22 响应曲面法
22 响应曲面法
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关于这个模块…
响应曲面法用于拟合非线性模型以识别流程因子 (KPIV)设定， 从而产生最佳的响应变量(KPOV)，假设至少有两个显著因子。
六西格玛，一种对流程完美， 实现目标和减少变异的追求
\DataFile\RSMex3-3.mtw \DataFile\RSMex6-8.mtw \DataFile\RSM5-8.mtw \DataFile\Mx7-4.mtw \DataFile\Mx7-4a.mtw \DataFile\Mx7-5.mtw \DataFile\Mx7-6.mtw
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1
我们将学到
1. DOE 回顾 2. 响应曲面分析 – 如何开发一个代数和图表的响应变量表达式，例如有 两个显著因子的函数。 – 如何收集数据绘制等值线图及发现最速上升的路径。 3. 拟合响应曲面的实验设计。
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响应曲面策略
选择 KPOV (最高产量的点) 和相关联的肯定的 KPIVs (至少两个显著因子)。这些KPIV在实验之 前就应该肯定对KPOV有显著影响。 设计有中心点的 DOE。
实施 DOE 并评估结果。持续朝着最佳KPOV的 方向前进直到出现限制或数据显示已经达到最佳 值。
执行 DOE，使用响 应曲面设计对结果 数据绘图。
重新设定KPIV以使DOE沿着达到最佳KPOV的方 向移动。
下一个 DOE中的KPIV值应该与之前实验使用的 值有重叠。.
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确定达到最佳KPOV 的最速方向。
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2
DOE 回顾
?
上一周，我们学习到： – 中心点允许我们调查曲率 – 如何绘制成对因子的响应曲面
?
这一周，我们将： – 回顾中心点技术 – 研究响应曲面分析 – 学习拟合响应曲面的特定实验设计
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中心点复习
在使用两水平因子设计中一个潜在的关键是假设因子的影响是线性的。 通常，直到我们需要优化一个流程，这个问题一般都不关心。(在最速上 升的路上我们正在接近顶点。) 中心点提供：
? ?
曲率检验 误差的独立估计
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3
反应时间和温度 (RTT) 案例
某化学家正在研究一个流程的产量。有两个关注的变量： 1. 反应时间 2. 反应温度 因为她不确定在探测范围的线性假设，该工程师决定实施一个22 设 计(每个因子运行有单一的复制)，并有五个中心点。 实验和产量数 据，见：
\DataFile\RTT.mtw
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RTT 分析数据
使用 Minitab 分析数据
? ? ? ? ?
ANOG 图表分析 统计分析 模型适合性 实际显著性
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4
RTT ANOG
Data>Sort
高的反应时间产生最高的产量。 温度可能不会产生太大差异。
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激活因子设计工具栏
右击工具栏，选择因子设计工具栏。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 创建因子设计 自定义因子设计 预处理响应以分析变异性 分析因子设计 分析变异性 因子图 等值线/曲面图 重叠等值线图 响应优化器 修改设计 显示设计
鼠标盘旋在任一图标上将显示 它的功能。
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RTT 图表分析
Interaction Plot (data means) for Yield
41.5
Temperature -1 0 1 Point Ty pe C orner C enter C orner
Main Effects Plot (data means) for Yield
41.25 41.00 40.75 40.50 40.25 40.00 39.75 Temperature Reactime
Point Type C orner C enter
41.0
Mean
40.5
40.0
39.5
39.0 -1 Worksheet: RSMEX3-3.MTW 0 Reactime 1
Mean of Yield
39.50 -1 0 1 -1 0 1 Worksheet: RSMEX3-3.MTW
因子图显示没有显著的曲率或交互作用。
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分析设计
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RTT 统计分析
Estimated Effects and Coefficients for Yield (coded units)
Term Constant Temperature Reactime Temperature*Reactime Ct Pt S = 0.207364
Effect
Coef 40.4250
SE Coef 0.1037 0.1037 0.1037 0.1037 0.1391
T 389.89 3.13 7.47 -0.24 0.25
P 0.000 0.035 0.002 0.821 0.814
温度和响应时间 都是显著的!
