四年级奥数专题11组合图形的计数
四年级奥数第二讲图形的计数问题含答案
四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
人教版四年级数学奥数 数数图形(课件)(共20张PPT)
【例题1】数一数下图中有多少个锐角。
【思路导航】 数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点， 因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得： 1+2+3+4=10（个）.
【例题2】 数一数下图中有多少个长方形？
【思路导航】 图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边பைடு நூலகம்的
第12讲 数数图形
小学奥数 四年级
同学们对于图形肯定不陌生，但数学中经常会出现这样的题目： （1）下图中共有几条线段？ （2）下图中共有几个长方形？
要正确解答这类问题，就要做到数图形时不重复、不遗漏。这就需要 我们按照一定的顺序去数，并找出它的规律，巧妙地数出图形的个数。数 图形的方法一般有两种：按顺序数和分类数。今天就让我们用数学的方法 巧妙地数图形吧！
实践与应用
【练习5】 P94 数一数，下图中共有多少个长方形？
同学们，图形世界是不是非赏精彩呢？数学的魅力就在于千变万化的图形和数字。通过 这一进，我们对图形有了更深的认识，遇到数图形的问题也能有序、严密地思索，关于数 图形，我们来总结一些最基本的方法吧。
（1）数线段。假设端点有n个（n是整数），那么线段的总条数就是从比n小1的数开始， 一直加到1。
每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有 6×3=18个长方形。 数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数
【例题3】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个 长度单位的正方形）
【思路导航】 边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有 2×1=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。 经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份， 宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为： mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.
四年级奥数专题11组合图形的计数
(7)十一、组合图形的计数（A）年级______班_____ 姓名_____得分_____一、填空题:1.右图一共有( )个长方形?2.右图一共有( )个长方形?3.右图一共有( )个长方形？4.右图一共有( )个正方形？5.右图一共有( )个长方形？6.右图一共有( )个平行四边形?7.右图一共有( )个梯形？8.右图一共有( )个正方形？9.右图一共有( )个正方形?10.右图一共有( )个正方形?二、解答题:11.下图共有几个正方形?(6)12.下图共有几个正方形?13.在一个图案中有100个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中至少有多少个平行四边形?14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形来?十一、组合图形的计数（B ）年级 ______班 _____ 姓名 _____得分 _____一、填空题:1.右图有( )个长方形.2.右图共有( )个长方形.3.下图共有( )个长方形.4.图中一共有多少个长方形?(含正方形).5.数一数图中三角形的个数.6.下图共有( )个三角形.7.下图一共有( )个三角形.8.图ABC ∆中,cm BC 4=,BC 边被分成四等分,BC 边上的高cm AH 2=,则图中所有三角形面积的和为多少?(以AH 为边的三角形不计算在内.9.下图共有( )个平行四边形.10.右图一共有( )个梯形.二、解答题:1.数一数,右图中有多少个正方形?2.如右图,数一数图中一共有多少个三角形?3.下图共有几个长方形?4.下图共有多少个长方形?———————————————答案——————————————————————一、填空题:1. 一共有321个.解: ①上横大长方形内有长方形:(8+7+6+5+4+3+2+1)⨯(1+2)=108(个);②下横大长方形内有长方形:(7⨯6÷2)⨯(3⨯2÷2)=63(个);③竖大长方形内有长方形:(5⨯4÷2)⨯(7⨯6÷2)=210(个);④中间重复的长方形共有:(5⨯4÷2)⨯(3⨯2÷2)⨯2=60(个).⑤图中共有长方形: 108+63+210-60=321(个).2. 一共有64个.3. 一共有107个.解: (1+2+3+4)⨯(1+2+3)=60(个);(1+2+3)⨯(1+2+3)=36(个);1+2=3(个);(1+2)⨯4+2=14(个);图中共有长方形: 60+36-3+14=107(个).4. 