－10，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，对角线AC，BD相交于点O，点E 在AB上，且BE＝BO，则∠EOA＝________°.1－1－10 1－1－1113．如图1－1－11，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH 的长为________．14．如图1－1－12所示，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是________．图1－1－1215．如图1－1－13，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．图1－1－1316.如图1－1－14所示，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD 交AD的延长线于点F，请你猜想CE与CF在数量上有什么关系，并证明你的猜想．图1－1－1417．如图1－1－15，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝CE；(2)若∠E＝50°，求∠BA O的度数．图1－1－15第2课时菱形的判定知识点 1 由菱形的定义作判定1．如图1－1－16，要使?ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( )图1－1－16A．AC＝AD B．BA＝BCC．∠ABC＝90° D．AC＝BD2．如图1－1－17，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形．图1－1－17知识点 2 根据菱形的对角线作判定3．下列命题中，正确的是( )A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形图1－1－184．如图1－1－18，在?ABCD中，AB＝13，AC＝10，当BD＝________时，四边形ABCD 是菱形．5．教材例2变式题如图1－1－19，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－19知识点 3 根据菱形的边作判定6．用直尺和圆规作一个菱形，如图1－1－20，能判定四边形ABCD是菱形的依据是( )图1－1－20A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形7．如图1－1－21，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC，∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－218．如图1－1－22所示，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线．添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是( )A．AE＝AF B．EF⊥ACC．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线1－1－22 1－1－239．如图1－1－23，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是( )A．AB⊥AC B．AB＝ACC．AB＝BC D．AC＝BC10．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是________．图1－1－2411．如图1－1－24，E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边满足条件____________时，四边形EFGH是菱形．12．如图1－1－25，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，作边AC的垂直平分线l 交AB于点D，过点C作AB的平行线交l于点E，判断四边形DBCE的形状，并说明理由．图1－1－2513．如图1－1－26，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．图1－1－2614．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同且含60°角的三角板ABC 与三角板AEF按如图1－1－27①所示方式放置，现将三角板AEF绕点A按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，判断四边形ABPF的形状，并说明理由．图1－1－27第3课时菱形的性质与判定的综合应用知识点 1 菱形的面积1．已知菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的面积是( )A．192 B．96 C．48 D．40图1－1－282．如图1－1－28，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝6，则菱形ABCD的面积是( )A．6 B．12C．24 D．483．如图1－1－29，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4，周长为40 cm，求菱形的面积及高．图1－1－29知识点 2 菱形的性质与判定的应用4．如图1－1－30，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则四边形ABCD的周长为( )A．4 B．6 C．8 D．121－1－30 1－1－315．如图1－1－31，剪两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是( )A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB＋∠BCD＝180°6．如图1－1－32，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC 互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．41－1－3 1－1－337．如图1－1－33，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．8．如图1－1－34所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，AE＝2，则AB＝________．1－1－3 1－1－359．如图1－1－35，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF＝________°.10．如图1－1－36，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝6，∠BEF＝120°，求四边形BCFE的周长．图1－1－36图1－1－3711．如图1－1－37，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为( )A．52 cm B．40 cmC．39 cm D．26 cm12．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：图1－1－38甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于点M ，O ，N ，连接AN ，CM ，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接EF ，则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断( )A ．甲正确，乙错误B ．甲错误，乙正确C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误图1－1－3913．如图1－1－39，菱形ABCD 的边长为8 cm ，∠A ＝60°，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，则四边形BEDF 的面积为________cm 2.14．如图1－1－40，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，连接DP 交对角线AC 于点E ，连接BE .(1)求证：∠APD ＝∠CBE ；(2)试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的14，为什么？图1－1－4015．2017·贺州如图1－1－41，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC ，AC ⊥BD ，垂足为O .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若CD＝3，BD＝2 5，求四边形ABCD的面积．图1－1－4116．教材“做一做”变式题明明将两张长为8 cm，宽为2 cm的长方形纸条交叉叠放，如图1－1－42①所示，他发现重叠部分可能是一个菱形．(1)请你帮助明明证明四边形ABCD是菱形；(2)明明又发现：如图②所示，当菱形的一条对角线与长方形纸条的一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．图1－1－422 第1课时矩形的概念及其性质知识点 1 矩形边、角的性质1．若矩形ABCD的两邻边长分别是1，2，则其对角线BD的长是( )A. 3 B．3 C. 5 D．2 52．如图1－2－1所示，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．51－2－1 1－2－23．如图1－2－2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC 的度数是( )A．30° B．22.5° C．15° D．10°4．如图1－2－3，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝BO.图1－2－3知识点 2 矩形对角线的性质5．如图1－2－4，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的度数为( )A．30° B．60° C．90° D．120°1－2－4 1－2－56．教材例1变式题如图1－2－5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB ＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是( )A ．3 cmB ．6 cmC ．10 cmD ．12 cm图1－2－67．如图1－2－6，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AO ，AD 的中点，若AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，则EF ＝________ cm.8．如图1－2－7，在矩形ABCD 中，过点B 作BE ∥AC 交DA 的延长线于点E .求证：BE ＝BD .图1－2－7知识点 3 直角三角形斜边上的中线的性质9．若直角三角形两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线的长是( ) A ．5 B ．10 C.245 D.125图1－2－810．如图1－2－8，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝55°，D 是斜边AB 的中点，那么∠ACD 的度数为( )A．15° B．25°C．35° D．45°11．如图1－2－9，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E 为AB的中点．求证：CE＝DE.图1－2－912．如图1－2－10，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C 落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．61－2－10 1－2－1113．如图1－2－11，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．2014．如图1－2－12，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，折叠矩形，使顶点D与对角线交点O重合，折痕为CE，已知△CDE的周长是10 cm，则矩形ABCD的周长为( )A．15 cm B．18 cm C．19 cm D．20 cm1－2－121－2－1315．如图1－2－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若CD＝6 cm，则EF＝________ cm.16．2017·荆州如图1－2－14，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC 方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．图1－2－1417．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1－2－15①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD.应用：如图1－2－15②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，。