高二数学学业水平测试模拟题
2023年江苏省高中学业水平合格考数学模拟试卷二(含答案详解)
2023江苏普通高中学业水平合格性考试模拟试卷二一、单选题（本大题共28小题，每题3分，共84分）1．已知集合{}{}1,2,3,1,3A B ==-，那么集合A B ⋃等于（）A ．{}3B ．{}1,1,2,3-C ．{}1,1-D ．{}13x x -≤≤2．函数()f x =）A ．{}2x x >-B ．{}2x x <-C ．{}2x x ≠-D ．{}2x x ≠3．设i 是虚数单位，若复数(2＋a i)i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是（）A ．sin y x=B ．2y x=C ．24y x =-+D ．3y x=-5．若0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．11b b a a +>+B ．11a b a b+>+C ．b a a b a b->-D ．22a b aa b b+>+6．命题“21,0x x x ∃>->”的否定是（）A ．21,0x x x ∃≤->B ．21,0x x x ∀>-≤C ．21,0x x x ∃>-≤D ．21,0x x x ∀≤->7．若a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab 的最大值为（）A ．25B ．252C ．254D ．2588．已知3cos 5α=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（）．A ．2425-B ．2425C ．725-D ．7259．函数sin 2cos 2y x x =是（）A ．周期为2π的奇函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为π的偶函数10．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．293x y x -=-与3y x =+B．y =1y x =-C ．()00y xx =≠与()10y x =≠D ．21,y x x Z =+∈与21,y x x Z=-∈11．设()1232,2()log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．312．函数1π()cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π13．在平行四边形ABCD 中，AB BD AC +-=（）A ．DCB ．BAC ．BCD ．BD14．函数()y f x =的图象如图所示，则不等式()0f x >的解集为（）A ．(1,0)-B ．()0,1C ．(1,2)D ．(2,3)15．已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =-+，则()3f -=()A ．－12B ．12C ．9D ．－916．在下列区间中，函数()33x f x x =--的一个零点所在的区间为（）．A ．()0,1B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)17．已知tan 2θ=-，则sin 2cos 2θθ-的值为（）A ．34-B ．23C ．25D ．15-18．将函数2sin()3y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象对应的表达式为（）A ．12sin(23y x π=+B ．12sin()26y x π=+C ．2sin(2)3y x π=+D ．22sin(2)3y x π=+19．若平面向量a 与b的夹角为120°，2a ＝，()()233a b a b -⋅+＝，则b ＝（）A ．12B ．13C ．2D ．320．已知两个单位向量a 与b的夹角为θ，则“60θ=︒”是“12a b ⋅= ”的（）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件21．sin110cos 40cos 70sin 40-= （）A ．B ．12-C ．12D ．222．在同一个坐标系下，函数2x y =与函数12log y x =的图象都正确的是（）A ．B ．C ．D ．23．函数()12020(1x f x a a +=+>，且1a ≠)恒过定点（）A ．()0,1B ．()0,2021C ．()1,2022-D ．(1,0)-24．已知1a b ==r r ，向量a 与b的夹角为60︒，则34a b -= （）A ．5B C ．D 25．函数π2πsin 63y x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，的值域是（）.A ．[1,1]-B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．122⎡⎢⎣⎦D ．2⎤⎥⎣⎦26．已知向量()1,2a =- ，(),1b m =- ，若()R a b λλ=∈，则m =（）A ．-2B ．12-C ．12D ．227．若7sin cos 5θθ+=，则sin cos θθ=（）A ．2425B ．1225C ．2425±D ．2425-28．已知0.2log 2a =，20.3b =，0.32c =，则（）A ．c<a<bB ．a c b<<C ．b<c<a D ．a b c<<二、解答题（本大题共2小题，共16分）29．已知二次函数()f x 的最小值为1,且()()023f f ==.(1)求()f x 的解析式；(2)若()f x 在区间[]2,1a a +上不单调,求实数a 的取值范围.30．已知函数()πcos 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小值及取得最小值时x 的值；(2)求函数()f x 的单调递减区间．参考答案：1．B【分析】由并集的定义求解即可【详解】因为{}{}1,2,3,1,3A B ==-，所以A B ⋃{}1,1,2,3=-故选：B 2．A【详解】分析：由函数()f x 中被开方数大于或等于0，且分母不等于0，可以求得()f x 的定义域.解析： 函数()12f x x =+，∴2020x x +≥+≠，∴2x >-.故选：A.点睛：（1）给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合，在求解时，要把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式(组)，这个不等式(组)的解集就是这个函数的定义域，函数的定义域要写成集合或者区间的形式．（2）①若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为a ≤g (x )≤b 的解集；②若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为y ＝g (x )在[a ，b ]上的值域．3．B【分析】根据复数的乘法及复数的概念即得.【详解】因为()2i i 2i a a +=-+，又其实部与虚部互为相反数，所以20a -+=，即2a =．故选：B.4．A【详解】由题意得函数sin y x =在()0,1上为增函数，函数22,4,3y y x y x x==-+=-在()0,1上都为减函数．选A ．5．C【分析】对A ，B ，C ，D 选项作差与0比较即可得出答案.【详解】对于A ，因为0a b >>，故101(1)b b b a a a a a +--=<++，即11b b a a +<+，故A 错误；对于B ，111()1a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无法判断，故B 错误；对于C ，因为0a b >>，()10b a a b a b a b a b ab +⎛⎫⎛⎫---=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，因为0a b >>，故2()()02(2)a b a b a b a a b b a b b ++--=<++，即22a b aa b b+<+，故D 错误．故选：C ．6．B【分析】本题从存在量词的否定为全称量词出发即可得出答案.【详解】 存在量词命题的否定是全称量词命题，即先将量词“∃"改成量词“∀”,再将结论否定，∴该命题的否定是“21,0x x x ∀>-”.故选：B.7．D【分析】由a >0，b >0知，结合基本不等式有目标式21122()222a b ab a b +=⋅≤⋅，又a ＋2b ＝5即可求最大值【详解】a >0，b >0，a ＋2b ＝5而2112252()2228a b ab a b +=⋅≤=，当且仅当55,24a b ==时取等号故选：D【点睛】本题考查了基本不等式的应用，找到目标式与已知等式中代数式的关系，应用基本不等式的知识转化为不等式形式且让不等号的一边含已知等式的代数式部分即可求最值，另外注意基本不等式使用前提“一正二定三相等”8．A【详解】∵3cos 5α=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴45sin α=-，∴24sin 22sin cos 25ααα==-．故选A ．9．A【分析】化简函数1sin 42y x =，即可求出函数的周期，再由奇偶性的定义即可得出答案.【详解】函数1sin 2cos 2sin 4,2y x x x ==∴函数的周期242T ππ==，()()()11sin 4sin 422f x x x f x -=-=-=- ，∴函数是奇函数，所以函数sin2cos2y x x =是周期为2π的奇函数.故选：A.10．C【分析】当两函数的定义域相同，对应关系相同时，两个函数是同一个函数，由此分析判断即可【详解】对于A ，因为293x y x -=-的定义域为{}3x x ≠，3y x =+的定义域为R ，两个函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以A 错误，对于B，y =(,1][1,)∞∞--⋃+，1y x =-的定义域为R ，两个函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以B 错误，对于C ，两个函数的定义域为{}0x x ≠，因为01y x ==，所以对应关系也相同，所以这两个函数是同一个函数，所以C 正确，对于D ，两个函数的对应关系不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以D 错误，故选：C 11．