学而思中考数学二轮复习专题—压轴题(学生版)
二轮复习专题—压轴题
一、一级标题
（1）（2）1.在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
．
写出
的普通方程和
的直角坐标方程．设点在
上，点
在
上，求
的最小值及此时的直角坐标．
（1）（2）2.设函数．
若，求实数的取值范围．
设
，若
的最小值为
，求的值．
（1）（2）（3）3.已知函数．
若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；若
，且关于的方程
在
上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；
设各项为正数的数列
满足
，求证：
．
（1）（2）4.平面直角坐标系中，动圆与圆外切，且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线
．
求曲线的方程．设过定点
(
为非零常数)的动直线与曲线交于、两点，问：在曲线上是否存在点
（与、两点相异），当直线
、
的斜率存在时，直线
、
的斜率之和为定值．若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
12（1）（2）5.已知等差数列的通项公式．设数列
为等比数列，且．
若
，且等比数列的公比最小，
写出数列的前项．求数列
的通项公式．
证明：以
为首项的无穷等比数列
有无数多个．
12（1）（2）6.已知集合
是集合
的一个含有个元素的子集．
当
时，
设
．
写出方程
的解．
若方程
至少有三组不同的解，写出的所有可能取值．
证明：对任意一个
，存在正整数
使得方程
至少有三组不同的解．
（1）（2）7.
设函数．
讨论的单调性．当
时，讨论
的零点个数．
（1）（2）
（3）8.设
是由，，，…，
组成一个行列的数表（每个数恰好
出现一次），且
．
若存在
，
，使得
既是第行中的最大值，也是第
列中的最小值，则称数表为一个“数表”，
为数表的一个“
值”．
对任意给定的，所有“数表”构成的集合记作
．
判断下列数表是否是“
数表”．若是，写出它的一个“值”
，
．
求证：若数表
是“
数表”，则的“
值”是唯一的．在
中随机选取一个数表，记的“
值”为
，求
的数学期望
．
（1）（2）（3）9.在无穷数列中，，是给定的正整数，
，．
若
，
，写出
，
，
的值．
证明：数列中存在值为的项．证明：若
，
互质，则数列
中必有无穷多项为．
（1）10.首项为的无穷数列同时满足下面两个条件：
①
；②
请直接写出的所有可能值．
（2）（3）记
，若
对任意
成立，求的通项公式．
对于给定的正整数
，求
的最大值．
（1）（2）（
3）11.对于正整数集合（
，
），如果去掉其中任意一个元素
（
）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合
为“和谐集”．判断集合
是否是“和谐集”（不必写过程）．
求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数．若集合是“和谐集”，求集合
中元素个数的最小值．
（1）（
2）（3）
12.如图，设是由
个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第
列的实数，且
.
定义
为第行与第行的积 若对于任意（
），都
有
，则称数表为完美数表.
当
时，试写出一个符合条件的完美数表；
证明：不存在
行
列的完美数表；
设为行列的完美数表，且对于任意的
和
，都有，证明：
.
（1）（2）13.已知椭圆
的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，直线
与椭圆交于，两点．
求椭圆的方程．若为椭圆的上项点，
为
中点，为坐标原点，连接
并延长交椭圆于
，
，求的值．
（3）若原点到直线的距离为
，
，当
时，求的面积的范围．
（1
）（2）（
3）14.将个数，，，的连乘积
记为
，将
个数，
，，的和
记为
，
）
若数列
满足
，
，
，设
，
．求
．
用
表示不超过的最大整数，例如
，
，
．若数列
满足
，
，
，求
的值．
设定义在正整数集
上的函数
满足，当
时，
，
问是否存在正整数，使得
？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（已知
）．
（1
）（2）（3）15.已知，数列，，，中的项均为不大于的正整数，
表示，，，中的
个数
．定义变换，将数列变成数列
，
，
，
其中
．
若，对数列，
，，，，，写出
的值．
已知对任意的，存在中的项，使得
．求证：
的充分必要条件为．
若
，对于数列
，
，
，
，令
，
，，，求证：
．
（1）（2）（3）16.设且，集合．
写出集合中的所有元素．
设
，证明：“
”的充要条件是“
”．
设集合
，求中所有正数之和．
（1）17.若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”．
①前项和为的数列
是否是“回归数列”？并请说明理由；
②通项公式为
的数列
是否是“回归数列”？并请说明理由；
（2）（3）设
是等差数列，首项
，公差
，若
是“回归数列”，求的值；
是否对任意的等差数列
，总存在两个“回归数列”
和
，使得
成
立，请给出你的结论，并说明理由．
（1）（2
）（3）18.
已知，，直线
．
函数
在
处的切线与直线平行，求实数的值．
若至少存在一个
使
成立，求实数的取值范围．
设
，当
时，
的图象恒在直线的上方，求
的最大值．
（1）
（2）19.若数列同时满足：①对于任意的正整数，恒成立；②对于给定的正整数，
对于任意的正整数
恒成立，则称数列
是“
数列”．
已知判断数列
是否为“
数列”，并说明理由．已知数列
是“
数列”，且存在整数
，使得
，
，
，
成等差数列，证明：
是等差数列．
为奇数
为偶数
（1）（2）（3）20.给定正整数，集合．若存在集合，，，同时满足下列三个条件：①
，
．
②集合中的元素都为奇数，集合中的元素都为偶数，所有能被整除的数都在集合中（集合中还可以包含其它数）．
③集合，，中各元素之和分别为，
，
，有
．则称集合
为可分集合．
已知
为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合，，．
证明：若是的倍数，则不是可分集合．
若
为可分集合且为奇数，求
的最小值．
（1
）1
2（2）21.若项数为的单调递增数列满足:
①．
②对任意，存在,(,,)使得,则称数列具有
性质．
分别判断数列 和
是否具有性质,并说明理由．若数列
具有性质，且
．
证明数列的项数
．
求数列
中所有项的和的最小值．
（1）（2）22.设集合是集合
，
的子集．记中所有元素的和为（规定：
为空集时，
）．若为的整数倍，则称为
的“和谐子集”．求：
集合
的“和谐子集”的个数．集合
的“和谐子集”的个数．
（1）（2）（3）23.已知项数为项的有穷数列
，若同时满足以下三个条件：
①，
（
为正整数）；
②
或，其中
，，，
；
③任取数列
中的两项
，
，剩下的
项中一定存在两项
，
，满足
，则称数列
为数列．
若数列是首项为
，公差为，项数为项的等差数列，判断数列
是否是数列，并说明理
由．当时，设数列
中出现
次，
出现次，出现
次，其中
，
，
．求
证：
，
，
．
当
时，求数列中项数
的最小值．
（1）
（2）
（3
）24.定义运算“”：对于任意、，
()(等式的右边是通常的加减乘运
算)．若数列的前项和为，且对任意
都成立．
求的值，并推导出用表示
的解析式．
若，令（），证明数列是等差数列．若
，令
（
），数列
满足
（
），求正实数
的取值范围．
（1）（2）25.已知函数
在上是增函数．
求实数的值．若函数
有三个零点，求实数的取值范围．
（1）（2）（3）26.已知无穷数列的各项均为正数，其前项和为，．如果
，且对于一切正整数，均有
，求．
如果对于一切正整数，均有，求
．
如果对于一切正整数，均有
，证明：
能被整除．。
专题08 动态几何类压轴题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法
专题08 动态几何类压轴题一、单选题1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =．线段PE 的两个端点都在AB 上，且1PE =，P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积DPEC S 四边形的大小变化的情况是（ ）A ．一直减小B ．一直增大C ．先增大后减小D ．先减小后增大【答案】C【分析】 设PD=x ，AB 边上的高为h ，求出h ，并运用相似三角形的性质求出AD ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【详解】在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，5AB ∴===，设PD x =，则1205x ≤≤，AB 边上的高为h ，125AC BC h AB ==， //PD BC ， ADP ACB ∆∆∽∴， ∴PD AD BC AC=， 43AD x ∴=，53PA x = 221415122242333(4)2()23235353210△△APD CBE S S x x x x x x ∴+=+-=-+=-+， ()22233323()()32103210276△△△四边形ABC APD CBE DPEC S x S x S S ∴+-----+=-==， ∵203-<，∴32x≤<时，DPECS四边形随x的增大而增大，31225x<≤时，DPECS四边形随x的增大而减小，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题．2．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（）A．5.5B．6C．7.5D．8【答案】C【分析】以BC为边作等边△BCF，连接DF，可证△BCE≌△FCD，可得BE=DF，则DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小，即可求解．【详解】如图，以BC为边作等边△BCF，连接DF，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，∴∠ABC=60°，BC=3，∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∵△BCF是等边三角形，∴CF=BC=BF=3，∠BCF=∠DCE =60°，∴∠BCE=∠DCF，且BC=CF，DC=CE，∴△BCE≌△FCD(SAS)，∴ BE= DF，∴DF ⊥AB 时，DF 的长最小，即BE 的长最小，如图，此时作FD AB '⊥，∵FBD '∠=180°-60°-60°=60°，D F AB '⊥，∴ 1 1.52BD BF '==， ∴7.5AD AB BD '=+='，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键．二、解答题3．如图，在等腰直角三角形△ABC ，∠ABC=90°，AB=6，P 是射线AB 上一个动点，连接CP ，以CP 为斜边构造等腰直角△CDP （C 、D 、P 按逆时针方向），M 为CP 的中点，连接AD ，MB ．（1）当点P 在线段AB 上运动时，求证：△CDA ∽CMB ；（2）设AP x =，△ADP 的面积为y ．①当012x <<时，求y 关于x 的函数表达式；②记D 关于直线AC 的对称点为D ，若D 在△APC 的内部，求y 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①2134y x x =-+；②189y << 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质得BCM ACD ∠=∠，CB CM CA CD =，即可证明结论； （2）①分类讨论，当06x <≤时，或当612x <<时，过点D 作DE AB ⊥于点E ，根据（1）的相似三角形，得到AD=AP ，并且用x 表示出长度，即可求出函数表达式；②当点D 在APC △内部时，06x <<，过点P 作PN AC ⊥于点N ，利用面积法表示出PN 的长，得到x 的范围，即可求出y 的范围．【详解】解：（1）∵ABC 和CDP 是等腰直角三角形，∴45ACB DCP ∠=∠=︒，∴ACB ACP DCP ACP ∠-∠=∠-∠，即BCM ACD ∠=∠，∵ABC 和CDP 是等腰直角三角形，∴CB CA ==，CP CD = ∵M 是CP 的中点， ∴12CM CP =，∴21CM CD ==， ∴CB CM CA CD =， ∴CDA CMB ；（2）①∵M 是CP 中点， ∴12BM MC PC ==，若06x <≤，如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，∵AP x =，∴6PB x =-，∴PC = ∵DC DA MC MB=，∴2DC DA DP PC ==== ∵DE AB ⊥，∴12AE EP x ==，∴162DE x ===-， ∴21111632224ADP S AP DE x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-=-+ ⎪⎝⎭； 若612x <<，如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，6BP x =-，PC =DC DA DP ====12AE EP x ==，162DE x ===-， ∴21111632224ADP S AP DE x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-=-+ ⎪⎝⎭， 综上：2134y x x =-+； ②当点D 在APC △内部时，06x <<，点P 越往右，点D 离AC 越近，当点D 在PC 上时，过点P 作PN AC ⊥于点N ，∴DCA ACP PCB ∠=∠=∠，∴CP 为ACB ∠的角平分线，∴PN PB =，∵1131822ABC APC BPC S S S AC PN BC PB PN =+=⋅+⋅=+=，∴6PN PB ==，∴12AP AB PB =-=-，当126x -<<时，点D 在APC △内部，则根据2134y x x =-+，求出189y <<． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定，二次函数的几何运用，利用分类讨论的思想进行求解．4．如图，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+与抛物线2y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴，交直线AB 于点Q ，连接BP ，设点P 的横坐标为m ，△PQB 的边PQ 与PQ 边上的高之差为d ．（1）求此抛物线解析式.（2）求点Q 的横坐标（用含m 的代数式表示）；（3）∠BQP 为锐角.①求d 关于m 的函数关系式；②当△AOB 的顶点到PQ 的最短距离等于d 时，直接写出m 的值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）22m m -；（3）①d m =-；②m =【分析】 （1）由直线解析式求解出A 、B 的坐标，再代入抛物线解析式求解即可；（2）由于PQ 垂直于y 轴，则P 、Q 的纵坐标相等，因此求出P 的纵坐标，再代入直线解析式求解Q 的横坐标即可；（3）①根据题中对d 的定义，分别求出PQ ，以及PQ 边上的高，再作差即可；②根据△AOB 的顶点到PQ 的最短距离等于d 时建立关于m 的一元二次方程求解，并注意运用条件判断合适的值即可．【详解】（1）由直线3y x =-+可知，A(3，0)，B(0，3)，将A(3，0)，B(0，3)代入2y x bx c =-++得： 9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）由题可知，P 、Q 的纵坐标相等，∵P 的横坐标为m ，且P 是抛物线上任意一点，∴P 的纵坐标为223y m m =-++，∴Q 的纵坐标为223y m m =-++，又∵Q 在直线上，∴将223y m m =-++代入3y x =-+得： 2233m m x -++=-+，解得：22x m m =-，∴Q 的横坐标为22m m -；（3）①由题意，()B P d PQ y y =--，由（2）可知： 2232Q P m P m m m m Q x x =-==---，()222332B P y m m m y m -+=+--=- ∴()B P d PQ y y m =--=-，∴d m =-；②由题可知：△AOB 为等腰直角三角形，其顶点为O ，则O 到PQ 的距离为223m m -++，当△AOB 的顶点到PQ 的最短距离等于d 时， 223m m m -++=-，解得：32m =， ∵∠BQP 为锐角，∴32m -=． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合运用，理解二次函数的性质，仔细分析题中表达的数量关系是解题关键．5．已知一次函数4y x =+的图象与二次函数()2y ax x =-的图象相交于()1,A b -和B ，点P 是线段AB 上的动点（不与A 、B 重合），过点P 作PC x ⊥轴，与二次函数()2y ax x =-的图象交于点C ．（1）求a 、b 的值；（2）如图1，M 为APC ∠内一点，且1PM =，E ，F 分别为边PA 和PC 上两个动点，求MEF 周长的最小值；（3）若PAC △是直角三角形，求点C 的坐标．【答案】（1）3b =，1a =；（2（3）()2,0C 或()3,3．【分析】∠1∠∠A∠∠∠∠∠∠b∠∠∠∠∠A∠∠∠∠∠∠∠a∠∠∠(2)∠∠∠M∠∠∠∠AB∠PC ∠∠∠∠,M M '''∠∠∠∠ ,,M M PM PM ''''''∠∠∠MEF∠∠∠∠∠∠∠∠ M M '''∠∠∠∠∠∠∠290M PM APC ∠=∠'=''︒∠∠∠ M M ==''='∠3∠∠∠PAC=90°∠∠ACP=90°∠∠∠∠∠∠∠【详解】解：∠1∠∠A 在直线y=x+4∠∠∠b=-1+4=3∠∠A∠∠∠∠∠-1∠3∠∠∠A∠∠∠∠∠y=ax(x -2)∠∠∠3=-a(-1-2)∠∠3=3a∠∠a=1∠∠3b =∠ 1a =∠∠2∠∠∠∠∠∠∠M ∠∠∠∠AB ∠PC ∠∠∠∠'M ∠''M ∠∠∠∠'''M M ∠'PM ∠''PM ∠∠MEF ∠∠∠∠∠∠∠'''M M ∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠PM PM PM M PA APM MPC CPM ==∠=∠∠=∠''''''，，∠∠290M PM APC ∠=∠'=''︒,∠'''M M ===∠∠3∠∠(),4P m m +∠∠()2,2C m m m -∠ ∠∠∠PAC=90°∠∠222AP AC PC +=∠()()()()2222222112334m m m m m m ++++--=--∠ ∠∠1m =-∠∠∠∠∠2m =∠∠()2,0C ∠∠∠ACP=90°∠∠222AC PC AP +=∠()()()()2222221233421m m m m m m ++--+--=+∠ ∠∠1m =-∠∠∠∠∠3m =∠4m =∠∠∠∠∠∠()3,3C ∠∠∠()2,0C ∠()3,3∠【点睛】 本题考查二次函数与一次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理的应用是解题关键．6．如图所示，直线AB 交x 轴于点(),0A a ，交y 轴于点()0,B b ，且a 、b ()240a -=． （1）如图1，若C 的坐标为()1,0-，且AH BC ⊥于点H ，AH 交OB 于点P ，试求点Р的坐标； （2）如图2，连接OH ，求证45OHP ∠=︒；（3）如图3，若点D 为AB 的中点，点M 为y 轴正半轴上一动点，连接MD ，过D 作DN DM ⊥交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，式子BDM ADN S S -△△的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．【答案】（1）P 的坐标为()0,1-；（2）见解析；（3）S △BDM -S △ADN 的值不发生改变，等于4【分析】（1）先依据非负数的性质求得a 、b 的值，从而可得到OA=OB ，然后再∠COB=∠POA=90°，∠OAP=∠OBC ，最后，依据ASA 可证明∠OAP ≌△OBC ，得出OP=OC ，从而得出点P 的坐标；（2）过O 分别作OM ⊥CB 于M 点，作ON ⊥HA 于N 点，利用AAS 证明∠COM ≌△PON ，得出OM=ON ，再根据角平分线得到判定即可得出HO 平分∠CHA ，从而求出∠OHP ；（3）连接OD ，易证∠ODM ≌△ADN ，从而有S △ODM =S △ADN ，由此可得S △BDM -S △ADN =S △BDM -S △ODM =S △BOD =12S △AOB ． 【详解】解：（1()240a -=∴a+b=0，a -4=0，∴a=4，b=-4，则OA=OB=4．∵AH ⊥BC ，则∠AHC=90°，∠COB=90°，∴∠HAC+∠ACH=∠OBC+∠OCB=90°，∴∠HAC=∠OBC ．在∠OAP 和∠OBC 中， 90COB POA OA OB OAP OBC ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△OAP ≌△OBC （AAS ）；∴OP=OC∵C 的坐标为()1,0-，∴OC=1∴OP=1∴P 的坐标为()0,1-（2）过O 分别作OM ⊥CB 于M 点，作ON ⊥HA 于N 点．在四边形OMHN 中，∠MON=360°-3×90°=90°，∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP ．在∠COM 和∠PON 中，90COM PON OMC ONP OC OP ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△COM ≌△PON （AAS ），∴OM=ON ．∵OM ⊥CB ，ON ⊥HA ，∴HO 平分∠CHA ，1452︒∴∠=∠=OHP CHA （2）S △BDM -S △ADN 的值不发生改变，等于4．理由如下：如图：连接OD ．∵∠AOB=90°，OA=OB ，D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD∴∠OAD=45°，∠MOD=90°+45°=135°，∴∠DAN=135°=∠MOD ．∵MD ⊥ND 即∠MDN=90°，∴∠MDO=∠NDA=90°-∠MDA ．