0.6500 1.5500 -0.0500
0.3250 0.7750 -0.0250 0.0350
R-Sq = 94.27%
R-Sq(adj) = 88.54%
Analysis of Variance for Yield (coded units) Source Main Effects 2-Way Interactions Curvature Residual Error Pure Error Total DF 2 1 1 4 4 8 Seq SS 2.82500 0.00250 0.00272 0.17200 0.17200 3.00222 Adj SS 2.82500 0.00250 0.00272 0.17200 0.17200 Adj MS 1.41250 0.00250 0.00272 0.04300 0.04300 F 32.85 0.06 0.06 P 0.003 0.821 0.814
曲率不显著 ！
简化模型
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简化模型
Yield = 40.444 + .3250T + .7750R
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简化模型
Factorial Fit: Yield versus Temperature, Reactime
Estimated Effects and Coefficients for Yield (coded units)
Term Constant Temperature Reactime
Effect
Coef 40.4444
SE Coef 0.05729 0.08593 0.08593
T 705.99 3.78 9.02
P 0.000 0.009 0.000
0.6500 1.5500
0.3250 0.7750
S = 0.171863
R-Sq = 94.10%
R-Sq(adj) = 92.13%
Yield = 40.444 + .3250T + .7750R
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残差图
Residual Plots for Yield
Normal Probability Plot
99 90 P er cent 50 10 1 -0.4 -0.2 0.0 Residual 0.2 0.4
N AD P-Value 9 0.204
Residuals Versus the Fitted Values
0.2 Residual
0.817
0.0
-0.2 39.5 40.0 40.5 Fitted V alue 41.0 41.5
Histogram of the Residuals
4.5 0.2 Fr equency Residual 3.0
Residuals Versus the Order of the Data
0.0
1.5
-0.2 0.0 -0.2 -0.1 0.0 0.1 Residual 0.2 0.3 1 2 3 4 5 6 7 O bser vation O r der 8 9
Worksheet: RTT.MTW
没有理由拒绝模型！
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RTT 中心点: 曲面图
Graph>3D Surface Plot
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RTT 3D 曲面图
Surface Plot of Yield vs Temperature, Reactime
41 Y ield 40 1 39 -1 1 0 Reactime 1 -1 0 T emper atur e
Worksheet: RSMEX3-3.MTW
曲面图显示为一个平面。 如果有曲率又会显示什么呢？
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RTT-2
在 RTT-2.MTW 中的实验已经分析，该实验是一个有中心点的因子实 验，数据显示如下：
Factorial Fit: Yield versus Temperature, Reactime Estimated Effects and Coefficients for Yield (coded units)
Term Constant Temperature Reactime Temperature*Reactime Ct Pt S = 0.0836660
Effect
Coef 40.4250
SE Coef 0.04183 0.04183 0.04183 0.04183 0.05612
T 966.34 7.77 18.53 -0.60 29.49
P 0.000 0.001 0.000 0.582 0.000
0.6500 1.5500 -0.0500
0.3250 0.7750 -0.0250 1.6550
R-Sq = 99.69%
R-Sq(adj) = 99.37%
实验需要被重新定义，并作为响应曲面设计来分析。
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重新定义设计
Stat>DOE>Response Surface Design>Define Custom Response Surface Design
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重新定义设计(续)
现在我们可以把它作为响应曲面设计来分析。
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有曲率的实验
File = RTT-2.mtw Stat>DoE>Response Surface
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RTT-2 分析 (续)
与之前相同的分析，除了包 含了二次项。
Analysis of Variance for Yield
显示曲率
Source Regression Linear Square Interaction Residual Error Pure Error Total DF 4 2 1 1 4 4 8 Seq SS 8.91422 2.82500 6.08672 0.00250 0.02800 0.02800 8.94222 Adj SS 8.91422 2.82500 6.08672 0.00250 0.02800 0.02800 Adj MS 2.22856 1.41250 6.08672 0.00250 0.00700 0.00700 F 318.37 201.79 869.53 0.36 P 0.000 0.000 0.000 0.582
二次项
误差小！
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RTT-2 模型简化
Remove the interaction and repeat the analysis.
