《独立性检验》

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

东北师范大学附属实验学校李宇

一、教学内容与内容解析

1．内容：

独立性检验的基本思想及实施步骤

2．内容解析：

本节课是人教A版（选修）2—3第三章第二单元第二课时的内容．在本课之前，学生已经学习过事件的相互独立性、正态分布及回归分析的基本思想及初步应用。本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节。

在本节课的教学中，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤。在独立性检验中，通过典型案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用。独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设结论不成立，反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立，而独立性检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小概率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的。因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据。

学习独立性检验的目的是“通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用”。这是因为，随着现代信息技术飞速发展，信息传播速度快，人们每天都会接触到影响我们生活的统计方面信息，所以具备一些统计知识已经成为现代人应具备的一种数学素养。

教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤．

二、教学目标与目标解析

1．目标：

①知识与技能目标

通过生活中新闻案例的探究，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步

骤，会对两个分类变量进行独立性检验，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题。

②过程与方法目标

通过探究“玩电脑游戏与注意力集中是否有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表分析独立性检验的实施步骤。利用上节课所学已经由数据直观判断出玩电脑游戏与注意力集中可能有关系。这一直觉来自于观测数据，即样本。问题是这种来自于样本的印象能够在多大程度上代表总体。这节课就是为了解决这个问题，在学生亲身体验感受的基础上，提高学生的数据分析能力。

③情感态度价值观目标

通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系。以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性。培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性。

2．目标解析：

独立性检验是考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法．利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．因此，在学习中通过对统计案例的分析，理解和掌握独立性检验的方法，体会独立性检验的基本思想在解决实际问题的应用，以提高我们处理生活和工作中的某些问题的能力．

新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此，紧紧地抓住学生的这一特征，利用学生身边的问题“玩电脑游戏与注意力集中是否有关系”，设计教学情境，使学生在观察、讨论等活动中，逐步提高数据分析能力。

三、教学问题诊断分析

1．本节课的内容独立性检验对学生来说是全新的内容，为什么有这么一个方法？为什么要学习这个方法？通过课前的新闻引入可以让学生体会到本节课知识的应用性。

2．独立性检验相当于建立一个判别“两个分类变量之间有关系”这一结论是否成立的规则，并且给出该规则把“两个分类变量之间没有有关系”错判成“两个分类变量之间有关系”的概率。所以首先要教会学生的是了解并初步理解这个规则，而后才是会用这个

规则解决问题。

3．独立性检验难于理解的一个主要之处在于凭空出现一个2

K，这个随机变量K2是怎样构造出来的，为什么如此构造？教材在这一部分处理上，是先进行某一临界值的讲解，而后再给出卡方临界值表，这对于学生是比较难于理解的，为什么就给出这么一个临界值呢？有这个问题的存在，学生对接下来所谈到的内容会有所怀疑，不一定十分认同。为了突破这个难点，我采用“先入为主”的思想，把教材后面介绍的卡方临界值表提前讲解，用概率知识解读临界值表的含义，让学生先接受统计学上的知识，而后在应用过程中进一步理解，这样进行调整后，学生对独立性检验的思想的接受就更容易一些。

教学难点：①了解独立性检验的基本思想；②了解随机变量K2的含义，K2的观测值很大，就认为两个分类变量是有关系的。

四、教学支持条件

为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，从学生的认知规律出发，让学生自主学习，运用探究式法，充分调动学生的积极性，让学生逐步领会独立性检验的基本思想,掌握独立性检验的方法。

五、教学过程设计

⑴创设情境，提出问题

创设情境：最新研究发现，花太多时间玩电脑游戏的儿童，患多动症的风险会加倍。青少年的大脑会很快习惯闪烁的屏幕、变幻莫测的电脑游戏，一旦如此，他们在教室等视觉刺激较少的地方，就很难集中注意力。研究人员对1323名年龄在7岁到10岁的儿童进行调查，并在孩子父母的帮助下记录了他们在13个月里玩电脑游戏的习惯。同时，教师记下这些孩子出现的注意力不集中问题。统计获得下列数据：