在∠ODM 和∠ADN 中，,MDO NDA DOM DAN OD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ODM ≌△ADN （ASA ），∴S △ODM =S △ADN ， ∴12S ∆∆∆∆∆∆-=-==BDM ADN BDM ODM BOD AOB S S S S S ∴111144422S 22∆∆-=⨯⋅=⨯⨯⨯=BDM ADN S AO BO 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（2）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．7．如图，已知等边ABC 的边长为16，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线l 是经过点P 的一条直线，把ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B '．（1）如图1，当8PB =时，若点B '恰好在AC 边上，则AB '的长度为_________；（2）如图2，当10PB =时，若直线//l AC ，则BB '的长度为_______；（3）如图3，点P 在AB 边上运动过程中，若直线l 始终垂直于AC ，ACB '△的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当12PB =时，在直线l 变化过程中，求ACB '△面积的最大值．【答案】（1）8或0；（2）（3）面积不变，（4）最大为96+【分析】（1）证明△APB′是等边三角形即可解决问题．（2）如图2中，设直线l 交BC 于点E ．连接BB′交PE 于O ．证明△PEB 是等边三角形，求出OB 即可解决问题．（3）如图3中，结论：面积不变．证明BB′∥AC 即可．（4）如图4中，当B′P ⊥AC 时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC 于E ，求出B′E 即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵ABC 是等边三角形，∴60A ∠=︒，16AB BC CA ===，∵8PB =，∵8PB PB PA ==='，∵60A ∠=︒，∴APB '是等边三角形，∴8AB AP '==．当直线l 经过C 时，点B '与A 重合，此时0AB '=，故答案为8或0．（2）如图2中，设直线l 交BC 于点E ．连接BB '交PE 于O ．∵//PE AC ，∴60BPE A ∠=∠=︒，60BEP C ∠=∠=︒，∴PEB △是等边三角形，∵10PB =，且由于折叠，∴B ，B '关于PE 对称，∴BB PE '⊥，2BB OB '=，∴OP=12PB=5，∴OB =，∴BB '=故答案为（3）如图3中，结论：面积不变．连接BB ′，过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，∵B ，B '关于直线l 对称，∴BB '⊥直线l ，∵直线l AC ⊥，∴//AC BB '，∴ACB ACB S S '=△△，∵BC=AB=AC=16，∴BF=8，∴=，∴1162ACB ACB S S '==⨯⨯= （4）如图4中，∵点B 和B′关于经过点P 的直线对称，∴B′到点P 的距离与点B 到点P 的距离相等，当B P AC '⊥时，ACB '△的面积最大，设直线PB '交AC 于E ，在Rt APE 中，∵4PA =，60PAE ∠=︒，∴AE=2，∴PE ==∵BP=B′P=12，∴12EB EP B P '=++'=∴(11612962ACB S '=⨯⨯+=+△ 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．8．已知抛物线2122y x x =-与x 轴交于点O 、A 两点，顶点为B ．（1）直接写出：A 点坐标________ ，B 点坐标_______ ，△ABO 的形状是_______；（2）如图，直线y x m =+(m<0)交抛物线于E 、F(E 在F 右边)，交对称轴于M ，交y 轴于N ．若EM -FN=MN ，求m 的值；（3）在(2)的条件下，y 轴上有一动点P ，当∠EPF 最大时，请直接写出此时P 点坐标___________【答案】（1）（4,0），（2，-2），等腰直角三角形；（2）52m =-；（3）（052-） 【分析】（1）令2122y x x =-中y=0，求出A 的坐标，由22112(2)242y x x x =--+=，求出顶点B 坐标，利用勾股定理的逆定理判定△ABO 是等腰直角三角形；（2）过点E 作EG ⊥y 轴于G ，过点F 作FH ⊥y 轴于H ，过点M 作MC ⊥y 轴于C ，设y x m =+（m ＜0）交x 轴于D ，先求出∠OND=45°，利用锐角三角函数可得FN=sin 45HF ︒，MN=sin 45CM ︒，EN=sin 45EG ︒，联立解析式求出点E 、F 的横坐标，最后根据已知等式即可列出方程，求出m ； （3）作以EF 为弦且与y 轴相切的圆D ，切点为P ，连接EP 、FP ，利用圆周角定理和三角形外角的性质先证此时∠EPF 最大，然后确定点P 的坐标，设点P 的坐标为（0，p ），用含p 的式子表示出DP 和DF ，列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）令2122y x x =-中y=0，得21202x x -=， 解得x=0或x=4，∴A （4，0）； ∵22112(2)222y x x x =-=--， ∴顶点B 坐标为（2，-2）；连接AB 、OB ，∴22416OA ==，()()22224820AB =-+-=-，()()22220820OB =-+-=-，∴222OA AB OB =+，AB=OB ，∴△ABO 是等腰直角三角形，故答案为：（4,0），（2，-2），等腰直角三角形；（2）过点E 作EG ⊥y 轴于G ，过点F 作FH ⊥y 轴于H ，过点M 作MC ⊥y 轴于C ，设y x m =+（m ＜0）交x 轴于D将x=0代入y x m =+中，解得y=m ；将y=0代入y x m =+中，解得x=-m∴点N 的坐标为（0，m ），点D 的坐标为（-m ，0）∴ON=OD∴△OND 为等腰直角三角形∴∠OND=45°∴FN=sin 45HF ︒，MN=sin 45CM ︒，EN=sin 45EG ︒， ∴EM=EN －)EG CM - ∵抛物线2122y x x =-的对称轴为直线x=2 ∴CM=2 联立2122y x x y x m⎧=-⎪⎨⎪=+⎩消去y ，解得：x 1=3x 2=3+∴点F的横坐标为3-E的横坐标为3+∴HF=3-EG=3+∴3，MN=)321+=∵EM -FN=MN ，1+3-=解得：52m =-， 经检验，52m =-是原方程的解； （3）如下图所示，作以EF 为弦且与y 轴相切的圆D ，切点为P ，连接EP 、FP ，先证此时∠EPF 最大，在y 轴上任取一点P '，连接EP FP ''、，FP '与圆D 交于点C∴∠EPF=∠ECF∵∠ECF是△EP C'的外角∠∴∠ECF＞EP C'∴∠EPF＞EP F'∠即此时∠EPF最大，然后确定点P的坐标，设点P的坐标为（0，p），如下图所示，连接DP、DF，作EF的中垂线ST，交EF于S，交y轴于T，过点S作SK⊥y轴于K由（2）知52m =- ∴点E 的坐标为（5，52），点F 的坐标为（1，32-） ∴点S 的坐标为（3，12）， ∴OK=12，SK=3 由（2）知：∠SNO=45°，∵∠TSN=90°∴∠STK=45°∴△TSK 、△TDP 为等腰直角三角形∴TK=SK=3，TP=DP∴TP=TK ＋OK －OP=72p - ∴DP=72p -， ∴点D 的坐标为（72p -，p ）∴∵DP=DF∴72p -解得：52-或p=52∵∴ES=12EF=SK ∴以EF 为直径的圆与y 轴相离∴点P 必在以EF 为直径的圆的外边∴△EPF 为锐角三角形∴点D 在△EPF 内部，也必在S 的左上方∴点D 的纵坐标大于0，即p ＞0∴52∴点P 的坐标为（052）． 【点睛】此题考查的是二次函数、一次函数和圆的综合大题，掌握二次函数图象及性质、求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定及性质、圆周角定理、锐角三角函数是解题关键．9．如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ∴==142ADB SDB AC ∴=⋅= 12ADB S AB DH =⋅DH ∴=AH ==1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH ⊥CB 于H∵EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒∴ACD EHD ． ∴AC EH CD DH = 即44EH x x EH=--． ∴()444x EH x -=+ ．∵EH ⊥CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∴)44x EB x -==+，AB =∴)44x AE x -=+ ∵EF AD ⊥，90C ∠=︒∴AFG ADC ∠=∠ ．∵EDB ADC ∠=∠∴AFG EDB ∠=∠．∵45FAE B ∠=∠=︒∴AFE BDE ． ∴AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+． 整理得，()2402y x x =-+<≤；（3）在Rt △MDB 中，DB=4-x,所以MD=MB=(4).2x - 在Rt △ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+ 所以tan ∠DAB=44DM x AM x-=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论△CDF 与△AGE 相似:①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan ∠FDC=tan ∠DAB,得44y x x x-=⋅+ 结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0.解得-4 或--4 （舍去）, 如果∠CFD=∠DAB ，由tan ∠CFD=tan ∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x -4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y x x x-=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得或3-（舍去） 如果∠CFD=∠DAB,44x x y x -=+与y=2x -4 整理，得238160.x x -+=此方程无解.综上，CD 的值为-4、8-． 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．10．如图，直线443y x =-+和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是()2,0-．（1）试说明ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，MON △的面积为S ． ①求S 与t 的函数关系式；②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在4S =的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当MON △为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）①22455S t t =-+（02t <<），22455S t t =-（25t <≤）；②存在，(t s =；③5s 或25.8s 【分析】 （1）先求解,B C 的坐标，再求解,BC AB 的长度，从而可证明结论；（2）①过点N 作⊥ND x 轴于D ，则4sin 5ND BN OBC t =⋅∠=，分两种情况讨论，当02t <<时，当25t <≤时，分别画出符合题意的图形，再利用三角形的面积公式得到函数解析式即可；②分两种情况讨论，把4S =分别代入②中的两个函数解析式，再解方程即可得到答案；③分三种情况讨论；90∠=︒NMO 或90NOM ∠=︒或90MNO ∠=︒，再利用图形的性质与锐角三角函数可得答案．【详解】解：（1）将0y =代入443y x =-+，得3x =，∴点B 的坐标为3,0；将0x =代入443y x =-+，得4y =， ∴点C 的坐标为()0,4．在Rt OBC 中，∵4OC =，3OB =，∴5BC ==．又()2,0A -，∴5AB =，∴AB BC =，∴ABC 是等腰三角形．（2）∵5AB BC ==，故点M 、N 同时开始运动，同时停止运动．过点N 作⊥ND x 轴于D ， 则4sin 5ND BN OBC t =⋅∠=， ①当02t <<时（如图），2OM t =-，∴12S OM ND =⋅ ()14225t t =-⋅ 22455t t =-+． 当25t <≤时（如图），2OM t =-，∴12S OM ND =⋅ ()14225t t =-⋅ 22455t t =-． ②存在4S =的情形．当02t <<时∴ 224455t t -+=， 22100,t t ∴-+=()22411044036∴=--⨯⨯=-=-＜0，所以方程无解；当25t <≤时， ∴ 224455t t -=．解得11t =21t =（不合题意，舍去）．15t =+<，故当4S =时，(t =秒．③当MN x ⊥轴时，MON △为直角三角形．3cos 5MB BN MBN t =⋅∠=， 又5MB t =-． ∴355t t =-， ∴258t =． 当点M 、N 分别运动到点B 、C 时，MON △为直角三角形，5t =．当90MNO ∠=︒时，不合题意，舍去，故MON △为直角三角形时，258t =秒或5t =秒． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，分类讨论的思想，掌握分类讨论思想解决问题是解题的关键．11．如图，点O 在线段AB 上，OA =1，OB =3，以点O 为圆心、OA 为半径作∠O ，点M 在上运动．连接MB ，以MB 为腰作等腰Rt∠MBC ，使∠MBC =90°，M ，B ，C 三点按逆时针顺序排列．（1）当点M 在AB 上时，sin∠ACB =________________；（2）当BM 与∠O 相切时，求AM 的长；（3）连接AC ，求AC 长的取值范围．【答案】（1或2；（2）3；（3）46AC ≤≤． 【分析】（1）分当M 在AB 上和点M 和A 重合两种情况解答即可；（2）先证明△BMD ∽△BAM,然后根据相似三角形的性质列式解答即可；（3）如图：以B 为顶点、OB 为边向上方作等腰Rt △OBP ，连接CP ，OM ，有△BOM ≌△BPC （SAS ），PC=OM=1，则点C 在以点P 为圆心、1为半径的圆上，转化为“圆外一点到圆上的最值问题”，作射线AP ，交OP 于C 1、C 2两点，然后求得AC 1和AC 2的长即可解答．【详解】（1）①如图：当M 在AB 上时∵OA=OM=1∴AB=AO+OB=4,BM=OB -OM=2∵MB 为腰作等腰Rt∠MBC∴BC=BM=2=∠sin∠ACB =AB AC ==; ②如图：当M 和点A 重合时，AB=BC=4∴==∠sin∠ACB =AB AC ==综上，sin∠ACB 或2； （2）如图：∵BM 与∠O 相切∴∠BMO=90°==∠AB 是直径∠∠AMD=90°∠∠BMD+∠DMO=90°，∠AMO+∠DMO=90°，∴∠BMD=∠AMO∠OA=OM∠∠OAM=∠AMO∠∠OAM=∠BMD∠∠MBA=∠MBD∠△BMD ∽△BAM∴DM MB AM AB ===设AM=x ，则DM=2x2= ，解得x=3或x=-3（舍）；（3）以B 为顶点、OB 为边向上方作等腰Rt △OBP ，连接CP ，OM ，∴△BOM ≌△BPC （SAS ）∴PC=OM=1则点C 在以P 为圆心的M 上、1为半径的圆上，即求转化为“圆外一点到圆上的最值问题”，∴5=作射线AP ，交OP 于C 1、C 2两点，则A C 1=AP -P C 1=4, A C 2=AP+P C 2=6,∴46AC ≤≤．【点睛】本题属于几何综合题，考查了圆的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及锐角的三角函数，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．12．如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与点C 和点A 重合），连接PB ，过点P作PF ⊥PB 交射线DA 于点F ，连接BF ．已知AD =CD=3，设CP 的长为x ．（1）线段BP 的最小值为________，当1x =时，AF =____________．（2）当动点P 运动到AC 的中点时，AP 与BF 的交点为G ，FP 的中点为H ，求线段GH 的长度． （3）若点P 在射线CA 上运动，点P 在运动的过程中，①试探究∠FBP 是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP 的大小；若改变，请说明理由．②若△AFP 是等腰三角形，直接写出x 的值．【答案】（1）2；（2；（3）①不发生变化，30； ②3或 【分析】（1）当BP 最小时，即BP AC ⊥，根据相似三角形的性质，可求得BP 的值，当x=1时，可得到BPN PMF ，由此可得出tan FBP ∠的值，继而得到AF 的值；（2）先证明BP 垂直平分AP ，得到PF =GH 是Rt FGP △的中线，即可得到GH 的长； （3）①过点P 作PN BC ⊥交AD 于点M ，可证明FMP PNB ，设,2x PC x PN ==，可求得NC 、MP 、BN 的长，tan =3FP MP FBP BP BN ∠==，即可求得∠FBP 的大小； ②分三种情况讨论即:当FA=FP ，AP=AF ，PA=PB 时，分别根据等腰三角形的性质解题．【详解】（1）当BP 最小时，A 与F 重合，即BP AC ⊥， 33AD CD ==6,30AC DAC ACB ∴=∠=∠=︒,在Rt ABC 与Rt APB △中，BAC PAB ∠=∠ABCAPB ∴ AB BP AC BC∴=36∴=2BP ∴= 作PM BC ⊥于N ，交AD 于M ，当x=1时，1522PN MP CN BN ====，， 90BNP PMF BPF ∠=∠=∠=︒,90,90FPM PFM FPM BPN ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，PFM BPN ∴∠=∠，BPNPFM ∴，3MP FM BP BN NP FP ∴===，MF ∴=2663AF AM MF BN MF ∴=-=-=-==，故答案为：2，3； （2）P 为AC 的中点，3AP PC AB ∴===60ABP APB BAP ∴∠=∠=∠=︒在t R ABF 和t R PBF 中，AB=BP ，BF=BFt R ABF ∴≅t R PBF90AG PG AGB PGB ∴=∠=∠=︒，BF ∴垂直平分AP ，在t R BFP 中，303PBF BP ∠=︒=，PF ∴=取PF 的中点H ，连接GH ， H 为PF 中点，GH ∴为Rt PGF △的中线，12GH PF ∴==； （3）①不发生变化，30FBP ∠=︒，理由如下，作PM BC ⊥于点N ，交AD 于M ，,PBN FPM BPN PFM ∠=∠∠=∠，FMP PNB ∴，设,,,3,22x x CP x PN NC x MP BN x =∴===-=，3FP MP BP BN ∴== 30FBP ∴∠=︒；②当FA FP =时，BA BP =，ABP ∴为等边三角形,3AP AB ∴==，3x CP ∴==；当PA PF =时，12090APF ∠=︒>︒不符合题意；当AP=AD 时，75AFP APF ∠=∠=︒，75CBP CPB ∴∠=∠=︒，CP CB ∴==，即x =；综上所述，当3x =或AFP 是等腰三角形． 【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识，是重要考点，灵活运用分类讨论思想是解题关键．13．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于点()1,0A -、()3,0B ，与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC 与OP ，交于点D ，求当PD OD的值最大时点P 的坐标； （3）点F 与点C 关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P 的纵坐标为2时，过点P 作直线//PQ x 轴，点M 为直线PQ 上的一个动点，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，在线段ON 上任取一点K ，当有且只有一个点K 满足135FKM ∠=︒时，请直接写出此时线段ON 的长．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）315,24⎛⎫⎪⎝⎭；（3）7+3+【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）过P 作PG ∥y 轴，交BC 于点G ，则可构造出相似三角形，将PD OD 转换为PG OC求解即可； （3）分两种情况讨论，连接FM ，以FM 为斜边，作等腰直角△FHM ，当以H 为圆心FH 为半径作圆H ，与x 轴相切于K ，此时有且只有一个点K 满足∠FKM=135°，设点H （x ，y ），由“AAS”可证△FHE ≌△HMQ ，可得HE=QM=y -3，HQ=EF=x -2，由勾股定理可求y 的值，可求点M 坐标，即可求解．