2019-2020学年广东省广州市番禺区高一上学期期末考试数学试卷及答案解析
所以 ，
利用三角函数的定义，解得 ，
故cos2α＝1﹣2sin2α＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
6．f（x）＝3ax+1﹣2a在区间[﹣1，1]上存在x0，使f（x0）＝0（x0≠±1），则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知cos（α+ ）＝ ，则sin2α的值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
10．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若两定点A，B满足 ， ，则点集 所表示的区域的面积是．（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数g（x）的图象是由 的图象向右平移 个单位长度得到的，若函数g（x）在区间 上单调递增，则a的最大值为（ ）
（1）求函数g（x）的值域；
（2）若函数y＝|cos（ωx+ ）|•f（sin（ωx+ ））（ω＞0）在区间[ ，π]上为增函数，求实数ω的取值范围．
2019-2020学年广东省广州市番禺区高一上学期期末考试
数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．cos（﹣2370°）＝（ ）
A． B． C．3πD．
12．已知函数f（x）＝ ，若f（x）的两个零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|＝（ ）
A． B．4C．2eD．6
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．函数 的一条对称轴方程是 ，则φ的值为．
14．计算 ＝．
15．如图，正方形ABCD中，E为线段CD的中点，若 ＝λ +μ ，则λ+μ＝．
2．已知向量 ＝（2，3）， ＝（m，4），若 共线，则实数m＝（ ）
A．﹣6B． C． D．6
【分析】利用向量平行的性质直接求解．
【解答】解：∵向量 ＝（2，3）， ＝（m，4）， 共线，
∴ ，
解得实数m＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21．（12分）设函数f（x）＝x﹣ +a为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义法证明f（x）在（0，+∞）上的单调性．
22．（12分）已知函数f（t）＝ ，g（x）＝cosx•f（sinx）﹣sinx•f（cosx），x∈（π， ）．
16．已知函数 ，则f（x）的单调递减区间为．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知全集U＝R，集合 ，C＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}．
（1）求A∩（∁UB）；
（2）若C⊆A∪B，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知α为第三象限角． ．
（1）由tanα的值；
（2）向量 ＝（﹣1，0），向量 满足 ＝ ．
A． B．﹣ C．﹣ D．
【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．
【解答】解：cos（﹣2370°）＝cos（6×360°+210°）＝cos（180°+30°）＝﹣cos30°＝﹣ ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
A． B． C．[﹣2，0）D．[0，2）
4．已知向量 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，则cos2α＝（ ）
A． B． C． D．
6．f（x）＝3ax+1﹣2a在区间[﹣1，1]上存在x0，使f（x0）＝0（x0≠±1），则a的取值范围是（ ）
A． B． 或a＜﹣1C． D．a＜﹣1
7．设a＝log36，b＝log510，c＝1+log62，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a
8．如图，在△AOB中，点A（2，1），B（3，0），点E在射线OB上自O开始移动，设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积S，则函数S＝f（x）的图象是（ ）
A． B． 或a＜﹣1C． D．a＜﹣1
（1）若 ＝k ，且 ，求| |的值；
（2）若 与2 共线，求实数k的值．
20．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： ，其中x是仪器的月总量．
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（提示：总收益＝总成本+利润）
3．已知函数f（x+1）的定义域为[﹣1，0），则f（2x）的定义域是（ ）
A． B． C．[﹣2，0）D．[0，2）
【分析】由f（x+1）的定义域为[﹣1，0），求得f（x）的定义域，再由定义域的含义，计算即可得到求得所求f（2x）的定义域．
【解答】解：函数f（x+1）的定义域为[﹣1，0），
即为﹣1≤x＜0，
【解答】解：向量 满足 ， ，
可得 ＝﹣8，
可得 ＝1，所以 ＝ ，
所以 与 的夹角为： ．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，是基本知识的考查．
5．已知 ，则cos2α＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的定义及倍角公式的应用求出结果．
2019-2020学年广东省广州市番禺区高一上学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．cos（﹣2370°）＝（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
2．已知向量 ＝（2，3）， ＝（m，4），若 共线，则实数m＝（ ）
A．﹣6B． C． D．6
3．已知函数f（x+1）的定义域为[﹣1，0），则f（2x）的定义域是（ ）
可得0≤x+1＜1，
则f（x）的定义域为[0，1），
由0≤2x＜1，可得0≤x＜ ，
即f（2x）的定义域为[0， ）．
故选：B．
【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用定义域的定义，考查运算能力，属于基础题．
4．已知向量 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用向量的数量积，求出 ＝1，得到 ＝ 求解即可．
2021-2022学年广东省广州市番禺区高二上学期期末考试数学试卷带讲解
C. +4y =0D. +4y+5=0
B
【分析】关于 轴对称的两直线斜率是相反数，过 轴上同一点，由此可得．
【详解】直线 的斜率是 ，与 轴交点为 ，
因此它关于 轴对称的直线方程是 ，即 ．
故选：B．
7.过双曲线 的左焦点 作x轴的垂线交曲线C于点P， 为右焦点，若 ，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.
5.如图．空间四边形OABC中， ，点M在OA上，且满足 ，点N为BC的中点，则 （）
A. B.
C. D.
B
【分析】选择基底，利用向量加法的三角形法则转化化简即可.
【详解】如图， .
故选：B.
6.与直线3x +5=0关于x轴对称的直线方程为（）
所以 ，故B正确，C错误，
当n为奇数时 ，当n为偶数时 ，故D错误
故选：AB
12.设抛物线 的焦点为F，准线为l.过焦点F的直线交曲线C于 ， 两点，则（）
A.以 为直径的圆与准线l相切B.以 为直径的圆与准线l相切
C. D.
BCD
【分析】根据焦半径公式和直线与圆的相切判断方法，即可判断A，B选项；设出直线 的方程，将其代入抛物线方程，根据韦达定理可判断C，D选项.
【详解】线线关系中，平行具有传递性，垂直没有传递性，故A正确，B错误.；
由线面垂直的性质定理可得C正确；
平行于同一平面的两条直线不一定平行，可以相交或异面，故D错误；
故选：AC.
11.定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列 是公积不为0的等积数列，且 ，前7项的和为14.则下列结论正确的是（）
2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|x＞1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）A.（1，3]B.[1，3]C.[-1，1）D.[-1，+∞）2.（单选题，5分）函数f（x）= √1−x +log2（3x-1）的定义域为（）A. (13，1]B. (0，13)C. (−∞，13)D.（0，1]3.（单选题，5分）已知命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，则p是q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.（单选题，5分）设x，y为正数，则（x+y）（1x + 4y）的最小值为（）A.6B.9C.12D.155.（单选题，5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A.f（x）=3sin（x+ π3）B.f（x）=3sin（2x+ π3）C.f（x）=3sin（2x- π3）D.f（x）=3sin（2x+ π6）6.（单选题，5分）三个数a=log30.3，b=log32，c=12的大小顺序是（）A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.b＜c＜a7.（单选题，5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A.（-2，2）B.（-2，0）∪（2，+∞）C.（-∞，-2）∪（0，2）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）8.（单选题，5分）对于a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b={a2−ab，a≤bb2−ab，a＞b，设f（x）=（2x-1）⊗（x-1），且关于x的方程f（x）=t（t∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A. (5−√34，1)B. (1，5+√34)C. (12，1)D.（1，2）9.（多选题，5分）下面选项中正确的有（）A.集合{1，2，3}的子集个数为7个B.“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”D.∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ成立10.（多选题，5分）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若a2+b2=1，则a+b≤√2C.若a＞b，c＞d，则a-d＞b-cD.若a＞0，则a+1a≥211.（多选题，5分）已知函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，则（）A.函数f（x+ π12）为奇函数B.函数f（x）在[ π12，π3]上单调递增C.若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最小值为π3D.函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=-cos3x的图象12.（多选题，5分）函数f（x）= xx2+a的图象可能是（）A.B.C.D.13.（填空题，5分）cos225°=___ ．14.（填空题，5分）设函数f（x）= {4x−1，x≤0log2x，x＞0，则f（f（12））=___ ．15.（填空题，5分）已知sin（α−π12）= 13，则cos（α+17π12）=___ ．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=-x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≥f（x1）成立，则实数a的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）（1）计算：8 23 +lg5+lg2-log216-e0；（2）已知tanα= 34，求2sin(π−α)+3cos(−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)的值．18.（问答题，12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．19.（问答题，12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+π)(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个6条件中的两个：① 函数f（x）的最大值为2；② 函数f（x）的图像可由y=√2sin(x−π)的图像平移得到；4．③ 函数f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）≥1的解集．)−1．20.（问答题，12分）已知函数f(x)=2cos2x−cos(2x+π2（1）求函数f（x）的最小正周期；)上的值域；（2）求f（x）在(0，π2得到函数g（x）的图象，若h（x）=g（x）-lnx，探究h（x）（3）将f（x）的图象向右平移π8)上是否存在零点．在(1，π221.（问答题，12分）参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用x单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数．f(x)=22+x2（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）（a＞0且a≠1）．（1）当a=12，求f（2）的值；（2）当a=12时，若方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，求实数p的取值范围；（3）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，求实数a的值范围．2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|x＞1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）A.（1，3]B.[1，3]C.[-1，1）D.[-1，+∞）【正确答案】：A【解析】：可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞1}，B={x|-1≤x≤3}，∴A∩B=（1，3]．