初一数学竞赛系列训练(1)
数学竞赛试题初一及答案
数学竞赛试题初一及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果a和b是两个非零实数，且a+b=5，那么a-b的最大值是多少？A. 5B. 4C. 3D. 23. 一个数的平方根是它本身，这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 44. 下列哪个选项是4的倍数？A. 7B. 8C. 9D. 105. 如果一个三角形的内角和为180°，那么一个四边形的内角和是多少度？A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的绝对值是它与____的距离。
7. 圆的周长公式是C=__。
8. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数可能是____。
9. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长是____。
10. 一个数的倒数是1/这个数，那么1的倒数是____。
三、简答题（每题5分，共15分）11. 解释什么是有理数，并给出两个有理数的例子。
12. 什么是质数？请列出前5个质数。
13. 描述如何使用勾股定理来计算直角三角形的斜边长度。
四、计算题（每题10分，共20分）14. 计算下列表达式的值：(2+3)×(2-3)。
15. 解下列方程：2x + 5 = 13。
五、解答题（每题15分，共30分）16. 一个长方形的长是15厘米，宽是10厘米，求它的周长和面积。
17. 一个班级有40名学生，其中1/4是男生，1/3是女生，剩余的是教师。
求男生、女生和教师的人数。
答案：一、选择题1. B2. A3. A4. B5. A二、填空题6. 07. 2πr（或πd，d为直径）8. 0, ±19. 5 10. 1三、简答题11. 有理数是可以表示为两个整数的比的数，例如1/2和3。
12. 质数是大于1的自然数，且除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。
初一数学竞赛系列训练15套
初一数学竞赛系列训练1——自然数的有关性质一、选择题1、两个二位数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个数的和是( )A 、56B 、78C 、84D 、962、三角形的三边长a 、b 、c 均为整数，且a 、b 、c 的最小公倍数为60，a 、b 的最大 公约数是4，b 、c 的最大公约数是3，则a+b+c 的最小值是（ ）A 、30B 、31C 、32D 、333、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是( )A 、33B 、34C 、35D 、374、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被3整除的数的个数是( )A 、24B 、12C 、6D 、05、若正整数a 和1995对于模6同余，则a 的值可以是( )A 、25B 、26C 、27D 、286、设n 为自然数，若19n+14≡10n+3 (mod 83)，则n 的最小值是( )A 、4B 、8C 、16D 、32二、填空题7、自然数n 被3除余2，被4除余3，被5除余4，则n 的最小值是8、满足[x,y]=6，[y,z]=15的正整数组(x,y,z)共有 组9、一个四位数能被9整除，去掉末位数后得到的三位数是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个，它的末位数是10、有一个11位数，从左到右，前k 位数能被k 整除(k=1,2,3,…,11)，这样的最小11位数是11、设n 为自然数，则3 2 n+8被8除的余数是12、14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是三、解答题13、求两个自然数，它们的和是667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是120。
14、已知两个数的和是40，它们的最大公约数与最小公倍数的和是56，求这两个数。
15、五位数H 97H 4能被12整除，它的最末两位数字所成的数7H 能被6整除，求出这个五位数。
16、若a,b,c,d 是互不相等的整数，且整数x 满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9求证：4∣(a+b+c+d)17、一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数当然有许多约数是两位数，这些两位约数中，最大的是多少？18、求2400被11除，所得的余数。
七年级数学竞赛训练试题
七年级数学竞赛训练试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是：A. 4B. -4C. 2D. -23. 一个数的相反数是它自己，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 以下哪个选项是正确的不等式？A. 5 > 3 + 2B. 3 < 2 * 2C. 4 ≤ 4D. 6 ≥ 75. 如果一个角的补角是它的3倍，那么这个角是：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的绝对值是它自己，这个数是________。
7. 一个数的绝对值是5，这个数可能是________。