Term Constant Temperature Reactime Temperature*Temperature S = 0.07810 Coef 42.0800 0.3250 0.7750 -1.6550 SE Coef 0.03493 0.03905 0.03905 0.05239 T 1204.747 8.322 19.846 -31.588 P 0.000 0.000 0.000 0.000
R-Sq = 99.7%
R-Sq(adj) = 99.5%
Analysis of Variance for Yield Source Regression Linear Square Residual Error Lack-of-Fit Pure Error Total DF 3 2 1 5 1 4 8 Seq SS 8.91172 2.82500 6.08672 0.03050 0.00250 0.02800 8.94222 Adj SS 8.91172 2.82500 6.08672 0.03050 0.00250 0.02800 Adj MS 2.97057 1.41250 6.08672 0.00610 0.00250 0.00700 0.36 0.582 F 486.98 231.56 997.82 P 0.000 0.000 0.000
模型很好，检查残差
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RTT-2 分析残差
Stat>Response Surface>Analyze Response Surface Design> Graphs
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RTT-2 残差分析
Residual Plots for Yield
Normal Probability Plot
99 90 P er cent 50 10 1 -0.1 0.0 Residual 0.1
N AD P-Value 9 0.450
Residuals Versus the Fitted Values
0.10 Residual 0.05 0.00 -0.05 39 40 41 Fitted V alue 42
0.209
Histogram of the Residuals
4.5 0.10 Fr equency Residual 3.0 0.05 0.00 -0.05 0.0 -0.10 -0.05 0.00 Residual 0.05 0.10
Residuals Versus the Order of the Data
1.5
1
2
3
4 5 6 7 O bser vation O r der
8
9
Worksheet: RTT-2.MTW
没有理由拒绝模型。现在让我们看看其他的图。
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设定等值线图
Stat>DoE>Response Surface>Contour/Surface Plots 与设定曲面图类似。
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等值线图
Contour Plot of Yield vs Reactime, Temperature
1.0
Yield < > 39.60 39.93 40.26 40.59 40.92 41.25 41.58 41.91 42.24 42.57 42.57
0.5 Reactime
0.0
39.60 39.93 40.26 40.59 40.92 41.25 41.58 41.91 42.24
-0.5
-1.0 -1.0 Worksheet: RTT-2.MTW
-0.5
0.0 Temperature
0.5
1.0
最高的产量出现在温度的中心点，并似乎延伸到更高的反应时间。
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RTT-2 曲面图
Surface Plot of Yield vs Reactime, Temperature
43 42 Y ield 41 40 0 0 T emper atur e 1 -1
1 -1 1 Reactime
Worksheet: RTT-2.MTW
类似的图表，显示高产量在出现温度的中心点，并随着反应时间的升 高而增高。
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新的工具栏
这个工具栏允许图片在三个方向旋转，并有不同颜色的光亮可用于展示 曲线图的形态。 点击一个箭头按指示旋转或加亮图片。按住鼠标按键可以加速旋转。 “房子”按键 (右边) 可以使曲线图和/或光亮回到它们最初的位置。 这些工具对于有更多特征的曲面更为有用。
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优化器
优化器同样可以用于响应曲面设计。 假设我们想要得到42.8的产量。 Stat>DoE>Response Surface>Response Optimizer
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设定响应优化器
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响应优化器
输出告诉我们要想达到想要的目标，我们必须设定温度为0，反应时间 为0.929 (代码值)以获得42.8的产量。
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拟合二阶模型
? ? ? ?