故选：A．【点评】：本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）函数f（x）= √1−x +log2（3x-1）的定义域为（）A. (13，1]B. (0，13)C. (−∞，13)D.（0，1]【正确答案】：A【解析】：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】：解：由题意可知{1−x≥03x−1＞0，解得13＜x≤1，∴函数f（x）的定义域为（13，1]，【点评】：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．3.（单选题，5分）已知命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，则p是q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】：B【解析】：直接利用不等式的解法和充分条件和必要条件的应用求出结果．【解答】：解：命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，整理得：-1＜x＜1，则p是q成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：必要条件和充分条件，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.（单选题，5分）设x，y为正数，则（x+y）（1x + 4y）的最小值为（）A.6B.9C.12D.15【正确答案】：B【解析】：函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值【解答】：解：x，y为正数，（x+y）（1x +4y）= 1+4+yx+4xy≥1+4+2 √yx×4xy=9当且仅当yx =4xy时取得“=”∴最小值为9【点评】：利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等”5.（单选题，5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A.f（x）=3sin（x+ π3）B.f（x）=3sin（2x+ π3）C.f（x）=3sin（2x- π3）D.f（x）=3sin（2x+ π6）【正确答案】：B【解析】：根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．【解答】：解：由图象知A=3，函数的周期T= 5π6 -（- π6）=π，即2πω=π，即ω=2，则f（x）=3sin（2x+φ），由五点对应法得2×（- π6）+φ=0，即φ= π3，则f（x）=3sin（2x+ π3），故选：B．【点评】：本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．6.（单选题，5分）三个数a=log30.3，b=log32，c=12的大小顺序是（）B.c＜a＜bC.a＜c＜bD.b＜c＜a【正确答案】：C【解析】：结合指数与对数函数的单调性确定各数范围，即可比较大小．【解答】：解：因为a=log30.3＜0，b=log32∈（12，1），c= 12，所以b＞c＞a．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数与对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题．7.（单选题，5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A.（-2，2）B.（-2，0）∪（2，+∞）C.（-∞，-2）∪（0，2）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）【正确答案】：B【解析】：由题意可知f（x）在[0，+∞）上是减函数，再根据对称性和f（2）=0得出f（x）在各个区间的函数值符号，从而得出答案．【解答】：解：∵ f(x2)−f(x1)x2−x1＜0在∈[0，+∞）上恒成立，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，又f（2）=0，∴当x＞2时，f（x）＜0，当0≤x＜2时，f（x）＞0，又f（x）是偶函数，∴当x＜-2时，f（x）＜0，当-2＜x＜0时，f（x）＞0，∴xf（x）＜0的解为（-2，0）∪（2，+∞）．故选：B．【点评】：本题考查了函数单调性与奇偶性的性质，属于中档题．8.（单选题，5分）对于a ，b∈R ，定义运算“⊗”： a ⊗b ={a 2−ab ，a ≤b b 2−ab ，a ＞b，设f （x ）=（2x-1）⊗（x-1），且关于x 的方程f （x ）=t （t∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是（ ） A. (5−√34，1) B. (1，5+√34) C. (12，1) D.（1，2） 【正确答案】：A【解析】：根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m 的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之和，并判断出函数的单调性，求出函数的值域，得到结果．【解答】：解：∵2x -1≤x -1时，有x≤0， ∴根据题意得f （x ）= {(2x −1)2−(2x −1)(x −1)，x ≤0(x −1)2−(2x −1)(x −1)，x ＞0，即f （x ）= {2x 2−x ，x ≤0−x 2+x ，x ＞0 ，画出函数的图象，如下图所示：从图象上观察当关于x 的方程为f （x ）=t （t∈R ）恰有三个互不相等的实数根时，t 的取值范围是（0， 14 ），当-x2+x=t时，有x1+x2=1，当2x2-x=t时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到x3= 1−√1+8t4，∴x1+x2+x3=1+ 1−√1+8t4 = 5−√1+8t4，t∈（0，14），令y= 5−√1+8t4，t∈（0，14），则函数是减函数，又由t=0时，y=1，t= 14时，y= 5−√34，故x1+x2+x3的取值范围是(5−√34，1)，故选：A．【点评】：本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，难度中档．9.（多选题，5分）下面选项中正确的有（）A.集合{1，2，3}的子集个数为7个B.“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”D.∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ成立【正确答案】：CD【解析】：选项A，元素个数为n个的集合的子集个数为2n；选项B，若xy＞0，则x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，再根据充分必要条件的概念可得解；选项C，根据存在命题的否定形式，即可得解；选项D，由两角和的正弦公式推出cosβ=1，cosα=1，显然存在α，β满足．【解答】：解：选项A，元素个数为3个的集合有23=8个子集，即A错误；选项B，若xy＞0，则x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，所以应是“必要不充分条件”，即B错误；选项C，命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”，即C正确；选项D，因为sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，若sin（α+β）=sinα+sinβ成立，则cosβ=1，cosα=1，所以β=2k1π（k1∈Z），α=2k2π（k2∈Z），即D正确．故选：CD．【点评】：本题考查命题的真假判断，主要包含子集个数，充分必要条件，命题的否定，两角和的正弦公式等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.（多选题，5分）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若a2+b2=1，则a+b≤√2C.若a＞b，c＞d，则a-d＞b-cD.若a＞0，则a+1a≥2【正确答案】：BD【解析】：直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：当a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bd，故A错误；对于B：由于若a2+b2=1，则（a+b）2≤2a2+2b2=2，所以a+b≤√2，故B正确；对于C：若a＞b，c＞d，则a-d＞b-c，故C错误；对于D：由于a＞0，所以a+1a≥2，当且仅当a=1时，等号成立．故选：BD．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.（多选题，5分）已知函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，则（）A.函数f（x+ π12）为奇函数B.函数f（x）在[ π12，π3]上单调递增C.若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最小值为π3D.函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=-cos3x的图象【正确答案】：AC【解析】：使用代入法先求出φ的值，得函数解析式；再根据三角函数的性质逐一判断．【解答】：解：∵函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，∴3× π4+φ= π2+kπ，k∈Z；∵- π2＜φ＜π2，∴φ=- π4；∴f（x）=sin（3x- π4）；对于A，函数f（x+ π12）=sin[3（x+ π12）- π4]=sin（3x），根据正弦函数的奇偶性，所以f（-x）=-f（x）因此函数f（x）是奇函数，故A正确．对于B，由于x∈[ π12，π3]，3x- π4∈[0，3π4]，函数f（x）=sin（3x- π4）在[ π12，π3]上不单调，故B错误；对于C，因为f（x）max=1，f（x）min=-1又因为|f（x1）-f（x2）|=2，f（x）=sin（3x- π4）的周期为T= 2π3，所以则|x1-x2|的最小值为π3，C正确；对于D，函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数f（x- π4）=sin[3（x- π4）- π4]=-sin3x，故D错误．故选：AC．【点评】：本题考查了三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、对称轴，属于基础题．12.（多选题，5分）函数f（x）= xx2+a的图象可能是（）A.B.C.D.【正确答案】：ABC【解析】：分类讨论，根据函数的单调性即可判断．【解答】：解：当a=0时，f（x）= 1x，则选项C符合；当a＞0，f（0）=0，故排除D；当x＞0时，f（x）= 1x+ax ≤2√ax= √a时取等号，则函数f（x）在（-∞，√a）上为减函数，在（√a，+∞）为增函数，故选项B符合；当a＜0时，函数的定义域为{x|x≠± √−a }，当x＞0，f（x）= 1x+ax ，由于y=x+ ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为增函数，则f（x）= 1x+ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为减函数，故A符合，故选：ABC．【点评】：本题考查了函数图象的识别和应用，关键掌握函数的单调性，属于基础题．13.（填空题，5分）cos225°=___ ．【正确答案】：[1]- √22【解析】：利用诱导公式把cos225°化为-cos45°，从而求得结果．【解答】：解：cos225°=cos（180°+45°）=-cos45°=- √22，故答案为：−√22．【点评】：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．14.（填空题，5分）设函数f（x）= {4x−1，x≤0log2x，x＞0，则f（f（12））=___ ．【正确答案】：[1]- 34【解析】：根据题意，由函数的解析式求出f（12）的值，进而计算可得答案．【解答】：解：根据题意，f（x）= {4x−1，x≤0 log2x，x＞0，则f（12）=log212=-1，则f（f（12））=f（-1）=4-1-1= 14-1=- 34；故答案为：- 34．【点评】：本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．15.（填空题，5分）已知sin（α−π12）= 13，则cos（α+17π12）=___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：直接由已知利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】：解：由sin（α−π12）= 13，得cos（α+17π12）=cos（α+3π2−π12）=sin（α−π12）= 13，故答案为：13．【点评】：本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=-x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≥f（x1）成立，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-3]∪[3，+∞）【解析】：依题意得g（x2）max≥f（x1）max，x∈[0，2]，可求出f（x）=-x2+2x+1的最大值，分a＞0和a＜0两种情况，由函数的单调性可求解g（x）的最大值，列式求解即可．【解答】：解：因为f（x）=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，x∈[0，2]，所以f（x）的最大值为f（1）=2，①又函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，当a＞0时，g（x）在[-1，1]上单调递增，所以g（x）max=g（1）=a-1；②当a ＜0时，g （x ）在[-1，1]上单调递减， 所以g （x ）max =g （-1）=-a-1； ③因为对于∀x 1∈[0，2]，∃x 2∈[-1，1]，使得g （x 2）≥f （x 1）成立， 则g （x 2）max ≥f （x 1）max ，所以，当a ＞0时，a-1≥2，解得a≥3； 当a ＜0时，-a-1≥2，解得a≤-3；综上所述，实数a 的取值范围为（-∞，-3]∪[3，+∞）． 故答案为：（-∞，-3]∪[3，+∞）．【点评】：本题考查了函数恒成立问题，考查函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．17.