B【分析】根据分段函数，先求得(2)f ，再求((2))f f 即可.【详解】因为()1232,2()log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()23(2)log 211f =-=，所以()11((2))121f f f -===，故选：B 12．D【分析】利用余弦型函数的周期公式进行求解.【详解】∵1π()cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 最小正周期2π4π12T ==．故A ，B ，C 错误.故选：D.13．B【分析】根据向量的加减法法则可求出结果.【详解】在平行四边形ABCD 中，AB BD AC AD AC CD BA +-=-== ．故选：B ．14．C【分析】结合图象确定正确选项.【详解】由图象可知，当()1,2x ∈时，()0f x >.故选：C 15．B【分析】先计算出()3f ，然后利用函数的奇偶性即可完成.【详解】()33412f =-⨯=-，因为函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，所以()()3312f f -=-=，故选：B.16．B【分析】根据函数的解析式，利用零点的存在定理，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数()33x f x x =--，可得(0)2,(1)1,(2)4,(3)21,(4)74f f f f f =-=-===，所以()()120f f ⋅<，结合零点的存在定理，可得函数()f x 的一个零点所在的区间为(1,2).故选：B.17．D【分析】利用同角关系计算即可.【详解】222sin 1tan 2,sin 2cos ,sin cos 1,cos cos 5θθθθθθθθ==-∴=-+== ，()221sin 2cos 22sin cos 2cos 16cos 15θθθθθθ-=--=-+=-；故选：D.18．C【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得结论.【详解】将函数2sin()3y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象对应的表达式为2sin(2)3y x π=+，故选：C.【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题.19．B【解析】直接化简()()233a b a b -⋅+ ＝，求出答案.【详解】化简()()()()222236463a b a b a a b bb b -⋅++⋅-=--=＝，13b = 或12b =- （舍去）.故选：B.20．A【分析】用定义法，分充分性和必要性分别讨论即可.【详解】充分性：若60θ=︒,则由a 、b 是单位向量可知11cos 601122a b a b =⨯⨯︒=⨯⨯= ，即充分性得证；必要性：若12a b ⋅= ,则1cos 2a b a b θ=⨯⨯= 由a 、b 是单位向量可知1cos 2θ=，因为0180θ︒≤≤︒,所以60θ=︒,必要性得证.所以“60θ=︒”是“12a b ⋅= ”的充分必要条件.故选：A 21．C【分析】利用诱导公式以及两角差的正弦公式可求得所求代数式的值.【详解】因为()sin110sin 18070sin 70=-=，所以，()sin110cos 40cos 70sin 40sin 70cos 40cos 70sin 40sin 7040-=-=-1sin 302==.故选：C.22．A【分析】根据函数的单调性判断函数图象．【详解】解：指数函数2x y =是增函数，对数函数12log y x =是减函数，故选：A.23．C【分析】利用指数函数恒过()0,1点即可求解.【详解】当=1x -时，()1120211202120221f a -+=+=+=-，所以函数恒过定点()1,2022-.故选：C 24．D【分析】由已知先求出a b ⋅，然后根据34a b - .【详解】∵1a b ==r r ，向量a 与b的夹角为60︒∴1cos 602a b a b ⋅=︒=∴34a b -=故选：D.25．B【分析】判断sin y x =在π2π63x 上的单调性，确定sin y x =的最大值和最小值，从而确定值域；【详解】sin y x = sin y x ∴=在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减π2π63xsin y x ∴=在62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在23π2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减∴当=2x π时sin y x =取最大值max sin12y π==min 2sin ,sin 63y ππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 且12sin =sin =6232ππ当=6x π时sin y x =取最大值min 1sin62y π==∴函数π2πsin 63y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，的值域是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B 26．C【分析】由向量的坐标运算可求得结果.【详解】因为向量()1,2a =-，(),1b m =-，()R a b λλ=∈，所以()()1,2,1m λ-=-，所以1,2,m λλ-=⎧⎨=-⎩所以12m =．故选：C 27．B【分析】将已知条件两边平方，利用同角三角函数的基本关系式化简后求得sin cos θθ的值.【详解】由7sin cos 5θθ+=两边平方得2249sin 2sin cos cos 25θθθθ++=，即4912sin cos 25θθ+=，解得12sin cos 25θθ=.故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于基础题.28．D【分析】根据指对数函数的性质判断对数式、指数幂的大小关系.【详解】0.3022.log 20120.3b a c ==<<<<=，∴a b c <<.故选：D29．(1)2()243f x x x =-+；(2)102a <<.【分析】(1)根据二次函数有最小值,可以设出二次函数的顶点式方程,根据()()023f f ==可以求出所设解析式的参数.(2)求出二次函数的对称轴,根据题意可得不等式组,解不等式即可求出实数a 的取值范围.【详解】(1)因为二次函数()f x 的最小值为1,所以设()2()1(0)f x a x h a =-+>,因为()()023f f ==,所以222113()2432(2)13h ah f x x x a a h ⎧=+=⎧⇒⇒=-+⎨⎨=-+=⎩⎩；(2)由(1)可知：函数()f x 的对称轴为：1x =,因为()f x 在区间[]2,1a a +上不单调,所以有121102a a a <<+⇒<<,所以实数a 的取值范围为102a <<.【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式,考查了二次函数在区间上不单调求参数取值范围问题.30．(1)最小值为1-，此时ππ,Z 12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭(2)()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数()f x 的最小值及取得最值时相应的x 的取值集合；（2）令π2ππ22π,Z 6k x k k -≤-≤∈，求得x 的范围，从而可得函数()f x 的单调递减区间．【详解】（1）当πcos 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值为1-，此时π22π,Z 6x k k -=∈,即ππ,Z 12x k k =+∈，所以函数()f x 的最小值为1-，x 的取值集合为ππ,Z 12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.（2）由π2ππ22π,Z 6k x k k -≤-≤∈，可得5ππππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈，所以()f x 单调减区间()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦。
浙江省高二上学期学业水平合格性模拟考试数学试题(解析版)
