初中几种常见的数学解题策略与方法（二）

初中几种常见的数学解题策略与方法（二）转化与化归思想之“斜化直”策略只有先树立了好的“解题意识”，才能谈“解题能力”的提升与积累！解题意识包含很多，如最基本的抓不变量意识、画图意识、转化意识、分类意识，甚至于解题后反思意识等！这需要学生先意识到有这些最基本的解题策略或者说是解题原则，然后逐渐地、有“自我意识”地去强化训练，这样的话，解题能力才能得到根本提升！可以说，转化与化归思想在数学中无处不在！什么是化归思想呢？化归思想：将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的简称”（百度百科语）.笔者认为，转化与化归思想可以说是数学中最重要的思想与方法，“学习本身就是一种转化”，化“未知的领域”为“已知的领域”，化“今天的新知”为“昨天的旧知”，化难为易，化繁为简，化抽象为具体等等，总而言之，学生解题需要时刻怀揣转化意识，读已知条件，想想能得到什么，读结论所求，想想怎么得到它，转化无处不在，心有转化，则万物皆可转化，心无转化，则思维必将停滞不前.“化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式.所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗.说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解.实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想.这也是辩证唯物主义的基本观点，把复杂的内容简化处理，化整为零就是它的另一层含义.化归的实质是不断变更问题”！今天我们主要谈一谈转化与化归思想之“斜化直”策略！第三步：画出所求直线的草图，如图1-3所示，这两条所求直线与已知直线l1平行，且与直线l1之间的距离均为3；若能求出这两条直线的解析式，最终所求b的值也就呼之欲出了！那么如何求其解析式呢？这是本题的难点，也是关键点！第四步：这两条直线都可以看成是已知直线l1平移而来，但问题是，并非平移3个单位的距离那么简单，3仅仅是平行线之间的距离，这个距离是一个“斜距离”，不是我们需要的距离，我们需要的是如图1-4所示的距离d，即目光聚焦在AB=AC=d上，这个“直”距离若是能求出来，直接利用平移口诀“上加下减”即可轻松搞定解析式；第五步：如图1-5所示，要求AB的长，可以依托AB过点B作BF⊥AE于点F，构造出一个有趣的Rt△ABF，其边BF及边AB都具有很强的几何意义，其中BF=h表示两条平行线之间的距离，不妨称之为“斜”距离；而AB=d表示两条平行直线沿y轴上下平移的距离，不妨称之为“直”距离，这个Rt△ABF不妨取名为“距离三角形”；解题后反思：解决此题的关键是如何将“直”距离h转化为“斜”距离d，从而利用平移思想口算出所求直线的解析式，而这个转化主要是借助于一组极其有趣的相似，即所谓“距离三角形”与“坐标轴三角形”的相似，这组相似在本人以前的作品中多次提及，是我很喜欢的一组相似，对于解决很多与直线相关的综合题中往往可以发挥奇效，望同学们重视，这里的转化是一种重要的“斜化直”思想，不妨戏称为“改斜归正”大法.上面一道小小的中考选择题，但透露的思想与策略却不简单，下面继续以一道大题开启我们的探讨之路！解题后反思：本题中“斜线段”PD与“直线段”PC的转化巧妙借助了三角函数值，其本质还是相似，即上题中提及的所谓“坐标轴三角形”与“距离三角形”的相似关系，如图2-2所示，这一有趣的相似再次发挥奇效，其实两道题目的解题策略与思想方法一模一样，掌握了“思想”，就牵住了“牛鼻子”，再怎么考也不难了！这依然是转化策略中“改斜归正”大法的应用，另外此题还有个有趣的做法，思路如下：利用△ABP面积之“宽高公式”，将面积表示成m的代数式，如图2-3所示；再利用△ABP面积之“底高公式”，由底边AB确定，结合面积法，可以将高PD表示成m的代数式，如图2-4所示；这里的所谓“宽高公式”，下面也会重点提及；所以PD的最大时，就是△ABP面积最大时，也就是其所谓“铅锤高”PC最大时，这是“一根绳上的蚂蚱”，而且有一个更有趣的结论就是当动点P位于定线段AB中点的正下方时，即当点C是线段AB的中点时，上面所说的量均达到最大值，这个结论对于任意直线与抛物线都是普适的，可以设成最一般的一般式去推导，不再赘述，同学们不需掌握此推导方法，因为会用到“韦达定理”，扬州地区中考对此淡化了，但是我们可以记住这个结论，作为最后的检验结果正确与否之用，不亦乐乎！