广东省广州市四校联考2018-2019学年高一下学期期中数学试卷PDF版含解析
广东省广州市增城区四校联考2024届数学高一第二学期期末质量检测模拟试题含解析
广东省广州市增城区四校联考2024届数学高一第二学期期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若一个人下半身长（肚脐至足底）与全身长的比近似为（，称为黄金分割比），堪称“身材完美”，且比值越接近黄金分割比，身材看起来越好，若某人着装前测得头顶至肚脐长度为72，肚脐至足底长度为103，根据以上数据，作为形象设计师的你，对TA 的着装建议是（ ） A ．身材完美，无需改善 B ．可以戴一顶合适高度的帽子 C ．可以穿一双合适高度的增高鞋D ．同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子2．某四棱锥的三视图如图所示，则它的最长侧棱的长为（ ）A ．5B ．22C ．23D ．43．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．154．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若362,6,S S ==则9S =（ ）A ．18B ．14C ．10D ．225．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．已知x y ，满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．16D ．47．已知数列}{n a 满足111,1n n a a a +=-=，则10a =（ ） A ．10B ．20C ．100D ．2008．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．459．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形90ACB ∠=︒，2AC =，11BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1A P PC +的最小值是（ ）A ．2B 5C 3D 562+-10．已知1cos 32πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于 ( ) A ．3B ．3C ．12D ．12-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
广东省四校(华附、省实、广雅、深中)2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)
华附､省实､广雅､深中2022级高二下学期四校联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名､姓名､考号､座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B 铅笔填涂相关信息.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后.再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟..1.若()i 11z +=（i为虚数单位），则z z −=（ ）A.2−B.2i− C.2D.2i【答案】D 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z ，即可求出其共轭复数，再由复数的减法计算可得.【详解】因为()i 11z +=，所以11i iz +==−，所以1i z =−−，则1i z =−+，所以()()1i 1i 2i z z −=−+−−−=.故选：D2.已知等比数列{}n a 中，1241,9a a a ==，则7a =（ ） A.3 B.3或-3C.27D.27或-27【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，计算得到等比数列的等比，结合通项公式计算得出答案；【详解】设等比数列{}n a 的公比为1212134,1,9,93q a a a qa a q q ==∴=⇒= ， 则6371327a a q ===， 故选：C.3. 已知圆22:2O x y +=与抛物线2:2(0)C x py p =>的准线相切，则p 的值为（ ）A. B.C. 4D. 2【答案】A 【解析】【分析】写出抛物线C 的准线方程，根据该准线与圆O 相切求出实数p 的值.【详解】由题意可知，圆O 的圆， 抛物线C 的准线方程为2py =−，由于抛物线C 的准线方程与圆O 相切，则2p=，解得p =. 故选：A.4. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得2π2π2R r =，求得4R =，进而由h =可求得圆锥的高.【详解】由图可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为1r =， 设扇形半径为R ，则有π2π2R r =，解得4R =，所以圆锥的母线长为4R =，故圆锥的高h =故选：C.5. 某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格.阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（=平均分/150）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X N µσ ，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈. A. 127人 B. 181人 C. 254人 D. 362人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩()273.5,22X N ，再根据所给条件求出()5790P X ≤≤，即可求出()90P X ≥，即可估计人数.【详解】依题意可知平均分为1500.4973.5×=，又标准差为22， 所以学生的数学成绩()273.5,22X N ，即73.5µ=，22σ=，又9073.50.7522−=， 所以()()()00.57900.75.750.54775P X P X p µσµσ≤≤=−≤≤+=≈，所以()10.547900.22652P X −≥=≈=，又8000.2265181.2×=，所以该次数学考试及格的人数约为181人. 故选：B6. 已知双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为12,F F ，直线y x =与双曲线的右支交于点P ，则12PF PF ⋅=（ ）A. 1−B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】首先求出焦点坐标，再联立直线与双曲线方程，求出交点P 的坐标，再由数量积的坐标表示计算可得.【详解】双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为()12,0F −，()22,0F ，由2213y x y x −= =，解得x y= =x y = =P ，则12PF =−，22PF =− ，所以212221PF PF ⋅=−×+=− . 故选：A7. 现有一组数据0,1,2,3,4,5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于3的概率为（ ） A.23B.1115C.45D.1315【答案】B 【解析】【分析】设删去的两数之和为x ，依题意可得15362x−<−，求出x 的范围，再列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意得这组数据各数之和为01234515+++++=， 设删去的两数之和为x ，若剩下数据的平均数小于3，则15362x−<−，解得3x >， 则删去的两个数可以为()0,4，()0,5，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5共11种情况，从0,1,2,3,4,5中任意取两个数有：()0,1，()0,2，()0,3，()0,4，()0,5，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，共15种情况，故所求概率1115P=. 故选：B8. 若函数()()21e 12xg x x b x =−+−存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. ()0,∞+C. (],0−∞D. (),0∞−【答案】D【解析】【分析】根据题意转化为导函数e 10x x b −+−<有解，参变分离e 1x b x <−++有解,设()e 1x f x x =−++，则实数max ()b f x <，求导计算可得解；【详解】函数()()21e 12xg x x b x =−+−的定义域为R , 求导得()e 1xg x x b ′=−+−，函数存在单调递减区间， 所以e 10x x b −+−<有解，即e 1x b x <−++有解， 设()e 1x f x x =−++，则实数max ()b f x <， 则()e 1x f x ′−+=，令()0f x ′=，得0x =， 当0x <时，()0,()′>f x f x 在(),0∞−上递增； 当0x >时，()0,()′<f x f x 在(),0∞−上递减； 所以函数()f x 有最大值(0)0f =， 因此0b <. 故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9. 若“2x k <−或x k >”是“23x −<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是（ ） A. 3B. 3−C. 5D. 5−【答案】BCD 【解析】【分析】令{|2A x x k =<−或}x k >，{}|23B x x =−<<，依题意可得B 真包含于A ，即可求出参数的取值范围.【详解】令{|2A x x k =<−或}x k >，{}|23B x x =−<<，因为“2x k <−或x k >”是“23x −<<”的必要不充分条件， 所以B 真包含于A ，所以2k ≤−或23k −≥，解得2k ≤−或5k ≥，结合选项可知符合题意的有B 、C 、D. 故选：BCD10. 下列关于成对数据统计的表述中，正确的是（ ） A. 成对样本数据的经验回归直线一定经过点(),x yB. 依据小概率事件0.1α=的2χ独立性检验对零假设0H 进行检验，根据22×列联表中的数据计算发现20.10.837 2.706x χ≈<=，由()2 2.7060.1P χ≥=可推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1C. 