高二上学期学业水平合格性模拟考试数学试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{}1A x x =≥{}12B x x =-<<A B = A ．B ．C ．D ． {}1x x >-{}1x x ≥{}11x x -<<{}12x x ≤<【答案】D【分析】由题意结合交集的定义可得结果.【详解】由交集的定义结合题意可得：.{}|12A B x x =≤< 故选：D.2．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ）A ．对任意实数x, 都有x > 1B ．不存在实数x ，使x 1 ≤C ．对任意实数x, 都有x 1D ．存在实数x ，使x 1 ≤≤【答案】C【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”故选C ．3．已知i 是虚数单位，则= 31i i +-A ．1-2iB ．2-iC ．2+iD ．1+2i 【答案】D【详解】试题分析：根据题意，由于，故可知选D. 33124121112i i i i i i i i ++++=⨯==+--+【解析】复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．4．等于（ ）()sin πα-A ．-B ．C ．-D ． sin αsin αcos αcos α【答案】B【分析】利用诱导公式即可求解.【详解】. ()sin sin παα-=故选：B5．函数f (x )＝＋lg(1＋x )的定义域是（ ） 11x-A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【答案】C【解析】根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域.【详解】因为f (x )＝＋lg(1＋x )， 11x-所以需满足， 1010x x -≠⎧⎨+>⎩解得且，1x >-1x ≠所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选：C【点睛】本题主要考查了函数的定义域，考查了对数函数的概念，属于容易题.6．不等式4-x 2≤0的解集为（ ）A ．B ．或 {}|22x x -≤≤{2x x ≤-}2x ≥C ．D ．或 {}|44x x -≤≤{4x x ≤-}4x ≥【答案】B【分析】根据一元二次不等式的求解方法直接求解即可.【详解】不等式即，解得或，240x -≤()()220x x -+≥2x ≤-2x ≥故不等式的解集为或.{2x x ≤-}2x ≥故选：B. 7．“”是“一元二次方程”有实数解的 14m <20x x m ++=A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分必要条件【答案】A 【详解】试题分析：方程有解，则．是的充分不必20x x m ++=11404m m ∆=-≥⇒≤14m <14m ≤要条件．故A 正确．【解析】充分必要条件8．已知 是空间三个不重合的平面，是空间两条不重合的直线，则下列命题为真命题的,,αβγ,m n 是（ ）A ．若，，则B ．若，，则 αβ⊥βγ⊥//αγαβ⊥//m βm α⊥C ．若，，则D ．若，，则 m α⊥n α⊥//m n //m α//n α//m n 【答案】C【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系的性质定理与判定定理一一判断即可；【详解】解：由，，得或与相交，故A 错误；αβ⊥βγ⊥//αγαγ由，，得或或与相交，故B 错误；αβ⊥//m β//m αm α⊂m α由，，得，故C 正确；m α⊥n α⊥//m n 由，，得或与相交或与异面，故D 错误．//m α//n α//m n m n m n 故选：C ．9．设函数,则（ ） 331()f x x x =-()f x A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数， {}0x x ≠()f x 再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， ()331f x x x =-{}0x x ≠()()f x f x -=-所以函数为奇函数．()f x 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 3y x =()0,+¥(),0-¥而在上单调递减，在上单调递减， 331y x x-==()0,+¥(),0-¥所以函数在上单调递增，在上单调递增． ()331f x x x=-()0,+¥(),0-¥故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．10．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 a b ，2a b =ba b ⊥ （–）a b A ． B ． C ． D ． π6π32π35π6【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即()a b b -⊥ ,a b 可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=()a b b -⊥ 2()a b b a b b -⋅=⋅- 2a b b ⋅= cos θ22||122||a b b b a b ⋅==⋅ ，所以与的夹角为，故选B ． a b 3π【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．[0,]π11．下列函数中，既是偶函数又区间上单调递增的是 A ．B ．C ．D ． 3y x =1y x =+21y x =-+2x y -=【答案】B【详解】试题分析：因为A 项是奇函数，故错，C ，D 两项项是偶函数，但在上是减函数，(0,)+∞故错，只有B 项既满足是偶函数，又满足在区间上是增函数，故选B ．(0,)+∞【解析】函数的奇偶性，单调性．12．已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） 2()2f x x ax b =-+A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]【答案】A【分析】由对称轴与1比大小，确定实数a 的取值范围.【详解】对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以2()2f x x ax b =-+x a =. [)1,a ∈+∞故选：A13．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平()y f x =12移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） 3πsin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x =A ． B ． 7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ． D ． 7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到()y f x =，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()y f x =解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()y f x =解析表达式.【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到()y f x =12的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， (2)y f x =3π23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦根据已知得到了函数的图象，所以， sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令,则, 23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,234212t t x x πππ=+-=+所以,所以； ()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解法二：由已知的函数逆向变换， sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 3πsin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即为的图象，所以. ()y f x =()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：B.14．函数的图象大致为（ ） 241x y x =+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标()()241x f x f x x --==-+()f x 原点对称，选项CD 错误；当时，，选项B 错误. 1x =42011y ==>+故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 15．若定义在的奇函数f (x )在单调递减，且f (2)=0，则满足的x 的取值范围是R (,0)-∞(10)xf x -≥（ ）A ．B ． [)1,1][3,-+∞ 3,1][,[01]--C ．D ．[1,0][1,)-⋃+∞[1,0][1,3]-⋃【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积()f x 大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，R ()f x (,0)-∞(2)0f =所以在上也是单调递减，且，，()f x (0,)+∞(2)0f -=(0)0f =所以当时，，当时，，(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃()0f x >(2,0)(2,)x ∈-+∞ ()0f x <所以由可得： (10)xf x -≥或或 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩0012x x >⎧⎨≤-≤⎩0x =解得或，10x -≤≤13x ≤≤所以满足的的取值范围是，(10)xf x -≥x [1,0][1,3]-⋃故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.16．若，则的最小值为（ ） 0,0,2a b a b >>+=41y a b =+A ． B ． C ．5 D ．4 7292【答案】B【分析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的y ()()241a b a b++y最小值．【详解】解：，2a b += ∴12a b +=（当且仅当时等号成立） ∴41415259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=+++=…2b a =故选：B ． 17．如图所示，在三棱锥A -BCD 中，AC =AB =BD =CD =2，且∠CDB =90°．