（2）②最后一问是一个面积存在性问题，其间也会涉及到极其有趣的转化思想及分类思想，Let’s go！解题后反思：这里面积处理中涉及的“共高原理”及“共边原理”，再加上“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”面积问题中转化的有力三大工具，值得同学们将之形成知识串，掌握理解应用；结合“斜直”思想，权衡之下，本问采取了“共边原理”，放弃了“共高原理”，这里的“改斜归正”策略也是值得同学们认真推敲的重要解题思想方法；另外此题中系列“距离三角形”与“坐标轴三角形”的相似关系用来转化“斜线段”的“转化链”也非常有趣，同学们可以将之串成“一根绳上的蚂蚱”，知一条线段，所有的线段将出现“连锁反应”，都能够自然而然的表示出来！还有这里的分类意识，同学们也值得关注，不要漏解，考虑问题要全面，做一个严谨的“学者”！分不分类，如何分类，都取决于题目中的部分条件可能指代不明，需要同学们“咬文嚼字”式地“细嚼慢咽”，用心分析的！为了让同学们彻底固化上面两道例题均涉及的“斜化直—改斜归正”大法，即“斜线段”与“直线段”的相互迅速切换，下面再提供一道九年级上学期同学们就做过的一道所谓“难题”，而且这里的“斜线段”还比较隐蔽，需要有主动寻找的意识，才能有效识别！思想决定高度，只有站得高，才能望得远！当你高瞻远瞩，以一个高视角居高临下重新审视一类问题时，很多看似不同的问题本质都一样，其解题思想、方法、策略几乎如出一辙！所以同学们一定要养成解题后反思的好习惯，去反思题中的思想、方法、策略，再跟以前自己做过的题类比，去发现异同，达到真正做一题通一类的效果！这样你会收益良多的，学习一定会更上一层楼的！在平面直角坐标系中，有两个几何直观需要在学生脑海中生根发芽的，一是与坐标轴平行的线，这是常见辅助线；二是直线与坐标轴相交后形成的直角三角形，即我所谓的“坐标轴三角形”；三是用相似的眼光寻找解题突破口！（陕西延安贺基旭老师语录）转化思想（“改斜归正”大法）补充资料下面我们补充巧用“改斜归正”大法能够解决的几个经典问题，特别提醒：我们下面的经典问题可能有人会认为都是高中的知识，但这并不影响我们用初中的方法巧解所谓高中知识的情怀，有大师就说过，适当的高中知识下放，初中知识巧妙的衔接是有必要的，另外这里我更想表达的其实是，思想决定高度，下面的几个经典问题与上面两道例题的思想方法如出一辙，所以只要站的高，就能望得远，今后的路才能走的更顺畅！经典问题1（九（13）班吴星宇同学课堂上提出问题）：在平面直角坐标系中，求一条定线段的垂直平分线的解析式；简析：首先，用“确定性思想”分析此问题，很明显线段AB是确定的，其垂直平分线当然是确定的，既然是确定的，肯定是可求的，如何去求解呢？如图问题1-1，设线段AB的中点为点M，则易知点M的坐标为（3,3），很明显所求直线l已经过一个定点M；要想求一条直线的解析式，一般需要两个点的坐标，这里还需求直线l上的另一个点的坐标，理论上可以随便选取直线l上的另一个定点，求其坐标即可，一般选取比较特殊的点较好，如直线l与坐标轴的交点就蛮好的，尤其是与y轴的交点最好，如图问题1-1所示，设直线l与y轴的交点为点N，只要求出点N的坐标即可；现在图中已有三个已知点，它们分别为点A、点B及点M，要求的是第四个点N的坐标，接下来只要依托于这四个点作一些有趣的“水平—竖直辅助线”，利用所求直线l垂直于线段AB，容易推出一组所谓“三垂直结构”的相似三角形，更有趣的是，只要过这四个点作系列“水平—竖直辅助线”，无论怎么做都可以解决问题，当然辅助线有多少之分，一般我们最好要有用最少的辅助线来解决问题的追求；解题后反思：求一条定线段的垂直平分线，关键是确定该垂直平分线上的另一个点的坐标，一般可求其与y轴的交点，主要依托线段的两个已知端点及其可求的中点，借助这四个点作一系列“水平—竖直辅助线”，利用垂直条件，可以推导一个“三垂直相似”结构，结合比例法即可口算得出，这里的思想方法依然属于“改斜归正”大法的内涵！