根据这则网上收集到的新闻，利用上节课所学习的内容。

提出问题：“从这则新闻中可以得出哪些结论？有多大把握认为你所得出结论正确？”

预设回答：玩电脑游戏与注意力集中有关系。

【设计意图】数学教学只有从问题开始才有其生命力，创设一个实际问题情境，既回顾了上节课的内容，又提出本节课研究的问题。同时使学生体会数学的应用价值，感受学习数学新知识的必要性．

学生在阅读完材料后就能回答出第一个问题，但对第二个问题就会没有解决的思路，这样可以让学生带着问题进入到下面的学习中，同时明确本节课的核心问题突出重点。

⑵探究归纳，解决问题

①启发探究

引导性语言：有多大把握认为“两个分类变量有关系”，这是个概率问题。要研究两个分类变量有关系可以先研究其没有关系即是否独立，就是研究其独立的概率关系，在用频率代替概率后，假设H 0：玩电脑游戏与注意力集中没有关系；用A 表示不玩电脑游戏；用B 表示注意力不集中；

若H 0成立?事件A 与事件B 独立?()()()P AB P A P B =

提出问题：在假设H 0成立的条件下，能推导出a,b,c,d 有怎样的关系？

学生活动：利用列联表推导。

预设回答：bc ad ≈。

【设计意图】要研究两个分类变量有关系是不容易解决的问题，本着“正难则反”的思想方法，借助反证法的思考模式，将问题转化为两个分类变量独立，利用事件独立的概率相关知识，用频率代替概率，利用列联表由学生自己动手推导出，在H 0成立的条件下有

bc ad ≈，进而引出随机变量K 2公式中的部分结构ad bc -（）

。 ②新知解读

引导性提问：通过上述推导得到bc ad ≈，为表示其差异性，将其转化成||bc ad -，那么直观上||bc ad -的大小能说明什么？

预设回答：||bc ad -值越小，越独立，两个分类变量关系越弱；||bc ad -值越大，越不独立，两个分类变量关系越强。

引导性语言：为了使不同样本的数据有一个统一而又合理的评判标准，统计学家们经

过研究后构造了一个随机变量2

K=

2

()

,

()()()()

n ad bc

a b a c c d b d

-

++++

()

n a b c d

=+++

随机变量2

K服从卡方分布，它类似我们前面学习过的正态分布。

同时统计学家们还得到了如下的卡方临界值表：

以k0=6.635为例，2

( 6.635)0.01

P K≥≈，就是说在H0成立的条件下，计算出随机变量2

K的观测值大于等于6.635的概率不超过0.01，也就是有99%的情况下其观测值是小于6.635的。

【设计意图】随机变量2

K的理解是本节课的难点之一，利用概率知识解读卡方临界值表中数据的含义，有助于学生理解独立性检验的基本思想。

本环节我没有按照教材的呈现顺序，而是将卡方临界值表提到前面来讲解，这样改变后能使学生首先了解随机变量K2的含义，并能体会到如果K2的观测值很大，就认为两个分类变量是有关系的合理性，为后面引出独立性检验的规则做好铺垫。达到突破难点的目的。

③分组讨论

提出问题：利用卡方临界值表和K2的观测值k判断：接受H

？认为玩电脑游戏和注意

力集中没有关系；还是拒绝H

？认为玩电脑游戏和注意力集中有关系。

学生活动：利用卡方临界值表和K2的观测值k进行小组讨论，选择他们认为正确的结论。

【设计意图】让学生自己通过对卡方临界值概率的理解，亲身去体会是接受H0还是拒绝H0，实现教学重点，即理解独立性检验的基本思想。

本环节设计为由学生先进行小组讨论，有些学生不会利用所学知识来分析问题，通过小组讨论，用集体的力量来进行知识的学习，能增强学生对独立性检验的了解，并体会到

合作的有效作用。

④总结提升

引导性语言：通过上面的学习过程，你能归纳独立性检验的一般步骤吗？

预设回答：一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B（如注意力集中与注意力不集中）；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2（如玩电脑游戏与不玩电脑游戏）。于是得到下列联表所示的抽样数据：

