颗粒材料平均场理论的多尺度方法_理论方面

力矩即为作用于边界颗粒上的力及力矩，因此式
(5)、(7)中相应符号取得一致。
由式（6）得到线动量守恒方程局部形式为
∇⋅σ =0
（8）
方程式（7）中的最后一项为
∇⋅(σ× x) = (∇⋅σ)× x −e:σ
（9）
将式（8）、（9）代入式（7），得到表征元角动 量平衡方程的局部形式：
∇⋅μ+e:σ =0
shown that the use of macroscopic Cosserat continuum model is necessary when taking account of rolling moment resistance between particles in contact in microscopic analysis. The expressions of stress and couple stress tensors are derived in light of the average-field theory. The constraints to the fluctuations of granular microstructure are also presented; and the intrinsic length scale parameter is discussed. It is the theoretical aspect of multiscale computational homogenization of granular materials.
（5）
c∈V
b∈B
式中： ∂p(i) 为颗粒 i 的边界；f、m 分别为作用在颗
粒上的力和力矩；r 为力作用点相对于颗粒形心的
矢径；上标 c、b 分别为内部接触点和边界接触点。
按照尺度分离的概念，颗粒集合等效为与宏观
连续介质质点相联系的表征元（RVE），表征元中心
位置
X
0 i
在整体坐标系
X
下定义，对于表征元内部
的点，引入一个局部坐标系
x， xi
=
X
i
−
X
o i
，如图
1
所示。
边界颗粒 内部颗粒
边界接触点
内部接触点
x3
x1 x2
Xio
RVE 边界 X3
X1
X2
图 1 颗粒微结构表征元[21]
Fig.1 Representative volume element of granular microstructure[21]
第 30 卷第 4 期 2009 年 4 月
文章编号：1000－7598 (2009) 04－0879－06
岩土力学 Rock and Soil Mechanics
Vol.30 No. 4 Apr. 2009
颗粒材料平均场理论的多尺度方法：理论方面
刘其鹏，武文华
（大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室，大连 116024）
介质的应力定义 在平均场理论中，宏观分量定义为表征元上的 相应微观分量的体积平均：
G
=<
g
>= 1 VR
∫R g
dV
（11）
式中：G 和 g 分别为宏观分量和微观分量；VR 表征 元的体积大小。经典连续介质平均场理论的具体内
容可参考文献[17]。颗粒材料的等效连续介质应力 的定义一直是许多研究者致力的课题[18-21]，主要有
∫R[∇⋅ μ−∇⋅(σ× x)]dV = 0
（7）
式中：下标 R 为表征元； ∂R 为表征元的边界；V 、
S 分别为积分域及其边界； xb 为 RVE 边界点局部
坐标； n 为边界点单位外法向量； f b 、 mb 分别为
作用于 RVE 边界上的力和力矩。由于 RVE 是离散
颗粒集合体，如图 1 所示，作用于其边界上的力和
2 Cosserat 连续介质的控制方程
忽略体积力及体积力偶的情况，Cosserat 连续
介质的静力平衡方程为
∇⋅σ = 0 ；∇⋅ μ +e:σ = 0
（1）
几何方程： ε =∇u−e⋅ω ；κ =∇ω
（2）
式中： ∇ 为梯度算子； σ 、 μ 分别为应力和偶应力
张量；ε 、κ 分别为应变和曲率应变张量；u、ω 分
两条推导思路：基于虚功原理的定义和基于作用力
等效原理的定义，二者在本质上是等价的。下面基
于平均场理论的微宏观过渡框架推导考虑颗粒滚动
矩相互作用时颗粒量 A ，有
第4期
刘其鹏等：颗粒材料平均场理论的多尺度方法：理论方面
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该表征元等效连续介质的线动量和角动量平衡 方程分别为
AT = ∇⋅( A⊗ x)−(∇⋅ A)⊗ x 式中：“ ⊗ ”为并乘运算符。
（12）
∫∂R f bdS = ∫∂Rn⋅σdS = ∫R∇⋅σdV = 0
（6）
( ) ( ) ∫∂R mb + xb × f b dS = ∫∂R n⋅ μ −n⋅σ× xb dS =
Key words: granular materials; average-field theory; multiscale method
1引言