【详解】（1）将()1,0A -、()3,0B 代入抛物线解析式得：030933a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）如图所示，作PG ∥y 轴，交BC 于点G ，则△DPG ∽△DOC ， ∴PD PG OD OC=， 由题可知：()0,3C ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，将()3,0B ，()0,3C 代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为：3BC y x =-+，3OC =，设P 的坐标为()223m,m m -++，则G 的坐标为()3m,m -+， ∴23PG m m =-+， ∴223932433m PD PG m m OD OC ⎛⎫--+ ⎪-+⎝⎭===， ∴当32m =时，PD OD 有最大值，将32m =代入抛物线解析式得：154y =， ∴点P 的坐标为31524⎛⎫⎪⎝⎭，；（3）①当M 在F 右侧时，如图所示，连接FM ，以FM 为斜边构造等腰直角△FHM ，当以H 为圆心，FH 为半径作圆H ，与x 轴相切于K 时，此时有且只有一个K 点满足∠FKM=135°，此时，连接HK ，交PM 于点Q ，延长CF 交于HK 于E ，则HK ⊥x 轴，设H （x ，y ），由题可知，抛物线的对称轴为直线x=1，∵点F 与点C 关于抛物线的对称轴对称，∴点F 的坐标为（2，3），CF ∥x 轴，∴CF ∥PM ，∴HK ⊥CF ，HK ⊥PM ，∴∠FEH=∠HQM=90°，∵∠FHE+∠MHE=90°，∠FHE+∠HFE=90°，∴∠HFE=∠MHQ ，又∵HF=HM ，∴△HFE ≌△MHQ （AAS ），∴HE=QM=y -3，HQ=FE=x -2，而HQ=HK -QK=y -2，∴y -2=x -2，即：x=y ，∴FE=y -2，∵222FH FE HE =+，FH=HK=y ，∴()()22223y y y =-+-，解得：5y =，5y =-（舍去）∴532QM =-=，523FE =-=，∴点M 的坐标为()72,，∴7ON =+；②当M 在F 左侧时，如图所示，同①的过程，可证得△HFE ≌△MHQ ，此时设H 的坐标为（x ，y ），显然有，HE=QM=y -3，HQ=FE=2-x ，而HQ=HK -QK=y -2，∴y -2=2-x ，即：4-y=x ，∴FE=y -2，∵222FH FE HE =+，FH=HK=y ，∴()()22223y y y =-+-，同理解得：5y =，∴532QM =-=，523FE =-=，∴点M 的坐标为()32,-，∴3ON =+综上，线段ON 的长为7+3+【点睛】本题考查二次函数综合问题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，圆的相关性质，以及相似三角形的判定与性质等，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键． 14．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点O 为对角线AC 的中点，动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 运动，同时动点Q 从点B 出发沿BA 向点A 运动，点P 运动速度为每秒2个单位长度，点Q 运动速度为每秒1个单位长度，当点P 到达点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动，连结PQ ，设点P 运动时间为t （t ＞0）秒．（1）cos∠BAC= ．（2）当PQ⊥AC时，求t的值．（3）求△QOP的面积S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围．（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点时，请直接写出t的值．【答案】（1）35；（2）1813t=秒；（3）22434512(0)552434512(5)552S t t tS t t t⎧=-+<<⎪⎪⎨⎪=-+-<≤⎪⎩；（4）当2t=或t=秒时，线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点．【分析】（1）利用勾股定理先求得AC的长，即可求解；（2）在Rt△ABC中，利用余弦函数构建方程即可求解；（3）过P作PE⊥AQ于点E，过O作OF⊥AQ于点F，分52t<<，52t=和552t<≤三种情况讨论，利用三角形面积公式即可求解；（4）分线段PQ的垂直平分线经过点C时，经过点A时，经过点B时，三种情况讨论，求得结论即可．【详解】（1）在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，10=，∴63 cos105ABBACAC∠===；故答案为：35；（2）当PQ⊥AC时，∵AP=2t，AQ=6t-，∴在Rt△ABC中，∴23cos 65AP t PAQ AQ t ∠===-， 解得：1813t =秒， 经检验，1813t =是方程的解， ∴1813t =(秒)； （3）过P 作PE ⊥AQ 于点E ，过O 作OF ⊥AQ 于点F ，在Rt △ABC 中，AB =6，BC =8，AC 10=， ∴4sin 5BC BAC AC ∠==，4sin 25PE PE PAE AP t ∠===，4sin 55OF OF OAF AO ∠===， ∴PE=85t ，OF=4， ①当502t <<时， ()()2POQ AOQ APQ 1184346461222555t S S S t t t t =-=-⨯--⨯=-+， 即24341255S t t =-+(502t <<)； ②当52t =时，POQ 不存在； ③当552t <≤时，()()2POQ APQ AOQ 1814346641225255t S S S t t t t =-=-⨯--⨯=-+-， 即24341255S t t =-+-(552t <≤)；综上，△QOP 的面积S 关于t 的函数表达式是22434512(0)552434512(5)552S t t t S t t t ⎧=-+<<⎪⎪⎨⎪=-+-<≤⎪⎩； （4）①当线段PQ 的垂直平分线经过点C 时，PC=QC=102t -，在Rt △QBC 中，222QB BC QC +=，∴()2228102t t +=-，解得：203t -=(负值已舍)； ②当线段PQ 的垂直平分线经过点A 时，AQ=AP ，即62t t -=，解得：2t =；③当线段PQ 的垂直平分线经过点B 时，过P 作PG ⊥BC 于点G ，3sin 5AB PG ACB AC PC ∠===，4cos 5BC PG ACB AC GC ∠===， ∴PG=()36102655t t -=-，CG=()48102855t t -=-， BG= BC -CG=888855t t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 在Rt △BPG 中，222BG PG BP +=， 即22286655t t t ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得：215721800t t -+=， ()2247241518056160b ac =-=--⨯⨯=-<，方程无解，∴线段PQ 的垂直平分线不会经过点B ，综上，当2t =或203t -=秒时，线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 的某个顶点． 【点睛】本题考查了矩形性质，解直角三角形，线段垂直平分线性质等知识，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．15．问题探究：如图，在Rt △ABC 和Rt △DEC 中，∠ACB =∠DCE =90°，∠CAB =∠CDE =60°，点D 为线段AB 上一动点，连接BE ．（1）求证：△ADC ∽△BEC ．（2）求证：∠DBE =90°．拓展延伸：把问题探究中的“点D 为线段AB 上一动点”改为“点D 为直线AB 上一动点”，其他条件不变，若点M 为DE 的中点，连接BM ，且有AD =1，AB =4，请直接写出BM 的长度．【答案】（1）见解析；（2）见解析；拓展延伸：BM ．【分析】（1）先证得∠ACD =∠BCE ，再利用tan 60BC CE AC CD ︒===AC BC CD CE=，即可证明结论； （2）由（1）的结论得∠CAD =∠CBE ，即可证明；拓展延伸：分D 在线段AB 上和D 在BA 延长线上两种情况讨论，利用△ADC ∽△BEC 的 性质求得BE 的长，再利用直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）∵∠ACB =∠DCE =90°，∴∠ACD+∠BCD =∠BCE+∠BCD =90°，∴∠ACD =∠BCE ，∵∠CAB =∠CDE =60°，∴tan 60BC CE AC CD ︒===AC BC CD CE=， ∴△ADC ∽△BEC ；（2）由（1）得：∠CAD =∠CBE ，∴∠CBE +∠CBA =∠CAD +∠CBA =90°，∴∠DBE =90°；拓展延伸：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =60°，AB =4，∴AC=2，BC =由（1）得：△ADC ∽△BEC ， ∴AC AD BC BE=， ∵AD =1，∴由（2）得：∠DBE =90°，∵点M 为DE 的中点，∴BM=12DE ； ①当D 在线段AB 上时，如图：在Rt △BDE 中，BD=AB -AD=4-1=3，，∴DE ==∴BM=12 ②当D 在BA 延长线上时，如图：在Rt △BDE 中，BD=AB+AD=4+1=5，，∴DE ==∴BM=12综上，BM【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明△ADC ∽△BEC 是本题的关键．16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝12cm ，点D 为AB 上的点，且BD ＝34AB ，如果点P 在线段BC 上以3cm /s 的速度由B 点向终点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向终点A 运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）如（图一）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由．（2）如（图二）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等（点P 不与点B 和点C 重合），连接点A 与点P ，连接点B 与点Q ，并且线段AP ，BQ 相交于点F ，求∠AFQ 的度数．（3）若点Q 的运动速度为6cm /s ，当点Q 运动几秒后，可得到等边△CQP ？【答案】（1）BPD CQP ≌，证明见解析；（2）60︒（3）43【分析】 （1）根据时间和速度求得BP 、CQ 的长，根据SAS 判定两个三角形全等．（2）利用第（1）小题的方法可证得ABP BCQ ≌，BAP CBQ ∠=∠，根据三角形外角性质可得APB PAC C ∠=∠+∠，根据等边三角形性质和三角形内角和定理可得18060BFP CBQ APB ∠=︒-∠-∠=︒，根据对顶角性质可得AFQ ∠的度数．（3）设点Q 运动时间是x 秒，根据CP CQ =列一元一次方程，根据任意一角为60︒的等腰三角形是等边三角形，即可求出答案．【详解】（1）BPD CQP ≌．证明：点P 在线段BC 上以3cm /s 的速度由B 点向终点C 运动，经过1s 后，∠133BP =⨯=，∠点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，∠3CQ BP ==，∠AB ＝BC ＝AC ＝12cm ，BD ＝34AB ， ∠ABC 是等边三角形，60B C ∠=∠=︒，31294BD =⨯=， ∠1239PC BC BP =-=-=，在BDP △和CPQ 中，BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠BPD CQP ≌（SAS ）．（2）解：∠点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，∠BP CQ =，∠AB ＝BC ＝AC ，∠ABC 是等边三角形，60BAC ABC C ∠=∠=∠=︒，∠在ABP △和BCQ △中，AB BC ABC C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABP BCQ ≌，∠BAP CBQ ∠=∠；在BPF △中，180()BFP CBQ APB ∠=︒-∠+∠，∵=CBQ APB CBQ CAP C ∠+∠∠+∠+∠，∵=60CBQ CAP BAP CAP ∠+∠∠+∠=︒，60C ∠=°，∴=6060=120CBQ APB ∠+∠︒+︒︒，∴180()=180120=60BFP CBQ APB ∠=︒-∠+∠︒-︒︒，∴=60AFQ BFP ∠∠=︒（对顶角相等）．（3）解：设点Q 运动时间是x 秒，若CP CQ =，可列方程：1236x x -=， 解得：43x =． ∵在CQP 中，CP CQ =，=60C ∠︒， ∴当43x =秒时，CQP 是等边三角形（任意角是60︒的等腰三角形是等边三角形）． ∴当点Q 运动43秒后，可得到等边CQP ． 【点睛】。
二轮复习专题——主观题(教师版)
（ 1 ）由
得：
；
∴两边同乘以
得，
；
∴
；
即
（ ）；
根据正弦定理，
；
∴
，带入（ ）得：
；
∴
．
（2）
；
∴
；
∴
，且
，当且仅当
时取等号；
又， ；
∴
；
∴由余弦定理，
；
∴ 的最小值为 ．
8. 已知函数
，
（ 1 ） 求 的单调递增区间．
（2） 设
为锐角三角形，角 所对边
． ，角 所对边
，若
，求
的面积．
6
【答案】
（1）
．
（2）
．
解析:
（1）
，
，单调递增区间为
．
（2）
，
∴
或，
根据
为锐角三角形，
，
∴，
．
9. 设
（ 1 ） 求 的单调区间；
（ 2 ） 在锐角
中，角 ， ， ，的对边分别为 ， ， ，若
最大值．
【答案】 （1）
的单调增区间是
（2）
面积的最大值为
单调减区间为
解析: （1）
，
，求
面积的
．
．
由
可得
，
；
由
，
∵
，即
为直角三角形，
则
，得
．
3
，
，．
又
，则
方法二：
设
，则
中，
， ．
， ，
，
∴
∴
，
．
∵
， ，∴
，∴
， ．
学而思·深圳中考数学压轴20题
学而思·深圳中考数学压轴20题2020年，深圳中考即将到来，数学成为了考生最重要的一科，数学考试内容涉及大量的知识点，考生们除了要完全掌握全部知识点还要解决大量的数学解题练习。
为了帮助考生更好地备考，学而思汇集了20道深圳中考数学压轴题，下面就为大家讲解一下。
1、若锐角△ABC中，∠C=90°，AB=12cm，BC=8cm，则cosA的值为多少?答案为：cosA= AB/BC = 12/8 = 3/4.2、一个角的平分线的长度是5cm，则2倍的角的边长是多少?答案：2倍的角的边长是10cm。
3、若已知数列1,2,4,8,…，每一项都等于前一项的2倍，那么第n项的值等于多少?答案：第n项的值等于2的n-1次方。
4、一个圆的周长等于它的直径和半径的和，则这个圆的半径等于多少?答案：这个圆的半径等于圆的周长的一半。
5、若有四个角a,b,c,d，其中a+b+c+d=180°，角a=20°，角b=40°，则角d的度数是多少?答案：角d的度数是120°。
6、若有正四边形ABCD，边AB=BC，边AB=4cm，则正四边形ABCD 的周长是多少?答案：正四边形ABCD的周长是16cm。
7、若要求函数f(x)=ax2+bx+c（a, b, c为常数）的导数，则养函数为多少?答案：导数为2ax+b。
8、已知函数y=3x2+2x+1，若点M(1,6)在函数图像上，则a的值等于多少?答案：a的值等于3。
9、已知不等式2x2+x-6<0的解集为(a，b)，其中a<b，则a和b 的值分别为多少?答案：a=-2,b=-3。
10、一个圆的面积为100π，则该圆的周长是多少?答案：该圆的周长是50π。
11、已知开方函数y=√x+2，若y=2,则x的值等于多少?答案：x的值等于4。
12、在△ABC中，角A=45°，AB=AC，BC=6，则∠B的度数是多少?答案：∠B的度数是45°。
秒了道学而思中考压轴秘籍的旋转压轴题读完也就做完
做数学题得天天顶着棍棒走，练出超强的抗打击能力，敌人（数学题）打你你不倒，敌人就倒下。
就这么简单。
天天有勇气去和困难问题轱辘，轱辘来，轱辘去，再回头看，则难者亦易矣。
就得有种滚刀肉的精神。
越挫越勇。
-------------------------------------------------------------------秒了道学而思中考压轴秘籍的旋转压轴题，读完也就做完。
目前在做角分线和一线三垂直（弦图）专题，旋转类的题，隔三差五就得拿出一道复习巩固来。
昨晚和孩子做了道中考压轴，构造基本的旋转相似，那个题的难度其实不大，但是我和孩子基本功不熟悉，还是搞了半天，孩子大约10多分钟，我花了20分钟（喝了点酒，可能智商降低了），但是事后回忆，那也就是3-5分钟的题。
也是非常非常的单纯。
今早又做了一道山东烟台的中考旋转类压轴题，半角模型，读完题也就做完了，因为直接就是考模型本身。
搞得好像挺花哨，三角板旋转，其实本质就是半角模型角叠加，60叠加成120，45叠加成90。
用不了20秒的思考就足够了。
由此，有几个感想：1 学而思中考压轴秘籍这本书，可能有点简单了（别的题还没看），起码这俩旋转，太基础了。
难度系数不行。
2 付出总有回报，天天被几何锤击，越锤越磁实，就像拳击，抗击打能力变强。
就得天天挨揍。
天天被人打得鼻青脸肿还天天坚持，才能成高手。
（我儿子的感觉就是赚钱，我感觉好像挨揍）一天不被打，心理就痒痒。
享受这种锤击是最关键的。
没这个心态不行。
3 提前学习可以确定是有效果的。
回顾一下，大概也就2个月的提高时间，所学类型的压轴题基本能做。
虽然熟练度还是不够。
再熟练熟练就行了。
达到读完题就做完，那就完全无问题了。
这就说明，学习是有效学习。
积累是有效积累。
时间没有打水漂。
后续我想还是特别乐观的。
就这么干下去就行了。
以题为镜，确认是有效学习和有效积累。
后面不断深入学习，增加熟练度，提高做题能力和水平。
路线绝不会错。
(完整版)中考二轮二次函数压轴题专题复习20题(含答案)
2019年九年级数学中考二轮二次函数压轴题专题复习1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）.（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D 两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.3.如图，二次函数错误!未找到引用源。
的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b=，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．4.综合与探究：如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点A，C．（1）求抛物线的解析式（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；（3）如图2所示,M是线段OA上一个动点,过点M垂直于x轴直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N.①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知抛物线y=0.5x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）当a=﹣1时，抛物线顶点D的坐标为，OE=；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠D EO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．7.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以每秒错误!未找到引用源。
备战2023年重庆中考数学二轮复习知识点精练14 二次函数压轴题(含详解)