要推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：

：Ⅰ和Ⅱ没有关系；

1.提出假设H

2.根据2×2列联表与公式计算K2的值；

3.查对临界值，作出判断。

【设计意图】让学生再次经历问题解决的过程，既深化对该统计思想的理解，又掌握应用独立性检验解决问题的步骤。

⑶成果展示，巩固提升

引导性语言：课前各小组都收集了你们感兴趣的分类变量的相关数据，利用本节课我们所学的独立性检验进行判断，看各自有对大的把握认为它们有关系？

学生活动：小组内进行检验，而后每小组由一名学生进行研究成果展示。

【设计意图】各小组将各自收集的分类变量数据进行独立性检验，并将检验结果展示给全体同学，加深本组及其它各组学生对独立性检验思想的理解，体验数学在实际生活中的应用。同时用学生收集的分类变量数据做练习，更能提高学生的参与兴趣。

⑷小结引申，构建体系

由学生谈本节课学习的收获，并对所学内容进行归纳。

【设计意图】初步形成以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性。

六、目标检测设计

作业为教材第97页习题3.2 第1、2题。

【设计意图】通过作业进一步构建独立性检验的思想体系。

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计说明

东北师范大学附属实验学校李宇

一、教学内容的本质、地位和作用分析

1．教材内容及所处的地位

本节课是人教A版（选修2-3）第三章第二单元第二课时的内容：独立性检验．本节课主要内容是介绍独立性检验的方法以及如何运用独立性检验方法分析两个分类变量有关系的可能性。这是新课程新增加的内容，通过学习本课既能使学生增强对事件相互独立和概率含义的理解，又能认识到统计方法在决策中的作用，是高中数学知识中体现统计思想的重要内容之一。随着近几年高考中概率知识的淡化，统计知识的考查在逐渐加强，更体现出本课的重要地位。

2．教学重点

理解独立性检验的基本思想及实施步骤。

3．教学难点

⑴了解独立性检验的基本思想；

⑵了解随机变量K2的含义，K2的观测值很大，就认为两个分类变量是有关系的。

二、教学目标分析

1．知识目标

理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤；

2．能力目标

能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题。

3．情感、态度目标

⑴培养学生收集数据、处理数据的能力，提高他们的分析问题、解决问题的能力，强

化合作意识。

⑵体会事物之间是普遍联系的，数学来源于实践又服务于实践。

三、教学问题诊断

本节课是在学生学习了抽样方法、事件的相互独立性、正态分布及回归分析的基本思想及初步应用后进行的，是体现概率统计思想应用价值的新内容。理解独立性检验的基本思想，并明确独立性检验的基本步骤是本课教学重点，通过“在做数学中学数学”，来突出理解这一统计思想。

独立性检验的步骤是固定的，仿照教科书的例题，学生不难完成习题，但独立性检验的思想对学生来说是比较难理解的，它来源于统计上的假设检验思想。考虑到对高中生而言，假设检验的思想难于理解，所以在教科书上仅从反证法的角度介绍独立性检验思想。即便如此，学生在理解上也会存在如下问题：㈠为什么要进行独立性检验？㈡独立性检验方法中的随机变量K2是如何构造出来的？㈢为什么是有99.9%而不是有100%的把握认为两个分类变量有关系？对随机变量K2含义的了解是本节课的主要教学难点，如何突破这一难点将成为学生理解独立性检验的基本思想及实施步骤的关键。教学中通过对教材讲授顺序的调整，将原本后面介绍的卡方临界值表提到前面讲解，以“先入为主”的思想，帮助学生突破这一难点。

1．创设情境，提出问题

用多媒体展示：某研究机构关于“玩电脑游戏和注意力集中关系”的研究结果。利用上节课所学习的内容，提出思考问题：“从这则新闻中可以得出哪些结论？有多大把握认为你所得出的结论正确？”学生在阅读完材料后能回答出第一个问题，但对第二个问题就会没有解决的思路而完全依靠猜测。这样既回顾了上节课的内容，又提出本节课研究的问题。同时使学生体会数学的应用价值，感受学习数学新知识的必要性，从而提出本节课的课题——独立性检验。

