梁的整体稳定

§5.3 梁的刚度计算——第二极限状态v v =[]v ——梁的最大挠度，按荷载标准值计算，因为相对于强度而言，刚度的重要程度差些。

[v ]——受弯构件挠度限值，按规范取。

如：手动吊车梁：500/l轻级、中级工作制（Q<50吨）：006/l 重级、中级工作制（Q>50吨）：007/l规范在楼（屋）盖梁或桁架和平台梁中分别规定了][T v 和][Q v 两种挠度容许值。

其中][T v 为全部荷载标准值产生的挠度（如有起拱应减去拱度），][Q v 为由可变荷载标准值产生的挠度容许值。

这是因为][T v 主要反映观感而][Q v 主要反映使用条件。

在一般情况下，当][T v 大于250/l 后将影响观瞻。

对于v 的算法可用材料力学算法解出，也可用简便算法。

如等截面简支梁：x x x x 10485EI l M EI lM l v ≈⋅=≤lv ][ 2481,3845ql M EI ql v =⋅=翼缘截面改变的简支梁：)2531(10x x x x I I I EI l M l v '-⋅+=≤lv ][ x I ——跨中毛截面抵抗矩 1I ——支座附近毛截面的抵抗矩§5.4 梁的截面选择一．型钢梁截面选择fM W x xnx γ=——查表选截面 为了节省钢材，应避免在弯矩较大的部位开栓钉孔。

二．组合截面梁截面选择 1．截面高度的确定（1）最大高度max h ：由于工艺及设备等对空间的要求； （2）最小高度min h ：222min 555[]484824()21.35[]31.2x x Ml Ml l v v h EI EhEW f h f ll E vσσ==⋅=≤⋅=⇒= 从中所确定的min h 为最小高度； （3）经济高度：fM W x ⋅=γxn 能达到这一目的截面可能有多种形式，可以高而窄，也可以矮而宽。

经济高度可采用如下经验公式计算：e w h t =---经验公式先假定后调整k ──系数，不变截面焊接梁为1.2，不变截面的焊接吊车梁为1.35。

x γ──静力（间接动力），按规范取。

（如工字形截面,1.05），动荷0.1=x γ。

这样：max min h h h ≤≤并且尽量满足：e h h ≈2．腹板尺寸：当h 确定后，h 0也就基本定了。

根据梁端最大剪力确定腹板厚度w t （翼缘不参加工作）。

受力：v0maxw1 1.5f h V t ⋅=经济：mm 73w21000ht +≈（当h ＞1米时）局部稳定：w3t ≥170h 常按下列经验公式估算：5.3w w h t =3．翼缘：fM W x xnx γ=20f 30w w nx x )2(21212h t b I h t I h W I ⋅⋅≈=⋅= 20w x )(2h I I t b -=⋅∴一般h b )51~31(=，且要求t ≥23530y f b（局部稳定要求）。

考虑钢板规格即可确定翼缘尺寸。

§5.5 梁的整体稳定一．预备知识 1．截面的剪切中心2．自由扭转ϕ'=t t GI MG ——材料剪切模量313n t i i i k I b t ==∑——扭转常数，也称为抗扭惯性矩。

对由几个狭长矩形截面组成的开口薄壁截面，k 为考虑热轧型钢在板件交接处凸出部分的有利影响，其值由试验确定。

对角钢取 1.0，对T 形截面取1.15，槽形截面取1.12，工字形截面取1.25。

ϕ——截面的扭转角最大剪应力t τ与t M 的关系为：tt t I tM =τ 对比闭口薄壁截面：2tM Atτ=3．开口截面构件的约束扭转ωM M M t z += ϕωω'''-=EI M ϕϕω'''-'=∴EI GI M t z其中：dA tds I sAn n⎰⎰==022ωωω ωI 为截面翘曲扭转常数，又称翘曲惯性矩，量纲为(L)64．扇形坐标计算如图所示以O 1为起点沿截面中线的长度定义为曲线坐标s 。

截面中线上任意点p 的扇性坐标为O 1与p 点间的弧线与剪心S 围成的面积的两倍。

在p , O 1间任取一微元段ds ，S 距ds 的垂直距离为s ρ，这一微段扇形面积为：22dsd s s ρω= p 点扇形坐标为： ⎰=ss s ds 0ρω二．双轴对称工字型截面简支梁纯弯作用下的整体稳定 1. 基本假定双轴对称工字型截面简支梁纯弯，夹支座（只能绕x 轴，y 轴转动，不能绕z 轴转动，只能自由挠曲，不能扭转）。

梁变形后，力偶矩与原来的方向平行。

如图：MMc)xb)Ma)xM剖面ηd)M2. 梁失稳的现象：侧向弯曲，伴随扭转——出平面弯扭屈曲。

3. 原因：受压翼缘应力达临应力，其弱轴为x 轴，但由于有腹板作连续支承，（下翼缘和腹板下部均受拉，可以提供稳定的支承），只有向强轴（y 轴）方向屈曲，侧向屈曲后，弯矩平面不再和截面的剪切中心重合，必然产生扭转。

4. 临界弯矩：在梁上任意截取截面1-1，变形后1-1截面沿x,y 轴的位移为u ,v ，截面扭转角为ϕ。

根据小变形假设，可认为变形前后作用在1-1截面上的弯矩M 矢量的方向不变，变形后可在梁上建立随截面移动的坐标，ξ、η为截面两主轴方向，ζ为构件纵轴切线方向，z 轴与ζ轴间的夹角为θ≈du/dz 。