8. 一个数的平方是16，这个数可能是________。
9. 一个数的立方是-8，这个数是________。
10. 如果一个数的1/4与它的1/3的和是1，这个数是________。
三、计算题（每题5分，共20分）11. 计算以下表达式的值：(2 + 3) * (5 - 2)12. 计算以下表达式的值：(-3)^2 - 2 * 413. 计算以下表达式的值：(-1)^3 + √414. 计算以下表达式的值：(-2)^3 / (-1)^2四、解答题（每题10分，共30分）15. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长方形的周长是24厘米，求长方形的长和宽。
16. 一个班级有40名学生，其中1/3的学生喜欢数学，1/4的学生喜欢英语。
如果喜欢数学和英语的学生有5人，求喜欢数学和英语的学生各有多少人。
17. 一个数列的前5项是1, 3, 6, 10, 15。
如果这个数列是等差数列，求第6项的值。
五、证明题（每题5分，共5分）18. 证明：对于任意的正整数n，(1 + 2 + 3 + ... + n)的和等于(n * (n + 1)) / 2。
初中数学七年级奥赛训练题及解析(共三套题)
初中一年级奥赛训练题(一)及解析一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( C)A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是( D)A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是( C)A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( D) A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有( B)A．2个B．3个C．4个D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中，不正确的说法的个数是( B)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。
7．a代表有理数，那么a和－a的大小关系是( D)A．a大于－a B．a小于－aC．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。
8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( D)A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。
我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x －2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。
同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，D所加常数为1，因此选D．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( C) A．一样多B．多了C．少了D．多少都可能解析：设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为(1－10%)a=0.9a；第三天杯中水量为0.9a(1+10%)=0.9×1.1a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。
初一数学竞赛系列训练1
初一数学竞赛系列训练1自然数的有关性质（附答案）一、选择题1、两个二位数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个数的和是( )A、56B、78C、84D、962、三角形的三边长a、b、c均为整数，且a、b、c的最小公倍数为60，a、b的最大公约数是4，b、c的最大公约数是3，则a+b+c的最小值是（）A、30B、31C、32D、333、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是( )A、33B、34C、35D、374、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被3整除的数的个数是( )A、24B、12C、6D、05、若正整数a和1995对于模6同余，则a的值可以是( )A、25B、26C、27D、286、设n为自然数，若19n+14≡10n+3 (m o d 83)，则n的最小值是( )A、4B、8C、16D、32二、填空题7、自然数n被3除余2，被4除余3，被5除余4，则n的最小值是8、满足[x,y]＝6，[y,z]＝15的正整数组(x,y,z)共有组9、一个四位数能被9整除，去掉末位数后得到的三位数是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个，它的末位数是10、有一个11位数，从左到右，前k位数能被k整除(k＝1,2,3,…,11)，这样的最小11位数是11、设n为自然数，则3 2 n+8被8除的余数是12、14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是三、解答题13、求两个自然数，它们的和是667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是120．14、已知两个数的和是40，它们的最大公约数与最小公倍数的和是56，求这两个数．