最小化设计要求和RSM哲学。 首先进行变量筛选 (筛选设计) 是RSM的必须部分。 在某些点，黑带关注于将设计变量拟合到一个二阶响应曲面。 这必须有至少 1+2k+k(k-1)/2 设计点及每个设计变量至少3个水平。 k = 变量的数量。
在二阶模型中，正交不重要。 个体系数的评估，虽然还是重要的，但是对于尺度预测方差是次要的。
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中心复合设计 (CCD)
? ? ?
非常常见的一种二阶设计。 Box 和 Wilson 于1951年引入。 该设计包含F个因子点，2k 个轴向点和nc 次中心运行。 – 分辨度 V 部分实验为线性项和两因子交互作用的估计作出主要贡献。
? 方差对于这些项最优。
– 轴向点为二次项的估计作出了很大的贡献。
? 没有轴向点，只有二次项的和可以被估计。 ? 轴向点不能为交互作用项的估计作出贡献。
– 中心点提供了误差(纯误差)的内部估计，并为二次项的估计作出贡献。
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中心复合设计
中心复合设计通常在设计计划需要序贯实验时被推荐，因为这些实验 能合并来自正确计划的因子实验的信息。 因子实验或 “立方体” 部分和中心点可能用于初期阶段以拟合一阶模型 。但是也提供了关于二阶贡献或曲率的重要性的证据。
立方体 轴
复合
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Minitab Help
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18
A CCD
File = CCE_Exl.MTW Stat>DOE>Response Surface>Analyze Response Surface Design 在第一次模型中分析包含所有项的设计。
Term Constant Nitrogen PhosAcid Potash Nitrogen*Nitrogen PhosAcid*PhosAcid Potash*Potash Nitrogen*PhosAcid Nitrogen*Potash PhosAcid*Potash Coef 10.4623 -0.5738 0.1834 0.4555 -0.6764 0.5628 -0.2734 -0.6775 1.1825 0.2325 SE Coef 0.4062 0.2695 0.2695 0.2695 0.2624 0.2624 0.2624 0.3521 0.3521 0.3521 T 25.756 -2.129 0.680 1.690 -2.578 2.145 -1.042 -1.924 3.358 0.660 P 0.000 0.059 0.512 0.122 0.027 0.058 0.322 0.083 0.007 0.524
按通常的方式简化 模型。
S = 0.9960
R-Sq = 78.6%
R-Sq(adj) = 59.4%
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简化后的模型
也选择显示残差图。
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简化后的模型
Estimated Regression Coefficients for BeanYield
Term Constant Nitrogen PhosAcid Potash Nitrogen*Nitrogen PhosAcid*PhosAcid Nitrogen*PhosAcid Nitrogen*Potash
Coef 10.2386 -0.5738 0.1834 0.4555 -0.6493 0.5899 -0.6775 1.1825
SE Coef 0.3379 0.2641 0.2641 0.2641 0.2558 0.2558 0.3450 0.3450
T 30.303 -2.173 0.694 1.725 -2.538 2.306 -1.964 3.427
P 0.000 0.051 0.501 0.110 0.026 0.040 0.073 0.005
二次项是显 著的！
S = 0.9759
R-Sq = 75.4%
R-Sq(adj) = 61.0%
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曲面图
Surface Plots of BeanYield
Hold Values Nitrogen 3.62 PhosA cid 1.78 Potash 2.42