在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设D. 决定系数2R 越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 【答案】AC 【解析】【分析】根据经验回归方程的性质判断A ，根据独立性检验的基本思想判断B ，根据回归分析的相关知识判断C 、D.【详解】对于A ：成对样本数据的经验回归直线一定经过点(),x y ，故A 正确；对于B ：因为20.10.837 2.706x χ≈<=，由()22.7060.1P χ≥=可推断0H 成立，即认为X 和Y 独立，故B 错误；对于C说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设，故C 正确； 对于D ：决定系数2R 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D 错误. 故选：AC11. 如图，心形曲线22:()1L x y x +−=与y 轴交于,A B 两点，点P 是L 上的一个动点，则（ ）A. 点和()1,1−均在L 上B. 点PC. OP 的最大值与最小值之和为3D. PA PB +≤ 【答案】ABD 【解析】【分析】点代入曲线判断A ，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B ，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C ，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令0x =，得出1y =±，则()()1,0,1,0,A B −对于A ：x =时，2112y += 得0y =或y =，=1x −时，()2111y +−=得1y =，所以和()1,1−均在L 上，A 选项正确；对于B ：因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，()221x y x+−=，所以y x =+()()222221112y y x x x x ==+−+≤++−=，所以x =y B 选项正确；对于C ：OP =，因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，设cos ,sin x y x θθ=−=， 所以()2222222cos cos sin 2cos sin 2sin cos OP x y θθθθθθθ=+=++=++()1cos23131sin2cos2sin222222θθθθθϕ+=++=++=++，因为θ可取任意角，所以OP 取最小值=，OP 取最大值=，C 选项错误；对于D ：PA PB +≤等价为点P 在椭圆22132y x +=内，即满足()222cos sin 3cos 6θθθ++≤，即()()31+cos221sin 262θθ++≤，整理得4sin23cos25θθ+≤，即()sin 21θβ≤+恒成立，故D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(21)x y +−的展开式中，所有项的系数和为__________. 【答案】64 【解析】【分析】令1xy ==计算可得. 【详解】令1xy ==，可得所有项的系数和为()642611+−=. 故答案为：6413. 如图，正八面体ABCDEF 的12条棱长相等，则二面角E AB F −−的余弦值为__________.【答案】13−.【解析】【分析】AB 的中点为G ，EGF ∠为二面角E AB F −−的平面角，结合正八面体的几何特征，利用余弦定理求值即可.【详解】连接,AC BD 交于点O ，连接EF ，取AB 的中点G ，连接,EG FG ，根据正八面体的几何特征，有EF 过点O ，EG AB ⊥，FG AB ⊥， 又EG ⊂平面ABE ，FG ⊂平面ABF ， 平面ABE ∩平面ABF AB =，所以EGF ∠为二面角E AB F −−的平面角.正八面体中， EF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 则EF AC ⊥，所以AOE △是直角三角形，设正八面体棱长为2，则AO =，2AE =，所以OE =，得EF =在AEB △中，EGAB =，同理GF =在EGF △中， 由余弦定理，可得2221cos 23EG FG EF EGF EG FG +−∠==−⋅⋅ 故答案为：13−.14. 数列{}n a 前n 项和为n S ，且111,22n n a a a n +=−=，则满足2024n S >的最小正整数n 为__________. 【答案】9 【解析】【分析】先构造等比数列，再应用等比等差数列前n 项和公式计算，最后判断最小值n 即可.【详解】因为122n n a a n +−=，所以()124244n n a n a n +++++， 所以()()124222n n a n a n +++=++,所以{}22n a n ++是公比为2首项为1225a ++=的等比数列，所以112252,5222n n n n a n a n −−++=×=×−−.则()()()()()0112512422522246225213122n n n n n n S n n n −−++=+++−++++=−=−−−− ,因为152220,n n a n −=×−−>则n S 单调递增，又因为()8285218385255642411872024S =−−−×=×−−=<,()9295219395511812724472024S =−−−×=×−−=>.则2024n S >的最小正整数n 为9. 故答案为：9.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin A B Cb c a b+=+−. 的（1）求A ；（2）如图，若点D 是BC 边上一点，且,2AB AD BD CD ⊥=，求ADB ∠. 【答案】（1）2π3A =（2）π3ADB ∠= 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后利用余弦定理可求出角A ； （2）由AB AD ⊥结合2π3A =可得π6DAC ∠=，然后在ABD △和ACD 分别利用正弦定理结合已知条件可得b c =，进而可求出ADB ∠. 【小问1详解】 因sin sin sin A B Cb c a b+=+−，所以由正弦定理得a b b c bca +=+−，所以222ab bc c −=+， 所以222b c a bc +−=−所以由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−−===−，因为()0,πA ∈，所以2π3A =； 【小问2详解】因为AB AD ⊥，所以π2BAD ∠=，所以2πππ326DAC BAC BAD ∠=∠−∠=−=， 在ABD △中，由正弦定理得πsin sin sin 2AB BD BD BDADB BAD ===∠∠， 在ACD 中，由正弦定理得2πsin sin sin 6AC CD CD CDADC DAC===∠∠， 因为πADB ADC ∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠为因为2BD CD =，所以AB AC =，即b c =，所以π6BC ==, 所以πππππ263ADB BAD B ∠=−∠−=−−=. 16. 如图，四棱锥P ABCD −的侧面PCD 为正三角形，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，已知44CD AB ==，13PM MD =.（1）证明：AM //平面PBC ；（2）若,AC AD PA ==，求直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取PC 上的点N ，使14PN PC = ，可得MN AB =，则由线线平行可证线面平行；（2）取CD 中点O ，连,AO PO ，根据题意可证AO CD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点，,,OA OC OP分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，利用线面角的空间向量法求解. 【小问1详解】取PC 上的点N ，使14PN PC =，则()1144MN PN PM PC PD DC AB =−=−== ，所以四边形ABNM 为平行四边形，所以//AM BN ，又BN ⊂平面PBC ，AM ⊄平面PBC ，所以AM //平面PBC ； 【小问2详解】取CD 中点O ，连,AO PO ，因AC AD =，所以AO CD ⊥， 因为PCD为正三角形，所以,PO CD PO ⊥，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，因为AO ⊂平面ABCD ，所以PO AO ⊥，AO ==以O 为坐标原点，,,OA OC OP分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，则A ，(0,2,0)C ，(0,2,0)D −，)B，(0,0,P ，则(0,1,0)AB =，PA =−，1142AM AP PD =+=−， 设(,,)n x y z =为平面PAB 的法向量，则0000y n AB n PA = ⋅=⇒ −=⋅=，可取)n = ，cos ,n AM n AM n AM⋅===⋅， 故直线AM 与平面PAB. 17. 一个袋子中有30个大小相同球，其中有10个红球､20个白球，从中随机有放回地逐次摸球作为样为的本，摸到红球或者第5次摸球之后停止.用X 表示停止时摸球的次数. （1）求X 的分布列和期望；（2）用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率. 【答案】（1）分布列见解析，()21181E X = （2）2081【解析】【分析】（1）对于有放回的摸球，()()112,33P A P A ==，且i A ()1,2,3,4,5i =相互独立的，X 的可能取值为1,2,3,4,5，依次求出概率，可得分布列，再由期望公式求解； （2）设样本中红球的比例为f ，B =“样本中有红球”，且7133030C f =≤≤ ，分B 不发生，和B 发生求概率，从而得解. 【小问1详解】设=i A “第i 次摸出红球”，1,2,3,4,5i =，对于有放回的摸球，()()1101202,303303P A P A ====，且i A ()1,2,3,4,5i =相互独立的， X 的可能取值为1,2,3,4,5，则由题意可知，()(()()11212121,23339P X P A P X P A A ======⋅=， ()()212321433327P X P A A A ===⋅= ，()()3123421843381P X P A A A A ===⋅=，()()412342165381P X P A A A A ====，期望()124816211123453927818181E X =×+×+×+×+×=. 