（问答题，10分）（1）计算：8 23+lg5+lg2-log 216-e 0； （2）已知tanα= 34，求 2sin (π−α)+3cos (−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据指数和对数的性质或运算法则，即可得解；（2）先利用诱导公式化简所求式子，再根据“同除余弦可化切”的思想，即可得解．【解答】：解：（1）原式= (23)23 +lg （5×2）- log 224 -1=22+lg10-4-1=0；（2） 2sin (π−α)+3cos (−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)= 2sinα+3cosα3sinα+cosα = 2tanα+33tanα+1 = 2×34+33×34+1 = 1813 ．【点评】：本题考查指数和对数的化简与求值，诱导公式的应用，同角三角函数商数关系的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 18.（问答题，12分）已知函数 f (x )=x +1x ． （1）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（2）判断f （x ）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）先求函数的定义域，然后利用奇偶性进行判断；（2）利用函数单调性的定义判断．【解答】：解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：因为函数f(x)=x+1x的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f（-x）=-x- 1x =-（x+ 1x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．（2）f（x）在（1，+∞）上单调递增，证明如下：设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+（1x1 - 1x2）=（x1-x2）+ x2−x1x1x2= (x1−x2)(x1x2−1)x1x2，因为1＜x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1x2-1＞0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个条件中的两个：① 函数f（x）的最大值为2；② 函数f（x）的图像可由y=√2sin(x−π4)的图像平移得到；③ 函数f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）≥1的解集．【正确答案】：【解析】：（1）分别根据三个条件求出A和ω的值，得到矛盾，从而可判断出所选条件；然后根据所选条件即可求出函数的解析式；（2）结合正弦函数的图象即可求解三角不等式．【解答】：解：函数 f（x）满足的条件为① ③ ，理由如下：若满足条件① ，则 A=2；若满足条件② ，则 A=2，ω=1，所以① ② 相互矛盾；若满足条件③ ，则T=π，所以ω=2，所以② ③ 也相互矛盾，所以函数 f（x）满足的两个条件只能为① ③ ，此时f(x)=2sin(2x+π6)．（2）由f(x)=2sin(2x+π6)≥1，得sin(2x+π6)≥12，所以π6+2kπ≤2x+π6≤5π6+2kπ，k∈Z，即kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，所以不等式 f（x）≥1 的解集为{x|kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z}．【点评】：本题考查三角函数的解析式，考查学生的运算能力，属于中档题．20.（问答题，12分）已知函数f(x)=2cos2x−cos(2x+π2)−1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在(0，π2)上的值域；（3）将f（x）的图象向右平移π8得到函数g（x）的图象，若h（x）=g（x）-lnx，探究h（x）在(1，π2)上是否存在零点．【正确答案】：【解析】：（1）利用辅助角公式进行化简，利用周期公式进行计算即可．（2）求出角的范围，根据值域进行求解即可．（3）求出g（x）和h（x）的解析式，根据函数定理判断条件进行判断即可．【解答】：解：（1）f（x）=cos2x+sin2x= √2 sin（2x+ π4），则最小正周期T= 2π2=π．（2）当x∈ (0，π2)时，2x∈（0，π），2x+ π4∈（π4，5π4），即2x+ π4 = 5π4时，f（x）取得最小值，最小值为f（x）= √2 sin 5π4= √2×(−√22) =-1，当2x+ π4 = π2时，f（x）取得最大值，最大值为f（x）= √2 sin π2= √2，即函数的值域为（-1，√2 ]．（3）将f（x）的图象向右平移π8得到函数g（x）的图象，则g（x）= √2 sin[2（x- π8）+ π4]= √2 sin2x，则h（x）=g（x）-lnx= √2 sin2x-lnx，h（1）= √2 sin2＞0，h（π2）= √2sinπ-ln π2=-ln π2＜0，则h（1）h（π2）＜0，由根的存在性定理知h（x）在(1，π2)上存在零点．【点评】：本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．21.（问答题，12分）参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用x单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数f(x)=22+x2．（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）（i）根据已知条件，将x=0，x=1，分别代入函数f（x），即可求解．（ii）结合已知条件，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，即可求解．（2）根据已知条件，分别求出两种情况残留的污渍量，再结合作差法，即可求解．【解答】：解：（1）（i）f（0）=1，表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变，f（1）= 23，表示用一个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的13．（ii）函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（0，1]，在（0，+∞）上单调递减．（2）设清洗前衣服上的污渍为1，用a单位量的水清洗后，残留的污渍为W1，则W1=1×f(a)=22+a2，用a2单位的水清洗1次，残留的污渍为1×f(a2)=88+a2，W2=f2(a2)=64(8+a2)2，∵W1-W2= 22+a2−64(8+a2)2= 2a2(a2−16)(2+a2)(8+a2)2，∴W1-W2的符号由a2-16 决定，当a＞4时，W1＞W2，则把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的污渍较少，当a=4时，W1=W2，则两种清洗方法效果相同，当a＜4时，W1＜W2，则用a单位的水清洗一次，残留的污渍较少．【点评】：本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）（a＞0且a≠1）．（1）当a=12，求f（2）的值；（2）当a=12时，若方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，求实数p的取值范围；（3）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，求实数a的值范围．【正确答案】：【解析】：（1）代入化简f（2）= log12（2-1）+ log12（2- 32），从而求得；（2）代入a= 12化简得f（x）= log12（x-1）（x- 32），将方程转化为（x-1）（x- 32）=p-x在（3，4）上有解，即x2- 32 x+ 32=p在（3，4）上有解，构造函数g（x）=x2- 32x+ 32，从而利用函数的单调性求得；（3）先确定函数的定义域，再化简f（x）=log a（x2-5ax+6a2），结合题意知函数y=x2-5ax+6a2在[a+3，a+4]上是增函数，再利用复合函数的单调性分类讨论函数的最值，并将恒成立问题转化为最值问题即可．【解答】：解：（1）当a= 12时，f（x）= log12（x-1）+ log12（x- 32），故f（2）= log12（2-1）+ log12（2- 32）= log12 1+ log1212=1；（2）当a= 12时，f（x）= log12（x-1）+ log12（x- 32）= log12（x-1）（x- 32），∵方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，∴ log12（x-1）（x- 32）= log12（p-x）在（3，4）上有解，即（x-1）（x- 32）=p-x在（3，4）上有解，即x2- 32 x+ 32=p在（3，4）上有解，令g（x）=x2- 32 x+ 32，则g（x）在（3，4）上单调递增，故g（3）＜g（x）＜g（4），即6＜g（x）＜232，即6＜p＜232，故实数p的取值范围为（6，232）；（3）函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）的定义域为（3a，+∞），f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）=log a（x-2a）（x-3a）=log a（x2-5ax+6a2），∵f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，∴a+3＞3a，即a＜32，故函数y=x2-5ax+6a2在[a+3，a+4]上是增函数，① 当0＜a＜1时，由复合函数的单调性可得，f（x）在[a+3，a+4]上是减函数，故f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立可化为f（a+3）≤1，即log a（2a2-9a+9）≤1，即2a2-9a+9≥a，解得，a≥ 5+√72或a≤ 5−√72，故0＜a＜1；② 当1＜a＜32时，由复合函数的单调性可得，f（x）在[a+3，a+4]上是增函数，故f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立可化为f（a+4）≤1，即log a（2a2-12a+16）≤1，即2a2-12a+16≤a，解得，13−√414≤a≤ 13+√414，∵ 13−√414＞32，故无解；综上所述，实数a的值范围为（0，1）．【点评】：本题考查了复合函数的单调性的判断与应用，利用了分类讨论的思想及转化思想，同时考查了恒成立问题及存在性问题，属于中档题．。
高一数学上学期期末考试试题含解析
【分析】
先由奇函数的性质，得到 ，求出 ;再由二次函数的单调性,以及奇函数的性质，得到函数 在区间 上单调递减,进而可求出结果。
【详解】因为函数 是奇函数,
所以 ,即 ,解得: ；
因此
根据二次函数的性质，可得,当 时，函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增；
又因为 ,所以由奇函数的性质可得:函数 在区间 上单调递减;
，即至少遇到4个红灯的概率为0。33。
（3）设事件 为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件 .
则 。
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式,以及概率的性质即可，属于常考题型。
19。一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额 (单位：万元）与销售额 （单位：万元）之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下表格.
【分析】
根据奇偶性的概念，判断函数 的奇偶性，再结合函数单调性，即可解所求不等式。
【详解】因为 的定义域为 ，
由 可得，函数 是奇函数；
根据幂函数单调性可得, 单调递增;所以函数 是增函数;
所以不等式 可化为 ，
因此 ，解得： 。
故选：D
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数奇偶性的概念，会根据函数解析式判定单调性即可，属于常考题型.
【解析】
【分析】
（1）根据换元法，令 ，即可结合已知条件求出结果；
(2）根据指数函数单调性，即可得出单调区间.
【详解】(1)令 ,即 ，
代入 ，可得 ，
所以
（2)因为 ，根据指数函数单调性，可得：
函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 。
【点睛】本题主要考查求函数解析式,以及求指数型函数的单调区间,灵活运用换元法求解析式，熟记指数函数的单调性即可，属于常考题型.
2019-2020学年广东省广州市番禺区八年级(下)期末数学试卷