14 BeanYield 12 10 8 2 4 Nitrogen 6 1 2 3 P PhosAcid BeanYield
12.5 10.0 7.5 5.0 2 4 Nitrogen 6 1.5 3.0 4.5 Potash
13 BeanYield 12 11 10 1 2 PhosAcid 3 1.5 3.0 0 4.5 Potash
让我们将potash设定在高值， 然后看nitrogen/phosphoric acid 图。
Worksheet: Ccd_ex1.MTW
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响应面法实验
试验设计与优化方法，都未能给出直观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但难以直观地判别优化区域．为此响应面分析法（也称响应曲面法）应运而生．响应面分析也是一种最优化方法，它是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多个因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图形技术将这种函数关系显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化条件． 显然，要构造这样的响应面并进行分析以确定最优条件或寻找最优区域，首先必须通过大量的量测试验数据建立一个合适的数学模型（建模），然后再用此数学模型作图． 建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法．对于非线性体系可作适当处理化为线性形式．设有m个因素影响指标取值，通过次量测试验，得到n组试验数据．假设指标与因素之间的关系可用线性模型表示，则有应用均匀设计一节中的方法将上式写成矩阵式或简记为式中表示第次试验中第个因素的水平值；为建立模型时待估计的第个参数；为第次试验的量测响应（指标）值；为第次量测时的误差．应用最小二乘法即可求出模型参数矩阵B如下将B阵代入原假设的回归方程，就可得到响应关于各因素水平的数学模型，进而可以图形方式绘出响应与因素的关系图． 模型中如果只有一个因素（或自变量），响应（曲）面是二维空间中的一条曲线；当有二个因素时，响应面是三维空间中的曲面．下面简要讨论二因素响应面分析的大致过程． 在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以上间的交互作用，有理由设二因素响应（曲）面的数学模型为二次多项式模型，可表示如下：通过n次量测试验（试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它的3倍），以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；求出模型后，以两因素水平为X坐标和y坐标，以相应的由上式计算的响应为Z坐标作出三维空间的曲面（这就是2因素响应曲面）．应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即，计算值与试验值之间的差异不一定符合要求．因此，求出系数的最小二乘估计后，应进行检验．一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是否接近于1或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别．如果以表示响应试验值，为计算值，则两者的相关系数R定义为其中对于二因素以上的试验，要在三维以上的抽象空间才能表示，一般先进行主成分分析进行降维后，再在三维或二维空间中加以描述．等等………… 2注意事项 对于构造高阶响应面，主要有以下两个问题： 1，抽样数量将显著增加，此外，普通的实验设计也将更糟。 2，高阶响应面容易产生振动。 响应面法(response surface methodology，记为RSM)最早是由数学家Box和Wilson于1951年提出来的。就是通过一系列确定性的“试验”拟合一个响应面来模拟真实极限状态曲面。其基本思想是假设一个包括一些未知参量的极限状态函数与基本变量之间的解析表达式代替实际的不能明确表达的结构极限状态函数。响应面方法是一项统计学的综合试验技术，用于处理几个变量对一个体系或结构的作用问题，也就是体系或结构的输入(变量值)与输出(响应)的转换关系问题。现用两个变量来说明:结构响应Z与变量x1,x2具有未知的、不能明确表达的函数关系Z=g(x1,x2)。要得到“真实”的函数通常需要大量的模拟，而响应面法则是用有限的试验来回归拟合一个关系Z= g’(x1,x2)，并以此来代替真实曲面Z=g(x1,x2)，将功能函数表示成基本随机变量的显示函数，应用于可靠度分析中。响应面方法实际上源于一种试验设计方法，试验设计方法是用来研究设计参数对模型设计状况影响的一种取样策略，决定了构造近似模型所需样本点的个数和这些点的空间分布情况。目前广泛应用于计算机仿真试验设计的主要方法是拉丁超立方体抽样和均匀设计，这两种试验设计能应用于多种多样的模型，且对模型的变化具有稳健性。 3响应面分析