【小问2详解】总体中的红球比例13，设样本中红球的比例为f ，设B =“样本中有红球”，且17130.133030C f f =−≤=≤≤ ， 若B 不发生，则0f =，此时C =∅，所以()0P BC =， 若B 发生，则1f X =，此时711330303030137BC X X =≤≤=≤≤， 所以()()()482034278181P BC P X P X =+===+=， 所以，()()()2081P C P BC P BC =+=. 18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的长轴长为()()1,2,0,2,02M N −.（1）求椭圆E 的方程；（2）过()4,0P 作一条斜率存在且不为0的直线l 交E 于,A B 两点. （i ）证明：直线AM 和直线BM 的斜率均存在且互为相反数； （ii ）若直线AM 与直线BN 交于点Q ，求Q 的轨迹方程. 【答案】（1）22186x y +（2）（i ）证明见解析；（ii）()212,02x x y −=≠≠【解析】【分析】（1）根据已知条件直接计算出椭圆相关基本量即可；（2）（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()()40y k x k =−≠，联立方程组，利用韦达定理证明；（ii ）设直线，直线()()22:22BM x y y x +=+，联立方程组得204x x =，0202y y x =，采用代入法可得Q 的轨迹方程. 【小问1详解】根据题意，2a =，因为椭圆离心率为12，所以12c ea ==，所以c =6b =，所以椭圆的方程为22186x y +； 【小问2详解】（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()()40y k x k =−≠，联立方程()224186y k x x y =− += ，消去y 得：()2222343264240k x k x k +−+−=， 则()2Δ96340k=−>，即k <由韦达定理得，212232=34k x x k++，2122642434k x x k −⋅=+，当k =Δ0=，122x x ==，不合题意，故122,2x x ≠≠， 所以直线AM 和直线BM 的斜率均存在，1212,22B A M M y y k k x x =−−=， 所以()()()()()()122112121242422222AM BM k x x k x x y yk k x x x x −−+−−+=+=−−−− ()()222121212122616024k x x x x x x x x ⋅−++ =⋅−++， 即直线AM 和直线BM 的斜率均存在且互为相反数； （ii ）由（i ）知22x ≠，且222BM AM y k k x ==−−， 可设直线()()22:22AM x y y x −=−，直线()()22:22BM x y y x +=+，设()00,Q x y ，则()()()()202020202222x y y x x y y x −=−− +=+ ，整理得20202022x y y y y x = = ①，由题意知20y ≠，由①知000,0y x ≠≠， 所以由①知，204x x =，0202y y x =②， 将②代入2222186x y +=得2022002213y x x +=，化简得0022123x y −=，又因为22x ≠，所以02x ≠，所以Q 的轨迹方程为()2212,023x y x y −=≠≠..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1212,x x x x +的形式； （5）代入韦达定理求解.19. 拟合（Fittiong ）和插值（Imorterpolation ）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值.例如，为了得到1cos 2的近似值，我们对函数()πcos 2f x x=进行多项式插值.设一次函数()1L x ax b =+满足()()()()11001110L f L f == == ，可得()f x 在[]0,1上的一次插值多项式()11L x x =−+，由此可计算出1cos 2的“近似值”11111cos10.6822πππf L=≈=−≈，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite ）插值多项式.已知函数()πcos 2f x x = 在[]0,1上的二次埃尔米特插值多项式()2H x ax bx c ++满足()()()()()()001100H f H f H f =′=′ =（1）求()H x ，并证明当[]0,1x ∈时，()()f x H x ；（2）若当[]0,1x ∈时，()()2f x H x x λ− ，求实数λ的取值范围；（3）利用()H x 计算1cos 2的近似值，并证明其误差不超过140. （参考数据：2110.318,0.101ππ≈≈；结果精确到0.001） 【答案】（1）()21H x x =−+，证明见解析； （2）2π1,8−+∞（3）1cos 0.8992≈，证明见解析 【解析】【分析】（1）由题意列方程组求出,,a b c ，得()H x ；通过构造函数，利用导数求最值证明()()f x H x ≤；（2）令()()()()22π1cos 12G x H x f x x x x λλ=−−=−+−+，问题转化为()0G x ≤在[]0,1x ∈时恒成立，利用导数求函数单调性和最值，得条件满足时实数λ的取值范围；（3）由111cos 2ππf H =≈，代入求值即可，由误差2211π11ππ8πe f H =−≤− ，可证得结论.【小问1详解】()πcos 2f x x = ，()10f =，()01f =，()ππsin 22f x x′=−，()0 0f ′=，()2H x ax bx c ++，()2H x ax b ′=+，由()()()()()()001100H f H f H f =′=′=得100c a b c b = ++== ，解得101a b c =− = = ，因此()21H x x =−+. 设()()()2πcos 12F x f x H x x x =−=+−，[]0,1x ∈，()ππsin 222F x x x ′=−+ ，令()()1F x F x ′=，则()21ππcos 242F x x′=−+ ，因为()1F x ′在[0,1]上单调递增，且()21π0204F ′=−+<，()1120F ′=>，故存在()10,1x ∈使()110F x ′=，且()F x ′在()10,x 上单调递减，在()1,1x 上单调递增，又()00F ′=，()()100F x F ′′<=，()π120 2F ′=−+>， 所以()F x ′在()0,1上存在唯一的零点()21,1x x ∈，使得()20F x ′=， 且()F x 在()20,x 上单调递减，在()2,1x 上单调递增，又()()010F F ==，所以()0F x ≤，即()()f x H x ≤.【小问2详解】由（1）知()()2f x H x x λ−≤等价于()()2H x f x x λ−≤，且0λ≥，设()()()()22π1cos 12G x H x f x x x x λλ=−−=−+−+，[]0,1x ∈，则()0G x ≤， ()()ππ21sin 22G x x x λ′=−++， 令()()1G x G x ′=，则())21ππ21cos 42G x x λ′=−++， 令()()21G x G x ′=，则()32ππsin 082G x x′=−≤，所以1()G x ′在[]0,1上单调递减， 若2π18λ≥−，则()()()211π02104G x G λ′′≤=−++≤，所以()G x ′在[]0,1上单调递减，所以()()00G x G ′′≤=， 所以()G x 在[]0,1上单调递减，所以()(0)0G x G ≤=； 若2π018λ≤<−，则()21π(0)2104G λ′=−++>，而1(1)2(1)0G λ′=−+<，故存在()00,1x ∈，使10()0G x ′=，从而()00,x 上，1()0G x ′>，()G x ′单调递增，()()00G x G ′′>=， 在于是()G x 单调递增，()()00G x G >=不符合题意. 综上所述，λ的取值范围为2π1,8 −+∞. 【小问3详解】21111cos10.8992πππf H=≈=−+≈. 由（2）知，()()22π18f x H x x −≤−， 所以，误差22211π1111111ππ8π8π81040e f H =−≤−=−<−=. 【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决. 不等式证明或不等式恒成立问题常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.。
2023-2024学年广东省四校联考高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省四校联考高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合A ＝{x |lgx ≤0}，B ＝{x ||x ﹣1|≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．AB ．BC ．∁R AD ．∁R B2．已知向量a →=（﹣3，m ），b →=（1，﹣2），若b →∥（a →−b →），则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣4C ．0D ．63．若函数f （x ）={a x−3，x ≥4−ax +4，x ＜4（a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的单调函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(0，1)∪(1，54]B ．(1，54]C ．(0，45]D ．[45，1)4．若复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则z 的虚部为（ ） A ．−√2iB ．−√22C ．√22i D ．√225．数列{a n }满足a 1＝2019，且对∀n ∈N *，恒有a n+3=a n +2n ，则a 7＝（ ） A ．2021B ．2023C ．2035D ．20376．如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB ∥α，设α与SM 交于点N ，则SM SN的值为（ ）A ．43B ．32C ．23D ．347．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，且f （x ）为偶函数，f(π6)=−2，3f （x ）cos x +f '（x ）sin x ＞0，则不等式f(x +π2)cos 3x +12＞0的解集为（ ）A ．(−π3，+∞)B ．(−2π3，+∞) C ．(−2π3，π3) D ．(π3，+∞)8．已知函数f(x)=√3sin 2ωx 2+12sinωx −√32(ω＞0)，若f （x ）在(π2，3π2)上无零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，29]∪[89，+∞)B ．(0，29]∪[23，89]C ．(0，29]∪[89，1]D ．(29，89]∪[1，+∞)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省清远市四校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题