2019-2020学年广东省广州市番禺区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2分）（2020春•桦南县期末）二次根式有意义的条件是（ ）A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤22．（2分）（2020春•番禺区期末）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A．3，4，5B．13，14，15C．5，12，13D．15，8，173．（2分）（2020春•番禺区期末）下面是某八年级（2）班第1组女生的体重（单位：kg）：35，36，42，42，68，40，38，这7个数据的中位数是（ ）A．68B．43C．42D．404．（2分）（2020春•凤凰县期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线平分对角5．（2分）（2020春•番禺区期末）一次函数y＝﹣3x+1的图象不经过（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2分）（2020春•番禺区期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为（ ）A．16B．8C．D．47．（2分）（2020春•番禺区期末）下列各式计算正确的是（ ）A．B．C．D．3﹣2＝18．（2分）（2020•海淀区校级一模）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB 经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（ ）A．y＝﹣2x+4B．y＝﹣2x+8C．y＝﹣2x﹣4D．y＝﹣2x﹣89．（2分）（2010•柳州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为（ ）A．10°B．15°C．20°D．12.5°10．（2分）（2020春•番禺区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD；其中正确的结论个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．（2分）（柳州）计算： ．12．（2分）（2020春•番禺区期末）在平行四边形ABCD中，若∠A＝38°，则∠C＝ ．13．（2分）（2020春•昆明期末）直线y＝2x﹣3与y轴的交点坐标 ．14．（2分）（2020春•番禺区期末）两人从同一地点同时出发，一人以30m/min的速度向北直行，一人以30m/min的速度向东直行，10min后他们相距 m．15．（2分）（武汉模拟）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则当乙车到达B城时，甲车离B城的距离为 km．16．（2分）（2020春•番禺区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积为 ．三、解答题17．（8分）（2020春•番禺区期末）计算：（1）（2）（3）18．（8分）（2020春•番禺区期末）甲、乙两名射击运动员各进行10次射击，甲的成绩是7，7，8，9，8，9，10，9，9，9．乙的成绩如图所示（单位：环）（1）分别计算甲、乙两人射击成绩的平均数；（2）若要选拔一人参加比赛，应派哪一位？请说明理由．19．（8分）（2020春•番禺区期末）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，则梯子底端B也外移0.4m吗？为什么？20．（8分）（2020春•番禺区期末）已知直线y＝kx+b的图象经过点（2，4）和点（﹣2，﹣2）．（1）求b的值；（2）求关于x的方程kx+b＝0的解；（3）若（x1，y1）、（x2，y2）为直线上两点，且x1＜x2，试比较y1、y2的大小．21．（8分）（2020春•番禺区期末）如图，在▱ABCD中，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E，F，连接ED，BF．（1）求证：AE＝CF；（2）若AB＝9，AC＝16，AE＝4，BF＝3，求四边形ABCD的面积．22．（6分）（2020春•番禺区期末）已知点A（8，0）及第一象限的动点P（x，y），且x+y＝10，设△OPA的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）画出函数S的图象，并求其与正比例函数S＝2x的图象的交点坐标；（3）当S＝12时，求P点坐标．23．（6分）（2020春•番禺区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD 的中点，DE，BF与对角线AC分别交于点M，N，连接MF，NE．（1）求证：DE∥BF；（2）判断四边形MENF是何特殊的四边形？并对结论给予证明．24．（8分）（2020春•番禺区期末）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过300元后的价格部分打7折．（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y与x的函数解析式；（2）在同一直角坐标系中画出（1）中函数的图象；（3）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？25．（8分）（2020春•番禺区期末）如图，在边长为a的正方形ABCD中，作∠ACD的平分线交AD于F，过F作直线AC的垂线交AC于P，交CD的延长线于Q，又过P作AD的平行线与直线CF交于点E，连接DE，AE，PD，PB．（1）求AC，DQ的长；（2）四边形DFPE是菱形吗？为什么？（3）探究线段DQ，DP，EF之间的数量关系，并证明探究结论；（4）探究线段PB与AE之间的数量关系与位置关系，并证明探究结论．2019-2020学年广东省广州市番禺区八年级（下）期末数学试卷答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2分）（2020春•桦南县期末）二次根式有意义的条件是（ ）A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．（2分）（2020春•番禺区期末）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A．3，4，5B．13，14，15C．5，12，13D．15，8，17【考点】勾股定理的逆定理．【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．解：A、∵32+42＝52，∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵132+142≠152，∴以13，14，15为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；C、∵52+122＝132，∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵82+152＝172，∴以8，15，17为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．3．（2分）（2020春•番禺区期末）下面是某八年级（2）班第1组女生的体重（单位：kg）：35，36，42，42，68，40，38，这7个数据的中位数是（ ）A．68B．43C．42D．40【考点】中位数．【分析】根据中位数的概念求解．解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：35，36，38，40，42，42，68，则中位数为40．故选：D．【点评】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．4．（2分）（2020春•凤凰县期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线平分对角【考点】多边形．【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项错误；B、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项错误；C、对角线互相平分，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项正确；D、对角线平分对角，矩形不具有此性质，故本选项错误；故选：C．【点评】此题考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，注意掌握正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．5．（2分）（2020春•番禺区期末）一次函数y＝﹣3x+1的图象不经过（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】一次函数的性质．【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断该函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．解：∵一次函数y＝﹣3x+1，k＝﹣3，b＝1，∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．6．（2分）（2020春•番禺区期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为（ ）A．16B．8C．D．4【考点】三角形中位线定理；菱形的性质．【分析】根据三角形的中位线定理求出BC，再根据菱形的四条边解答即可．解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×2＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．7．（2分）（2020春•番禺区期末）下列各式计算正确的是（ ）A．B．C．D．3﹣2＝1【考点】分母有理化；二次根式的混合运算．【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．解：A、与不能合并，所以A选项错误；B、原式＝3，所以B选项错误；C、原式＝2，所以C选项错误；D、原式3﹣2＝1，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．8．（2分）（2020•海淀区校级一模）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB 经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（ ）A．y＝﹣2x+4B．y＝﹣2x+8C．y＝﹣2x﹣4D．y＝﹣2x﹣8【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】由题意知，直线AB的k是﹣2，又已知直线AB上的一点（m，n），所以用直线的解析式方程y﹣y0＝k（x﹣x0）求得解析式即可．解：∵直线AB是直线y＝﹣2x平移后得到的，∴直线AB的k是﹣2（直线平移后，其K不变）∴设直线AB的方程为y﹣y0＝﹣2（x﹣x0）①把点（m，n）代入①并整理，得y＝﹣2x+（2m+n）②∵2m+n＝8 ③把③代入②，解得y＝﹣2x+8，即直线AB的解析式为y＝﹣2x+8．故选：B．【点评】本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后，K不变这一性质，再根据题意中的已知条件，来确定用哪种方程来解答．9．（2分）（2010•柳州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为（ ）A．10°B．15°C．20°D．12.5°【考点】等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】根据等边三角形的性质及正方形的性质可得到AB＝AE，从而可求得∠BAE的度数，则∠AEB的度数就不难求了．解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）÷2＝15°．故选：B．【点评】主要考查了正方形和等边三角形的特殊性质．10．（2分）（2020春•番禺区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD；其中正确的结论个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】证得△ABC是等边三角形，则可得∠B＝∠EAC＝60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE，可得∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，由外角性质可得∠FHC＝∠B，①②正确；由∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC，③△ADO≌△ACH不正确；求出△ABC的面积AB2，得菱形ABCD的面积，④不正确；即可得出结论．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形，∴AB＝CA，∠EAC＝∠B＝60°，同理：△ADC是等边三角形∴∠OAD＝60°，在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS）；∴∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，∵∠FHC＝∠ACE+∠FAC＝∠BAF+∠FAC＝∠BAC＝60°，∴∠FHC＝∠B，故①正确，②正确；∵∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC，故③△ADO≌△ACH不正确；∵△ABC是等边三角形，AB＝AC＝1，∴△ABC的面积AB2，∴菱形ABCD的面积＝2△ABC的面积，故④不正确；故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握菱形和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．二、填空题11．（2分）（柳州）计算： ．【考点】二次根式的乘除法．【分析】原式利用二次根式乘法法则计算即可得到结果．解：原式，故【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解本题的关键．12．（2分）（2020春•番禺区期末）在平行四边形ABCD中，若∠A＝38°，则∠C＝ 38° ．【考点】平行四边形的性质．【分析】由平行四边形四边形的性质可得∠A＝∠C＝38°．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵∠A＝38°，∴∠C＝38°，故38°．【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．13．（2分）（2020春•昆明期末）直线y＝2x﹣3与y轴的交点坐标 （0，﹣3） ．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】求出当x＝0时，y的值，由此即可得出直线与y轴的交点坐标．解：由题意得：当x＝0时，y＝2×0﹣3＝﹣3，即直线与y轴交点坐标为（0，﹣3），故答案为（0，﹣3）．【点评】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，比较简单，令x＝0即可．14．（2分）（2020春•番禺区期末）两人从同一地点同时出发，一人以30m/min的速度向北直行，一人以30m/min的速度向东直行，10min后他们相距 300 m．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据方位角可知两人所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，再根据勾股定理，即可求得两人之间的距离．解：设10min后，OA＝OB＝30×10＝300（m），甲乙两人相距AB300（m）．答：10min后，甲乙两人相距300m，故300．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意判断直角三角形是解答此题的关键．15．（2分）（武汉模拟）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则当乙车到达B城时，甲车离B城的距离为 60 km．【考点】一次函数的应用．【分析】由图示知：A，B两城相距300km，甲车从5：00出发，乙车从6：00出发；甲车10：00到达B城，乙车9：00到达B城；计算出乙车的平均速度为：300÷（9﹣6）＝100（km/h），当乙车7：30时，乙车离A的距离为：100×1.5＝150（km），得到点A（7.5，150）点B（5，0），设甲的函数解析式为：y＝kt+b，把点A（7.5，150），B（5，0）代入解析式，求出甲的解析式，当t＝9时，y＝60×9﹣300＝240，所以9点时，甲距离开A的距离为240km，则当乙车到达B城时，甲车离B城的距离为：300﹣240＝60km．