15、五位数H 97H 4能被12整除，它的最末两位数字所成的数7H 能被6整除，求出这个五位数．16、若a ,b ,c ,d 是互不相等的整数，且整数x 满足等式(x -a )(x -b )(x -c )(x -d )＝9求证：4∣(a +b +c +d )17、一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数当然有许多约数是两位数，这些两位约数中，最大的是多少？18、求2400被11除，所得的余数．19、证明31980+41981被5整除．初一数学竞赛系列训练1答案1、 设这两个数为a ,b ，由(a ,b )＝8得a ＝8m ,b ＝8n ，且(m ,n )＝1由[a ,b ]＝96得[m ,n ]＝12，又(m ,n )＝1，所以m ＝3，n ＝4或m ＝4，n ＝3所以a +b ＝8(m +n )＝56，故选A2、 由题意知，b 既能被4整除，又能被3整除，所以b 能被12整除又60能被b 整除，所以b ＝12或60（1）若b ＝12，则60÷ b ＝5，因为5与4互质，5与3也互质，所以a 、c 中至少有一个含有因数5．若a 含有因数5，则a ≣20，又c ≣3，所以a +b +c ≥20+12+3＝35若c 含有因数5，则c ≣15，又a ≣4，所以a +b +c ≥4+12+15＝31取a ＝4，b ＝12，c ＝15，能构成三角形（2）若b ＝60，则a +b +c ＞60＞31故a +b +c 的最小值为31．3、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除的数有50个；既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的数有6，12，18，…，96共16个，所以能被2整除但不能被3整除的数有50-16＝34个，选B4、∵ 七位数各位数字之和为32，不能被3整除，∴任意改变七位数末四位数字的顺序得到的所有七位数均不能被3整除，故选D5、1995除以6的余数是3，且a ≡1995 (m o d 6)，所以a 除以6的余数也是3，故选C6、由19n +14≡10n +3 (m o d 83) 知19n +14 –(10n +3)≡ 0 (m o d 83)∴9n +11≡ 0 (m o d 83) ∴9221991183-+-=-=k k k n 当k ＝1时，n 取最小值8．故选B7、由题意得n +1是3、4、5的公倍数，最小的n ＝3⨯4⨯5-1＝598、∵y 整除6又整除15，∴y 整除3，所以y ＝1,3.代入可得：(6，1，15)，(2，3，5)，(2，3，15)，(6，3，5)，(6，3，15)五组解．9、被4整除的最大三位数是996，所求四位数可表示成x 996，∵9∣996x ，∴x ＝3,于是所求的末位数是3．10、2∣10，3∣102，4∣1020，5∣10200，6∣102000，7∣1020005，8∣10200056，9∣102000564，10∣1020005640，11∣10200056405，于是最小11位数是1020005640511、∵3 2 n +8＝9 n +8 ∴3 2 n +8≡1n +0 (m o d 8)≡1 (m o d 8) ∴3 2 n +8被8除的余数是112、设自然数N 的末位数是a ，则N ≡a (m o d 10)，从而N 4≡a 4(m o d 10)，∴ 14≡1 (m o d 10)，24≡6 (m o d 10)，34≡1 (m o d 10)，44≡6 (m o d 10)，54≡5 (m o d 10)，64≡6 (m o d 10)，74≡1 (m o d 10)，84≡6 (m o d 10)，94≡1 (m o d 10)，104≡0 (m o d 10) ∴14+24+34+44+…+19944+19954≡199⨯(14+24+34+44+…+104)+ 14+24+34+44+54 ≡199⨯(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+1+6+1+6+5≡199⨯33+19≡7+9≡6 (m o d 10) 故14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是613、设两个自然数是a ,b (a ≢b )，且(a ,b )＝d ，并设a 1＝d a ，b 1＝d b ，则(a 1，b 1)＝1，且a +b ＝d (a 1+b 1)＝667＝23⨯29.因为23，29都是质数，所以d ＝1或d ＝23或d ＝29(1) 若d ＝1，则[a ,b ]＝ab ＝120又因为a +b ＝667，所以a 2-667a +120＝0.但此方程中a 不能是自然数，所以d ≠1.(2) 若d ＝23，则有a 1+b 1＝29[a ,b ]＝23[a 1 ,b 1]＝23• a 1• b 1，所以a 1• b 1＝[]d b a ，＝120 ∴ 012029121=+-a a ，则()1202911=-a a ，把120分解质因数，可得a 1＝5，从而b 1＝24．所以a ＝23⨯5＝115，b ＝23⨯24＝552(3) 若d ＝29，则有a 1+b 1＝23[a ,b ]＝29[a 1 ,b 1]＝29• a 1• b 1，所以a 1• b 1＝[]d b a ，＝120 ∴ 012023121=+-a a ，则()1202311=-a a ，把120分解质因数，可得a 1＝8，从而b 1＝15．