二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图象和性质总结表格
二次函数图象和性质总结表格二次函数知识点总结一、二次函数的图像和性质二次函数的图像开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值与函数的参数有关。
当参数a大于0时，图像开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。
参数a越大，开口越小。
当参数a小于0时，图像开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。
参数a越小，开口越小。
当二次函数带有平移时，对称轴的位置会发生变化，顶点坐标变为(h,k)。
当参数a大于0时，图像开口向上，对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。
当参数a小于0时，图像开口向下，对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为实数且a≠0.当二次函数带有平移时，解析式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k均为实数且a≠0.三、二次函数的应用二次函数在数学和现实生活中都有广泛的应用。
例如，二次函数可以用来描述物体的运动轨迹、建筑物的结构、金融市场的波动等等。
在应用中，我们需要根据实际情况确定二次函数的参数，并利用二次函数的性质进行分析和计算。
总之，二次函数是数学中非常重要的一个概念，掌握二次函数的图像、解析式和应用是我们研究数学的基础。
当x＞h时，随着x的增大，y会减小。
函数a的符号决定了开口的方向，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。
对称轴为直线x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)。
当a的绝对值越大时，开口越小；b的符号决定了对称轴在y轴的位置，当b＞0时，对称轴在y轴左侧，当b＜0时，对称轴在y轴右侧；c的符号决定了抛物线与y轴的交点在哪个象限，当c＞0时，抛物线与y轴正半轴相交，当c＜0时，抛物线与y轴负半轴相交。
二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。
二次函数图像与性质总结
二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】)128(21642122++=++=x x x x y 2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x4-=x 【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数图像与性质完整归纳
3 2 -2
3 2 0 5…
2
【例 2】 求作函数 y x 2 4 x 3 的图象。
【解】 y x 2 4x 3 ( x2 4x 3)
[( x 2) 2 7] [( x 2) 2 7 先画出图角在对称轴 x 2 的右边部分，列表
x -2 -1 0 1 2 y 76 5 4 3
【点评】 画二次函数图象步骤： (1) 配方； (2) 列表； (3) 描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利 用对称性描出右（左）部分就可。
, 3 ] 上是增函数，在区间 [ 3, 10
29 ymaz 20 ) 上是减函数。
【点评】 要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：
(1) 配方法；如例 3
(2) 公式法：适用于不容易配方题目 ( 二次项系数为负数或分数 ) 如例 4，可避免出错。
任何一个函数都可配方成如下形式：
b 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x b
2a
2a
b ，顶点坐标为 2a
b ，4ac b2 ．当 2a 4a
x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x 2a
2
有最大值 4ac b ． 4a
b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x 2a
b 时， y 2a
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： y ax 2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 2. 顶点式： y a ( x h)2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；
向下
h ，k
x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y X=h
随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．
二次函数图像与性质总结(含答案)
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
3. 二次函数的性质y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()24. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：解析式a 的取值开口方向函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y轴的交点y = ax2当a0时；开口向上；在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大。
当a0时；开口向下；在对称轴的左侧y随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小。
（0，0）x=0（0，0）y = ax2+ k（0，c）x =0 (0，k）y = a( x + h)2（- h，0）x = - h(0，ah2）y=a(x+h)2+k（- h，k）x = - h(0，ah2+ k)y = ax2+bx+c b 4ac - b2 (- , )2a4a b x=-2a（0，c）2.抛物线的平移法则：（1）抛物线y = ax2+ k的图像是由抛物线y = ax2的图像平移k个单位而得到的。
当k 0时向上平移；当k0时向下平移。
（2）抛物线y = a（x + h）2的图像是由抛物线y = ax2的图像平移h个单位而得到的。
当h0时向左平移；当h0时向右平移。
（3）抛物线的y = a（x + h）2+ k图像是由抛物线y = ax2的图像上下平移k个单位，左右平移h个单位而得到的。
当k0时向上平移；当k0时向下平移；当h0时向左平移；当h0 时向右平移。
3.二次函数的最值公式：形如y =ax + bx + c的二次函数。
当a0时，图像有最低点，函数有最小值4ac-b24ac-b2y最小值=4a；当a0时，图像有最高点，函数有最大值，y最大值=4a；4.抛物线y =ax + bx + c与y轴的交点坐标是（0，c）5.抛物线的开口大小是由a决定的，a越大开口越小。
6.二次函数y =ax + bx + c的最值问题：（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。
（2）自变量的取值范围不是一切实数：b 自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴x = -2a ,把他与取值范围相比较，再进行求最值。
二次函数图像与性质总结
二次函数图像与性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．。
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二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c=+的性质：上加下减。
a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()00，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．a < 向下()00，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
a > 向上()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．a < 向下()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．a < 向下()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．4.()2y a x h k=-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．a < 向下()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．3. 两根式：12a≠，1x，2x是抛物线与=--（0y a x x x x()()x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240-≥时，抛物线的解析式才可以用交b ac点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2=++中，a作为二次项系数，y ax bx c显然0a≠．⑴当0a>时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当0a<时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在0a>的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴a b x 2-=在y 轴左边则>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=++关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2=---；y ax bx c()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2=---；y a x h k2. 关于y轴对称2=++关于y轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2y ax bx c=-+；()2=-+关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k()2=++；y a x h k3. 关于原点对称2=++关于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by axbx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数64212++=x xy 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x xy2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：x… -7 -6-5-4-3-2 -1…y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x 2y=x 22y=2x y=x 2y=-2x 2y= -x 2y= -x 22y=2x 2-4y=2x +2y=2x 2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x 2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x 2y (2)50 23--2 23- 0 25… 【例2】求作函数342+--=x xy 的图象。
【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函数性质 【例3】求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】 7)3(79626222-+=-++=++=x x x x xy由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ；01> ∴当3-=x 时， 7min-=yx -2 -1 0 1 2 y 7 6543函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。
【例4】求函数1352++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。
103)5(232=-⨯-=-a b ，2029)5(431)5(44422=-⨯-⨯-⨯=-a b ac∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(，对称轴为2029=x 05<- ∴当103=x 时，函数取得最大值2029=mazy函数在区间]103,(-∞上是增函数，在区间),3[+∞-上是减函数。
【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个： (1) 配方法；如例3(2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。
任何一个函数都可配方成如下形式：)0(44)2(22≠-++=a ab ac a b x a y【二次函数题型总结】 1.关于二次函数的概念例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。
例 2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。
2.关于二次函数的性质及图象例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则a 、b 、c ，∆，c b a ++，c b a +-的符号为 ，例 4 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ）（A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限3.确定二次函数的解析式例5 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（ ） （A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y4.一次函数图像与二次函数图像综合考查例 6 已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).-1 OY X3 o -3 y例7 如图：△ABC 是边长为4的等边三角形，AB 在X 轴上，点C 在第一象限，AC 与Y 抛物线c bx ax y ++=2经过B 、C 、D 三点，求它的解析式；642-6510D O CAB【练习题】一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =--3.函数2y kxk=-和(0)k y k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.方程222x x-=的正根的个数为（）xA.0个B.1个C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22=-- B.y x x22=-++y x xC. 22=---=-++ D. 22y x xy x x=--或22y x x或22y x x=++二、填空题9．二次函数23=++的对称轴是2y x bxx=，则b=_______。