取AB 中点E 以及CD 中点F ，连接EF ，则EF 与AB 所成角的正切值取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 1[21[2【答案】C 【分析】由题意可得当平面平面时，张角最大，即EF 与AB 所成角最大，从而可得最ABC ⊥BCD 大值，当平面与平面重合时，张角最小，即EF 与AB 所成角最小，从而可得最小值，又ABC BCD 平面与平面不能重合，即可求得EF 与AB 所成角的正切值取值范围.ABC BCD 【详解】解：如图，作于H ，EH BC ⊥因为，当平面平面时，张角最大，即EF 与AB 所成角最大， 112BE AB ==ABC ⊥BCD 如图①，作与M ，HM CD ⊥BF==EF==因为，所以，BC==222AB AC BC+=90BAC∠=︒所以EF与AB的夹角为或其补角，BEF∠，所以cos∠sin BEF∠=tan∠故EF与AB，当平面与平面重合时，张角最小，即EF与AB所成角最小，ABC BCD如图②所示，即为EF与AB所成角的平面角，45FEA∠=︒，tan1FEA∠=又平面与平面不能重合，ABC BCD所以EF与AB所成角的正切值取值范围为.故选：C.18．在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝2DC＝4，，则AD的最大值为（）60BAC∠=︒A．B．4 C D．221【答案】A【分析】由正弦定理可得，再在中由余弦定理化简得出AB C=ABD△，即可求出.2216AD C=+【详解】因为，所以，24BD DC==6BC=在中，由正弦定理可得，则，ABCA sin sinAB BCC BAC===∠AB C=在中，由余弦定理得ABD△2222cosAD AB BD AB BD B=+-⋅⋅248sin1624cosC C B =+-⨯⨯()248sin16cosC C A C=+++2148sin16cos2C C C C⎛⎫=++-⎪⎝⎭，cos16216C C C=+=+因为，所以，0120C︒<<︒02240C︒<<︒则当，即时，290C=︒45C=︒.AD2==+故选：A.二、填空题19．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）直方图中的_________；=a（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________．【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000．【详解】由频率分布直方图及频率和等于1可得，0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=解之得．于是消费金额在区间内频率为，所以消3a =[0.5,0.9]0.20.10.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=费金额在区间内的购物者的人数为：，故应填3；6000．[0.5,0.9]0.6100006000⨯=【解析】本题考查频率分布直方图，属基础题．20．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____. 【答案】. 710【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.2510C =若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，11326C C =若选出的2名学生都是女生，有种情况，221C =所以所求的概率为. 6171010+=【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”. 21．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC那么P 到平面ABC 的距离为___________．.【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到在底面上的射影，使用线面P 垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．【详解】作分别垂直于，平面，连，,PD PE ,AC BC PO ⊥ABC CO 知，，,CD PD CD PO ⊥⊥=PD OD P 平面，平面，CD \^PDO OD ⊂PDOCD OD ∴⊥，．， PD PE ==∵2PC =sin sin PCE PCD ∴∠=∠=， 60PCB PCA ︒∴∠=∠=，为平分线， PO CO ∴⊥CO ACB ∠，451,OCD OD CD OC ︒∴∠=∴===2PC =．PO ∴==【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．22．若函数恰有两个零点，则实数的范围是________ 2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩a 【答案】 1[,1)[2,)2+∞ 【分析】分别设，分两种情况讨论，即可求出的范围.()2,()4()(2)x h x a g x x a x a =-=--a 【详解】解：设，()2,()4()(2)x h x a g x x a x a =-=--若在时，与轴有一个交点，1x <()2x h x a =-x 所以，并且当时， ，所以，0a >1x =(1)20h a =->02a <<而函数有一个交点，所以，且，()4()(2)g x x a x a =--21a ≥1a <所以， 112a ≤<若函数在时，与轴没有交点，()2x h x a =-1x <x 则函数有两个交点，()4()(2)g x x a x a =--当时，与轴无交点，无交点，所以不满足题意（舍去），0a ≤()h x x ()g x 当时，即时，的两个交点满足，都是满足题意的， (1)20h a =-≤2a ≥()g x 12,2x a x a ==综上所述的取值范围是，或. a 112a ≤<2a ≥故答案为：. 1[,1)[2,)2+∞ 【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题.三、解答题23．已知函数 ()21sin cos cos 2,2f x x x x x x R =+-∈（1）求函数的单调减区间；()f x （2）求当时函数的最大值和最小值． 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】（1）；（2）. 5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦()()min max 15,22f x f x =-=【分析】（1）将化为，然后解出不等式()f x ()12sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3222262k x k πππππ+≤-≤+即可；（2）当时，，然后可求出答案. 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）()211cos 211sin cos cos 22cos 22cos 22222x f x x x x x x x x x -=+-=-=-+ 12sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令，可得 3222262k x k πππππ+≤-≤+5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数的单调减区间为 ()f x 5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以 ()15,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦即 ()()min max 15,22f x f x =-=24．如图，已知四边形ABCD 是菱形，，绕着BD 顺时针旋转得到60BAD ∠=︒ABD △120︒PBD △，E 是PC 的中点.(1)求证：平面BDE ；//PA (2)求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线可得到，再利用直线与平面平行AC BD F EF //EF PA 的判定即可证明；（2）先根据（1）得到直线AP 与平面PBC 所成的角为直线与平面PBC 所成的角，然后过EF F 作，利用面面垂直的性质定理得到平面，进而得到为直线与平面FQ BE ⊥FQ ⊥PBC QEF ∠EF PBC 所成的角，最后求的正弦值即可.QEF ∠【详解】（1）连接交于，连接，因为四边形ABCD 是菱形，AC BD F EF 所以为的中点，又因为是的中点，所以，F AC E PC //EF PA 平面，平面，所以平面. EF ⊂BDE PA ⊄BDE //PA BDE（2）过作，垂足为，连接，F FQ BE ⊥Q FP由（1）知：，//EF PA 则直线AP 与平面PBC 所成的角为直线与平面PBC 所成的角，EF 易知，又是的中点，所以，同理，BP BC =E PC BE PC ⊥DE PC ⊥又，面，所以面，又面，BE DE E ⋂=,BE DE ⊂BDE PC ⊥BDE PC ⊂PBC 所以面面，面面，面，，PBC ⊥BDE PBC =BDE BE FQ ⊂BDE FQ BE ⊥所以面，所以为直线与平面PBC 所成的角，FQ ⊥PBC QEF ∠EF 由△绕着BD 顺时针旋转得到△，可得到，ABD 120︒PBD 120AFP ∠=︒假设，则，2AB a =,AF FP ===在中，由余弦定理可得：，AFP A 22222cos1209AP AF FP AF FP a =+-⋅︒=所以，3AP a =因为，所以，又为的中点，所以，PDC PCB ≅A A DE BE =F BD EF BD ⊥则在中，， Rt EFB △13,,22EF AP a FB a BE =====所以， sin FB FEB BE ∠==所以直线AP 与平面PBC 25．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +1+a 在区间[1，2]上有最小值﹣1．（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程f （log 2x ）+1﹣2k log 2x ＝0在[2，4]上有解，求实数k 的取值范围； ⋅（3）若对任意的x 1，x 2∈（1，2]，任意的p ∈[﹣1，1]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤m 2﹣2mp ﹣2成立，求实数m 的取值范围．