所以a ＝29⨯8＝232，b ＝29⨯15＝435综上所得，本题有两组解：115，552或232，43514、设这两个数为x ,y ，则x +y ＝40,且(x ,y )+[x ,y ]＝56，由于(x ,y )⨯[x ,y ]＝xy ，所以[]()y x xy y x ,,= 设(x ,y )＝d ，则x ＝da ，y ＝db ，且(a ,b )＝1，于是可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+d ab d b a 56140 由于(40，56)＝8，所以d ＝1,2,4,8 当d ＝1,2,4时方程组无整数解，所以d ＝8d ＝8时，方程组变为⎩⎨⎧==+65ab b a ，可得a ＝2,b ＝3或a ＝3,b ＝2，所以x ＝16或24，y ＝24或16，从而所求的两个数为16和2415、由于五位数H 97H 4能被12整除，而12＝3⨯4，且3，4互质，所以3∣H 97H 4且4∣H 97H 4．∴3∣(4+H+9+7+H )，即3∣(2H+20)，经试算H 可取2、5或8，又因为6∣7H ，所以2∣7H ，故H 为偶数，所以H 取2或8，又因为4∣H 97H 4，所以4∣7H ，所以H 取2，所以这个五位数为42972．16、∵a ,b ,c ,d 是互不相等的整数，则x -a ,x -b ,x -c ,x -d 也是互不相等的整数．∵(x -a )(x -b )(x -c )(x -d )＝9，所以x -a ,x -b ,x -c ,x -d 均为9的约数，而9＝(-1)⨯(+1)⨯(-3)⨯(+3)，则(x -a )+(x -b )+(x -c )+(x -d )＝ (-1)+(+1)+(-3)+ (+3)＝0即 a +b +c +d ＝4x ，所以4∣(a +b +c +d )17、∵99＝32⨯11，98＝72⨯2，97＝97，96＝25⨯3 ∴96是25⨯33⨯52⨯7的最大的两位约数．18、25＝32≡-1(m o d 11)，210≡(-1)2≡1(m o d 11)，2400＝(210)40≡140＝1(m o d 11)即2400被11除，余数是119、31980+41981＝(32)990+41981＝9990+41981≡1990+(-1)1981＝1+(-1)＝0(m o d 5)所以31980+41981被5整除。
数学竞赛试题初一及答案
数学竞赛试题初一及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 32. 如果一个数的平方等于该数本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少厘米？A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π4. 以下哪个表达式的结果等于0？A. 3 - 3B. 2 × 0C. 5 ÷ 5D. 4 + 05. 如果一个角的补角是它的3倍，那么这个角的度数是：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的相反数是它本身的数是______。
7. 一个数的绝对值是它本身的数是非负数，那么这个数是______或______。
8. 一个三角形的内角和等于______度。
9. 如果一个数的平方根是它本身，那么这个数是______或______。
10. 一个数的立方等于它本身，这个数是______、______或______。
三、计算题（每题5分，共20分）11. 计算下列表达式的值：(3 + 5) × (7 - 2)。
12. 计算下列表达式的值：(-2)³ - 3 × 2²。
13. 计算下列表达式的值：√(49) + √(16)。
14. 计算下列表达式的值：(-1)⁴ - 2²。
四、解答题（每题10分，共30分）15. 一个长方形的长是15厘米，宽是10厘米，求它的周长和面积。
16. 一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，求它的斜边长度。
17. 一个数列的前三项是1，3，6，求这个数列的第四项。
五、证明题（每题25分，共25分）18. 证明：在一个直角三角形中，如果一个锐角是另一个锐角的两倍，那么较小的锐角的度数是30°。
答案：一、选择题1. B2. D3. C4. A5. D二、填空题6. 07. 正数，08. 1809. 0，110. 0，1，-1三、计算题11. 6412. -813. 714. 3四、解答题15. 周长：(15 + 10) × 2 = 50厘米；面积：15 × 10 = 150平方厘米。
初一数学竞赛专项试题训练⑴
2021年初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上） 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有： 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x ≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0； 2．带余形式：a=bq+r； 4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
初一数学上竞赛试题及答案
初一数学上竞赛试题及答案【试题一】题目：若a, b, c是正整数，且满足a + b + c = 30，a > b > c，求所有可能的(a, b, c)组合。
【答案】解答：首先，我们知道a, b, c是正整数，且a > b > c。
由于a + b + c = 30，我们可以从c = 1开始尝试，逐渐增加c的值，同时减少a 和b的值，直到满足a > b > c的条件。
1. 当c = 1时，b = 29 - a，此时a的最大值为28，但a不能等于28，因为a > b，所以a的最大值为27，此时b = 2。