响应曲面法
目录 响应曲面法概述 (2) 简介 (2) 方法说明 (2) 适用范围 (2) 响应曲面分析常用方法 (2) 一、中心复合试验设计 (2) 二、Box-Behnken试验设计 (6) 分析响应曲面设计的一般步骤 (7) 模型拟合 (7) 模型诊断 (7) 模型分析解释 (8)
响应曲面法概述 简介 随着计算机技术的飞速发展，数值计算科学的不断深入，工程计算的模型越来越复杂，算规模越来越大,所花费的机时越来越长。同时，许多工程问题的目标函数和约束函数对于设计变量经常是不光滑的或者具有强烈的非线性。这样,科学家和工程师都希望寻找新的高效可靠的数学规划方法以满足工程优化计算的需要。一个渐进近似的优化方法能很好地解决这种既耗机时又非光滑的优化问题，它就是响应面法(Response Surface Methodology ，简称：RSM)。 RSM是数学方法和统计方法结合的产物，是用来对所感兴趣的响应受多个变量影响的问题进行建模和分析的,其最终目的是优化该响应值。由于RSM把仿真过程看成一个黑匣子，能够较为简便地与随机仿真和确定性仿真问题结合起来，所以得到了非常广泛的应用。近十多年来，由于统计学在各个领域中的发展和应用，RSM的应用领域进一步拓宽，对RSM感兴趣的科学工作者也越来越多，许多学者对响应面法进行了研究。RSM的应用领域不再仅仅局限于化学工业,在生物学、医学以及生物制药领域都得到了广泛应用。同时，食品学、工程学、生态学等方面也都涉及到了响应面法的应用。 方法说明 响应曲面设计方法（Response Surface Methodology，RSM）是利用合理的试验设计方法并通过实验得到一定数据，采用多元二次回归方程来拟合因素与响应值之间的函数关系，通过对回归方程的分析来寻求最优工艺参数，解决多变量问题的一种统计方法。 适用范围 1、确信或怀疑因素对指标存在非线性影响； 2、因素个数2-7个，一般不超过4个； 3、所有因素均为计量值数据； 4、试验区域已接近最优区域； 5、基于2水平的全因子正交试验。 响应曲面分析常用方法 一、中心复合试验设计 中心复合设计（central composite design, CCD）是在2水平全因子和分部试验设计的基础上发展出来的一种试验设计方法，它是2水平全因子和分部试验设计的拓展。通过对2水平试验增加一个设计点（相当于增加了一个水平），从而可以对评价指标（输出变量）和因素间的非线性关系进行评估。它常用于在需要对因素的非线性影响进行测试的试验。
22 响应曲面法
22 响应曲面法
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响应曲面法用于拟合非线性模型以识别流程因子 (KPIV)设定， 从而产生最佳的响应变量(KPOV)，假设至少有两个显著因子。
六西格玛，一种对流程完美， 实现目标和减少变异的追求
\DataFile\RSMex3-3.mtw \DataFile\RSMex6-8.mtw \DataFile\RSM5-8.mtw \DataFile\Mx7-4.mtw \DataFile\Mx7-4a.mtw \DataFile\Mx7-5.mtw \DataFile\Mx7-6.mtw
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我们将学到
1. DOE 回顾 2. 响应曲面分析 – 如何开发一个代数和图表的响应变量表达式，例如有 两个显著因子的函数。 – 如何收集数据绘制等值线图及发现最速上升的路径。 3. 拟合响应曲面的实验设计。
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响应曲面策略
选择 KPOV (最高产量的点) 和相关联的肯定的 KPIVs (至少两个显著因子)。这些KPIV在实验之 前就应该肯定对KPOV有显著影响。 设计有中心点的 DOE。
实施 DOE 并评估结果。持续朝着最佳KPOV的 方向前进直到出现限制或数据显示已经达到最佳 值。
执行 DOE，使用响 应曲面设计对结果 数据绘图。
重新设定KPIV以使DOE沿着达到最佳KPOV的方 向移动。
下一个 DOE中的KPIV值应该与之前实验使用的 值有重叠。.