解题后反思：最后提出的两个问题都是高中学生的基本功，属于解析几何最基本的内容，但我们初中学生也可以借助巧妙简洁、美观大方的构造法解决，何乐而不为！也就是说知识可能属于高中的，但方法绝对是初中的，用初中的方法巧妙解决了高中的问题，我想这与有些中考题属高中知识下放不谋而合，对于某些与直线型相关的综合计算题有着举足轻重的作用；而且上面两个问题的解决其实是共通的，方法几乎差不多，用到的思想方法也都是初中数学中核心的重要思想方法，这两个问题甚至还可以与本人作品《求一个定点关于一条定直线的对称点模型介绍》中介绍的求一个定点关于一条定直线的对称点以及派生出来的求一个定点到一条定直线的距离等问题联系在一块，共同琢磨，它们其实都是相通的，越类比越有趣！值得一提的是，这组相似三角形在“坐标系中与直线相关的综合型问题”中，若能被有效利用，经常能达到意想不到之效，是本人非常喜欢的一组相似.而且只要直线解析式确立下来，这条直线与坐标轴围成的三角形也就随之确定，即图中的Rt△BAO，从而其三边之比确定，再利用“两组内角分别相等的三角形相似”，通过构造与坐标轴垂直的直线得到与其相似的直角三角形，如图中的Rt△MCG，从而其三边之比也随之确定，知道或者能算出一边长，则所有边均可用“比例法”口算得出，书写可用“相似法”或“三角函数法”.另外，我们知道要想作出点M关于直线AB的对称点N，首先是过点M作直线AB的垂线，设垂足为点G，再将MG延长一倍至点N 即可.第三步其实仅仅就只利用上述操作过程中的MG⊥AB.“一个东西如何来或者说如何作出来，就如何求”，这就是“因果分析法”的精髓所在，也应该是很容易被理解、被接受的方法.“做数学题就是玩条件的”！将题目中的每一个条件“有条不紊”地都充分利用一遍，一般情况下，这个题目也就几乎迎刃而解了.本题的作对称点过程中，还有一个条件MG=GN未被使用，只要将之充分利用，问题的解答估计也就“呼之欲出”了，这就自然引出“第四步”.至此，题目中的条件都被用了一遍，但问题怎么还没解决呢？别急！说明问题已经到了“收尾阶段”，再进一步，估计就差不多了！这就告诉我们，有的时候，某些题目可能要对题目中的某些条件利用不止一遍！不要忘了，我们第一步确立的“终极目标”或者说题目问的问题是什么.“目的决定方向”，千万别忘了“初衷”而变成一艘没有帆的船，没有目标，没有方向！鉴于题目要求的“终极大boss”就是点N的坐标，此处也几乎不可能再用“求交点坐标”的方式联立两个函数去求解，势必要过N向坐标轴或者与坐标轴平行的直线作垂线，由“坐标的由来”进行求解.至此，“求一个定点关于一条定直线的对称点的坐标”问题得到了比较完美的解答！当然这个问题的解法还有很多，比如“代数法列方程组”，再比如“垂直处理先求垂足G点的坐标”等等！在此不再赘述！“目的决定方向”，只要你能有好的方法顺利到达目的地，而且这个方法是通法就足矣！解题时，同学们要确立目标，坚定方向，矢志不渝，终将能达到胜利的彼岸！经典问题3应该是解决很多对称问题的通解通法，当你会“求某个点关于一条定直线的对称点”这个技能后，很多对称或折叠问题的解题思路就变得简单多了.最近笔者就遇到过好几道与对称有关的压轴题，都可以用这个模型轻松搞定.特别提醒：这里求对称点时，最好是在对称轴是已知直线时进行，不然当直线含有参数时，再去求动点关于这条动直线的对称点的话，理论上肯定能行得通，但对于运算量以及符号感的要求都极高，很容易出现计算错误，这时建议同学们可以再考虑其他转化等方法，本人作品《广猛说题系列之巧施绝对值策略》中就有具体介绍，请参阅.上面我们一共解决了四个经典而重要的问题：斜距离与直距离的转化；中垂线的求法；过定点的垂线的求法；对称点的求法等.这四个所谓高中的基本功，都可以用初中巧妙的构造法，通过改斜归正之基本技能，几乎达到口算之效，不亦乐乎！尤其是在一些对称折叠问题中，上面的“模型题”往往能发挥奇效！最后再以今天课堂上遇到的一道小题来巩固“改斜归正”大法，供大家思考：证法1中的割补思想与前面三角形“底高公式”的推导如出一辙；而证法2，是借助了“底高公式”结合三角形相似导出，体现了由已知到未知的转化与化归思想，趣味十足.如图3所示的三角形，即当点A跑到了点C的右侧时，有没有类似的“宽高公式”呢？