解：如图，由图示知：A，B两城相距300km，甲车从5：00出发，乙车从6：00出发；甲车10：00到达B城，乙车9：00到达B城；乙车的平均速度为：300÷（9﹣6）＝100（km/h），当乙车7：30时，乙车离A的距离为：100×1.5＝150（km），∴点A（7.5，150）由图可知点B（5，0）设甲的函数解析式为：y＝kt+b，把点A（7.5，150），B（5，0）代入y＝kt+b得：，解得：，∴甲的函数解析式为：y＝60t﹣300，当t＝9时，y＝60×9﹣300＝240，∴9点时，甲距离开A的距离为240km，∴则当乙车到达B城时，甲车离B城的距离为：300﹣240＝60km．故60．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是求甲的函数解析式，即可解答．16．（2分）（2020春•番禺区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积为 ．【考点】三角形的面积；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，所以AF＝AB﹣BF．解：由于折叠可得：AD′＝BC，∠D′＝∠B，又∠AFD′＝∠CFB，∴△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝6﹣x，在Rt△AFD′中，（6﹣x）2＝x2+42，解之得：x，∴AF＝AB﹣FB＝6，∴S△AFC•AF•BC，故．【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，本题中设D′F＝x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．三、解答题17．（8分）（2020春•番禺区期末）计算：（1）（2）（3）【考点】平方差公式；二次根式的混合运算．【分析】（1）直接合并同类二次根式即可；（2）利用平方差公式计算；（3）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．解：（1）原式＝3；（2）原式＝（2）2﹣（）2＝12﹣6＝6；（3）原式＝23＝5．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（8分）（2020春•番禺区期末）甲、乙两名射击运动员各进行10次射击，甲的成绩是7，7，8，9，8，9，10，9，9，9．乙的成绩如图所示（单位：环）（1）分别计算甲、乙两人射击成绩的平均数；（2）若要选拔一人参加比赛，应派哪一位？请说明理由．【考点】算术平均数；方差．【分析】（1）利用加权平均数的计算方法进行计算即可；（2）计算甲、乙两人的方差、中位数，通过比较得出答案．解：（1）甲8.5（环）8.5（环），乙答：甲、乙两人射击成绩的平均数都是8.5环；（2）[（7﹣8.5）2×2+（8﹣8.5）2×2+（9﹣8.5）2×5+（10﹣8.5）2]＝0.85，═[（7﹣8.5）2×3+（8﹣8.5）2×2+（9﹣8.5）2×2+（10﹣8.5）2×3]＝1.45，甲的中位数是9环，乙的中位数是8.5环，由于两人的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，甲的中位数大于乙的中位数，所以应派甲去参加比赛．【点评】本题考查平均数、中位数、方差、的意义和计算方法，理解平均数、中位数、方差的意义是正确计算的前提，掌握计算方法是关键．19．（8分）（2020春•番禺区期末）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，则梯子底端B也外移0.4m吗？为什么？【考点】勾股定理的应用．【分析】先根据勾股定理求出OB的长，再根据梯子的长度不变求出OD的长，根据BD＝OD﹣OB即可得出结论．解：∵Rt△OAB中，AB＝2.5m，AO＝2.4m，∴OB0.7m；同理，Rt△OCD中，∵CD＝2.5m，OC＝2.4﹣0.4＝2m，∴OD1.5m，∴BD＝OD﹣OB＝1.5﹣0.7＝0.8（m）．答：梯子底端B向外移了0.8米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．20．（8分）（2020春•番禺区期末）已知直线y＝kx+b的图象经过点（2，4）和点（﹣2，﹣2）．（1）求b的值；（2）求关于x的方程kx+b＝0的解；（3）若（x1，y1）、（x2，y2）为直线上两点，且x1＜x2，试比较y1、y2的大小．【考点】一次函数与一元一次方程．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到b的值；（2）利用k、b的值得到次函数解析式为yx+1，然后解方程x+1＝0即可；（3）利用一次函数的性质解决问题．解：（1）根据题意得，解得，即b的值为1；（2）一次函数解析式为yx+1，当y＝0时，x+1＝0，解得x；（3）∵k0，∴y随x的增大而增大，∵x1＜x2，∴y1＜y2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了一次函数的性质．21．（8分）（2020春•番禺区期末）如图，在▱ABCD中，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E，F，连接ED，BF．（1）求证：AE＝CF；（2）若AB＝9，AC＝16，AE＝4，BF＝3，求四边形ABCD的面积．【考点】三角形的面积；全等三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】（1）首先由平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，再根据平行线的性质可得∠BAE＝∠DCF，∠BEC＝∠DFA，然后根据AAS定理判定△ABE≌△CDF，即可证明得到AE＝CF；（2）通过作辅助线求出△ABC的面积，即可得到四边形ABCD的面积．解：（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，又∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE，∴∠BEA＝∠DFC，∴在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF；（2）连接BD交AC于点O，作BH⊥AC交AC于点H，∵在平行四边形ABCD中，AC、BD是对角线，∴AO＝CO＝8，AF＝12，∵AB2+BF2＝92144，AF2＝144，∴AB2+BF2＝AF2，∴∠ABF＝90°，∴BH，∴S平行四边形ABCD＝2S△ABC．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，以及利用面积法求三角形的高等知识，难度一般．22．（6分）（2020春•番禺区期末）已知点A（8，0）及第一象限的动点P（x，y），且x+y＝10，设△OPA的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）画出函数S的图象，并求其与正比例函数S＝2x的图象的交点坐标；（3）当S＝12时，求P点坐标．【考点】动点问题的函数图象．【分析】（1）根据△OAP的面积＝OA×y÷2列出函数解析式，及点P（x，y）在第一象限内求出自变量的取值范围．（2）根据S＝﹣4x+40画出函数图象，并与正比例函数S＝2x联立方程组，即可求出交点坐标．（3）将S＝12代入（1）求出的解析式中即可．解：（1）依题意有S8×（10﹣x）＝﹣4x+40，∵点P（x，y）在第一象限内，∴x＞0，y＝10﹣x＞0，解得：0＜x＜10，故关于x的函数解析式为：S＝﹣4x+40 （0＜x＜10）；（2）∵解析式为S＝﹣4x+40（0＜x＜10）；∴函数图象经过点（10，0）（0，40）（但不包括这两点的线段）．所画图象如下：令，解得：，所以交点坐标为，（3）将S＝12代入S＝﹣4x+40，得：12＝﹣4x+40，解得：x＝7，故点P（7，3）．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．23．（6分）（2020春•番禺区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD 的中点，DE，BF与对角线AC分别交于点M，N，连接MF，NE．（1）求证：DE∥BF；（2）判断四边形MENF是何特殊的四边形？并对结论给予证明．【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD；由中点性质可得BE＝AEABCD＝DF＝CF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形EBFD为平行四边形，可得DE∥BF；（2）由“ASA”可证△AME≌△CNF，可得ME＝FN，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形MENF为平行四边形，证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝AEABCD＝DF＝CF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD为平行四边形，∴DE∥BF；（2）四边形MENF是平行四边形，理由如下：∵DE∥BF，∴∠CDM＝∠CFN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠BAC＝∠DCA，∠CDM＝∠AEM，∴∠AEM＝∠CFN，在△AME和△CNF中，，∴△AME≌△CNF（ASA），∴ME＝FN，又∵DE∥BF，∴四边形MENF是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，根据条件选择适当的判定方法是解题关键．24．（8分）（2020春•番禺区期末）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过300元后的价格部分打7折．（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y与x的函数解析式；（2）在同一直角坐标系中画出（1）中函数的图象；（3）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用．【分析】（1）根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；（2）利用两点法作出函数图象即可；（3）求出两家商场购物付款相同的x的值，然后根据函数图象作出判断即可．解：（1）甲商场：y＝0.8x，乙商场：y＝x（0≤x≤300），y＝0.7（x﹣300）+300＝0.7x+90，即y＝0.7x+90（x＞300）；（2）如图所示；（3）当0.8x＝0.7x+90时，x＝900，所以，x＜900时，甲商场购物更省钱，x＝900时，甲、乙两商场购物更花钱相同，x＞900时，乙商场购物更省钱．【点评】本题考查了一次函数的应用，一次函数图象，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意乙商场根据商品原价的取值范围分情况讨论．25．（8分）（2020春•番禺区期末）如图，在边长为a的正方形ABCD中，作∠ACD的平分线交AD于F，过F作直线AC的垂线交AC于P，交CD的延长线于Q，又过P作AD的平行线与直线CF交于点E，连接DE，AE，PD，PB．（1）求AC，DQ的长；（2）四边形DFPE是菱形吗？为什么？（3）探究线段DQ，DP，EF之间的数量关系，并证明探究结论；（4）探究线段PB与AE之间的数量关系与位置关系，并证明探究结论．【考点】四边形综合题．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再证明△FDQ≌△FPA得到QD＝AP，结合CD＝CP求出结果；（2）先证明DE∥PF，结合EP∥DF得到四边形DFPE是平行四边形，再由EF⊥DP 得到菱形；（3）根据菱形的性质得到2DG＝DP，2GF＝EF，再证明QD＝DF，最后利用勾股定理证明线段关系；（4）证明△ADE≌BAP，得到AE＝BP，∠EAD＝∠ABP，延长BP，与AE交于点H，利用∠EAD＝∠ABP，得到∠PHA＝90°，即可判定关系．解：（1）AC，∵CF平分∠BCD，FD⊥CD，FP⊥AC，∴FD＝FP，又∠FDQ＝∠FPA，∠DFQ＝∠PFA，∴△FDQ≌△FPA（ASA），∴QD＝AP，∵点P在正方形ABCD对角线AC上，∴CD＝CP＝a，∴QD＝AP＝AC﹣PC＝（）a；（2）∵FD＝FP，CD＝CP，∴CF垂直平分DP，即DP⊥CF，∴ED＝EP，则∠EDP＝∠EPD，∵FD＝FP，∴∠FDP＝∠FPD，而EP∥DF，∴∠EPD＝∠FDP，∴∠FPD＝∠EPD，∴∠EDP＝∠FPD，∴DE∥PF，而EP∥DF，∴四边形DFPE是平行四边形，∵EF⊥DP，∴四边形DFPE是菱形；（3）DP2+EF2＝4QD2，理由是：∵四边形DFPE是菱形，设DP与EF交于点G，∴2DG＝DP，2GF＝EF，∵∠ACD＝45°，FP⊥AC，∴△PCQ为等腰直角三角形，∴∠Q＝45°，可得△QDF为等腰直角三角形，∴QD＝DF，在△DGF中，DG2+FG2＝DF2，∴有（DP）2+（EF）2＝QD2，整理得：DP2+EF2＝4QD2；（4）∵∠DFQ＝45°，DE∥FP，∴∠EDF＝45°，又∵DE＝DF＝DQ＝AP＝（）a，AD＝AB，∴△ADE≌BAP（SAS），∴AE＝BP，∠EAD＝∠ABP，延长BP，与AE交于点H，∵∠HPA＝∠PAB+∠PBA＝∠PAB+∠DAE，∠PAB+∠DAE+∠HAP＝90°，∴∠HPA+∠HAP＝90°，∴∠PHA＝90°，即BP⊥AE，综上：BP与AE的关系是：垂直且相等．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，知识点较多，解题时应当注意各个小问之间的关系，找到能够利用的结论和条件．。
期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。
广东省广州市番禺区实验中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
广东省广州市番禺区实验中学2023-2024学年高一上学期期
中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
二、多选题
9．“一元二次方程20
++=有实数解”的必要不充分条件是（）
x x m
三、填空题
四、解答题
的取值范围．
18．已知f (x )在R 上是单调递减的一次函数，且f (f (x ))＝4x －1.(1)求f (x )；
(2)求函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈[－1,2]上的最大值与最小值．
五、未知
19．关于x 的不等式()2
220,ax a x a -++>∈R ．
(1)当3a =时，求不等式的解集；(2)解关于x 的不等式．
六、解答题
20．企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x 万元，甲、乙两种商品分别可
获得12,y y 万元的利润，利润曲线11:n
P y ax =，22:P
y bx c =+，如图所示.