广东省清远市四校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题一、单选题1．已知复数34i z =-，则（ ）A ．z 的虚部为4i -B ．||34i z =+C ．34i z =+D ．z 在复平面内对应的点在第三象限2．下列命题正确的是（ ）A ．若,,a b c r r r 均为非零向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r rB ．若,a b r r 为相反向量，则0a b +=r rC ．,a b r r 为相等向量//a b ⇔r rD ．若,a b r r 均为单位向量，则a b a b +≤+r r r r3．边长为1的正方形O A B C ''''，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的面积是（ ）A ．2BC ．D 4．若向量,a b r r 满足||3,||5,1a a b a b =-=⋅=r r r r r ，则||b =r （ ）A B ．C ．D ．5．在ABC V 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（ ）A ．1BCD ．36．如图正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．BC ．D 7．如图，在ABC V 中，120,2,1BAC AB AC ∠=︒==，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．83-B ．83C ．38-D ．388．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠=︒点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100m BC =，则山高MN =（ ）A ．100mB ．150mC ．75mD ．二、多选题9．已知向量(2,1),(1,)a b t =-=-r r ，则下列说法正确的是（ ）A ．若a b ⊥r r ，则t 的值为2-B ．若//a b r r ，则t 的值为12C ．若0=t ，则b r 在a r 上的投影向量为2-D ．若()()a b a b +⊥-r r r r ，则||||a b a b +=-r r r r10．已知函数π()sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π()cos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，以下四种变换方式能得到函数()g x 的图象的是（ ）A ．将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得图象向左平移7π12个单位长度B ．将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得图象向左平移π4个单位长度C ．将函数()f x 的图象向左平移π2个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12D ．将函数()f x 的图象向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的1211．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，π0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．2A ω==B ．函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称 C ．函数()y f x =在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将函数2cos 2y x x =-的图象向左平移π2个单位得到函数()y f x =的图象三、填空题12．已知(1,2),(2,3),(1,1)A B C --，则⋅=u u u r u u u r AB AC .13．下图为2018年某市某天6时至14时的温度变化曲线，其近似满足函数sin()0,0,2y A x b A πωϕωϕπ⎛⎫=++>><< ⎪⎝⎭的半个周期的图象，则该天8时的温度大约为.14．球面上三点A 、B 、C 所确定的截面到球心O 的距离等于球半径的1213，且6AB =，8BC =，10AC =，则该球的表面积为.四、解答题15．（1）在复数范围内解关于x 的方程：2340x x ++=；（2）设i 是虚数单位，求复数1i 2ia +-为纯虚数的充要条件； （3）在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 分别对应复数2i,43i,35i +++，求点D 对应的复数.16．如图，正方形ABCD 的边长为6，E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 交于点M ．(1)求AF u u u r 与DE u u u r 所成角的余弦值；(2)设AM AF λ=u u u u r u u u r ，求λ的值．17．在ABC V 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=.(1)求B 的大小；(2)若点D 满足2BC BD =u u u r u u u r ，且AD =4a =时，求b 的值.18．已知函数()sin (0)f x x ωω=>.(1)当23ω=时，求函数()f x 的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离；(2)设2ω=，在ABC V 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2()s i n ,23f A Aa ==，求ABC V 面积的最大值.19．已知函数2π2π6()12cos 226x f x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围； (2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，记方程2()3g x =在40,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为1231,,,,,n n x x x x x -L ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++L 的值.。
广东省广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知向量，，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52（ ）A. B. C. D. 3. 如图，四边形中，，则必有（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ）A. 与互相平行；B. 与是异面直线；C. 与相交，其交点在直线上；D. 与相交，且交点在直线上．5.已知，，且与互相垂直，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. .(2,1)a =(2,4)b =- ||a b -= ()i 13i 1i-=+2i +2i -2i-+2i--ABCD AB DC =AD CB=DO OB=AC DB=OA OC=ABCD E H AB AD F G BC CD EH FG ∥EH FG ≠EF GH EF GH EF GH EF GH BD EF GH AC a = 1b = a b - 2a b + a b30︒45︒60︒90︒6. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.7. 函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 8. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式O O O 12π16π48π96π()()πsin 1002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭，，()π16g x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ,π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ππ2π,2π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π,24P ⎛⎫⎪⎝⎭122sin 2πx y x ω⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭0x ≥[]x x 05ω<<M y 4π3M x 1412s t h cm，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（ ）A B.C. 与时的相对于平衡位置的高度D. 与时的相对于平衡位置的高度之比为10. 下列说法正确的是（ ）A. 向量在向量上的投影向量可表示为B. 若，则与的夹角θ的范围是C. 若是等边三角形，则D 已知，，则11. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点，，，则下列说法正确的是（ ）A. 直三棱柱的体积为..