不论是天然材料，还是人工材料，实质上都是 非均质的，即介质内部包含着较小尺度的具有不同 性能和不同方位的组分或缺陷。典型的非均质材料 有复合材料、多晶体材料、颗粒材料等，其宏观性 能与微观结构密切相关。基于材料微结构信息寻找 宏观性能，如有效的弹性模量、扩散性能及渗透性 能等是微观力学的主要任务之一。寻找材料有效性 能的方法称为均匀化（homogenization）。通常确定 非均质材料宏观性能与微观结构的关系有如下两种 基本微观力学理论：基于数学的均匀化理论和物理 的平均场理论。
鉴于以上研究现状，发展一种能够结合颗粒材 料微宏观描述优势的多尺度计算均匀化方法，对于 颗粒材料的理论描述和工程应用都是十分必要和重 要的[12-15]，但由于问题本身的复杂性和不确定性， 目前还没有形成一个系统的公认的体系，许多问题 仍需要深入研究。本文基于平均场理论，对于颗粒 材料-连续介质微宏观过渡中的基本理论问题进行 分析和讨论，证明当考虑微观颗粒之间的滚动矩相 互作用时宏观应采用 Cosserat 连续体。同时，基于 平均场理论给出微观颗粒表征元的等效连续介质应 力表达式，给出了离散颗粒表征元微结构波动场的 边界条件，讨论了宏观 Cosserat 连续体模型中的长 度尺度的连接问题。
颗粒材料，比如土壤和沙，微观上由不同形状 和尺寸的颗粒及孔隙流体组成，具有高度的非均质 性。颗粒材料能够通过两种不同的方式处理：基于 单个颗粒运动行为描述的微观途径（离散单元法 DEM）和基于连续介质描述的宏观途径（有限元法 FEM）。微观途径的优势在于颗粒接触本构关系的 简单，并能够追踪任何一种局部化现象的发生[10-11]， 缺点是模拟真实的工程问题时需要描述大量颗粒的 运动（数亿甚至几十亿个），且离散单元法模拟颗粒 材料的行为仍然处于定性阶段。采用宏观连续介质 描述，颗粒材料被处理为饱和-非饱和多孔介质，数 值求解方法采用有限元法，其优势在于求解的方程 数目较少，能够处理工程尺度上的边值问题，缺点 是宏观本构方程形式复杂，通常含有非物理的拟合 参数。当局部化现象发生时，需要在经典连续介质 模型中引入正则化机制克服软化引起的不适定问 题，其常用的手段是高阶梯度理论或者微极性 （Cosserat）理论。但无论采用非局部的高阶梯度理 论，还是采用 Cosserat 连续介质模型，都需要引入 与微观结构密切相关的物理分量（如长度尺度、微 观旋转等）。
摘 要：对基于平均场理论的颗粒材料多尺度方法实施过程中的基本理论问题进行了探讨。公式推导表明，考虑微观颗粒间
滚动矩相互作用时宏观需要采用 Cosserat 类连续体模型。基于平均场理论，给出了离散颗粒表征元等效连续介质应力、偶应
力表达式。基于 Hill-Mandel 宏观均质化条件，给出了离散颗粒微结构波动场的边界条件，并且讨论了内部长度尺度参数的
的滚动矩阻抗对于颗粒材料的性质有着重要的影
响。为了正确模拟颗粒材料的行为，必须考虑颗粒
之间的滚动阻矩。忽略体积力及体积力偶的情况时
单个颗粒的平衡方程为
∫∂p(i) fdS =∑ f c + ∑ f b = 0
c∈V
b∈B
（4）
∫ ∫ ∂p(i) mdS + r × ∂p(i) fdS = ∑(m c +r c × f c )+ ∑(m b + r b × f b ) = 0
收稿日期：2007-08-31 基金项目：国家自然科学基金重大研究计划资助项目（No.90715011）；国家自然科学基金项目（No. 10672033）资助。 第一作者简介：刘其鹏，男，1981 年生，博士研究生，从事岩土介质多尺度研究。E-mail: liuqp_dlut@. 通讯作者：武文华，男，1973 年生，博士，讲师，从事计算固体力学研究。E-mail: lxyuhua@
（10）
式（8）和式（10）分别与 Cosserat 连续体的线、 角动量平衡方程式（1）相一致。以上推导表明，当 计及颗粒之间的接触矩作用时，离散颗粒微结构表 征元呈现 Cosserat 连续介质的性质，因而颗粒材料 的多尺度模拟宏观上需要采用 Cosserat 连续介质模 型。 3.2 考虑颗粒间滚动矩作用的颗粒材料等效连续
近年来，基于上述两种基本微观力学理论的非 均质材料多尺度模拟方法已经成为人们研究的热点 之一。均匀化理论使用渐近展开的小参数摄动方法 建立微观和宏观场变量之间的关系，得到各个尺度
上的控制方程，有效属性自然出现在其相应的系数 表达式中[1-3]，该方法的优势是提供了一个多尺度分 析的数学框架，缺点是其微结构必须是周期结构， 且有效属性的获得没有足够的物理基础。平均场理 论所基于的物理实际表述为：力学有效属性由试验 中所采用的非均质材料样本的平均应力-应变关系 确定，所以宏观场分量定义为相应微观场分量的体 积平均，而有效属性则由这些平均后的分量之间的 关系确定。基于平均场理论，通过解析或者数值方 法确定非均质材料的宏观有效属性，其中解析方法 多限于复合材料的小应变线弹性响应。数值方法方 面，人们发展了基于经典连续介质分级有限元方法 的多尺度计算均匀化(也称为全局-局部分析)方 案[4-6]。该方法把颗粒材料看作是局部附属着表征 性微结构的宏观均匀化的连续介质，不是致力于产 生闭合形式的宏观本构方程，而是给每一个积分点 分配一个微观结构，通过对微观结构的进一步模拟