精练14--二次函数压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接OP交BC于点E，当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；（3）把抛物线y＝x2+bx+c向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y′，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标，并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程．2．如图1，二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），tan∠CBO＝．（1）求二次函数解析式；（2）如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D，PE∥BC交x 轴于点E，求PD+BE的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当PD+BE取最大值时，连接PC，将△PCD绕原点O顺时针旋转90°至△P'C'D'；将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线的对称轴上，点N为平面内任意一点，当以点M，N，C′，D′为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点N的坐标．3．如图，已知直线BC的解析式为y＝x﹣3，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若M（m，y1），N（4﹣m，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，且m ＜2．分别过点M，N作x轴的垂线，交线段BC于点D、E．通过计算证明四边形MDEN 是平行四边形，并求其周长的最大值；（3）抛物线y＝x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位，得到新抛物线y1，点F为y1的对称轴上任意一点，若以点B，C，F为顶点的三角形是以BC为腰的等腰三角形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．﹣1，3是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的两个根．（1）求该抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC交抛物线于点D，AD与y轴交于点E，P为直线BC上方抛物线上的一个动点，连接P A交BC于点F，求S△PEF的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点M为抛物线上一动点，在平面内找一点N，是否存在以点A，M，N，P为顶点的四边形是以P A为边的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），OB＝4OA，tan∠CAB＝3，连接AC、BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，过A作AD∥BC，交抛物线于点D，点P为直线BC下方抛物线上任意一点，连接DP，与BC交于点E，连接AE，当△APE面积最大时，求点P的坐标及△APE 面积的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，将抛物线先向右平移个单位，再向上平移3个单位后与x轴交于点F、G（点F在点G的左侧），点Q为直线AC上一点，连接QP、QG、PG，当△QPG是以PG为腰的等腰三角形时，请直接写出点Q的坐标．6．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣3，点N（﹣4，﹣5）在该抛物线上．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）连接CN，点P是直线CN下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线CN于点H，在射线CH上有一点G使得PH＝PG．当△PGH周长取得最大值时，求点P的坐标和△PGH周长的最大值；（3）如图2，在（2）的条件下，直线l：y＝x﹣与x轴、y轴分别交于点E、F，将原抛物线沿着射线FE方向平移，平移后的抛物线与x轴的右交点恰好为点E，动点M 在平移后的抛物线上，点T是平面内任意一点，是否存在菱形METP，若存在，请直接写出点T的横坐标，若不存在，请说明理由．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交直线BC于点N，求PN+CN的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，若抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线y'，点E为新抛物线y'上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点P，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上位于直线BC上方的一个动点，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q；过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出2PQ+EF的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y′过点（3，1），点D为原抛物线y与新抛物线y′的交点，若点G为原抛物线的对称轴上一动点，点H为新抛物线y′上一动点，直接写出所有使得以A，D，G，H为顶点的四边形为平行四边形的点H的坐标，并把求其中一个点H的坐标的过程写出来．9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作PD∥AC交BC于E，交x轴于点D，求PE+BE的最大值以及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线y1，新抛物线y1和原抛物线相交于点F．新抛物线y1的顶点为点G，点M是直线FG上的一动点，点N为平面内一点．若以P、G、M、N四点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点的过程．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线交于x轴上的点B，y轴上的点C，且其对称轴为直线．该抛物线与x轴的另一交点为点A，顶点为M．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）如图2，长度为的线段DF在线段BC上滑动（点D在点F的左侧），过D，F 分别作y轴的平行线，交抛物线于E，P两点，连接PE．求四边形PFDE面积的最大值及此时点P坐标；（3）在（2）问条件下，当四边形PFDE面积有最大值时，记四边形PFDE为四边形P1F1D1E1．将四边形P1F1D1E1沿直线BC平移，点P1，E1关于直线BC的对称点分别是点P2，E2．在平移过程中，当点P2，E2中有一点落到抛物线上时，请直接写出点P2，E2的坐标．1 2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P点为一象限内抛物线上的一个动点，D点是BC中点，连接PD，BD，PB．求△BDP面积的最大值以及此时P点坐标；（3）如图2，将抛物线向左平移1个单位长度，得到新的抛物线y1，M为新抛物线对称轴上一点，N为直线AC上一动点，在（2）的条件下，是否存在点M，使得以点P、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣6，0），B（4，0），与y 轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，连接BD交y轴于点G，作直线OD，点P为线段BD上方的抛物线上任意一点，过点P作PE∥y轴交BD于点E，过点P作PF⊥直线OD于点F．当PE+PF为最大时，求这个最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，连接BC，CD，将△OCD绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△OC'D'，使得C'D'∥BC，将线段OD'沿射线C'O平移得到O'D″，连接AO′，AD″，请问在平移过程中，是否存在△AO'D″是以O'D″为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出D″的坐标，若不存在，请说明理由.14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB 的面积的最大值，以及此时点P的坐标；（3）把抛物线y＝ax2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P，R为新抛物线上一点，S是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形的点R的坐标，并把其中一个求点R的坐标过程写出来．15．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝x﹣4．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标．（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线交于B、D两点，已知cos∠ABD＝．（1）求点D的坐标；（2）点F是抛物线的顶点，连接BF．P是抛物线上F、D两点之间的任意一点，过点P 作PE∥BF交BD于点E，连接PF、PD、FE．求四边形PFED面积的最大值及相应的点P的坐标；（3）连接AC，将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到新抛物线y'，新抛物线与原抛物线交于点G．S是原抛物线对称轴上一点，T是平面内任意一点，G、S、A、T四点能否构成以AS为边的菱形？若能，请直接写出点T的坐标；若不能，请说明理由．精练14--二次函数压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接OP交BC于点E，当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；（3）把抛物线y＝x2+bx+c向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y′，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标，并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4．（2）如图1，作PG⊥x轴于点G，交BC与点F，抛物线y＝x2﹣x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），设直线BC的函数表达式为y＝kx﹣4，则4k﹣4＝0，解得k＝1，∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，设P（x，x2﹣x﹣4），则F（x，x﹣4），∴PF＝x﹣4﹣（x2﹣x﹣4）＝﹣x2+2x，∵PF∥OC，∴△PEF∽△OEC，∴＝＝（﹣x2+2x）＝﹣（x﹣2）2+，∴当x＝2时，的值最大，最大值为，此时P（2，﹣4），∴点P的坐标为（2，﹣4），的最大值为．（3）∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴该抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线为y′＝（x﹣2）2﹣，即y′＝x2﹣2x﹣，该抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣），如图2，BC的中点为Q（2，﹣2），当点M与抛物线的顶点重合时，则点N与点M（2，﹣）关于点Q（2，﹣2）对称，∵BQ＝CQ，MQ＝NQ，∴四边形BMCN是平行四边形，此时N（2，）；如图3，四边形BCMN是平行四边形，且点M在直线x＝2的左侧，过点M作直线x＝2的垂线，垂足为点R，∵MN∥BC，QN∥y轴，∴∠MNR＝∠BQN＝∠BCO，∵MN＝BC，∠MRN＝∠BOC＝90°，∴△MRN≌△BOC（AAS），∴RN＝OC＝4，RM＝OB＝4，∴点M的横坐标为﹣2，抛物线y′＝x2﹣2x﹣，当x＝﹣2时，y′＝，∴M（﹣2，），R（2，），∴y N＝+4＝，∴N（2，）；如图4，四边形BCNM是平行四边形，且点M在直线x＝2的右侧，过点M作直线x＝2的垂线，垂足为点H，∵MN∥BC，QN∥y轴，∴∠MNH＝∠BQH＝∠BCO，∵MN＝BC，∠MHN＝∠BOC＝90°，∴△MHN≌△BOC（AAS），∴HN＝OC＝4，HM＝OB＝4，∴点M的横坐标为6，抛物线y′＝x2﹣2x﹣，当x＝6时，y′＝，∴M（6，），H（2，），∴y N＝﹣4＝﹣，∴N（2，﹣），综上所述，点N的坐标为（2，）或（2，）或（2，﹣）．2．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），tan∠CBO＝．（1）求二次函数解析式；（2）如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D，PE∥BC交x 轴于点E，求PD+BE的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当PD+BE取最大值时，连接PC，将△PCD绕原点O顺时针旋转90°至△P'C'D'；将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线的对称轴上，点N为平面内任意一点，当以点M，N，C′，D′为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点N的坐标．【解答】解：（1）∵点C的坐标为（0，3），∴OC＝3，∵tan∠CBO＝＝，∴OB＝6，∴点B的坐标为（6，0），由抛物线经过点A（﹣2，0），B（6，0）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），将点C（0，3）代入解析式为a×（0+2）×（0﹣6）＝3，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3．（2）过点P作PF∥x轴交BC于点F，∵PE∥BC，∴四边形PEBF为平行四边形，∴PF＝BE，∴PD+BE＝PD+PF，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则点D的坐标为（m，﹣m+3），∴PD＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，∵PF∥x轴，∴点F和点P的纵坐标相等，即﹣x+3＝﹣m2+m+3，∴x＝m2﹣2m，∴点F的坐标为（m2﹣2m，﹣m2+m+3），∴PF＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，∴PD+BE＝﹣m2+m+（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，PD+BE的最大值为，此时，点P的坐标为（3，）；（3）由（2）中得，点P的坐标为（3，），∴点D的坐标为（3，），∵△PCD绕着点O顺时针旋转90°得到△P'C'D'，C（0，3），∴点C'的坐标为（3，0），点D'的坐标为（，﹣3），∵A（﹣2，0），C（0，3），∴AC＝＝，∵抛物线沿射线CA方向平移，∴抛物线向左平移了1个单位长度，向下平移了个单位长度，∴平移后抛物线的对称轴为直线x＝＝1，设点M（1，y），N（a，b），C'（3，0），D'（，﹣3），①以MN为对角线时，如图①，有x M+x N＝x C'+x D'，y M+y N＝y C'+y D'，C'M2+C'N2＝MN2，∴，解得：或，∴点N的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）；②以MC'为对角线时，如图②，有x M+x C'＝x N+x D'，y M+y C'＝y N+y D'，C'M2＝C'N2+MN2，∴，解得：，∴点N的坐标为（，）；③以MD'为对角线时，如图③，有x M+x D'＝x N+x C'，y M+y D'＝y N+y C'，C'M2+MN2＝C'N2，∴，解得：，∴点N的坐标为（﹣，﹣2）；综上所述，当以点M，N，C′，D′为顶点的四边形是矩形时，点N的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）或（，）或（﹣，﹣2）．3．如图，已知直线BC的解析式为y＝x﹣3，抛物线y ＝x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若M（m，y1），N（4﹣m，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，且m ＜2．分别过点M，N作x轴的垂线，交线段BC于点D、E．通过计算证明四边形MDEN 是平行四边形，并求其周长的最大值；（3）抛物线y＝x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位，得到新抛物线y1，点F为y1的对称轴上任意一点，若以点B，C，F为顶点的三角形是以BC为腰的等腰三角形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．【解答】解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，令y＝0，则x＝4，即点B是（4，0）令x＝0，则y＝﹣3，即点C是（0，﹣3）．把点B（4，0），点C（0，﹣3）．代入到抛物线y＝x2+bx+c中．得．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3（2）∵若M（m，y1），N（4﹣m，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，∴y1＝m2−m−3，y2＝（4﹣m）2−（4﹣m）−3．∵直线BC的解析式为y＝x﹣3．∵过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E，∴D（m，m−3），E（4﹣m，﹣m）．∴MD＝﹣（m2﹣m﹣3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+4m，∴EN＝﹣（4﹣m）2+4（4﹣m）＝﹣m2+4m．∴MD＝EN．∵过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E，∴MD∥EN．∴四边形MDEN为平行四边形．过D作DF⊥NE于F，则DF＝4﹣2m，如图，∵B（4，0），C（0，﹣3）．∴OB＝4，OC＝3．∴BC＝5．∵DF∥OB．∴∠EDF＝∠OBC．∵∠COB＝∠DFE＝90°，∴△DFE∽△BOC．∴＝．∴＝．∴DE＝（2﹣m）．∴平行四边形MDEN的周长＝2MD+2DE＝2（﹣m2+4m）+2×（2﹣m）＝﹣2m2+3m+10．∵﹣2m2+3m+10＝﹣2（m−）2+，又﹣2＜0，∴当m＝时，四边形MDEN的周长有最大值．（3）设平移后的抛物线的解析式为：y1＝x2+b1x+c1，点C平移后对应的点C1的坐标为（t，t﹣3），点B平移后对应的点B1的坐标为（s，t﹣3），其中，t＞0，s＞4．∵抛物线y＝x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位，C（0，﹣3），B（4，0），∴CC1＝＝，BB1＝＝．解得：t＝，s＝．∴C1的坐标为（，﹣），B1的坐标为（，﹣）．∴，解得：．∴y1＝x2﹣6x+．∴抛物线的对称轴为直线：x＝3．∵点F为y1的对称轴上任意一点，∴设点F的坐标为（3，n）．∵B（4，0），C（0，﹣3），∴BC＝．∵以点B，C，F为顶点的三角形是以BC为腰的等腰三角形，∴当BF＝BC时，＝5，解得：n＝+2．∴点F的坐标为（3，2）或（3，﹣2）．当CF＝BC时，＝5，解得：n＝1或﹣7．∴点F的坐标为（3，1）或（3﹣7）．综上所述：符合条件的点F的坐标为（3，2）或（3，﹣2）或（3，1）或（3，﹣7）．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．﹣1，3是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的两个根．（1）求该抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC交抛物线于点D，AD与y轴交于点E，P为直线BC上方抛物线上的一个动点，连接P A交BC于点F，求S△PEF的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点M为抛物线上一动点，在平面内找一点N，是否存在以点A，M，N，P为顶点的四边形是以P A为边的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵﹣1，3是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的两个根，∴，解得，∴该抛物线的解析式为y＝x2+x+2．（2）如图1，作PH⊥x轴，交AD于点H，作PG⊥AD于点G，作BK⊥AD于点K．当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0）、B（3，0）；当x＝0时，y＝2，则C（0，2）．设直线BC的解析式为y＝kx+2，则3k+2＝0，解得k＝，∴y＝x+2；设直线AD的解析式为y＝x+c，则+c＝0，解得c＝，∴y＝x，E（0，），∵OA＝1，OE＝，∠AOE＝90°，∴AE＝＝，∴OE：OA：AE＝2：3：．∴BK＝AB•sin∠OAE＝（3+1）×＝，∴S△AEF＝××＝，设P（x，x2+x+2），则H（x，x），∴PH＝x2+x+2+x+＝x2+2x+，∵PH∥y轴，∴∠PHG＝∠AEO，∴PG＝PH•sin∠AEO＝（x2+2x+），∴S△PEF＝××（x2+2x+）＝x2+x＝（x）2+，∴当x＝时，S△PEF的面积最大，最大值为，此时P（，）．（3）存在．如图2，设直线AP交y轴于点R，直线AM交y轴于点Q，直线AP的解析式为y＝px+q，由（1）得P（，），则，解得，∴y＝x+1，R（0，1），OA＝OR＝1．当矩形AMNP以AP、AM为邻边时，则∠RAQ＝90°，PN∥AM，MN∥AP．∵∠OAR＝∠ORA＝45°，∠AOR＝∠AOQ＝90°，∴∠OAQ＝∠OQA＝45°，∴OQ＝OA＝1，Q（0，﹣1）；设直线AM的解析式为y＝mx﹣1，则﹣m﹣1＝0，解得m＝﹣1，∴y＝﹣x﹣1；设直线PN的解析式为y＝﹣x+n，则+n＝，解得n＝4，∴y＝﹣x+4．由，得，，∴M（，）；设直线MN的解析式为y＝x+r，则+r＝，解得r＝﹣10，∴y＝x﹣10，由，得，∴N（7，﹣3）；设PN交抛物线于另一点M′，作M′N′∥AP交AM于点N′．由，得，，∴M′（2，2），设直线M′N′的解析式为y＝x+d，则2+d＝2，解得d＝0，∴y＝x，由，得，当矩形AN′M′P以AP、PM′为邻边，则N′（，）．综上所述，点N的坐标为（7，﹣3）或（，）．5．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），OB＝4OA，tan∠CAB＝3，连接AC、BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，过A作AD∥BC，交抛物线于点D，点P为直线BC下方抛物线上任意一点，连接DP，与BC交于点E，连接AE，当△APE面积最大时，求点P的坐标及△APE 面积的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，将抛物线先向右平移个单位，再向上平移3个单位后与x轴交于点F、G（点F在点G的左侧），点Q为直线AC上一点，连接QP、QG、PG，当△QPG是以PG为腰的等腰三角形时，请直接写出点Q的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），OB＝4OA，∴B（4，0），∵tan∠CAB＝3，∴＝3，∴C（0，﹣3），将A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3；（2）过P作PF∥AD交x轴于F，连接DF，如图：设经过B（4，0），C（0，﹣3）的直线为y＝dx+e，则，解得，∴直线BC为y＝x﹣3，由AD∥BC，设直线AD为y＝x+f，把A（﹣1，0）代入得：0＝﹣+f，解得f＝，∴直线AD为y＝x+，解得或，∴D（5，），∵AD∥BC，∴S△ADE＝S△ADB，而S△ADB＝AB•|y D|＝×5×＝，∴S△ADE＝，设P（m，m2﹣m﹣3），而PF∥AD，设直线PF为y＝x+g，则m2﹣m﹣3＝m+g，解得g＝m2﹣3m﹣3，∴直线PF为y＝x+m2﹣3m﹣3，令y＝0得x＝﹣m2+4m+4，∴F（﹣m2+4m+4，0），∵PF∥AD，∴S△ADF＝S△ADP，而S△ADF＝AF•|y D|＝＝[﹣m2+4m+4﹣（﹣1）]•＝﹣m2+9m+，∴S△ADP＝﹣m2+9m+，∴S△APE＝S△ADP﹣S△ADE＝﹣m2+9m＝﹣（m﹣2）2+9，∴m＝2时，S△APE最大，最大值为9，∴P（2，﹣）；（3）将抛物线y＝x2﹣x﹣3先向右平移个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣）2﹣（x﹣）﹣3+3＝x2﹣3x+，令y＝0得x＝或x＝，∴G（，0），∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3，设Q（n，﹣3n﹣3），则QG2＝（n﹣）2+（﹣3n﹣3）2，QP2＝（n﹣2）2+（﹣3n﹣3+）2，PG2＝（﹣2）2+（）2＝，△QPG是以PG为腰的等腰三角形，分两种情况：①PG＝QG时，（n﹣）2+（﹣3n﹣3）2＝，解得n＝或n＝，∴Q（，）或（，）；②PG＝QP时，（n﹣2）2+（﹣3n﹣3+）2＝，解得n＝或n＝，∴Q（，）或（，），综上所述，Q的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．