（附：函数g （t ）＝t 在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．） 1t+【答案】（1）﹣1；（2）0≤t ；（3）m ≤﹣3或m ≥3． 14≤【分析】（1）由二次函数的图像与性质即可求解.（2）采用换元把方程化为t 2﹣（2+2k ）t +1＝0在[1，2]上有解，然后再分离参数法，化为t 与2+2k 在[1，2]上有交点即可求解. ()g t =1t+y =（3）求出|f （x 1）﹣f （x 2）|max ＜1，把问题转化为1≤m 2﹣2mp ﹣2恒成立，研究关于p 的函数h （p ）＝﹣2mp +m 2﹣3，使其最小值大于零即可.【详解】（1）函数f （x ）＝x 2﹣2x +1+a 对称轴为x ＝1，所以在区间[1，2]上f （x ）min ＝f （1）＝a ，由根据题意函数f （x ）＝x 2﹣2x +1+a 在区间[1，2]上有最小值﹣1．所以a ＝﹣1．（2）由（1）知f （x ）＝x 2﹣2x ，若关于x 的方程f （log 2x ）+1﹣2k •log 2x ＝0在[2，4]上有解，令t ＝log 2x ，t ∈[1，2]则f （t ）+1﹣2kt ＝0，即t 2﹣（2+2k ）t +1＝0在[1，2]上有解，t 2+2k 在[1，2]上有解， 1t+=令函数g （t ）＝t ， 1t+在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．所以g （1）≤2+2k ≤g （2），即2≤2+2t ， 52≤解得0≤t ． 14≤（3）若对任意的x 1，x 2∈（1，2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|max ＜1，若对任意的x 1，x 2∈（1，2]，任意的p ∈[﹣1，1]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤m 2﹣2mp ﹣2成立，则1≤m 2﹣2mp ﹣2，即m 2﹣2mp ﹣3≥0，令h （p ）＝﹣2mp +m 2﹣3，所以h （﹣1）＝2m +m 2﹣3≥0，且h （1）＝﹣2m +m 2﹣3≥0，解得m ≤﹣3或m ≥3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、函数与方程以及不等式恒成立问题，综合性比较强，需有较强的逻辑推理能力，属于难题.。
浙江省温州市2024年6月普通高中学业水平模拟测试数学试题
浙江省温州市2024年6月普通高中学业水平模拟测试数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
13．下列选项中正确的是（ ）
A ．33log 1.1log 1.2
<B ．
()
()
3
3
1.1 1.2-<-C ． 1.1 1.2
0.990.99<D ．30.99
0.993<14．某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从
20．在ABC V 中，已知4BC =，4BC BD =uuu r uuu r ，连接AD ，满足
sin sin DB ABD DC ACD ×Ð=×Ð，则ABC V 的面积的最大值为四、解答题
21．某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟），并将样本数据分成
[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组，绘制如图所示的频率分布
直方图．
20．3
【分析】分别在ADB
V和
由角平分线定理得到AB AC
cos BAC
Ð，即可得到sin
ADB
V。
安徽省2024届普通高中学业水平合格考试数学模拟试题
安徽省2024届普通高中学业水平合格考试数学模拟试题一、单选题1．设集合{}3,5,6,8A =，{}4,5,8B =，则A B =I （ ） A ．{}3,6B ．{}5,8C ．{}4,6D ．{}3,4,5,6,82．在复平面内，(3i)i +对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取（ ） A ．5人B ．6人C ．7人D ．8人4．“a b >”是“ac bc >”的什么条件（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知(),4a x =r ，()2,1b =-r ，且a b ⊥r r ，则x 等于（ ） A ．4B ．-4C ．2D ．-26．已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点()3,4-，则cos α=（ ） A ．45B ．35C ．45-D ．35-7．下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（ ） A ．棱柱的侧棱互相平行B ．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥C ．正三棱锥的各个面都是正三角形D ．棱台各侧棱所在直线会交于一点8．某地一年之内12个月的降水量分别为：71，66，64，58，56，56，56，53，53，51，48，46，则该地区的月降水量75%分位数（ ） A ．61B ．53C ．58D ．649．已知函数πsin ,1()6ln ,1x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩，则()(e)f f =（ ）A ．1B ．12CD10．抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为（ ）A ．17B ．111C ．536D ．11211．在ABC V 中，13BD BC =u u u r u u u r ，设,AB a AC b ==u u u r u u u r r r ，则AD =u u u r（ ）A ．2133a b +r rB ．2133a b -+r rC ．4133a b -r rD ．4133a b +r r12．设0.20.10.214,,log 42a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<c a bD ．a c b <<13．在ABC V 中，下列结论正确的是（ ）A ．若AB ≥，则cos cos A B ≥ B ．若A B ≥，则tan tan A B ≥C ．cos()cos +=A B CD ．若sin A ≥sin B ，则A B ≥14．已知某圆锥的母线长为4，高为 ）A ．10πB ．12πC ．14πD ．16π15．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是A ．[)3,-+∞B ．(],3-∞-C ．(],5-∞D ．[)3,+∞16．已知幂函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，则()f x 的解析式可以是（ ）A ．12()f x x = B ．23()f x x = C ．2()f x x -=D ．3()f x x -=17．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）A ．“至少有1个红球”与“都是黑球”B ．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”C ．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D ．“都是红球”与“都是黑球”18．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(],0-∞上单调递减，则不等式()()12f x f x +>的解集为（ ）A ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题19．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则||z =. 20．已知()()321f x x a x =+-为奇函数，则实数a 的值为．21．已知非零向量a r ，b r 满足||2||a b =r r ，且()a b b -⊥rr r ，则a r 与b r 的夹角为.22．在对树人中学高一年级学生身高（单位：cm ）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的方差为．三、解答题23．已知函数()f x 是二次函数，且满足(0)2f =，(1)()2f x f x x +=+. (1)求函数()f x 的解析式； (2)当x ＞0时，求函数()f x xy x+=的最小值. 24．如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，点F 为侧棱PC 上一点．(1)若PF ＝FC ，求证：P A ∥平面BDF ； (2)若BF ⊥PC ，求证：平面BDF ⊥平面PBC ． 25．已知()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.f x的最小正周期及单调增区间；(1)求()(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若()f A △ABC的外接圆半径为2，求△ABC面积的最大值.。
高二数学学业水平模拟试卷(一)