()sin h A t ωϕ=+[)0,t ∞∈+0A >0ω>(]0,πϕ∈2s π4ϕ=πω=3.75s t =10s t =h 3.75s t =10s t =h 12ab a b b b b⋅⋅0a b ⋅< a bπ,π2⎛⎤⎥⎝⎦ABC V π,3AB BC <>=(1,2)A -(1,1)B ()2AB =-,1111ABC A B C -,E F 11,B B C C 11111224AA A B A C ===111π3A CB ∠=111ABC A B C -B. 直三棱柱外接球的表面积为；C. 若分别是棱的中点，则直线；D. 当取得最小值时，有三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分12. 在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则点之间的距离是______．13. 已知不共线的三个单位向量满足与的夹角为，则实数____________.14. 将函数且的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图形向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （1）将向量运算式化简最简形式．（2）已知，且复数，求实数的值．16. 如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H 是的中点，O 为底面中心，，求：（1）正六棱锥的高；（2）正六棱锥斜高；（3）正六棱锥的侧棱长.17. （1）在三角形中，内角所对的边分别是，其中，，求．（2）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行．热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的．其工作的基本原理是热胀冷缩，当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起，热气球可用于测量．如图，在离地为的111ABC A B C -64π3,E F 11,B B C C 1A F AE ∥1AE EF FA ++1A F EF=AB1i -AD 1i +,B D ,,a b c0,a b c a λ++=bπ3λ=()sin cos (,R f x a x b x a b =+∈0)b ≠π3ab =AB CB DC DE FA --++x ∈R ()222522i 0x x x x -++--=x BC 60SHO ∠=︒ABC ,,A B C ,,a b c 2c a =1sin sin sin 2b B a A a C -=cos B面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度．18. 如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．（1）求旋转体的表面积；（2）求旋转体的体积；（3）求图中所示圆锥的内切球体积．19. 如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点．（1）记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点）（2）若的面积为，求的面积的最小值．（3）试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由．800m M C 15︒A 45︒60BAC ∠=︒BC ABCD 90ABC ∠=︒AD BC ∥AD a =2BC a =60DCB ∠=︒ABCD C l CB ⊥l ABCD CO ABC V ,,D E F 0=t A B C ,,B C A 1t =,,B C A ,AB a AC b == G ABC ,a bBG ABC V S DEF V DEF V广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】-1【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）；（2）2.【16题答案】【答案】（1）6；（2）3）【17题答案】【答案】（1）；（2）【18题答案】【答案】（1）（2（3【19题答案】【答案】（1）（2）（3）的重心保持不变，理由略.FE341200m 2(9πa +3a 3πa 1233BG b a =-14S DEF V。
2023-2024学年广东省惠州中学高一(下)期中数学试卷(含答案)
2023-2024学年广东省惠州中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x|lnx >0}，则A ∩B =( )A. {1}B. {2}C. {−2,2}D. {−1,0,1}2.已知α，β是平行四边形的两个内角，则“α=β”是“sinα=sinβ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m//α，n ⊥β，则( )A. m//lB. m//nC. n ⊥lD. m ⊥n 4.如图，在△ABC 中，AN =12NC ，P 是BN 上的一点，若AP =(m +13)AB +19AC ，则实数m 的值为( )A. 19B. 29C. 23D. 135.若函数f(x)={x 2−2ax +1,x >1ax,x ≤1在其定义域内是一个单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1]B. (0,23]C. [0,1]D. [0,23]6.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为( )A. 6πB. 6 3πC. 9 3πD. 12π7.心理学家有时用函数L(t)=A(1−e −kt )测定在时间t(单位：min)内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min 内能够记忆20个单词，则k 的值约为( )(ln0.9≈−0.105,ln0.1≈−2.303)A. 0.021B. 0.221C. 0.461D. 0.6618.如图，O 是锐角三角形ABC 的外心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A =π3，若cosB sinCAB +cosCsinB AC =2m AO ，则m =( )A. 12 B. 22C. 32D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
广东省广州大学附属中学等三校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题答案
2023-2024学年下学期期中三校联考高一数学参考答案一、单选题1、B2、C3、C4、D5、A6、D7、A8、B二、多选题9、AD 10、BCD 11、ABD三、填空题12、()0,1− 13、325 14、22−四、解答题（注：利用公式A 12AOB A B B S x y x y =− 计算也可以）.11DA 1、EC 1为截面与各木块表面的交线. ………………2分理由如下：由于11////C A AC DE ，故11C D 、、、A E 四点共面，且平面11BCC B 平面11AC ED 1C E =，平面11ABB A 平面11AC ED 1A D =，平面ABC 平面11AC ED DE =，则DE 、DA 1、EC 1为截面与各木块表面的交线.………………4分（2）由于点O 为重心，DE //AC ，所以23DE AC =，又因为2AC =3A 1C 1，故11DE A C = 故几何体111A B C DEB −为棱柱，设棱台的高为h ，111C B A ∆的面积为S ，故111A B C DEB V S h −=⋅，………………7分由L K 、为1111B A C B 、的中点得11//KL C A ，又由于在正三棱台111C B A ABC −中DE //AC ，所以DE //KL ，L K E D 、、、四点共面.又因为2AC =3A 1C 1，点O 为重心，K C 2123313111111==⋅==C B C B BC CE ， 故四边形1CEMC 为平行四边形，故1//K CC E ，所以11//K A ACC E 平面，又11//A ACC DE 平面，所以11//A ACC DEKL 平面平面，所以当点KL M ∈时KL DE OM 平面⊆，于是11A C //AC OM 平面.………………14分（2）2()2cos 21sin 14sin sin F x x x x x λλ=−−=−−由于()0F x =时，sin 0x ≠，故由()0F x =可得14sin sin x xλ=−， 设sin x t =，1()4h t t t=−，()h t 在[)1,0−和(]0,1上递减，()()13,13h h −==− 因为[]sin 1,1t x =∈−， ………………8分 ①若3λ=，由14sin 3sin x x −=得sin 1x =−或1sin 4x =，则()F x 在(0,2)π内有且仅有3个零点，且在(0,)π内恰有2个零点，则要满足()x f 在()()*0,πN n n ∈内恰有2024个零点，则13491232022=+×=n ………………10分②若3λ=−，由14sin 3sin x x −=−得sin 1x =或1sin 4x =−，则()F x 在(0,2)π内有且仅有3个零点，且在(0,)π内恰有1个零点，，此时()F x 在(0,)n π内的零点个数为k 3或()N k k ∈+13个，不符题意； ……………12分③若33λ−<<，则()F x 在(0,2)π内有且仅有4个零点，则要满足()x f 在()()*0,πN n n ∈内 恰有2024个零点，则1012242024=×=n ， ……………14分 ④3λ>或3λ<−，则()F x 在(0,2)π内有且仅有2个零点，则要满足()x f 在()()*0,πN n n ∈内恰有2024个零点，则2024222024=×=n ． ……………16分 综上：当()3,3λ∈−时，1012n =；当3λ=时，1349n =；当()(),33,λ∈−∞−+∞ 时，2024n =. ……………17分。