6．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣3，点N（﹣4，﹣5）在该抛物线上．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）连接CN，点P是直线CN下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线CN于点H，在射线CH上有一点G使得PH＝PG．当△PGH周长取得最大值时，求点P的坐标和△PGH周长的最大值；（3）如图2，在（2）的条件下，直线l：y＝x﹣与x轴、y轴分别交于点E、F，将原抛物线沿着射线FE方向平移，平移后的抛物线与x轴的右交点恰好为点E，动点M 在平移后的抛物线上，点T是平面内任意一点，是否存在菱形METP，若存在，请直接写出点T的横坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+6x+3；（2）如图1，过点P作PK⊥CN于点K，设直线CN交x轴于点M，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线CN的解析式为y＝kx+n，把C（0，3）、N（﹣4，﹣5）代入得：，解得：，∴直线CN的解析式为y＝2x+3，令y＝0，得2x+3＝0，解得：x＝﹣，∴M（﹣，0），∴OM＝，∵C（0，3），∴OC＝3，在Rt△CMO中，CM＝＝＝，设P（t，t2+6t+3），则H（t，2t+3），∴PH＝（2t+3）﹣（t2+6t+3）＝﹣t2﹣4t，∴PG＝﹣t2﹣4t，∵PH＝PG，PK⊥HG，∴HG＝2HK，∵PK⊥CN，∴∠PKH＝∠MOC＝90°，∵PH∥y轴，∴∠PHK＝∠MCO，∴△PHK∽△MCO，∴＝，即＝∴HK＝（﹣t2﹣4t），∴HG＝（﹣t2﹣4t），∴△PGH周长＝PH+PG+HG＝（﹣t2﹣4t）+（﹣t2﹣4t）+（﹣t2﹣4t）＝﹣（t2+4t）＝﹣（t+2）2+，∵﹣＜0，﹣4＜t＜0，∴当t＝﹣2时，△PGH周长取得最大值，此时点P的坐标为（﹣2，﹣5）；（3）联立方程组得，解得：，，∴E′（﹣1，﹣2），在y＝x﹣中，令y＝0，得x﹣＝0，解得：x＝3，∴E（3，0），∵原抛物线上的点E′（﹣1，﹣2）平移后得到E（3，0），∴原抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位，∵原抛物线y＝x2+6x+3＝（x+3）2﹣6，顶点坐标为（﹣3，﹣6），∴平移后的抛物线顶点坐标为（1，﹣4），∴平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∵动点M在平移后的抛物线上，∴设M（m，m2﹣2m﹣3），∵菱形METP，∴PE和MT为对角线，∴MP＝ME，∵P（﹣2，﹣5），E（3，0），∴MP2＝[m﹣（﹣2）]2+[m2﹣2m﹣3﹣（﹣5）]2ME2＝（m﹣3）2+（m2﹣2m﹣3﹣0）2，∵MP＝ME，∴MP2＝ME2，解得m＝或，∴m2﹣2m﹣3＝或∴M点的坐标为（，）或（，），①当M点的坐标为（，）时：如图所示，过点M作MJ⊥x轴于J，过T作y轴的平行线与过P点且平行于x轴的平行线交点L，过点M作MV∥x轴与ET交点V，则J（，0），MV∥PL，∴JE＝3﹣＝，MJ＝，∠JEM＝∠EMV，∵四边形METP为菱形，∴ME＝PT，ME∥PT，∴∠EMV＝∠TPL，∴∠MEJ＝∠TPL，在△MJE和△TLP中，，∴△MJE≌△TLP（AAS），∴MJ＝TL＝，PL＝JE＝，∴点T的横坐标为﹣2+＝，纵坐标为﹣5+＝，∴T点的坐标为（，﹣），②当M点的坐标为（，）时：同理①可得T点的坐标为（，），综上所述，T点的坐标为（，）或（，）．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交直线BC于点N，求PN+CN的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，若抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线y'，点E为新抛物线y'上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点P，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A（1，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2+bx+c得，，解得：b＝﹣a+3，∵函数的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，即b＝2a，∴﹣a+3＝2a，∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x＝1或x＝﹣3，∴B（﹣3，0），过点C作直线PM的垂线，垂足为点H，∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴△CHN是等腰直角三角形，∴CN＝CH，∴PN+CN＝PN+2CH，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），∴PN＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，CH＝﹣x，∴PN+CN＝﹣x2﹣3x+2（﹣x）＝﹣x2﹣5x＝﹣（x+）2+，∴PN+CN的最大值为，此时点P的坐标为（﹣，﹣）．（3）∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝，∵抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线y'，∴抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到y'，∴抛物线y'的解析式为y＝（x+）2+2（x+）﹣3﹣＝x2+3x﹣，设点E（e，e2+3e﹣），点F（﹣1，f），B（﹣3，0），P（﹣，﹣），①以FE为对角线时，，解得：，∴点E的坐标为（﹣，）；②以FP为对角线时，，解得：，∴点E的坐标为（﹣，﹣）；③以FB为对角线时，，解得：，∴点E的坐标为（﹣，﹣）；综上所述，点E的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上位于直线BC上方的一个动点，过点P 作PQ∥y轴交BC于点Q；过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出2PQ+EF的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y′过点（3，1），点D为原抛物线y与新抛物线y′的交点，若点G为原抛物线的对称轴上一动点，点H为新抛物线y′上一动点，直接写出所有使得以A，D，G，H为顶点的四边形为平行四边形的点H的坐标，并把求其中一个点H的坐标的过程写出来．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴，解得：，∴此抛物线的解析式为y＝x2+x+4；（2）如图1，延长FE交PQ于点G，则FG⊥PQ，∵抛物线y＝x2+x+4与y轴交于点C，∴C（0，4），∵B（4，0），∴OB＝OC＝4，∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠CBO＝∠BCO＝45°，设直线AC的解析式为y＝kx+n，将B（4，0），C（0，4）代入得，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，∵点P在抛物线上，PQ∥y轴交BC于点Q，∴设P（m，m2+m+4），则Q（m，﹣m+4），其中0＜m＜4，∴PQ＝m2+m+4﹣（﹣m+4）＝m2+2m，∵PE⊥BC，PQ∥y轴，∴∠PEQ＝90°，∠PQE＝∠BCO＝45°，∴△PEQ是等腰直角三角形，∵EG⊥PQ，∴EG＝PQ＝×（m2+2m）＝﹣m2+m，∴EF＝FG﹣EG＝m﹣（﹣m2+m）＝m2，∴2PQ+EF＝2×（m2+2m）+m2＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，2PQ+EF最大值为，此时P（，）；（3）∵B（4，0），C（0，4），y＝x2+x+4＝（x﹣1）2+，∴将抛物线y＝x2+x+4沿着射线CB的方向平移，即向右平移t个单位，向下平移t 个单位，∴平移后的新抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣t）2+﹣t，∵新抛物线y′过点（3，1），∴1＝（3﹣1﹣t）2+﹣t，解得：t＝﹣1（不符合题意，舍去）或t＝3，∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2+＝x2+4x﹣，由得，∴D（，），∵点G为原抛物线的对称轴上一动点，点H为新抛物线y′上一动点，∴设G（1，s），H（r，r2+4r﹣），而A（﹣2，0），①以AH、DG为对角线时，则，解得：r＝，∴r2+4r﹣＝﹣×（）2+4×﹣＝﹣，∴H（，﹣）；②以AG、DH为对角线时，则，解得：r＝，∴r2+4r﹣＝﹣×（﹣）2+4×（﹣）﹣＝﹣，∴H（，）；③以AD、GH为对角线时，则，解得：r＝，∴r2+4r﹣＝﹣×（）2+4×﹣＝﹣，∴H（，﹣）；综上所述，H的坐标为：H（，﹣）或H（，）或H（，﹣）．9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作PD∥AC交BC于E，交x轴于点D，求PE+BE的最大值以及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线y1，新抛物线y1和原抛物线相交于点F．新抛物线y1的顶点为点G，点M是直线FG上的一动点，点N为平面内一点．若以P、G、M、N四点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点的过程．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图，过点E作x轴的平行线，过点P作PJ⊥x轴于J，并与过E点的平行线交点H，过点B作BK⊥EH的延长线于K，则可得四边形HKBJ为矩形，由（1）可得C（0，3），则有Rt△AOC中，CO＝3，OA＝1，AC＝，∵AC∥DP，EK∥x轴，KB⊥x轴，CO⊥x轴，∴∠CAO＝∠PDJ＝∠PEH，∠OCB＝∠EBK，∴，，∴，，∴PH＝，，∴+＝PH+BK＝PH+HJ＝PJ，∵当P在抛物线的顶点时，有PJ的最大值，∴当P在抛物线顶点时，有+最大值，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，求得抛物线的顶点坐标为（1，4），∵当P点坐标为（1，4）时，PJ＝4，∴当+最大时，P点坐标为（1，4），∴＝2•（+）＝8，此时点P的坐标为（1，4）．（3）∵抛物线沿射线CA方向平移个单位得到新的抛物线y1，且CA＝，∴平移之后原来的C点到了A点的位置，∴原抛物线的平移可看作先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，∵新抛物线的解析式为，∴y1的顶点坐标为G（0，1），∵﹣x2+1＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1，则﹣x2+1＝0，∴F（﹣1，0），①当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（PG＝PN）：∵M为平面内任意一点，∴此情况时，只要求PN＝PG即可，∵F（﹣1，0），G（0，1），∴可求出FG的解析式为y＝x+1，∴设N（n，n+1）∵P（1，4），G（0，1），PG＝PN，∴PG＝＝＝PN＝，求得n＝4，∴n+1＝5，∴N坐标为（4，5）．②当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（GP＝GN）：同理①可求出N（），③当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（GP＝GN）：同理①可求出N（），④当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（NP＝NG）：同理①可求出N（），综上所述，N坐标为（4，5）或（）或（）或（）．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线，与x轴交于A、B两点，令y＝0，得，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为（﹣3，0）；（2）如图1，延长DE交x轴于点K，∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，﹣2），设直线AC的函数表达式为y＝kx+n（k≠0），∵A（﹣3，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴直线AC的函数表达式为，设，其中﹣3＜t＜0，∴，K（t，0），∴DE＝﹣t2﹣2t，∵＝（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣3t，＝（t+2）＝t+3，∴S1﹣S2＝﹣t2﹣3t﹣t﹣3＝﹣t2﹣4t﹣3＝﹣（t+2）2+1，∴当t＝﹣2时，S1﹣S2取得最大值，最大值为1，此时点D的坐标为（﹣2，﹣2）；（3）∵C（0，﹣2），B（1，0），∴＝，∵抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，∴抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，。
中考数学压轴题归类复习(十大类型附详细解答)
中考数学压轴题辅导（十大类型）目录动点型问题............................................................................. (3)几何图形的变换（平移、旋转、翻折） (6)相似与三角函数问题 9三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等） (13)与四边形有关的二次函数问题 (16)初中数学中的最值问题 (19)定值的问题 (22)存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等） (25)与圆有关的二次函数综合题 (29)其它（如新定义型题、面积问题等） (33)参考答案 (36)中考数学压轴题辅导（十大类型）数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。
函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。
求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。
几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。
一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。
找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。
求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。
2020年中考数学二轮冲刺专项复习——二次函数综合 压轴题型(含详细解答)
2020年中考数学二轮冲刺专项复习——二次函数综合压轴题型1、（2019聊城中考第25题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠PAE≠∠CAO，∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，此时，即：，∴AE＝4PE，设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，∴OE＝4k﹣2，将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：k＝0或（舍去0），则点P（，）；（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，∴，∴S△PDF＝•S△BOC，而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝．2、(2019临沂中考第26题13分)在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝2a+1，即：﹣≥0，解得：a，故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△PAB＝×AB×PH＝2×PQ×＝1，则y P﹣y Q＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|y P ﹣y Q |＝1，设点P （x ，﹣x 2﹣x +2），则点Q （x ，x +2），即：﹣x 2﹣x +2﹣x ﹣2＝±1，解得：x ＝﹣1或﹣1， 故点P （﹣1，2）或（﹣1，1）或（﹣1﹣，﹣）．3、（2019山西中考 第23题 13分 ）综合与探究如图，抛物线62++=bx ax y 经过点A （-2,0），B （4,0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为)41(<<m m .连接AC ，BC ，DB ，DC.（1）求抛物线的函数表达式；（2）△BCD 的面积等于△AOC的面积的43时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）抛物线c bx ax y ++=2经过点A （-2,0），B （4,0）， ∴⎩⎨⎧=++=+-064160624b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2343b a ，∴抛物线的函数表达式为623432++-=x x y （2）作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F.∵点A 的坐标为（-2,0），∴OA=2由0=x ，得6=y ，∴点C 的坐标为（0,6），∴OC=6∴S △OAC =6622121=⨯⨯=⋅⋅OC OA ，∵S △BCD =43S △AOC =29643=⨯设直线BC 的函数表达式为n kx y +=，由B ，C 两点的坐标得⎩⎨⎧==+604n n k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=623n k ∴直线BC 的函数表达式为623+-=x y . ∴点G 的坐标为),623,(+-m m∴m m m m m DG 343)623(6234322+-=+--++-= ∵点B 的坐标为（4,0），∴OB=4S △BCD=S △CDG+S △BDG=BO DG BE CF DG BE DG CF DG ⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅21)(212121 =m m m m 62343432122+-=⨯+-）（∴296232=+-m m ，解得11=m （舍），32=m ，∴m 的值为3（3）)0,14(),0,14(),0,0(),0,8(4321-M M M M如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图以BD 为边进行构图，有3种情况，采用构造全等发进行求解.∵D 点坐标为)415,3(，所以21,N N 的纵坐标为415 415623432=++-x x ，解得3,121=-=x x （舍）可得)0,0(),415,1(22M N ∴- ∴43,N N 的纵坐标为415-时，141,14141562343212+=-=-=++-x x x x ， ∴)0,14(),415,141(33M N ∴-+，)0,14(),415,141(44-∴--M N 以BD 为对角线进行构图，有1种情况，采用中点坐标公式进行求解.∵)0,8(),4150415),1(43(),415,1(111M M N ∴-+--+∴-4、（2019潍坊中考第25题13分）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4时，求点P的坐标．解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），∵点A（4，0），则点M（2，1）；（2）∵⊙P与直线AD，则∠CAD＝90°，设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，AC＝，则CD＝＝10，则点D（0，﹣8），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，将点B坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2，cos∠PEH＝，解得：PE＝5，设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝或2（舍去2），则点P（，）．5、(2019湘西中考第26题22分)如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【解答】解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2∴A（2，0）∵OA：AD＝1：3∴AD＝3OA＝6∵四边形ABCD是矩形∴AD⊥AB∴D（2，﹣6）∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8∴抛物线对称轴为直线x＝4∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）∴y C＝y D＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称∴x C＝4+（4﹣x D）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD＝4，B（6，0）∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4∴M（6，﹣4）∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上∴M'（6，4），FM＝FM'∵N为CD中点∴N（4，﹣6）∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝＝2+10＝12∴四边形MNGF周长最小值为12．