一共有18个.解:分三类计算,边长是1的正方形有2+4=13(个),边长为2的正方形有4(个),边长为3 的正方形有1个.因此,图中共有正方形13+4+1=18(个).5. 一共有79个.解: 在大长方形中共有长方形:(3+2+1)⨯(3+2+1)=36(个).在小长方形中共有长方形: (3+2+1)⨯(3+2+1)=36(个).在两个长方形中增加的长方形有:8(个).在大长方形和小长方形中重复计算了的长方形个数为1个.所以,这个图中长方形的个数为:36+36+8-1=79(个).6. 右图一共有(150)个平行四边形.(5⨯4÷2)⨯(6⨯5÷2)=150(个).点金术:与算平行四边形的方法一样.7. 一共有(90)个.(6⨯5÷2)⨯(4⨯3÷2)=90(个).8. 一共有(55)个.解:分类进行统计,得边长为1的正方形有5⨯5=25(个);边长为2的正方形有4⨯4=16(个);边长为3的正方形有3⨯3=9(个);边长为4的正方形有2⨯2=4(个);边长为5的正方形有1⨯1=1(个).图中共有正方形: 25+16+9+4+1=55(个).9. 一共有60个.解:分类进行统计,得边长为1的正方形有4⨯7=28(个);边长为2的正方形有3⨯6=18(个);边长为3的正方形有2⨯5=10(个);边长为4的正方形有1⨯4=4(个).图中共有正方形: 4⨯7+3⨯6+2⨯5+1⨯4=60(个).10. 右图一共有(110)个正方形.解: 图中ABCD是一个4⨯10方格,其中正方形的个数是:4⨯10+3⨯9+2⨯8+1⨯7=90(个);图中CEPN是一个4⨯6方格,其中正方形的个数是:4⨯6+3⨯5+2⨯4+1⨯3=50(个);在上面的两项统计中,CDMN内的正方形被重复计算了一次,应该扣除.因CDMN是4⨯4方格,其中正方形的个数是:4⨯4+3⨯3+2⨯2+1⨯1=30(个).所以,图中正方形的个数是: 90+50-30=110(个).二、解答题:11. 一共有95个.解: ①中间部分的正方形有:52+42+32+22+12=55(个);②上、下部分的正方形有:(4+2+1)⨯2=14(个);③左、右部分的正方形有:(9+2+2)⨯2=26(个).共有正方形: 55+14+26=95(个).12. 共有46个.解: ①正摆着的正方形有:4⨯3+3⨯2+2⨯1=20(个);②斜摆着的正方形有:a.最小的正方形有17个;b.由4个小正方形组成的正方形有8个,c.由9个小正方形组成的正方形有1个.③图中共有正方形: 20+17+8+1=46(个).13. 至少有160个.解: 因为矩形、菱形、正方形都是平行四边形,且正方形既是矩形也是菱形,所以,至少有平行四边形: 100+100-40=160(个).14. 最多有7个.解: 最多有7个正方形.摆法如右图.———————————————答案——————————————————————1. 58个2. 25个3. 29个4. 1980个OA线段10×11÷2=55(条),图中10OB边上共有线段8×9÷2=36(条),8因此,图中共有长方形55×36=1980(个).5. 27个这样的图形只能分类数,可以采用类似数正方形的方法,从边长为一条基本线段的最小三角形开始.Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形:①尖朝上的三角形共有四层,它们的总数为:W①上=1+2+3+4=10(个).②尖朝下的三角形共有三层,它们的总数为:W①下=1+2+3=6(个).Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形:①尖朝上的三角形共有三层,它们的总数为:W②上=1+2+3=6(个)②尖朝下的三角形只有一个,记为W=1(个).②下Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形:①尖朝上的三角形共有二层,它们的总数为:W③上=1+2=3(个).②尖朝下的三角形零个,记为W=0(个).③下=1(个).Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形,只有一个,记为W④上所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27(个).我们还可以按另一种分类情况计算三角形的个数,即按尖朝上与朝下的三角形的两种分类情况计算三角形个数.Ⅰ.尖朝上的三角形共有四种:W①上=1+2+3+4=10W②上=1+2+3=6W③上=1+2=3W④上=1所以尖朝上的三角形共有:10+6+3+1=20(个)Ⅱ.尖朝下的三角形共有二种:W①下=1+2+3=6W②下=1W③下=0W④下=0则尖朝下的三角形共有6+1+0+0=7(个)所以,尖朝上与尖朝下的三角形一共有:20+7=27(个)尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和,其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数,依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数,直到1为止.尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和,它的第一个恰是尖朝上的第二个和,依次各个和都比上一个和少最大的两个加数,以此类推直到零为止.6. 126个Ⅰ.尖朝上的三角形有五种:(1)W①上=8+7+6+5+4=30(2)W②上=7+6+5+4=22(3)W③上=6+5+4=15(4)W④上=5+4=9(5)W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(个)Ⅱ.尖朝下的三角形有四种:(1) W①下=3+4+5+6+7=25(2)W②下=2+3+4+5=14(3)W③下=1+2+3=6(4)W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(个)∴80+46=126个.7. 35个Ⅰ.与ABE∆相同的三角形共有5个;Ⅱ.与ABP∆相同的三角形共有10个;Ⅲ.与ABF∆相同的三角形共有5个;Ⅳ.与AFP∆相同的三角形共有5个;∆相同的三角形共有5个;Ⅴ.与ACD∆相同的三角形共有5个.Ⅵ.与AGD所以图中共有三角形为5+10+5+5+5+5+5=35(个).8. 20平方厘米底边为1cm的三角形面积和为:)⨯÷⨯;cm=422(412底边为2cm的三角形面积和为:)=⨯÷⨯;cm3(62222底边为3cm的三角形面积和为:)=⨯÷⨯;cm2(62232底边为4cm的三角形面积和为:)=⨯÷⨯;cm(412242图中所有三角形面积和为:)=+++.cm(42420669. 315个=÷⨯⨯(个)7(=⨯⨯÷216315)215)26(510. 45个最好的办法是先数出长方形和梯形的总数,再减去长方形的个数.长方形和梯形的总数为:(1+2+3+4+5+6)×(1+2)=63(个)长方形的个数为:(1+2+3)×(1+2)=18(个)梯形的总数为:63-18=45(个)二、解答题11. 有124个.①基本的三角形有:4×9=36(个).:4×9=36(个).:4×3×2=24(个).④由九个基本的三角形组成的三角形:4×2=8(个).⑤由八个基本的三角形组成的三角形:4×4=16(个).⑥由十八个基本的三角形组成的三角形:4(个).共有三角形:36+36+24+8+16+4=124(个).12. 有100个.这是个对称图形,我们可按如下三步顺序来数:第一步:大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形:AEOH、EBFO、OFCG、HOGD,每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.第二步:每两个小矩形组合成的图形共有四个,如:ABFH、EBCG、HFCD、AEGD,每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.第三步:每三个小矩形占据的部分图形共有四个:如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC,每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.Ⅰ.在小矩形AEOH中:①由一个三角形构成的8个.②由两个三角形构成的三角形有5个.③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.这样在一个小矩形内17个三角形.Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中,如矩形AEGD,共有5个三角形.Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中,如△ABC,共有2个三角形.所以整个图形共有三角形个数是:(8+5+5+5+2)×4=25×4=100(个).13. 有270个.①除去四周凸出部分,中间大长方形内共有长方形:(7×6÷2)×(4×3÷2)=126(个);②左、右凸出部分共有长方形:(3×2÷2)×(7+6)+(5×4÷2)×(5+4)=39+90=129(个);③上、下凸出部分共有长方形:1×(8+7)=15(个).④图中共有长方形:126+129+15=270(个).14. 有133个①在大长方形中共有长方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);②在小长方形中共有长方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);③在①与②中重复的长方形有:1+2=3(个);④两个长方形共同组成的长方形有:(1+2)×(2+2)+1×(2+2)=16(个).⑤图中共有长方形:60+60-3+16=133(个).。
四年级下册数学课件-图形计数问题 全国通用 (共14 张ppt)
有什么规律：
总结
长边上的线段条数×宽边上 的线段(共14 张ppt)
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图形五：如何数正方形
有多少个正方形？
四年级下册数学课件-图形计数问题 全国通用 (共14 张ppt)
有多少个三角形？