1 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(一)一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1. 已知集合P ＝{0，1}，Q ＝{0，1，2}，则P ∩Q ＝( )A. {0}B. {1}C. {0，1}D. {0，1，2}2. 直线x ＝1的倾斜角为( )A. 0°B. 45°C. 90°D. 不存在3. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的几何体是( )(第3题)A. 圆锥B. 正方体C. 正三棱柱D. 球4. 下列函数中，为奇函数的是( )A. y ＝x ＋1B. y ＝1xC. y ＝log 3xD. y ＝(12)x5. 下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( )A. y ＝1xB. y ＝x 2C. y ＝2xD. y ＝x 36. 若直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0，则直线l 在x 轴与y 轴上的截距分别为( )A. －1，2B. 1，－2C. －1，－2D. 1，27. 已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，x )．若a ∥b ，则x 等于( )A. 2B. －3C. 6D. －68. 已知实数a ，b ，满足ab >0，且a >b ，则( )A. ac 2>bc 2B. a 2>b 2C. a 2<b 2D. 1a <1b9. 求值：sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝( )A. －32 B. －12 C. 12 D. 3210. 设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝()a －2()a －3，则有( )A. M >NB. M ≥NC. M <ND. M ≤N11. 已知sin α＝35，且角的终边在第二象限，则cos α＝( )A. －45 B. －34 C. 45 D. 3412. 已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则a 5＋a 7＝( )A. 16B. 18C. 22D. 2813. 下列有关命题的说法正确的个数是( )①命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为“两直线不平行，同位角不相等”；②“若实数x ，y 满足x ＋y ＝3，则x ＝1且y ＝2”的否命题为真命题；③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题；④对于命题p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋2≤0, 则p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0 .A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个14. 已知()3，2在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( )A. 点()－3，－2不在椭圆上B. 点()3，－2不在椭圆上C. 点()－3，2在椭圆上D. 无法判断点()－3，－2，()3，－2，()－3，2是否在椭圆上15. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件16. 下列各式：①(log 23)2＝2log 23; ②log 232＝2log 23；③log 26＋log 23＝log 218; ④log 26－log 23＝log 23.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个17. 下列函数中只有一个零点的是( )A. y ＝x －1B. y ＝x 2－1C. y ＝2xD. y ＝lg x18. 下列各式中，值为32的是( )A. sin 215°＋cos 215°B. 2sin15°cos15°C. cos 215°－sin 215°D. 2sin 215°－119. 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝23，且∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为( )A. 1B. 2C. 3D. 420. 已知实数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5构成等比数列，其中a 1＝2，a 5＝8，则a 3的值为( )A. 5B. 4C. －4D. ±421. 已知θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则直线y ＝x sin θ＋1的倾斜角的取值范围是( )A. [0，π2] B. [0，π6] C. [0，π3] D. [0，π4](第22题)22. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点，那么异面直线OE 与AD 1所成角的余弦值等于()A. 62 B. 63C. 33D. 2223. 若直线ax ＋by －3＝0与圆x 2＋y 2＋4x －1＝0切于点P (－1，2)，则ab 积的值为( )A. 3B. 2C. －3D. －224. 已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确( )A. a ∥bB. a ⊥bC. |a |＝|b |D. a ＋b ＝a －b25. 已知平面α内有两定点A ，B ，||AB ＝3，M ，N 在α的同侧且MA ⊥α，NB ⊥α，||MA ＝1，||NB ＝2.在α上的动点P 满足PM ，PN 与平面α所成的角相等，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A. 9πB. 8πC. 4πD. π二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)26. 若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CD →＋CD →|＝________．27. 函数y ＝x ＋1x (x >0)的值域是________． 28. 若直线2()a ＋3x ＋ay －2＝0与直线ax ＋2y ＋2＝0平行，则a ＝________．29. 若双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为________．30. 已知数列{a n }是非零等差数列，且a 1，a 3，a 9组成一个等比数列的前三项，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________． 三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)31. (本题7分)已知cos α＝35，3π2<α<2π，，求cos 2α，sin 2α的值．32. (本题7分，有A 、B 两题，任选其中一题完成，两题都做，以A 题计分)[第32题(A)](A)如图所示 ，四棱锥P －ABCD 的底面为一直角梯形，BA ⊥AD, CD ⊥AD ，CD ＝2AB ，PA ⊥ 底面ABCD ，E 为PC 的中点．(1)求证：EB ∥平面PAD ；(2)若PA ＝AD ，证明：BE ⊥平面PDC .(B)如图，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B .[第32题(B)](1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E －DF －C 的余弦值．33. (本题8分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝3 5.(1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求点P 的坐标．34. (本题8分)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意的x ∈D ，存在常数M >0，都有||f （x ）≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x. (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．1 2014高中学业水平考试《数学》模拟试卷(一)1. C2. C3. A4. B5. A6. C7. D8. D 9. D 10. A 11. A 12. C 13. C 14. C15. A 16. B 17. D 18. C 19. A 20. B21. D 22. B 23. B 24. B25. C [提示：由题意知△AMP ∽△BNP ，所以|PB |＝2|PA |，不妨以AB 所在直线为x 轴，中点为原点建立直角坐标系，设P (x ，y )，则(x －32)2＋y 2＝4[(x ＋32)2＋y 2]⇒(x ＋52)2＋y 2＝4，所以P 的轨迹是半径为2的圆，因此面积为4π.] 26. 2 27. [2，＋∞) 28. 629. －14 [提示：因为是双曲线，所以m <0，－1m ＝4，得m ＝－14.] 30. 1或1316 [提示：设公差为d ，则a 1·(a 1＋8d )＝(a 1＋2d )2⇒a 1d ＝d 2，∴若d ＝0，a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1；若d ≠0，则a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1316.] 31. 解：cos 2α＝2cos 2α－1＝－725，∵3π2<α<2π，∴sin α＝－45，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－1225. 32. (A)证明：(1)取PD 的中点Q ，连接EQ ，AQ ，则QE ∥CD ，CD ∥AB ，∴QE ∥AB .又∵QE ＝12CD ＝AB ，∴四边形ABEQ 是平行四边形，∴BE ∥AQ .又∵AQ ⊂平面PAD ，∴BE ∥平面PAD .(2)PA ⊥底面ABCD ，∴CD ⊥PA .又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ，∴AQ ⊥CD .若PA ＝AD ，∴Q 为PD 中点，∴AQ ⊥PD ∴AQ ⊥平面PCD .∵BE ∥AQ ，∴BE ⊥平面PCD .(第32题)(B)(1)如图：在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF //AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以AB //平面DEF . (2)以点D 为坐标原点，直线DB ，DC 为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，2 3，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)．