（1）求函数12,y y 的解析式；
（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？
七、未知。
2019-2020学年广东省广州市番禺区八年级(上)期末数学试卷
三.解答题（本大题共 9 小题，满分 68 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6 分）（海淀区一模）如图，在△ABC 中，D，E 是 BC 边上两点，
2019-2020 学年广东省广州市番禺区八年级（上）期末数学试卷
答案与试题解析
一.选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，满分 20 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1．（2 分）（2019 秋•番禺区期末）点 M（1，﹣2）关于 y 轴的对称点坐标为（ ）
A．（﹣1，2）
内角的和．
4．（2 分）（苏州）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
A．5cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
二.填空题（共 6 题，每题 2 分，共 12 分.）
11．（2 分）（2002•宁德）计算：（xy2）2＝ ．
12．（2 分）（成都）等腰三角形的一个底角为 50°，则它的顶角的度数为 ．
13．（2 分）（雁江区模拟）分解因式：b3﹣6b2+9b＝ ．
10．（2 分）（2019 秋•番禺区期末）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 是
2019-2020学年广东省广州市番禺区七年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年广东省广州市番禺区七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2分）2的相反数是( )A ．12B ．2C ．2-D ．12- 2．（2分）2018年10月23日，世界上最长的跨海大桥-港珠澳大桥正式开通，这座大桥集跨海大桥、人工岛、海底隧道于一身，全长约55000米．其中55000用科学记数法可表示为( )A ．35.510⨯B ．35510⨯C ．45.510⨯D ．4610⨯3．（2分）如果0a <，0b >，那么( )A ．0ab >B ．0a b ->C ．0a b >D ．0a b -<4．（2分）如果x y =，那么根据等式的性质下列变形不正确的是( )A ．22x y +=+B ．33x y =C ．55x y -=-D ．33x y -=- 5．（2分）下列关于几何画图的语句，正确的是( )A ．延长射线AB 到点C ，使2BC AB =B ．点P 在线段AB 上，点Q 在直线AB 的反向延长线上C ．将射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 与起始位置OA 成一条直线时形成平角D ．已知线段a 、b ，若在同一直线上作线段AB a =，BC b =，则线段AC a b =+6．（2分）下列说法中，正确的是( )A ．若x ，y 互为倒数，则2020()1xy -=-B ．如果||2x =，那么x 的值一定是2C ．与原点的距离为4个单位的点所表示的有理数一定是4D ．若647x y -和23m n x y 是同类项，则m n +的值是77．（2分）若2x =时，多项式3mx nx +的值为6，则当2x =-时，多项式3mx nx +的值为( )A ．6-B ．6C ．0D ．268．（2分）一个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．长方体D ．球9．（2分）a ，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a ，a -，b ，b -按照从小到大的顺序排列，正确的是( )A ．b a b a <-<-<B ．b a a b <-<<-C ．b b a a <-<-<D ．a b b a -<-<<10．（2分）如图，是由一些棱长为1cm 的小正方体构成的立体图形的三种视图，那么这个立体图形的体积是( )A ．33cmB ．314cmC ．35cmD ．37cm二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）整式4222a a b b -+的次数是 ．12．（3分）一个角是7039︒'，则它的余角的度数是 ．13．（3分）笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时就形成了线，这可以说点动成线；汽车的雨刷在档风玻璃上画出一个扇面，这可以说 ．14．（3分）某种商品原价每件b 元，第一次降价打八折，第二次降价每件又减10元，第二次降价后的售价是 元．15．（3分）比较大小：12- 23-．（填“>”或“<”号）．16．（3分）《九章算术》是中国古代的数学专著，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：“假设有若干人共同出钱买羊，如果每人出5钱，那么还差45钱；如果每人出7钱那么仍旧差3钱，求买羊的人数和羊的价钱．”设共有x 个人买羊，可列方程为 ．三、解答题（本大题共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（8分）计算下列各式的值：（1）2151()|05||4|(9)3663-+-+-+- （2）2342()()(0.25)34⨯-+-÷- 18．（8分）解方程：（1）37(1)32(3)x x x --=-+（2）13735x x x -+-=- 19．（6分）先化简下式，再求值：22225(3)(3)ba b a ab a b --+，其中12a =，13b =． 20．（6分）夜来南风起，小麦覆陇黄．今年夏天，小鹏家的麦田喜获丰收，某天收割的10袋小麦，称后纪录如下（单位：千克）:91，91，91.5，89，91.2，91.3，88.7，88.8，91.8，91.1在没带计算器的情况下，小鹏想帮父亲快速算出这10袋小麦一共多少千克．（1）小鹏通过观察发现，如果以90千克为标准，把超出的千克数记为正，不足的千克数记为负，则可写出这10袋小麦的千克数与90的差值，请你依次写出小鹏得到的这10个差值．（2）请利用（1）中的差值，求这10袋小麦一共多少千克．21．（4分）美国著名的数学科普作家马丁g 加德纳，他的妙趣横生的科普作品《哈哈!灵机一动》让无数读者为数学着谜，下面的问题改编自马丁g 加德纳的文集．最早的器具型趣题无疑是古代中国的七巧板（由如图1的七块板组成的，完整图案为一正方形）游戏，它可以引出一些不平凡的数学问题，例如用一副七巧板可拼出多少种凸多边形（图形均在各边所在的直线的同侧）？1942年，中国浙江大学的两位数学家王福春和熊全治，证明了用一副七巧板只能拼出13种凸多边形．图2中给出了其中的一种凸六边形，请你参考图1，在图2中画出七巧板中的七块．22．（8分）如图，点D 是线段AB 上的任意一点（不与点A 和B 重合），C 是线段AD 的中点，4AB cm =．（1）若D 是线段AB 的中点，求线段CD 的长度．（2）在图中作线段DB 的中点E ，当点D 在线段AB 上从左向右移动时，试探究线段CE 长度的变化情况．23．（10分）列方程解应用题．（1）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t ；如果用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t ；新、旧工艺的废水排量之比为2:5，两种工艺的废水排量各是多少？（2）元旦期间，晓睛驾车从珠海出发到香港，去时在港珠澳大桥上用了60分钟，返回时平均速度提高了5千米/小时，在港珠澳大桥上的用时比去时少用了5分钟，求港珠澳大桥的长度．24．（12分）如图，长方形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，M 、N 分别在射线BC 和射线AD 上，连接EM ，EN ，将三角形MBE 沿EM 折叠（把物体的一部分翻转和另一部分贴拢），点B 落在点B '处；将三角形NAE 沿EN 折叠，点A 落在点A ’处．（1）若30MEB ∠=︒，45NEA ∠=︒，用直尺、量角器画出射线EB '与EA '；（2）若30MEB ∠=︒，45NEA ∠=︒，求A EB ''∠的度数；（3）若MEB α∠=，NEA β∠=，用含α、β的代数式表示A EB ''∠的度数．2019-2020学年广东省广州市番禺区七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2分）2的相反数是( )A ．12B ．2C ．2-D ．12- 【解答】解：2-的相反数是2．故选：C ．2．（2分）2018年10月23日，世界上最长的跨海大桥-港珠澳大桥正式开通，这座大桥集跨海大桥、人工岛、海底隧道于一身，全长约55000米．其中55000用科学记数法可表示为( )A ．35.510⨯B ．35510⨯C ．45.510⨯D ．4610⨯【解答】解：455000 5.510=⨯．故选：C ．3．（2分）如果0a <，0b >，那么( )A ．0ab >B ．0a b ->C ．0a b >D ．0a b -<【解答】解：0a <Q ，0b >，0ab ∴<，∴选项A 不符合题意；0a <Q ，0b >，0a b ∴-<，∴选项B 不符合题意；0a <Q ，0b >，∴0a b<， ∴选项C 不符合题意；0a <Q ，0b >，0a b ∴-<，∴选项D 符合题意．故选：D ．4．（2分）如果x y =，那么根据等式的性质下列变形不正确的是( )A ．22x y +=+B ．33x y =C ．55x y -=-D ．33x y -=- 【解答】解：A 、22x y +=+，正确；B 、33x y =，正确；C 、55x y -=-，错误；D 、33x y -=-，正确； 故选：C ．5．（2分）下列关于几何画图的语句，正确的是( )A ．延长射线AB 到点C ，使2BC AB =B ．点P 在线段AB 上，点Q 在直线AB 的反向延长线上C ．将射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 与起始位置OA 成一条直线时形成平角D ．已知线段a 、b ，若在同一直线上作线段AB a =，BC b =，则线段AC a b =+【解答】解：A ．延长射线AB 到点C ，使2BC AB =，因为射线不能延长，所以A 选项错误，不符合题意；B ．因为直线不能反向延长，所以B 选项错误，不符合题意；C ．将射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 与起始位置OA 成一条直线时形成平角． C 选项正确，符号题意；D ．已知线段a 、b ，若在同一直线上作线段AB a =，BC b =，则线段AC a b =+或a b =-． 所以D 选项错误，不符合题意．故选：C ．6．（2分）下列说法中，正确的是( )A ．若x ，y 互为倒数，则2020()1xy -=-B ．如果||2x =，那么x 的值一定是2C ．与原点的距离为4个单位的点所表示的有理数一定是4D ．若647x y -和23m n x y 是同类项，则m n +的值是7【解答】解：A 、若x ，y 互为倒数，则2020()1xy -=，故A 错误； B 、若||2x =，那么x 是2±，故B 错误；C 、与原点的距离为4个单位的点所表示的有理数是4或4-，故C 错误；D 、若647x y -和23m n x y 是同类项，则26m =，4n =，所以m n +的值是7，故D 正确． 故选：D ．7．（2分）若2x =时，多项式3mx nx +的值为6，则当2x =-时，多项式3mx nx +的值为( )A ．6-B ．6C ．0D ．26【解答】解：2x =Q 时，36mx nx +=，826m n ∴+=，∴当2x =-时，3mx nx +82m n =--(82)m n =-+6=-．故选：A ．8．（2分）一个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．长方体D ．球【解答】解：由几何体的表面展开图可知，这个几何体是圆锥．故选：B ．9．（2分）a ，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a ，a -，b ，b -按照从小到大的顺序排列，正确的是( )A ．b a b a <-<-<B ．b a a b <-<<-C ．b b a a <-<-<D ．a b b a -<-<<【解答】解：Q 由图可知，0b a <<，||||a b <，0a b ∴<<-，0b a <-<，b a a b ∴<-<<-．故选：B ．10．（2分）如图，是由一些棱长为1cm 的小正方体构成的立体图形的三种视图，那么这个立体图形的体积是( )A ．33cmB ．314cmC ．35cmD ．37cm【解答】解：易得第一层有2个小正方体，第二层有1个小正方体，一共有3个， 这个几何体的体积为33cm故选：A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）整式4222a a b b -+的次数是 4 ．【解答】解：多项式4222a a b b -+的次数是4，故答案为：4．12．（3分）一个角是7039︒'，则它的余角的度数是 1921︒' ．【解答】解：它的余角9070391921=︒-︒'=︒'．故答案为：1921︒'．13．（3分）笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时就形成了线，这可以说点动成线；汽车的雨刷在档风玻璃上画出一个扇面，这可以说 线动成面 ．【解答】解：汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．故答案为：线动成面．14．（3分）某种商品原价每件b元，第一次降价打八折，第二次降价每件又减10元，第二次降价后的售价是0.810b-元．【解答】解：Q某种商品原价每件b元，第一次降价打八折，∴第一次降价后的售价为：0.8b．Q第二次降价每件又减10元，∴第二次降价后的售价是0.810b-．故答案为：0.810b-．15．（3分）比较大小：12->23-．（填“>”或“<”号）．【解答】解：21||||32->-，所以1223->-．答案：>．16．（3分）《九章算术》是中国古代的数学专著，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：“假设有若干人共同出钱买羊，如果每人出5钱，那么还差45钱；如果每人出7钱那么仍旧差3钱，求买羊的人数和羊的价钱．”设共有x个人买羊，可列方程为54573x x+=+．