2023-2024学年广东省东莞市四校联考高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省东莞市四校联考高一（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.)1．若集合A ＝{0，1，2}，则下列结论正确的是（ ） A ．{0}∈AB ．0∉AC ．{0，﹣1，1，2}⊆AD ．∅⊆A2．命题“∀x ∈[0，+∞），x 3+x ≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈（﹣∞，0），x 3+x ＜0 B ．∃x 0∈[0，+∞），x 03+x 0＜0 C ．∀x ∈（﹣∞，0），x 3+x ≥0D ．∃x 0∈[0，+∞），x 03+x 0≥03．已知x ∈R ，则“x ＜1”是“x 2＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．函数y =lg(2−x)1x+1的定义域为（ ） A ．（﹣1，2] B ．[﹣1，2） C ．（﹣1，2） D ．[﹣1，2）5．设函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，则f （9）的值为（ ）A ．﹣7B ．﹣1C ．0D ．126．设a ＝30.7，b =(13)−0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b7．下列可能是函数y =x 2−1e|x|的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，12]B ．（13，12]C ．[12，1）D ．（13，1）二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.） 9．以下结论正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立 B ．存在a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b ∈（0，+∞），则ba +a b ≥2D ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y ≥1010．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则下列不等式中错误的是（ ） A ．−1a＜−1bB ．c 2＜cdC ．a +c ＜b +dD ．a d＜bc11．函数f （x ）＝x +1，g （x ）＝（x +1）2，用M （x ）表示f （x ），g （x ）中的较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则下列说法正确的是（ ） A ．M （2）＝3 B ．∀x ≥1，M （x ）≥4 C ．M （x ）有最大值D ．M （x ）最小值为012．已知函数f （x ）是偶函数，f （x +1）是奇函数，当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，则下列选项正确的是（ ）A ．f （x ）在（﹣3，﹣2）上为减函数B ．f （x ）的最大值是1C ．f （x ）的图象关于直线x ＝﹣2对称D ．f （x ）在（﹣4，﹣3）上f （x ）＜0三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．不等式﹣x 2+2x +8＞0的解集是 ．14．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜﹣2或x ＞2}，N ＝{x |1＜x ＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是 ．15．已知奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则不等式f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0的解集为 ． 16．定义：函数f （x ）在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的差为f （x ）在区间[a ，b ]上的极差，记作d （a ，b）．①若f（x）＝x2﹣2x+2，则d（1，2）＝；②若f(x)=x+mx，且d（1，2）≠|f（2）﹣f（1）|，则实数m的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.）17．（10分）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）若m＝2，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．18．（12分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m+1为偶函数．（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)+1x，根据定义证明g（x）在区间（1，+∞）上单调递增．19．（12分）已知f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=log12(x+4)+m．（1）求m的值并求出f（x）在R上的解析式；（2）若f（a）＞1，求a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a2+6a+9）x+a+1．（1）若a＞0，且关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜n}，求1m +1n的最小值；（2）设关于x的不等式f（x）＜0在[0，1]上恒成立，求a的取值范围．21．（12分）某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？22．（12分）已知函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）＝﹣2．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值；（3）若f（x）＜m2﹣2am+2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．2023-2024学年广东省东莞市四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.)1．若集合A＝{0，1，2}，则下列结论正确的是（）A．{0}∈A B．0∉AC．{0，﹣1，1，2}⊆A D．∅⊆A解：{0}⊂A而不是{0}∈A，故A不正确；由0∈A，可知B不正确；集合{0，﹣1，1，2}中含有元素﹣1，它不在A中，故{0，﹣1，1，2}⊈A，C不正确；空集是任何集合的子集，故∅⊆A，D正确．故选：D．2．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0B．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0C．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0解：命题为全称命题，则命题的否定是：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0，故选：B．3．已知x∈R，则“x＜1”是“x2＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解：x2＜1，解得﹣1＜x＜1．∴“x＜1”是“x2＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．函数y=lg(2−x)1√x+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）解：由{2−x＞0x+1＞0，解得﹣1＜x＜2．∴函数y=lg(2−x)+1x+1的定义域为（﹣1，2）．故选：C．5．设函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，则f （9）的值为（ ）A ．﹣7B ．﹣1C ．0D ．12解：∵函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，∴f （9）＝f （0）＝02﹣20＝﹣1．故选：B ．6．设a ＝30.7，b =(13)−0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解：∵b =(13)−0.8=30.8＞30.7＞30＝1， ∴b ＞a ＞1，∵log 0.70.8＜log 0.70.7＝1，∴c ＜1， ∴c ＜a ＜b ． 故选：D ． 7．下列可能是函数y =x 2−1e |x|的图象的是（ ） A ． B ．C ．D ．解：函数定义域为R ，排除选项AB ，当x ＞1时，y ＞0，排除选项D ， 故选：C ． 8．已知函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（0，12]B ．（13，12]C ．[12，1）D ．（13，1）解：因为函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则函数f （x ）在R 上是单调递减函数，则一定有{1−3a ＜00＜a ＜1(1−3a)×2+a +1≥2a 2，解得{a ＞130＜a ＜1−3≤a ≤12，即13＜a ≤12，所以实数a 的范围为（13，12]， 故选：B ．二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.） 9．以下结论正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立 B ．存在a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b ∈（0，+∞），则ba +a b ≥2D ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y ≥10解：不等式a +b ≥2√ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0，故A 不正确； 当a 为负数时，不等式a +1a ≤2成立，故B 正确； 若a ，b ∈（0，+∞），则ba+a b ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立，C 正确；由于2x+1y=(2x+1y)(x +2y)=4+4y x+x y≥4+2√4y x⋅x y=8，当且仅当4y x=xy，即x =12，y =14时取等号，故D 不正确． 故选：BC ．10．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则下列不等式中错误的是（ ）A ．−1a ＜−1bB ．c 2＜cdC ．a +c ＜b +dD ．a d＜bc解：在a ＞b 两边同除以负数﹣ab 得−1b＜−1a，即−1a＞−1b，与A 项矛盾． 由c ＜d ＜0，c 2﹣cd ＝c （c ﹣d ）＞0，得c 2＞cd ，与B 项矛盾． 