平面CDF 的法向量为DA →＝(0，0，2)，设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，⎩⎪⎨⎪⎧DF →·n ＝0，DE →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，取n ＝(3，－3，3)，cos 〈DA →，n 〉＝DA →·n |DA →||n |＝217，所以二面角E －DF －C 的余弦值为217. 33. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋m ，得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24，|AB |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，＝1＋22（1－m ）2－4·m 24＝5（1－2m ）.由|AB |＝35，即5（1－2m ）＝35⇒m ＝－4.(第33题)(2)设P (a ，0)，P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2a －0－4|22＋（－1）2＝2|a －2|5，又S △ABP ＝12|AB |·d ，则d ＝2·S △ABP |AB |，2|a －2|5＝2×935⇒|a －2|＝3⇒a ＝5或a ＝－1，故点P 的坐标为(5，0)和(－1，0)． 34. 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x，因为f (x )在(－∞，0)上递减，所以f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，故不存在常数M >0，使得|f (x )|≤M 成立．所以函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x )|≤3在[1，＋∞)上恒成立，即－3≤f (x )≤3，－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，所以－4·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤a ≤2·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[0，＋∞)上恒成立.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x max ≤a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x min ，设2x ＝t ，g (t )＝－4t －1t ，h (t )＝2t －1t ，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1，所以g (t )在[1，＋∞)上递减，h (t )在[1，＋∞)上递增，g (t )max ＝g (1)＝－5，h (t )min ＝h (1)＝1，所以 a ∈[－5，1]．。
江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题03(1)
一、单选题1. 已知为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 在梯形中，，，且，若与交于点，则（ ）A．B．C．D．3. 已知集合，，则等于A．B．C．D．4. 设向量，且，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35. 设i 是虚数单位，若复数，则z 的共轭复数为（ ）A．B．C．D．6. 如图l ，在高为h 的直三棱柱容器中，，，现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边AB 于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则=（）A．B．C．D．7. 已知函数的部分图象如图所示，且，，则（ ）.A．B．C．D．8.函数函数的零点个数为A ．3B ．2C ．1D ．0江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题03(1)江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题03(1)二、多选题三、填空题四、解答题9. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x 的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则下列说法正确的是（ ）A ．函数在区间上单调递增B ．若函数，则的值域为C．若函数，则的值域为D ．，10.已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（）A．B．函数图象的对称轴方程为C．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为D ．函数的图象上存在点P ，使得在P点处的切线斜率为11. 已知双曲线满足条件：（1）焦点为，；（2）离心率为，求得双曲线C的方程为．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C 的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件可以为（ ）A ．双曲线C 上的任意点P都满足B ．双曲线C 的虚轴长为4C ．双曲线C 的一个顶点与抛物线的焦点重合D ．双曲线C的渐近线方程为12.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是（）A ．与所成的角是B．与平面所成的角的正弦值是C ．平面与平面所成的锐二面角余弦值是D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为13.已知平面内两单位向量，若满足，则的最小值是___________.14. 在锐角三角形中，，，，则________15. 小张计划从个沿海城市和个内陆城市中随机选择个去旅游，则他至少选择个沿海城市的概率是__________.16. 为了调查某校高二学生是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样的方法从该校高二年级调查了55名学生，结果如下：男女需要2010不需要1015（1）估计该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例；（用百分数表示，保留两位有效数字）（2）能否有95%的把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与性别有关？17. 中的内角的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)求的最大值，并求出取得最大值时角的值.18. 已知等差数列的前n项和为，又对任意的正整数，都有，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.19. 已知函数，其中且的最小值为0.（1）求的值；（2）证明：当时，.20. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，其中左顶点为，右顶点为，为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点，. 求证：为定值.21. 如图，在长方体中，相交于点，是线段的中点，已知.（1）求证：；（2）若是线段上异于端点的点，求过三点的平面被长方体所截面积的最小值.。
江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01
一、单选题1. 函数的部分图像大致为（ ）A．B ．C．D．2. 设全集，集合，则（ ）A．B．C．D．3. 已知点F 为双曲线(，)的左焦点，过原点O 的直线与双曲线交于A 、B 两点(点B 在双曲线左支上)，连接BF 并延长交双曲线于点C ，且，AF ⊥BC ，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．4.设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，则D ．若，则6. 下列有关命题的说法正确的是（ ）．A ．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B ．“”是“”的必要不充分条件C ．命题“，使得”的否定是：“，均有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题7. 已知函数为的导函数，则的大致图象是（ ）A． B．江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01二、多选题三、填空题C． D．8. 设集合A={1，2，3}，B={x |x 2-2x +m=0}，若A ∩B={2}，则B=（ ）A．B．C．D．9. 如图，在直三棱柱中，，，则（）A ．平面B．平面平面C ．异面直线与所成的角的余弦值为D ．点，，，均在半径为的球面上10. 已知，且，则（ ）A．B．C．D．11. 已知直线与椭圆交于两点，点为椭圆的下焦点，则下列结论正确的是（ ）A ．当时，，使得B．当时，，C ．当时，，使得D ．当时，，12. 如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（）A．B．C．D．四、解答题13. 已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数在取得极大值，则的值为_____________________.14. 已知函数在处有极值8，则等于______．15. 样本数据的众数是______．16. 2024年1月，某市的高二调研考试首次采用了“”新高考模式.