M 在ξ、η、ζ上的分量为：M M M ≈=ϕθξcos cos （a ） ϕϕθηM M M ≈=sin cos （b ）u M dzduMM M '=≈=θζsin （c ） 建立绕两主轴的弯曲平衡微分方程为：ηM u EI x =''-（d ）ξM v EI y =''-（e ）又ϕϕω'''-'=EI GI M t z 可得绕纵轴的扭转平衡微分方程为：ζωϕϕM EI GI t ='''-'（f ）将式a 、b 、c 分别代入式d 、e 、f 得：0=+''M v EI x （g ） 0=+''ϕM u EI x （h ） u M EI GI t '='''-'ϕϕω（i ）以上方程中式g 是可独立求解的方程，它是在弯矩M 作用平面内的弯曲问题，与梁的扭转无关。

式h 、i 中具有两个未知数值，必须联立求解。

将式i 微分一次后，与式h 联立消去u ''得：02=-''-ϕϕϕωyt IVEI M GI EI （j ）假设两端简支梁的扭转角符合正弦半波曲线分布，即：lzA πϕsin⋅=（k ）可以证明，该式满足梁的边界条件。

将其代入式j 得：0sin )()(224=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+l z A EI M l GI l EI y t πππω（l ）要使上式对任意z 值都成立，必须方括号中的数值为零，即：0)()(224=-+yt EI M l GI l EI ππω（m ）上式中的M 即为双轴对称工字型截面梁整体失稳时的临界弯矩M cr ，解之得：lGI EI lGI EI M t y t w cr 2)(1ππ+=（n ）进一步得：lGI EI kM t y cr =（o ）式中：k 为梁的弯扭屈曲系数，对于双轴对称工字型截面y I h I h I 42212≈=ω,故ψππππππω22221)2(1)(1+=+=+=lh GI EI l GI EI k t y t （p ） 其中2)2(lh GI EI t y =ψ（q ） 从k 的表达式可以看出，其与梁的侧向抗弯刚度、抗扭刚度、梁的夹支跨度l （有侧向支承时l 应取为侧向支承点间距1l ）及梁高有关。

y I 为梁绕y-y 轴（出平面）的惯性矩3i i t 31.25t b I ∑=为截面扭转常数。

5. 影响因素1) 荷载种类 2) 荷载作用位置 3) 侧向抗弯刚度y EI 4) 抗扭刚度t GI5) 梁的夹支跨度l （或侧向支承点间距1l ） 6) 梁的支承情况6. 提高梁整体稳定性的措施1) 提高侧向抗弯刚度。

（增大b ）2) 提高抗扭刚度（增大b 同样可以）3) 最有效的办法——加侧向支承，减小侧向支承点间距1l 。

支承加在受压翼缘有作用；满铺屋面板焊牢则不失稳。

7. 梁的整体稳定实用算法xcrcr W M =σ x W M =σ≤f f f ⋅=⋅=b Ryy cr R cr ϕγσγσ规范形式：xb xW M ⋅=ϕσ≤f1) 双轴对称焊接工字型简支梁弹性状态下纯弯屈曲时：y 21y x2y b 235)4.4(14320f h t W Ah⋅+⋅=λλϕx M ——最大刚度主平面内的最大弯矩；x W ——按受压翼缘确定的梁的毛截面抵抗矩；y λ——梁侧向支承点间对弱轴y —y 的长细比；1t ——受压翼缘的厚度；b ϕ——梁的整体稳定因数。

其通式为：y b 21y x2y b b 235])4.4(1[4320f h t W Ah ⋅++⋅⋅=ηλλβϕ在使用公式应注意：我们前面推导过程中的前提是：双轴对称焊接工字形截面、简支梁、纯弯状态下、弹性屈曲。

对于不同荷载及不同荷载作用位置情况应考虑与荷载种类及荷载作用位置有关的因数b β。

b β与因数hb t l 111=ξ有关，查表； 例如：跨中无支承，集中荷载作用上翼缘ξ≤2.0时，ξβ0.130.69b += ξ＞2.0时，0.95b =β 详见规范附表B.1对于单轴对称截面考虑不对称因数ηb 。

有关与因数211b b I I I +=αη： 1I ——受压翼缘对y 轴的惯性距2I ——受拉翼缘对y 轴的惯性距加强受压翼缘时：)12(0.8b b -=αη 加强受拉翼缘时：12b b -=αη 双轴对称工字型：0b =η 2) 轧制工字型钢，可直接查表 3) 轧制槽型钢：y1b 235570f h l t b ⋅⋅=ϕ 偏于安全地不分荷载种类和作用位置。

4) 弹塑性阶段失稳，根据理论分析和试验，包括初弯曲，初偏心及残余应力的影响，得弹塑性稳定公式：23b b'b 0.12690.46461.1ϕϕϕ+-=≤1GB50017为了与，《冷弯薄壁型钢结构技术规范》相协调，改取b'0.282-07.1ϕϕ=bb ϕ与'b ϕ的分界点是b ϕ=0.6，当b ϕ＞0.6时。

说明已进入弹塑性状态，需对b ϕ的值进行修正，用'b ϕ代替b ϕ。

也可查表。

5) 使用b ϕ时，应按规范给定的最接近的情况采用，当实际情况和规范存在较大差异时，需自行推导临界应力值。

6) 双向弯曲时：yy y x b xW M W M γφ+≤f （经验公式） a) 说明双向弯曲临界力比单向弯曲临界力低；b) y γ为适当降低第二项的影响，决不是绕y 轴允许发展塑性； c) 此表达式在形式上与压弯构件相协调；7) 从概念出发，当bφ'≥1时，不发生失稳现象，主要决定于11/b l 值。