【解答】解：由题意可得，54573x x+=+，故答案为：54573x x+=+．三、解答题（本大题共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（8分）计算下列各式的值：（1）2151 ()|05||4|(9) 3663 -+-+-+-（2）2342()()(0.25)34⨯-+-÷-【解答】解：（1）2151 ()|05||4|(9) 3663 -+-+-+-2151 ()54(9) 3663 =-+++-=；（2）2342()()(0.25)34⨯-+-÷- 328()(4)4=-+-⨯- 283=-+25=-．18．（8分）解方程：（1）37(1)32(3)x x x --=-+（2）13735x x x -+-=- 【解答】解：（1）去括号得：377326x x x -+=--，移项合并得：210x -=-，解得：5x =；（2）去分母得：155510539x x x -+=--，移项合并得：1391x =，解得：7x =．19．（6分）先化简下式，再求值：22225(3)(3)ba b a ab a b --+，其中12a =，13b =． 【解答】解：原式2222221553126ba b a ab a b a b ab =---=-， 当12a =，13b =时，原式12133=-=． 20．（6分）夜来南风起，小麦覆陇黄．今年夏天，小鹏家的麦田喜获丰收，某天收割的10袋小麦，称后纪录如下（单位：千克）:91，91，91.5，89，91.2，91.3，88.7，88.8，91.8，91.1在没带计算器的情况下，小鹏想帮父亲快速算出这10袋小麦一共多少千克．（1）小鹏通过观察发现，如果以90千克为标准，把超出的千克数记为正，不足的千克数记为负，则可写出这10袋小麦的千克数与90的差值，请你依次写出小鹏得到的这10个差值．（2）请利用（1）中的差值，求这10袋小麦一共多少千克．【解答】解：（1）1+，1+， 1.5+，1-， 1.2+， 1.3+， 1.3-， 1.2-， 1.8+， 1.1+；（2）11 1.51 1.2 1.3 1.3 1.2 1.8 1.1+++-++--++，5.4=，9010 5.4905.4⨯+=（千克），答：这10袋小麦一共905.4千克．21．（4分）美国著名的数学科普作家马丁g 加德纳，他的妙趣横生的科普作品《哈哈!灵机一动》让无数读者为数学着谜，下面的问题改编自马丁g 加德纳的文集．最早的器具型趣题无疑是古代中国的七巧板（由如图1的七块板组成的，完整图案为一正方形）游戏，它可以引出一些不平凡的数学问题，例如用一副七巧板可拼出多少种凸多边形（图形均在各边所在的直线的同侧）？1942年，中国浙江大学的两位数学家王福春和熊全治，证明了用一副七巧板只能拼出13种凸多边形．图2中给出了其中的一种凸六边形，请你参考图1，在图2中画出七巧板中的七块．【解答】解：如图，图2中画出了七巧板中的七块． 22．（8分）如图，点D 是线段AB 上的任意一点（不与点A 和B 重合），C 是线段AD 的中点，4AB cm =．（1）若D 是线段AB 的中点，求线段CD 的长度．（2）在图中作线段DB 的中点E ，当点D 在线段AB 上从左向右移动时，试探究线段CE 长度的变化情况．【解答】解：（1）4AB =Q ，点D 在线段AB 上，点D 是线段AB 的中点，114222AD AB ∴==⨯=， Q 点C 是线段AD 的中点，112122CD AD ∴==⨯=；（2）因为点D 在线段AB 上，点C 是线段AD 的中点，点E 是线段BD 的中点，12CD AD ∴=，12DE BD =， 1111()2222CE CD DE AD BD AD BD AB ∴=+=+=+=， 4AB =Q ，2CE ∴=，∴线段CE 长度不变．23．（10分）列方程解应用题．（1）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t ；如果用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t ；新、旧工艺的废水排量之比为2:5，两种工艺的废水排量各是多少？（2）元旦期间，晓睛驾车从珠海出发到香港，去时在港珠澳大桥上用了60分钟，返回时平均速度提高了5千米/小时，在港珠澳大桥上的用时比去时少用了5分钟，求港珠澳大桥的长度．【解答】解：（1）设新、旧工艺的废水排量分别为2xt 、5xt ，则依题意得52002100x x -=+，解得100x =．则2200x =，5500x =．答：新、旧工艺的废水排量分别为200t 和500t ；（2）设港珠澳大桥的长度y 千米， 由题意可得：5606056060y y +=- 解得：55y =答：港珠澳大桥的长度55千米．24．（12分）如图，长方形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，M 、N 分别在射线BC 和射线AD 上，连接EM ，EN ，将三角形MBE 沿EM 折叠（把物体的一部分翻转和另一部分贴拢），点B 落在点B '处；将三角形NAE 沿EN 折叠，点A 落在点A ’处．（1）若30MEB ∠=︒，45NEA ∠=︒，用直尺、量角器画出射线EB '与EA '；（2）若30MEB ∠=︒，45NEA ∠=︒，求A EB ''∠的度数；（3）若MEB α∠=，NEA β∠=，用含α、β的代数式表示A EB ''∠的度数．【解答】解：（1）图形如图1中所示：（2）与翻折可知：290AEA AEN ∠'=∠=︒，260BEB BEM ∠'=∠=︒， 180906030A EB ∴∠''=︒-︒-︒=︒．（3）当90αβ+︒…时，1802()A EB αβ∠''=︒-+， 当90αβ+>︒时，2()180A EB αβ∠''=+-︒．。
2018-2019学年广东省广州市天河区高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2018-2019学年广东省广州市天河区高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集U ={1,2，3，4}，集合S ={1,3}，T ={4}，则(∁U S )∪T 等于( )A. {2,4}B. {4}C. ⌀D. {1,3，4} 【答案】A【解析】解：∵全集U ={1,2，3，4}，集合S ={l ,3}，T ={4}， ∴(∁U S )∪T ={2,4}∪{4}={2,4}． 故选：A ．利用集合的交、并、补集的混合运算求解．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题．2. 已知向量a =(x ,1)，b =(1,−2)，若a //b ，则a +b =( )A. (12,−1)B. (12,1)C. (3,−1)D. (3,1)【答案】A【解析】解：∵a //b； ∴−2x −1=0； ∴x =−12； ∴a =(−12,1)；∴a +b =(12,−1)．故选：A ．根据a //b 即可得出x =−12，从而得出a =(−12,1)，这样即可求出a +b 的坐标． 考查平行向量的坐标关系，以及向量坐标的加法运算． 3.已知函数f (x )= 3x ,x ≤0log 2x ,x >0，则f (f (14))的值是( )A. −19B. −9C. 19D. 9【答案】C【解析】解：∵函数f (x )= 3x ,x ≤0log 2x ,x >0， ∴f (14)=log 214=−2， f (f (14))=f (−2)=3−2=19． 故选：C ．由已知得f (14)=log 214=−2，从而f (f (14))=f (−2)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4. 设a=(13) 25，b=24，c=log213，则()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b 【答案】D【解析】解：∵a=(13) 25∈(0,1)，b=243>1，c=log213<0，则c<a<b．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 函数f(x)=ln x+2x−6的零点一定位于下列哪个区间()A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6)【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=ln x+2x−6f(1)=−4<0，f(2)=ln2−4<0f(3)=ln3>ln1=0，∴f(2)f(3)<0，∴函数的零点在(2,3)上，故选：B．要求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，得到结果．本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．6. 已知角α的终边经过点P(−4,3)，则tan(α+π4)的值等于()A. −17B. 17C. 37D. 47【答案】B【解析】解：∵角α的终边经过点P(−4,3)，∴tanα=−34，则tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−34+11+3=17．故选：B．由角α的终边经过点P(−4,3)，利用任意角的三角函数定义求出tanα的值，然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简所求的式子后，将tanα的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，特殊角的三角函数值，以及任意角的三角函数定义，根据题意得出tanα的值是解本题的关键．7. 已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,φ<π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(πx+π6) B. f(x)=2sin(2πx+π6)C. f(x)=2sin(πx+π3) D. f(x)=2sin(2πx+π3)【答案】A【解析】解：∵根据图象判断：周期T=4×(56−13)=2，A=2，∴ω=2π2=π，∵2sin(13π+φ)=2，∴13π+φ=2kπ+π2，k∈z，∴φ=2kπ+π6，k∈z，∵φ<π2，∴φ=π6．∴f(x)=2sin(πx+π)故选：A．根据图象可得周期T=2，A=2，利用周期公式可求ω，利用2sin(13π+φ)=2及φ的范围可求φ的值，即可确定函数解析式．本题考查了三角函数的图象和性质，考查了由y=A sin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，关键是据图确定参变量的值，属于中档题．8. 若两个非零向量a，b满足b=2 a=2，a+2b=3，则a，b的夹角是()A. π6B. π3C. π2D. π【答案】D【解析】解：根据题意，设a，b的夹角是θ，又由b=2 a=2，且a+2b=3，则(a+2b)2=a2+4a⋅b+4b2=9，即1+4(1×2cosθ)+16=9，解可得cosθ=−1，则θ=π； 故选：D ．根据题意，设a ，b 的夹角是θ，由数量积的计算公式可得(a +2b )2=a 2+4a ⋅b +4b 2=9，代入数据计算可得cos θ的值，结合的范围，分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握由向量的数量积求向量夹角的方法．9. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12×(弦×矢+矢 2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，弧长为4π米的弧，按上述经公式计算( 3≈1.73)，所得弧田面积约是( )A. 16平方米B. 18平方米C. 20平方米D. 25平方米【答案】C【解析】解：如图，由题意可得：∠AOB =2π3，弧长为4π米，∴OA =4π2π3=6在Rt △AOD 中，可得：∠AOD =π3，∠DAO =π6，OD =12AO =12×6=3， 可得：矢=6−3=3，由AD =AO ⋅sin π3=6× 32=3 3，可得：弦=2AD =2×3 3=6 3，所以：弧田面积=12(弦×矢+矢 2)=12(6 3×3+32)=9 3+4.5≈20平方米． 故选：C ．在Rt △AOD 中，由题意OA =4，∠DAO =π6，即可求得OD ，AD 的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．10. 偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (−5)=f (2)=0，且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递增，则不等式x ⋅f (x )<0的解集为( ) A. (−∞,−5)∪(−2,2)∪(5,+∞) B. (−∞,−5)∪(−2,0)∪(2,5) C. (−5.−2)∪(2,5) D. (−5,−2)∪(0,2)∪(5,+∞) 【答案】B【解析】解：根据题意，x ⋅f (x )<0⇒ f (x )>0x <0或 f (x )<0x >0，等价于求函数y =f (x )的图象在第二、四象限时x 的取值范围．又由偶函数f (x )(x ∈R )满足f (−5)=f (2)=0， 则f (5)=f (−2)=f (−5)=f (2)=0，且f(x)在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减与递增，其草图为：即x∈(2,5)函数图象位于第四象限，x∈(−∞,−5)∪(−2,0)函数图象位于第二象限．综上：x⋅f(x)<0的解集为：(−∞,−5)∪(−2,0)∪(2,5)，故选：B．利用偶函数关于y轴对称的性质并结合题中给出函数的单调区间画出函数f(x)的图象，再由xf(x)<0得到x与f(x)异号得出结论本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，关键是分析得到函数的图象草图．11. 已知锐角α满足cos(α−π4)=cos2α，则tan2α=()A. 3B. ±3C. 33D. ±33【答案】C【解析】解：∵锐角α满足cos(α−π4)=cos2α，∴22cosα+22sinα=cos2α−sin2α，∴cosα−sinα=22，平方可得1−sin2α=12，sin2α=12．∵cosα>sinα，∴0<α<π4，∴2α还是锐角，故cos2α=22α=32，则tan2α=sin2αcos2α=33，故选：C．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得cosα−sinα=22，sin2α=12，判断0<α<π4，2α还是锐角，再求得cos2α的值，可得tan2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．