该模式下，计算学生个人总成绩时，“”的学科均以原始分记入，再选的“2”个学科（学生在政治､地理､化学､生物中选修的2科）以赋分成绩记入.赋分成绩的具体算法是：先将该市某再选科目原始成绩按从高到低划分为五个等级，各等级人数所占比例分别约为.依照转换公式，将五个等级的原始分分别转换到五个分数区间，并对所得分数的小数点后一位进行“四舍五入”，最后得到保留为整数的转换分成绩，并作为赋分成绩.具体等级比例和赋分区间如下表：等级比例赋分区间已知该市本次高二调研考试化学科目考试满分为100分.(1)已知转换公式符合一次函数模型，若学生甲､乙在本次考试中化学的原始成绩分别为84，78，转换分成绩为78，71，试估算该市本次化学原始成绩B 等级中的最高分.(2)现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，求出图中的值，并用样本估计总体的方法，估计该市本次化学原始成绩等级中的最低分.17. 北京时间2022年11月21日0时，卡塔尔世界杯揭幕战在海湾球场正式打响，某公司专门生产世界杯纪念品，今年的订单数量再创新高，为回馈球迷，该公司推出了盲盒抽奖活动，每位成功下单金额达500元的顾客可抽奖1次．已知每次抽奖抽到一等奖的概率为10%，奖金100元；抽到二等奖的概率为30%，奖金50元；其余视为不中奖．假设每人每次抽奖是否中奖互不影响．(1)任选2名成功下单金额达500元的顾客，求这两名顾客至少一人中奖的概率；(2)任选2名成功下单金额达500元的顾客，记为他们获得的奖金总数，求的分布列和数学期望．18. “学习强国”学习平台软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块，还有“四人赛”“双人对战”两个比赛模块.“四人赛”积分规则为首局第一名积3分，第二、三名积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次积1分；每日仅前两局得分.“双人对战”积分规则为第一局获胜积2分，失败积1分，每日仅第一局得分.某人在一天的学习过程中，完成“四人赛”和“双人对战”.已知该人参与“四人赛”获得每种名次的概率均为，参与“双人对战”获胜的概率为，且每次答题相互独立.(1)求该人在一天的“四人赛”中积4分的概率；(2)设该人在一天的“四人赛”和“双人对战”中累计积分为，求的分布列和.19. 已知，求的值．20. 近段时间，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取120名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为，男生中喜欢上网课的为，女生中喜欢上网课的为，得到如下列联表．喜欢上网课不喜欢上网课合计男生女生合计(1)请将列联表补充完整，试判断能否有的把握认为喜欢上网课与否与性别有关；(2)从不喜欢上网课的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人,现从6人中随机抽取2人，若所选2名学生中的女生人数为X，求X的分布列及数学期望．附：，其中．0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821. 函数f(x)=的定义域为集合，关于的不等式的解集为，求使的实数的取值范围．。
云南省2025届高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析
云南省2025届高二上数学期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知过抛物线24x y =焦点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，则94||||MF NF -的最小值为（）A.-B.2C.D.32．圆C ：22226430x y x y ++--=的圆心坐标和半径分别为（ ） A.3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭和4B.（－3，2）和4C.3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭和2D.3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知,x y 满约束条件20201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A.0B.1C.2D.34．已知数列{}n a 满足122n n a a +=+且11a =，则（） A.{}n a 是等差数列 B.{}n a 是等比数列 C.{}1n a +是等比数列D.{}2n a +是等比数列5．Rt ABC △绕着它的一边旋转一周得到的几何体可能是（） A.圆台B.圆台或两个圆锥的组合体C.圆锥或两个圆锥的组合体D.圆柱6．下列数列是递增数列的是（ ） A.{12}n -B.12n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭C.1352n -⎧⎫⎪⎪⎛⎫⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭D.213n n -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭7．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝3a 3，则a 3等于（ ） A.－2 B.0 C.3D.68．过点()1,3P -且平行于直线230x y -+=的直线方程为（） A.270x y -+= B.250x y +-= C.250x y +-=D.210x y +-=9．已知直线)(1:120l x a y a +++-=与2:280l ax y ++=平行，则a 的值为（ ） A.1 B.﹣2C.23-D.1或﹣210．已知圆2221:210C x y mx m +-+-=和圆2222:290C x y ny n +-+-=恰有三条公共切线，则22(6)(8)m n -+-的最小值为（）A.6B.36C.1011．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则4a =（ ） A.274B.94C.278D.9812．点F 是抛物线28y x =的焦点，点(4,2)A ，P 为抛物线上一点，P 不在直线AF 上，则△PAF 的周长的最小值是（） A.4 B.6C.6+D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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高二数学学业水平测试
模拟题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高二数学学业水平测试模拟题（四）
数 学
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．已知集合{}{}2,1,,0==N x M ，若{}2=⋂N M ，则=⋃N M （ ）
A ．{}2,1,,0x
B ．{}2,1,0,2
C ．{}2,1,0
D ．不能确定 2．函数1+=x y 的定义域是（
） A. ),(+∞-∞ B. ),0[+∞ C. ),1[+∞- D. ),1(+∞-
3．如果等差数列}{n a 中，44=a ，那么721a a a +++ 等于 （
）
A. 14
B. 21
C. 28
D. 35
4．圆082622=+-++y x y x 的周长为（
） A. π2 B. π4 C. π2 D. π22
5．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么101a a +的值是（
） A ．12 B ．24 C ．36 D ．48
6．如图，一个边长为4内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是（ ）
Ａ、8π Ｂ、4π Ｃ、2
π Ｄ、π 7．已知+∈R y x , ，且14=+y x ，则xy 的最大值为（
） （A ）161 （B ）16 （C ）4
1 （D ）4 8．直线0943=--y x 与圆422=+y x 的位置关系是（
） A ．相交且过圆心
B ．相切
C ．相离
D ．相交但不过圆心 9．与直线20x y --=平行且过点(5,2)-的直线方程为
A.70x y +-=
B.70x y --=
C. 30x y --=
D.30x y +-=
10．若b a lg ,lg 是方程01422=+-x x 的两个实根，则ab 的值等于（ ）
A ．2
B ．21
C ．100
D ．10 二、填空题（每小题5分，共20分）
11．过点（2，1）且与直线1y x =+垂直的直线方程是 。
12．函数x x y cos sin +=的最小值是 。
13．在长为10的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25与49之间的概率为 。
14．到原点的距离等于2的动点的轨迹方程是 。
15． )0(14>+x x
x 的最小值是 。
三、解答题（共5小题，满分40分）
16．己知锐角三角形△ＡＢＣ的边长ＡＢ＝10，ＢＣ＝8，面积Ｓ＝32，求ＡＣ。
17．有一批材料可以建成长为m 200的围墙，如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积是多少？
18．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为BC 和PC 的中点.
（1）求证：EF ∥平面PBD ；
（2）如果AB=PD ，求EF 与平面ABCD 所成角的正切值.
19．（14分）己知等比数列{}n a 的各项都是正数，12a =，前3项和为14。
⑴、求{}n a 的通项公式
⑵、设2log n n b a =，求数列{}n b 的前20项的和
第18题图
20． 已知向量3
(sin ,),(cos ,1).2a x b x ==-
（1）当//a b 时，求22cos sin 2x x -的值； （
2）求b b a x f ⋅+=)()(在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．。