2. 当c = 2时，b = 28 - a，此时a的最大值为26，但a不能等于26，所以a的最大值为25，此时b = 3。
3. 以此类推，我们可以找到所有满足条件的组合。
最终，所有可能的(a, b, c)组合为：(27, 2, 1), (26, 4, 1), (25, 3, 2), (24, 6, 1), (23, 5, 2), (22, 8, 1), (21, 7, 2), (20, 10, 1), (19, 9, 2), (18, 12, 1), (17, 11, 2), (16, 14, 1), (15, 13, 2)。
【试题二】题目：一个圆的半径为r，求圆的面积。
【答案】解答：圆的面积公式为 \( A = \pi r^2 \)，其中A是面积，r是半径。
【试题三】题目：若一个数的平方根是4，求这个数。
【答案】解答：如果一个数的平方根是4，那么这个数就是 \( 4^2 \)，即16。
【试题四】题目：一个班级有40名学生，其中男生人数是女生人数的2倍，求男生和女生各有多少人。
【答案】解答：设女生人数为x，男生人数为2x。
根据题意，我们有x + 2x = 40，解这个方程得到x = 20。
所以，女生有20人，男生有40 - 20 = 20人。
【试题五】题目：一个数列的前三项分别为1, 2, 3，从第四项开始，每一项都是前三项的和。
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21ABCDEF初一数学竞赛系列训练(1)一、选择题1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条A ．6B ． 7C ．8D ．92．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，33．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A ．36条 B ．33条 C ．24条 D ．21条4．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）125．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ） A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 6．如图，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠3=( ) A ．90° B ．135° C ．150° D ．180°A BC DE FGH第 5 题312A BCDEFG第 6 题第7题二、填空题7．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系 ； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。
10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，PS GH 于P ，∠FRG=110°，则l A B CDEFG H P QRS 第10题ABCDE∠PSQ ＝ 。
11．已知A 、B 是直线L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是 。
12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。
三、解答题13．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 14．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G第13题 第14题15．如图，已知CB ⊥AB ，CE 平分∠BCD ，DE 平分∠CDA ，∠EDC+∠ECD =90°， 求证：DA ⊥AB16．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？17．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？18．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？ 19．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。
20．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？画出图形。
ABCDEF GABCDE 第 15 题初一数学竞赛系列训练(12)答案1． 5个点中任取2点，可以作4+3+2+1＝10条直线，在一直线上的3个点中任取2点，可作2+1＝3条，共可作10-3+1＝8（条）故选C 2．平面上3条直线可能平行或重合。
故选D3．对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。
故共有21条不重叠的线段。
故选D4．由n 个点中每次选取两个点连直线，可以画出2)1(-n n 条直线，若C B A ,,三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若F E D A ,,,四点不在一条直线上，可以画出6条直线， ∴.382632)1(=+---n n 整理得 2n .0)90)(10(,090=+-=--n n n ∵ n+9＞0 ∴,10=n ∴选B 。