（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．过点P作PE∥y轴交直线OD于点E ∵D（2，﹣6）∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧∴PE＝y E﹣y P＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE•x P+PE•（x D﹣x P）＝PE（x P+x D﹣x P）＝PE•x D＝PE＝﹣t2+t ∵△ODP中OD边上的高h＝，∴S△ODP＝OD•h∴﹣t2+t＝×2×方程无解②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧∴PE＝y P﹣y E＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE•x P﹣PE•（x P﹣x D）＝PE（x P﹣x P+x D）＝PE•x D＝PE＝t2﹣t ∴t2﹣t＝×2×解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6∴P（6，﹣6）综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L∵KL平分矩形ABCD的面积∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4∴K（m，0），L（2+m，0）连接AC，交KL于点H∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD∴S△AHK＝S△CHL∵AK∥LC∴△AHK∽△CHL∴∴AH＝CH，即点H为AC中点∴H（4，﹣3）也是KL中点∴∴m＝3∴抛物线平移的距离为3个单位长度．6、（2019宜宾中考第26题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b 都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，∴a2﹣3a＝2，解得：a＝，a＝（舍去），∴M（，），综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（）．（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝＝＝﹣，∴当m＝时，△PAB面积的最大值是，此时P点坐标为（）．7、（2019遂宁中考第25题12分）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．【解答】解：（1）∵二次函数顶点为P（3，3）∴设顶点式y＝a（x﹣3）2+3∵二次函数图象过点A（6，0）∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣∴二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x（2）设B（b，﹣b2+2b）（b＞3）∴直线OB解析式为：y＝（﹣b+2）x∵OB交对称轴l于点M∴当x M＝3时，y M＝（﹣b+2）×3＝﹣b+6∴M（3，﹣b+6）∵点M、N关于点P对称∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，∴y N＝3+b﹣3＝b，即N（3，b）①∵OP＝MN∴OP＝MP∴＝b﹣3解得：b＝3+3∴﹣b2+2b＝﹣×（3+3）2+2×（3+3）＝﹣3∴B（3+3，﹣3），N（3，3+3）∴OB2＝（3+3）2+（﹣3）2＝36+18，ON2＝32+（3+3）2＝36+18，BN2＝（3+3﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3）2＝72+36∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3，﹣3）．②证明：如图，设直线BN与x轴交于点D ∵B（b，﹣b2+2b）、N（3，b）设直线BN解析式为y＝kx+d ∴解得：∴直线BN：y＝﹣bx+2b当y＝0时，﹣bx+2b＝0，解得：x＝6∴D（6，0）∵C（3，0），NC⊥x轴∴NC垂直平分OD ∴ND＝NO ∴∠BNM＝∠ONM8、(2019绵阳中考第24题)在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．【答案】解：（1）将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y=a（x-1）2-2，∵OA=1，∴点A的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得，4a-2=0，∴，∴抛物线的解析式为y=，即y=．令y=0，解得x1=-1，x2=3，∴B（3，0），∴AB=OA+OB=4，∵△ABD的面积为5，∴=5，∴y D=，代入抛物线解析式得，，解得x1=-2，x2=4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y=．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴=，∴S△ACE=S△AME-S△CME===，=，∴当a=时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交轴于点P，∵E（），OA=1，∴AG=1+=，EG=，∴，∵∠AGE=∠AHP=90°∴sin，∴，∵E、F关于x轴对称，∴PE=PF，∴PE+AP=FP+HP=FH，此时FH最小，∵EF=，∠AEG=∠HEF，∴=，∴．∴PE+PA的最小值是3．9、（2019南充中考 第25题 10分）如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （-1，0），点B （-3,0），且OB=OC.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，且∠POB=∠ACB ，求点P 的坐标；（3）抛物线上两点M ，N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m+4.点D 是抛物线上M ，N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点E.①求DE 的最大值.②点D 关于点E 的对称点为F.当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？解：（1）∵OB=OC ，B （-3,0），∴C （0，-3）（1分）又题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧-==+-=+-30390c c b a c b a 解得：3,4,1-=-=-=c b a .∴342---=x x y （3分）（2）过点A 作AG ⊥BC 于点G ，如图所示，BG=AG=AB ·sin45°=2（4分）∵BC=232=OB ，∴CG=BC-BG=22，∴tan ∠ACG=21=CG AG （5分） 设P （34,2---t t t ），过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，tan ∠POQ=tan ∠ACG=21.①当P 在x 轴上方时，034,02>---<t t t则PQ =t OQ t t -=---,342，tan ∠POQ=0672,213422=++=----=t t t t t OQ PQ 解得23,221-=-=t t ，∴)43,23(),1,2(21--P P （6分）②当点P 在第三象限时，0692,213422=++=-++t t t y t ， 解得：4339,433943--=+-=t t ∴)8339,4339(),8339,4339(43+-+-+-+-P P （7分） ③当点P 在第四象限时，∠POB ＞90°，而∠ACB ＜90°，∴点P 不在第四象限 故点P 坐标为),1,2(-或)43,23(-或)8339,4339(+-+-或)8339,4339(+-+- （3）①由已知，)3)4(4)4(,4(),34,(22-+-+-+---m m m N m m m M 即)3512,4(2---+m m m N ，设直线MN 为n kx y +=得：⎪⎩⎪⎨⎧---=++---=+3512)4(3422m m n m k m m n km 解得：⎩⎨⎧-+=--=34822m m n m k 故MN 为)34()8(2-++--=m m x m y （8分）设)34,(2---t t t D ，))34()82(,(2-++--m m t m t E∴DE=----)34(2t t )]34()82[(2-++--m m t m=[]4)2()4()2(2222++--=+-++-m t m m t m t ，当2+=m t 时，DE 最大值为4（9分）②当DE 最大时，点)198,2(2---+m m m E 为MN 的中点.由已知，点E 为DF 的中点，∴当DE 最大时，四边形MDNF 为平行四边形. 如果□MDNF 为矩形，则,4222DE DF MN ==故22244)328(4⨯=++m ，化简得，43)4(2=+m ，故234±-=m .当234+-=m 或234--时，四边形MDNF 为矩形（10分）10、（2019 毕节中考 第27题 16分）已知抛物线y ＝ax 2+bx +3经过点A （1，0）和点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，∴BD＝BC＝×＝2，y D＝BD sin∠CBO＝2，则点D（﹣1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝45°，∴OH＝OE＝1，则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝（舍去正值），故点P（，）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：y＝x+3，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，整理得：3x2+9x+7＝0，解得：△＜0，故方程无解，则不存在满足条件的点P．11、（2019益阳中考第25题12分）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC 上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）．解：（1）函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；（2）OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四边形OMAD＝S△OBM；（3）设点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故点P（4，﹣5）；如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，由（2）知：点N是PQ的中点，将点C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，同理直线AC的表达式为：y＝2x+2，直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D（0，3），同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣，即点Q（﹣，），∵点N是PQ的中点，由中点公式得：点N（，﹣）．12、（2019岳阳中考第24题10分）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4∴点A坐标为（﹣4，﹣4）当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6∵点A在点B的左侧∴点B坐标为（﹣1，﹣2）（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°∴∠B'OG＝∠OBE在△B'OG与△OBE中∴△B'OG≌△OBE（AAS）∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1 ∵点B'在第四象限∴B'（2，﹣1）同理可求得：A'（4，﹣4）∴OA＝OA'＝∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B' ∴解得：∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4∴对称轴为直线：x＝﹣＝6∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20∵点A'在以OM为直径的圆上∴∠OA'M＝90°∴OA'2+A'M2＝OM2∴（4）2+m2+8m+20＝36+m2 解得：m＝﹣2∴A'M＝∴S△OA'M＝OA'•A'M＝＝8（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．∵B'（2，﹣1）∴直线OB'解析式为y＝﹣x解得：（即为点B'）∴C（8，﹣4）∵A'（4，﹣4）∴A'C∥x轴，A'C＝4∴∠OA'C＝135°∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3）①若△AOD∽△OA'C，则＝1∴OD＝A'C＝4∴D（4，0）或（0，4）②若△DOA∽△OA'C，则∴OD＝OA'＝8∴D（8，0）或（0，8）综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．。
2020年中考数学压轴题限时专训2(含解析)
2020年中考数学压轴题限时专训2一、选择题（共6题）1．已知函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分如图所示，则a+b+c取值范围是（）A．﹣2＜a+b+c＜0 B．﹣2＜a+b+c＜2 C．0＜a+b+c＜2 D．a+b+c＜22．如图所示，矩形OABC中，OA＝2OC，D是对角线OB上的一点，OD＝OB，E是边AB上的一点．AE＝AB，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过D，E两点，交BC于点F，AC与OB交于点M．EF与OB交于点G，且四边形BFDE的面积为．下列结论：①EF∥AC；②k＝2；③矩形OABC的面积为；④点F的坐标为（，）正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA 上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣84．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值5．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（）A．B．C．D．6．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．5次C．6次D．7次二、填空题（共6题）1．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是．2．如图，AE=4，以AE为直径作⊙O，点B是直径AE上的一动点，以AB为边在AE的上方作正方形ABCD，取CD的中点M，将△ADM沿直线AM对折，当点D的对应点D´落在⊙O上时，BE的长为.3．如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A 旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝．第3题第4题4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．5．如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为．第5题第6题6．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，∠ABC＝60°．若动点P以2cm/s的速度从BEAO BD CMD´点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为．三、解答题（共6题）1．在平面直角坐标系xOy中，有不重合的两个点Q（x1，y1）与P（x2，y2）．若Q，P为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点P之间的“折距”，记做D PQ．特别地，当PQ与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ的长即点Q与点P 之间的“折距”．例如，在图1中，点P（1，﹣1），点Q（3，﹣2），此时点Q与点P之间的“折距”D PQ＝3．（1）①已知O为坐标原点，点A（3，﹣2），B（﹣1，0），则D AO＝，D BO＝．②点C在直线y＝﹣x+4上，请你求出D CO的最小值．（2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线y＝3x+6上以动点．请你直接写出点E与点F之间“折距”D EF的最小值．2．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在AD上，ED＝3．动点P从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作PF∥CE，与边BA交于点F，过点F作FG∥BC，与CE交于点G，当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段BF和PF的长度，则有BF＝，PF＝．（2）如图2，作点D关于CE的对称点D′，当FG恰好过点D′时，求t的值．（3）如图3，作△FGP的外接圆⊙O，当点P在运动过程中．①当外接圆⊙O与四边形ABCE的边BC或CE相切时，请求出符合要求的t的值；②当外接圆⊙O的圆心O落在△FGP的内部（不包括边上）时，直接写出t的取值范围．3．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝10，点E为AD上一点，且AE＝AB，点F从点E出发，向终点D运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作▱BFHG，连接AG．设点F的运动时间为t秒．（1）试说明：△ABG∽△EBF；（2）当点H落在直线CD上时，求t的值；（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．4．已知，如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx﹣对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l 上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值．5．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y 轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，∠OAC＝30°，点D是BC的中点，（1）OC＝：点D的坐标为（2）若点E在线段0A上，直线DE把矩形OABC面积分成为2：1，求点E坐标；（3）如图2，点P为线段AB上一动点（与A、B重合），连接DP；①将△DBP沿DP所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BP的长；②以线段DP为边，在DP所在直线的右上方作等边△DPQ，当动点P从点B运动到点A 时，点Q也随之运动，请直接写出点Q运动路径的长．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；②请直接写出使∠PBA＝∠ABC的点P的坐标．【答案与解析】一、选择题1．【分析】函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下可知a小于0，由于抛物线顶点在第一象限即抛物线对称轴在y轴右侧，当x＝1时，抛物线的值必大于0由此可求出a的取值范围，将a+b+c用a表示出即可得出答案．【解答】解：由图象可知：a＜0，图象过点（0，1），所以c＝1，图象过点（﹣1，0），则a﹣b+1＝0，当x＝1时，应有y＞0，则a+b+1＞0，将a﹣b+1＝0代入，可得a+（a+1）+1＞0，解得a＞﹣1，所以，实数a的取值范围为﹣1＜a＜0．又a+b+c＝2a+2，∴0＜a+b+c＜2．故选：C．2．【分析】设E（a，b），F（m，n），则a＝OA＝BC，b＝AE，CF＝m，n＝CO＝AB，证明＝即可判断①；表示出D和E的坐标，根据系数k的几何意义求得k的值即可判断②；求得B的坐标，求得矩形OABC的面积即可判断③；求得F的坐标即可判断④．【解答】解：设E（a，b），F（m，n），则a＝OA＝BC，b＝AE，CF＝m，n＝CO＝AB，∴B（a，n），∵E，F在反比例函数y＝上，∴ab＝mn，∴BC•AE＝CF•AB，∴＝，∴EF∥AC，故①正确；∵OD＝OB，AE＝AB，∴D（a，n），E（a，n），∵OA＝2OC，∴a＝2n，∴B（2n，n），D（n，n），E（2n，n），∵反比例函数y＝经过点F，E，∴k＝mn＝2n•n，∴m＝n，∴F（n，n），∴BF＝2n﹣n＝n，BE＝n，∵四边形BFDE的面积＝S△BDF+S△BDE＝，∴×n×（n﹣n）+×n×（2n﹣n）＝，解得n＝，∴E（3，），F（，）∴k＝3×＝2，故②④正确；∵B（3，），∴矩形OABC的面积为，故③正确；故选：A．3．