第15讲尺规作图-尖子班

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：
1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧；
2
、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。

（1）作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .
求作：线段AB ，使AB =a .
作法：
（1）作射线AP ；
（2）在射线AP 上截取AB=a .则线段AB
就是所求作的图形。

【例1】（1）下列关于作图的语句中正确的是（）
A.画直线AB ＝10厘米.
B.画射线OB ＝10厘米.
C.已知A 、B 、C 三点，过这三点画一条直线.
D.过直线AB 外一点画一条直线和直线AB 平行.
尺规作图
（2）如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计一种方案,确定这个圆形零件的半径.
（4）已知线段AB和CD，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB＋2CD.
（2）作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB
作法：
（1）作射线O’A’；
（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；
（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；
（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；
（5）连接O’N’并延长到B’。

则∠A’O’B’就是所求作的角。

【例2】（1）如图，已知∠A、∠B，求作一个角，使它等于∠A-∠B.
（2）请作出与△ABC全等的三角形（要求保留作图痕迹）。

（3）作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP,使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法：
①以O为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA，OB于M，N；
②分别以M、Ｎ为圆心，大于1/2MN
的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；
③作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

【例3】（1）如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB 画在方格纸上，请用利用格点和直尺(无刻度)作出∠AOB 的平分线。

O A
B
（2）如图，已知ABC △，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且PA
PB =．要求：
并保留作图痕迹．（不要求写作法）
（3）如图，107国道OA 和320国道OB 在某市相交于点O,在∠AOB 的内部有工厂C 和D,现要修建一个货站P,使P 到OA 、OB 的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P 的位置(保留作图痕
迹,写出结论)
（4）经过直线上一点做已知直线的垂线。

已知：如图，P 是直线AB 上一点。

求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。

作法：
（1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ；
（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 21
的长为半径画弧，两弧交于点Q ；
（3）过D 、Q 作直线CD 。

则直线CD 是求作的直线。

（5）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线
已知：如图，直线AB 及外一点P 。

求作：直线CD ，使CD 经过点P ，
且CD ⊥AB 。

作法：
（1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ；
（2）分别以M 、N 圆心，大于MN 21
长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q ；
（3）过P 、Q 作直线CD 。

则直线CD 就是所求作的直线。

【例4】（1）求作线段AB
的垂直平分线
（2）三条公路两两相交，交点分别为A ，B ，C ，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距
离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？用尺规作图作出所有可能的加油站地址。

（3）如图，A 为∠MON 内一点，在OM 、ON 边上分别作出一点B 、C ，使△ABC 的周长最小．N
A
O M
【例5】如图，已知△ABC ，∠C ＝90º。

按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹）；
（1）①作∠B 的平分线，与AC 相交于点D ；
②在AB 边上取一点E ，使BE ＝BC ；
③连结ED 。

（2）根据所作图形，写出一组相等的线段和一组相等的锐角。

（不包括BE ＝BC ，∠
EBD ＝∠CBD ）
【例6】（1）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A ，B ，C ，其中B 点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为。

（2）按要求用尺规作图（只保留作图痕迹，不必写出作法）
①在图（1）中作出∠ABC 的平分线；
②在图（2）中作出△DEF 的外接圆O ．A B C 图(1)F
D E
图(2)【例7】问题探究：
（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使90APB ∠=°的一个．．
点P ，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使60APB ∠=°的所有．．
的点P ，并说明理由．（3）问题解决：如图③，现在一块矩形钢板43ABCD AB BC ==，，．工人师傅想用它裁出
两块全等的、面积最大的APB △和CP D '△钢板，且60APB CP D '∠=∠=°．请你在图③中画出符合要求的点
P 和P '，并求出APB △的面积
【题1】下列语句是有关几何作图的叙述．
①以O为圆心作弧；
②延长射线AB到点C；
③作∠AOB，使∠AOB=∠1；
④作直线AB，使AB=a；
⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有．
【题2】四位同学做“读语句画图”练习．甲同学读语句“直线经过A，B，C三点，且点C在点A与点B之间”，画出图形（1）；乙同学读语句“两条线段AB，CD相交于点P”画出图形（2）；丙同学读语句“点P在直线l上，点Q在直线l外”画出图形（3）；丁同学读语句“点M在线段AB的延长线上，点N在线段AB的反向延长线上”画出图形（4）．其中画的不正确的是（）A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学
【题3】如图，有A，B，C三个村庄，现要修建一所希望小学，使三个村庄到学校的距离相等，学校的地址应选在什么地方？请你在图中画出学校的位置并说明理由（保留作图痕迹）．
【题4】如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．
（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？
（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？保留作图痕迹．
【题5】已知：如图，ABC ∠及两点M 、N 。

求作：点P ，使得PM PN =，且P 点到ABC ∠两
边所在的直线的距离相等。

【题6】如图，已知两点P 、Q 在锐角∠AOB 内，分别在OA 、OB 上求点M 、N ，使PM ＋MN ＋NQ 最短．Q
P
B
O A
【题7】如图所示，EFGH 是一矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A 、B
两点位置上，试问：
怎样撞击黑球A ，使黑球先碰撞台边EF 反弹后再击中白球B ？
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10【题8】下列语句表示的图形是（只填序号）
①过点O 的三条直线与另条一直线分别相交于点B 、C 、D 三点：
．②以直线AB 上一点O 为顶点，在直线AB 的同侧画∠AOC 和∠BOD ：．③过O 点的一条直线和以O 为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B 、C 、D 三点：
．。