5．直线EF 、GH 分别“截”平行直线AB 、CD ，各得2对同旁内角，共4对；直线AB 、CD 分别“截”相交直线EF 、GH ，各得6对同旁内角，共12对。
因此图中共有同旁内角4+6＝16对6．∵FD ∥BE ∴∠2=∠AGF ∵∠AGC=∠1-∠3A B C DE FGH第 5 题312A BCDEFG第 6 题∴∠1+∠2-∠3=∠AGC+∠AGF=180° ∴选B 7．解：∵AB ∥CD （已知）∴∠BAD=∠CDA （两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2 （已知）∴∠BAD+∠1=∠CDA+∠2（等式性质）即∠EAD=∠FDA ∴AE ∥FD ∴∠E ＝∠F8．解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45（个）又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+1＝6个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉5×6=30个交点，所以有交点的个数应为45-30＝15个9．可分7个部分 10．解 ∵AB ∥CD ∥EF∴∠APQ ＝∠DQG=∠FRG=110° 同理∠PSQ=∠APS∴∠PSQ=∠APQ-∠SPQ=∠DQG-∠SPQ=110°-90°=20°11． 0个、1个或无数个1）若线段AB 的垂直平分线就是L ，则公共点的个数应是无数个；2）若AB L ，但L 不是AB 的垂直平分线，则此时AB 的垂直平分线与L 是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0个；3）若AB 与L 不垂直，那么AB 的垂直平分线与直线L 一定相交，所以此时公共点的个数为1个12．4条直线两两相交最多有1+2+3＝6个交点 13．证明：过E 作EF ∥BA∴∠2=∠A （两直线平行，内错角相等） DE ∥CB ，EF ∥BAABC DEF21ABCDEFl A B CDEFGH P QRS 第10题∴∠1=∠B （两个角的两边分别平行，这两个角相等） ∴∠1+∠2=∠B+∠A （等式性质）即∠AED=∠A+∠B14．证明：分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线EH 、PF 、GQ ，则AB ∥EH ∥PF ∥GQ （平行公理） ∵ AB ∥EH∴ ∠ABE ＝∠BEH （两直线平行，内错角相等） 同理：∠HEF ＝∠EFP ∠PFG ＝∠FGQ∠QGD ＝∠GDC∴ ∠ABE+∠EFP+∠PFG+∠GDC ＝∠BEH+∠HEF+∠FGQ+∠QGD （等式性质） 即 ∠B+∠D+∠EFG=∠BEF+∠GFD 15．证明：∵DE 平分∠CDA CE 平分∠BCD∴∠EDC=∠ADE ∠ECD =∠BCE (角平分线定义) ∴∠CDA +∠BCD=∠EDC+∠ADE+∠ECD+∠BCE =2（∠EDC+∠ECD ）＝180° ∴ DA ∥CB 又∵ CB ⊥AB ∴ DA ⊥AB16．两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有4个交点，三条直线最多有3个不同的交点，即最多交点个数为：2+4×3+3=1717．（1）2个圆相交有交点2×1＝1个，第3个圆与前两个圆相交最多增加2×2＝4个交点，这时共有交点2+2×2＝6个 第4个圆与前3个圆相交最多增加2×3＝6个交点，这时共有交点2+2×2+2×3＝12个 第5个圆与前4个圆相交最多增加2×4＝8个交点∴ 5个圆两两相交最多交点个数为：2+2×2+2×3+2×4＝20 （2）2个圆相交将平面分成2个区域3个圆相看作第3个圆与前2个圆相交，最多有2×2＝4个不同的交点，这4个点将AB EF G D C HQ P ABCDE 第 15 题第3个圆分成4段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×2＝4块区域，这时平面共有区域：2+2×2＝6块4个圆相看作第4个圆与前3个圆相交，最多有2×3＝6个不同的交点，这6个点将第4个圆分成6段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×3＝6块区域，这时平面共有区域：2+2×2+2×3＝12块5个圆相看作第5个圆与前4个圆相交，最多有2×4＝8个不同的交点，这8个点将第5个圆分成8段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×4＝8块区域，这时平面最多共有区域：2+2×2+2×3+2×4＝20块18．∵直线上每一点与直线外3点最多确定3×5=15条直线；直线外3点间最多能确定3 条直线，∴最多能确定15+3+1=19条直线19．将这8条直线平移到共点后，构成8对互不重叠的对顶角，这8个角的和为180°假设这8个角没有一个小于23°,则这8个角的和至少为: 23°×8=184°,这是不可能的.因此这8个角中至少有一个小于23°,∴在所有的交角中至少有一个角小于23°20．平面上有10条直线，若两两相交，最多可出现45个交点，题目要求只出现31个交点，就要减少14个交点，则必须出现平行线，若某一方向上有5条直线互相平行，则可减少10个交点；若有6条直线互相平行，则可减少15个交点；故在这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个交点需要减去，转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点，这时还剩下2条直线和一个需要减去的点，只须让这2条直线在第三个方向上互相平行即可。
如图这三组平行线即为所求。