由a +c ﹣（b +d ）＝（a ﹣b ）+（c ﹣d ），a ﹣b ＞0，c ﹣d ＜0， 故（a ﹣b ）+（c ﹣d ）不一定小于0，故C 不正确．由c ＜d ＜0得﹣c ＞﹣d ＞0，又a ＞b ＞0，两式相乘得﹣ac ＞﹣bd ， 两边同除以负数﹣cd ，可得ad＜bc ，故D 正确．故选：ABC ．11．函数f （x ）＝x +1，g （x ）＝（x +1）2，用M （x ）表示f （x ），g （x ）中的较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则下列说法正确的是（ ） A ．M （2）＝3 B ．∀x ≥1，M （x ）≥4 C ．M （x ）有最大值D ．M （x ）最小值为0解：令g （x ）＞f （x ），即（x +1）2＞（x +1），解得x ＜﹣1或x ＞0， 所以可知M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}={(x +1)2，x ＜−1或x ＞0x +1，−1≤x ≤0，作出M （x ）的图象，如图所示：所以M （2）＝（2+1）2＝9，故A 错误；当∀x ≥1时，M （x ）＝（x +1）2≥（1+1）2＝4，故B 正确；由M （x ）＝（x +1）2（x ＜﹣1或x ＞0）可知，函数无最大值，故C 错误； 当x ＜﹣1或x ＞0时，M （x ）＞0，当﹣1≤x ≤0时，1≥M （x ）≥0， 所以M （x ）最小值为0，故D 正确． 故选：BD ．12．已知函数f （x ）是偶函数，f （x +1）是奇函数，当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，则下列选项正确的是（ ）A ．f （x ）在（﹣3，﹣2）上为减函数B ．f （x ）的最大值是1C ．f （x ）的图象关于直线x ＝﹣2对称D ．f （x ）在（﹣4，﹣3）上f （x ）＜0解：当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，且f （x ）在[2，3]递减，由偶函数的图象关于y 轴对称，可得f （x ）在（﹣3，﹣2）单调递增，选项A 错误； 函数f （x ）是偶函数，可得f （﹣x ）＝f （x ），f（x+1）是奇函数，可得f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），所以f（﹣x）＝﹣f（x+2），即f（x）＝﹣f（x+2），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，由f（﹣4+x）＝f（x），可得f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，选项C正确；当x∈[2，3]时，f（x）＝1﹣|x﹣2|＝3﹣x，由f（x）为偶函数．可得x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝x+3，x∈[1，2]时，x﹣4∈（﹣3，﹣2），则f（x﹣4）＝x﹣1，所以x∈[1，2]时，f（x）＝x﹣1；由于f（x）的图象关于（1，0），可得f（1）＝0，f（0）＝﹣f（2）＝﹣1，所以x∈[0，1）时，f（x）＝x﹣1；由f（x）的图象关于y轴对称，可得x∈[﹣1，0）时，f（x）＝﹣x﹣1．则f（x）在一个周期内的最小值为﹣1，最大值为1，选项B正确；所以当x∈（﹣4，﹣3）时，f（x）＝f（x+4）＝x+3∈（﹣1，0），选项D正确．故选：BCD．三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．不等式﹣x2+2x+8＞0的解集是{x|﹣2＜x＜4}解：不等式﹣x2+2x+8＞0等价于x2﹣2x﹣8＜0由于方程x2﹣2x﹣8＝0的解为：x＝﹣2或x＝4所以﹣2＜x＜4故答案为：{x|﹣2＜x＜4}14．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是{x|1＜x≤2}．解：由韦恩图可知，图中阴影部分所表示的集合是N∩（∁U M），因为M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|1＜x＜3}，所以∁U M＝{x|﹣2≤x≤2}，则N∩（∁U M）＝{x|1＜x≤2}．故答案为：{x|1＜x≤2}．15．已知奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则不等式f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0的解集为 （0，12） ．解：根据题意，奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0，则f （1﹣x ）＜﹣f （1﹣3x ），变形可得f （1﹣x ）＜f （3x ﹣1）． 又函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，所以{−1＜1−x ＜1−1＜3x −1＜11−x ＞3x −1，解得0＜x ＜12，故所求不等式的解集为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．定义：函数f （x ）在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的差为f （x ）在区间[a ，b ]上的极差，记作d （a ，b ）．①若f （x ）＝x 2﹣2x +2，则d （1，2）＝ 1 ；②若f(x)=x +mx ，且d （1，2）≠|f （2）﹣f （1）|，则实数m 的取值范围是 （1，4） ． 解：①f （x ）＝x 2﹣2x +2的对称轴为x ＝1， 可得f （x ）在[1，2]递增， 可得f （x ）的最大值为f （2）＝2， 最小值为f （1）＝1， 可得d （1，2）＝2﹣1＝1； ②若f(x)=x +mx ，且d （1，2）≠|f （2）﹣f （1）|， 可得f （x ）不为单调函数，若m ＝0时，f （x ）为[1，2]的递增函数， 若m ＜0时，f （x ）为[1，2]的递增函数， 若m ＞0时，由于f （x ）在x =√m 处取得极值， 则1＜√m ＜2，可得1＜m ＜4， 即m 的范围是（1，4）． 故答案为：1，（1，4）．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.）17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}．（1）若m ＝2，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）由题意A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，∵m ＝2，∴B ＝{x |1＜x ＜5}，可得A ∪B ＝{x |﹣3＜x ＜5}；（2）∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴当B ＝∅，即m ﹣1≥2m +1，即m ≤﹣2时满足题意；当B ≠∅，即m ＞﹣2时，{m −1≥−32m +1≤2，即−2＜m ≤12． 综上，实数m 的取值范围为{m|m ≤12}=（﹣∞，12]． 18．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣3m +3）x m +1为偶函数．（1）求幂函数f （x ）的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)+1x，根据定义证明g （x ）在区间（1，+∞）上单调递增． 解：（1）由已知可得m 2﹣3m +3＝1，解得m ＝1或2，又函数为偶函数，则m ＝1，则f （x ）＝x 2；（2）g （x ）=f(x)+1x =x +1x， 证明：设任意1＜x 1＜x 2，则g （x 1）﹣g （x 2）=x 1+1x 1−x 2−1x 2=（x 1﹣x 2）（1−1x 1x 2）， 因为1＜x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1x 2＞1，所以1−1x 1x 2＞0， 则g （x 1）﹣g （x 2）＜0，即g （x 1）＜g （x 2），所以函数g （x ）在（1，+∞）上单调递增．19．（12分）已知f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=log 12(x +4)+m ．（1）求m 的值并求出f （x ）在R 上的解析式；（2）若f （a ）＞1，求a 的取值范围．解：（1）由题可知f （0）＝﹣2+m ＝0，即m ＝2，即有当x ≥0时，f （x ）＝lo g 12（x +4）+2，经检验符合题意，则x ≥0时，f （x ）＝lo g 12（x +4）+2，当x ＜0时，则﹣x ＞0，f （﹣x ）＝lo g 12（﹣x +4）+2，又f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣lo g 12（﹣x +4）﹣2，x ＜0，故f （x ）在R 上的解析式为f （x ）={log 12(x +4)+2，x ≥0−log 12(−x +4)−2，x ＜0． （2）由函数性质可知f （x ）在[0，+∞）上单调递减，则f （x ）在R 上单调递减，又因为f(−4)=−log 128−2=1，所以f （a ）＞1，即f （a ）＞f （﹣4），所以当a ＜﹣4时，f （a ）＞1，即a 的取值范围为（﹣∞，﹣4）．20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣（a 2+6a +9）x +a +1．（1）若a ＞0，且关于x 的不等式f （x ）＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，求1m +1n 的最小值； （2）设关于x 的不等式f （x ）＜0在[0，1]上恒成立，求a 的取值范围．解：（1）因为a ＞0，且关于x 的不等式f （x ）＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，所以x ＝m 和x ＝n 是方程x 2﹣（a 2+6a +9）x +a +1＝0的两根，所以m +n ＝a 2+6a +9，mn ＝a +1．所以1m +1n =m+n mn =a 2+6a+9a+1=(a+1)2+4(a+1)+4a+1=(a +1)+4a+1+4≥4+4=8，当且仅当a ＝1时等号成立，所以1m +1n 的最小值为8． （2）因为关于x 的不等式f （x ）＜0在[0，1]上恒成立，所以{f(0)＜0f(1)＜0，所以{a +1＜01−(a 2+6a +9)+a +1＜0，解得a ＜﹣1， 所以a 的取值范围为（﹣∞，﹣1）．21．