有没有更加简单 的方法？？？
1个
3个
1+2=3个
2×3÷2=3个
6个
1+2+3=6个
3×4÷2=6个
10个
1+2+3+4=10个
4×5÷2=10个
有什么规律：
总结
若由一个顶点引出n条射线 ，则一共可数出n(n－1)÷2 个三角形。
思维提升：
分别数出下列各图中各有几个三角形？
提示：分两部分
提升思维：
例1.数出图中共有多少条线段。
图形二：如何数角的个数
有多少个角？
有没有更加简单 的方法？？？
1个
3个
1+2=3
6个
1+2+3=6
2×3÷2 3×4÷2
10个
1+2+3+4=10
5×4÷2
有什么规律：
总结
若由一个点引出n条射线， 则一共可数出n(n－1)÷2个 角。
图形三：如何数三角形的个数
5×4+（5-1）×（4-1）+（5-2）×（4-2)+(5-3)× （4-3）=40
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有什么规律：
总结
数正方形的公式：一个被划分成m×n的小 正方形的长方形中共可以数出的正方形的 个数是：（其中m≤n）
【免费下载】石头老师四年级奥数竞赛班图形计数专题
C
B
练一练： 数一数图中三角形的个数
例（6）数一数图中一共有多少个三角形？
练一练：
数一数图中一共有多
模拟测试（ 2 ） 一、填空题 （每小题 5 分）
1、.下列图形各有几条线段
( )条
( )条
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
(完整版)四年级奥数第一讲_图形的计数问题
第一讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题常常没有不言而喻的次序，并且要数的对象往常是重叠交织的，要正确计数就需要一些智慧了．实质上，图形计数问题，往常采纳一种简单原始的计数方法－一列举法．详细而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证列举时无一重复、．无一遗漏，而后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培育同学们思想的有序性和优秀的学习习惯．二、典例解析：例（ 1）数出右图中总合有多少个角解析：在∠ AOB内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，∠ AOB被这三条角分线分红 4 个基本角，那么∠ AOB内总合有多少个角呢？第一有这 4 个基本角，其次是包括有 2 个基本角构成的角有 3 个（即∠ AOC2、∠ C1OC3、∠ C2OB），而后是包括有 3 个基本角构成的角有 2 个（即∠ AOC3、∠C1OB），最后是包括有 4 个基本角构成的角有 1 个（即∠ AOB），因此∠ AOB内总合有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋ 2＋ 1＝10（个）答：图中总合有10 个角。
方法 2：用公式计算：边数×（边数—1）÷ 25 ×（ 5-1 ）÷ 2=10练一练：数一数右图中总合有多少个角？例（ 2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？解析：①要数多少条线段：先看线段 AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看 BC、MN、 GH 这 3 条横向线段：（4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条）②要数有多少个三角形，先看在△ ABC中，被 GH和 MN分红了三层，每一层的三角形同样多，因此只需算出一层三角形个数就能够了。
(5 ×4÷2)×3=30(个)答：在△ ABC中共有线段60 条，共有三角形30 个。
练一练：图中共有多少个三角形？例（ 3）数一数图中长方形的个数解析：长边线段有：6× 5÷ 2=15宽边线段有： 4 ×3÷2=6共有长方形： 15×6 = 90（个）答：共有长方形90 个。
四年级奥数.计数综合.几何计数
几何计数知识结构一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。
图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。
三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。
（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。
二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。
（2）对应法数图形。
例题精讲一、分类数图形【例 1】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例 2】图中有______个正方形．【巩固】数一数：图中共有________ 个正方形。