2．探究归纳，解决问题

⑴启发探究

要研究两个分类变量有关系是不容易解决的问题，本着“正难则反”的思路，借助反证法的思考模式，将问题转化为两个分类变量独立，就是研究其概率的关系，在用频率代替概率后，提出思考问题：在H0成立的条件下，能推导出a,b,c,d有怎样的关系？学生通过小组讨论，利用列联表推导出在H0成立的条件下有bc

ad ，这样就由学生自己引出了

随机变量K2公式中的部分结构，有利于学生理解随机变量K2，为下面提出随机变量K2做好铺垫。

⑵新知呈现

在上述过程基础上引入随机变量K2，同时给出卡方临界值表，并利用概率的相关知识来解读卡方临界值表中数据的含义。以k0=6.635为例，2

( 6.635)0.01

P K≥≈，就是说在H0成立的条件下，计算出随机变量2

K的观测值大于等于6.635的概率不超过0.01，也就是说有99%的情况下其观测值是小于6.635的。

这一环节采用“先入为主”的策略，改变教材的呈现顺序，将卡方临界值表提到前面来讲解，能使学生更好地了解随机变量K2的含义，并能体会到如果K2的观测值很大，就认为两个分类变量有关系的合理性，达到突破难点的目的。

⑶分组讨论

利用上述卡方临界值表和K2的观测值k提出问题：

①接受H

0成立？认为玩电脑游戏和注意力集中没有关系；还是拒绝H

成立？认为玩电

脑游戏和注意力集中有关系。

②你有多大把握认为你的结论是正确的？

学生经过思考、小组内讨论不难作出选择。但在第二个问题的回答上学生会有所迟疑，这时引导学生从卡方临界值表中概率的角度进行思考，提出表中概率值0.001是我们犯错误的概率，即有99.9%的把握认为这两个分类变量是有关系的。让学生自己去经历接受还是拒绝的过程，突出理解独立性检验的基本思想这一教学重点。在学生发言的基础上指出，这种检验方法就是独立性检验。

⑷总结升华

提出问题：通过上面的学习过程，试着归纳出独立性检验实施的一般步骤。让学生再次经历问题解决的过程，既深化对该统计思想的理解，又掌握应用独立性检验解决问题的步骤。

3．成果展示，巩固提升

利用上面所学习的统计方法，要求各小组学生将各自收集的分类变量数据进行独立性检验，并将检验结果展示给全体同学，加深本组及其它各组学生对独立性检验思想的理解，体会数学来源于实际生活又服务于生活，认识统计思想的应用价值。

4．小结引申，构建体系

小结部分由学生谈本节课学习的收获，并对所学内容进行归纳。初步形成以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性，并通过作业再次构建独立性检验的思想体系。

四、教法特点及教学效果分析

1．教法分析

我们一直在谈教学中学生处于主体地位，教师起主导作用，但每遇到学生难于理解的内容却往往是教师代劳，本节课的内容是学生难于理解的，但本着学习过程应是在教师指导下的“再创造”过程这一思想，通过学生收集分类变量数据，对问题的核心环节实际动手操作，突破了教学难点。

本节课的教法特点如下：㈠为提高学生的学习兴趣，充分体现生活中的数学的观念，本课以一则新闻为例，贯穿整个课堂教学；㈡没有采用课本上的习题，而是利用由学生收集的他们自己感兴趣的资料数据进行巩固训练，充分体现生活中处处是数学的理念，提高了学生收集数据、处理数据的能力，及分析问题、解决问题的能力，在独自思考和小组合作的基础上获得成就感进而提高学习的自信心；㈢调整了教材内容的呈现顺序，这样做有利于突破教学难点。因为我们是“在用教材教，而不是教教材”。

2．学法指导

通过新闻素材回顾旧知引出新知，引导学生应用概率统计中所学习的事件独立性知识来理解独立性检验思想，教会学生应用数学解决实际问题，同时教学学生独立思考、实践探究、交流合作等学习的方式，贯穿于整个教学过程。

3．教学效果

通过学习学生能基本理解独立性检验的思想，能够应用独立性检验的方法解决一些最简单分类变量的独立性检验问题，体会到统计思想方法在实际生活中的应用价值。