（12分）某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x 元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？解：（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为y x=x 2+3200x +40，x ∈[70，100]， 又x 2+3200x+40≥2√x 2⋅3200x +40=120， 当且仅当x 2=3200x ，即x ＝80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，因为120＞110，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；（2）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为y 1，则y 1=110x −(12x 2+40x +3200)+2300=−12x 2+70x −900=−12(x −70)2+1550，因为x ∈[70，100]，所以当x ＝70吨时，企业获得最大利润，为1550元；若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为y 2，则y 2=110x +30x −(12x 2+40x +3200)=−12x 2+100x −3200=−12(x −100)2+1800，因为x ∈[70，100]，所以当x ＝100吨时，企业获得最大利润，为1800元；综上：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润1550元；选择方案二，当日加工处理量为100吨时，可以获得最大利润1800元；所以为了获得最大利润，应选择方案二进行补贴．22．（12分）已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，恒有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），当x ＞0时，f （x ）＜0，且f （1）＝﹣2．（1）判断f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值；（3）若f （x ）＜m 2﹣2am +2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：由题意函数f （x ）对任意实数x ，y ，恒有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），令y ＝x ＝0，可得f （0）＝0，领y ﹣x ，可得f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ），则f （x ）是奇函数．（2）由f （x ）＝f [（x ﹣y ）+y ]＝f （x ﹣y ）+f （y ），∴f （x ）﹣f （y ）＝f （x ﹣y ），设x ＞y ，那么x ﹣y ＞0，∵当x ＞0时，f （x ）＜0，∴f （x ﹣y ）＜0，即f （x ）﹣f （y ）＜0，∴f （x ）＜f （y ），可得f （x ）是单调递减函数；可得f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值为f （﹣3）；∵f （1）＝﹣2，∴f （﹣1）＝2，那么f （﹣3）＝f （﹣2﹣1）＝f （﹣2）+f （﹣1）＝3f （﹣1）＝6，故得f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值为f （﹣3）＝6；（3）根据（2）可得f （x ）在区间[﹣1，1]上的最大值为f （﹣1）＝2；那么f （x ）＜m 2﹣2am +2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，即m 2﹣2am +2＞2 可得m 2﹣2am ＞0，在a ∈[﹣1，1]恒成立，令g （a ）＝﹣2am +m 2＞0，在a ∈[﹣1，1]恒成立，可得{g(−1)＞0g(1)＞0，解得m ＞2或m ＜﹣2， 故得实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．。
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广东省广州市四校联考2018-2019学年高一下学期期中数学试卷最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）
A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）
2．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（）
A．B．C．D．
3．在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．正三角形
4．tan70°+tan50°﹣的值等于（）
A．B．C．D．
5．为了得到函数y=2sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=2sin2x的图象（）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
6．已知点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π]内α的取值范围是（）A．（，）∪（π，）B．（，）∪（π，）
C．（，）∪（，）D．（，）∪（，π）
7．函数f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（x）=（）
A．sin（2x﹣） B．sin（2x﹣） C．sin（4x+）D．sin（4x+）8．设a=2sin13°cos13°，b=，c=则有（）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
9．f（x）=的值域为（）
A．（﹣﹣1，﹣1）∪（﹣1，﹣1）B．[，﹣1）∪（﹣1，] C．（，）D．[，]
10．如图所示，P、Q为△ABC内的两点，且=+，=﹣，则△ABP 的面积与△ABQ的面积之比为（）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
11．已知向量||=5，||=3，与的夹角为150°，则?=．
12．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合终边在直线3x﹣y=0上，则=．
13．如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若?=0，则?=
14．已知函数f（x）=|cosx|?sinx，给出下列四个说法：
①f（x）为奇函数；②f（x）的一条对称轴为x=；
③f（x）的最小正周期为π；④f（x）在区间[﹣，]上单调递增；
⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．
其中正确说法的序号是．
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）
（1）若||=2，且∥，求的坐标；
（2）若||=，且+2与﹣垂直，求与的夹角θ．
16．已知α为第三象限角，且f（α）=．
（1）化简f（α）；
（2）若α=﹣π，求f（α）的值．
（3）若f（α）=﹣，求cos（π+α）的值．
17．已知α，β均为锐角，且，．
（1）求sin（α﹣β）的值；
（2）求cosβ的值．
18．已知函数f（x）=（a+2cos 2
x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈
（0，π）．
（1）求a，θ的值；
（2）令g（x）=f（x）+f（x+），x∈[0，]，求g（x）的最值并求出相应的x的值．19．已知向量=（cos x，sin x），=（cos，sin），且x∈[0，]．
（1）求?及|+|；
（2）若f（x）=?﹣2λ|+|的最小值为﹣，求实数λ的值．
20．已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．
（1）若，试用表示；
（2）证明：；
（3）若△ABC的∠A=60°，∠B=45°，外接圆的半径为R，用R表示．
广东省广州市四校联考2014-2015学年高一下学期期中
数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
1．已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）
A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）
考点：平面向量的坐标运算．
专题：平面向量及应用．
分析：直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．
解答：解：由=（2，4），=（﹣1，1），得：
2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）．
故选：A．
点评：本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．
2．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（）
A．B．C．D．
考点：弧长公式．
专题：计算题；直线与圆．
分析：设圆内接正方形的边长为a，求出圆的半径r，再计算圆弧所对的圆心角．
解答：解：设圆内接正方形的边长为a，则该圆的直径为a，
∴弧长等于a的圆弧所对的圆心角为
α===．
故选：D．
点评：本题考查了圆弧所对的圆心角的计算问题，是基础题目．
3．在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．正三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题；解三角形．
分析：三角形的内角和为π，利用诱导公式可知sinC=sin（A+B），与已知联立，利用两
角和与差的正弦即可判断△ABC的形状．
解答：解：∵在△ABC中，sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B），
∴sinC=2sinAcosB?sin（A+B）=2sinAcosB，
即sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，
∴sin（A﹣B）=0，
∴A=B．
∴△ABC一定是等腰三角形．
故选：C．
点评：本题考查三角形的形状判断，考查两角和与差的正弦，利用sinC=sin（A+B）是关键，属于中档题．
4．tan70°+tan50°﹣的值等于（）。