【例 3】 右图中三角形共有 个．【巩固】 数一数图中有_______个三角形．【例 4】 图中共有多少个三角形？CB A【巩固】 下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。
【例 5】 如图，每个小正方形的面积都是l 平方厘米。
则在此图中最多可以画出__________个面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。
奥数知识点图形计数
巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段。
分析与解：对于基础图形，用最小线段为单位，按序递增。
单拼： 3（段），双拼： 2（段），三拼： 1（段）通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决。
最小线段（基础线段）的数量为火车头火车头为基础线段数 3 段： 3+2+1=6（段）或者，线段个数 =基础线段数×端点÷ 2（高阶）基础线段要求：手拉手，肩并肩对于相交的线段，分别计算各个方向，然后加总例2、数出下页左上图中锐角的个数。
分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决。
最小线段的数量为火车头。
或者，角的个数 =最小角个数×（最小角个数 +1）÷ 2又，角的个数 =射线的个数×（射线个数 -1 ）÷ 2例3、下列各图形中，三角形的个数各是多少？分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决，最小线段的数量为火车头。
所以，三角形个数 =底边线段个数 ( 每个底边基础线段构成一个基础三角形 )或者，三角形的个数 =最小三角形个数×（最小三角形个数 +1）÷ 2（高阶）以上的内容基本是单层规整图形：数线段（数角，数三角形），解决方法：开小火车！对于多层规整的图形，应该以单层规整图形为基础，运用技术，算出多层规整图形的数量。
例 4、下列图形中各有多少个三角形？分析与解：方法（ 1）使用分层计数法：图（ 1）图（ 2）上层：4+3+2+1=10（个）上层：4+3+2+1=10（个）下层：0（个）中层：0（个）上下层： 4+3+2+1=10（个）下层：0（个）上中层：4+3+2+1=10（个）中下层：0（个）上中下层：4+3+2+1=10总数： 10+0+10=20（个）总数：10+10+10=30（个）方法（ 2）公式法：第一层三角形的总数×层数公式法：第一层三角形的总数×层数图（ 1）图（ 2）第一层：4+3+2+1=10（个）第一层：4+3+2+1=10（个）层数：2（层）层数：3（层）总数：10× 2=20（个）总数：10×3=30（个）例 5、下列图形中各有多少个三角形？分层法：上层： 4+3+2+1=10（个）下层：4（个）（吹泡泡法）上下层：4+3+2+1=10（个）总数： 10+4+10=24（个）小 TIPS：吹泡泡法例 6、右图中有多少个三角形？例7、右图中有多少个三角形？分析与解：对于不规则的图形，数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单拼三角形 1、4、3 号，共 3 个。
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(7)十一、组合图形的计数（A）年级______班_____ 姓名_____得分_____一、填空题:1.右图一共有( )个长方形?2.右图一共有( )个长方形?3.右图一共有( )个长方形？4.右图一共有( )个正方形？5.右图一共有( )个长方形？6.右图一共有( )个平行四边形?7.右图一共有( )个梯形？8.右图一共有( )个正方形？9.右图一共有( )个正方形?10.右图一共有( )个正方形?二、解答题:11.下图共有几个正方形?(6)12.下图共有几个正方形?13.在一个图案中有100个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中至少有多少个平行四边形?14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形来?十一、组合图形的计数（B ）年级 ______班 _____ 姓名 _____得分 _____ 一、填空题: 1.右图有( )个长方形.2.右图共有( )个长方形.3.下图共有( )个长方形.4.图中一共有多少个长方形?(含正方形).5.数一数图中三角形的个数.6.下图共有( )个三角形.7.下图一共有( )个三角形.8.图ABC ∆中,cm BC 4=,BC 边被分成四等分,BC 边上的高cm AH 2=,则图中所有三角形面积的和为多少?(以AH 为边的三角形不计算在内.9.下图共有( )个平行四边形.10.右图一共有( )个梯形.二、解答题:1.数一数,右图中有多少个正方形?2.如右图,数一数图中一共有多少个三角形?3.下图共有几个长方形?4.下图共有多少个长方形?———————————————答案——————————————————————一、填空题:1. 一共有321个.解: ①上横大长方形内有长方形:(8+7+6+5+4+3+2+1)⨯(1+2)=108(个);②下横大长方形内有长方形:(7⨯6÷2)⨯(3⨯2÷2)=63(个);③竖大长方形内有长方形:(5⨯4÷2)⨯(7⨯6÷2)=210(个);④中间重复的长方形共有:(5⨯4÷2)⨯(3⨯2÷2)⨯2=60(个).