12. 如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且AM=45AB，AN=23AD，连接AC、MN交于P点，若AP=λAC，则λ的值为()A. 35B. 37C. 411D. 413【答案】C【解析】解：∵AM=45AB，AN=23AD，连∴AP=λAC=λ(AB+AD)=λ(54AM+32AN)=54λAM+32λAN，∵三点M，N，P共线．∴54λ+32λ=1，∴λ=411，故选：C ．根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f (x )= 1−x +lg(x +1)的定义域是______． 【答案】(−1,1]【解析】解：由题意， 可令 x +1>01−x≥0，解得−1<x ≤1，∴函数f (x )= 1−x +lg(x +1)的定义域是(−1,1] 故答案为：(−1,1]．由函数的解析式知，对数的真数大于0，偶次根号下非负，易得关于x 的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域．本题考查求对数函数定义域，解题的关键是理解函数定义域的定义，找出自变量满足的不等式，解出定义域，本题中用到了对数的真数大于是，偶次根号下非负这些限制条件，属于是函数概念考查基本题．14. 已知cos(θ+π)=−13，则sin(2θ+π2)=______． 【答案】−79【解析】解：∵cos(θ+π)=−13， ∴cos θ=13，∴sin(2θ+π2)=cos2θ=2cos 2θ−1=29−1=−79， 故答案为：−79根据诱导公式和二倍角公式即可求出．本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题．15. 已知函数f (x )= ln x ,x >0e x ,x≤0，g (x )=f (x )+x +a ，若g (x )存在2个零点，则实数a 取值范围是______． 【答案】[−1,+∞)【解析】解：由g (x )=0得f (x )=−x −a ， 作出函数f (x )和y =−x −a 的图象如图： 当直线y =−x −a 的截距−a ≤1，即a ≥−1时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数g (x )存在2个零点，故实数a 的取值范围是[−1,+∞)， 故答案为：[−1,+∞)．由g (x )=0得f (x )=−x −a ，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可． 本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．16. 函数f (x )=2sin(2x −π3)的图象为C ，如下结论中正确的是______．①图象C 关于直线x =11π12对称；②图象C 关于点(2π3,0)对称；③函数f (x )在区间(−π12,5π12)内是增函数；④由y =2sin2x 图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 【答案】①②③【解析】解：函数f (x )=2sin(2x −π3)， 由f (11π12)=2sin3π2=−2，为最小值，可得图象C 关于直线x =11π12对称，故①正确；由f (2π3)=2sin π=0，图象C 关于点(2π3,0)对称，故②正确；由x ∈(−π12,5π12)，可得2x −π3∈(−π2,π2)，即有f (x )在区间(−π12,5π12)内是增函数， 故③正确；由y =2sin2x 图象向右平移π3个单位长度可以得到y =2sin2(x −π3)的图象，故④错误． 故答案为：①②③．由正弦函数的对称轴特点可判断①；由正弦函数的对称中心特点可判断②； 由正弦函数的增区间可判断③；由三角函数的图象变换特点可判断④．本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的对称性和单调性、图象变换，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a =(1,0)，b =(1,1)．(1)若c =2 2，且c ⊥b ，求向量c的坐标； (2)若AB =2a −b ，BC =a +m b ，且A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值． 【答案】解：(1)设c=(x ,y )； ∵c ⊥b ，且c=2 2； ∴c ⋅b =x +y =0①，x 2+y 2=8②；①②联立得， y =2x =−2，或y =−2x =2； ∴c =(−2,2),或(2,−2)；(2)AB =2a −b =(1,−1)，BC =a +m b =(1+m ,m )； ∵A 、B 、C 三点共线；∴AB //BC ；∴m+1+m=0；∴m=−12．【解析】(1)可设c=(x,y)，根据c⊥b及c=22即可得出x+y=0①，x2+y2=8②，①②联立即可求出x，y，即得出向量c的坐标；(2)可先求出AB=(1,−1),BC=(1+m,m)，根据A、B、C三点共线可得出AB//BC，从而得出m+1+m=0，解出m即可．考查向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，以及向量坐标的数量积运算．18. 已知函数f(x)=mx+n1+x 是定义在R上的奇函数，且f(2)=25．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并用定义法证明．【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=mx+n1+x2是定义在R上的奇函数，则f(0)=n1=0，则n=0，又由f(2)=25，则f(2)=2m1+22=25，解可得m=1，则f(x)=x1+x2，(2)由(1)的结论，f(x)=x1+x在(0,1)上为增函数，证明：0<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)又由0<x1<x2<1，则(x1−x2)<0，(1−x1x2)>0，则有f(x1)−f(x2)<0，则函数f(x)在(0,1)上为增函数．【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=n1=0，则n=0，又由f(2)=2m1+2=25，解可得m的值，将m、n的值代入函数的解析式，计算可得答案；(2)根据题意，设0<x1<x2<1，由作差法分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，涉及单调性的判断，属于基础题．19. 已知函数f(x)=2sin(x2+π6).(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)先列表，并用描点法作出函数f(x)在[0,4π]上的简图．【答案】(本题满分为12分)解：(1)f(x)的最小正周期为T=2π12=4π；…(4分)令π2+2kπ≤x2+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得：2π3+4kπ≤x≤8π3+4kπ，k∈Z，可得单调递减区间为：[2π3+4kπ,8π3+4kπ]，k∈Z．(2)列表如下：连线成图如下：【解析】(1)利用正弦函数的图象和性质即可求出f(x)的最小正周期与单调减区间；(2)列表如下，作出它在[0,4π]上的简图即可；本题主要考查了五点法作函数y=A sin(ωx+φ)的图象，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：(Ⅰ)分别写出两类产品的收益y(万元)与投资额x(万元)的函数关系；(Ⅱ)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？【答案】解：(Ⅰ)投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y=kx(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.125，则k=0.125，即y=0.125x，投资股票类风险型产品的收益满足函数：y=k′x(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.5，则k=0.5，即y=0.5x，(Ⅱ)设投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元，由题知总收益y=0.125x+0.520−x(0≤x≤20)，令t=20−x(0≤t≤20)，则x=20−t2，y=0.125(20−t2)+0.5t=−18t2+12t+52=−18(t−2)2+3，当t=2，即x=16时，y max=3(万元)答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元．【解析】(Ⅰ)由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，我们投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元.这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．21. 已知a=(2cos x,1)，b=(3sin x+cos x,−1)，函数f(x)=a⋅b．(1)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)=85，x0∈[π4,π2]，求cos2x0的值；(3)若函数y=f(ωx)在区间(π3,2π3)上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．【答案】解：∵a=(2cos x,1)，b=(3sin x+cos x,−1)，∴f(x)=a⋅b=2cos x(3sin x+cos x)−1=23sin x cos x+2cos2x−1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π)(1)∵x∈[0,π2]，∴π6≤2x+π6≤7π6，∴−12≤sin(2x+π6)≤1，∴函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值2，最小值−1；(2)若f(x0)=85，则2sin(2x0+π6)=85，∴sin(2x0+π6)=45，∵x0∈[π4,π2 ]，∴cos(2x0+π6)=−35，∴cos2x0=cos[(2x0+π)−π]=3cos(2x0+π)+1sin(2x0+π)=3×(−3)+1×4=4−33(3)∵y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，令−12π+2kπ≤ωx+π6≤12π+2kπ，k∈z，可得，−2π3ω+2kπω≤x≤π3ω+2kπω令k=0可得，−2π3ω≤x≤π3ω，∵y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，在区间(π3,2π3)上是单调递增函数，∴π3ω≥2π3，解可得，0<ω≤12．【解析】由向量数量积的坐标表示，结合两角和的正弦公式可求f(x)=2sin(2x+π6)(1)由x∈[0,π2]，结合正弦函数的性质可求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值及最小值；(2)若f(x0)=85，可求2sin(2x0+π6)，结合同角平方关系可求cos(2x0+π6)，然后由cos2x0=cos[(2x0+π6)−π6]，利用两角差的余弦公式即可求解(3)由y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，结合正弦函数的单调性可求单调递增区间，然后与区间(π3,2π3)进行比较可求．本题主要考查了向量的数量积的运算性质及两角和的余弦公式，正弦函数的性质的灵活应用是求解本题的关键．22. 已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[−1,1]上有最大值4和最小值0.设f(x)=g(x)x．(1)求实数a，b的值；(2)若不等式f(x)−k⋅x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，求实数的取值范围；(3)若f( 2x−1 )+k⋅22x−1−3k=0有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】解：(1)函数g(x)=ax2−2ax+b+1=a(x−1)2+1+b−a，因为a>0，所以g(x)在区间[−1,1]上是减函数，故g(−1)=3a+b+1=4，g(1)=1+b−a=0，解得a=1，b=0；(2)由f(x)−k⋅x≥0即为x2−2x+1−kx2≥0，即为k≤(1x−1)2在x>0恒成立，由(1x−1)2≥0，当且仅当x=1时取得最小值0，所以的取值范围是(−∞,0]；(3)方程f( 2x−1 )+k⋅22−1−3k=0可化为：2x−12−(2+3k) 2x−1 +(1+2k)=0，2x−1 ≠0，令2x−1 =t，则方程化为t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，∵方程f ( 2k −1 )+k ⋅⋅22−1 −3k =0有三个不同的实数解，∴由t = 2x −1 的图象知，t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，有两个根t 1、t 2，且0<t 1<1<t 2或0<t 1<1，t 2=1．记 (t )=t 2−(2+3k )t +(1+2k )，则 (1)=−k <0 (0)=1+2k >0，或 (0)=1+2k >0(1)=−k =00<2+3k 2<1， ∴k >0．【解析】(1)由函数g (x )=a (x −1)2+1+b −a ，a >0，所以g (x )在区间[−1,1]上是减函数，故g (−1)=4，g (1)=0，由此解得a 、b 的值；(2)不等式可化为k ≤(1x −1)2在x >0恒成立，由平方数非负可得不等式右边的最小值，从而求得的取值范围；(3)方程f ( 2x −1 )+k ⋅22−1 −3k =0⇒ 2x −12−(2+3k ) 2x −1 +(1+2k )=0，( 2x −1 ≠0)，令2x −1 =t ，则t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，构造函数 (t )=t 2−(2+3k )t +(1+2k )，通过数形结合与等价转化的思想即可求得的范围． 本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。