【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点D的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF 中，由勾股定理建立方程求出k的值．【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∴AF：EG＝BD：BE，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D、E在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．4．【分析】A、根据等边三角形ABC的内心的性质可知：AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG ＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD＝CG，AF＝CE，从而得△ADF≌△CGE；B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF＝GF＝GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；C、根据S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC＝（定值），可作判断；D、方法同C，将S四边形OGB'F＝S△OAC﹣S△OFG，根据S△OFG＝•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．【解答】解：A、连接OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的内心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG＝（∠F AD+∠ADF），由折叠得：∠BDE＝∠ODF＝（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF＝（∠F AD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）＝120°，∴∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD＝OG，OE＝OF，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD＝CG，AF＝CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF＝GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G＝AD，∴△B'FG的周长＝FG+B'F+B'G＝FG+AF+CG＝AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE＝S△OCF+S△OAF＝S△AOC＝（定值），故选项C正确；D、S四边形OGB'F＝S△OFG+S△B'GF＝S△OFD+S△ADF＝S四边形OF AD＝S△OAD+S△OAF＝S△OCG+S△OAF＝S△OAC﹣S△OFG，过O作OH⊥AC于H，∴S△OFG＝•FG•OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，故选项D不一定正确；故选：D．5．【分析】可证△ABF≌△AC′E（AAS）、△CDE≌△B′DF（AAS），则B′D+DE＝CD+ED ＝x，y＝EC′×△AEC′的EC′边上的高，即可求解．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转α，设AB′与BC交于点F，则∠BAB′＝∠CAC′＝α，∠B＝∠C′＝30°，AB＝AC＝AC′，∴△ABF≌△AC′E（AAS），∴BF＝C′E，AE＝AF，同理△CDE≌△B′DF（AAS），∴B′D＝CD，∴B′D+DE＝CD+ED＝x，AB＝AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的高为1，等于△AEC′的高，BC＝2＝B′C′，y＝EC′×△AEC′的EC′边上的高＝（2）＝﹣x+，故选：B．6．【分析】根据⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，设O1O2交圆O于M，求出PM＝4，得出圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，即可得到答案．【解答】解：∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，设O1O2交圆O于M，∴PM＝8﹣3﹣1＝4，圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，∴根据图形得出有5次．故选：B．二、填空题1．【分析】将点A代入抛物线中可求m＝﹣1，则可求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为x＝﹣2，则满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，故答案为﹣4≤x≤﹣1．2.3．【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．4．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O 的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE＝OF；在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得BC＝4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即5×OE+2×OE＝2×3，解得OE＝，∴⊙O的半径是．故答案为：．5．【分析】利用菱形的面积公式：•AC•BD＝BC•AE，即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，∴AB＝BC＝5，∵•AC•BD＝BC•AE，∴AE＝，故答案为：，6．【分析】应分两种情况进行讨论：①当PQ⊥AC时，△APQ为直角三角形，根据△APQ ∽△ABC，可将时间t求出；②当PQ⊥AB时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ACB，可将时间t求出．【解答】解：∵AB是直径，∴∠C＝90°，又∵BC＝2cm，∠ABC＝60°，∴AB＝2BC＝4，AC＝2，则AP＝（4﹣2t）cm，AQ＝t，∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，∴0＜t≤2，①如图1，当PQ⊥AC时，PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，∴，∴，解得t＝3﹣，②如图2，当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB，则，故，解得t＝，故答案为：3﹣，．三、解答题1．【分析】（1）①D AO＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5，即可求解；②设点C（m，4﹣m），则D CO＝|m|+|m﹣4|，当0≤m≤4时，D CO最小，即可求解；（2）EF1是“折距”D EF的最小值，即求EF1的最小值即可，当点E在y轴左侧于平行于直线y＝﹣x+4的直线相切时，EF1最小，即可求解．【解答】解：（1）①D AO＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5，同理D BO＝1，故答案为：5，1；②设点C（m，4﹣m），则D CO＝|m|+|m﹣4|，当0≤m≤4时，D CO最小，最小值为4；（2）如图2，过点E分别作x、y轴的平行线交直线y＝﹣x+4于F1、F2，则EF1是“折距”D EF的最小值，即求EF1的最小值即可，当点E在y轴左侧于平行于直线y＝﹣x+4的直线相切时，EF1最小，如图3，将直线y＝﹣x+4向右平移与圆相切于点E，平移后的直线与x轴交于点G，连接OE，设原直线与x、y轴交于点M、N，则点M、N的坐标分别为（﹣2，0）、点N（0，6），则MN＝2，则△MON∽△GEO，则，即，则GO＝，EF1＝MG＝2﹣＝．2．【分析】（1）由△PFB∽△ECD，得＝＝，由此即可解决问题．（2）如图2中，由△D′MG∽△CDE，得＝，求出MG，根据PF＝CG＝CM﹣MG，列出方程即可解决问题．（3）①存在．如图4中，当⊙O与BC相切时，连接OP延长PO交FG于M，连接OF、OG，由PB＝MF＝MG＝FG＝PC，得到3t＝（5﹣3t），即可解决问题．如图5中，当⊙O与BC相切时，连接GO，延长GO交PF于M，连接OF、OP，由△FGM∽△PFB，得＝，列出方程即可解决问题．②求出两种特殊位置t的值即可判断．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，在Rt△ECD中，∵∠D＝90°，ED＝3．CD＝4，∴EC＝＝5，∵PF∥CE，FG∥BC，∴四边形PFGC是平行四边形，∴∠FPB＝∠ECB＝∠DEC，∴△PFB∽△ECD，∴＝＝，∴＝＝，∴BF＝4t，PF＝5t，故答案为4t，5t．（2）如图2中，∴D、D′关于CE对称，∴DD′⊥CE，DM＝MD′，∵•DE•DC＝•EC•DM，∴DM＝D′M＝，CM＝＝，由△D′MG∽△CDE，得＝，∴＝，∴MG＝，∴PF＝CG＝CM﹣MG，∴5t＝﹣，∴t＝．∴t＝时，D′落在FG上．（3）存在．①如图4中，当⊙O与BC相切时，连接OP延长PO交FG于M，连接OF、OG．∵OP⊥BC，BC∥FG，∴PO⊥FG，∴FM＝MG由PB＝MF＝MG＝FG＝PC，得到3t＝（5﹣3t），解得t＝．如图5中，当⊙O与EC相切时，连接GO，延长GO交PF于M，连接OF、OP．∵OG⊥EC，BF∥EC，∴GO⊥PF，∴MF＝MP＝t，∵△FGM∽△PFB，∴＝，∴＝，解得t＝．综上所述t＝或时，⊙O与四边形ABCE的一边（AE边除外）相切．②如图6中，当∠FPG＝90°时，由cos∠PCG＝cos∠CED，∴＝，∴t＝，如图7中，当∠FGP＝90°时，∴＝，∴t＝，观察图象可知：当＜t＜时，外接圆⊙O的圆心O落在△FGP的内部．3．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明两三角形相似；（2）如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．首先证明△GFN≌△FHM，想办法求出点H的坐标，构建方程即可解决问题；（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．推出点H在直线y＝x+上运动，根据垂线段最短即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABE，△BGF都是等腰直角三角形，∴＝＝，∵∠ABE＝∠GBF＝45°，∴∠ABG＝∠EBF，∴△ABG∽△EBF．（2）解：如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．∵△GFH是等腰直角三角形，∴FG＝FH，∠GNF＝∠GFH＝∠HMF＝90°，∴∠GFN+∠HFM＝90°，∠HFM+∠FHM＝90°，∴∠GFN＝∠FHM，∴△GFN≌△FHM，∴GN＝FM，FN＝HM，∵△ABG∽△EBF，∴＝＝，∠AGB＝∠EFB，∵∠AKG＝∠BKF，∴∠GAN＝∠KBF＝45°，∵EF＝t，∴AG＝t，∴AN＝GN＝FM＝t，∴AM＝2+t，HM＝FN＝2+t，∴H（2+t，4+t），当点H在直线CD上时，2+t＝10，解得t＝．（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．∴点H在直线y＝x+上运动，如图，作CH垂直直线y＝x+垂足为H．根据垂线段最短可知，此时CH的长最小，易知直线CH的解析式为y＝﹣3x+30，由，解得，∴H（8，6），∵C（10，0），∴CH＝＝2，∴HC最小值是2．4．【分析】（1）令二次函数解析式y＝0，解方程即求得点A、B坐标；把点A坐标代入直线l解析式即求得直线l．（2）把二次函数解析式配方得顶点C（﹣1，﹣4a），由B、C关于直线l对称可知AB＝AC，用a表示AC的长即能列得关于的方程．求得a有两个互为相反数的解，由二次函数图象开口向上可知a＞0，舍去负值．（3）①用待定系数法求直线AC解析式，由BD∥AC可知直线BD解析式的k与AC的k相同，再代入点B坐标即求得直线BD解析式．把直线l与直线BD解析式联立方程组，求得的解即为点D坐标．②由点B、C关于直线l对称，连接BN即有B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM最小；作点D关于直线AC的对称点Q，连接DQ交直线AC于点E，可证B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ最小，CN+NM+MD最小值＝BM+MD最小值＝BQ．由直线AC垂直平分DQ且AC∥BD可得BD⊥DQ，即∠BDQ＝90°．由B、D坐标易求BD的长；由B、C关于直线l对称可得l平分∠BAC，作DF⊥x轴于F则有DF＝DE，所以DQ＝2DE＝2DF＝4；利用勾股定理即求得BQ的长．【解答】解：（1）当y＝0时，ax2+2ax﹣3a＝0解得：x1＝﹣3，x2＝1∴点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0）∵直线l：y＝kx﹣经过点A∴﹣3k﹣＝0 解得：k＝﹣∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣（2）∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a∴点C坐标为（﹣1，﹣4a）∵C、B关于直线l对称，A在直线l上∴AC＝AB，即AC2＝AB2∴（﹣1+3）2+（﹣4a）2＝（1+3）2解得：a＝±（舍去负值），即a＝∴二次函数解析式为：y＝x2+x﹣（3）∵A（﹣3，0），C（﹣1，﹣2），设直线AC解析式为y＝kx+b∴解得：∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3∵BD∥AC∴设直线BD解析式为y＝﹣x+c把点B（1，0）代入得：﹣+c＝0 解得：c＝∴直线BD解析式为y＝﹣x+∵解得：∴点D坐标为（3，﹣2）如图，连接BN，过点D作DF⊥x轴于点F，作D关于直线AC的对称点点Q，连接DQ 交AC于点E，连接BQ，MQ．∵点B、C关于直线l对称，点N在直线l上∴BN＝CN∴当B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM，即CN+MN的最小值为BM ∵点D、Q关于直线AC对称，点M在直线AC上∴MQ＝MD，DQ⊥AC，DE＝QE∴当B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ，即BM+MD的最小值为BQ ∴此时，CN+NM+MD＝BM+MD＝BQ，即CN+NM+MD的最小值为BQ∵点B、C关于直线l对称∴AD平分∠BAC∵DF⊥AB，DE⊥AC∴DE＝DF＝|y D|＝2∴DQ＝2DE＝4∵B（1，0），D（3，﹣2）∴BD2＝（3﹣1）2+（﹣2）2＝16∵BD∥AC∴∠BDQ＝∠AEQ＝90°∴BQ＝∴CN+NM+MD的最小值为8．5．【分析】（1）在Rt△AOC中，解直角三角形求出OC即可解决问题．（2）设E（m，0）．由题意，分两种情形：S四边形OEDC＝•（CD+OE）•OC＝•S矩形OABC或S四边形OEDC＝•（CD+OE）•OC＝•S矩形OABC，分别构建方程即可解决问题．（3）①如图1﹣1中，在Rt△DPB中，解直角三角形求出PB即可．②如图2中，以BD为边向上作等边三角形DBQ′，连接QQ′．证明△Q′DQ≌△BDP（SAS），推出QQ′＝PB，∠DQ′Q＝∠DBP＝90°，推出点Q的运动轨迹是线段QQ′，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∵OA＝3，∠OAC＝30°，∴OC＝OA•tan30°＝，故答案为，（，）．（2）设E（m，0）．由题意，S四边形OEDC＝•（CD+OE）•OC＝•S矩形OABC或S四边形OEDC ＝•（CD+OE）•OC＝•S矩形OABC，∴•（CD+OE）•OC＝×3×或•（CD+OE）•OC＝×3×，∴•（+m）•＝×3×或•（+m）•OC＝×3×，解得，m＝4﹣或2﹣．（3）①如图1﹣1中，∵tan∠OAC＝，∴∠OAC＝30°，∴∠ACB＝∠OAC＝30°，设将△DBP沿DP所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，∴∠DB'C＝∠ACB＝30°∴∠BDB'＝60°，∴∠BDP＝∠B'DF＝30°，∵∠B＝90°，∴BP＝BD•tan30°＝，②如图2中，以BD为边向上作等边三角形DBQ′，连接QQ′．∵∠Q′DB＝∠QDP＝60°，∴∠Q′DQ＝∠BDP，∵Q′D＝BD，QD＝PD，∴△Q′DQ≌△BDP（SAS），∴QQ′＝PB，∠DQ′Q＝∠DBP＝90°，∴点Q的运动轨迹是线段QQ′，当动点P从点B运动到点A时，QQ′＝AB＝，∴点Q运动路径的长为．6．【分析】（1）用待定系数法进行解答便可；（2）①设出P点的横坐标为m，用m的代数式表示PD和DE，根据相似三角形的两种情况，由两直角边对应成比例，列出m的方程便可；②过B作BP平分∠ABC，交抛物线于点P，交OC于点M，过M作MN⊥BC于点N，设OM＝x，根据勾股定理求出x值，求得M点坐标，进而求出直线BM与抛物线的交点坐标便可得出其中一个满足条件的P点坐标；再取M关于x轴的对称点K的坐标，进而求得BK与抛物线的交点坐标，便可得另一个满足条件的P点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为：；（2）令x＝0，得＝4，∴C（0，4），∴OC＝4，∵B（3，0），∴OB＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），则，解得，∴直线BC的解析式为：y＝，设P（m，），则D（m，），∴DP＝，DE＝m，∴，∵∠BOC＝∠PDE＝90°，∴当△PDE和△BOC相似时，有两种情况：当△PDE∽△BOC时，则，即＝，解得，m＝，∴P（，）；当△PDE∽△COB时，则，即＝，解得，m＝2，∴P（2，4）．综上，当△PDE和△BOC相似时，点P的坐标（，）或（2，4）；②过B作BP平分∠ABC，交抛物线于点P，交OC于点M，过M作MN⊥BC于点N，如图1，则∠PBA＝∠ABC，OM＝MN，在Rt△BOM和Rt△BNM中，，∴Rt△BOM≌Rt△BNM（HL），∴BN＝BO＝3，设OM＝t，则MN＝MO＝t，CM＝4﹣t，CN＝BC﹣BN＝﹣3＝2，∵MN2+CN2＝MC2，∴t2+22＝（4﹣t）2，∴t＝，∴M（0，），设BM的解析式为：y＝mx+（m≠0），代入B（3，0）得，m＝，∴直线BM的解析式为：y＝﹣，解方程组得，，，∴p（，），取M（0，）关于x轴的对称点，K（0，﹣），连接BK，延长BK，交抛物线于点P'，如图2所示，则∠ABP＝∠ABC，设直线BK的解析式为y＝px（p≠0），代入B（3，0）得，p＝，∴直线BK的解析式为：y﹣，解方程组得，，∴P'（，），综上，使∠PBA＝∠ABC的点P的坐标为（，）或（，）．。
重难点 填空压轴题(代数篇)(学生版)--2024年中考数学二轮复习