⑤图中共有长方形: 108+63+210-60=321(个).2. 一共有64个.3. 一共有107个.解: (1+2+3+4)⨯(1+2+3)=60(个);(1+2+3)⨯(1+2+3)=36(个);1+2=3(个);(1+2)⨯4+2=14(个);图中共有长方形: 60+36-3+14=107(个).4. 一共有18个.解:分三类计算,边长是1的正方形有2+4=13(个),边长为2的正方形有4(个),边长为3 的正方形有1个.因此,图中共有正方形13+4+1=18(个).5. 一共有79个.解: 在大长方形中共有长方形:(3+2+1)⨯(3+2+1)=36(个).在小长方形中共有长方形: (3+2+1)⨯(3+2+1)=36(个).在两个长方形中增加的长方形有:8(个).在大长方形和小长方形中重复计算了的长方形个数为1个.所以,这个图中长方形的个数为:36+36+8-1=79(个).6. 右图一共有(150)个平行四边形.(5⨯4÷2)⨯(6⨯5÷2)=150(个).点金术:与算平行四边形的方法一样.7. 一共有(90)个.(6⨯5÷2)⨯(4⨯3÷2)=90(个).8. 一共有(55)个.解:分类进行统计,得边长为1的正方形有5⨯5=25(个);边长为2的正方形有4⨯4=16(个);边长为3的正方形有3⨯3=9(个);边长为4的正方形有2⨯2=4(个);边长为5的正方形有1⨯1=1(个).图中共有正方形: 25+16+9+4+1=55(个).9. 一共有60个.解:分类进行统计,得边长为1的正方形有4⨯7=28(个);边长为2的正方形有3⨯6=18(个);边长为3的正方形有2⨯5=10(个);边长为4的正方形有1⨯4=4(个).图中共有正方形: 4⨯7+3⨯6+2⨯5+1⨯4=60(个).10. 右图一共有(110)个正方形.解: 图中ABCD是一个4⨯10方格,其中正方形的个数是:4⨯10+3⨯9+2⨯8+1⨯7=90(个);图中CEPN是一个4⨯6方格,其中正方形的个数是:4⨯6+3⨯5+2⨯4+1⨯3=50(个);在上面的两项统计中,CDMN内的正方形被重复计算了一次,应该扣除.因CDMN是4⨯4方格,其中正方形的个数是:4⨯4+3⨯3+2⨯2+1⨯1=30(个).所以,图中正方形的个数是: 90+50-30=110(个).二、解答题:11. 一共有95个.解: ①中间部分的正方形有:52+42+32+22+12=55(个);②上、下部分的正方形有:(4+2+1)⨯2=14(个);③左、右部分的正方形有:(9+2+2)⨯2=26(个).共有正方形: 55+14+26=95(个).12. 共有46个.解: ①正摆着的正方形有:4⨯3+3⨯2+2⨯1=20(个);②斜摆着的正方形有:a.最小的正方形有17个;b.由4个小正方形组成的正方形有8个,c.由9个小正方形组成的正方形有1个.③图中共有正方形: 20+17+8+1=46(个).13. 至少有160个.解: 因为矩形、菱形、正方形都是平行四边形,且正方形既是矩形也是菱形,所以,至少有平行四边形: 100+100-40=160(个).14. 最多有7个.解: 最多有7个正方形.摆法如右图.———————————————答案——————————————————————1. 58个2. 25个3. 29个4. 1980个OA线段10×11÷2=55(条),图中10OB边上共有线段8×9÷2=36(条),8因此,图中共有长方形55×36=1980(个).5. 27个这样的图形只能分类数,可以采用类似数正方形的方法,从边长为一条基本线段的最小三角形开始.Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形:①尖朝上的三角形共有四层,它们的总数为:W①上=1+2+3+4=10(个).②尖朝下的三角形共有三层,它们的总数为:W①下=1+2+3=6(个).Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形:①尖朝上的三角形共有三层,它们的总数为:W②上=1+2+3=6(个)②尖朝下的三角形只有一个,记为W=1(个).②下Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形:①尖朝上的三角形共有二层,它们的总数为:W③上=1+2=3(个).②尖朝下的三角形零个,记为W=0(个).③下=1(个).Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形,只有一个,记为W④上所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27(个).我们还可以按另一种分类情况计算三角形的个数,即按尖朝上与朝下的三角形的两种分类情况计算三角形个数.Ⅰ.尖朝上的三角形共有四种:W①上=1+2+3+4=10W②上=1+2+3=6W③上=1+2=3W④上=1所以尖朝上的三角形共有:10+6+3+1=20(个)Ⅱ.