答案是：当然有.由上面的证明过程可以看出，图2与图3的证法一致，结论也是一致的，体现数学中几何证明的统一美、和谐美.至于图4所示的三角形面积，即当点跑到了点B的左侧时，结论及方法也是一模一样，在此不再赘述，同学们可自行探讨，我仅提供两张“无字证明图”，如图4-1及图4-2所示.细心观察上面三种情形，操作方式都是过点A作平行于y轴的直线交边BC所在的直线于点D，则AD就是“铅锤高”；而B、C两点之间的水平距离，即线段OC就是“水平宽”.在实际应用中，笔者不建议学生固化思维，强记这里的结论而直接使用.一方面，这个公式课本上并没有直接出现，中考时能不能直接使用值得商榷；另一方面，对于图2的结论，大部分学生普遍可以接受，但是若是不知道这个公式推导的来龙去脉而强行直接使用，图1及图3的结论，多数学生是很难理解原理而导致不能正确使用.更何况，这三种情形下的推导过程也是相辅相成、思想统一的，都采用了“改斜归正”及“割补法”的思想，而这两种思想方法又是极其重要的解题原理，需要同学们认真深刻体会的，所以笔者强烈建议学生体会这里的推导原理，以达到灵活使用的目的.其实，掌握了原理，怎么割补三角形都可以，只要过三角形的三个顶点中的任意一点作平行于坐标轴的直线都可以实现面积处理，仅仅是繁简程度不一而已，下文会一一提及.那么问题来了，割补方式千变万化，而且好像都可行，在解题实战中，难道就随意割补吗？非也！理论上是都可行，但计算量绝不相当！我们知道，“在变化中抓不变量”也是一种重要的思想方法，“以不变应万变”.此时再结合这个解题策略，就可以使计算过程“如履平地”.若是你“不信邪”，偏偏如图10所示那样“割补”，我想说“此路依然行得通”，但与前面的两种方法相比，一烦在“水平宽”BD上，需要求出直线AC的解析式，理论上肯定行得通，这条直线的解析式会因为点A是动点而导致含有参数，计算量较大；二烦在“铅锤高”AE 上，也是因为点A是动点而导致含有参数.“罪魁祸首”都在动点A上，而“元凶”就是因为一开始过定点B进行了“割补”.需要特别说明的是，这种方法并非是错误的，仅仅是计算量较大些，其操作依然是可行的.至此，这个“两定一动型”三角形面积问题，利用“宽高公式”得到了比较完美的解答.当然，关于面积处理，绝不仅仅只有“宽高公式”，还有很多其他的路可走，如“框图法”（亦可称“矩形大法”）、其他的割补法（如上题中连接OM也是一种很好的分割处理手段）等等，但大多体现出来的思想方法都是“大同小异”的，即想方设法将所求“斜面积”“改斜归正”，使问题得以解决.后面若有机会，会专门成文，敬请期待！通过前面的模型与实战分析，笔者认为根本不用记忆所谓的“宽高公式”，只要在处理面积的问题中，狠抓不动点不放手，过动点作平行于坐标轴的直线交这不动边所在的直线于一点，将三角形的面积进行“割”或“补”，即面积“加”或“减”，然后平移其中一条高线，即可转化为高线的“加”或“减”，就能够得出所谓的“宽高公式”！这道苏州中考真题中有一个限制条件“点M在第一象限内”，很明显是为了简化起见.若是将这个条件去掉，即“点M是抛物线上任意一动点”，那么△ABM的面积为S关于m的函数表达式又如何求解呢？我想其他的方法就未必恰当了，这时“宽高法”的作用会更明显.图14及图15给出了两种情形，前者可看出此时方法过程跟原题一模一样；而后者可看出唯一的区别就是点N位于了点M的上方，此时MN=yN-yM，其他都没变化.最后来首打油诗结束本文，“横切竖切都可以，切法不一莫强求；关键抓住不动点，最好沿着动点切；切完之后即加减，加减之后即宽高！”巩固训练结束语思想决定高度！平时的教学我也经常给学生说这句话，站在怎样的思想高度去审视问题，就会有怎样的认知！站得高才能望的远！数学解题思想方法有很多，今天我们主要讲了三种常见的解题策略：抓不变量、转化之斜化直思想、轨迹思想.这三种解题思想方法与策略，如果学生能够熟练掌握并应用之，初中阶段很多所谓难题将不再那么神秘！作为教师，平时教学，也一定不能就题论题，讲解题目应该讲到题目中去，说到题目中的思想方法深处！每道题目都有自己的“灵魂”，如何引导学生抓住题目的“灵魂”，即思想方法等，是我们教师应该一直要反思的问题！最后一句话送给大家：思想的方向与深度，决定人生的高度！思想决定高度，学识决定厚度！。