重难点 填空压轴题(代数篇)目录题型01 求值类类型一 代数式求值类型二 方程、不等式求值类型三 函数求值题型02 规律探究类类型四 数字规律探究类型五 图形规律探究类型六 函数规律探究题型03 函数最值类类型七 一次函数的最值问题类型八 二次函数的最值问题类型九 反比例函数与其它函数的最值问题题型04 函数临界点类类型十 一次函数的最值问题类型十一 二次函数的最值问题类型十二 反比例函数的最值问题题型01求值类类型一代数式求值1已知，a+b=x+y=2，ax+by=5，则a2+b2=xy+ab x2+y22如图，正方形ABCD内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中①号正方形部分被②号和③号正方形遮盖，若图中阴影部分的面积为S，则正方形ABCD的边长为．(用含S的式子表示)3若a <112011+12012+12013+12014+12015<a +1，则自然数a =．4下列说法正确的有．(选序号)①若(x -1)x -1=1，则满足条件x 的值有3个．②若x =32m -2，y =3-9m ，则用含x 的代数式表示y 为y =-9x +3．③已知(x -20)2+(x -28)2=100，则(x -24)2的值是34．④1，2，3，⋯，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个．5四个互不相等的数a ，b ，c ，m 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，M ，其中a =4，b =8，m =0.5(a +b +c )．(1)若c =2，则A ，B ，C 中与M 距离最小的点为；(2)若在A ，B ，C 中，点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，则符合条件的点C 所表示的数c 的取值范围为．如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“佳佳数”．如：532，因为5=3+2，所以532是“佳佳数”；又如，432，因为4≠3+2，所以432不是“佳佳数”．已知M 是一个“佳佳数”，则M 最大值是；交换M 的百位数字与十位数字得到一个新三位数N ，在N 的末位数字后加2得到一个新的四位数P ，在M 的十位数字与个位数字之间添加M 的十位数字得到一个新四位数Q ，若Q -P 能被7整除，则满足以上条件的“佳佳数”的最大值为．6若一个四位自然数M ，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于M 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：4952，满足5+2 2=49；若一个四位自然数N ，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于N 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：7239，满足92-32=72；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是．如果一个“和数”M 与一个“差数”N 的个位数字均为a 、十位数字均为b ，且F M ,N =M +N +18a -22811，若F M ,N 为整数时，记G M ,N =aba +b，则G M ,N 的最大值是．7对于任意一个三位自然数M ，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k 倍(k 为整数)，则称M 为“k 阶比例中项数”此时，记去掉其个位数字后剩余的两位数为m 1，去掉百位数字后剩余的两位数为m 2，规定F M =m 1+5m 2，则最大的“4阶比例中项数”是；若N =100m +10n +1(其中1≤m ≤4，2≤n ≤8，m ，n 均为正整数)是一个“k 阶比例中项数”，且F N 能被8除余3，则满足条件的N 之和是．类型二方程、不等式求值8已知方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=3，则方程组2a1x-1+3b1y+1=6c12a2x-1+3b2y+1=6c2的解为．9如果一个五位数的万位数字与个位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“星星数”，如果一个五位数的千位数字与十位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“月亮数”；一个五位数A，规定其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的和为F A；若M=10020+10000a+ 2010b+100c+d为“星星数”，N=10000a+1000b+10c+512+d为“月亮数”(其中1≤a≤8，0≤b≤4，0≤c≤8，0≤d≤7，且a，b，c，d为整数)，则a+2b+d的值为；在此条件下，若F M+F N 的值能被13整除，则满足条件的M的值为．定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有a⊕b=a+3b 2．(1)若a=-2，b=6，则a⊕b的立方根是；(2)若不等式4⊕x≥5成立，则该不等式的解集是．10关于x的一元一次不等式组x-32≥2x+13-32x-m>5至少有3个整数解，且关于y的分式方程myy-2+2=-3y2-y有整数解，那么符合条件的所有整数m的和为．11(2024·浙江宁波·模拟预测)已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x1，x2，且满足1<x1<x2<2．记t=a+b，则t的取值范围是．12已知，数轴上从左到右有三点A，B，C，它们在数轴上对应的数分别为a，b，c(a，b，c均不为整数)，且6<c-a<7，k<b<k+1(k为正整数)为正整数．在点A与点B之间的所有整数依次记为p1，p2，p3⋯，p m；在点B与点C之间的所有整数分别记为q1，q2，q3，⋯，q n．若p21+p22+p23+⋯+p2n=q21+q22+q23 +⋯+q2n，则k的值为．13如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为ts t>0．(1)当t=s时，PB=4；(2)若点P表示的数是x，当2x+4+2x-6的值最小时，则t的取值范围是．14已知a，b，c为正整数，且a>b>c若b+c，a+c，a+b是三个连续正整数的平方，则a2+b2+c2的最小值为．15如果p，q是非零实数，关于x的方程||2023x-2024|-p|=-q始终存在四个不同的实数解，则p+q |p+q|+p-q|p-q|+pq|pq|+p|p|+q|q|的值为．16已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米．正方形的边长为13厘米，起始状态如下图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当S=60时，t=．类型三函数求值17如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 在双曲线y =3x上，且0<x 1<x 2，分别过点A ，点B 作x 轴的平行线，与双曲线y =9x 分别交于点C ，点D ．若△AOB 的面积为94，则ACBD的值为．18如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，B -6,0 ，CB 与y 轴交于点D ，CD BD=14，点C 在反比例函数y =kxx >0 的图象上，且x 轴平分∠ABC ，则k 的值为．19如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点P m ,-14m 2+12m +2 ，定点A 4,0 、B 0,2 ，连结AB ．(1)点A 是否在点P 的运动路径上：；(填“是”或“否”)(2)若点P 只是在第一象限内运动，过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，当PQ 取得最大值时，点P 的坐标是．20如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x =AD ，y =AE +CD，y关于x的函数图象如图2，图象过点0,2．则：(1)BC=．(2)y关于x的函数图象的最低点的横坐标是．21(2024·浙江宁波·一模)如图，点A为反比例函数y=k1x(x>0)上一点，连结AO并延长交反比例函数y=k2x(x<0)于点B，且k2=9k1．点C在y轴正半轴上，连结CA并延长交x轴于点E，连结BC交x轴于点F，若ACAE=4，SΔCOB=10，则△COF的面积为．22如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A，OA=2，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数的图象于点A₁；过点A₁作A₁B₁⊥A₁B，交x轴于点B₁；再作B1A2∥BA1，交反比例函数的图象于点A₂，依次进行下去⋯根据以上信息，解答下列问题．(1)k的值为．(2)点A101的横坐标为．23给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点M x,y在反比例函数y1=1x上，若点A绕着M点旋转180°后得到点B，我们称B是A关于M的“伴随点”．若A2,t关于M的“伴随点”为B，由A、B和坐标原点构成的三角形是以OA为直角边的等腰直角三角形，则t的值是．24(2023·浙江温州·三模)如图1，为世界最大跨度铁路拱桥--贵州北盘江特大桥．如图2，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度OA=400米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点E为抛物线最高点，立柱AB，CD，GH都与x轴垂直，BN∥OA，BC=120m，HF=40m，若F，G，O和B，D，O均三点共线．则立柱比HGCD =，以及EFAB=．25如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以3cm/s的速度沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧作△PQH，且QH⊥AB，点H在射线AB上．设点P的运动时间为t(s)．△PQH与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2)，则当t=(s)时S最大；当t=(s)时S的值为38cm2．26一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)中的x与y的部分对应值如下表：下列结论中一定正确的是(填序号即可)．①当n>0时，k<0；②当y的值随x值的增大而增大时，n<0；③当S△AOB=9时，n=-5或n=7；④当k<0时，直线AB与y轴相交于点C，则OC=3n+6 4．题型02规律探究类类型四数字规律探究27将实数-1,2,-3,4,-5⋅⋅⋅按图所示方式排列．若用m,n表示第m排从左向右第n个数，则4,3与23,20 表示的两数之和是．28小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：①从左至右按从小到大的顺序排列：②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是．29将正偶数按下表排列5列：第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224⋯⋯2826根据上面规律，则2000应在．30下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为．142638⋯a 1829320435bx31我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12，14，18，⋯，12n 的长方形彩色纸片(n 为大于1的整数)，运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出12+14+18+⋯+12100=．32定义一种对正整数n 的“F 运算”：(1)当n 为奇数时，结果为3n +5；(2)当n 为偶数时，结果为n 2k(其中k 是使n2k为奇数的正整数)，并且运算重复进行．例如，取n =30，则：若n =420，则第2023次“F 运算”的结果是．33记S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，令T n =S 1+S 2+⋯+S nn，称T n 为a 1,a 2,⋯,a n 这数列的“理想数”．已知a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为2505，那么24，a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为．34观察下列算式：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；⋯⋯．用你所发现的规律，化简：(n +12)(n +13)(2n +25)6-(n +10)(n +11)(2n +21)6=(n 为正整数)．35斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第n 个数记为a n ，则1+a 3+a 5+a 7+a 9+⋅⋅⋅+a 2021与斐波那契数列中的第个数相同．类型五图形规律探究36如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，⋅⋅⋅⋅⋅⋅依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为．37如图，图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，⋯，按此规律排列下去，第⑧个图形中菱形的个数为．38如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为a 1，第2幅图形中“•”的个数为a 2，第3幅图形中“•”的个数为a 3，以此类推，则1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 18的值为.39如图，第一个正方形后，是用大小相等的小正方形拼成的大正方形，若第n 个、第m 个图形中正方形的个数分别记为S m 、S n ，m -n =a ，1<a <5，(-3)a <S m -S n <(-5)a ，则满足条件的所有n 值的和为．类型六函数规律探究40如图，在平面直角坐标系中，A 1,0 ，D 0,2 ，第1个正方形ABCD 面积记为S 1，第2个正方形A 1B 1C 1C 面积记为S 2，第3个正方形A 2B 2C 2C 1面积记为S 3，，以此规律，则第2023个正方形的面积S 2023=．41如图所示，已知直线与x 、y 轴交于B 、C 两点，A 0,0 ，在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，⋯则第n 个等边三角形的边长等于．42如图，在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1A 2与正方形A 2B 2C 2A 3是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A 1，A 2，A 3在x 轴上，延长A 3C 2交射线OB 1与点B 3，以A 3B 3为边作正方形A 3B 3C 3A 4；延长A 4C 3，交射线OB 1与点B 4，以A 4B 4为边作正方形A 4B 4C 4A 3；⋯按照这样的规律继续作下去，若OA 1=1，则正方形A 2021B 2021C 2021A 2022的面积为．43如图，已知点A 1，A 2，，A 2020在函数y =x 2位于第二象限的图象上，点B 1，B 2，，B 2020在函数y =x 2位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，，C 2020在y 轴的正半轴上，若四边形OA 1C 1B 1、C 1A 2C 2B 2，，C 2021A 2022C 2022B 2022都是正方形，则正方形C 2021A 2022C 2022B 2022的对角线长为．44如图所示，抛物线y =x 2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，将抛物线y =x 2沿直线l ：y =x 向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点M 1，M 2，M 3，⋯，M n 都在直线y =x 上；②抛物线依次经过点A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，则顶点M 2021的坐标为．45如图，在函数y=4xx>0的图象上有点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，点P1的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3、⋯，S n，则S n=．(用含n的代数式表示)46如图，点A1，A2，A3⋯在反比例函数y=1xx>0的图象上，点B1，B2，B3，⋯B n在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3⋯，则B n(n为正整数)的坐标是．题型03函数最值类类型七一次函数的最值问题47如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的中点．若动点C在x轴上，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP，则DP长度的最小值是．48如图，直线y=3x+3分别交x轴、y轴于点B、A，点M在x轴，将AM绕点A按逆时针旋转60°得到AN，连接BN，则BN的最小值为．49直线y=x+3与y轴和x轴分别交于A、B两点，点C是OB的三等分点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是．50在平面直角坐标系中，A2,0，C在直线y=x上运动，存在一点P，满足∠POA+∠OPA，B3,0OP的最小值为．=∠APB，则CP+1351已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为-1，如果△ABC为直角三角形，那么△ABC的面积的最大值为．类型八二次函数的最值问题52(23-24九年级上·浙江·期末)已知Rt△ABC的直角顶点C与原点O重合，点A，B都落在抛物线y=4x2上，则AB与y轴的交点为；若OD⊥AB于点D，则点D到点1,0的最大距离为．53已知关于x的二次函数y=-x-k2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k，则k的值为．54(2024·浙江杭州·模拟预测)若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点，面积的最小值为．55如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则PA+PO的最小值是．56(23-24九年级上·浙江嘉兴·期中)如图，抛物线y=x2-2x-3与轴交于两点，抛物线的顶点为，点为AB的中点，以为圆心，长为半径在轴的上方作一个半圆，点为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为．类型九反比例函数与其它函数的最值问题57如图，一次函数y=-x+b与反比例函数的图像相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为4，8．(1)k的值是；(2)将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C，连接并延长交x轴正半轴于点D，则的最大值是．58如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．线段的中点在反比例函数的图象上．若一次函数的图象与的图象有且只有一个第三象限的公共点，且与轴、轴分别交于、两点，试求出四边形的面积最小为．59如图，曲线是二次函数y=-x2+6x+3图像的一部分(其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点)，曲线是反比例函数()图像的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点是波浪线上的点，则；若点和是波浪线上的点，则的最大值为．60如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为．类型十一 一次函数的最值问题61如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一动点，现连接．记线段所围成的封闭区域(不有6个整点时，m的取值范围是．62在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为，线段上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是．63把a、b、c三个数按照从小到大排列，最大的数记作，例如，若直线与函数的图象有且只有1个交点，则k的取值范围是．64如图，直线分别与坐标轴交于，两点，若称横纵坐标都是整数的点为整点，那么△AOB内(含边界)的整点共有个．65某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是．类型十二二次函数的最值问题66若抛物线y=x2-x+m与轴交于不同的两点、，且，则的取值范围是．67已知点，，若抛物线y=ax2-2ax+4a≠0与线段恰有一个公共点，则a 的取值范围为．68(23-24九年级上·浙江金华·期末)定义：若x，y满足：，(k为常数)且x≠y，则称点为“好点”．(1)若是“好点”，则．(2)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为．69如图函数y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0图象是由函数y=ax2+bx+c a>0,b2-4ac>0的图像x轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是．；将图像向上平移个单位后与直线有个交点．70在平面直角坐标系中，为抛物线y=x2+4x+2上一点，为平面上一点，且位于点右侧．(1)此抛物线的对称轴为直线；(2)若线段与抛物线有两个交点，则的取值范围是．类型十三反比例函数的最值问题71在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”．例如都是“黎点”．(1)当时，双曲线上的“黎点”为；(2)若抛物线(为常数)上有且只有一个“黎点”，则当时，的取值范围为．72定义新运算：，即的取值为a，b，c的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为．73对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和直线m ，给出如下定义：若图形M 上有点到直线m 的距离为d ，那么称这个点为图形M 到直线m 的“d 距点”．如图，双曲线C ：y =4x(x >0)和直线l ：y =-x +n ，若图形C 到直线l 的“2距点”只有2个，则n 的取值范围是．74如图是6个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角和凹入的角的顶点记作(为的整数)．函数的图象为．()若过点，则．()若过，则一定过另一点，则．()若使得这些点分布在它的两侧，且一侧个点一侧个点，请写出符合要求的的所有整数值：．75定义：在平面直角坐标系xOy 中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“n 阶积点”．例如，点为一次函数y =-32x +3图象的“92阶积点”．若y 关于x的一次函数y =nx +4n -6图象的“n 阶积点”恰好有3个，则n 的值为．76定义：平面直角坐标系xOy 中，点，点，若，，其中k 为常数，且k≠0，则称点是点的“k 级变换点”．例如，点-2,4 是点1,2 的“-2级变换点”．(1)若函数y =-4x的图象上存在点1,2 的“k 级变换点”，则k 的值为；(2)若关于x 的二次函数y =nx 2-4nx -5n (x ≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围是．77如图，在第一象限，反比例函数y =k 1x x >0 和y =k 2x x >0 的图象分别与直线l :y =25x 交于点，，过点A ，B 分别作轴，轴，垂足分别为C ，D ．(1)①k 1的值为．②图中阴影部分的面积为．(2)已知反比例函数y =m x x >0 的图象与直线l :y =25x 交于点，与抛物线y =-x 2+992x 交于点，，将点M ，N 之间的抛物线(不含端点)记为图象G ，则图象G 上的整点(横、纵坐标都是整数的点)有个．78定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．(1)在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有(填序号)；(2)若y 关于x 的一次函数y =ax -3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，则；(3)若y 关于x 的二次函数图象的“n 阶方点”一定存在，则n 的取值范围为．。