尖朝下的三角形共有二种:W①下=1+2+3=6W②下=1W③下=0W④下=0则尖朝下的三角形共有6+1+0+0=7(个)所以,尖朝上与尖朝下的三角形一共有:20+7=27(个)尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和,其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数,依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数,直到1为止.尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和,它的第一个恰是尖朝上的第二个和,依次各个和都比上一个和少最大的两个加数,以此类推直到零为止.6. 126个Ⅰ.尖朝上的三角形有五种:(1)W①上=8+7+6+5+4=30(2)W②上=7+6+5+4=22(3)W③上=6+5+4=15(4)W④上=5+4=9(5)W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(个)Ⅱ.尖朝下的三角形有四种:(1) W①下=3+4+5+6+7=25(2)W②下=2+3+4+5=14(3)W③下=1+2+3=6(4)W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(个)∴80+46=126个.7. 35个Ⅰ.与ABE∆相同的三角形共有5个;Ⅱ.与ABP∆相同的三角形共有10个;Ⅲ.与ABF∆相同的三角形共有5个;Ⅳ.与AFP∆相同的三角形共有5个;∆相同的三角形共有5个;Ⅴ.与ACD∆相同的三角形共有5个.Ⅵ.与AGD所以图中共有三角形为5+10+5+5+5+5+5=35(个).8. 20平方厘米底边为1cm的三角形面积和为:)⨯÷⨯;cm=422(412底边为2cm的三角形面积和为:)=⨯÷⨯;cm3(62222底边为3cm的三角形面积和为:)=⨯÷⨯;cm2(62232底边为4cm的三角形面积和为:)=⨯÷⨯;cm(412242图中所有三角形面积和为:)=cm+++.64220(649. 315个÷=⨯⨯(个)7(=÷⨯⨯6(1531521)2)25610. 45个最好的办法是先数出长方形和梯形的总数,再减去长方形的个数.长方形和梯形的总数为:(1+2+3+4+5+6)×(1+2)=63(个)长方形的个数为:(1+2+3)×(1+2)=18(个)梯形的总数为:63-18=45(个)二、解答题11. 有124个.①基本的三角形有:4×9=36(个).:4×9=36(个).:4×3×2=24(个).④由九个基本的三角形组成的三角形:4×2=8(个).⑤由八个基本的三角形组成的三角形:4×4=16(个).⑥由十八个基本的三角形组成的三角形:4(个).共有三角形:36+36+24+8+16+4=124(个).12. 有100个.这是个对称图形,我们可按如下三步顺序来数:第一步:大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形:AEOH、EBFO、OFCG、HOGD,每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.第二步:每两个小矩形组合成的图形共有四个,如:ABFH、EBCG、HFCD、AEGD,每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.第三步:每三个小矩形占据的部分图形共有四个:如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC,每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.Ⅰ.在小矩形AEOH中:①由一个三角形构成的8个.②由两个三角形构成的三角形有5个.③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.这样在一个小矩形内17个三角形.Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中,如矩形AEGD,共有5个三角形.Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中,如△ABC,共有2个三角形.所以整个图形共有三角形个数是:(8+5+5+5+2)×4=25×4=100(个).13. 有270个.①除去四周凸出部分,中间大长方形内共有长方形:(7×6÷2)×(4×3÷2)=126(个);②左、右凸出部分共有长方形:(3×2÷2)×(7+6)+(5×4÷2)×(5+4)=39+90=129(个);③上、下凸出部分共有长方形:1×(8+7)=15(个).④图中共有长方形:126+129+15=270(个).14. 有133个①在大长方形中共有长方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);②在小长方形中共有长方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);③在①与②中重复的长方形有:1+2=3(个);④两个长方形共同组成的长方形有:(1+2)×(2+2)+1×(2+2)=16(个).⑤图中共有长方形:60+60-3+16=133(个).。