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确定达到最佳KPOV 的最速方向。
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响应面法 试验设计与优化方法
响应面法试验设计与优化方法，都未能给出直观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但难以直观地判别优化区域．为此响应面分析法（也称响应 曲面法）应运而生．响应面分析也是一种最优化方法，它是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多个因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图 形技术将这种函数关系显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化条件． 显然，要构造这样的响应面并进行分析以确定最优条件或寻找最优区域，首先必须通过大量的量测试验数据建立一个合适的数学模型（建模），然后再用此数学模型 作图． 建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法．对于非线性体系可作适当处理化为线性形式．设有ｍ个因素影响指标取值，通过次量测试验，得到ｎ组试验 数据（）．假设指标与因素之间的关系可用线性模型表示，则有应用均匀设计一节中的方法将上式写成矩阵式或简记为式中表示第次试验中第个因素的水平值；为建 立模型时待估计的第个参数；为第次试验的量测响应（指标）值；为第次量测时的误差．应用最小二乘法即可求出模型参数矩阵Ｂ如下将Ｂ阵代入原假设的回归方 程，就可得到响应关于各因素水平的数学模型，进而可以图形方式绘出响应与因素的关系图．模型中如果只有一个因素（或自变量），响应（曲）面是二维空间中的一条曲线；当有二个因素时，响应面是三维空间中的曲面．下面简要讨论二因素响应面分析的 大致过程． 在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以上间的交互作用，有理由设二因素响应（曲）面的数学模型为二次多项式模型，可表示如下：通过ｎ次量测试验 （试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它的３倍），以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以相应 的由上式计算的响应为Ｚ坐标作出三维空间的曲面（这就是２因素响应曲面）． 应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即，计算值与试验值之间的差异不一定符合要求．因此，求出系数的最小二乘估计后，应进 行检验．一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是否接近于１或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别．如果以表示响应试 验值，为计算值，则两者的相关系数Ｒ定义为其中 对于二因素以上的试验，要在三维以上的抽象空间才能表示，一般先进行主成分分析进行降维后，再在三维或二维空间中加以描述．
响应面法
响应面 所谓的响应面是指响应变量η与一组输入变量（ζ1,ζ2,ζ3...ζk）之间的函数关系式：η=f(ζ1,ζ2,ζ3...ζk)。依据响应面法建立的双螺杆挤压机的统计模型可用于挤压过程的控制和挤压结果的预测。 试验设计与优化方法，都未能给出直观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但难以直观地判别优化区域．为此响应面分析法（也称响应曲面法）应运而生．响应面分析也是一种最优化方法，它是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多个因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图形技术将这种函数关系显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化条件． 显然，要构造这样的响应面并进行分析以确定最优条件或寻找最优区域，首先必须通过大量的量测试验数据建立一个合适的数学模型（建模），然后再用此数学模型作图．建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法．对于非线性体系可作适当处理化为线性形式．设有ｍ个因素影响指标取值，通过次量测试验，得到ｎ组试验数据．假设指标与因素之间的关系可用线性模型表示，则有应用均匀设计一节中的方法将上式写成矩阵式或简记为式中表示第次试验中第个因素的水平值；为建立模型时待估计的第个参数；为第次试验的量测响应（指标）值；为第次量测时的误差．应用最小二乘法即可求出模型参数矩阵Ｂ如下将Ｂ阵代入原假设的回归方程，就可得到响应关于各因素水平的数学模型，进而可以图形方式绘出响应与因素的关系图． 模型中如果只有一个因素（或自变量），响应（曲）面是二维空间中的一条曲线；当有二个因素时，响应面是三维空间中的曲面．下面简要讨论二因素响应面分析的大致过程．在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以上间的交互作用，有理由设二因素响应（曲）面的数学模型为二次多项式模型，可表示如下：通过ｎ次量测试验（试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它的３倍），以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以相应的由上式计算的响应为Ｚ坐标作出三维空间的曲面（这就是２因素响应曲面）． 应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即，计算值与试验值之间的差异不一定符合要求．因此，求出系数的最小二乘估计后，应进行检验．一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是否接近于１或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别．如果以表示响应试验值，为计算值，则两者的相关系数Ｒ定义为其中对于二因素以上的试验，要在三维以上的抽象空间才能表示，一般先进行主成分分析进行降维后，再在三维或二维空间中加以描述． 什么叫响应面法? 试验设计与优化方法，都未能给出直观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但难以直观地判别优化区域．为此响应面分析法（也称响应 曲面法）应运而生．响应面分析也是一种最优化方法，它是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多个因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图 形技术将这种函数关系显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化条件．